Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Mål for sammenhæng mellem to variable

Transkript

1 Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Mål for sammenhæng mellem to variable

2 Estimation Stikprøve Data Population Teori relativ hyppighed parameter estimat sandsynlighed parameter p 1 p 1 1

3 Estimation i Bissau data Udfra data hvad er da vores bedste bud pådødssandsynlighederne? Death BCG Yes No Total Yes No Total Estimeret dødssandsynlig med BCG: p 1 =124/3300=3.76% Estimeret dødssandsynlig uden BCG: p 2 = 97/1973=4.92% 2

4 Relativ risiko Outcome Exposure Yes No Total Yes a b n 1 No c d n 2 Total a + c b + d n Relativ risiko: RR = p 1 p 2 = sandsynlighed for outcome for eksponerede sandsynlighed for outcome for ikke-eksponerede RR = a/n 1 c/n 2 3

5 Beregning i Bissau data RR = 3.76% 4.92% = Death BCG Yes No Total Yes No Total Vaccination nedsætter dødssandsynlighed med ( ) = 23.6% (alle mellemregninger: = = 1 RR) 4

6 Sammenhæng mellem sandsynlighed og odds odds = p/(1 p) jo større sandsynlighed jo større odds. p = 0.5 odds = = 1 p = 0.75 odds = = 3 5

7 Odds ratio Outcome Exposure Yes No Total Yes a b n 1 No c d n 2 Total a + c b + d n Odds ratio: OR = p 1/(1 p 1 ) p 2 /(1 p 2 ) = ÔR = a/b c/d = a d b c odds for outcome blandt eksponerede odds for outcome blandt ikke-eksponerede fordi odds = a/n 1 b/n 1 = a/b 6

8 Approksimation for sjældne hændelser Odds ratioen er svær at forstå Når sandsynligheden p er lille p/(1 p) p derfor: odds ratio relativ risiko 7

9 Beregning i Bissau data Death BCG Yes No Total Yes No Total RR = 3.76% 4.92% = ÔR = = Forskel i dødssandsynlighed p 1 p 2 = 3.76% 4.92% = 1.16% 8

10 Tabel 9.1: Arbejdsløshed og eksponering for vold Data fra levekårsundersøgelsen fra Udsat for vold Arbejdsløs ja nej Total ja % 94.6% 100% nej % 96.9% 100% 9

11 Den epidemiologiske synsvinkel Relation med arbejdsløshed som årsag og vold/trusler om vold som virkning. Overrisikoen for at blive udsat for vold eller trusler: Risiko forskel = 5.4% 3.1% = 2.3% Relativ risiko = 5.4/3.1 = 1.74 Odds-ratio = 5.4/ /96.9 = 1.77 Den relative risiko og odds-ratioen ligger meget tæt på hinanden fordi der er tale om en forholdsvis sjælden hændelse. 10

12 Den sociologiske synsvinkel Man skal se på risikoen for at blive arbejdsløs givet, at man har været udsat for (trusler om) vold: Udsat for vold Arbejdsløs ja nej ja % 13.5% nej % 86.5% % 100% 11

13 Den sociologiske synsvinkel Risiko forskel = 21.6% 13.5% = 8.1% Relativ risiko = 21.6/13.5 = 1.60 Odds-ratio = 21.6/ /86.5 = 1.77 Odds-ratioen er den samme som tidligere. Odds-ratio værdien (og alle funktioner af odds-ratioen) er det eneste mål for sammenhæng i 2 2-tabeller, der er den samme uanset synsvinkel. 12

14 Odds ratio - afhænger ikke af kausal retning Outcome Exposure Yes No Yes a b No c d Odds ratio exposure påvirker outcome : ÔR = a/b c/d = a d b c Odds ratio outcome påvirker exposure : ÔR = a/c b/d = a d b c 13

15 Sikkerhedsinterval for OR ÔR er ikke normalfordelt. Derfor kan vi ikke bruge den sædvanlige formel. Man kan vise at log(ôr) er approximativt normal. Standard error for logaritme transformeret odds-ratio: se[log(ôr)] = 1 a + 1 b + 1 c + 1 d = = estimat standard error 95% CI log(or) Sikkerhedsinterval for OR: [exp(0.081); exp(1.054)] = [1.09; 2.87] 14

16 Ordinale data: r c tabeller Tabel 9.5: Fordelingen af ensformigt og psykisk krævende arbejde i levekårsundersøgelsen i 1986 psykisk krævende arbejde enformigt ja af og til nej total ja % 19.9% 71.0% 100% af jo til % 33.0% 55.8% 100% nej % 34.5% 45.4% 100% total % 32.8% 49.0% 100% 15

17 Hvad betyder sammenhæng? Sammenhæng: Fordelingen af outcome afhænger af exposure. out. exp total 1 50% 30% 20% 100% 2 50% 30% 20% 100% 3 50% 30% 20% 100% ingen sammenhæng out. exp total 1 50% 30% 20% 100% 2 30% 50% 20% 100% 3 20% 30% 50% 100% sammenhæng 16

18 Monotone sammenhænge out. exp % 30% 20% 2 30% 50% 20% 3 20% 30% 50% positiv sammenhæng out. exp % 30% 50% 2 30% 50% 20% 3 50% 30% 20% negativ sammenhæng positiv sammenhæng: når eksponeringen vokser rykkes outcome fordelingen mod et højere niveau 17

19 Ikke-monotone sammenhænge out. exp % 30% 50% 2 50% 30% 20% 3 20% 30% 50% 18

20 Gamma-koefficienten Kvantitativt mål for styrken af sammenhæng mellem to ordinale variable. Beregnes ved parvise sammenligner af alle personer i data. To personer udtages og vi undersøger om den person der har højest x-værdi også har den højeste y-værdi. 19

21 Parvis sammenligning af individer To sæt observationer, 1) værdierne x 1 og y 1 for den første person og 2) værdierne x 2 og y 2 for den anden. Undersøg: 1. hvilken af de to x-værdier, der er den største? 2. hvilken af de to y-værdier, der er størst? 3. er der samme tendens ved sammenligning af x-værdierne, som ved sammenligning af y-værdierne? 20

22 Konkordans og diskordans Konkordans hvis der er samme tendens i x-værdierne som i y-værdierne. Dvs., hvis enten x 1 > x 2 og y 1 > y 2 eller x 1 < x 2 og y 1 < y 2 Diskordans hvis der er modsatte tendens i x-værdierne som i y-værdierne, enten x 1 > x 2 og y 1 < y 2 eller x 1 < x 2 og y 1 > y 2 Sammenfald Hverken konkordans eller diskordans: sammenfald af x eller y-værdier 21

23 Konkordans og diskordans - opgave person IQ Indkomst Angiv for hver mulig parvis sammenligning om parret er konkordant, diskordant eller sammenfaldende. 22

24 Illustration af konkordans Her er alle mulige sammenligninger konkordante 23

25 Illustration af konkordans og diskordans Alle sammenligninger med sidste person (x = 10) er diskordante 24

26 Positiv og negativ sammenhæng Sandsynligheder for konkordans, diskordans og sammenfald: p C = sandsynligheden for at en sammenligning mellem to personer resulterer i konkordans p D = sandsynligheden for at en sammenligning mellem to personer resulterer i diskordans p S = sandsynligheden for at en sammenligning mellem to personer resulterer i sammenfald Der er positiv sammenhæng mellem to variable, hvis sandsynligheden for konkordans er større end sandsynligheden for diskordans, p C > p D og negativ sammenhæng hvis sandsynligheden for diskordans er større end sandsynligheden for konkordans p D > p C 25

27 Sammenhængens styrke Gamma-koefficienten bruges som mål for sammenhængens styrke: Opfylder: γ = p C p D p C + p D 1. γ vil altid være et tal mellem 1 og Hvis p D = 0, dvs hvis diskordans ikke forekommer, vil γ være lig med +1, og omvendt, hvis konkordans ikke kan forekomme. 3. Hvis γ > 0 vil sammenhængen pr. definition være positiv, og omvendt, hvis γ < 0. 26

28 Illustration Her er γ = 1 27

29 Estimation af γ n C = antallet af sammenligninger, der resulterer i konkordans, n D = antallet af sammenligninger, der resulterer i diskordans, n S = antallet af sammenligninger, der resulterer i sammenfald. Relative hyppigheder h C = n C /(n C +n D +n S ), h D = n D /(n C +n D +n S ), h S = n S /(n C +n D +n S ) hvorefter γ estimeres ved γ = h C h D h C + h D = n C n D n C + n D = n C n C + n D n D n C + n D n C n C +n D andel af konkordante blandt ikke-sammenfaldne 28

30 Estimation af γ: Iq og indkomst Lav selv beregningen 29

31 Fortolkning af γ-koefficienten γ = p C p D p C + p D Betinget sandsynlighed for konkordans givet konkordans eller diskordans P (C C D) = P (C) P (C) + P (D) = p C p C + p D Betinget sandsynlighed for diskordans givet konkordans eller diskordans P (D C D) = P (D) P (C) + P (D) = p D p C + p D således at er forskellen mellem de to betingede sandsynligheder γ = P (C C D) P (D C D) 30

32 Eksemplet: ensformigt og psykisk krævende arbejde 3003 personer i tabellen parvise sammenligninger med efterfølgende optællinger af konkordanser, diskordanser og sammenfald. Tabel 9.6 Resultat af parvise sammenligninger af de 3002 personer i tabel 9.5 Resultat af Relativ hyppighed sammenligning Antal (alle) (uden sammenfald) Konkordans Diskordans Sammenfald I alt γ = = eller γ = =

33 Gamma-koefficientens fordelingsmæssige egenskaber Den estimerede Gamma -koefficient er asymptotisk central og normalfordelt. Standardfejlen for gamma-koefficienten har en relativt utilgængelig form, men beregnes af de statistiske programmer. Gamma-koefficienten for tabel 9.5 har en standardfejl på %-konfidensintervallet: ± = [ 0.42; 0.27] 32

34 Gamma-koefficienten for 2 2-tabeller Outcome Exposure Yes No Yes a b No c d Her vil vi normalt IKKE bruge γ, men istedet OR eller RR som er lettere at forstå. Men det er ikke svært at estimere γ γ = ad bc ad + bc fordi antal konkordante er a d og antal diskordante er b c Det kan herefter indses γ = OR 1 OR+1 33

35 Sammenhæng mellem odds-ratio og gamma γ = OR 1 OR+1 OR= 1 svarer til γ = 0. Hvis OR øges, øges γ også. 34

36 Gamma: Arbejdsløshed og eksponering for vold Udsat for vold Arbejdsløs nej ja Total nej ja koefficent estimat standard error 95% CI γ se[ γ] = (1 γ2 ) 1 2 a + 1 b + 1 c + 1 d 35

37 Vurderinger af gamma-koefficienter Tabel 9.7 Forholdet mellem størrelsen af Gamma-koefficienter og styrken af sammenhæng i mindre tabeller. Sammenhængens styrke Absolut værdi af Gamma Svag < 0.15 Moderat Stærk >

38 Opsummering Mål for sammenhæng: 2 2-tabeller Forskelle på betingede sandsynligheder Forholdet mellem betingede sandsynligheder (den relative risiko) Odds-ratio værdier r c-tabeller Gamma-koefficienter for ordinale variable Intet anvendeligt mål for sammenhæng mellem variable på nominalskala niveau 37

39 Næste gang Idag har vi lært at måle graden af sammenhæng mellem to variable i vores data. Næste gang skal vi kigge på det såkaldte evidensproblem. Dvs vi skal vurdere om en estimeret sammenhæng er så stærk at den ikke kunne være opstået ved tilfældigheder i forbindelse med samplingen. Løsningen er signifikanstestet. Ret lette at udføre, men svære at forstå. Jørgen laver boldøvelser. Det er sjovt. Freedman kapitel 26 er her et godt supplement til bogen. 38