Besvarelser til Calculus Reeksamen August 2017
|
|
- Torben Thomsen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Besvarelser til Calculus Reeksamen -. August 7 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende til opgave at forklare, hvordan man kommer frem til facit i de enkelte opgaver. Der er altså ikke afkrydsningsfelter, der er kun facit og tilhørende udregninger. Udregningerne er meget udpenslede, så de este kan være med.
2 Indhold Opgave 3 Opgave 4 Opgave 3 6 Opgave 4 7 Opgave 5 Opgave 6 3 Opgave 7 5 Opgave 8 7 Opgave 9 9 Opgave Opgave Opgave 4
3 Opgave En funktion er deneret ved for en reel parameter x. f(x) e (x ) a. Bestem den dobbelt aedede, f (x). Anvend kædereglen: (h(g(x))) h (g(x)) g (x), hvor h(y) e y og g(x) x. Dierentieres h i forhold til y og g i forhold til x fås: Lad y g(x), hvorfor vi får: h (y) e y, g (x) x. f (x) (h(g(x))) h (g(x)) g (x) e (x) x. Vi husker, at f(x) e (x), hvorfor f (x) kan skrives som x f(x). Det ses, at f (x) er et produkt af to funktioner: x og f(x). Dermed kan produktreglen (for to funktioner, vi kalder p og q) benyttes: (p(x) q(x)) p (x) q(x) + p(x) q (x). I vores tilfælde er p(x) x og q(x) f(x). Dermed er Hvorfor vi får p (x), q (x) f (x) xe (x). f (x) e (x) + x xe (x) e (x) + 4x e (x) ( + 4x )e (x). Det kan bemærkes, at f (x) ( + 4x )f(x). b. Bestem anden ordens Taylor polynomiet med udviklingspunkt i x. Det generelle anden ordens Taylor polynomiet er givet ved: P (x) f(a) + f (a) (x a) + f (a) (x a), hvor a er udviklingspunktet. Vi har: f() e () e, f () f() e, f () ( + 4 )f() 6e. Dermed opnås følgende: P (x) e + e(x ) + 6e(x ) e + e(x ) + 3e(x ). INDHOLD 3
4 Opgave En kurve i planen er givet ved x t y t 3, hvor parameteren t gennemløber de positive reelle tal. a. For hvilken værdi af t går kurven gennem punktet P (, ). Betragt y t 3. Isoleres t i denne fås: Dermed kan y-koordinaten indsættes: t 3 y. t 3 3. Vi kan lige prøve at smide t ind i ligningen for x for at se, om det rent faktisk giver det -tal, vi skal have: x. Yes. Punktet passer altså med t. Bemærk: Jeg valgte at betragte y, da t ± x, hvorfor vi kun ville have to mulige værdier. Her sikrede y derimod én værdi, da t var opløftet i en ulige potens, 3. b. Angiv en hastighedsvektor for kurven i punktet P. Vi dierentierer blot x og y i forhold til t og indsætter punktet P 's tilsvarende t-værdi, hvilket er t. Vi har: x (t) t x (), y (t) 6t y () 6 6. Hermed bliver hasighedsvektoren for kurven til t : [ ] [ ] x v () y. () 6 Bestem kurvens krumningsnradius ρ(p ) κ(p ) i punktet P. Vi husker formlen for krumning: κ(t) x (t)y (t) x (t)y (t) (x (t)) + (y (t)) 3. Vi skal altså først nde den anden ordens aedede for x og y: x (t) x (), y (t) t y (). INDHOLD 4
5 Dermed fås: κ Da det er ρ vi skal nde, fås: ρ(p ) κ(p ) INDHOLD 5
6 Opgave 3 En kurve i rummet er givet ved x t, 6 y t, z t 3, hvor parameteren t gennemløber de positive reelle tal. a. Bestem et udtryk for farten, v(t). Farten er givet ved formlen v(t) (x (t)) + (y (t)) + (z (t)). Vi udregner altså først de første ordens aedede: x (t), y (t) 6t, z (t) 3t. Derme fås: v(t) + ( 6t) + (3t ) + 6t + (3t ). Vi bemærker, at 6t er det dobbelte produkt af og 3t, derudover er både og 3t blevet kvadreret i udtrykket. Husk kvadratsætningen, der siger (a+b) a +ab+b. Denne kan vi altså anvende: v(t) + 6t + (3t ) ( + 3t ) + 3t. b. Hvad er buelængden af kurven fra t til t? Her skal farten blot integreres i forhold til t med de givne grænser. Vi har: v(t) dt +3t dt [ t + 3 ] 3 t3 [ t + t 3] (+3 ) (+ 3 ) 8. INDHOLD 6
7 Opgave 4 En funktion f er deneret i første kvadrant (x >, y > ) ved f(x, y) x + 8y + xy. Det oplyses, at grafen for funktionen er en opadgående skål - værdierne går mod, når x eller y nærmer sig eller vokser ud over alle grænser. a. Find (d)et kritisk(e) punkt for funktionen f. Jeg vælger at dierentiere og sætte de aedede lig. Først vil jeg dog påpege, at jeg altid omskriver brøker, da /x x. Det er lettere for mig at huske dierentiering af denne type: f(x, y) x + 8y + (xy). Så kan kædereglen anvendes, da den ydre funktion er (-) og den indre er xy. Vi har: f x (x, y) (xy) y y x y x y, f y (x, y) 8 (xy) x 8 x x y 8 xy. For at nde et kritisk punkt skal vi nde de x- og y-værdier, der opfylder f x (x, y) og f y (x, y). Vi isolerer først y i f x (x, y) : x y x y y x. Denne værdi for y kan så indsættes i f y (x, y), hvori x kan isoleres: 8 x ( ) 8 x 8 8 x 3 x 3 8 x x x 4 x 3 Det vil sige, at der kun er kritiske punkter i x. Denne kan så indsættes i det udtryk, vi fandt for y: y 4. Der er altså KUN ét kritisk punkt, og det er i punktet (, 4 ). b. Bestem hvilken af udsagnende, der er det korrekte. Vi ved betragter i opgaven kun funktionen i den første kvadrant (positive x- og y-værdier). Vi ved, at aden danner en opadgående skål. Altså vokser denne mod uendelig i alle retninger i først kvadrant. Der eksisterer altså IKKE et global maksimum, da vi altid kan nde en større værdi. Følgende gur viser en funktion med ét kritisk punkt samtidig med, at den danner en opadgående skål (dog kun en to-dimensionel graf). INDHOLD 7
8 'Okay, okay, Mikkel, men kan det så være et lokalt maksimum?' Nej, kig på følgende gur: Den eneste måde, der kan være et lokalt maksimum er, hvis funktionen aftager i alle retninger omkring dette maksima. Men hvis vi ved, at funktionen skal vokse mod uendeligt i alle retninger, betyder dette, at der må være steder, hvor funktionen vender - det vil sige lokale minima. Men 'vendepunkter' karakteriserers også ved, at de er kritiske punkter, og vi fandt udelukkende ét kritisk punkt for funktionen i INDHOLD 8
9 opgave a. Dermed kan der ikke eksistere et maksimum, hverken globalt eller lokalt. 'Meeeen siger du så, at det kan være et saddelpunkt?' Næ, det gør jeg skam ikke. Et saddelpunkt kræver, at funktionen er voksende i en retning og aftagende i en anden. I ovenstående gur ser vi, at funktionen er aftagende, hvis man går mod venstre fra sadelpunktet. Ligeledes er funktionen voksende, hvis man går til højre for sadelpunktet. Det ses, at i den aftagende retning venter et (lokalt og globalt) minimum. Men i dette tilfælde har vi altså to kritiske punkter, hvilket ikke er vores tilfælde, hvor vi kun har ét! 'Kan vi så helt udelukke sadelpunkter?' Ikke endnu! Kig på følgende gur: INDHOLD 9
10 Denne har kun ét kritisk punkt, og dette er et sadelpunkt! Men hvad gælder lige præcis i dette tilfælde? Jo, funktionen går mod minus uendeligt, når x går mod uendeligt. Ligeledes går funktionen mod uendeligt, når x går mod uendeligt. Det vil sige, at der ndes kun ét kritisk punkt, som også er et sadelpunkt, når funktionen hverken har et globalt maksimum eller minimum i det område, der betragtes. Det er så her, vi husker, at vores funktion danner en skål, der vokser mod uendeligt i alle retninger (når x eller y eller x eller y ). Vi ved ydermere, at x > og y >, hvorfor vores funktion f(x, y) ikke kan blive negativ (der indgår ingen minusser i funktionen). Derfor kan vores funktion ikke stikke af mod (eller blive negativ i det hele taget). Der er ingen problemer med singulariteter i de kvadrantets indre punkter - udelukkende i randen, som er givet til at vokse mod uendeligt. 'Godt, så det skal være et minimum. Men er det udelukkende lokalt, eller er det også INDHOLD
11 globalt?' Jamen er det ikke simpelt? Vi har etableret, at der kun er problemer på randen i forhold til singulariteter, hvorfor der altså må være tale om et GLOBALT minimum. Skulle det ikke have været et globalt minimum, skulle vi døje med singulariteter i de indre punkter, eller også skulle der have været et andet kritisk punkt, som var et minimum. Men begge påstande er skudt i jorden. 'Okay, der er to muligheder tilbage, hvad gør jeg?' Du indsætter bare det kritiske punkt (aka. globale minimum) i funktionen f: ) f (, Svaret skulle nu være åbenlyst INDHOLD
12 Opgave 5 En funktion er givet ved f(x, y) y x. a. Funktionen f har en denitionsmængde. Hvilken mængde af punkter er ikke inkluderet i denne? Vi spørger os selv: 'Hvilke værdier brokker den her funktion sig ved?', og vi svarer prompte: 'Det er sgu ikke for godt, hvis nævneren i en brøk bliver!'. Derfor er funktionen ikke deneret for x. Vi isolerer x og får, at x. Altså er alle punkter, hvor x ikke inkluderet i denitionsmængden! Hvad med y? Den kan bare variere frit, hvis x er på, så har vi katastrofen uanset, hvilken værdi y har. Det er derfor y-aksen, som vi ikke må have med i vores denitionsmængde. b. Beskriv niveaukurven for f(x, y). Vi sætter altså funktionen lig : f(x, y) y x. Lad os gange med x på begge sider: y x. Vi ser altså en parabel, der har en positiv koecient for x. En positiv koecient for x betyder en glad parabel - grenene vender opad. Vi skal bare lige huske, at x ikke er deneret for f, derfor er Origo heller ikke med for funktionen. Grunden til, at det kun er Origo, vi fjerner er, at y, hvorfor (, ) er det eneste tal, vi ikke kunne lide fra opgave a, der er repræsenteret ved niveaukurven. c. Beskriv niveaukurven for f(x, y). Vi gør det samme som før: f(x, y) y x. Gang med x på begge sider: y x. Vi kræver altså, at y, hvilken er x-aksen. Vi husker dog stadig på, at x, så vi fraregner Origo. INDHOLD
13 Opgave 6 Et rumligt legeme L afgrænses af trekanten i XY -planen givet ved x, y og y x + samt aden givet ved z x y. a. Hvilke af de følgende integraludtryk beregner legemets rumfang/volumen? Det første integraludtryk indeholder kun et enkelt integral men to integrationsvariable. Denne giver altså ikke mening. Dernæst haves x+ ( x y ) dy dx. Denne er en direkte omsætning af opgaveteksten til matematik. Der er altså intet at sætte en nger på. Betragtes y x + kan vi trække fra på begge sider og få y x. Vi ved, at x er nedadtil begrænset af y, derfor skal vi vælge den mindste værdi for y for at nde den absolutte nedre grænse. Vi ved, at y er nedadtil begrænset af, hvor x. Altså haves grænserne x og y x +. Fra før havde vi y x. Vi ved ydermere, at x skal være mindre end nul. Derfor kan y, som er opadtil begrænset af x+ maksimalt blive, da vi skal gøre x så stort som muligt. Dermed kan grænserne også skrives som y og y x., hvorfor x+ ( x y ) dy dx. er et gyldigt udtryk for volumen af legemet L. For integraludtrykket x+ ( x y ) dy dx, bør vi lige indse et par ting. Først x y er en parabloide i rummet, der vender nedad. (Forestil dig kuppel, der rammer XY -planet.) Denne kupel er symmetrisk omkring Origo, så vi skal nde ud af, om det område, vi kigger på, er magen til det, der er beskrevet i udtrykket. Områderne er skitseret i guren på næste side. Det gule område er de x- og y-værdier vi faktisk vil have. De blå område er de x- og y-værdier, som vi regner med i det sidste integraludtryk. Vi ser altså, at der ikke er en symmetrisk overensstemmelse. Cirklen er en projektion af z x y ned på XY -planen. INDHOLD 3
14 b. Hvad er legemets rumfang/volumen? Vi vælger et af de godkendte integraler til at regne videre på: x+ ( x y ) dy dx [( x )y 3 ] x+ y3 dx ( x )(x + ) 3 (x + )3 dx x + x 3 x 3 (x3 + 3x + 3x + ) dx x 3 x + x + 3 x3 x x 3 dx 4 3 x3 x + 3 dx [ 3 x4 3 x3 + ] 3 x ( 3 ( )4 3 ( )3 + 3 ) ( ) 3. INDHOLD 4
15 Opgave 7 Et rumligt legeme T har form af et tetraeder afgrænset af re planer; det er givet ved x, y, z og x+y +z og har en massetæthed (densitet) δ(x, y, z) x. Hvad er massen af T? Svar: Vi skal have opstillet et triple-integral, hvor vi integrerer densiteten, dvs. x. Vi skal først have opstillet grænserne. Betragt x + y + z. Vi kan trække x og y fra på begge sider og få: z x y. Dermed er z x y, hvorfor grænserne for integralet, der integrerer i forhold til z, er fundet. Men hvad ved vi mere? Jo, fra disse grænser, ser vi, at x y y x. Vi har altså brugt grænserne for z til at sige noget om grænserne for y. Vi ved nu, at y x, hvorfor grænserne for integralet, der integrerer over y, er fundet. Slutteligt kan vi bruge disse grænser til at opstille dem for x: Vi opsummerer altså grænserne: x x. x, y x, z x y. Dermed kan integralerne til udregning af massen opstilles: x x y x dz dy dx x x ( x y)x dy dx x x yx dy dx [ (x x )y y x ] x dx (x x )( x) ( x) x dx x x x + x 3 ( x + x )x dx x x + x 3 (x x + x 3 ) dx x x + x 3 x + x x3 dx INDHOLD 5
16 x x + x3 dx [ 4 x 3 x3 + ] 8 x INDHOLD 6
17 Opgave 8 En funktion er givet ved f(x, y) ln(y x ). a. Funktionen f har en denitionsmængde. Angiv HELE denitionsmængden. I situationer med denitionsmængder spørger vi os altid: 'Hvor kan det gå galt og for hvilke værdier, går det galt?'. Betragter vi den yderste funktion ln, ved vi, at denne kun må tage argumenter, der er strengt større end. Dvs. denitionsmængden for funktionen ln(z) er z >. I vores tilfælde svarer z så til y x. Vi har altså Dermed har vi svaret på spørgsmålet. y x > y > x. b. Bestem den anden ordens partielle aedede f xy (x, y). Vi benytter kædereglen og har ved dierentiation af x: f x (x, y) y x ( x) x y x. For min egen skyld omskriver jeg dette udtryk (jeg kan som beskrevet tidliger bedst lide at dierentiere potenser): f x (x, y) x(y x ). Nu dierentieres f x (x, y) i forhold til y ved brug af kædereglen, og der fås: f xy (x, y) x ( ) (y x ) x(y x ) x (y x ). c. Bestem gradientvektoren f(p ) for funktionen f i punktet P (, ). Vi har dierentieret f i forhold til x, så vi mangler blot at dierentiere f i forhold til y. Vi bruger kædereglen igen: f y (x, y) y x y x. Vi kan nu opstille gradientvektoren i P : [ ] [ ] fx (P ) f(p ) f y (P ) [ ] [ ]. d. Bestem den retningsaedede D u f(p ) for f i punktet P samt retningen givet ved enhedsvektoren u (.8,.6). Vi har, at: D u f(p ) u f(p ) [ ].8.6 [ ].8 + (.6) INDHOLD 7
18 e. Bestem en ligning for tangentplanen til grafen for f i puntket Q (,, ). Da Q (P, f(p )) har vi allerede de fornødne oplysninger til at opstille tangentplanen. Vi skal blot bruge formlen: Dermed haves: z f x (P )(x P x ) + f y (P )(y P y ) + f(p ). z (x ) + (y ) + x + + y x + y. INDHOLD 8
19 Opgave 9 En ade S er bestemt ved ligningen F (x, y, z) x + y z. a. Hvilken af punkterne ligger på aden? Punktet (, ) giver ikke mening, da denne ikke har speciceret den sidste dimension. F (,, ) +. hvormed (,, ) ligger på aden. F (,, ) + +, hvormed (,, ) ligger på aden. F (,, 3) + ( 3) , hvorfor (,, 3) ikke ligger på aden. F (3, 4, 5) , hvorfor (3, 4, 5) ikke ligger på aden. F (,, ) ( ) + ( ), hvorfor (,, ) ikke ligger på aden. b. Hvilken af vektorerne står vinkelret på Ss tangentplan i punktet P (,, )? [ ] Det kan ikke være, da denne ikke har dimensionerne til det. De vektorer, der står vinkelrette på adens tangentplan i punktet P er alle skalerede versioner af F x (P ) F y (P ). F z (P ) Vi nder altså først F x (P ), F y (P ) og F z (P ): Dermed ved vi nu, at F x (x, y, z) x F x (P ), F y (x, y, z) y F y (P ), F z (x, y, z) z F z (P ) ( ). INDHOLD 9
20 er en af de vektorer, vi søger. Men alle resulterende vektorer efter skalarmultiplikation på denne er også svar, da skalarmultiplikation kun ændrer længden af vektorer og ikke retningen. Hvis en vektor står vinkelret på, så er vi altså ligeglade med, om den er centimeter lang, eller om den milliarder af lysår lang. Da har vi fundet de to løsninger. og, Den sidste vektor er ikke en løsning, for vi kan ikke gange vektoren med et tal, således både bliver til samtidig med, at vi ganger med samme tal og får. c. Bestem for hvilke punkter, at tangentplanen til S er parallel med tangentplanen z x + y. Den generelle ligning for tangentplaner for ader i rummet er: F x (Q)(x Q x ) + F y (y Q y ) + F z (z Q z ). Lad os omskrive z x + y til denne form: x + y z. Da planerne blot skal løbe parallelt med x+y z er vi ligeglade med konstanterne - vi vil kun fokusere på hældningskonstanterne af parametrene. Vi ser, at i x+y z er F x, F y og F z. For at vores Q har en parallel tangentplan, skal vi altså have, at F x (Q) F y (Q) F z (Q). Betragtes første lighed har vi, at F x (Q) F y (Q) x y x y. Dermed skal x- og y-koordinaterne være ens, hvis disse to hældninger skal være ens. Betragtes anden lighed fås: F y (Q) F z (Q) y ( z) z y z. Altså kræver vi også, at y z for at F y (Q) F z (Q). Men det betyder, at x y z, samt at vores punkter skal kunne skrives på formen Q (x, x, x). Det ses let, at dette kun gælder for (,, ) og (,, ). INDHOLD
21 Opgave Et komplekst tal z har polær form e πi/4. a. Hvad z på standard form? Vi bruger formlen e iy cos y + i sin y, og dermed fås for y π/4: e πi/4 ( ( π ) ( π )) cos + i sin ( ) i + i + i. b. Hvad er z z på polær form? Vi er heldige. z z er altid et reelt tal, da z z z. Ydermere kan vi aæse længden af z fra den polære form - det vil sige. Så det eneste, vi skal gøre, er at kvadrere denne. Vores polære form for z z er altså. c. Hvad er z/z på standard form? Vi har: z z z z z z z ( i) + i i i i. d. Hvad er z/z på polær form? Vi kan blot konjugere den polære form af z ved at sætte et minus foran vinklen. Vi har altså: z z e πi/4 e πi/4 e πi/4 e πi/4 e πi/4 πi/4 e πi/4 e πi/ e 3π/. Ved sidste udregning så husk, at vi altid blot kan lægge π til en vinkel så mange gange, vi vil. Det svarer bare til at gå en ekstra omgang i cirklen. INDHOLD
22 Opgave En homogen dierentialligning er givet ved y 6y + 9y. a. Bestem den fuldstændige løsning. Vi løser den karakteristiske ligning: r 6r + 9 D ( 6) r ( 6) 3. Vi nder altså kun en rod, og denne er 3. Den fuldstændige løsning bliver da: y(t) c e 3t + c te 3t. b. Bestem y() til begyndelsesværdiproblemet y() 3e 3, y () e 3. Hvad sker der, hvis vi indsætter på t's plads i den fuldstændige løsning? y() c e 3 + c e 3 c. Vi skal altså blot nde c. Vi bruger, at y() 3e 3. y() c e 3 + c e 3 c e 3 + c e 3 3e 3. Divider med e 3 på begge sider, og vi opnår: c + c 3 c 3 c. Lad os dierentiere vores y(t), husk at bruge produktreglen: y (t) 3c e 3t + 3c te 3t + c e 3t 3c e 3t + 3(3 c )te 3t + (3 c )e 3t. Dermed fås ved brug af begyndelsesbetingelserne Divider med e 3 på begge sider: y () 3c e 3 + 3(3 c )e 3 + (3 c )e 3 e 3. 3c + 3(3 c ) + (3 c ) 3c + 9 3c + 3 c c + c. Da y() c er opgaven løst. Hvilke af funktionerne udgør en (partiel) løsning til den inhomogene dierentialligning y 6y + 9y 9t + 3. INDHOLD
23 Lad os teste om den første svarmulighed passer: Indsættes denne på venstre side: (t + ), (t + ) (t + ) 9t t + 3. Altså er t + 3 altså en partikulær løsning. Dermed kan t + t/ og 9t + 7/3 ikke være partikulære løsninger. Vi husker, at vi ikke kun skal nde partikulære løsninger. Da den fuldstændige løsning hed c e 3t + c te 3t. Vi kan vælge c og c til hvad vi vil, når begyndelsesbetingelser ikke er givet (det var de KUN i opgave b). Så hvis vi vælger c og c og lægger den homogene løsning sammen med den partikulære, så fås løsningen e 3t + t +. Men samme fremgangsmåde kan bruges til at nde en anden specik løsning. Lad c og c, så er en komplet løsning også te 3t + t +. Kan vi så få den sidste mulighed? Nej, for selvom det er en specik homogen løsning, så kan den homogene løsning altså ikke redegøre for en højre side, der ikke er. Vi skal altså have t + lagt til, før denne ville være en løsning. INDHOLD 3
24 Opgave Figuren nedenfor viser grafen for en funktion r f(θ), θ π afbildet i polære koordinater. En af forskrifterne for f svarer til guren. Hvilken? Svar: Vi bruger udelukkelsesmetoden. Først bemærker vi, at den maksimale værdi for r er,5. Hvad er den maksimale værdi af cos og sin? Det er. Det vil altså sige, at funktionerne sin(θ), (sin θ), (cos θ), sin(θ), ikke er mulige, da disse vil antage værdien på et givent tidspunkt. Vi er altså tilbage med funktionerne sin(θ)/ og sin(θ)/. Lad os vælge en værdi af θ. Jeg vælger θ π/4. sin ( ) π pi sin 4. Denne funktion er altså godkendt til θ π/4. Hvad med den anden funktion? sin ( ) π 4 4. Denne passer altså ikke til en radius på /. Den rigtige funktion er altså sin(θ)/. INDHOLD 4
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 217 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereReeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs merePrøveeksamen i Calculus
Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 5. januar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 9. august 6 Dette eksamenssæt består af nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereNotesæt - Eksempler på polær integration
Notesæt - Eksempler på polær integration Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument forsøger blot at forklare,
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt
Læs mereReeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016
Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 216 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereEksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016
Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015
Eksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med 12
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs mereReeksamen i Calculus Mandag den 11. august 2014
Reeksamen i Calculus Mandag den 11. august 2014 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereEksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014
Eksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012
Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereEksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Calculus Onsdag den 1. juni 211 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereEksamen i Calculus Tirsdag den 11. juni 2013
Eksamen i Calculus Tirsdag den 11. juni 2013 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mere(Prøve)Eksamen i Calculus
(Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereMat H 2 Øvelsesopgaver
Mat H 2 Øvelsesopgaver 18. marts 1998 1) dx dt + 2t 1+t x = 1 2 1+t, fuldstændig løsning. 2 2) ẋ + t 2 x = t 2, fuldstændig løsning. 3) ẋ 2tx = t, x() = 1. 4) ẋ + 1 t x = 1 t 2, t >, undersøg løsningen
Læs mereReeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013
Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Opgaven består af fire dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mere20 = 2x + 2y. V (x, y) = 5xy. V (x) = 50x 5x 2.
17 Optimering 17.1 Da omkræsen skal være 0cm har vi at 0 = x + y. Rumfanget V for kassen er en funktion der afhænger af både x og y givet ved V (x, y) = 5xy. Isolerer vi y i formlen for omkredsen og indsætter
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Torsdag den 11. august 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereSvar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016
Svar til eksamen i Matematik F d. 3. juni 06 FORBEHOLD FOR FEJL! Bemærk, i modsætning til herunder, så skal det i besvarelsen fremgå tydeligt, hvordan polerne ndes og hvordan de enkelte residuer udregnes.
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereAndengradspolynomier - Gymnasienoter
- Gymnasienoter http://findinge.com/ Tag forbehold for eventuelle fejl/typos. Indhold Forord 3 Toppunktsformlen - Bevismetode 1 4 Toppunktsformlen - Bevismetode 6 Andengradspolynomiets symmetri 7 Rodfaktorisering
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereAalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
Læs mereVektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008
Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels
Læs mereMatematik A STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler
ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik A, STX 18 maj Matematik A, STX 23 maj Matematik A, STX 15 august
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 Forord Denne opgavesamling indeholder samtlige eksamensopgaver, der har været stillet
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereNoter om komplekse tal
Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereOpgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereDOK-facitliste DOK. DOK-facitliste 1
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereEksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige)
Eksamen i Matematik F2 d. 9. juni 28 Korte svar (ikke fuldstændige Opgave Find realdelen, Re z, og imaginærdelen, Im z, for følgende værdier af z, a z = 2 i b z = i i c z = ln( + i Find realdelen, Re z,
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereKapitel 2. Differentialregning A
Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation
Læs mereReeksamen i Calculus Torsdag den 16. august 2012
Reeksamen i Calculus Torsdag den 16. august 2012 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereBesvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012
Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:
Læs mereLøsningsforslag Mat B August 2012
Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereGamle eksamensopgaver (DOK)
EO 1 Gamle eksamensopgaver ) Opgave 1. sommer 1994, opgave 1) a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen x 6x + 9x =. b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen Opgave 2.
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009
MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen stx103-mat/a-101010 Fredag den 10. december 010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mere