Projekt 7.2 Vektorers beskrivelseskraft. Indhold. Hvad er matematik? 2 ISBN

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Projekt 7.2 Vektorers beskrivelseskraft. Indhold. Hvad er matematik? 2 ISBN"

Transkript

1 Hvd er mtemtik? Projekter: fr kpitel 7 Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft Indhold Hvor kommer vektorerne fr? De komplekse tl og deres geometriske repræsenttion Findes der tl i højere dimensioner? 3 3 Vektorbegrebet grves ud f kvternionerne 3 Vektorer i gymnsiet 4 3 Linjestykker og prllelogrmmer 5 4 Midtnormler og højder i en treknt 9 5 Medinerne i treknter og i tetredre 3 08 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lrudk

2 Hvd er mtemtik? Projekter: fr kpitel 7 Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft Projekt 5 Vektorers beskrivelseskrft Hvor kommer vektorerne fr? Vektorbegrebet er et f de mest produktive begreber i hele mtemtikkens historie I moderne mtemtik hr mn generliseret vektorbegrebet, så det er løsrevet både fr koordintrepræsenttionen og fr den geometriske repræsenttion med pile osv Vektorer defineres i moderne mtemtik ud fr de fundmentle regneregler, som vi også kender fr vektorerne i fx 3D Tilsvrende generliseres sklrproduktet f to vektorer ud fr de fundmentle egenskber ved det sklrprodukt mellem to geometriske vektorer, som vi kender Det generliserede sklrprodukt kldes f og til for et indre produkt Ved t løfte vektorbegrebet og sklrproduktet op til mere bstrkte begreb, løsrevet fr de geometriske vektorer, viser det sig, t mtemtiske størrelser fr helt ndre verdenen, fx bestemte funktionsklsser, også kn opfttes som vektorer I et sådnt vektorrum f funktioner bliver sklrproduktet mellem to funktioner f og g defineret som værdien f et bestemt integrl f f g Men vejen dertil vr mere end lmindelig stenet Hvis vi med vektorer forstår pile, dvs geometriske objekter, der er bestemt f to ting, en retning og en længde, så hr de været kendt meget længe som objekter, der kn repræsentere hstigheder eller kræfter Den geometriske vektorddition, som ofte beskrives med reglen om kræfternes prllelogrm hr ligeledes en historie der går meget lngt tilbge Kræfternes prllelogrm er beskrevet i en græsk bog om meknik fr 300-tllet fvt Forftteren til bogen fået nvnet pseudo-aristoteles Nvnet skyldes t mn engng troede det vr Aristoteles, der hvde skrevet det Hvis vektorbegrebet lene drejede sig om geometriske pile, hvor der er tilknyttet en ddition, så vr det ikke specielt interessnt for mtemtik Der mnglede en opertion svrende til et produkt som sklrproduktet eller vektorproduktet Og det tog meget lng tid, før de blev udviklet Derfor ser vi, t vektorer i virkeligheden er et meget nyt begreb i mtemtikkens verden Og udviklingen frem til det moderne vektorbegreb kommer fr et helt ndet sted, end rbejdet med de geometriske pile: Vektorernes oprindelse stmmer fr rbejdet med t forstå de komplekse tl og forsøget på t udvide hele vores tlbegreb fr én til to og flere dimensioner Når mn tler om t udvide tlbegrebet, så ligger implicit heri, t vi tger de 4 regningsrter, +,, og : med os, så vi fx kn løse ligninger De komplekse tl og deres geometriske repræsenttion Mn hvde kendt og nvendt komplekse tl siden midt i 500-tllet, hvor Crdno opdger formlen til t bestemme visse løsninger til tredjegrdsligningen Sådnne løsninger kunne skrives på formen + b Disse tl blev kldt for umulige tl Det virkede imidlertid, men mn mnglede en geometrisk repræsenttion for bedre t kunne forstå de nye tl Den første der åbnede porten til denne nye mtemtiske verden, vr den norsk-dnske mtemtiker og lndmåler, Csper Wessel (745-88) Vi hr i flere projekter til C-bogen beskrevet, hvordn Cspr Wessel midt i sine mnge trigonometriske beregninger f sidelængder og vinkler i det net f treknter, de første lndmålere spændte ud over lndet, fik den ide, t mn burde kunne forenkle beregningerne ved t indføre en måde t gnge trekntens sider på Og Csper Wessel fndt en sådn repræsenttion f siderne og en sådn multipliktion, der både er bestemt f sidernes længde og f hvilken retning de peger, i forhold til en bestemt fstlgt retning D multipliktionen blndt ndet indebærer, t sidernes længder gnges, så er det fktisk en udvidelse f den multipliktion, vi hr f tl på den reelle tllinje Og Csper Wessel indfører sin multipliktion, så mn også hr den modstte regningsrt, ltså division Selv om hns mål egentlig vr det omvendte, nemlig t finde tl, der kunne repræsentere geometriske objekter, så opdgede hn derigennem som den første en geometrisk repræsenttion f de komplekse tl Men hn skrev på 08 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lrudk

3 Hvd er mtemtik? Projekter: fr kpitel 7 Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft dnsk! Så den fhndling hn indleverede og fik udgivet f Videnskbernes Selskb i Københvn fik ingen udbredelse Mnge ndre mtemtikere vr også på jgt efter en geometrisk repræsenttion f de komplekse tl, og nogle få årtier inde i 800-tllet vr dette en kendt teknik Men selv om komplekse tl kn repræsenteres som pile i plnen, så vr forbindelsen til vektorer lligevel ikke etbleret For hvd med vektorer i 3D? Addition f 3D vektorer kn foretges præcis som med D Men kn mn finde en måde t gnge dem på? Spørgsmålet svrer til følgende: Findes der tredimensionelle komplekse tl? Findes der tl i højere dimensioner? Det er et f de spørgsmål, hvor vi kn dtere hvor og hvornår svret blev fundet Det skete 6 oktober 843 på en vndring lngs Royl Cnl i Dublin Willim Hmilton ( ), der hvde bkset med problemet i mnge år, vr den dg på vej til et møde i det irske Royl Acdemy Hns kone fulgte hm og hn gik og tlte lidt frværende med hende, indtil hns mtemtiske hjerne pludselig tog over og i et glimt gv hm svret: Nej der findes ikke tredimensionelle komplekse tl - men der findes firedimensionelle! Hmilton blev så overvældet, t hn med en kniv ridsede de formler, hn så for sig, ind i murværket på Broughm Bridge, som de netop psserede De nye tl, Hmilton hvde opdget, kldte hn quternioner, på dnsk: kvternioner Hmilton viede resten f sit liv til t udvikle teorien om kvternioner, og hn vr overbevist om, t de vr et universlværktøj til t løse mnge problemer i mtemtik og fysik Hmilton vr imidlertid ikke verdensmester i formidlingens kunst, så de værker hn skrev om kvternioner blev kun læst f få selv nogle f de største mtemtikere gv op over for Hmiltons komplicerede fremstilling 3 Vektorbegrebet grves ud f kvternionerne Men nogle f de største fysikere, som Jmes Clrk Mxwell (83-879) og Oliver Heviside (850-95) så mulighederne Det gik op for Mxwell, t hvis mn betrgter to tredimensionelle pile (vektorer), og b som kvternioner med 4 koordint 0, så giver Hmiltons regneregel for multipliktion f kvternioner en 4-deminsionel størrelse, der med fordel kn brydes op i to dele: et tl (en sklr), som findes som første koordint, og en tredimensionel vektor, som findes som de tre resterende koordinter Sklren er det vi i dg klder sklrproduktet b, og den tredimensionelle vektor er det vi i dg klder for vektorproduktet b Så begyndte mtemtikerne også t se mulighederne, ikke mindst efter t en f smtidens store, Josih Gibbs ( ) i 884 udsendte mtemtikhistoriens første bog om vektorregning, Elements og Vector Anlysis Så vektorerne hr vi fået fr fysikernes tolkning f mtemtikeres forsøg på t generlisere de komplekse tl til flere dimensioner Mn kunne måske umiddelbrt tro, t tredimensionelle vektorer udstyret med krydsproduktet kunne repræsentere tredimensionelle tl Men der findes ikke en modst opertion til krydsproduktet - mn kn ikke dividere: Hvis b = c kn vi ikke slutte, t b = c Hvorfor ikke? Hmiltons store opdgelse vr, t hvis yderligere sklrprodukterne er ens: b = c, så kn vi slutte, t b = c Hvorfor det? Vi skl ltså op i 4 dimensioner for t få en division med Men vektorerne viste sig t være et så produktivt begreb, t de gv grundlg for en omfttende og selvstændig udvikling inden for mtemtikken teori og nvendelser 08 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lrudk

4 Hvd er mtemtik? Projekter: fr kpitel 7 Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft Vektorer i gymnsiet I den klssiske plngeometri kendes en række sætninger om egenskber ved linjer og cirkler knyttet til treknter, som fx t de tre midtnormler ltid vil skære hinnden i ét punkt, og t dette er centrum for den såkldte omskrevne cirkel Dvs enhver treknt ABC hr den egenskb, t der findes en cirkel, der går gennem A, B og C Det er bestemt ikke indlysende, t dette må være tilfældet Men lige præcis denne sætning er forholdsvis let t bevise i den klssiske geometri For ndre sætninger er beviset lidt mere tricket Det gælder fx sætningen om, t de tre højder ltid vil skære hinnden i ét punkt Eller sætningen om, t medinerne i en treknt skærer hinnden i ét punkt, og t dette punkt deler hver medin i forholdet : Med indførelsen f vektorer får vi ofte et mere ligetil og mere elegnt rgument for påstnden Geometri i det tredimensionelle rum forekommer os i dg nærmest utænkelig uden nvendelse f vektorer, men nturligvis er det muligt Vektorer hr først vundet udbredt nvendelse inden for de sidste 00 år, og før den tid vr mn også i stnd til t bestemme fstnde mellem objekter i rummet, t projicere et punkt på en linje osv Også mere komplicerede smmenhænge kunne mn håndtere fx er kronen på værket i Euklids Elementer behndlingen f de 5 regulære polyedre Her i bog 3 beviser hn dels eksistensen f dem - ved t konstruere dem - og dels udleder hn en række f deres egenskber Men den slgs rgumenter krævede ltid gode færdigheder i t tegne og forestille sig tingene i det tredimensionelle rum Med vektorer går det ofte lettere, og den helt store fordel ved nvendelsen f vektorer i mtemtikken viser sig, når mn går op i højere dimensioner, og når mn generliserer vektorbegrebet Dette er omtlt i projektet om lineær lgebr Her vil vi holde os til plngeometriens to dimensioner og først til sidst tge et skridt ud i rummet Vi vil for hver f sætningerne gennemføre både et geometrisk og et vektorielt rgument 08 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lrudk

5 Hvd er mtemtik? Projekter: fr kpitel 7 Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft 3 Linjestykker og prllelogrmmer Sætning : Midtpunktet mellem punkterne A og B Koordinterne til midtpunktet M mellem punkterne A( x, y) og B( x, y ) kn bestemmes som: x + x, y + M y = På vektorform: Midtpunktet M mellem punkterne OM OB + OA = Bevis inden for den klssiske geometri Aog B opfylder: Ld M være midtpunktet f linjestykket AB Tegn gennem A en linje prllel med ksen, og tegn gennem M og B linjer prllelle med ksen Skæringspunkterne mellem linjerne kldes C og D se figuren: D M er midtpunkt, er AM = AB Argumenter for, t treknterne ACM og ADB er ensvinklede Argumenter for, t AC = AD, smt for t MC = BD 3 Indfør nu koordintervne A( x, y) og B( x, y) og rgumenter for, t med punkternes beliggenhed som på tegningen, så gælder AD = x x og BD = y y 4 Med punkternes beliggenhed fås x-koordinten til M ved t ddere AC til x-koordinten til A Og y-koordinten til M fås ved t subtrhere MC fr y-koordinten til A Udnyt nu dette til t vise formlen: M x + x y + y =, 08 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lrudk

6 Hvd er mtemtik? Projekter: fr kpitel 7 Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft Bevis med nvendelse f vektorer Vi udnytter konsekvent, t koordinterne til et punkt P er lig med koordinterne til punktets stedvektor OP Derved oversættes punkter umiddelbrt til vektorer Vi udnytter endvidere vektorregnereglen: AB = OB OA, der kommer fr indskudssætningen Vi strter næsten som før, men nu med en vektorligning: Angiv selv hvd der sker AM = AB OM OA OM OA OM OM = ( OB OA) OB OA = OB OA + OA = OB + OA = Nu hr vi en ligning kun med stedvektorer, så her kn vi indsætte koordinterne og får formlen, idet vektorkoordinter dderes koordintvis Det er nok svært t rgumentere for t den sidste version er meget lettere end den første Men vi ser, t den store forskel på, de to metoder er, t i den geometriske version skl mn få en god ide, og hvor kommer den lige fr? (Her vr den nok ret ligetil) I den vektorversionen opløses vektorerne ofte i de simplest mulige former og så regner mn bre som i ligninger eller reduktioner Efter hver f de følgende sætninger opfordres holdet til t drøfte i grupper hvd der er kernen i hver f beviserne og så smmenligne sværhedsgrd, elegnce og ndet I synes dskiller bevistyperne Sætning : Digonlerne i et prllelogrm I ethvert prllelogrm gælder, t digonlerne hlverer hinnden Tegn et prllelogrm ABCD og tegn digonlerne De skærer hinnden i punkter M Bevis inden for den klssiske geometri Argumenter for t treknterne AMD og BMC er kongruente, ved t påvise, t treknterne hr én side og de to hosliggende vinkler lige store Så kn treknterne briunges til t dække hinnden Argumenter nu for t AM er det hlve f AC og BM er det hlve f BD 08 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lrudk

7 Hvd er mtemtik? Projekter: fr kpitel 7 Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft Bevis med nvendelse f vektorer Vi viser, t AM = AC Tilsvrende kn vises, t BM = BD Angiv selv i de tomme felter, hvd der sker AM = AO + OM Indskudssætningen = AO + AO + OB + OD = AO + OB + AO + OD = AB + AD = AB + BC = AC Anvend sætning Heller ikke ved disse små beviser kn mn se en særlig fordel ved t bruge vektorer Men i den geometriske verden skl mn kende en række specilsætninger, mn trækker på I vektorernes verden er det grundlæggende værktøj indskudssætningen Sætning 3: Kvdrtsummen f digonlerne Ld ABCD være et prllelogrm, ld x og y betegne de to sidelængder, og ld digonler Så gælder: d + d = x + y d og d betegne de to Tegn et prllelogrm ABCD og tegn digonlerne Sæt betegnelser på sider og digonler: 08 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lrudk

8 Hvd er mtemtik? Projekter: fr kpitel 7 Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft Geometrisk bevis Her henter vi viden ind fr trigonometrien og nvender cosinusreltionerne Læg mærke til, t prllelogrmmet kn klippes i treknter op på to måder, som du ser på figuren Cosinusreltionerne i treknt T: d = x + y x y cos( v), hvor v er vinklen mellem siderne x og y i treknt T Cosinusreltionerne i treknt T3: d = x + y x y cos( w), hvor w er vinklen mellem siderne x og y i treknt T3 Argumenter nu for, t w= 80 v Argumenter for, t vi derf kn slutte, t cos( v) = cos( w) 3 Konkluder nu ved t lægge de to ligninger smmen Bevis med nvendelse f vektorer Af tegningen f prllelogrmmet ser vi: d = BD = AD AB d = AC = AD + DC = AD + AB Kvdrtsætningerne for vektorer giver nu: ( ) ( ) d = AD AB = AD AB = AD + AB AD AB d = AD + AB = AD + AB = AD + AB + AD AB Læg smmen og konkluder 08 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lrudk

9 Hvd er mtemtik? Projekter: fr kpitel 7 Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft 4 Midtnormler og højder i en treknt Sætning 4: Midtnormlerne i en treknt I enhver treknt gælder, t de tre midtnormler skærer hinnden i smme punkt, og t dette punkt er centrum for en omskreven cirkel Vi tegner en treknt ABC, og mrkerer de tre midtpunkter, M, Mb og M c Vi oprejser de vinkelrette i punkterne Disse to midtnormler skærer nturligvis hinnden i et punkt M M og M Spørgsmålet er nu, om den tredje midtnorml vil gå gennem det smme punkt Dette kn omformuleres til følgende, der er lettere t undersøge: Vi trækker linjen fr M til Spørgsmålet er nu, om denne linje er midtnorml til den sidste side M c b Geometrisk bevis Også her nvender vi en viden om kongruente treknter: M ligger på midtnormlen gennem kongruente M b Argumenter for, t herf kn slutte, t treknterne AMM b og CMM b er Nu ved vi ltså, t MA og MC er lige lnge Argumenter på smme måde for t MC og MB er lige lnge 3 Når MA og MC er lige lnge, og ligeledes MC og MB er lige lnge, så er MA og MB er lige lnge 4 Argumenter for, t treknterne BMM c og AMM c er kongruente 5 Argumenter ud fr punkt 4, t så må vinklerne ved M c være lige store og derved være lig med 90 o Dvs linjen MM c er midtnormlen til c Altså midtnormlen til c går også igennem M Vi bemærker, t undervejs i beviset fik vi som et spinoff resulttet, t der er lige lngt fr M til de tre hjørner, dvs M er centrum for en cirkel gennem de tre hjørner 08 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lrudk

10 Hvd er mtemtik? Projekter: fr kpitel 7 Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft Bevis med nvendelse f vektorer Hvis M ligger på midtnormlen gennem M c, så skl gælde, t MMc AB I vektorernes verden undersøges dette ved t se, om sklrproduktet er 0: MM AB = 0? Vi nvender nu, t Vis, t MM AB 0 c Mc er midtpunkt, dvs sætning : = er ensbetydende med: ( ) Omskriv denne ligning til: ( ) OB OA = OM AB OB + OA OM AB = 0 Det er dette vi ønsker t vise Men nu udtrykker vi blot det vi ved på smme måde: 3 Vis, t ( ) ( ) MM CB = 0 OB + OC OM CB = 0 MM AC = 0 OA + OC OM AC = 0 b 4 Vis, t dette kn omskrives til: ( ) ( ) OB OC = OM CB OC OA = OM AC c 5 Adder de to ligninger og vis, t vi kn omskrive til det ønskede: ( ) OB OA = OM AB Dette udtrykte som vi så ovenfor, t MMc AB, dvs M ligger på midtnormlen gennem M c Vi bemærker, t her skl vi tilføje rgumentet, t hvis M ligger på lle midtnormler, er der lige lngt til lle hjørner, dvs M er centrum for en cirkel gennem de tre hjørner 08 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lrudk

11 Hvd er mtemtik? Projekter: fr kpitel 7 Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft Sætning 5: Højderne i en treknt I enhver treknt gælder, t de tre højder skærer hinnden i smme punkt Tegn en tilfældig treknt, ABC, og tegn højderne fr A og fr B Højderne skærer de modstående sider i henh H og H b Højderne skærer hinnden i et punkt, vi klder for H Træk linjen fr H til C Påstnden er nu, t denne linje ligger på højden fr C Geometrisk bevis En f de centrle erfringer, mn gør sig når mn hr rbejdet med mnge og mnge forskellige geometriske problemer er, t mn ldrig skl være bnge for t udvide den givne tegning ved t tilføje nye linjer At tegne en sådn linje, der fører mod målet, hører til ktegorien t få en god ide Gode ideer kommer ikke ud f det blå, men bygger på ens viden og erfring I dette tilfælde hr vi llerede en vis viden om linjer ved treknter: Sætning 3 siger t midtnormlerne skærer hinnden i et punkt Hvis vi nu gennem A tegner en linje prllel med, gennem B tegner en linje prllel med b, og gennem C tegner en linje prllel med c, så får vi en ny treknt A B C Argumenter for, t de tre højder i den gmle treknt også står vinkelret på siderne i den nye store treknt Firknterne ABA C, AC BC, ABCB er ud fr konstruktionen lle prllelogrmmer (overvej det!) Anvend dette til t vise, t vise: C ' B = BA' B' C = CA' C ' A = AB' 3 Anvend nu sætningen om midtnormlerne til t konkludere t de tre højder skærer hinnden i smme punkt 08 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lrudk

12 Hvd er mtemtik? Projekter: fr kpitel 7 Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft Bevis med nvendelse f vektorer Vi tegner lige treknten med de to højder smt linjen fr C til H igen Vi skl vise, t CH ligger på højden fr C Vi ved, t BH AC, og derfor: BH AC = 0 AH BC, og derfor: AH BC = 0 Omskriv til: ( BC + CH) AC = 0 ( AC + CH) BC = 0 Vis, t vi ud fr de to ligninger får følgende: CH AC CH BC = 0 CH AB = 0 3 Vis, t dette kn omskrives til: og konkluder, t CH ligger på højden fr C Selv om det geometriske bevis rummer et flot rgument, så bygger det jo grundlæggende på, t mn får den gode ide med t tegne den store treknt Vektorbeviset er derimod helt ligetil 08 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lrudk

13 Hvd er mtemtik? Projekter: fr kpitel 7 Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft 5 Medinerne i treknter og i tetredre Sætning 6: Medinerne i en treknt I enhver treknt gælder, t de tre mediner skærer hinnden i smme punkt, og t dette punkt deler hver f medinerne i forholdet : På vektorform: punktet M er bestemt ved: OM = OA + OB + OC Tegn en tilfældig treknt, ABC, og tegn medinerne fr A og fr B Medinerne skærer de modstående sider i henh M og M b Medinerne skærer hinnden i et punkt, vi klder for M Geometrisk bevis Vi skl vise, t punktet M deler medinerne i forholdet :, dvs vise, t BM = MMb og AM = MM Kn vi vise det, så ville vi få smme resultt, hvis vi strtede med medinerne M og M Men det må betyde, t punktet M både er skæringspunkt for M og M og for M og M, dvs medinerne skærer hinnden i det smme punkt M Når vi skl vise noget om et forhold mellem siderne, så er metoden normlt t lede efter ensvinklede treknter Hvis vi plcerer os i C og herfr sklerer treknt ABC ned med, så vil A blive ført over i og B over i, og dermed linjen AB over i linjen fr Herf får vi, dels t linjerne AB og t M M = AB b M b M til M b M b MM er prllelle, dels Vis t treknterne MAB og MMM b er ensvinklede Vis t AM = MM og BM = MMb c 3 Forklr, hvordn vi med en nden tegning tilsvrende kunne nå frem til, t BM = MMb og CM = MMc 3 fslut nu selv beviset ved t rgumentere for, t vi herf kn slutte det, sætningen siger c 08 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lrudk

14 Hvd er mtemtik? Projekter: fr kpitel 7 Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft Bevis med nvendelse f vektorer I treknt ABC tegner vi medinen fr A, og fsætter punktet M på medinen således t AM = AM Vi vil 3 finde et udtryk for M, eller som vektor: for OM, og ud fr dette rgumentere for, t medinerne skærer hinnden i M Vis t: Udnyt t OM = OA + AM 3 3 ( ) = OA + OM OA M er midtpunkt, og nvend sætning til t omskrive så vi før følgende udtryk: OM = OA + OB + OC Argumenter nu for, t unset hvilken medin vi vr strtet med, så ville vi få smme formel, og for, t dette viser sætningen Igen ser vi, t selvom det geometriske bevis kn være smukt i sit ræsonnement, så skl vi her hver gng mobilisere en ny viden om geometri, mens det vektorielle bevis igen hovedsgeligt nvender indskudssætningen Begge beviser bygger på den formodning om forholdet : som udtrykkes i sætningen Hvornår mn første gng indser dette ved vi ikke, men det er tidligt i den græske mtemtiks historie, og det er sikkert som meget ndet opstået ud fr erfringen - og derefter prøver mn t bevise det 08 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lrudk

15 Hvd er mtemtik? Projekter: fr kpitel 7 Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft Øvelse Argumenter for, hvorfor medinernes skæringspunkt også kldes for trekntens tyngdepunkt (Hint: Vi forestiller os, t treknten er en fysisk genstnd med en ensrtet msse, fx en pp-treknt Argumenter først for t en medin deler en treknt i to med ens rel Tegn derefter linjer gennem hver f de to treknter, der er prllelle med medinen og som hr smme fstnd til medinen Vis t disse linjer hr smme længde Konkluder) Sætning 7: Medinerne i et tetreder I et vilkårligt tetreder ABCD skærer de 4 mediner hinnden i smme punkt M Punktet M er bestemt ved: OM = OA + OB + OC + OD Vi tegner et tetreder ABCD (en trekntet pyrmide), og skl ltså forestille os, t i treknten i bunden rger punktet D ud f flden, ud mod os Hver f de 4 sideflder er en treknt og for hver f dem bestemmer vi medinernes skæringspunkt Det er på figuren mrkeret som M, M, M3 og M 4 Tetrederets mediner er linjerne fr et hjørne til den modstående treknts medinpunkt (tyngdepunkt) Se figuren Den ene påstnd i sætningen er nu, t disse 4 linjer går gennem smme punkt Den nden påstnd er t dette punkt er gennemsnittet f de 4 hjørnepunkter Vi vil kun gennemføre et vektorielt bevis, d det geometriske bliver for indviklet i det generelle tilfælde Vi vender tilbge til det geometriske bevis i tilfældet med et regulært tetreder (lle sider hr smme længde) Ld M være bestemt ved t punktet ligger på medinen AM 4 AM = AM Dette skriver vi på vektorform og finder et udtryk for OM : OM = OA + AM = OA + AM = ( 4 ) = OA + OM OA Øvelse ) Argumenter for omskrivningerne og fuldfør selv disse, ved t udnytte sætning 6 b) Argumenter for, t når vi hr fundet dette udtryk for OM, så vil punktet M være et fælles skæringspunkt for de fire mediner, og t det deler denne i forholdet 3: Dvs Mn kn finde en spektkulær nvendelse f denne viden om tetrederet i Steen Mrkvorsens film, Skumstrukturer og minimlflder, og mn kn rbejde videre med tetrederets egenskber i det tilhørende projektmterile Filmen indgår i serien: Mtemtisk forskning 0 dnske mtemtikere 0 mtemtiske fortællinger, som mn kn få dgng til vi Hjemmesiden 08 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lrudk

Projekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft

Projekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Projekt 65 Vektorers eskrivelseskrft Indhold Vektorer i gymnsiet Linjestykker og prllelogrmmer Bevis inden for den klssiske geometri Bevis med nvendelse f vektorer 3 Digonlerne

Læs mere

Projekt 8.4 Logaritmefunktionerne

Projekt 8.4 Logaritmefunktionerne Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Indhold. log( ) og 0 som omvendte funktioner... 2 2. Den nturlige logritmefunktion, ln( ) og den nturlige

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deducere sig til og konstruere sig til ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige,

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Projekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb

Projekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer.... Multipliktion f vektor med et tl... 4. Opløsning f en vektor efter

Læs mere

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y GEOMETRI Generelt om inkler Nottion for inkler: u, A, BAC Topinkler er lige store, x y Komplementinkler er inkler, der tilsmmen er 90 u + 90 Supplementinkler er inkler, der tilsmmen er 180 (I stedet for

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Det dobbelttydige trekantstilfælde

Det dobbelttydige trekantstilfælde Det dobbelttydige trekntstilfælde Heine Strømdhl, Københvns Kommunes Ungdomsskoler Formålet med denne rtikel er t formulere en meget simpel grfisk løsningsmetode til det dobbelttydige trekntstilfælde med

Læs mere

Projekt 7.8 To ligninger med to ubekendte

Projekt 7.8 To ligninger med to ubekendte Projekt 78 To ligninger med to uekendte Den opgve t skulle løse to ligninger med to uekendte er vi stødt på i en række speciltilfælde under ehndlingen f vækstmodellerne: Funktionstype Ligningssystem Lineær

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Elementær Matematik. Trigonometri

Elementær Matematik. Trigonometri Elementær Mtemtik Trigonometri Ole Witt-Hnsen 11 Indhold 1. Vinkler...1. Sinus, osinus og tngens...3.1 Overgngsformler...4 3. Den retvinklede treknt...6 4. Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne...8

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Elementær Matematik. Plangeometri

Elementær Matematik. Plangeometri Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5.

Læs mere

( ) Projekt 7.17 Simpsons formel A A A. Hvad er matematik? 3 ISBN

( ) Projekt 7.17 Simpsons formel A A A. Hvad er matematik? 3 ISBN Projekt 7.7 Simpsons formel Simpson vr søn f en selvlært væver, og skulle egentlig selv hve været en væver, men en solformørkelse vkte hns interesse for mtemtik og nturvidensk og mod lle odds lykkedes

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Analysens Fundamentalsætning

Analysens Fundamentalsætning Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

2 Erik Vestergaard

2 Erik Vestergaard Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 3 Definition 1 En funktion på formen f ( x) = b x, x R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

gudmandsen.net Geometri C & B

gudmandsen.net Geometri C & B gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Elementær Matematik. Analytisk geometri

Elementær Matematik. Analytisk geometri Elementær Mtemtik Anltisk geometri Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. koordintsstemet.... Afstndsformlen.... Liniens ligning...4 4. Ortogonle linier...7 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte....7 6.

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2 og 3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2 og 3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Figurer. Planere: glatte, udjævne. Linjer. EB og AI, GK og HJ, MO og NP. Linjer. Vinkler Plane figurer Flytninger. 2 Linjestykker. 1 Hvad husker I?

Figurer. Planere: glatte, udjævne. Linjer. EB og AI, GK og HJ, MO og NP. Linjer. Vinkler Plane figurer Flytninger. 2 Linjestykker. 1 Hvad husker I? Figurer Linjer Vinkler Plne figurer Flytninger Plnere: gltte, udjævne 1 Hvd husker I? 2 2 Linjestykker Fortsæt sætningerne. En linje er... Et linjestykke er... Tegn linjestykkerne: I, C, CE, F og FI. b

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Trigonometri FORHÅNDSVIDEN

Trigonometri FORHÅNDSVIDEN Trigonometri I dette kpitel skl du rejde med trigonometri. Ordet trigonometri stmmer fr græsk og etyder trekntsmåling. Den mtemtik, der ligger g trigonometrien, hr du llerede rejdet med. Det drejer sig

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

ANALYSE 1, 2015, Uge 2

ANALYSE 1, 2015, Uge 2 ANALYSE 1, 2015, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

Projekt 8.5 Linearisering og anvendelsen af logaritmiske koordinatsystemer

Projekt 8.5 Linearisering og anvendelsen af logaritmiske koordinatsystemer Projekt 8.5 Linerisering og nvendelsen f logritmiske koordintsystemer (Dette projekt forudsætter, t mn hr rbejdet med logritmefunktionerne, f i kpitel 3 eller i projekt 8.4, så mn er fortrolig med logritmereglerne)

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Projekt Det udelukkede tredjes princip

Projekt Det udelukkede tredjes princip ISBN 978 87 7066 87 9 Projekter: Kitel 10 Projekt 10.11. Det udelukkede tredjes rinci Indhold Indirekte beviser... Eksemel 1. Bevis for t ikke kn skrive som en brøk, dvs er inkommensurbel med tllet 1...

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler sætninger om trekanter, trekantens ydre røringscirkler, to cirklers radikalakse samt Simson- og Eulerlinjen i en trekant.

Læs mere

Implicit differentiation Med eksempler

Implicit differentiation Med eksempler Implicit fferentition Implicit fferentition Indhold. Implicit fferentition.... Tngent til ellipse og hperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Formelsamling til delprøve 1

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Formelsamling til delprøve 1 Mtemtik A Højere teknisk eksmen Formelsmling til delprøve Mtemtik A Højere teknisk eksmen Formelsmling til delprøve Forfttere: Jytte Melin og Ole Dlsgrd April 209 ISBN: 978-87-603-3238-8 (web udgve) Denne

Læs mere

Geometriske egenskaber & sammenhæng - Fase 3

Geometriske egenskaber & sammenhæng - Fase 3 Nvn: Klsse: Geometriske egensker smmenhæng - Fse 3 Vurdering fr 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer eviser og forslg til foredring 1. Jeg kender til og kn ruge Pythgors lærersætning. 2. Jeg

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning,

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning, 15.1. Komplekse integrler 293 læse, og hvordn gør mn det i prksis? Men den virkelige motivtion bg begrebet bliver udst til fsnit 18.5, hvor vi viser t foldning f sndsynlighedsmål lder sig udtrykke meget

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Implicit differentiation

Implicit differentiation Implicit differentition Implicit differentition Indhold. Implicit differentition.... Tngent til ellipse og hyperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

ANALYSE 1, 2013, Uge 2

ANALYSE 1, 2013, Uge 2 ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

Introduktion I dette forløb vil vi dels få et redskab til at sammenligne, hvor hurtigt givne funktioner vokser (eller aftager), og dels

Introduktion I dette forløb vil vi dels få et redskab til at sammenligne, hvor hurtigt givne funktioner vokser (eller aftager), og dels Hvd e mtemtik? 2 Pojekte: Kpitel 5. Pojekt 5.18 Støelsesoden fo funktione Pojekt 5.18 Støelsesoden fo funktionene, og ln( ) Intoduktion I dette foløb vil vi dels få et edskb til t smmenligne, hvo hutigt

Læs mere

Skumstrukturer og minimalflader

Skumstrukturer og minimalflader PROJEKTMATERIALE : INDLEDENDE EMNER. GEOMETRI, VEKTORREGNING OG KRUMNINGSTEORI steen markvorsen Skumstrukturer og minimalflader MATEMATISK FORSKNING 0 DANSKE 0 MATEMATIKERE MATEMATISKE FORTÆLLINGER Film

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

Sfærisk Geometri Ole Witt-Hansen nov. 2016

Sfærisk Geometri Ole Witt-Hansen nov. 2016 Sfærisk Geometri Ole Witt-Hnsen nov. 6 Indhold. Geometri på en kugle.... Sfæriske toknter og treknter...3. Polrtreknter...4 3. Den retvinklede sfæriske treknt...5 4. Beregning f sider og vinkler i den

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 38, 010 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter 1 l Hopitls regler Afsnit 4.3 l Hopitls regel I omhndler beregning f grænseværdier f formen lim x f(x) g(x), hvor

Læs mere

Projekt 7.3 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 7.3 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Hv er mtemtik? Projekt 7.3 Firkntstrigonometri og Ptolemios sætning i ykliske firknter Trigonometrien til eregning f ukente vinkler, sier og reler for treknter er stort set utømt me ulening f sinusreltionerne,

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

Integrationsteknikker

Integrationsteknikker Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1

Læs mere

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se.

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se. Forord. Det isoperimetriske problem går i l sin enkelhed ud på t finde den lukkede kurve i plnen, blndt en mængde f kurver lle med smme omkreds, som fgrænser det størst mulige rel. Løsningen til det isoperimetriske

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

Tips. til træningsambassadørerne

Tips. til træningsambassadørerne Tips til træningsmbssdørerne NÅR I TRÆNER GENERELT 1. Brug et motiverende sprog også selvom du fktisk er lidt træt. Du kn for eksempel sige: Jeg er mx klr til træning hvd med dig? Er du frisk?! 2. Din

Læs mere

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.

Læs mere