Lokalt ekstremum DiploMat 01905
|
|
- Astrid Johansen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt, hvis der eksisterer en ret linie gennem punktet langs hvilken f har egentligt maksimum og også en ret linie gennem punktet langs hvilken f har egentligt minimum. De nition Lad f være en funktion af n variable. Antag, at f har partielle a edede af anden orden i punktet a = (a ; a ; : : : ; a n ). Hessematricen for f i punktet a er den matrix H (a), hvis element (i; j) er f xix j (a) f j Er f en funktion af variable x og y er Hessematricen i punktet a = (a ; a ) altså givet ved fxx (a) f H (a) = xy (a) f yx (a) f yy (a) Er f en funktion af 3 variable x; y og z er Hessematricen i punktet a = (a ; a ; a 3 ) givet ved 0 f xx (a) f xy (a) f xz (a) H (a) f yx (a) f yy (a) f yz (a) A f zx (a) f zy (a) f zz (a) Bemærkning 3 Hessematricen er opkaldt efter tyskeren Ludwig Otto Hesse, Da man normalt kan regne med, at de blandede a edede er ens, er Hessematricen altså symmetrisk. Denne kendsgerning er vigtig i det følgende. Vi skal bruge lidt lineær algebra om symmetriske matricer. Detaljer kan ndes i Lay, Linear Algebra, 7., pp De nition En matrix A kaldes symmetrisk, hvis A T = A. De nition 5 En matrix P kaldes ortogonal, hvis den opfylder P T P = P P T = I (enhedsmatricen). Sætning 6 Lad A være en reel symmetrisk matrix. Så gælder:. Samtlige løsninger til karakterligningen er reelle ( samtlige egenværdier er reelle ).. Egenvektorer hørende til forskellige egenværdier er ortogonale.
2 3. A er diagonaliserbar, og der kan altid som diagonaliserende matrix P bestemmes en ortogonal matrix. Her følger nu kriteriet for lokalt ekstremum, i første omgang formuleret for en funktion af variable: Sætning 7 Lad f være en funktion af to variable med kontinuerte partielle a edede op til og med : orden i en omegn om punktet (a; b). Antag, at (a; b) er et stationært punkt for f. Lad H (a; b) være Hessematricen for f i (a; b). Så gælder. Hvis egenværdierne for H (a; b) begge er positive, så er (a; b) et egentligt minimumspunkt. Hvis egenværdierne begge er negative, er (a; b) et egentligt maksimumspunkt.. Hvis egenværdierne for H (a; b) har forskellige fortegn, så er (a; b) et egentligt saddelpunkt. 3. Hvis én af egenværdierne er lig med nul og den anden er positiv, så kan kun konkluderes, at (a; b) ikke er et maksimumspunkt. Hvis én af egenværdierne er lig med nul og den anden er negativ, så kan kun konkluderes, at (a; b) ikke er et minimumspunkt. En nærmere undersøgelse må i øvrigt foretages.. Hvis begge egenværdier er lig med nul, må en nærmere undersøgelse foretages. For at kunne bevise sætningen behøver vi Taylors formel for en funktion af to variable, men kun til anden orden: Lemma 8 Lad f være en funktion af variable. Antag, at f i en cirkelskive K med centrum i punktet p = (a; b) har kontinuerte partielle a edede op til og med anden orden. Så gælder, at der til ethvert q = (x; y) K eksisterer et tal [0; ], så f (q) = f (p + h) = f (p)+f x (p) h +f y (p) h + f xx (p + h) h + f xy (p + h) h h + f yy (p + h) h hvor vi af praktiske grunde har indført h = q p = (x a; y b). Bevis. Lad g være givet ved g (t) = f (a + th ; b + th ). Så er g di erentiabel, og ifølge kædereglen har vi g 0 (t) = f x (a + th ; b + th ) h + f y (a + th ; b + th ) h Men også g 0 er di erentiabel og igen ifølge kædereglen har vi g 00 (t) = f xx (a + th ; b + th ) h + f xy (a + th ; b + th ) h h + f yy (a + th ; b + th ) h Taylors formel for en funktion af én variabel kan nu anvendes på g. Med t = fås, at der eksisterer et tal [0; ], så g () = g (0) + g 0 (0) + g00 () Da g () = f (p + h) ; g (0) = f (p) ; g 0 (0) = f x (p) h + f y (p) h og g 00 () = f xx (p + h) h + f xy (p + h) h h + f yy (p + h) h er lemmaet vist. Vi kan nu bevise sætningen.
3 Bevis. Da p = (a; b) er et stationært punkt, er de partielle a edede af første orden nul, så vi nder af Taylors formel f (p + h) f (p) = f xx (p + h) h + f xy (p + h) h h + f yy (p + h) h = f h h xx (p + h) f xy (p + h) h f xy (p + h) f yy (p + h) h = h h H (p + h) h h Lad nu egenværdierne for H (p + h) = H (a + h ; b + h ) være og. Disse egenværdiers størrelse må afhænge af og h = (h ; h ). Lad en diagonaliserende ortogonal matrix for H (p + h) være P. Denne matrix har søjler bestående af egenvektorer for H (p + h) og afhænger derfor også af og h. Da P er ortogonal, gælder at P = P T. Derfor fås, når D = diag ( ; ), at H (p + h) = P DP Idet vi nu tænker på h som en søjlevektor: h = f (p + h) f (p) = h h = P DP T, nder vi h h H (p + h) h h = ht H (p + h) h = ht P DP T h = P T h T D P T h Idet vi sætter v = P T h har vi derfor med v T = (v ; v ), at f (p + h) f (p) = vt Dv = v + v Hvis nu egenværdierne for matricen H (p) begge er positive, så er egenværdierne og for H (p + h) også begge positive, når blot h og h begge er små (numerisk set). Altså følger, at f (p + h) f (p) > 0, når h og h begge er små. Men dette betyder, at f har et egentligt lokalt minimum i p = (a; b). Hvis egenværdierne for matricen H (p) begge er negative fås analogt, at p = (a; b) er et egentligt lokalt maksimumspunkt. Vi viser nu sætningens punkt og 3 under ét. Lad ;0 6= 0 være en egenværdi for matricen H (p). Lad h = su; s R, være egenvektorerne for H (p) hørende til egenværdien ;0. Vi kan sørge for, at u er en enhedsvektor. Så har vi Hermed har vi videre h T H (p) h = h T ( ;0 h) = ;0 h T h = s ;0 f (p + h) f (p) = ht H (p + h) h = ht H (p) h + ht (H (p + h) H (p)) h = s ;0 + s u T (H (p + h) H (p)) u = s ;0 + u T (H (p + h) H (p)) u 3
4 Vælges s passende lille og dermed h lille, vil forskellen mellem de to matricers tilsvarende elementer kunne gøres lille nok til at fortegnet for parentesen i den sidste højreside bestemmes helt af fortegnet for ;0 Langs en linie gennem p = (a; b) med retningsvektor u har f altså minimum i (a; b) hvis ;0 > 0, og maksimum, hvis ;0 < 0. Hvis altså H (a; b) har egenværdier med forskellige fortegn, må (a; b) være et egentligt saddelpunkt. Punkt 3 følger også heraf. At nærmere undersøgelser er påkrævede, når mindst én af egenværdierne er nul, vil blive vist i en række eksempler. Der gælder en ganske lignende sætning for funktioner af ere end to variable: Sætning 9 Lad f være en funktion af n variable med kontinuerte partielle a edede op til og med : orden i en omegn om punktet a = (a ; a ; : : : ; a n ) : Antag, at a er et stationært punkt for f: Lad H (a) være Hessematricen for f i a: Så gælder. Hvis egenværdierne for H (a) alle er positive, så er a et egentligt minimumspunkt. Hvis egenværdierne alle er negative, er a et egentligt maksimumspunkt.. Hvis to af egenværdierne for H (a) har forskellige fortegn, så er a et egentligt saddelpunkt. 3. Hvis mindst én af egenværdierne er lig med nul og resten er positive, så kan kun konkluderes, at a ikke er et maksimumspunkt. Hvis mindst én af egenværdierne er lig med nul og resten er negative, så kan kun konkluderes, at a ikke er et minimumspunkt. En nærmere undersøgelse må i øvrigt foretages.. Hvis alle egenværdierne er lig med nul, må en nærmere undersøgelse foretages. Eksempel 0 Lad f være givet ved f (x; y) = x x y + y for alle (x; y) R. De partielle a edede af f er givet ved f x (x; y) = x xy = x ( y) og f y (x; y) = x + y. Heraf nder vi, at de stationære punkter er (0; 0) og (; ). Vi nder videre f xx (x; y) = y f xy (x; y) = x f yy (x; y) = Hessematricen er altså givet ved H (x; y) = y x x I de 3 punkter fås H (0; 0) = ; H (; ) = 0 ; H ( ; ) = Egenværdierne for H (0; 0) er åbenbart og, altså positive, så (0; 0) er et egentligt lokalt minimumspunkt. Matricerne H (; ) og H ( ; ) har de samme egenværdier, nemlig p 5:Den ene er dermed positiv, den anden negativ. Punkterne (; ) er egentlige saddelpunkter. Vi nævner et andet nyttigt resultat fra Lineær Algebra.
5 Sætning Lad n n-matricen A have egenværdierne ; ; : : : ; n. Så gælder, at det (A) = : : : n Spor (A) = + + : : : + n () hvor vi erindrer om, at sporet for A er de neret som summen af diagonalelementerne. Bevis. Vi har det (A I) = ( ) n ( ) ( ) : : : ( n ) = ( ) n n ( + + : : : + n ) n + : : : + ( ) n : : : n () hvor vi ved sidste udregning kun har interesseret os for koe cienterne til n ; n og 0. Sætter vi = 0 får vi umiddelbart, at det (A) = ( ) n : : : n = : : : n. Bemærk, at koe cienten til n i den kantede parentes i () er ( + + : : : + n ). For nu at vise udsagnet om sporet af A betragter vi udregningen af det karakteristiske polynomium for A ved udvikling langs første række. Vi viser her udregningen for en 3 3-matrix: a a a 3 det (A I) = a a a 3 a 3 a 3 a 33 = (a ) a a 3 a 3 a 33 a a a 3 a 3 a 33 + a 3 a a a 3 a 3 Vi interesserer os kun for bidragene til koe cienten til n og til n (dvs. her lig med 3 og ) og dermed er det kun det første led der bidrager: det (A I) = (a ) a a 3 a 3 a 33 + : : : Vi interesserer os stadig kun for bidragene til koe cienten til 3 og så Generelt fås på denne måde det (A I) = (a ) (a ) (a 33 ) + : : : = ( ) ( ) (a + a + a 33 ) + : : : = ( ) 3 3 (a + a + a 33 ) + : : : det (A I) = ( ) n n (a + a + : : : + a nn ) n + : : : Ved sammenligning med () fås a + a + : : : + a nn = + + : : : + n, hvilket skulle bevises. Bemærkning Se også Lay, Linear Algebra: p. 38, opgave 9 og p. 33, opgave 5 og 6. I opgave 6 skal man give et bevis for (), når det antages, at A er diagonaliserbar. Den forudsætning har vi ikke brugt ovenfor. For en funktion af variable kan en egentlig bestemmelse af egenværdierne for Hesse-matricen undgås ved udnyttelse af følgende sætning: 5
6 Sætning 3 Lad f være en funktion af to variable med kontinuerte partielle a edede op til og med : orden i en omegn om punktet (a; b). Antag, at (a; b) er et stationært punkt for f. Lad H (a; b) være Hessematricen for f i (a; b). Så gælder. Hvis det (H (a; b)) > 0, så er (a; b) et egentligt ekstremumspunkt. Hvis Spor (H (a; b)) > 0, så er (a; b) et egentligt minimumspunkt. Hvis Spor (H (a; b)) < 0, er (a; b) et egentligt maksimumspunkt.. Hvis det (H (a; b)) < 0, så er (a; b) et egentligt saddelpunkt. 3. Hvis det (H (a; b)) = 0 må en nærmere undersøgelse foretages. Bevis. Ifølge sætning gælder, hvis egenværdierne for H (a; b) er ; at det (H (a; b)) = Spor (H (a; b)) = + Er determinanten derfor negativ, er punktet et egentligt saddelpunkt. Er determinanten positiv, har og samme fortegn, og dermed er punktet et egentligt ekstremum. Fortegnet for og afgøres derefter af fortegnet for + = Spor (H (a; b)) = f xx (a; b) + f yy (a; b). Bemærkning Når det (H (a; b)) > 0, så har f xx (a; b) og f yy (a; b) nødvendigvis samme fortegn, altså kan fortegnet af egenværdierne for H (a; b) afgøres alene ud fra fortegnet for den ene af f xx (a; b) og f yy (a; b). Eksempel 5 Lad f være givet ved f (x; y) = + x + y y e x xy y De stationære punkter ndes til ( ; 0) ; ; 0 ; ; 3 og ;. Hessematricerne er H ( ; 0) = e 6 6 ; H = e 6 6 H ; = e ; H ; 0 3 ; 6 = e Vi prøver at bruge Sætning 3. Idet vi udnytter, at for en n n-matrix A og et tal k gælder, at det (ka) = k n det A, nder vi determinanterne til det H ( ; 0) = det e 6 6 = e = e < 0 det H ; 0 = det e 6 6 = e = 8e > 0 det H ; = det e = e = 3e 5 > 0 3 det H ; = det e 5 6 = e = 3e 5 > 0 6
7 Vi konkluderer, at ( ; 0) er et egentligt saddelpunkt, hvorimod de tre andre stationære punkter er egentlige lokale ekstremumspunkter. Sporene for de sidste tre er Spor H ; 0 = 0e < 0; Spor H ; = 8e 5 > 0 3 Spor H ; = e 5 > 0 så vi konkluderer, at ; 0 er et egentligt lokalt maksimumspunkt og punkterne ; 3 og ; er egentlige lokale minimumspunkter. Vi kunne selvfølgelig i stedet have fundet egenværdierne for de matricer. Bemærkning 6 For en funktion af n variable er det normalt ikke nok at få oplysninger om sporet og determinanten. Vi skal dog i et eksempel senere se, at det undertiden er tilstrækkeligt. Eksempel 7 Lad f være funktionen givet ved f (x; y; z) = y + z e x + 8yz 3 + 5y Vi vil bestemme stationære punkter og deres type. Vi nder f x (x; y; z) = y + z e x f y (x; y; z) = e x + 8z 3 + 0y 3 f z (x; y; z) = ze x + yz Det eneste stationære punkt er (efter lidt regning - eller ifølge Maple) (0; ; ). Vi nder Hessematricen: 0 H (x; y; z) y + z e x e x ze x e x 60y z A ze x z e x + 8yz I det stationære punkt fås 0 H (0; ; ) 0 60 Egenværdierne for denne matrix er med betydende cifre :00; 5:99 og 7:07. To er altså positive, en negativ. Punktet er et saddelpunkt. Dette forhold kunne være afgjort uden at nde egenværdierne således. Vi bruger Sætning. Vi nder Vi har derfor, at det (H (0; ; )) = 780 Spor (H (0; ; )) = 36 3 = = 36 Af den første af disse ligninger konkluderes, at en eller tre af egenværdierne er negative. Af den anden følger dernæst, at de ikke alle kan være negative. Altså er netop én egenværdi negativ, og to dermed positive. A 7
8 Eksempel 8 Lad f være funktionen givet ved f (x; y; z) = y + z e x y z Vi vil bestemme stationære punkter og deres type. Vi nder f x (x; y; z) = x y + z e x y z f y (x; y; z) = y 3 y + z e x y z f z (x; y; z) = z z + zy e x y z Der er stationære punkter, nemlig 0; 0; p p 3 og 0; ;. Vi nder Hessematricen H (x; y) ganget med e x y z altså e x +y +z H (x; y) til x z + y xy 3 + z y x + z + z y z xy 3 + z y 3 z + y 6 + z y y + 6z + z y z x + z + z y z y + 6z + z y z 3z + y + z + z y Indsættes de stationære punkter og bestemmes herefter egenværdierne fås for begge punkterne 0; p ;, at Hessematricen har egenværdierne 0:89; 0:95; :8 (med betydende cifre). Alle tre egenværdier er altså positive. Punkterne 0; p ; er altså egentlige lokale minimumspunkter. For punktet 0; 0; + p 3 ndes egenværdierne for Hessematricen til 5:9; 3:0; :. p Alle tre negative: Punktet er et egentligt lokalt maksimumspunkt. For punktet 0; 0; 3 ndes egenværdierne for Hessematricen til 0:5; 0:; 0:5. Begge fortegn optræder: Punktet er et saddelpunkt. De næste 5 eksempler er meget simple, men medtages for at vise, at når det for et stationært punkt (a; b) gælder, at den Hessematricens ene egenværdi er 0, så kan på dette grundlag typen ikke bestemmes helt. Når begge egenværdier er nul, kan intet konkluderes om typen. Eksempel 9 Lad f være givet ved f (x; y) = x + y. Da f (x; y) = x + y > 0 = f (0; 0) for (x; y) 6= (0; 0), er (0; 0) åbenbart et egentligt minimumspunkt (endog globalt). Men Hessematricen er nulmatricen, der jo kun har egenværdien 0. Eksempel 0 Lad f være givet ved f (x; y) = x y. Da f (x; y) = x y < 0 = f (0; 0) for (x; y) 6= (0; 0), er (0; 0) åbenbart et egentligt maksimumspunkt (endog globalt). Men Hessematricen er nulmatricen med 0 som eneste egenværdi. Eksempel Lad f være givet ved f (x; y) = x y. Vi ser hurtigt, at (0; 0) er et stationært punkt. Da f (x; 0) = x > 0 = f (0; 0) for x 6= 0, har f åbenbart et egentligt minimumspunkt langs x-aksen i punktet (0; 0). Da f (0; y) = y < 0 = f (0; 0) for y 6= 0, har f åbenbart et egentligt maksimumspunkt langs y-aksen i punktet (0; 0). Altså er (0; 0) et egentligt saddelpunkt. Men Hessematricen er nulmatricen med 0 som eneste egenværdi. Eksempel Lad f være givet ved f (x; y) = x 3 + y. Vi ser, at (0; 0) er et stationært punkt. Da g (t) = f (th; tk) = t 3 h 3 + t k har g 00 (0) = 0 og g 000 (0) = 8h 3 6= 0 for h 6= 0 har g ikke (og dermed f ikke) ekstremum i retninger (h; k) med h 6= 0. Da for h = 0 vi har, at g () (0) = k > 0 for k 6= 0, har f åbenbart et egentligt maksimumspunkt langs y-aksen i punktet (0; 0). Punktet er altså hverken et ekstremumspunkt eller et egentligt saddelpunkt. Men Hessematricen er nulmatricen med 0 som eneste egenværdi
9 Eksempel 3 Funktionerne f (x; y) = x + y og g (x; y) = x y har begge (0; 0) som stationært punkt. Hessematricens egenværdier er i begge tilfælde og 0. Men f har et egentligt minimumspunkt i (0; 0), hvorimod g har et egentligt saddelpunkt i (0; 0). Eksempel Lad f være givet ved f (x; y) = y yx + x. Udtrykket kan omskrives til f (x; y) = y x + y, så det følger heraf, at f (x; y) > 0 = f (0; 0) for alle (x; y) 6= (0; 0). Altså er (0; 0) et egentligt globalt minimumspunkt. Vi vil dog prøve vores typekriterium og bruger udtrykkets oprindelige form. Vi nder Heraf fås f x (x; y) = xy + x 3 = x y x f y (x; y) = y x rf (x; y) = (0; 0) () x = 0 _ y = x ^ y x = 0 () (x; y) = (0; 0) altså, at (0; 0) er eneste stationære punkt. For Hessematricen nder vi y + x x H (x; y) = x hvormed H (0; 0) = Denne matrix har egenværdierne 0 og. Vores kriterium siger altså intet. Vi vil nu betragte f langs enhver ret linie gennem (0; 0). Sæt altså g (t) = f (th; tk), hvor (h; k) 6= (0; 0). Så nder vi, at g 00 (0) = k. Heraf ser vi, at når blot k 6= 0 har f egentligt lokalt minimum langs linien med retningsvektoren (h; k). Tilbage er altså kun at betragte retningen (; 0), dvs. x-aksen. Her nder vi så med (h; k) = (; 0), at g 00 (0) = 0; g 000 (0) = 0 og g () (0) = > 0. Altså har f også egentligt lokalt minimum langs x-aksen. Det er fristende på dette grundlag at konkludere, at f har egentligt lokalt minimum i (0; 0). Selvom om denne påstand er sand, er konklusionen draget på et utilstrækkeligt grundlag, hvilket næste eksempel viser. Eksempel 5 Lad f være funktionen f (x; y) = y x + y x y Vi nder f x (x; y) = x y x f y (x; y) = y x hermed har vi rf (x; y) = (0; 0) () x = 0 _ y = x ^ y = x () (x; y) = (0; 0) så (0; 0) er det eneste stationære punkt. Det vises uden besvær ligesom i eksemplet ovenfor, at f har egentligt lokalt minimum i (0; 0) langs enhver linie gennem (0; 0). Men f har ikke lokalt 9
10 minimum i (0; 0), hvilket ses af, at på parablen y = x, der går gennem (0; 0), har f værdier givet ved f x; x = x < 0 for alle x 6= 0. Vi bemærker, at f har egentligt maksimum langs denne parabel. Det stationære punkt (0; 0) er hverken et ekstremumspunkt eller et egentligt saddelpunkt. Bemærkning 6 Man kunne fristes til at tro, at hvis f har netop ét stationært punkt i R, og dette er et egentligt lokalt minimumspunkt, så har f også nødvendigvis globalt minimum i dette punkt (med forudsætninger om eksistens af kontinuerte partielle a edede overalt). Den tilsvarende påstand gælder nemlig for funktioner af én variabel: Har en di erentiabel funktion g netop ét stationært punkt a i intervallet I, og har g egentligt lokalt minimum i a, så er a også globalt minimumspunkt for g. Antag nemlig, at der fandtes et punkt c I med g (c) < g (a). Så må g antage et maksimum i et punkt d 6= a i intervallet mellem a og c. Men i et sådan punkt har vi g 0 (d) = 0 i modstrid med antagelsen om, at a var eneste stationære punkt. Eksemplet f (x; y) = e y x e y der på nær et fortegn er taget fra Hellesen og Oddershede Larsen, Matematik for Ingeniører (bind, 6.udgave (000), side 3), viser, at det tilsvarende resultat er galt for funktioner af to variable. Denne funktion har et egentligt lokalt minimum i (0; 0), der også er det eneste stationære punkt. Men f (x; 0)! for x!, så f har intet globalt minimum. 0
Ekstremum for funktion af flere variable
Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable
Læs mereEkstremumsbestemmelse
Ekstremumsbestemmelse Preben Alsholm 24. november 2008 1 Ekstremumsbestemmelse 1.1 Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Punktet a kaldes
Læs mereStørste- og mindsteværdi Uge 11
Uge 11 : Definitioner Efterår 2009 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. : Definitioner : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n )
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel
Læs mereMaj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)
Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Læs mereBesvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige
Læs mereDiploMat. Eksempel på 4-timersprøve.
DiloMat. Eksemel å 4-timersrøve. Preben lsholm Maj 4 Ogave Vi skal løse ligningen e i 4 z 3 i = Løsningen skal angives å olær form, dvs. å formen re i, hvor r > og R. Først nder vi e i 4 z = 3 Heraf fås
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMaj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål)
Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Ved eksamen er der ikke tid til f.eks. at lave illustrationer,
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mereSymmetriske matricer
Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTaylorpolynomier. Preben Alsholm. 17. april 2008. Taylorpolynomier. Funktion af ere variable. Preben Alsholm. Taylorpolynomier
. 17. april 008 for I Givet en funktion f og et udviklingspunkt x 0. Find et polynomium P n af grad højst n, så f og P n har samme nulte, første, anden, tredie,..., n te a edede i punktet x 0.. for I Givet
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable 3. udgave 06 i FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende regnemidler og benyttelse af partielle afledede
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereNoter om komplekse tal
Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereEksamen maj 2018, Matematik 1, DTU
Eksamen maj 2018, Matematik 1, DTU NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode. Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots!
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
Læs mereTaylorpolynomier og -rækker samt lokale ekstrema for funktioner af flere variable
Taylorpolynomier og -rækker samt lokale ekstrema for funktioner af flere variable Morten Grud Rasmussen 1. marts 2016 1 Taylors Sætning for funktioner af én variabel Sætning 1.1 (Taylors Sætning med restled).
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereAndengradspolynomier - Gymnasienoter
- Gymnasienoter http://findinge.com/ Tag forbehold for eventuelle fejl/typos. Indhold Forord 3 Toppunktsformlen - Bevismetode 1 4 Toppunktsformlen - Bevismetode 6 Andengradspolynomiets symmetri 7 Rodfaktorisering
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 7, 2009 Produceret af Hans J Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 Definition kritisk punkt: funktion f(x, y) er et kritisk punkt
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable 3. udgave 016 i FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende regnemidler og benyttelse af partielle afledede
Læs mereEksamen maj 2019, Matematik 1, DTU
Eksamen maj 2019, Matematik 1, DTU NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode. Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots.
Læs mereLineære ligningssystemer og Gauss-elimination
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g
Læs mereTaylorpolynomier og Taylors sætning
og Taylors sætning 10. november 2008 I Givet en funktion f og et udviklingspunkt x 0. Find et polynomium P n af grad højst n, så f og P n har samme nulte, første, anden, tredie,..., n te a edede i punktet
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereMat 1. 2-timersprøve den 17. maj 2016.
Mat -timersprøve den 7 maj 6 JE 6 Opgave restart; Givet funktionen f:=x-sqrt(*x-); Spørgsmål f := x/ x K Funktionen er defineret for x K R x R Dvs Dm f er intervallet [ ;N[ Spørgsmål Med udviklingspunktet
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksempel på 2-timersprøve 2 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Februar 4 Opgave Maplekommandoerne expand( (z-*exp(i*pi/))*(z-*exp(-i*pi/))*(z-exp(i*pi/))*(z-exp(-i*pi/))): sort(%); resulterer i polynomiet z 4 z + z
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 6. juni, 26. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af nummererede sider med ialt 5 opgaver. Alle opgaver er multiple
Læs mereOPGAVE 1 Det nedenstående klip er fra et Maple-ark hvor en reel funktion f (x, y) med definitionsmængden (x,y) x 2 + y 2 < 1 } bliver undersøgt:
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig prøve den 7. maj 00. Kursus Navn: Matematik (-timers prøve for forårssemesteret). Kursus nr. 0005 Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes
Læs mereNøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7
Oversigt [S] 11.8 Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7 Calculus 2-2006 Uge 47.2-1 Skitse [S] 11.8 Niveaukurver y f(x,y)=1
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable. udgave 015 i FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende regnemidler og benyttelse af partielle afledede
Læs mereLineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix
Læs mereDiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004
DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereLineær algebra Kursusgang 6
Lineær algebra Kursusgang 6 Mindste kvadraters metode og Cholesky dekomposition Vi ønsker at finde en mindste kvadraters løsning til det (inkonsistente) ligningssystem hvor A er en m n matrix. Ax = b,
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereEkstrema, Teori og Praksis
Kasper H. Christensen Andreas D. Christoffersen Christoffer Gøthgen Stine M. Jensen Kenneth V. L. Offersen Vini M. Olsen Ekstrema, Teori og Praksis - Ikke-lineæar optimeringsproblemer Vejleder: Martin
Læs mereD = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning
Projekt 55 Andengradspolynomier af to variable Kvadratiske funktioner i to variable - de tre typer paraboloider f() = A + B + C, hvor A 0 Et andengradspolynomium i en variabel har en forskrift på formen
Læs mereEksempel på 2-timersprøve 1 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Marts 4 Opgave Vi skal løse ligningen () z (8 + i) e i 6 = Løsningen ønskes angivet på rektangulær form, dvs. på formen x + iy, hvor x; y R. Vi nder umiddelbart
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009
MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,
Læs mereLineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Læs merePartielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mereDesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix
Læs mereLiA 5 Side 0. Lineær algebra Kursusgang 5
LiA 5 Side 0 Lineær algebra Kursusgang 5 LiA 5 Side 1 Ved bestemmelse af mindste kvadraters løsning til (store) ligningssystemer vil man gerne anvende en metode der opfylder to krav: antallet af regneoperationer
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 217 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMat 1. 2-timersprøve den 13. maj 2017.
Mat. -timersprøve den. maj 7. JE.5.7 Opgave restart:with(plots): En funktion f af to reelle variable er for x, y s, givet ved f:=(x,y)-y/(x^+y^); f d x, y / y x Cy f(x,y); y x Cy Spørgsmål I x, y Kplanen
Læs mereOversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus
Læs mereDIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET
DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereBiologisk model: Epidemi
C1.2 C.7 Se forklaring i Appendiks A 1, si. 9 Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen 1. Biologisk model: Epidemi... si. 1 A. Appendiks A 1. Ligninger si. 1, forklaring... si. 9 A 2. Egenvektorer
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mereSætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Læs mereIKKE-LINEÆR OPTIMERING
IKKE-LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Konvekse funktioner 1 2 Optimering uden bibetingelser 1 3 Optimering under bibetingelser givet ved ligheder 2 4 Optimering under bibetingelser givet
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereEksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Estimation: Kapitel 9.7-9.10 Estimationsmetoder kap 9.10 Momentestimation Maximum likelihood estimation Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mere