Hovedpointer fra SaSt

Transkript

1 Hovedpoiter fra SaSt Marti Nørgaard Peterse 13. februar 2018 Følgede geemgår udvalgte begreber fra E Itroduktio til Sadsylighedsregig af M. Sørese (9. udgave), Itroductio to Likelihood-based Estimatio ad Iferece af H.B. Nielse. Der tages forbehold for fejl og magler. Udervisige i Sadsylighedsteori og Statistik (SaSt) dækker i høj grad over idlærig af diverse regeregler. Nærværede ote har ikke til formål at gegive alle disse regeregler her hevises til grudbøger, slides, mv. Note vil opridse de vigtigste resultater med heblik på e grudlæggede forståelse. 1 Begreber 1.1 Overordet Sadsylighedsfuktio også p.f. (probability fuctio). Er e fuktio p fra e edelig mægde M id i itervallet [0, 1]. Der skal gælde at summe af sadsylighedere på mægde M giver Sadsylighedsmål eller fordeligsfuktio. Til ehver sadsylighedsfuktio fides et sadsylighedsmål P (A) for e delmægde A M. De er givet som P (A) = x A p(x) For diskrete fordeliger på e delmæge af N 0 gælder, at sadsylighedsmålet vokser i sprig, samt at: P (X = i) = F (i) F (i 1) Tæthedsfuktio også p.d.f. (probability desity fuctio). E fuktio p : I R [0, [, som opfylder: p(x)dx = 1, kaldes e sadsylighedstæthed på I. I 1

2 Agives med små bogstaver f(x) = P (X = x) og vi bemærker, at sadsylighede i et ekelt pukt for e kotiuert fordelig er 0. Kaldes udertide sadsylighedstæthed eller blot tæthed. Der gælder for e stokastisk variabel X med tæthed p(x), at sadsylighede på A er P (X A) = P (A) = 1 A (x)p(x)dx, hvor 1 A (x) er e idikatorfuktio, der atager værdie 1 på A Fordeligsfuktio også c.d.f. (cumulative desity fuctio). Agives ved store bogstaver F X (x) = P (X < x) og er sadsylighede for at de kotiuerte stokastiske variabel X atager e værdi midre ed x. Der gælder at F X (x) = f X(x), hvor f X (x) er tæthedsfuktioe. 1 Fordeligsfuktioe for e stokastisk variabel X med tæthed p(x) er givet ved: F (x) = P (X x) = x p(y)dy Bemærk edvidere, at F (x) = 0, 5 betyder, at halvdele af sadsylighedsmasse ligger i mægde ], x] og halvdele ligger i ]x, [. Tallet x er således mediae. (Dette ka avedes til at fide kvartiler, mm.) Stokastisk variabel Lad E være et udfaldsrum og P et sadsylighedsmål. E stokastisk variabel X er da e fuktio fra udfaldsrummet id i R. Stokastiske variable agives typisk med kapitaler. Vi ka skrive e tilfældig variatio af X for ehver delmægde A af R som P X (A) = P (X A) = P ({e E X(e) A}), (1) hvor sidste skrivemåde sjældet beyttes. Fler-dimesioel stokastisk variabel ka disse sammefattes til Ser vi på flere stokastiske på e gag X = (X 1, X 2,..., X ), (2) hvor X i er de e-dimesioale stokastiske variable. X kaldes for e -dimesioal stokastisk variabel. 1 Der gælder følgede for e fordeligsfuktio: De er defieret på R id i [0, 1], de er ikke-aftagede og lim F () = 1 og lim F ( ) = 0 2

3 1.2 Simulta og margial sadsylighed Simulta fordelig Fordelige for de stokastiske variable X = (X 1, X 2,..., X ) på R kaldes de simultae fordelig og er givet ved: hvor A R P X (A) = P ((X 1, X 2,..., X ) A), (3) For fordelige af X ka vi skrive fordeligs- Simulta fordeligsfuktio fuktioe som: F X (x 1, x 2,..., x ) = P (X 1 < x 1, X 2 < x 2,..., X < x ) Notatio Når vi beskæftiger os med hædelser skriver vi de simultae sadsylighed som P (A B). Med stokastiske variable oterer vi samme P (X 1, x 2 ) Margial fordelig Når de -fordeliger af de ekelte koordiater X i af X = (X 1, X 2,..., X ) kaldes de for margiale fordeliger. Margial fordeligsfuktio Betragt e to-dimesioel stokastisk variabel (X 1, X 2 ), hvor X i er kocetreret på mægde T i for i = 1, 2. Lad være givet e sadsylighedsfuktio p : T 1 T 2 [0, 1] for de simultae fordelig af (X 1, X 2 ). Da er de sadsylighedsfuktioere for fordelig af hhv. X 1 og X 2, p 1 : T 1 [0, 1] og p 2 : T 2 [0, 1] givet ved (se evt. sætig i Sørese): p 1 = p(x 1, x 2 ) og p 2 = p(x 1, x 2 ) (4) x 2 T 2 x 1 T Trasformatio Atag at X er e stokastisk variabel på R og t er e fuktio fra R id i R. Lad Y = t(x). Da ka fordelige for Y u bestemmes ved A R: P Y (A) = P (Y A) = P (t(x) A) = P (X t 1 (A)) = P X (t 1 (A)), hvor t 1 (A) = {x R t(x) A} kaldes origialmægde af A. Trasformatiossætige (se sætig i Sørese). Atag X er e kotiuert stokastisk variabel kocetreret på et iterval I. Lad t være e kotiuert differetiabel fuktio på et iterval (a, b) hvor t (x) 0 på itervallet (a, b) { p(t 1 (y)) d dy q(y) = t 1 (y), y t(i) 0 ellers 3

4 Trasformatio af fordeligsfuktio Hvis t er stregt voksede er 0 hvis y < v F Y (y) = F X (t 1 (y)) hvis y J 1 hvis y > h Hvis t er stregt aftagede er 0 hvis y < v F Y (y) = 1 F X (t 1 (y)) + P (X = t 1 (y)) hvis y J 1 hvis y > h 2 Regeregler 2.1 Sadsyligheder For et sadsylighedsmål, hvor A og B beteger vilkårlige hædelser gælder og E er de hele mægde: P (A) =1 P (E\B) P (A B) =P (A) + P (B) P (A B) For betiget sadsylighed gælder følgede: P (A, B) P (A B) = P (B) P (B A)P (A) P (A B) =, P (B) hvor sidste resultat er Bayes formel og gælder for positive sadsyligheder P (A), P (B) > 0. Edelig ka vi opskrive love om total sadsylighed (sætig i Sørese) 2.2 Uafhægighed P (B) = P (B A i )P (A i ) i=1 Vi betragter to uafhægige hædelser A og B. Da gælder, at de simultae sadsylighed er lig prodktet af de margiale sadsyligheder: P (A B) = P (A)P (B), derudover gælder at P (A B) = P (A) Første resultat bruges ofte til at afgøre, hvorvidt to stokastiske variable er uafhægige. Derudover gælder der, at to uafhægige stokastiske variable ødvedigvis må være e produktmægde T 1 T 2, hvis dette er tilfældet, da er de ikke uafhægige. 4

5 Betiget uafhægighed Vi idfører u e tredje hædelse C. A og B siges at være betiget uafhægige givet 2 C, hvis 2.3 Middelværdi P (A B C) = P (A C)P (B C) Middelværdie for e diskret stokastisk variabel X kocetreret på et iterval 3 I er givet ved: E(X) = x I xp(x) Middelværdie for e ikke-diskret stokastisk variabel Y er givet ved: E(Y ) = yp(y)dy Vi lader X og Y være stokastiske variable. Der gælder geerelt, at: I E(X + Y ) =E(X) + E(Y ) og (2.3.1) E(aX + b) =ae(x) + b Middelværdie for et produkt at to stokastiske variable er givet som: E(XY ) = i=1 j=1 m x i y j P (X = x, Y = y) Hvis X og Y desude er uafhægige gælder, at For e afbildig t : R R gælder at E(XY ) = E(X)E(Y ) E(t(X)) = x i T t(x i )p(x i ) Betiget middelværdi De betigede middelværdi E(X Y = y) for e fordeligsfuktio P (Y = y) > 0 er defieret som: p(x i, y) E(X Y = y) = x i P (X = x i Y = y i ) = x i p(y) i=1 Et adet vigtigt resultat er: x f X(x) P (X A) dx = A xf(x)dx P (Q A A i=1 2 Ka også oteres P (X 1, X 2 X 3 ) = P (X 1 X 3 )P (X 2 X 3 ) 3 Hvis vi i stedet betragtede e diskret stokastisk variabel på e uedelig tællelig mægde, da skulle vi være opmærksom på om middelværdie er veldefieret. 5

6 Derudover gælder, at: E(X X) = E(X), og hvis X og Y er uafhægige gælder, at E(X Y ) = E(X) Bemærk, at (2.3.1) også gælder for betigede middelværdier. Se ote om betigede middelværdier af A. Rahbek for mere. Love om itereret middelværdier 2.4 Varias og spredig E[Y ] = E[E[Y X]] Der gælder følgede: Lad være givet e stokastisk variabel X på e edelig mægde 4. Da er variase givet som: Var(X) = E([X E(X)] 2 ) = E(X 2 ) [E(X)] 2 Der gælder for summe af to stokastiske variable X og Y, at: Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2 cov(x, Y ), hvor vi bemærker, at cov(x, Y ) = 0, hvis X og Y er uafhægige, hvilket medfører at variase af summe af vilkårligt mage uafhægige stokastiske variable blot er summe af de ekelte variaser. Spredige defieres som: spredig: σ = Var(X) For lieære trasformatioer gælder desude, at Var(a + bx) = b 2 Var(X) For e stokastisk variabel gælder, at V ar(x) = 0, hvis og ku hvis der fides et c R, så P (X = c) = Betiget varias 2.5 Kovarias Kovariase mellem to stokastiske variable X og Y er et udtryk for om de to stokastiske variable samvarierer. Lad a, b, c og d reelle tal, da gælder følgede: Cov(X, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] = E(XY ) E(X)E(Y ) Cov(X, X) = Var(X) Cov(a + bx, c + dy ) = bdcov(x, Y ) Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) Cov(X + Y, Z) = Cov(X, Y ) + Cov(Z, Y ) 4 Vi ka avede samme udtryk for variase defieret på e tællelig mægde T = {x i i N}, dersom vi bemærker, at variase skal være veldefieret: x 2 i p(x i) < i=1 6

7 Hvis Cov(X, Y ) = 0 er der ige samvariatio. Hvis Cov(X, Y ) < 0 er der e tedes til egativ samvariatio. Eksempelvis, at store værdier af X og små værdier af Y er mere sadsylige. Hvis Cov(X, Y ) > 0 er der e tedes til positiv samvariatio. Der gælder, at hvis X og Y er uafhægige. Da er Cov(X, Y ) = 0. Bemærk, at kovariase ka være 0, selvom de to variable ikke er uafhægige. At kovariase er 0 er således e tilstrækkelig betigelse for uafhægig mellem de stokastiske variable, me ikke e ødvedig betigelse. Dog gælder det for ormalfordelige og ku dee at er kovariase 0, da er de to stokastiske variable også uafhægige. Korrelatio Korrelatioe er et udtryk for samvariatioe, stadardiseret, så corr(x, Y ) [ 1, 1]. korrelatioe mellem X og Y givet ved: corr(x, Y ) = Cov(X, Y ) Var(X)Var(Y ) 2.6 Diverse Idikatorfuktio Der gælder, at Biomialkoefficiet E idikator beskriver e afbildig, hvor om det gælder: { 1 hvis x A 1 A (x) = 0 hvis x / A 1 A (x)f(x)dx = x A f(x)dx er givet som: ( )! = k k!( k)! = (k), k! hvor (k) = ( 1)... ( k + 1). 3 Diskrete fordeliger E stokastisk variabel siges at være diskret, hvis de atager et edeligt atal værdier eller et uedeligt atal tællelige værdier. For diskrete fordeliger gælder at for e stokastisk variabel X at sadsylighede for hædelse A er summe af puktsadsylighedere hørede til A: P (A) = x A p(x) 7

8 3.1 Beroullifordelig Beroullifordelige er de eeste fordelig af e stokastisk variabel med topukts udfaldsrum og ka betragtes som et særtilfælde af biomialfordelige for = 1. Vi skriver X Ber(p), hvor sadsylighedsparametere p ]0, 1[. Der gælder, at: P (X = 1) = p og P (X = 0) = 1 p, De tilhørede sadsylighedsfuktio er givet som: { 1 p hvis x = 0 p(x) = p hvis x = 1 = px (1 p) 1 x for x [0, 1] Middelværdi E(X) = p Varias V (X) = p(1 p) 3.2 Biomialfordelig Biomialfordelige er e fordelig på {0, 1,..., } udfald. Lad X 1, X 2,..., x være uafhægige stokastiske variable på mægde {0, 1}, der alle er beroullifordelt, jf. ovefor, med samme sadsylighedsparameter p ]0, 1[. Fordelige af summe S = X 1 + X X kaldes biomialfordelige med atalsparameter og sadsylighedsparameter p (defiitio 3.2.1). Vi skriver X Bi(, p) Sadsylighedsfuktioe er, jf. sætig 3.2.3: ( ) p(x) = p x (1 x) x, for x {0, 1, 2,..., } x Middelværdi E(X) = p Varias V (X) = p(1 p) Sum af to biomialfordeliger Lad S 1, S 2 være uafhægige stokastiske variable, der er biomialfordelte med sadsylighedsparameter p og atalsparameter i (for i = 1, 2). Da er S = S 1 + S 2 biomialfordelt med sadsylighedsparameter p og atalsparameter = Polyomialfordelig Polyomialfordelige er e fordelig på {0, 1,..., } k udfald og er således e geeraliserig af biomialfordelige, hvis ma har mere ed to udfald. Sadsylighedsfuktioe er givet som: ( ) p(x) = p x1 1 s 1 s 2... s... px k k k hvor polyomialkoefficiete er givet ved: ( )! = s 1 s 2... s k s 1! s 2!... s k! 8

9 Middelværdi E(X) = p i Varias V (X) = p i (1 p i ) 3.4 Poissofordelig Er e fordelig på N 0 og er i modsætig til de tre oveståede således e fordelig på et tælleligt, me ikke edeligt udfaldsrum. Vi skriver X Poi(λ), λ > 0 Sadsylighedsfuktioe til e poissofordeliger er hvor p(x) ]0, 1] Middelværdi E(X) = λ Varias V (X) = λ. p(x) = P (X = x) = λx x! exp( λ), x N 0m Sum af poissofordeliger Jf. sætig i Sørese gælder, at for X 1,..., X uafhægige stokastiske variable, der er poissofordelte med parametre λ 1,..., λ, at X X er poissofordelt med parameter λ λ. 3.5 Geometrisk fordelig Kaldes udertide e diskret vetetidsfordelig. Har sadsylighedsfuktioe p(x) = (1 θ) x θ, x N 0, hvor θ ]0, 1[ er sadsylighedsparametere. Middelværdi Varias E(X) = 1 θ θ V (X) = 1 θ θ 2. 4 Kotiuerte fordeliger E stokastisk variabel siges at være kotiuert, hvis de atager værdier på R eller itervaller. For kotiuerte sadsyligheder, hvor e stokastisk variabel X er kocetreret på mægde I, og hvor A I gælder at sadsylighede for hædelse A er givet som: P (X) = 1 A (x)p(x)dx = p(x)dx I For e kotiuert fordelig gælder, at sadsylighede i et pukt a er 0 (ma ka dog betragte sadsylighede på stykket a til a + δ for et lille δ > 0.) A 9

10 4.1 Uiform fordelig (ligefordelig) Fordelige (X ui(a, b)) på itervallet a til b, hvor b > a har følgede tæthed: p(x) = 1 (a,b) (x) = 1 b a, hvoraf følger at fordeligsfuktioe er givet ved: Middelværdi Varias F (x) = E(X) = a+b 2 V (X) = (b a)2 12 x 4.2 Ekspoetialfordelig 1 (a,b) (x)p(x)dx Ekspoetialfordelige med λ > 0 (også skrevet X Exp(λ)) har tæthedsfuktio e p(x) = λ exp( λx), x > 0 Fordeligsfuktioe er F (x) { 1 exp( λx), hvis x > 0 0, hvis x 0 Middelværdi E(X) = 1 λ Varias V (X) = 1 λ Normalfordelig Dee fordelig har følgede tæthed: ( 1 p(x) = exp 1 ) (x µ)2 2πσ 2 2σ2 De tilhørede fordeligsfuktio er: x ( 1 Φ(x) = F (x) = exp 1 ) (x µ)2 dx 2πσ 2 2σ2 Middelværdi E(X) = µ Varias V (X) = σ 2 Stadard ormalfordelige, ofte oteret Z, har middelværdi µ = 0 og varias σ 2 = 1 og er symmetrisk om 2. akse, så φ(x) = φ( x). Edvidere er E(X 3 ) = 0 og kurtosis E(X 4 ) = 3 = κ Sum af variable Vi betragter X 1, X 2,..., X idbyrdes uafhægige ormalfordelte stokastiske variable. Da gælder for e liearkombiatio S = a 1 X 1 + a 2 X a X, at: E(S) = a 1 E(X 1 ) + a 2 E(X 2 ) a E(X ) og V (S) = a 2 1V (X 1 ) + a 2 2V (X 2 ) a 2 V (X ) 10

11 Bemærk, at første resultat er geerelt, mes sidste resultat ku gælder for uafhægige variable. Er Cov(X, Y ) 0 da må ma bruge, at V ar(x 1 + X 2 ) = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) Uafhægighed Der gælder, at hvis, og ku hvis kovariase for e multivariat ormalfordelig (heruder bivariat) er 0, er de stokastiske variable uafhægige. For multivariate ormalfordeliger gælder dette begge veje. Positios- og skalaparameter De geerelle ormalfordelig ka opskrives ved at idføre positiosparameter µ R og skalaparameter σ > 0. Hvis X er stadard ormalfordelt, er Y = µ + σx ormalfordelt med middelværdi µ og varias σ 2. Dette er et resultat af det geerelle udtryk for positios- og skalaparametre, Eksempel i Sørese. 5 Statistik 5.1 Deskriptiv statistik Mometer Det teoretiske momet af orde k er defieret som: E[Y k ] Første momet er middelværdie. For simple fordeliger fider vi ofte, at de bedste estimator for parametere (se likelihood-fuktio) er middelværdie. Dette tjeer bl.a. til argumet for, hvorfor middelværdie er et relevat begreb. Keder vi middelværdie ka vi defiere cetrale mometer: E([Y E(Y )] k ] Variase er det adet cetrale momet. Variase er et udtryk for sadsylighede for at observere stor variatio fra middelværdie og et udtryk for bredde af fordelige. Tredje momet er skewess eller skævhed. Hvis fordelige er symmetrisk er skævhede 0 (ormalfordelig). E egativ skævhed idikerer at fordelige er vestreskæv og vice versa. Edelig fides fjerde momet, som kaldes kurtosis, der er et mål for sadsylighedsmasse i fordeliges haler. Normalfordelige har e kurtosis på 3. E højere kurtosis betyder mere sadsylighedsmasse i halere Fraktiler Fraktiler er defieret som de værdi q Y (α), så de adel α af sadsylighedsmasse ligger uder dee værdi: P (Y q Y (α) = F Y (q Y (α)) = α, hvor F Y er c.d.f. e. Altså er fraktil-fuktioe de iverse af c.d.f. e: q Y (α) = F Y 1(α) 11

12 5.2 Iferes-baseret statistik Det bør bemærkes, at estimatet (et tal, der afhæger af data) ˆθ(y 1,..., y ) er e realisatio af estimatore (e stokastisk variabel, der afhæger af e række adre stokastiske variable) ˆθ(Y 1,... Y ). Atagelse I vores arbejde, atager vi, at modelle er korrekt specificeret, dvs. at vores atagelser (3.1) holder for e give sad værdi θ 0, så de stokastiske variable er karakteriseret ved e og samme tæthedsfuktio Egeskaber på e edelig mægde Ubiased Vi siger at vores estimator er ubiased, hvis E(ˆθ ) = θ 0, altså at fordelige af vores estimator er allokeret, så de er lig de sade værdi. Vi ka bruge variase af vores estimator som udtryk for usikkerhede ved vores estimator. Dee vil være givet som e fuktio af de sade værdi, me da de sade værdi er os ukedt estimerer vi variase ved at idsætte vores estimator. Stadardfejl Ehede af variase er givet i samme ehed som θ. Derfor avedes stadardfejl, givet som: se(ˆθ ) = V (ˆθ ) Asymptotiske egeskaber Det er muligt at vise, at ormalfordelige ikke er automatisk ubiased. Når ser vi bladt adre resultater, at ormalfordelig ærer sig ubiased. I praksis har vi ikke uedelige datamægder, me vi atager, at resultater tilærmelsesvis gælder for store værdier af. Teorem 4.1 Uder atagelse om at de stokastiske variable ka karakteriseres med ved e tæthedsfuktio (p.d.f) eller e [] (p.f.), at de er idetisk fordelt, så θ 1 = θ 2 = θ og at de er idbyrdes uafhægige (i.i.d atagelse, se p. 50 i Nielse) gælder følgede om Maksimum Likelihood Estimatore (MLE). 1. MLE er kosistet 5 : ˆθ p θ0 for. For et vilkårligt stort vil estimatore således ærme sig de sade værdi. Vi taler om koverges i sadsylighed. 2. MLE er asymptotisk ormalfordelt for (ˆθ θ 0 ) d N(0, Ωθ ). Dette er altså et udtryk for at for et vilkårligt stort opfører fordelige af estimatore sig som e ormalfordelt stokastisk variabel. Vi taler om koverges i fordelig. Resultatet ka opskrives til: ˆθ a N ( θ0, 1 Ω θ ) 5 Dette ka også oteres som δ > 0 : P ( ˆθ θ 0 > 0) 0 12

13 3. De asymptotiske varias er givet ved Ω θ = I(θ 0 ) 1, hvor iformatiosmatrice er I(θ 0 ) = E(H i (θ 0 )), og H i (θ 0 ) = log l(θ Y i), θ θ evalueret for e bestemt værdi θ = θ MLE er asymptotisk efficiet: alle adre kosistete og asymptotiske ormale estimatorer har e asymptotisk varias, der er større ed eller lig I(θ) 1 Vi bemærker, at det er de sade værdi θ 0, der idgår i græseresultatere fordi egeskabere for estimatore er udledt uder atagelse om korrekt specifikatio. Da θ 0 i praksis er ukedt idsættes estimatore ˆβ, jf. rettevejledig til eksamessæt til ordiær eksame viter Kofidesiterval Vi har ovefor oteret os, at e af de approksimerede fordelig af ˆθ er: ˆθ a N ( θ0, 1 Ω θ ), (5.2.3) hvilket ka avedes til at fide itervaller, hvori det er sadsyligt at de sade værdi af parametere θ 0 ligger. Vi ka isolere i oveståede udtryk og fide: ˆθ θ 0 se(ˆθ ) a N(0, 1) For e stadard ormalfordelig gælder det, at 95 pct. af sadsylighedsmasse ligger idefor P (Φ 1 (0, 025) Z Φ 1 (0, 975)) = P ( 1, 96 Z 1, 96) = 0, 95, hvor Z = ˆθ θ 0. Idsætter vi dette og isolerer fider vi, at: se(ˆθ ) {θ θ 0 θ} = {ˆθ 1, 96 se(ˆθ ) θ 0 ˆθ + 1, 96 se(ˆθ ) Der er således 95 pct. sadsylighed for at itervallet rummer de sade værdi θ 0, eller omvedt 5 pct. sadsylighed for at itervallet ikke rummer de sade værdi P-værdi P-værdie er et udtryk for sadsylighede forat få e realisatio, der er mere ekstrem ed de umeriske værdi af vores test-værdi. Jo tættere estimatet er på vores (sade) værdi, desto midre er z-værdie for e z-test. Vi ka udrege de tilhørede p-værdi som: p = P (X x) + P (X x) = 2P (X x) = 2 (1 P (X x) = 2 (1 Φ(x)), hvor Φ(x) er c.d.f. for ormalfordelige. Hvis p-værdie er midre ed vores sigifikasiveau, p < α forkastes ulhypotese. 13

14 5.3 Hypotese-test For at udersøge, hvorvidt de sade værdi af e give parameter atager e bestemt værdi, aveder vi hypotese-test. Til dette formål opstiller vi e ulhypotese, samt e alterativ hypotese: Z-test (Wald-test) H 0 : θ 0 = a og H A : θ 0 a Dee test er baseret på afstade mellem estimatore og de foreslåede værdi a samt fordelige givet i ligig (5.2.3). Vi ka omdae dette udtryk for fordelige til (se p. 101 i Nielse for udregiger) z (θ 0 = a) = ˆθ a se(ˆθ ) a N(0, 1) Hvis ul-hypotese er sad, altså θ 0 = a, da vil udtrykket kovergere i fordelig mod e stadard ormalfordelig, me er det ikke sadt vil de gå mod ±. Hvis z (θ 0 = a) ligger i de kritiske mægde af vores fordelig (udefor kofidesitervallet, se ovefor) vil vi afvise H 0 og argumetere for at H a er mere sadsylig, og vice versa. Forude Z-test, der er mest avedt i eksamesopgaver, fides også kvadreret Z-test og LR-test. Her hevises til ade litteratur. 14

15 Appedix 5.4 Regeregler for summer f() ± g(k) = (f() ± g(k)) (f() c) = c f() (f() + c) = c + f() f() g(k) = f()g(k) k k f()g(k) = f()g(k) k k Regel til iversio af matricer A = 1 det A ( d ) b c a 15