Mat 1. 2-timersprøve den 10. december 2017.

Transkript

1 Ma. -imersprøve den. december 7. JE 8..7 Opgave resar;wih(linearalgebra): Give de inhomogene lineære ligningssysem lign:=x-*x+3*x3=a^+*a-3; lign d x K x C3 x3 = a C a K3 lign:=x+*x-*x3=a^+3; lign d x C x K x3 = a C3 hvor a er e vilkårlig reel al. Koefficienmaricen A og højresiden b er A,b:=GeneraeMarix([lign,lign],[x,x,x3]); A, b d K 3 K, a C a K3 a C3 (.) (.) (.3) Spørgsmål a:=: De lineære ligningssysem er da lign; lign; x K x C3 x3 =8 x C x K x3 =4 Toalmaricen T = [A b] er T:=GeneraeMarix([lign,lign],[x,x,x3],augmened=rue); T d K 3 8 K 4 som har rappeformen rap('t'):=reducedrowechelonform(t); rap T d K 6 K K De fuldsændig reducerede lineære ligningssysem er da x Kx 3 =6 x K x 3 =K Sæes x 3 = fås den fuldsændige løsning på sandardparameerform (x, x, x 3 )= 6,K, C,,, =. Med Maple fås (..) (..) (..3) (..4)

2 x:=linearsolve(t,free=); x d 6 C 3 K C 3 (..) 3 Heraf aflæses så den fuldsændige løsning på sandardparameerform (x, x, x 3 )= 6,K, C,,, =. Spørgsmål a:='a': x:=<-7,7,-; x d K7 7 K x = K7, 7,K er en løsning il ligningssyseme Ax = b. A.x=b; K4 = a C a K3 a C3 (..) (..) Heraf ses, a Ax = b a C3 = og a C a K3 =K4 a = 9 og a C a C = a =G3 og a C a C =. Ved indsæelse ses, a kun a =K3 opfylder andengradsligningen a C a C =. Alså (x, x, x 3 )= K7, 7,K er en løsning il ligningssyseme a =K3. Opgave resar;wih(linearalgebra): Give den symmeriske marix A:=<<,,,- <,,-, <,-,, <-,,,; K K A d K K (.) Spørgsmål De karakerisiske polynomium for A på fuldsændig fakorisere form er P(lambda):=facor(Deerminan(A-lambda*IdeniyMarix(4))); P λ d λk λc (..) Heraf aflæses, a de karakerisiske polynomium for A har dobbelrødderne og K hvilke beyder, a A har egenværdierne og K begge med algebraisk muliplicie.

3 Spørgsmål g:=(x,y)-evalb(x[]<y[]): ev:=sor(eigenvecors(a,oupu=lis),g); K ev d K,,,,,,, K (..) Maple angiver orogonale basisvekorer for både E K og E. Da de o egenvekorrum E K og E er orogonale, ide A er symmerisk, så får vi en oronormal basis for = 4 udsyre med de sædvanlige skalarproduk ved a normere de fire vise basisvekorer. q:=/sqr()*<,,,: q:=/sqr()*<,,,: q3:=/sqr()*<-,,,: q4:=/sqr()*<,-,,: Hvis Q:=<q q q3 q4; K Q d K (..) og Lambda:=DiagonalMarix([-,-,,]); så er Q orogonal og Konrol med Maple Transpose(Q).Q; Λ d K K Q K A Q = Λ A = Q Λ Q K = Q Λ Q T. (..3) (..4)

4 A=Q.Lambda.Transpose(Q); K K K K = K K (..) K K Spørgsmål 3 Vi berager den lineære afbildning f : = 4 /= 4, som har e F e = [ e f (e ) e f(e ) e f (e 3 ) e f(e 4 ) ] = A. efe:=a; Vi berager endvidere de -dimensionale underrum U = {u= 4 f(u) = Ku} i = 4. De ses, a U = E K. v:=</,/,/,/; Da ef('v')=efe.v; efe d K K K K v d K (.3.) (.3.) ef v = K K (.3.3) K så er f(v ) = Kv. Heraf følger, a v U. De ses også, a v = (,,, ) + (,,, ), hvor (,,, ) og (,,, ) ifølge spørgsmål er o basisvekorer for U.

5 Heraf følger aer, a v U. v = (,,, ) K (,,, ) = (,K,K, ) er også en enhedsvekor i U. Da de o enhedsvekorer v og v er orogonale, så er sæe (v, v ) en oronormal basis for U. Vi kunne selvfølgelig også have benye "Gram-Schmid" med feks u = (,,, ) U: w = u K(u,v ) v v = w w. Opgave 3 resar;wih(linearalgebra): assume(,real): inerface(showassumed=): I vekorrumme CN(R,C) er e 4-dimensional underrum U give ved sin basis: a = (cos, sin,e cos,e Ci ). En lineær afbildning f : U U er give ved forskrifen f:=x-diff(x,,)-*diff(x,)+*x; f d x v v x K v x C x v Spørgsmål Billederne af de o sidse basisvekorer f(exp()*cos()); f(exp((+i)*)); Da vi ser, a f (e cos ) = for alle = og f (e Ci ) = for alle =, så ilhører de o basisvekorer e cos og e Ci kernen for f. Spørgsmål Billederne af de o førse basisvekorer f(cos()); cos C sin f(sin()); sin K cos Heraf og af spørgsmål aflæses, a afa:=<<,,, <-,,, <,,, <,,,; afa d (Vedr.. søjle: f (sin()) = - cos() + sin() ) K (3.) (3..) (3..) (3..) (3..) (3..3)

6 Spørgsmål 3 Koordinavekoren for cos med hensyn il basis a er a_cos:=<,,,; a_cos d f (x()) = cos a f (x()) = a cos a F a a x() = a cos. x:=linearsolve(afa,a_cos,free=c); x d K c 3 (3.3.) (3.3.) c 4 Dvs samlige løsning il ligningen er x() = cos Ksin Cc e cos Cc e Ci, =, c, c C. f(cos()-*sin()+c*exp()*cos()+c*exp((+i)*)); cos som forvener. Opgave 4 resar;wih(linearalgebra):wih(plos): x # = 4 K x, =. x # K x (3.3.3) Spørgsmål A:=<<4, <-,-; A d 4 K K g:=(x,y)-evalb(x[]<y[]): sor(eigenvecors(a,oupu=lis),g); K,,,,, (4..) (4..) Heraf aflæses, a samlige egenværdier for sysemmaricen A er og - med de ilhørende

7 egenvekorrum E = span Eller skreve ud i Maple x:=-c*+c**exp(-): x:=-c*+c*exp(-): 'x[]()'=x(); x = c C c e K og E K = E og E K er lineær uafhængige, da de ilhørende egenværdier er forskellige. Den fuldsændige løsning il differenialligningssyseme er da x = c x Cc ek, =, c, c =. 'x[]()'=x(); x = c Cc e K. (4..3) (4..4) Spørgsmål Af figuren aflæses, a (x, x ) = (,). Til besemmelse af konsanerne c og c haves de lineære ligningssysem x x med ilhørende oalmarix T:=<<, <, <,; som har rappeformen rap('t'):=reducedrowechelonform(t); rap T d K Heraf aflæses, a c:=; og c:=-; = c Cc Den søge løsning er da x = x KeK =, =. c c = T d c d c d K. (4..) (4..) (4..3) (4..4)

8 Eller skreve ud i Maple 'x[]()'=x(); 'x[]()'=x(); x =K4 e K x =K e K hvor =. Da e K går mod for gående mod uendelig, så går x mod og x mod, når går mod uendelig. P:=plo(x(),=..,hickness=3,color=blue): P:=plo(x(),=..,hickness=3,color=red): punker:=poinplo([[,],[,]],symbol=solidcircle, symbolsize=): display(p,p,punker,scaling=consrained,view=..); (4..) (4..6) Spørgsmål 3 Andre ikke konsane løsninger, der opfylder de ønskede, fås ved a fasholde c = og ændre på c. Feks

9 Eller skreve ud i Maple 'x[]()'=x(); c:=;c:=; Den søge løsning er da x = x CeK 'x[]()'=x();, =. c d c d x =C e K Hvor =. P:=plo(x(),=..,hickness=3,color=blue): P:=plo(x(),=..,hickness=3,color=red): display(p,p,scaling=consrained,view=..); x =Ce K (4.3.) (4.3.) (4.3.3)