Eksamen 2014/2015 Mål- og integralteori

Transkript

1 Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt Besvarelsen bedømmes med en karakter i henhold til -skalaen Eksamen er en 4 timers skriftlig eksamen med hjælpemidler Dvs bøger, kompendier og andet undervisningsmateriale kan benyttes Det er ligeledes tilladt at benytte lommeregner eller computer Elektroniske hjælpemidler må ikke på nogen måde bruges til kommunikation med andre, og det er ligeledes ikke tilladt at etablere forbindelse til internettet eller andre netværk under eksamen Det er tilladt at skrive med blyant Opgave Denne opgave består af 4 uafhængige spørgsmål Hvert spørgsmål besvares med et kort argument, et modeksempel eller en reference til undervisningsmaterialet Alle stokastiske variable er defineret på målrummet (Ω, F, P Spørgsmål Lad (X, X have en -dimensional regulær normalfordeling med EX = EX =, V X = V X = samt cov(x, X = ρ Er det sandt at X +X N (, + ρ? Det følger af korollar 89 at summen X + X er normalfordelt med middelværdi og varians V X + V X + ρ = + ρ, så udsagnet er korrekt Bemærk, at variansformlen følger af lemma 93, men vi skal bruge korollar 89 til at konkludere, at X + X er normalfordelt Spørgsmål Lad X, X, være uafhængige og alle ligefordelte på (, Er det sandt at ( as X i N n,? n i= Notationen betyder at gennemsnittet er asymptotisk normalfordelt med middelværdi / og varians /(n, jf side 5 i ekstramaterialet Men det gælder ifølge CLT

2 (sætning 9 i ekstramaterialet, hvis X i har middelværdi / og varians / At det er tilfældet følger af eksempel 67 eller ved direkte udregning Udsagnet er altså sandt Spørgsmål 3 Lad X N (, og h(x = x [, (x for x R Afgør hvorvidt fordelingen af den transformerede variabel h(x har en tæthed mht lebesguemålet Vi ser at P (h(x = = P (X = Φ( >, dvs fordelingen af h(x har en punktmasse i Fordelingen kan således ikke have tæthed mht lebesguemålet Spørgsmål 4 Definer funktionen F : R R ved F (x = for x <, ( π F (x = sin x for x [, ] og F (x = for x > Skitser F og afgør om F er en fordelingsfunktion for et sandsynlighedsmål på (R, B 75 F(x 5 5 x Vi ser at F (x [, ] for alle x R da sin(z [, ] for z [, π/], og F er endvidere kontinuert (oplagt kontinuert på hvert af intervallerne (,, [, ] og (, og kontinuert da sin( = og sin(π/ = Per definition vil F (x = for x og F (x = for x Endelig er F voksende På intervallet (, ses det feks ved at F (x = π cos(xπ// Det følger derfor at sætning 74 at F er fordelingsfunktionen for et sandsynlighedsmål Alternativt kan man ved stykkevis differentiation af F finde en tæthed for et sandsynlighedsmål (her kræves et argument for at den afledte er positiv og integrerer til, som har F som fordelingsfunktion

3 Opgave Lad X, X, være uafhængige stokastiske variable med værdier i {, } og P (X i = = P (X i = = p i for p i [, ], i N Lad g n = p i i= og S n = X i Spørgsmål Vis at ES n = g n og find et tilsvarende udtryk for V S n Vi observerer først at EX i = p i og ved linearitet af middelværdioperatoren er i= ES n = EX i = i= p i = g n i= Observer dernæst at V X i = p i ( p i (jf også eksempel 6 Pga uafhængighed har vi fra lemma 93 at V S n = V X i = i= p i ( p i = g n i= p i i= Spørgsmål Vis at hvis g n for n, så vil S n g n P for n Vis dernæst at hvis p n p for n, så vil for n S n n P p Vi bruger Chebychevs ulighed (sætning 69 på S n /g n Observer først at E(S n /g n = samt at V S n g n fra opgaven ovenfor Deraf følger af Chebychevs ulighed at ( S n P g n > ε V (S n/g n ε = V S n gnε g n ε 3

4 for n hvis g n for n Konklusionen følger af definition 97 For besvarelsen af den anden halvdel af opgaven observeres først, at hvis p n p vil også g n /n p for n Givet ε > vælg nu n så g n n p ε for n n Ved brug af trekantsuligheden følger, at for n n er S n n p S n n + g n n p S n n + ε Heraf følger for n n at ( ( S n n p > ε S n n > ε Nu benyttes Chebychevs ulighed på hændelsen på højresiden ovenfor, og vi finder for n n at ( ( S n P n p > ε S n P n > ε 4V S n n ε 4g n n ε = g n 4 n nε for n Det viser den ønskede konvergens i sandsynlighed Opgave 3 Lad µ betegne målet på (R, B der har tæthed f mht lebesguemålet, hvor f er givet ved f(x, y =, (x, y (, x + y samt f(, = Spørgsmål 3 Vis at for r og en konstant K > Find K µ((, r (, r = Kr 3/ (3 Bemærk først at vi kan se bort fra værdien af f i (,, da punktet er en m - nulmængde, og det vil vi gøre uden yderligere bemærkninger i det følgende Bemærk dernæst at vi ved symmetri og stamfunktionsbestemmelse har x + a dx = [ dx = ] r x + a = 4( r + a a x + a 4

5 for a Det følger nu af definitionen af mål med tæthed samt Tonellis sætning (f er positiv og ved brug af ovenstående, at Dvs K = 3( 3 µ((, r (, r = = x + y dxdy 4( r + y y dy = 4(4/3((r 3/ r 3/ r 3/ = 3( r 3/ 3 Spørgsmål 3 Beregn µ(r Vis dernæst at µ er entydigt bestemt af sine værdier på brolægningen bestående af de åbne kasser af formen (a, b (a, b Vi har at R = n ( n, n ( n, n, hvor de åbne kasser ( n, n ( n, n udgør en voksende følge af mængder Der følger derfor af opad kontinuitet af målet µ at µ(r = lim µ(( n, n ( n, n = lim n n Kn3/ = Fra det netop viste følger det, at µ er σ-endeligt og opfylder betingelserne i entydighedssætningen for σ-endelige mål, sætning 39 Dvs µ er entydigt bestemt på σ-algebraen frembragt af de åbne kasser, og det er netop Borel-σ-algebraen B, jf sætning 4 Spørgsmål 33 Find et mål ν på (R, B som opfylder ν((, r = Kr 3/ for r Afgør om µ er entydigt bestemt af (3 for r En løsning er at definere et mål ν = g m med tæthed g(x = 3K 4 x mht lebesguemålet I så fald er ν((, r = 3K 3 x dx = K xdx = K [x 3/] r 4 = Kr3/ Det følger nu at feks produktmålet δ ν er et mål på (R, B som opfylder δ ν((, r (, r = δ ((, rν((, r = Kr 3/ for r (Bemærk at for r > er δ ((, r =, men for r = er δ ((, = Det ændrer dog ikke på at identiteten er korrekt også for r = Målet δ ν stemmer dermed overens med µ på (, r (, r for alle r, men de to mål er ikke ens Feks er det let at se at δ ν((, (, = mens µ((, (, > Vi konkluderer, at (3 ikke entydigt bestemmer µ 5

6 Opgave 4 I denne opgave er X og Y uafhængige reelle stokastiske variable, X er normalfordelt N (, og Y er eksponentialfordelt med middelværdi Definer endvidere den stokastiske variabel Z = X Y Spørgsmål 4 Find E(Z X og vis at EZ = Fra sætning 8 følger at X og Y er uafhængige Desuden har de begge endeligt moment (følger af at alle momenter er endelige for normalfordelingen og eksponentialfordelingen, så E X Y = E X E Y < Iflg korollar 7 og opgave 6 i notatet om betingede middelværdier følger det at Her er Vi konkluderer, at Heraf følger at E(Z X = E(X Y X = XE( Y X = XE Y E Y = y / e y dy = Γ(3/ = E(Z X = EZ = E(E(Z X = idet middelværdien i N (, -fordelingen er X EX = Spørgsmål 4 Vis at fordelingen af (Z, Y har tæthed mht lebesguemålet på R (, Fordelingen af (X, Y har tæthed f(z, y = πy e ( y+ z y f (x, y = π e x / e y mht m på U := R (, pga uafhængighed af X og Y, jf lemma 5 Introducer afbildningen h : U U givet ved h(x, y = (x y, y Den er invertibel med h (z, y = (x/ y, y og såvel h som h er C på U Vi finder endvidere at ( y Dh x (z, y = y 3/ 6

7 Dermed er detdh (z, y = y Fordelingen af (Z, Y = h(x, Y er billedmålet af h(f m, og det følger af sætning 4 at fordelingen har tæthed f(z, y = f (h (z, y y = πy e z /(y e y = πy e ( y+ z y for (z, y R (, I det følgende spørgsmål kan det uden bevis benyttes at ( e y+ a y dy = e a y (4 for a Spørgsmål 43 Find tætheden for fordelingen af Z mht lebesguemålet på R I det foregående spørgsmål fandt vi tætheden f mht produktmålet m = m m på R (, for fordelingen af (Z, Y Det følger derfor af korollar 8 at fordelingen af Z har tæthed mht m givet ved g(z = f(z, ydy = ( e π y y+ z y dy Vi benytter nu integralidentiteten (4 med a = z / og finder at g(z = e z = e z π Vi kan evt genkende denne fordeling som en laplacefordeling med skalaparameter /, jf eksempel 5 7