Meningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
|
|
- Caroline Emilie Kirkegaard
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017
2 Idhold 1 Meigsmåliger Idledig Hvorda skal usikkerhede forstås? Beregig af usikkerheder Normalfordelige som approximatio for biomialfordelige Beregig af usikkerhed, hvis vi keder p Beregig af usikkerheder på meigsmåliger Kofidesitervallet udtrykt ved hjælp af proceter Estimat af spredige Udledig af usikkerhedsitervallet
3 Kapitel 1 Meigsmåliger 1.1 Idledig Når aalyseistitutter foretager meigsmåliger agives resultatere ofte som i edeståede skema: Figur 1.1: E meigsmålig foretaget af Voxmeter på e stikprøve beståede af 1032 repræsetativt udvalgte persoer over 18 år. Vi er i dee sammehæg specielt iteresserede i de sidste og de tredjesidste søjle og matematikke der gemmer sig bag usikkerhedsberegigere i meigsmåliger. Når aalyseistitutter skal berege usikkerheder i deres meigsmålig bruges formle p (1 p) u = 1.96, (1.1) 2
4 Meigsmåliger side 3 af 12 hvor u er usikkerhede udtrykt i procetpoit (som decimaltal) er stikprøves størrelse p er de procetdel, der vil stemmme på partiet, skrevet som decimaltal Figur 1.2: I e meigsmålig bør usikkerhede altid agives samme med med de agive fordelig af stemmere. Her er de relevate søjler hevet ud af tabelle. Opgave Brug formel (1.1) til at berege alle usikkerhedere i meigsmålige og tjek om resultatere passer med de agive usikkerheder. Opgave Brug formel (1.1) til at argumetere for, hvorda ma ka miimere usikkerhede. 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås? Ma kue fristes til at tro at usikkerhede skal forstås såda at de præcise adel af befolkige, der vil stemme på et givet parti ligger i usikkerhedsitervallet. Me det er ikke korrekt. Usikkerhedsitervallet agiver emlig, at: Der er 95% sadsylighed for hele befolkiges stemmeadel vil ligge i usikkeredsitervallet. Det betyder altså at vi accepterer at tage fejl i 5% af tilfældee. Det er et af vilkåree år ma laver statistik. Formålet med de følgede afsit er at forstå hvorfor formel (1.1) er korrekt, samt hvorfor vi bliver ødt til at acceptere, at vi ka tage fejl i 5% af tilfældee. 3
5 Meigsmåliger side 4 af Beregig af usikkerheder Vi vil tage udgagspukt i e stikprøve med e størrelse på. I første omgag vil vi ikke komme id på hvor stor bør være, me blot huske på at i virkelige meigsmåliger er ofte omkrig Vil vil atage at alle persoere i stikprøve er afklarede omkrig deres partivalg (de ved altså, hvem de vil stemme på). 1 Vi vil ligeledes tage udgagspukt i et ekelt parti vi kalder det parti A og således vil vi kue stille spørgsmålet: Vil du stemme på parti A? Dette er et ja/ej spørgsmål, og vi ka således bruge biomialfordelige som matematisk model for situatioe. Vi vil altså lade være atalsparametere i biomialfordelige og p være sadsylighede for at e perso i stikprøve svarer ja til oveståede spørgsmål. Dee sadsylighed svarer til de procetdel af hele befolkige, som vil stemme på parti A B(100, 0.08) B(100, 0.54) p(x) x Figur 1.3: Diagrammet viser for = 100 biomialfordelige for p = 0.08 (sort) og p = 0.54 (grå). Ma ka altså aflæse sadsylighede for at x ud af de 100 persoer vil stemme på parti A, givet at befolkiges tilslutig til parti A er heholdsvis 8% eller 54% Skal vi således berege hvor stor sadsylighede er for at der bladt 100 persoer i e stikprøve er præcist 54, der vil stemme på parti A (for p = 0.54) bruges biomialsadsylighede: P (X = 54) = K(100, 54) (1 0.54) = = 7.98%, 1 Tvivlere er i de virkelige meigsmåliger ofte årsage til at aalysefirmaere ikke rammer plet i 95% af tilfældee. 4
6 Meigsmåliger side 5 af 12 hvilket passer med aflæsige i diagrammet. Me det vil altså sige, at hvis ma udtager e tilfældig stikprøve på 100 persoer, så er sadsylighede for at stikprøves adel af stemmer på parti A svarer præcist til befolkiges adel ku cirka 8%, hvis befolkiges adel er 54%. Ma ka med adre ord overhovedet ikke være sikker på at e stikprøve ka fortælle oget præcist om hele befolkige. 2 Me det ka der rådes bod på ved at tillade at agive usikkerheder og agive de estimerede stemmeadel som et iterval. Det skal vi udersøge ærmere. 1.4 Normalfordelige som approximatio for biomialfordelige Vi husker at variase for biomialfordelige er givet ved σ 2 = p (1 p) og at spredige er kvadratrode af variase, så σ = p (1 p) Vi ka allerede u se, at der er visse sammefald mellem formel (1.1) og spredige for biomialfordelige. Vi skal se, at dette ikke er tilfældigt σ B(100, 0.08) B(100, 0.54) p(x) σ x Figur 1.4: Samme biomialfordeliger som i Figur1.3, me med spredige markeret omkrig middelværdie, altså µ ± σ. 2 Ma kue forestille sig at vi bare kue gøre stikprøve større, me det gør faktisk bare det hele værre. Hvis vi bereger P (X = 540) for e stikprøve på 1000, hvor p = 0.54, så får vi 2.5%. Altså ku 2.5% sadsylighed for at stikprøve på 1000 rammer befolkiges præcise tilslutig til parti A. 5
7 Meigsmåliger side 6 af 12 Lidt løst sagt agiver spredige jo et mål for hvorda sadsylighedsmasse er fordelt. Stor spredig betyder at der er mage mulige værdier af x, der er rimeligt sadsylige (dvs. e stor usikkerhed på vælgertilslutige), mes e lille værdi for spredige agiver at det ku er få værdier af x, der er sadsylige (lille usikkerhed på vælgertilslutige). I Figur1.4 vil spredige for p = 0.08 (sort) være midre ed spedige for p = 0.54 (grå), hvilket følgede udregiger også viser: σ 0.08 = p (1 p) = (1 0.08) = 2.71 σ 0.54 = p (1 p) = (1 0.54) = 4.98 Figur1.4 illustrerer de take vi skal følge, emlig om vi ka kostruere et iterval, hvor tilpas meget 3 af sadsylighedsmasse ligger. Det er ærliggede at tro, at vi ka bruge spredige som redskab til at lave dette iterval. Historisk set har der dog været de ulempe ved biomialfordelige, at det er lidt besværligt at udrege hvor stort et iterval vi skal bruge, hvis vi skal være sikker på at 95% af sadsylighedsmasse ligger i itervallet. 4 Derfor har ma brugt e meget vigtig sætig, kaldet De Moivre-Laplaces Sætig. De er temmelig tekisk at formulere og forstå i detalje, me lidt løst sagt siger de, at: Sætig 1 (De Moivre-Laplaces Sætig lightudgave). Hvis de stokastiske variabel X er biomialfordelt: X B(, p) med µ = p og σ 2 = p(1 p), så ka fordelige approximeres af ormalfordelige N(µ, σ 2 ), hvis blot er tilpas stor. Opgave Overvej, hvorfor det var lettere at hådtere beregiger med ormalfordelige ed beregiger for biomialfordelige, hvis ma skulle lave beregigere ude computer. Sætige er gaske vaskelig at bevise, så det spriger vi over. Til gegæld er de let at illustrere: 3 Der er traditio for at tilpas meget betyder 95% 4 Det har utides computerkraft selvfølge ædret, me i praksis bruger ma stadig ikke biomialfordelige direkte til at udrege usikkerhede på resultatere. 6
8 Meigsmåliger side 7 af 12 p(x) B(100, 0.08) B(100, 0.54) N (54, ) N (8, ) x Figur 1.5: Vi ka se at allerede for = 100 er approximatioe meget god, år p = 0.54 (grå/rød) og tæt på at være acceptabel år p = 0.08 (sort/blå) Som vi ka se passer de røde ormalfordelig og de grå biomialfordelig meget flot samme, og øges til 300, så passer approximatioe fremragede som det ses edefor. p(x) B(300, 0.08) B(300, 0.54) N (162, ) N (24, ) x Figur 1.6: Her er = 300 og approximatioe er fremragede. Hvis forøges edu mere, bliver approximatioe ku bedre. Det skulle derfor gere være klart at det er lige så godt at bruge de tilsvarede ormalfordlelig i stedet for biomialfordelige, år er stor. Vi følger de historiske tilgag, som stadig bruges og udytter altså u at vi ka bruge ormalfordelige i stedet for biomialfordelige. For meigsmåliger er, som tidligere skrevet, som regel i omege af 1000, så her approximeres biomialfordelige altså edu bedre af ormalfordelige ed det er tilfældet på Figur1.6. Vi ved at i ormalfordelige med spredig σ = p (1 p) og middelværdi µ = p vil 95% af sasylighedsmasse ligge i itervallet [µ 1.96 σ, µ σ]. 7
9 Meigsmåliger side 8 af 12 Ma kalder dette for 95% kofidesitervallet. µ ± 1.96 σ N (µ, σ 2 ) p(x) 95% µ Figur 1.7: I ehver ormalfordelig vil 95% af sadsylighedsmasse ligge i itervallet [µ 1.96 σ, µ+1.96 σ]. E kosekves af De Moivre Laplaces sætig er da, at i e biomialfordelig B(, p), hvor er stor ok, så vil (cirka) 95% af sadsylighedsmasse også ligge i itervallet [µ 1.96 σ, µ σ], hvor µ = p. x 1.5 Beregig af usikkerhed, hvis vi keder p I oveståede afsit har vi set at vi ka fide et iterval, hvor 95% af sadsylighedsmasse befider sig i e biomialfordelig. Hvis vi tæker i termer af meigsmåliger, så vil vi allerførst forestille os at vi ved 5 at af hele 32% befolkige vil stemme på parti A. Hvis vi så udtager e tilfældig stikprøve på 1000 bladt hele befolkige, og spørger, hvor mage der vil stemme på parti A, hvad ka vi så sige om stikprøves procetdel? Først udreges µ og σ: µ = p = = 320 σ = p (1 p) = (1 0.32) = hvilket betyder at der i stikprøve med 95% sadsylighed vil befide sig mellem = 291 og = 349, der vil stemme på parti A. Dette ka selvfølgelig også udtrykkes med proceter (ma dividerer blot med ). Vi ka altså sige at stikprøves stemmeadel med 95% sadsylighed ligger på mellem 29.1% og 34.9% (dvs. e usikkerhed på plus/mius 2.9 procetpoit). 5 Det gør vi bare for forståelses skyld. I virkelighede ved vi det jo etop ikke, hvilket vi vil vede tilbage til. 8
10 Meigsmåliger side 9 af 12 I oveståede udregig har vi ataget at vi keder p, altså befolkiges stemmeadel. Dette er i de virkelige verde omsost, da det etop er p vi vil fide. Derfor skal vi u udersøge hvad ma gør i stedet. 1.6 Beregig af usikkerheder på meigsmåliger Kofidesitervallet udtrykt ved hjælp af proceter Vi vil i det følgede skele mellem de sade stemmeadel i befolkige p sad og stikprøves stemmeadel p stik. Det er klart at p stik er vores stikprøves estimat af befolkiges sade stemmeadel p sad. Det er ligeledes klart at det er ligegyldigt om vi taler om hvor mage ud af stikprøve, der stemmer på et parti eller hvor mage procet af stikprøve der stemmer på et parti. Vi vil i det følgede ku omtale de sidste mulighed, hvor ma bruger procetdele. Vi vil altså starte med at omskrive kofidesitervallet [µ 1.96 σ, µ σ], hvor µ = p, til et iterval med procetpoit (hvor vi altså dividerer med stikprøves størrelse for at få atallet omskrevet til procet). [ µ 1.96 σ, µ σ ] [ = p 1.96 σ, p σ ]. Vi vil i det følgede kalde spredige udtrykt i procet (altså σ ) for σ p. Itervallet bliver altså [p 1.96 σ p, p 1.96 σ p ] Estimat af spredige Vi atager at stikprøves størrelse holdes fast. For emheds skyld siger vi at = Vi vil u (som det forholder sig i de virkelige verde), atage at vi ikke keder p sad. Vi vil prøve at lave et par eksempler på udregig af σ p for forskellige atal tilkedegivelser omkrig det at stemme på parti A: Hvis der i stikprøve er 300 der siger de vil stemme på parti A (svarede til p stik = 0.30), så er σ p : σ p = σ = pstik (1 p stik ) = (1 0.3) 1000 = = 1.45% 9
11 Meigsmåliger side 10 af 12 Hvis der i stikprøve er 320 der siger de vil stemme på parti A (svarede til p stik = 0.32), så er σ p : σ p = (1 0.32) 1000 = = 1.48% Hvis der i stikprøve er 340 der siger de vil stemme på parti A (svarede til p stik = 0.34), så er σ p : σ p = (1 0.34) 1000 = = 1.50% Vi ka se at tallet varierer, og dette er problematisk. 6 I praksis er det dog ikke oget problem, da variatioe er så lille. Her estimerer vi plot spredige ved hjælp af stikprøves stemmeadel, altså vi sætter σ psad = σ pstik. 7 For hvis vi ikke behøver tæke over om spredige varierer, så ka vi i stedet for at skrive at der er 95% chace for at p stik ligger i itervallet [p sad 1.96 σ p, p sad σ p ], sige at der er 95% chace for at p sad ligger i itervallet [p stik 1.96 σ p, p stik σ p ], og det er lige præcist dette der agiver usikkerhede på stemmeadele der kommer fra stikprøve. Dette er illustreret på figure på æste side. 6 Det ka godt være lidt svært at geemskue hvorfor det er et problem, me det er det faktisk (i hvert fald ret teoretisk). 7 E ade måde at løse dette problem er at idrage e såkaldt t-fordelig, me det bliver for avaceret at gøre her (og det er heller ikke såda aalyseistituttere gør). 10
12 Meigsmåliger side 11 af 12 p sad p stik p stik p stik 95% 1.96 σ p 1.96 σ p 1.96 σ p 1.96 σ p 1.96 σ p 1.96 σ p 1.96 σ p 1.96 σ p Figur 1.8: Sadsylighede for at befolkiges sade stemmeadel ligger idefor stikprøves usikkerhedsiterval er 95%. 5% af stikprøvere vil altså svare til de røde på figure, mes 95% vil svare til de sorte. Opgave Overvej meget grudigt, hvorfor: p stik [p sad 1.96 σ p, p sad σ p ] p sad [p stik 1.96 σ p, p stik σ p ] Overvej desude, hvad der går galt hvis spredigere ka variere Udledig af usikkerhedsitervallet Vi kokluderede altså, at hvis vi fider stikprøves stemmeadel p stik, så vil befolkiges sade stemmeadel med 95% sasylighed ligge i usikkerhedsitervallet: [p stik 1.96 σ p, p stik σ p ] 11
13 Meigsmåliger side 12 af 12 Dette omskrives u: [ ] pstik (1 p stik ) pstik (1 p stik ) = p stik 1.96, p stik [ ] pstik (1 p stik ) pstik (1 p stik ) = p stik 1.96, p 2 stik [ ] pstik (1 p stik ) pstik (1 p stik ) = p stik 1.96, p stik Hvoraf vi ka se formle for usikkerhede svarede til formel (1.1): pstik (1 p stik ) u =
Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)
Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.
Læs merehvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i
Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,
Læs mereEstimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter
Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab
Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af
Læs mere29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer
Læs mereMaja Tarp AARHUS UNIVERSITET
AARHUS UNIVERSITET Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET HVEM ER JEG? Maja Tarp, 4 år Folkeskole i Ulsted i Nordjyllad Studet år 005 fra Droiglud Gymasium Efter gymasiet: Militæret Australie Startede på matematik
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 3. Punkt- og intervalestimater Konfidensintervaller Valg af stikprøvestørrelse
Avedt Statistik Lektio 3 Pukt- og itervalestimater Kofidesitervaller Valg af stikprøvestørrelse Pukt- og itervalestimater: Motivatio Motiverede eksempel: I e udersøgelse er adele af rygere 0.27. Det aslås
Læs mereLøsninger til kapitel 7
Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
Statistik for biologer 005-6, modul 5: Sadsylighedsfordeliger for kotiuerte data på iterval/ratioskala M6, slide Gægse matematiske sadsylighedsfordeliger: Diskrete data: De positive biomialfordelig Poisso-fordelige
Læs mereantal gange krone sker i første n kast = n
1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet
Læs mere1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens... 2
Idhold 1 Pukt- og itervalestimatio 2 1.1 Puktestimatorer: Cetralitet(bias) og efficies.................... 2 2 Kofidesiterval 3 2.1 Kofidesiterval for adel................................ 4 2.2 Kofidesiterval
Læs mereLøsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler
Læs mere24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software
Læs mere9. Binomialfordelingen
9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der
Læs mereMotivation. En tegning
Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget
Læs mereProjekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning
Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler
Læs mereElementær Matematik. Polynomier
Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Tirsdag den 26. maj 2015 kl hhx151-mat/a
Matematik A Højere hadelseksame hhx151-mat/a-26052015 Tirsdag de 26. maj 2015 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøve består af to delprøver. Delprøve ude hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs merePraktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.
Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt
Læs mereSpørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.
STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,
Læs mereRenteformlen. Erik Vestergaard
Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard
Læs mereStatistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion
Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi
Læs mereStikprøvefordelinger og konfidensintervaller
Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.
Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige
Læs mereStatistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke
Læs mereProjekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner
Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig
Læs mereProgram. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger
Faculty of Life Scieces Program Esidet variasaalyse Normalfordelige Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Esidet variasaalyse (oe-way ANOVA) Hvilke type data? Hvad er problemstillige? Variatio mellem
Læs mereTest i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og
Læs mereTankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353
Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi
Læs mere13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )
3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers
Læs mereProjekt 1.3 Brydningsloven
Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme
Læs mereSætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n
Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi
Læs mereStatistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :
Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:
Læs merevejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.
enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter
Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15
Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry
Læs mereGenerelle lineære modeller
Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.
Læs mereProgram. Middelværdi af Y = t(x ) Transformationssætningen
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Trasformatio af kotiuerte fordeliger på R, flerdimesioale kotiuerte fordeliger, mere om ormalfordelige Helle Sørese Uge 7, osdag I formiddag: Opfølgig på trasformatiossætige
Læs mereMikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007
Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M
Læs mereStatistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders
Læs mereAsymptotisk optimalitet af MLE
Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for
Læs mereSimpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol
Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle
Læs mereLys og gitterligningen
Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar
Læs mereProjekt 9.10 St. Petersborg paradokset
Hvad er matematik? ISBN 978877066879 Projekt 9.0 St. Petersborg paradokset. De store tals lov & viderchacer I grudboges kapitel 9 omtales de store tals lov, som ka formuleres således: Hvis e spiller i
Læs mereKonfidens intervaller
Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af
Læs mereProjekt 3.2 Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen. Indhold. Hvad er matematik? 1 ISBN
Projekt 3.2 Alægsøkoomie i Storebæltsforbidelse Dette projekt hadler, hvorda økoomie var skruet samme, da ma byggede storebæltsforbidelse. Store alægsprojekter er æste altid helt eller delvist låefiasieret.
Læs mere30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed
Læs mereDen flerdimensionale normalfordeling
De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y
Læs mereSandsynlighedsregning
Sadsylighedsregig E ote om sadsylighedsregig. Via basal sadsylighedsregig gøres læsere klar til forstå biomialfordelige. Herik S. Hase, Sct. Kud Versio 5.0 Opgaver til hæftet ka hetes her. PDF Facit til
Læs mereSandsynlighedsregning i biologi
Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.
Læs mereTeoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik
Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereSTATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller
STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig
Læs mereIntroduktion til Statistik
Itroduktio til Statistik 4. udgave Susae Ditlevse og Helle Sørese Susae Ditlevse, susae@math.ku.dk Helle Sørese, helle@math.ku.dk Istitut for Matematiske Fag Købehavs Uiversitet Uiversitetsparke 5 2100
Læs mereBjørn Grøn. Analysens grundlag
Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til
Læs mereog Fermats lille sætning
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Læs mereVejledende opgavebesvarelser
Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til
Læs merex-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK
Læs mereIMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen
TEKST NR 435 2004 Basisstatistik 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING
Læs mereNoter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar
Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 1 Kombiatori Disse oter itroducerer ogle cetrale metoder som ofte beyttes i ombiatoriopgaver, og ræver et grudlæggede edsab til ombiatori (se fx Kombiatori
Læs mereMorten Frydenberg version dato:
Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Itroduktio til kurset Statistik Forelæsig Morte Frdeberg, Sektio for Biostatistik af Biostatistik dele af. semester kurset. Statistiske modeller Biomialfordelige Normalfordelige
Læs mereDe reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.
De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z
Læs mereBranchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros
Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse
Læs mere(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE)
(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE) x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse INDLEDNING... 3 DESKRIPTIV STATISTIK... 3 Eksempler ide for deskriptiv statistik... 12 Normalfordeligskurver...
Læs mereHovedpointer fra SaSt
Hovedpoiter fra SaSt Marti Nørgaard Peterse 13. februar 2018 Følgede geemgår udvalgte begreber fra E Itroduktio til Sadsylighedsregig af M. Sørese (9. udgave), Itroductio to Likelihood-based Estimatio
Læs mereUndersøgelse af numeriske modeller
Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse
Læs mereSammenligning af to grupper
Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er
Læs mereog Fermats lille Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne sætning ..., 44, 20,4,28,52,... Hvad er matematik? 3 ISBN
Projekt 0.4 Modulo-regig, restklassegruppere sætig ( p 0, ) og Fermats lille Vi aveder moduloregig og restklasser mage gage om dage, emlig år vi taler om tid, om hvad klokke er, om hvor lag tid der er
Læs mereVelkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 17. udgave 016 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de
Læs mereClaus Munk. kap. 1-3
Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor
Læs mereDagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro
Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro
Læs mereGamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)
Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt
Læs mereLængde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.
Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske
Læs mere6 Populære fordelinger
6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).
Læs mereModul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse
Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................
Læs mereEstimation og test i normalfordelingen
af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:
Læs mereForslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende
Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste
Læs mereBegreber og definitioner
Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster
Læs mereUge 37 opgaver. Opgave 1. Svar : Starter med at definere sup (M) og inf (M) :
Uge 37 opgaver Opgave Svar : a) Starter med at defiere sup (M) og if (M) : Kigge u på side 3 i kompedie og aveder aksiom (.3) Kotiuitetsaksiomet A = x i x 2 < 2 Note til mig selv : Har søgt på ordet (iequalities)
Læs mereSTATISTIK x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
STATISTIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Jui 209 ; Michael Szymaski ; mz@ghg.dk Idholdsfortegelse INDLEDNING...3 DESKRIPTIV STATISTIK...4 Skemaer...5 Diagrammer...8 Statistiske deskriptorer... 0 Typetal
Læs mereProjekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene
Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder
Læs mereDu skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.
Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,
Læs mereStatistiske Modeller 1: Notat 1
Statistiske Modeller : Notat Jes Ledet Jese 9. august 005 Idhold Kast med k-sidet terig Betigig i multiomialfordelig 3 3 Fordelig af X + X - frembrigede fuktio 4 4 Maksimerig af log-likelihood 5 5 Afledede
Læs mereBranchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros
Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse
Læs mereProjekt 9.8 Betingede sandsynligheder og paradokser i sandsynlighedsregningen
Projekt 9.8 Betigede sadsyligheder og paradokser i sadsylighedsregige Et forløb om betigede sadsyligheder ka itroduceres via et selvstædigt elevarbejde med materialet i projekt 9.7 Testet positiv? samme
Læs mereFormelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6
Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig
Læs mereOversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402/02323 Itroducerede Statistik Forelæsig 12: Iferes for adele Klaus K. Aderse og Per Bruu Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataaalyse Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail:
Læs mereCensorvejledning engelsk B, HF 2017-læreplan
Cesorvejledig egelsk B, HF 2017-lærepla December 2018 Lie Flitholm, fagkosulet lie.flitholm@stukuvm.dk 33925383 Idholdsfortegelse Cesorvejledig egelsk B, HF 2017-lærepla... 1 Det skriftlige opgavesæt HF
Læs mereTeoretisk Statistik, 18. november Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi hen? Proportional allokering Optimal allokering
Uge 47 I Teoretisk Statistik, 8. oveber 003 Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi he? Proportioal allokerig Optial allokerig Heruder: Saeligig af variaser og ødvedige stikprøvestørrelser for de forskellige
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske
Læs mereSprednings problemer. David Pisinger
Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de
Læs mereSandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy = f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:
Læs mere