Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
|
|
- Ellen Ebbesen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Repetition MS kapitel 1 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne@math.ku.dk susanne Hvad er sandsynlighed? - beskriver systemer (fysiske, biologiske, sociale...), hvor der er et element af tilfældighed. Erfaringsmæssigt kan udfaldet af en enkelt, tilfældig hændelse ikke forudsiges... MEN enhver hændelse har en vis tendens til at indtræffe i det betragtede system. Sandsynligheden for en hændelse er et tal mellem 0 og 1, der kvantificerer denne tendens. 5. undervisningsuge, mandag 1 2 Sandsynligheden er en egenskab ved det studerede system. De kan ikke observeres direkte. Ò Ø ½¾ Í Ð Ò Ð Ö Ó Ò ÝÒÐ Ö ½¼¼ Ê Ð Ø Ú ÝÔÔ Sandsynligheden viser sig som frekvenser, hvormed forskellige hændelser optræder. Intuitivt kan sandsynlighed defineres: Vi udfører et forsøg N gange uafhængigt af hinanden. Vi tæller hvor mange gange hændelsen A indtræffer. Da er antal forsøg hvor A indtræffer P (A) = lim N N 3 n A /n ¼ ¼ ¼ ¼¾ ¼¼¼ ¼ ¾ ¼ ½¼¼ n ÙÖ ½½ Ã Ø Ñ Ø Ò Ø Ø Ê Ð Ø Ú ÝÔÔ ÓÖ Ò Ð Ò Ô Ò Ò Ó Ð Ù Ð ÖÙÑÑ Ø U Ö Ò Ð Ö Ó Ò ØÖ Ö Ò ÓÐ Ú Ð Ö Ó ÐØ ËÓÑ Ø Ò Ð Ö ÓÖ Ö Ð Ø ÓÒ Ö Ñ ÐÐ Ñ Ò Ð Ö ÒÝØØ ÒÓ Ð ÑÒ Ö Ð ¹ 4 Ø ÓÒ Ö ÀÚ A Ó B Ö Ò Ð Ö Ø Ò Ö Ð A B Ò Ð Ò Ø A Ó B Ò ØÖ Ö ÐÐ ÑÒ Òµ
2 Det endelige sandsynlighedsfelt SANDSYNLIGHEDSTEORETISK MODEL: Udfaldsrummet er en liste over de mulige udfald: E = {e 1,..., e k } k mulige udfald Sandsynlighedsfunktionen angiver sandsynligheden for hvert af de mulige udfald som opfylder at p : E [0, 1] p(e 1 ) + + p(e k ) = 1 p(e j ) kaldes punktsandsynligheden i e j En delmængde A af udfaldsrummet E kaldes en hændelse: A E Sandsynlighedsfelt Definition Ved et sandsynlighedsfelt forstås en mængde E, som kaldes udfaldsrummet, en vis klasse E af delmængder af E, samt en funktion P fra E ind i intervallet [0, 1]. Elementerne i E skal mindst omfatte både E selv og den tomme mængde, mens funktionen P, som kaldes et sandsynlighedsmål, skal opfylde at P (E) = 1 P (A B) = P (A) + P (B) hvis A B = Elementerne i E kaldes hændelser. I dette kursus består E blot af alle delmængder af E. 5 6 Ò Ø ½¾ Í Ð Ò Ð Ö Ó Ò ÝÒÐ Ö U Í Ð ÖÙÑ A ÀÒ Ð Ö A Ó B B A B Í ÓÖ Ò Ð Ò Ð Ö Regneregler P er et sandsynlighedsmål på E, og A, B E er vilkårlige hændelser. A B ÐÐ Ò Ð Ò A B A B ÓÖ Ò Ò ¹ Ò Ð Ò A B A Ö Ò ¹ Ò Ð Ò A\B B 1. Hvis B A er og P (A \ B) = P (A) P (B) A B A Ñ Ö Ö B A B A ÃÓÑÔÐ Ñ ÒØÖ¹ Ò Ð Ò A c ÙÖ ½¾ ÓÖ ÐÐ Ö Ð Ø ÓÒ Ö Ñ ÐÐ Ñ Ò Ð Ö A Ó B ÑÔ Ð ½¾ Ã Ø Ñ Ò Ø ÖÒ Ò ÓÖ Ø Ø Ñ Ò Ø ÖÒ Ò Ö Ù ¹ Ð ÖÙÑÑ Ø {1, 2,..., 6} ÀÒ Ð ÖÒ 7 ÙÐ ÒØ Ð Ò Ó Ñ Ò Ø Ò Ö A = {1, 3, 5}, B = {5, 6}. ÓÖ ØÓ Ò Ð Ö Ö P (B) P (A) 8
3 Regneregler P er et sandsynlighedsmål på E, og A, B E er vilkårlige hændelser. Regneregler P er et sandsynlighedsmål på E, og A, B E er vilkårlige hændelser. 2. Sandsynligheden for den komplementære hændelse til B, dvs E \ B er givet ved P (E \ B) = 1 P (B) 3. P ( ) = Regneregler P er et sandsynlighedsmål på E, og A, B E er vilkårlige hændelser. 4. Definition Den betingede sandsynlighed af B givet A, som vi skriver P (B A), er defineret ved P (B A) = P (A B) P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) og A B P (A B) P (A) + P (B) Bemærk: Regneregel 4 viser at i Definition kræves en betingelse på A B. Denne forudsætter at P (A B) = 0, hvilket bl.a. er tilfældet når A B =
4 ËØÒ Ò ½ Ý ³ ÓÖÑ Ðµ ÓÖ Ò Ð Ö A Ó B Ñ P(A) > 0 Ó P(B) 0 Ð Ö Ý ³ ÓÖÑ Ð P(A B) = P(B A)P(A). ½ P(B) Sætning Lad A 1,..., A n være n hændelser, som opfylder, at P (A 1 A n 1 ) > 0. Da er P (A 1 A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A n 1 ) A 1 A 2 Ò Ò Ö Ð Ö Ò Sætning Ý ³ Lad ÓÖÑ Ð A 1,..., A Ý Ö n være indbyrdes Ô Ò Ð Ð Ò disjunkte hændelser, Ù Ð ÖÙÑÑ Ú Ò ÓÔ Ð Ò som opfylder, Ù Ð ÖÙÑÑ Ø at E = A 1 Ak n, ÙÒ Ø og at P (A i ) ÑÒ Ö > 0 for i = 1, A.. 1., n. A k Ó Ø Ð ÑÑ Ò Ù Ö For en Ð vilkårlig U hændelse ÙÖB½ gælder Î da, ÓÖ Ø ÐÐ Ö at Ó Ø Ú Ò Ö ÐÐ Ö Ö ÑÓ Ð ÓÖµ Ø Ò Ò ÝÒÐ Ö ÓÖ Ò Ò Ð B Ú Ø Ú Ö A i ³ ÖÒ n Ò Ö Ø Ú Ò Ø Ò P (B) Ò ÝÒÐ Ö = P (B A i )P (A i Ú ) Ò Ö Ò Ò Ø Ò Ò ÝÒÐ ÓÖ Ú ÖØ A i Ú Ø Ò Ð Ò B U B A 3 A 1 A 2 A 3 A k 13 ÙÖ ½ ÃÐ Ð Ò Ù Ð ÖÙÑÑ Ø U ÙÒ Ø Ò Ð Ö A 1 A ÀÒ Ð Ò B ØÖ Ø Ð Ú Ö Ò ÙÒ Ø Ò Ð Ö A 1 B A k B 14 Å Ò Ð ÓÖ Ø ÐÐ Ø Ñ Ò Ö Ó ÖÚ Ö Ø Ò Ð Ò B Ó ÖÒ Ø Ò Ö Ú ÚÓÖ Ò ÝÒÐ ÓÖ ÐÐ A i ³ Ö Ö Omvendingsformel Sætning For vilkårlige hændelser A og B, som opfylder, at P (A) > 0 og P (B) > 0, gælder P (A B) = P (A) P (B) P (B A) Ø ÐÑ Ò Ð Ø ÑÔ Ð Ö ÒÓ Ø Ö Ò Ä A i ³ ÖÒ Ø Ò ÓÖ ÐÐ ÑÙÐ Ý ÓÑÑ Ó Ð B ÚÖ Ò Ò Ð Ö Ú Ö Ö Ø Ð Ø ÑØ ÝÑÔØÓÑ Ü Ö Ó Ù ÐØ Ø Ò Ò ÝÒÐ Ö P(B A i ) Ö ÐØ Ò ÝÒÐ ÖÒ ÓÖ ÝÑÔØÓÑ ÖÒ ÓÖ Ò Ú Ö Ñ Ý ÓÑÑ Ò A i Ó Ú Ò Ö Ø Ö P(A i B) ÓÖ ÓÖ ÐÐ Ý ÓÑÑ A i ËØÒ Ò Ò Ò Ò ÓÖ Ú Ö Ú Ö Ø Eksempel: Forsikring mod en bestemt type skade. ËØÒ Ò ½ Ý ³ ÓÖÑ Ðµ Ä A 1 A k ÚÖ Ô ÖÚ ÙÒ Ø Ò Ð ÓÑ Ø Ð ÑÑ Ò Ù Ö Ð Ù Ð ÖÙÑÑ Ø Ó ÓÑ ÓÔ ÝÐ Ö P(A i ) > 0 ÓÖ ÐÐ Tavlen. ÓÖ Ò Ú Ö Ò Ð B Ð Ö ÐÓÚ Ò ÓÑ ØÓØ Ð Ò ÝÒÐ P(B) = P(B A 1 )P(A 1 ) P(B A k )P(A k ), ½ 15 16
5 ØÒ Ò ½ Ý ³ ÓÖÑ Ðµ ÓÖ Ò Ð Ö A Ó B Ñ P(A) > 0 Ó P(B) > Ð Ö Ý ³ ÓÖÑ Ð P(A B) = P(B A)P(A). ½ µ P(B) Bayes formel Ò Ö Ð Ö Ò Ý ³ ÓÖÑ Ð Ý Ö Ô Ò Ð Ð Ò Ù Ð ÖÙÑÑ Ø Sætning Lad A 1,..., A n være indbyrdes disjunkte hændelser, Ò ÓÔ Ð Ò Ù Ð ÖÙÑÑ Ø k ÙÒ Ø ÑÒ Ö A som opfylder, at E = A 1 A n, og at P (A i ) > 0 for i = 1,.. 1 A., n. k ÓÑ ÑÑ Ò Ù Ö Ð U ÙÖ ½ Î ÓÖ Ø ÐÐ Ö Ó Ø Ú Ò Ö ÐÐ Ö Ö Ò For en hændelse B med P (B) > 0 gælder for ethvert k = 1,..., n, at Ð ÓÖµ Ø Ò Ò ÝÒÐ Ö ÓÖ Ò Ò Ð B Ú Ø Ú Ö A i ³ ÖÒ Ó Ö Ø Ú Ò Ø Ò P (B A k )P (A k ) P (A k B) Ò ÝÒÐ Ö = n Ú Ò Ö Ò Ò Ø Ò P (B A i)p (A i ) ÝÒÐ ÓÖ Ú ÖØ A i Ú Ø Ò Ð Ò B U B Stokastisk uafhængighed Definition To hændelser A og B siges at være stokastisk uafhængige, hvis P (A B) = P (A)P (B) Ò Ø ½ Í Ò Ò Ð Ö Ó ÓÖ ½ B B c A A B A c P (A B) P (B) = P (A) P (U) A 1 A 2 A 3 A k ÙÖ ½ Í Ò Ò Ð Ö A B Ù Ö ÑÑ Ò Ð B ÓÑ A Ù Ö Ð Ù Ð ÖÙÑÑ Ø ÙÖ ½ ÃÐ Ð Ò Ù Ð ÖÙÑÑ Ø U ÙÒ Ø Ò Ð Ö A 1 A k Ò Ð Ò B ØÖ Ø Ð Ú Ö Ò ÙÒ Ø 17 Ò Ð Ö A 1 B A k B 18 Ù Ò Ø Ö Ó Ø ÑÑ ÓÖØ Ø Ö Ö ÓÑ Ò Ð ÓÖ Ø ÐÐ Ø Ñ Ò Ö Ó ÖÚ Ö Ø Ò Ð Ò B Ó ÖÒ Ø Ò Ö Ø ÚÓÖ Ò ÝÒÐ ÓÖ ÐÐ A i ³ Ö Ö ÐÑ Ò Ð Ø Eksempel: ÑÔ Ð Om Ö uafhængighed: ÒÓ Ø Ö Ò En mønt Ä kastesan i ³ ÖÒ gange. Tavlen. Ø Ò ÓÖ ÐÐ Ð Ý ÓÑÑ Ó Ð B ÚÖ Ò Ò Ð Ö Ú Ö Ö Ø Ð Ø ÑØ ÝÑÔØÓÑ Ö Ö Ó Ù ÐØ Ø Ò Ò ÝÒÐ Ö P(B A i ) Ö ÐØ Ò ÝÒÐ ¹ P(A og B) ÓÖ ÝÑÔØÓÑ ÖÒ ÓÖ Ò Ú Ö Ñ Ý ÓÑÑ Ò P(A) P(B) A i Ó Ú Ò Ö Ø Ö Ò A i B) ÓÖ ÓÖ ÐÐ Ý ÓÑÑ A i ËØÒ Ò Ò Ò Ò ÓÖ Ú Ö Ú Ö Ø ØÒ Ò ½ Ý ³ ÓÖÑ Ðµ Ä A 1 A k ÚÖ Ô ÖÚ ÙÒ Ø Ò Ð Ö Ø Ð ÑÑ Ò Ù Ö Ð Ù Ð ÖÙÑÑ Ø Ó ÓÑ ÓÔ ÝÐ Ö P(A i ) > 0 ÓÖ ÐÐ i Ö Ò Ú Ö Ò Ð B Ð Ö ÐÓÚ Ò ÓÑ ØÓØ Ð Ò ÝÒÐ n P(B) = P(B A 1 )P(A 1 ) P(B A k )P(A k ), Ø Ò ÚÖ Ú Ò Ð Ø Ø Ò Ø Ø Ò Ð Ò Ò Ø ÓÒ ½¾ Ö Ø Ö Ñ Ð Ø Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ØÝ Ø Ð Ø Ñ Ò ÒØÙ Ø ÚØ ÓÖ ØÖ Ú Ù Ò ØØ Ö ÓÖ Ø ÐÐÙ ØÖ Ö Ø ÙÖ ½ ÚÓÖ Ù Ð ÖÙÑÑ Ø U Ö ÓÔ ÐØ Ð A Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØÖÑÒ Ò Ø Ð A Ó Ð B Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØÖÑÒ Ò Ø Ð B À Ö Ð Ñ Ò ÓÖ Ø ÐÐ Ø Ò ÝÒÐ ÖÒ ÓÖ ÑÒ ÖÒ ÙÖ Ò Ú Ö Ö Ø Ð Ö Ð ÖÒ Ø ÖÖ Ð Ö Ë Ò ÝÒÐ Ò Stokastisk ÓÖ Ò Ð Òuafhængighed A Ö ÖÚ A³ Ö Ð ÓÖ ÓÐ Ø Ð Ð Ù Ð ÖÙÑÑ Ø Ö Ð ØØ Ö Ø ÑÑ ÓÑ Ò Ö Ð Ø Ú Ò Ð A Ù Ö B³ Ö Ð ÐÐ Ö Definition Ö Ð Ø1.5.4 B c De ÓÖØÓÐ Ò Ò Ñ Ø n hændelser A 1,..., Ú Ö Ö A n (n Ø 2) Ø Ð siges Ø at være Ú ÒØ Ò Ñ Ò Ö Ó ÖÚ Ö Ø indbyrdes B stokastisk ÐÐ Ö B c uafhængige, Ö Ö ÑÑ hvis Ò ÝÒÐ der for enhver delmængde ÓÖ Ø A Ó Ö Ò ØÖÙ Ø Ø Ö Ð ÓÖ ÓÐ Ú Ö Ö Ø Ð Ò Ø ÓÒ ½¾ Ø Ú {i 1,..., i k } af {i,..., n} gælder at P(A B) = P(A) P(B) P(U), P (A i1 A ik ) = P (A i1 ) P (A ik ) Ö P(A B) = P(A)P(B) Ø P(U) = 1 Ö Ò Ò Ò Ð Ö ÙÒ ÓÖ Ò Ð Ö B Ñ P(B) > 0µ ½ µ 19 ÆÓØ ½ ËÓÑ ÙÖ Ò ÒØÝ Ö Ð Ö Ø Ø Ú A Ó B Ö Ù Ò Ö Ó A Ó B c Ù Ò ØØ Ö Ò Ò Ò ( ) P(A B c ) = P A\(A B) = P(A) P(A 20 B) ÓÑ ÒÖ A Ó B Ö Ù Ò Ò ÓÑ Ö Ú Ú Ö Ø Ð
6 Stokastiske variable En stokastisk variabel er en funktion fra udfaldsrummet ind i de reelle tal: X : E IR Stokastiske variable betegnes som regel med store bogstaver, f.eks X, Y eller Z. Det er en reel variabel der er tilfældig: vi kender ikke dens værdi på forhånd, men kun dens sandsynlighedsfordeling. For (næsten) enhver delmængde A af IR angives sandsynligheden for at X ligger i A: P X (A) = P (X A) Transformationssætningen for fordelinger X : stokastisk variabel t : funktion fra IR ind i IR Da er Y = t(x) også en stokastisk variabel, med en fordeling, der kan beregnes udfra fordelingen af X: P Y (A) = P X (t 1 (A)) hvor t 1 (A) betegner originalmængden af A t() = 2 A Fordelingsfunktion X: stokastisk variabel. Fordelingen kan også angives ved fordelingsfunktionen for X: F () = P (X ) = P X ((, ]) t 1 (A) for IR. Fordelingsfunktionen er en funktion fra R ind i [0, 1]: IR F [0, 1] Det er nok at specificere P (X A) for ethvert A = (, ], IR
7 F() Fordelingen af antal øjne ved kast med en terning F() Ligefordelingen Generelle egenskaber ved fordelingsfunktioner F er en svagt voksende funktion fra 0 til 1 (ikke-aftagende). Derudover: og lim F () = 1 lim F () = Fler-dimensionale stokastiske variable Ofte ønsker man at studere flere stokastiske variable på en gang: X i sædvanlig stokastisk variabel på samme udfaldsrum E for alle i = 1,..., n: X = (X 1,..., X n ) er en n-dimensional stokastisk vektor; en funktion fra E ind i IR n : E X Da alle X i -erne afhænger af det samme basale udfald e E kan der være sammenhænge mellem dem: IR n X(e) = (X 1 (e),..., X n (e)) Den simultane fordeling for den stokastiske vektor X = (X 1,..., X n ) defineres som sandsynlighedsmålet på IR n givet ved hvor A IR n. P X (A) = P ((X 1,..., X n ) A) De n fordelinger af de enkelte koordinater X 1,..., X n : P Xi (B) = P (X i B) ; B IR kaldes for de marginale fordelinger. De er ikke hele sandheden om X = (X 1,..., X n )
8 Uafhængige stokastiske variable Definition De stokastiske variable X 1,..., X n siges at være uafhængige hvis P (X 1 A 1,..., X n A n ) = P (X 1 A 1 ) P (X n A n ) for alle A 1,..., A n hvor hver A i er en delmængde af IR. Sætning To stokastiske variable X 1 og X 2 er stokastisk uafhængige hvis og kun hvis det for ethvert par A 1 og A 2 af delmængder af IR med P (X 2 A 2 ) > 0 gælder, at P (X 1 A 1 X 2 A 2 ) = P (X 1 A 1 ) Sætning Lad X 1,..., X n være uafhængige stokastiske variable. Da gælder følgende: 1. Hvis ϕ i, i = 1,..., n er funktioner fra IR ind i IR, er de stokastiske variable ϕ 1 (X 1 ),..., ϕ n (X n ) uafhængige. 2. Hvis k < n og ψ er en funktion fra IR n k ind i IR, er de stokastiske variable X 1,..., X k, ψ(x k+1,..., X n ) uafhængige. 3. Lad k og ψ være som i (2), og lad ϕ være en funktion fra IR k ind i IR. Da er de stokastiske variable ϕ(x 1,..., X k ) og ψ(x k+1,..., X n ) uafhængige Fordelinger på endelige mængder Binomialfordelingen Definition Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige stokastiske variable med værdier i {0, 1}, som alle har samme fordeling givet ved Binomialfordelingens sandsynlighedsfunktion er ( ) n p() = p (1 p) n for {0, 1,..., n}. P (X i = 1) = p, P (X i = 0) = 1 p for et givet tal p mellem 0 og 1. Fordelingen af summen: S = X 1 + X X n kaldes binomialfordelingen med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p. Bemærk at S {0, 1,..., n}. Punktsandsynligheder Binomialfordelingen med n = 10 og p = Punktsandsynligheder Binomialfordelingen med n = 100 og p =
9 Polynomialfordelingen Beskriver n uafhængige forsøg med k mulige udfald. Bemærk at det er en generalisering af binomialfordelingen, hvor k = 2. Betragt n uafhængige stokastiske variable: X 1, X 2,..., X n, der antager værdier i mængden {1,..., k}. Antag at de alle har samme fordeling givet ved for j = 1,..., k og i = 1,..., n. P (X i = j) = p j Definer den stokastiske vektor (S 1,..., S k ) ved S j = # { i X i = j } for j = 1,..., k Fordelingen af (S 1,..., S k ) kaldes en polynomialfordeling af orden k med antalsparameter n og sandsynlighedsparametre p 1,..., p k. Den stokastiske vektor kan kun antage værdier i følgende delmængde af IN k 0: D k (n) = {(s 1,..., s k ) s i {0,..., n}, i = 1,..., k, s s k = n } Tilsvarende ligger sandsynlighedsparametrene i følgende delmængde af [0, 1] k : k = {(p 1,..., p k ) p i [0, 1], i = 1,..., k, p p k = 1 } For (s 1,..., s k ) D k (n) er P ((S 1,..., S k ) = (s 1,..., s k )) = ( n s 1,..., s k ) p s1 1 ps k k Simultane og marginale sandsynlighedsfunktioner (X 1, X 2 ) : 2-dimensional stokastisk vektor Antag at X i er koncentreret på T i, i = 1, 2, hvor T i er endelige mængder: T 1 = {t 1,..., t n1 } og T 2 = {t 1,..., t n2 }. Antag at vi kun kender den simultane fordeling af (X 1, X 2 ): p( 1, 2 ) : T 1 T 2 [0, 1] De marginale fordelinger er da givet ved p 1 ( 1 ) = p( 1, 2 ) 2 T 2 p 2 ( 2 ) = p( 1, 2 ) 1 T 1 Transformationssætning (Sætning 3.4.2) Lad (X 1,..., X n ) være en stokastisk vektor koncentreret på den endelige mængde T IR n, og lad p( 1,..., n ) være sandsynlighedsfunktionen for den simultane fordeling af (X 1,..., X n ). Betragt en afbildning: ψ : T IR k Da er sandsynlighedsfunktionen for den stokastiske vektor Y = ψ(x 1,..., X n ) koncentreret på ψ(t ) og givet ved ( P (Y = y) = 1,..., n) ψ 1 ({y}) p( 1,..., n ) for y ψ(t ) 0 for y / ψ(t ) 35 36
10 Eksempel 3.4.3: Lad X være binomialfordelt med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p. Hvordan er Y = X/c fordelt? X Bin(n, p) T = {0, 1,..., n} ( ) n p() = p (1 p) n Y = X/c c > 0 Vi bruger transformationssætningen med ψ() = /c. Y er koncentreret på ψ(t ) = {0, 1 /c,..., n /c} for y ψ(t ), ellers er P Y (y) = 0. ψ 1 (y) = cy ( ) n P Y (y) = p cy (1 p) n cy cy Uafhængige stokastiske variable: Sætning Antag, at (X 1,..., X n ) er en n-dimensional stokastisk vektor, hvor X i er koncentreret på den endelige mængde T i, i = 1,..., n. Definer T = T 1 T n, lad p : T [0, 1] være sandsynlighedsfunktionen for den simultane fordeling af (X 1,..., X n ), og lad p i : T i [0, 1], være sandsynlighedsfunktionen for den marginale fordeling af X i, i = 1,..., n. Da er de følgende tre udsagn ækvivalente: 1. X 1,..., X n er stokastisk uafhængige, 2. For alle ( 1,..., n ) T er p( 1,..., n ) = p 1 ( 1 ) p n ( n ) 3. Der findes n ikke-negative reelle funktioner g i, i = 1,..., n, så for alle ( 1,..., n ) T. p( 1,..., n ) = g 1 ( 1 ) g n ( n ) Vigtig konsekvens: Vælg mængderne T i således at p i ( i ) > 0 for alle i T i. n = 2 Hvis X 1 og X 2 er uafhængige er p( 1, 2 ) = p 1 ( 1 )p 2 ( 2 ) for alle ( 1, 2 ) T 1 T 2. Da vil nødvendigvis også p( 1, 2 ) > 0 for alle ( 1, 2 ) T 1 T 2. Ergo: Hvis X 1 og X 2 er uafhængige, er den stokastiske vektor koncentreret på en produktmængde, med strengt positiv sandsynlighed på alle punkter i produktmængden. Hvis mængden {( 1, 2 ) p( 1, 2 ) > 0} ikke er en produktmængden, kan X 1 og X 2 ikke være uafhængige. Antag (X, Y ) ligefordelt på {(0, 1), (1, 0), (0, 1), ( 1, 0)}. E(X) = E(Y ) = (1 + ( 1) ) 1/4 = 0 P (XY = 0) = 1, så E(XY ) = 0 og Cov(X, y) = 0. 1 Y 1/4 1/4 1/4 1 1 X 1 1/4 De er IKKE uafhængige: P (X = 1, Y = 1) = 0 1 /4 1/4 = 1 /16 = P (X = 1)P (Y = 1). Andre argumenter: Ikke en produktmængde
11 Middelværdi Definition Lad X være en stokastisk variabel, der er koncentreret på den endelige mængde T = {a i : i = 1,... k} IR, og som har sandsynlighedsfunktion p. Da definerer vi middelværdien af X som E(X) = k a i p(a i ) E: kommer af det engelske epectation eller det tyske erwartungswert Middelværdi af en transformeret stokastisk variabel Sætning Lad X være en n-dimensional stokastisk vektor, som er koncentreret på den endelige mængde T IR n, og som har sandsynlighedsfunktion p. Lad ψ være en funktion fra T ind i IR. Da har den stokastiske variable ψ(x) middelværdien E(ψ(X)) = ( 1,..., n) T ψ( 1,..., n ) p( 1,..., n ) Bemærk: Middelværdien er en egenskab ved fordelingen Sætning 3.7.5: Lineær transformation. X er en stokastisk variabel på { 1,..., k } Lad a og b være vilkårlige reelle tal. Da er E(a + bx) = a + b E(X) Sætning 3.7.6: Lad (X 1, X 2 ) være en to-dimensional stokastisk vektor koncentreret på en endelig mængde, som opfylder, at X 1 X 2. Da er E(X 1 ) E(X 2 ) Specielt gælder for en stokastisk variabel X, at Sætning 3.7.7: Lad X 1, X 2,..., X n være stokastiske variable koncentreret på endelige mængder. Da er E(X 1 + X X n ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) + + E(X n ) Hvis ydermere X 1, X 2,..., X n er uafhængige, gælder at E(X 1 X 2 X n ) = E(X 1 ) E(X 2 ) E(X n ) E(X) E( X ) 43 44
12 Varians Definition Lad X være en stokastisk variabel på en endelig mængde. Da defineres variansen af X som Beregning af variansen: Var(X) = E ( (X E(X)) 2) Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 Kvadratroden af variansen kaldes spredningen eller standardafvigelsen: Var(X) Sætning : For en stokastisk variabel X på en endelig mængde er Var(X) = 0 hvis og kun hvis der findes et reelt tal c, så P (X = c) = 1. Definition : En stokastisk variabel X siges at være udartet, hvis der findes et c IR, så P (X = c) = 1. Fordelingen af X kaldes da den udartede fordeling i punktet c Et naturligt mål for en fordelings bredde eller variation Kovarians Definition For to stokastiske variable på endelige mængder defineres kovariansen mellem X og Y ved Cov(X, Y ) = E ((X E(X))(Y E(Y ))) Beregning af kovariansen: Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) Sætning Hvis X og Y er uafhængige er Cov(X, Y ) = 0. Korrelation Definition For to stokastiske variable X og Y, som opfylder at Var(X) > 0 og Var(Y ) > 0 defineres korrelationen mellem X og Y ved corr(x, Y ) = Cov(X, Y ) Var(X)Var(Y ) Korrelationen kan fortolkes som kovariansen mellem de to standardiserede variable X 0 = X E(X) Var(X) ; Y 0 = Y E(Y ) Var(Y ) Altid: 1 corr(x, Y )
13 Den empiriske fordeling Sætning Lad X 1,..., X n være parvis ukorrelerede reelle stokastiske variable. Da er Var(X X n ) = Var(X 1 ) + + Var(X n ) 1,..., n er givne observationer (reelle tal) Den empiriske fordeling af disse observationer: Fordelingen på mængden { 1,..., n } som fremkommer ved at tildele hver observation sandsynligheden 1 n. Den empiriske middelværdi ( = gennemsnittet): Lad X være en stokastisk variabel, hvis fordeling er den empiriske fordeling. E(X) = = 1 n ( n ) Var(X) = 1 n n ( i ) 2 eller 1 n 1 n ( i ) Den empiriske fordeling ( 1, y 1 ),..., ( n, y n ) er givne talpar. Den empiriske fordeling af disse observationer: Fordelingen på mængden bestående af de n givne talpar, som fremkommer ved at tildele hvert observationspar sandsynligheden 1 n. Den empiriske kovarians Lad (X, Y ) være en stokastisk vektor, hvis fordeling er den empiriske fordeling Cov(X, Y ) = 1 n ( i )(y i ȳ) n eller = 1 n 1 n ( i )(y i ȳ) Den empiriske korrelation n corr(x, Y ) = ( i )(y i ȳ) n ( i ) 2 n (y i ȳ)
Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereEstimation og konfidensintervaller
Statistik og Sandsynlighedsregning STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Estimation og konfidensintervaller Antag X Bin(n,
Læs mereË Ö ØÐ Ñ Ò ÙØÓÑ ØØ ÓÖ Ó Ö Ò Ð Å½ µ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø ² Ø ÐÓ ËÝ Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ß Ç Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ä Ö Ò ½ º ÒÙ Ö ¾¼¼ ÐÐ Ú ÒÐ ÐÔ Ñ Ð Ö Ð Ö Ó ÒÓØ Ø Ö Øºµ Ñ
Ë Ö ØÐ Ñ Ò ÙØÓÑ ØØ ÓÖ Ó Ö Ò Ð Å½ µ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø ² Ø ÐÓ ËÝ Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ß Ç Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ä Ö Ò ½ º ÒÙ Ö ¾¼¼ ÐÐ Ú ÒÐ ÐÔ Ñ Ð Ö Ð Ö Ó ÒÓØ Ø Ö Øºµ ÑØ ÖÙ ÐÓÑÑ Ö Ò Ö Ö Ø ÐРغ Ñ Ò ØØ Ø Ø Ö ÓÔ Ú Ö Ô ÒÙÑÑ
Læs mereq 1 q 2 x 1 x 2. E(x, p, X, P) = 1 2M P x X.
ÁÒ Ð Ò Ò ËØ Ð Ø Ø Ý ÑÓ ÐÐ Ö Â Ò È Ð Ô ËÓÐÓÚ Å Ò ÙÐÐ Ñ ØÖÓ Ø Ø Ö Ò Ú Ö ÓÖ Ö Ö Ñ ÒÖ Ñ Ò ÓÑ Ø Ö Ø Ó Ø Ö Ð Ú Ö Ø ÐÐ Ø Ô Ö ÑÐ Ø Ò Ù ÓÖ Ð Ö Ú Ù ÒØÐ ÓÖ Ö Ø Ö Ó Ö Ø Ø Ø Ö Ö ÒÓ Ø Ò ÓÖ Ö ÐÐ Ö Ú Ð Ò ÓÖØÐÐ Ú Ø Ö Ñ
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 7. undervisningsuge, mandag 1 Estimation og konfidensintervaller
Læs mereÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÀÝÔÓØ Ø Ø ¹ Ò Ö Ô Ø Ø ÓÒ ÀÝÔÓØ Ø Ø Ó ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ËØÝÖ Ó Ø ÔÖ Ú Ø ÖÖ Ð ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÒ Ñ Ò Ø ÑÔ Ð ½ Ò Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ö Ò Å Ò Ø Ú Ö Ò Å Ù Ò
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò Ã Ô Ø Ð Ó ËØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÒ Ñ Ò Ø º ¹ º º½¹ º µ Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å
Læs mereÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÃÓÒØ ÒÙ ÖØ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ó ÓÖ Ð Ò Ö ÌØ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ð Ò ÙÒ Ø ÓÒ Å ÐÚÖ Ò ÓÒØ ÒÙ ÖØ ØÓ Ø Ú Ö Ð Î Ö Ò Ò ÓÒØ ÒÙ ÖØ ØÓ Ø Ú Ö Ð ÍÒ ÓÖÑ ÓÖ Ð Ò Ò ÑÔ Ð
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò Ã Ô Ø Ð ÃÓÒØ ÒÙ ÖØ ÓÖ Ð Ò Ö Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ
Ö ÑÑ Ò Ò Ò ØÚÖ Ò Ö Å Ò À Ò Ò ½ Ä Æ ¾¼¼ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ ½»¼ ÁÅÅ ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö Ú Ø ÓÑ ÐÙØØ Ò ÔÖÓ Ø ÓÖ ÓÔÒ Ð Ú Ð Ò Ò ¹ Ö Ö Ò Ö ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Øº ÇÔ Ú Ò Ö Ù ÖØ Ô ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø
Læs meredeta = A = deta = a 11 deta 11 a 12 det A 12 + a 13 deta 13 deta = deta = 1(0 2) 5(0 0) + 0( 4 0) = 2 deta = a i,j deta i,j
Ä Ò Ò ØÖ Ø ÓÖ Ñ Ò ÓÔ Ú Ö Ä Ú Ø ÓÖÑ Ð Ø Ö Ó Ì ÓÑ Â Ò Ò ÓÒØ ÒØ ½ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö ½º½ Í Ú Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ ÑÔ Ð Í Ú Ð Ò Ø ÓÖ
Læs mere½ Ë Ë ÔÐ Ý Ñ Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò µ ÔÖÓ Ö Ñ ÐÓ ÓÙØÔÙØ Ú Ò Ù Ö Ö ÔÖÓ Ù Ö ÖØ Ò ÐØ Ø Ó ÙÑ ÒØ Ö Ë Ë Æ Ä ËÌ Ñ ÒÙ» Ñ ¹ÓÖ ÒØ Ö Ø ÓÚ Ö Ý Ò Ò Ö Ú Ö Ó Ö Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ
Ð Ø Ø Ø ¾º ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ÄÝÒ ÙÖ Ù Ë Ë Ò ÐÝ Ø ÁÒ Ð Ò Ò Ø Ð ÔÖÓ ÙÖ Ö Ö Ò Ù ØÞ¹Â Ö Ò Ò Ó Ø Ø Ø Ð Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÓÐ ÙÒ Ú Ò Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¹Ñ Ð Ó Ø Øº Ùº ØØÔ»» Ø ºÔÙ ÐØ º Ùº»» м ¾ ½ Ë Ë ÔÐ Ý Ñ Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ
Læs mereŠРº Â Ö Ò Ò À ÖØÞ ÔÖÙÒ ¹ÊÙ ÐÐ Ö Ñ Ö Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ì Ò Ö ÙÖ Ø ÓØÓÑ ØÖ ÃÙ Ð Ó Ñ Ö ¾¼¼ ÈÖ Á Ø ÖØ Ò ½ ¼¼ Ø ÐÐ Ø Ú ØÖÓÒÓÑ Ö Ò Ð Ø Ð Ú Ø ÙØÖÓÐ Ø Ñ Ò ÑÐ Ò Ö Ø ÖÒ Ö Ò Ö ÓÑ Ö Ö Ð Ø Ú Ñ Ò ØÙ Ô ØÖ Ð Ð Ö Ø Ò Ó ÔÓ
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Læs mereÇÚ Ö Ø ½ ÈÖ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ¾ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ËÓ ØÛ Ö Ê Ö Ú Ò Ø Ø Ø Æ Ð Ø Ð Ö Ö Ñ Ø ÐÐ Ò Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò ½ ÁÒØÖÓ Ó Ö Ú Ò Ø Ø Ø Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½¼ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ
Læs mereÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÅÓØ Ú Ö Ò ÑÔ Ð Ø Ñ ØÓÖ ÓÖ Ú Ö Ò Ö χ 2 ¹ ÓÖ Ð Ò Ò ÃÓÒ Ò ÒØ ÖÚ Ð ÓÖ Ò Ú Ö Ò ÀÝÔÓØ Ø Ø Ú Ö Ò Ö Ì Ø Ò Ú Ö Ò Ì Ø ØÓ Ú Ö Ò Ö F ¹ ÓÖ Ð Ò Ò ÀÝÔÓØ Ø
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò ÁÒ Ö Ò ÓÖ Ú Ö Ò Ö Ô µ Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ Ù
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion
Læs mereËÓÑ ³ Ü ³ ÚÐ ÖÓÙÔº ËÓÑ ³ Ü ³ ÚÐ Ñ Ö Ò ÐÐ Ö Ú Ö Ú Ö Ö Ø Ó ÔÖÓ ÔÐÓØ Ø Ù ÖºÞ Ð ÞÓ ÔÐÓØ Ñ Ö Ò ÖÓÙÔ» Ü Ü ½ Ú Ü Ü ¾ Ö Ñ Ü ½ Ó Ø µ Ð Ð À µ Ú ÐÙ À ¾µ Ñ ÒÓÖ ÆÇ
ÇÔ Ú Ú Ö Ð Ú Ö Ò Ò ÐÝ ÇÔ º½ Ð Ö Ú Ò Ø Ö Ú Ö Ø Ò º º Ð Ø Ù ÖºÞ Ð ÞÓ ÒÔÙØ ÖÓÙÔ Ñ Ö Ò Ø Ð Ò Ø Ú º¼¼ Ø Ú º ¼ Ø Ú º Ø Ú ½¼º¼¼ Ø Ú ½ º¼¼ Ø Ú º ¼ Ô Ú ½½º¼¼ Ô Ú ½¼º¼¼ Ô Ú ½¼º¼¼ Ô Ú ½½º Ô Ú ½¼º ¼ Ô Ú ½ º¼¼ Ò Ò
Læs mereÁÒ ÓÐ ½ ÇÔÖ Ø Ò ÖÙÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ ÑÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ËÎÆ Ò Ë e Î e Æ Å ÒÙØ ÆÓØ Ø Ø Ð Å ¾ ÖÙÒ Î Ú Ð ÖÚ ¼ Ñ º Ùº ÁÅ Ë Í Ç Ò º ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ ÁÒ ÓÐ ½ ÇÔÖ Ø Ò ÖÙÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ ÑÖ º º º º º º
Læs mereOpgaver i sandsynlighedsregning
Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)
Læs mereModul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereBetingede sandsynligheder Aase D. Madsen
1 Uge 12 Teoretisk Statistik 15. marts 2004 1. Betingede sandsynligheder Definition Loven om den totale sandsynlighed Bayes formel 2. Betinget middelværdi og varians 3. Kovarians og korrelationskoefficient
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereSandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.3 (og 6.4 Betingede
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereMat2SS Vejledende besvarelse uge 11
MatSS Vejledende besvarelse uge Eksamen V99/00 opg. a Kønsfordelingen 996 den samme for de tre skoler Mænd Kvinder I alt København 5 = n x 56 = x 8 = n Odense 9 = n x 06 = x 5 = n Århus 0 = n x 40 = x
Læs mereÒØÖÓÔÝ Ó Ò Ò ÂÈ Ø ÐÐ Ñ ÓÑÔÖ ÓÒ Â Ò ÎÓ Ð Ò Ë ÔØ Ñ Ö ¼Ø ¾¼½½ ½» ½
ÒØÖÓÔÝ Ó Ò Ò ÂÈ Ø ÐÐ Ñ ÓÑÔÖ ÓÒ Â Ò ÎÓ Ð Ò Ë ÔØ Ñ Ö ¼Ø ¾¼½½ ½» ½ ÒÓ Ò Ò Ò Ö Ð ÒÓ Ò Ò Ò Ö Ð ¾» ½ ÖÓÑ Ù ÑÔÐ Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒØÓ ³ Ö ÓÐÓÖ Ô» ½ ÖÓÑ Ù ÑÔÐ Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒØÓ ³ Ö ÓÐÓÖ Ô Ê ÙØ ÓÒ Ó Ô Ø Ð Ö ÓÐÙØ
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs merehvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre
Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereÌÖ È Ö Ò ÓÖ Ó Ë Ð Ø ÓÒ ÌÖ È Ö Ò ÓÖ Ó Ë Ð Ø ÓÒ Ê Ò Ö Ï Ð ÐÑ ÍÒ Ú Ö ØØ Ë ÖÐ Ò Û Ð ÐÑ ºÙÒ ¹ º ½ º Þ Ñ Ö ¾¼¼
Ê Ò Ö Ï Ð ÐÑ ÍÒ Ú Ö ØØ Ë ÖÐ Ò Û Ð ÐÑ ºÙÒ ¹ º ½ º Þ Ñ Ö ¾¼¼ Ó Ò Ö Ø ÓÒ Ê Ð Ñ Ò Ò Ø Ó ØÖ Ø Ñ Ò Ê Ø Ö Ñ Ò Ä Ñ Ø Ö ÓÙÖ Ö Ø Ö Ñ ÑÓÖݵ Ü ÛÓÖ Þ ËØÓÖ Ö Ö Ý ÁÒØÖ ÔÖÓ ÓÖ Ô Ö ÐРРѺ È Ò Ó Ò Ö Ø ÓÒ Ó Ð Ø ÓÒ Ð Ø Ò
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö ÙÐØ Ø Ø Ø Ñ Ö Ñ ÈÓ Ø ÒÑ Ö ÓÑ Ø ÐÓ ¹ Ð Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ô ÒØÖ ÆÓÖ ÐÐ Ò º Î Ð Ø Ø Ù Ö ÚÓÖ Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ñ Ö Ñ Ò Ú Ö ÓÑ Ö ÓÖ ÚÓÖ Ú ÓÑÑ Ò ÚÖ Ø
ÅÙÐØ Ñ ØÓ ÓÐÓ Ø ÐÓ Ð Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ¹ ØÖÙ ØÙÖ Ö Ò Ó ÓÔØ Ñ Ö Ò À ÒÒ Ä Ñ ÒÒ È Ø Ö Ò ½¼¾½ Ë Ö Ö Ã Ñ Ë ÙÐ Ð ½¼ Ä Æ ÂÍÆÁ ¾¼¼ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ IMM ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö ÙÐØ Ø Ø Ø Ñ Ö Ñ ÈÓ Ø ÒÑ Ö ÓÑ Ø ÐÓ ¹ Ð Ö Ò ÔÖÓ
Læs mere{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,
Læs mereEt eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006
Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af
Læs mereStatistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22
Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk
Læs mereÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø Ö Ø ØÙÖ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÁÒØ Ö ØÛ Ò Ó ØÛ Ö Ò Ö Û Ö Ú Ð ØÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö ËØ Ô ØÓ Ò ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÓÖ Ú Ò Óѹ ÔÙØ Ö Û Ø Ø Ú Ð Ð ÐØ
ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø Ö Ø ØÙÖ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÁÒØ Ö ØÛ Ò Ó ØÛ Ö Ò Ö Û Ö Ú Ð ØÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö ËØ Ô ØÓ Ò ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÓÖ Ú Ò Óѹ ÔÙØ Ö Û Ø Ø Ú Ð Ð ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ØÓ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ÕÙ ÒØ Ø Ú Ñ Ø Ó ÓÛ Ó Ø ÓÑÔ
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereStatistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.
Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/34 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereLandmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1
Landmålingens fejlteori Sandsynlighedsregning Lektion 1 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 23. april 2009 1/28 Landmålingens
Læs mereJOB-SHOP- SKEDULERING OG TOGSKEDULERING Christian Sc hmidt L YNGBY 2002 EKSAMENSPR OJEKT NR. 34/02 IMM
ÂÇ ¹ËÀÇȹ Ëà ÍÄ ÊÁÆ Ç ÌÇ Ëà ÍÄ ÊÁÆ Ö Ø Ò Ë Ñ Ø Ä Æ ¾¼¼¾ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ»¼¾ IMM ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ ÓÖÓÖ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ ÔÖ ÒØ Ö Ö Ö ÙÐØ Ø ÖÒ Ñ Ø Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ú Ë ¹ Ø ÓÒ ÓÖ ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÐÝ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø ÅÓ ÐÐ
Læs mereOversigt over nyttige fordelinger
Oversigt over nyttige fordelinger Helene Regitze Lund Wandsøe November 14, 2011 1 Bernoulli-fordelingen 1 Når et eksperiment har to mulige udfald: succes eller fiasko. X er en stokastisk variabel med følgende
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereRepetition Stokastisk variabel
Repetition Stokastisk variabel Diskret stokastisk variabel Udfaldsrum endelige eller tællelige mange antal elementer Sandsynlighedsfunktion f(x) er ofte tabellagt Udregning af sandsynligheder P( a < X
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/15 Hvad skal vi lave i dag? Definition af sandsynlighedsrum. Egenskaber ved Sandsynlighedsmål. (Kap. 3). Fødselsdagsproblemet (supplerende eksempel 3.1). Betingede sandsynligheder og uafhængighed
Læs mereÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒØ Ð Ö Ó Ø Ò ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ ÖÑ Å Ø ÈÓ Ø ÓÖ Ö Ã¹ÌÍ ÅÓÖØ ÒÀ Ö ½¾º ÔÖ Ð¾¼¼¼ ½ ÀÚ ÖÅ Ø ÈÓ Ø Å Ø ÈÓ Ø Ö ØÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò ÔÖÓ ¹ Ö ØÔÅ Ø ÓÒغ ØÅ Ø ÈÓ Ø¹ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÒÓÔ Ö ØØ Ð Ø Ò Ö Ö Ò ÐÐ Ö Ö ÙÖ Öº Å Ø ÈÓ
Læs mereStatistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen
Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Læs merew j p j 1 w j / p / = 1
ÆÝ Ö Ö ÙÐØ Ø Ö Ò Ò ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ë ÙÐ Ö Ò Ñ Ö Ú Ð Ø Ö Ô Ò ÐØ¹Ñ Ò Öº Ò Ö Ð ¹ÈÓÚÐ Ò ² Æ ÓÐ Ò Ò ½¼º ÒÙ Ö ¾¼¼ ÁÒ ÓÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ¾ ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ö º½ Ã Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mere¾
½ ¾ ÁÒ ÓÐ ½ ÆÓÑ Ò Ð ØÙÖ ¾ ØÖ Ø ÁÒ Ð Ò Ò ½½ º½ ÓÖÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾ ÁÒ Ð Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º Ä Ú Ð Ò Ò º º
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program
Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereNoter til E6. Del 1: Sandsynlighedsregning. Jørgen Larsen
Noter til E6 Del : Sandsynlighedsregning Jørgen Larsen Januar 2004 Teksten er sat med skriften Latin Modern ved hjælp af pdfl A TEX. Tegningerne er fremstillet med META- POST. Indhold Indledning 3 2 Endelige
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Afsnit 3.3-3.5 Varians Eksempel: Forventet nytte Kovarians og korrelation Middelværdi og varians af summer af stokastiske variabler Eksempel: Porteføljevalg 1 Beskrivelse af fordelinger
Læs mereStatDataN: Middelværdi og varians
StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. maj 04 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereFaggruppe Landmåling og faggruppe trafikstudier. Jakob Jakobsen c958320
*36WLO. UVHOVDIJLIWVV\VWHPHU (NVDPHQVSURMHNW,QVWLWXWIRU3ODQO JQLQJ Faggruppe Landmåling og faggruppe trafikstudier 'DQPDUNV7HNQLVNH8QLYHUVLWHW Jakob Jakobsen c958320 ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ø ¼ ÔÓ ÒØ Ñ Ò ÔÖÓ Ø
Læs mereNogle anvendelser af programmel R, bl.a. til hypotesetest
Frank Bengtson 2013 ÖÒºÒØ ÓÒÑкÓÑ Nogle anvendelser af programmel R, bl.a. til hypotesetest R er specielt egnet til statistik og simulering og kan frit installeres på egen pc. R udfører en programlinje
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereÈÐ ÒÐ Ò Ò Ó ÓÔØ Ñ Ö Ò ÐÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ Ò Ö Ø ÙÐØÙÖ ÐØ Ú Ö ÒØ Ñ Ð ÔÖ Ð ¾¼¼ Ö ØØ ÇØØ Ò ¼½½ ¾µ ÄÓÙ ÌÖ Ò Ö ½ µ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ó Å Ø Ñ Ø ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ê Ò Î ØÓÖ Î ÐÕÙ Î Ð ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö ÙÐØ Ø Ø ÚÓÖ Ñ Ö Ñ ØÖ Ò ÔÓÖع
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereZ[i] = {x + yi x, y Z}. x + yi (x + yi) (x + yi) = x 2 + y 2, α, β Z[i], p 2 = N(p) = N(α)N(β).
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ÔÖ Ð ¾¼¼ Ð Ð Ø ÓÖÖ ÁÒ ÓÐ Ò ÐÑ Ò Ð Ò Ó Ó Ò Ñ ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÖÑ Ð Ò Ø Ú Ø Ø È Å Ð Ò ÌÖ ÒØ Ò Ñ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º
Læs mereSandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable:
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,
Læs mereÐ ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ½ Ó ØÓ Ö ¾¼¼
Ð ÓÖ ØÙ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÒÓÑ Ó ËØ Ø Ø ½ º Ö Ò ÒÖº ½ Ó ØÓ Ö ¾¼¼ ÁÒ ÓÐ ËÓ ÃÓÚ Ð Ú Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð ÖØ Ð Ö ØÓ Ô ÐØ Ø µ ÈÖÑ ÓÔ Ú Ö º º º º º º º º º º º º º º º
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereSandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable: udfald
Læs mereV e l k o m m e n T i l M a t e m a t i k s t u d i e t! P P α ) ν xν αν ϕ(xν ϕ P P αν αν M a t e m a t i s k R u s m a p p e
Î Ð Ó Ñ Ñ Ò Ì Ð Å Ø Ñ Ø Ø Ù Ø ϕ ( αν x ν αν ) αν ϕ(x ν ) αν Å Ø Ñ Ø Ê Ù Ñ Ô Ô ¾ ¼ ¼ ¼ ÁÒ ÓÐ ½ Î Ð ÓÑÑ Ò ¾ Ò Ö Ø Ù ¾º½ Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ñ Ø Ö Ò ØÖÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ò Ò
Læs merexi ; ˆσ 2 =, s/ n t(n 1)
ÃÙÖ Ù ¼¾¼¾ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÃÔØÐ ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ÒÒÑ ÒØ ÓÒ¹ ÑÔÐ ØÙÔµº º¹º ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø
Læs mereKombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.
Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder
Læs mere