Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
|
|
- Henrik Strøm
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende til opgave at forklare, hvordan man kommer frem til facit i de enkelte opgaver. Jeg har skrevet 'for meget' tekst for at forklare. Udregningerne er meget udpenslede, så de este kan være med.
2 Indhold Problem 3 Problem 6 Problem 3 9 Problem 4 Problem 5 3
3 Problem a. Dierentier funktionen f(x) = 5 x x + ln x 7. I stedet for bare at dierentiere med det samme med kvotientregel og kæderegel, så lad os lave en omskrivning i stedet. Hvis vi har en brøk, a b kan denne skrives a b c c c. Det vil sige, at vi kan skrive 5 x x = 5x 0 x = 5x x 0 x = 5 0 x. Da 5-tallet står for sig selv (uden at være ganget på en funktion med x), er dette en konstant. Altså forsvinder 5-tallet, når vi dierentierer. Derudover er 0 en konstant, der er ganget på. Altså forsvinder 0 IKKE, men derimod skal denne x blot ganges på den aedede for /x. Vi ved, at (eventuelt ved at slå op i et hæfte) ( ) = x x. Derfor er ( 0 x) ( ) = 0 = 0 x x = 0 x. Altså ( 5 x ) = 0 x x Lad os nu kigge på logaritme-omskrivningsregler: ln(a b) = ln(a) + ln(b), ln a b = ln(a) ln(b). Vi vil gerne bruge sidstnævnte, da vi så kan lave omskrivningen ln x 7 = ln(x) ln(7). Her er ln(7) bare en konstant. Derfor forsvinder dette led ved dierentiation. Vi ved desuden, at (ln(x)) = x. Derfor er ( ln x ) = 7 x. Dette giver f (x) = 0 x + x = 0 x + x x = 0 + x. x Bemærk, at vi har forlænget brøken /x med x (det vil sige ganger med x i både tæller og nævner) for at få brøkerne på samme brøkstreg. INDHOLD 3
4 b. Bestem en ligning for tangenten til grafen for f(x) i punktet (x 0, y 0 ) = (, ln 7 ). Tangentens ligning er givet ved y = f (x 0 )(x x 0 ) + y 0. Vi mangler altså blot at udregne f (x 0 ). Vi bruger f (x) som fundet i forrige opgave: Dermed bliver tangentens ligning: f () = 0 + = 4 = 3. y = 3(x ) + ln 7 = 3x 6 + ln() ln(7). Hvis man har lyst kan man lave den sidste omskrivning, men det er der reelt set ingen grund til. c. Eftervis, at der for g(x) = ( + x) ln( + x) ( + x) gælder, at g (x) = ln( + x). Vi skal bruge produktreglen, og kædereglen, Lad os sætte p(x) = + x. Dermed er (p(x) q(x)) = p (x) q(x) + p(x) q (x), (h(p(x))) = h (p(x)) p (x). p (x) =. Hvis vi sætter q(x) = ln( + x) skal vi bruge kædereglen til at dierentiere denne. Så vi lader h(x) = ln(x) være den ydre funktion. Denne dierentieret giver h(x) = ln(x) h (x) = x. Den indre funktion er som tidligere angivet, p(x) = + x, hvorfor h (p(x)) = + x. Vi har allerede fundet p (x), hvorfor vi kan nde q (x) med kædereglen: q (x) = (h(p(x))) = + x = + x. Vi kan nu bruge produktreglen, da vi kender både p(x) og q(x): g + x (x) = ln(+x)+(+x) = ln(+x)+ = ln(+x)+ = ln(+x). + x + x INDHOLD 4
5 d. Bestem arealet A af det område, der er afgrænset af linjerne x =, x = 3 og y = 0 samt af grafen for funktionen h(x) = ln( + x). Jeg vil først bemærke følgende to regneregler: a = a, ln(a b ) = b ln(a). Vi kan bruge disse to regneregler til at omskrive h(x). Vi får: h(x) = ln( ( ) + x) = ln ( + x) = ln( + x) Vi kan nu opstille integralet til at nde arealet A: A = = = h(x) dx ln( + x) ln( + x). Men i forrige opgave fandt vi ud af, at (( + x) ln( + x) ( + x)) = ln( + x). Det betyder omvendt, at ln( + x) dx = ( + x) ln( + x) ( + x). Hvorfor vi får: A = 3 ln( + x) = [( + x) ln( + x) ( + x)]3 = ((( + 3) ln( + 3) ( + 3)) (( + ) ln( + ) ( + ))) = ((4 ln(4) 4) ( ln() )) = (4 ln(4) 4 ln() + ) = ( 4 ln( ) ln() ) = (4 ln() ln() ) = (8 ln() ln() ) = (6 ln() ) = 6 ln() = 3 ln(). Bemærk, at 8 ln() ln() = 6 ln(). Det svarer lidt til, at du har 8 bananer og så fjerner du bananer. Så har du kun 6 bananer tilbage. Samme princip med ln i stedet for bananer. Samme eksempel gælder også for matches på Tinder. INDHOLD 5
6 Problem Her betegner Q = (3, 4, ) og R = (, 0, ) to punkter i rummet, med Origo O = (0, 0, 0). a. Udregn krydsproduktet n = u v, idet u = OQ og v = OR. Vis, at arealet af parallellogrammet udspændt af vektorerne u og v er lig med 05. Vi udregner u og v (det er mere en formalitet end en egentlig udregning): u = 4 0 = 4, v = 0 0 = Vi udregner nu n: i j k n = u v = = i 4 0 j 3 + k = i(4 0) j(3 ( )) + k(3 0 4 ( )) = i(4 0) j(3 + ) + k(0 + 8) = 4i 5j + 8k 4 = 5. 8 Længden af n svarer til arealet af det udspændte parallellogram. Vi udregner: n = 4 + ( 5) + 8 = = 05. Perfekt, lortet passer, ses i næste opgave. b. Bestem en ligning for planet P, der indeholder punkterne O, Q og R. Generelt gælder for et plan indeholdt punktet (x 0, y 0, z 0 ) og med normalvektoren a n = b, at planets ligning er givet ved c a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0. Vi benytter punktet O = (0, 0, 0) og normalvektoren fra forrige opgave: hvilket altså kan reduceres til 4(x 0) 5(y 0) + 8(z 0) = 0, 4x 5y + 8z = 0. INDHOLD 6
7 c. Et andet plan P er givet ved ligningen x y + 3z =. Angiv en normalvektor n for P og udregn n n. Begrund dernæst at P og P hverken er parallelle eller sammenfaldende. Vi kan aæse normalvektoren af ligningen til n =. 3 Vi nder nu n n : i j k n n = = i j k 4 5 = i( ( )) j(4 3 8 ) + k(4 ( ) ( 5) ) = i( 5 + 6) j( 8) + k( 8 + 5) = i 4j 3k = 4. 3 Hvis planerne skal være sammenfaldende eller parallelle vil normalvektorerne være parallelle. Hvis normalvektorerne til planerne er parallelle, så vil de ikke udspænde et parallellogram, og derfor vil det 'udspændte parallellogram' have areal 0. Men da længden n n = + ( 4) + ( 3) > 0, udspænder de to normalvektorer altså et parallellogram. d. Forklar hvorfor skæringslinjen L til planerne P og P har de symmetriske ligninger x + = y 4 = z 3. Vektorproduktet n n svarer faktisk til retningsvektoren for skæringslinjen. Dette ses også ved omskrivningen x + = y 4 = z 3. Vi kan altså aæse, at retningsvektorens koordinater stemmer over ens med nævneren af de tre brøker. Vi aæser, at linjen angiveligt går igennem punktet (, 0, ). Planerne skal altså begge have dette punkt i sig for, at det er et skæringspunkt. Vi indsætter altså punktkoordinaterne i ligningerne for de to planer, 4x 5y + 8z = 0 x y + 3z =, INDHOLD 7
8 og ser, om punktet opfylder lighederne: 4 ( ) = = = = Punktet ligger altså i begge planer, hvorfor det er et skæringspunkt, hvilket betyder, det må ligge på skæringslinjen. INDHOLD 8
9 Problem 3 a. Her betragtes det lineære ligningssystem x x x 3 = 4 3x x 3x = x x 3 = 6. Angiv ligningssystemet som en matrixligning på formen Ax = b. Bestem dernæst totalmatricens reducerede echelonform. Matrix-ligningen bliver (ved at aæse koecienterne): x x =. 0 x 3 6 Totalmatricen opskrives da og reduceres r 3r r 4 r 3 r r r r r3 r r 3 r +r r b. Opskriv ligningssystemets løsningsmængde. Vi skriver totalmatricens reducerede echelonform som ligningssystemer: x x 3 = 3 x 3 er en fri variabel. x = 7 Vi får da x = 3 + x 3. x 3 x = 7 + x 3 0, x 3 0 c. Angiv løsningsmængden for det tilhørende homogene ligningssystem. Skriv dernæst A's 3. søjle, a 3, som en linearkombination af de to første søjler a og a. Løsningsmængden for det homogene ligningssystem er givet som løsningsmængden fra det heterogene system blot hvor sidste søjle er 0. Det vil sige: x x = x 3 0, x 3 INDHOLD 9
10 da x x 3 = 0 x 3 er en fri variabel. Fjernes højresiden af lig med i ovenstående fås x = 0 Vi kan da aæse koecienterne til linearkombinationen for a 3 til a og 0a. Altså er a 3 = a + 0a = a d. Afgør om A kommuterer med matricen B = 6 6 Vi ganger AB = = = og BA = = = Så hvis jeg har regnet rigtigt, kommuterer A med B, da AB = BA. Det er tallene, der står i tredje søjle i den respektive række. INDHOLD 0
11 Problem 4 a. Bestem denitionsmængden D for funktionen f(x, y) = x 6y præcist ved en ulighed, og lav en skitse af D. Vi spørger os selv: Kan funktionen give problemer på noget tidspunkt? Svaret er ja, hvis vi tager kvadratroden af noget negativt. Det vil sige, at det inde i kvadratroden skal være 0 eller større. Altså x 6y 0. Vi kan omskrive dette ved at lægge 6y til på begge sider x 6y, hvorefter vi kan dividere med på begge sider: x 3y. Dette svarer til en parabel, 'der ligger ned' en større forklaring kan ndes i eksamenssættet for b. Udregn de partielle aedede f x Vi skal bruge kædereglen f x = f g g x. og f y. Desværre tror jeg ikke, at I lærer den her måde at skrive det på på GBE, så lad os i stedet bruge kædereglen på formen: Vi denerer (h(g(x))) = h (g(x)) g (x). h(g) = g, g(x, y) = x 6y. Den ydre funktions aedede ændrer sig ikke, om det er f f eller, der skal regnes, x y da den ydre dierentieres i forhold til den indre funktion. Vi dierentierer: h (g) = g = g(x, y) = x 6y, hvor vi erstatter g med funktionen. Vi kan nu dierentiere den indre funktion i forhold til både x og y: g x (x, y) = g(x, y) = x g y (x, y) = g(x, y) = 6 y = y. y Dermed kan vi nu udregne de partielle aedede: f x = h (g(x, y)) g x (x, y) = f y = h (g(x, y)) g y (x, y) = 3 Jeg er lidt doven. x 6y = x 6y x 6y ( y) = 6y. x 6y INDHOLD
12 c. Bestem en ligning for de punkter (x, y, z), der tilhører tangentplanet for f's graf i punktet (x 0, y 0, z 0 ) = (4,, f(4, )). Tangentplanet er generelt givet ved z = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 ) + f(x 0, y 0 ), hvor f x = f/ x og f y = f/ y. Vi mangler altså at udregne 3 værdier. Vi indsætter punktet: f(4, ) = 4 6 ( ) = 8 6 = f x (4, ) = = = 4 6 ( ) = 6 ( ) f y (4, ) = = 6 = 3 = 3 = ( ) Bemærk, at jeg anvender omskrivningen =, da kvadratrod og potens 'spiser' hinanden. Eftersom der divideres med spiser denne kvadratrod den ene af de to kvadratrødder i tælleren. 4 Vi indsætter nu vores fundne tal i formlen nævnt i starten af opgaven: z = (x 4) + 3 (y ( )) + = x 4 + 3y = (x 4 + 3y ) = (x + 3y), hvor jeg har taget uden for en parentes, da denne indgår i alle ledene. Altså kan tangentplanets lining gives ved z = (x + 3y). d. Bestem z sådan at tangentplanet fra spørgsmål (c) indeholder (x, y, z) for x = 5 og y = 0. Vi indsætter blot x = 5 og y = 0 i tangentplanets ligning fra før: z = ( ) = (5 + 0) = 5. Altså er z = 5, hvis punktet med koordinaterne x = 5 og y = 0 skal ligge i tangentplanet. 4 Der er jo to, da vi har kvadratroden i anden. INDHOLD
13 Problem 5 Find maksimumværdien max V f(x, x ), og også det punkt (x, x ) hvor f(x, x ) antager sin maksimale værdi, idet f(x, x ) = x + 7x, og idet V er området, hvori (x, x ) opfylder ulighederne: x + x 0 x + x 30 x 6 foruden at x 0, x 0. (Man kan bruge den geometriske metode eller simplex metoden). Svar : Den geometriske metode Lad os først kigge på, hvordan vi får tegnet linjerne. Planen er at sætte x = 0 først og så nde en tilhørende værdi for x. Derefter kan vi sætte x = 0 og så nde den tilhørende værdi for x. Vi betragter desuden 'lighed' frem for ulighed: Indsættes x = 0 fås: x + x = x = x = 0 x = 0 = 0. Altså giver den ligning et punkt (0, 0). Tilsvarende for x = 0: x + 0 = x = 0. Dermed er (0, 0) også et punkt på linjen. Vi kan altså forbinde punkterne (0, 0) og (0, 0). Dette giver den grønne linje som ses nedenunder. Vi kigger nu på ligningen Lad x = 0, så får vi x + x = x = x = 30. Dermed er (0, 30) et punkt på linjen. Sættes x = 0 fås ligeledes: x + 0 = x = 30 x = 30 = 5. Altså er (0, 5) et punkt på linjen. Altså forbinder vi blot punkterne (0, 30) og (5, 0), hvilket giver den røde linje på guren. Slutteligt kigger vi på x = 6. Men det er jo bare en konstant linje, hvorfor vi får den orange linje i guren. Vi kan kun bruge punkter på og under linjerne grundet ulighederne. Dette giver det blå område i guren med de angivne hjørnepunkter: INDHOLD 3
14 Vi skal maksimere f(x, x ) = x + 7x, hvorfor vi principielt bare kan indsætte alle punkterne, der er markeret i grafen, i funktionen og vælge den største værdi, der kommer ud af det. Men vi kan også lige sortere nogle fra, hvis vi ikke gider regne så meget. Da der er plus mellem variablene i funktionen, så skal vi bare øge x og x så meget, vi kan. Starter vi i A kan vi både øge x og x uden at reducere en anden variabel. Altså er både B og D større værdier. Ligeledes kan vi gå fra B til C ved blot at øge x, hvorfor C giver en større værdi end B. Vi kan ikke gå mellem C, D og/eller E, da forøgelsen af en variabels værdi fører til reduktion af den anden. Vi skal altså først nde punkterne C og E. Vi kender D, da denne blot er skæringen, vi udregnede før. Vi kender også x -koordinatet for C, da denne er skæringen mellem den orange og grønne linje, og da den orange konstant er x = 6, så må C også have dette koordinat. Vi kan da udregne x ved at indsætte x = 6 i ligningen for den grønne linje. Vi får: x + 6 = x + = 0 x = 0 = 8. Altså er C = (8, 6). Vi betragter nu linjerne x + x = 0, x + x = 30, da skæringen mellem disse er punktet E. Vi isolerer først x i den første ligning: x + x = 0 x = 0 x. Denne værdi for x kan nu indsættes i den anden ligning, hvorved vi får: x +x = (0 x )+x = 40 4x +x = 40 3x = 30 3x = = 0 x = 0 3. INDHOLD 4
15 Altså er x = 0 3. Vi indsætter nu den værdi i x = 0 x fra før: x = = = ). Vi indsætter nu C, D og E i funktionen, der skulle maksi- Dermed er E = ( 40 meres, og vi får: 3, 0 3 f(c) = f(8, 6) = = = 58 f(d) = f(5, 0) = = = 30 ( 40 f(e) = f 3, 0 ) = = = 50 3 = 50. Vi ser, at max V f(x, x ) = 58, hvor (x, x ) = (8, 6). Svar : Simplex-metoden Vi introducerer slack-variablene, S, S, S 3, til ligningssystemet, således vi får ligheder frem for uligheder: x + x + S = 0 x + x + S = 30 x + S 3 = 6, samt slack-variablen S 4 til vores funktionsværdi, således at x + 7x = S 4 x 7x + S 4 = 0 Vi kan nu opstille matricen for ligningsystemet: x x S S S 3 S Vi vælger nu at pivotere omkring den søjle, som har laveste (negative) værdi i nederste række. Dette er værdien 7, hvilket svarer til søjle nummer. Vi nder nu, hvilken række vi skal kigge på. Da 0/ = 0, 30/ = 30, 6/ = 6, vælger vi tredje række, da denne giver det laveste forhold. Vi skal altså have 0'er i rækkerne over og under række 3's søjle : x x S S S 3 S r r 3 r r r 3 r r 4 +7r 3 r 4 x x S S S 3 S Vi kan nu kun vælge søjle, da denne er den eneste med et negativt tal i nederste søjle. Indgangen vi skal pivotere omkring ndes ved at sige 8/ = 8 og 4/ =,. INDHOLD 5
16 hvilket vil sige, at vi vælger række. Vi får altså: x x S S S 3 S 4 x x S S S 3 S r r r r 4 +r r Da der ikke er ere negative værdier i sidste søjle, er vi færdige. Eftersom x -søjlen har pivot i første række, kan vi aæse, at x = 8. Tilsvarende for x -søjlen er 3. række pivot, hvorfor vi aæser x = 6. Det betyder, at vi har maksimum i punktet (x, x ) = (8, 6). Værdien, som dette punkt giver, ses i det nederste højre hjørne. Altså er den maksimale værdi, max V f(x, x ) = 58. Dette stemmer også ens med, hvad vi fandt i den geometriske metode. INDHOLD 6
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Reeksamen August 2017
Besvarelser til Calculus Reeksamen -. August 7 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende til opgave
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 217 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereAndengradspolynomier - Gymnasienoter
- Gymnasienoter http://findinge.com/ Tag forbehold for eventuelle fejl/typos. Indhold Forord 3 Toppunktsformlen - Bevismetode 1 4 Toppunktsformlen - Bevismetode 6 Andengradspolynomiets symmetri 7 Rodfaktorisering
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMini-formelsamling. Matematik 1
Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereÆstetik og reduktioner Matematisk takt og tone. Mikkel Findinge
Æstetik og reduktioner Matematisk takt og tone Mikkel Findinge Indhold Indledning. Hvad er god matematisk skik?...................... Starttips før ulvehyl 4. Primtalsfaktorisering...........................
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereLøsningsforslag Mat B 10. februar 2012
Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.
Læs mereDifferentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009)
Differentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Indledende differentialregning...3
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereEmneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:
Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereFunktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder
Funktionsundersøgelse Rasmus Sylvester Bryder 7. november 2008 Dette projekt aeveres i forbindelse med LA T EX 2ε-kurset vejledningsuge 2, 2008-09 på KU; til projektet benyttes noter givet til opgaveløsning.
Læs mereBesvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.
Læs mere10. Differentialregning
10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereLøsning MatB - januar 2013
Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereLineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed
Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1
Læs mereMATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.
MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer
Læs mereMatematik og FormLineære ligningssystemer
Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereLøsningsforslag 27. januar 2011
Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)
Læs mereMatematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer
Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2016 1 / 10 Ligningssystemer og matricer Ligningssystem totalmatrix Til et ligningssystem
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereAflevering 4: Mindste kvadraters metode
Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra
Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereEksempel på 2-timersprøve 2 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Februar 4 Opgave Maplekommandoerne expand( (z-*exp(i*pi/))*(z-*exp(-i*pi/))*(z-exp(i*pi/))*(z-exp(-i*pi/))): sort(%); resulterer i polynomiet z 4 z + z
Læs mereMatematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet
Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem
Læs mereUgesedler til sommerkursus
Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereEksempel på 2-timersprøve 1 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Marts 4 Opgave Vi skal løse ligningen () z (8 + i) e i 6 = Løsningen ønskes angivet på rektangulær form, dvs. på formen x + iy, hvor x; y R. Vi nder umiddelbart
Læs mere-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1
En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop
Læs mereLøsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple
Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Reducering Reducér følgende udtryk: Vi ganger dividerer med i både nævner og begge led i tælleren:
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereForslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:
Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mereContents. Introduktion 2
Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mereNotesæt - Eksempler på polær integration
Notesæt - Eksempler på polær integration Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument forsøger blot at forklare,
Læs mereOpgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst?
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en teoretisk indføring, men der er i stedet fokus på at illustrere nogle centrale
Læs mereUgeseddel 12(10.12 14.12)
Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen
Læs mereLøsningsforslag MatB Juni 2014
Løsningsforslag MatB Juni 2014 Opgave 1 (5 %) a) Bestem en ligning for den rette linje l, der indeholder punkterne P( 2,4) og Q(4, 1) Løsning: Da de to punkter er givet kan vi beregne hældningen på følgende
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.
Læs mereLøsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple
Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Parallelle linjer En linje l går gennem punktet og er parallel med linjen m der er givet ved:
Læs mereLøsningsforslag Mat B August 2012
Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave
Læs mereFunktioner. 2. del Karsten Juul
Funktioner 2. del 2018 Karsten Juul 18. Eksponentiel funktion forskrift 18.1 Oplæg nr. 1 til forskrift for eksponentiel funktion... 52 18.2 Oplæg nr. 2 til forskrift for eksponentiel funktion... 53 18.3.
Læs merematx.dk Enkle modeller
matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereLøsningsforslag MatB December 2013
Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor
Læs mereFigur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Læs mereVektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:
Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:
Læs mereLineære ligningssystemer og Gauss-elimination
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereDifferentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereDiploMat. Eksempel på 4-timersprøve.
DiloMat. Eksemel å 4-timersrøve. Preben lsholm Maj 4 Ogave Vi skal løse ligningen e i 4 z 3 i = Løsningen skal angives å olær form, dvs. å formen re i, hvor r > og R. Først nder vi e i 4 z = 3 Heraf fås
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereStart-mat. for stx og hf Karsten Juul
Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes
Læs mereDifferentiation i praksis
Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere
Læs mereAng. skriftlig matematik B på hf
Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet
Læs mereKapitel 2. Differentialregning A
Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation
Læs mereComputerundervisning
Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mere