Kvadratisk regression

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kvadratisk regression"

Transkript

1 Kvadratisk regression Helle Sørensen Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet Juli 2011 I kapitlet om lineær regression blev det vist hvordan man kan modellere en lineær sammenhæng mellem to variable, x og y, hvor man samtidig tager højde for at y-variablen varierer tilfældigt. Dette svarer til at observationer af (x, y) ligger omkring en ret linie således at y a x + b. Her er a hældningen på linien og b angiver den værdi man ville forvente at få af y når x = 0. Sammenhængen mellem to variable behøver selvfølgelig ikke være lineær. Den kunne være eksponentiel således at observationer af (x, y) opfylder y b e kx. Eller der kunne være tale om en potenssammenhæng således at observationer af (x, y) opfylder y b x a. I dette kapitel skal vi se på en helt fjerde mulighed, nemlig den situation hvor observationer af (x, y) varierer omkring en parabel. Dette svarer til at og kaldes kvadratisk regression. y ax 2 + bx + c Eksempel: Høsttidspunkt for ris Ved dyrkning af afgrøder i landbruget har høsttidspunktet stor betydning for udbyttet. Hvis man vil undersøge denne sammenhæng, må man udføre et eksperiment hvor man varierer høsttidspunktet og registrerer udbyttet for de forskellige høsttidspunkter. Vi skal se på data fra et eksperiment vedrørende dyrkning af ris. Data stammer fra Indien og er publiceret i en artikel af S. Bal og T.P. Ojha fra I forsøget blev der plantet ris på 16 marker, og man observerede hvornår risen var afblomstret. Man havde på forhånd besluttet at høste risen henholdsvis 16, 18, 20,..., 46 dage efter afblomstring, og udbyttet efter høst blev registreret i enheden kg per hektar. Data fra de 16 marker er gengivet i tabellen nedenfor. Dage efter afblomstring Udbytte (kg per hektar) Dage efter afblomstring Udbytte (kg per hektar) Figur 1 illustrerer hvordan udbyttet afhænger af høsttidspunktet. Hvis man høster for tidligt, er risene ikke fuldt udviklet, og man får et forholdsvis lavt udbytte. Hvis man høster for sent, er risene tørret for meget, således at udbyttet målt i kg per hektar igen er forholdsvis

2 2 Udbytte (kg per hektar) Antal dage efter blomstring Fig. 1: Data vedrørende dyrkning af ris. lavt. Indimellem er der et tidspunkt hvor det er optimalt at høste risen. Det ser ud til at datapunkterne ligger omkring en parabel, således at det er rimeligt at lave kvadratisk regression. Hvis vi lader x betegne antal dage efter abomstring og y betegne udbyttet, vil vi altså beskrive sammenhængen som y ax 2 + bx + c. I analysen af disse data er opgaven derfor følgende: Find den parabel eller det andengradspolynomium dvs. koecienterne a, b og c der passer 'bedst muligt' til data. Ligesom for lineær regression vil vi bruge mindste kvadraters metode. Find det optimale høsttidspunkt. Når vi først har fundet det andengradspolynomium der passer bedst muligt til data, er dette simpelt, da det optimale tidspunkt kan beregnes udfra koecienterne i polynomiet. Mere om det senere. Bemærk at man på forhånd havde besluttet hvilke marker der skulle høstes hvornår. Dette er vigtigt for at konklusionerne fra forsøget kan bruges mere generelt. Hvis man i stedet havde kigget på risens udvikling og for eksempel høstet hurtigt voksende ris tidligt og sent udviklet ris sent, ville man have sammenblandet forskellige sammenhænge. Hvilke marker der skal høstes hvornår, må heller ikke afhænge af ens viden om de forskellige marker, for eksempel at nogle marker plejer at give højere udbytte end andre. Dette ville igen forplumre konklusionerne. For at undgå dette trækker man lod om hvilke marker der skal høstes hvornår. Forudsætninger Forudsætningerne for kvadratisk regression er de samme som for lineær regression, bortset fra at middelværdien af y givet x er et andengradspolynomiun i x i stedet for en lineær funktion. Forudsætningerne er altså: 1. For et givet x er det tilhørende y normalfordelt. Dette er ofte en rimelig antagelse for biologiske data som dem fra eksemplet med ris. Antagelsen er i øvrigt ikke strengt nødvendig; analysen nedenfor er fornuftig hvis 'bare' antagelserne 24 er opfyldt.

3 3 2. Middelværdien af y givet x er et andengradspolynomium i x, dvs. ax 2 + bx + c. 3. Spredningen på y givet x er den samme uanset værdien af x. 4. Der er ikke fælles information i y'erne i den forstand at afvigelsen mellem observation og parabel for et enkelt y ikke giver os nogen information om afvigelsen mellem observation og parabel for de andre y'er. Bedste parabel (mindste kvadraters metode) En af forudsætningerne ovenfor er at middelværdien for et y givet det tilhørende x er ax 2 + bx + c for et eller andet sæt af værdier a, b og c. Vi kalder som regel a, b og c for parametre i den kvadratiske regressionsmodel. Vi vil nu bestemme de værdier af a, b og c der får parablen til at passe bedst muligt med de observerede data. Som illustration vil vi i første omgang benytte følgende tal (som er opfundet til lejligheden): x y Observationerne er tegnet i den øverste gur i gur 2 sammen med to forskellige parabler. Ligningen for den blå parabel er y = 0.957x x , mens ligningen for den røde parabel er y = x 2 2x Altså: Blå : a = b = 1.452, c = Rød : a = 1, b = 2, c = 0.5. Bemærk at parablerne ikke er særlig forskellige for de to sæt af værdier i hvert fald på intervallet fra 5 til 5 selvom værdierne af parametrene er ret forskellige, og det er med det blotte øje svært at afgøre hvilke af de to parabler der 'passer bedst' med data. Som for lineær regression vil vi benytte mindste kvadraters metode. Betragt 'den røde gur' nederst til venstre i gur 2. For hver x-værdi har vi dels den tilhørende observation og dels værdien 0.5 2x+x 2 på parablen. Afstanden mellem observationen og værdien på parablen kaldes residualet for observationen og betegnes y. Længden af de sorte liniestykker i guren svarer netop til residualerne. Størrelsen af de røde kvadrater svarer derfor til ( y) 2. For observationen med x = 3 har vi for eksempel y = 6.4, 0.5 2x + x 2 = 3.5 og dermed y = 2.9 og ( y) 2 = I den nederste højre del af gur 2 har vi gjort det samme for den blå parabel. For nogle af datapunkterne er de røde kvadrater større end de blå, for andre er det omvendt, men samlet set er størrelsen af de blå kvadrater tydeligvis mindre end de røde. Pointen er at forskellige værdier af a, b og c fører til forskellige parabler og dermed til forskellige residualer og forskellige størrelse af de tilhørende kvadrater. Vi vil gerne nde de værdier af a, b og c som gør den samlede størrelse af de tilhørende kvadrater så lille som muligt. Formelt set leder vi efter de værdier af a, b og c der gør ( y 1 ) 2 + ( y 2 ) ( y n ) 2 så lille som muligt. Her har vi brugt notationen n for antallet af datapunkter (her er n = 8) og y 1, for eksempel, for residualet hørende til det første datapunkt.

4 4 y x y y x x Fig. 2: Illustration af mindste kvadraters metode. Øverst ses datapunkterne sammen med parablen givet ved ligningen y = 0.957x x (blå) og parablen givet ved ligningen y = x 2 2x+0.5 (rød). Nederst illustrerer de blå/røde arealer størrelsen af de kvadrerede residualer ( y) 2 for hver af de to parabler. Man kan faktisk skrive formler op for det optimale valg af a, b, og c, men det vil vi ikke gøre her, og i praksis får man en lommeregner eller en computer til nde værdierne. For vores lille datasæt fra gur 2 viser det sig den blå parabel er den der anledning til de mindste kvadrerede residualer (samlet set). Altså: hvis vi rykker på parablen, kan det godt være at nogle af de kvadrerede residualer bliver mindre, men der er til gengæld andre der bliver større således at summen af de kvadrerede residualer bliver større. Vi har med andre ord fundet ud af at andengradspolynomiet 0.957x x er det der passer bedst til vores data. Vi skriver som regel â = 0.957, ˆb = 1.452, ĉ = med 'hat' over a, b og c for at indikere at dette er estimater for parametrene. Excel Beregningerne kan udføres i Excel på følgende måde:

5 5 Tallene indlæses som to søjler i Excel. Tallene plottes i et 'punktdiagram' (svarende til plottet øverst i gur 2, blot uden parablerne) ved at gå til 'Indsæt' i værktøjslinien og vælge 'Punktdiagram' og 'Punktdiagram kun med datamærker'. *** OK på dansk? Har selv kun engelsk version af Excel?*** Den bedste parabel beregnes og tegnes ved at højreklikke på et af punkterne og vælge 'Tilføj tendenslinie' og derefter 'Polynomium'. I 'Indstillinger' markeres 'Vis ligning i diagram'. Prøv selv med data fra gur 2! Eksempel: Høsttidspunkt for ris (fortsat) Vi kan også nde de værdier af a, b og c, der passer bedst muligt med data vedrørende høsttidspunkt og udbytte for ris. Her viser det sig at â = 4.536, ˆb = , ĉ = Den tilhørende parabel er indtegnet i gur 3 sammen med datapunkterne. Udbytte (kg per hektar) Antal dage efter blomstring Fig. 3: Data vedrørende dyrkning af ris sammen med den bedste parabel, y = 4.536x x Toppunktet for parablen er også vist. Faktisk var vi interesseret i at nde det optimale høsttidspunkt, altså den værdi af x hvor y er størst muligt. Hvis g(x) = ax 2 + bx + c, ) = D 4a hvor D = b2 4ac er ved vi at g har maksimum når x = b 2a, og maksimum er g ( b 2a diskriminanten. Hvis vi indsætter estimaterne af a, b og c får vi en (estimeret) diskriminant på ˆD = ˆb 2 4âĉ = = ,

6 6 et optimalt høsttidspunkt på og et optimalt udbytte på ˆb 2â = = ˆD 4â = = Toppunktet er illustreret med de stiplede linier i gur 3. Baseret på de foreliggende data kan vi altså konkludere at det er optimalt at høste cirka 32 dage efter afblomstring. Man kan naturligvis ikke være sikker på at dette altid er det optimale tidspunkt eftersom vejr, jorbundsforhold osv. har betydning. Simulation Det er vigtigt at gøre sig klart at resultater opnået ved dataanalyse er behæftet med usikkerhed på grund af den variation der er i data. Hvis vi udførte riseksperimentet igen, ville vi få nogle (lidt) anderledes data og dermed nogle (lidt) anderledes estimater, og i sidste ende et (lidt) andet toppunkt. I statistik har vi imidlertid redskaber der giver mulighed for at beskrive og vurdere variationen i estimaterne og dermed usikkerheden på konklusionerne. Lad os prøve at få en fornemmelse af usikkerheden ved hjælp af simulerede data fra den kvadratiske regressionsmodel. Vi lader som om værdierne â = 4.536, ˆb = , ĉ = er sande i den forstand at vi antager at det tilhørende andengradspolynomium pånær tilfældig variation beskriver sammenhængen mellem antallet af dage efter afblomstring (x) og udbytte (y). Husk at disse værdier giver et toppunkt for x = Vi antager altså at udbyttet x dage efter afblomstring er normalfordelt med middelværdi 4.536x x Vi antager at spredningen i normalfordelingen er 204. Det er den værdi der passer bedst med de oprindelige data i en passende forstand som vi ikke vil komme nærmere ind på her. Venstre del af gur 4 er lavet på følgende måde: Grafen for middelværdifunktionen f(x) = 4.536x x er tegnet med sort. For hver værdi af x (x = 16, 18,..., 46) har vi simuleret en værdi af y fra normalfordelingen med den relevante middelværdi og spredning 204. De simulerede data er tegnet som røde punkter. De simulerede data er brugt som data i en ny kvadratisk regression, dvs. vi har ved hjælp af mindste kvadraters metode fundet den parabel der passer bedst til de nye data. Den estimerede parabel er tegnet med rødt. Vi kan se at den estimerede røde parabel er ganske forskellig fra den 'sande' sorte, men vi ser også der ikke er særlig stor forskel på toppunkterne. Toppunktet for den røde parabel viser sig at være givet ved x = Det er ikke nok at lave en enkelt simulation for at vurdere usikkerheden den simulerede parabel kunne jo være meget usædvanlig. I højre del af gur 4 har vi derfor gentaget proceduren

7 7 Simuleret udbytte (kg per hektar) Antal dage efter blomstring Estimeret udbytte (kg per hektar) Antal dage efter blomstring Fig. 4: Estimerede parabler for simulerede data. Den sorte parabel svarer til y = 4.536x x , og data er simuleret fra en normalfordeling med denne middelværdi og spredning 204. Plottet til venstre viser datapunkterne fra en enkelt simulation og den tilhørende estimerede parabel. Plottet til højre viser de estimerede parabler for 10 simulerede sæt af datapunkter. 10 gange. Den sorte kurve er stadig den sande parabel, mens de røde er estimaterede parabler fra 10 sæt af simulerede data. Vi har ikke tegnet de tilhørende datapunkter. Igen ser vi at parablerne ser ganske forskellige ud, men toppunktet er stabilt. Det varierer fra til med gennemsnit på Vi gentog også proceduren 5000 gange. Et histogram over de 5000 simulerede toppunkter er vist i gur 5. De simulere toppunkter ligger mellem 30 og 35.5, og 95% af værdierne ligger mellem 31.1 og Gennemsnittet er hvilket stemmer godt overens med det 'sande' toppunkt på (svarende til den lodrette røde linie i histogrammet). Vi kan konkludere at hvis den kvadratiske regressionsmodel er en god model for sammenhængen mellem høsttidspunkt og udbytte, så er det optimale høsttidspunkt bestemt med en usikkerhed på et par dage. Konklusion I dette afsnit har vi diskuteret mindste kvadraters metode i forbindelse med kvadratisk regression, og vi har analyseret et datasæt vedrørende risdyrkning. Nogle vigtige pointer er følgende: Hvis man vil vide noget om sammenhængen mellem to (eller ere variable) må man indsamle data bestående af sammenhørende værdier af variablene. Dataindsamling skal foretages omhyggeligt, og det skal på forhånd besluttes hvordan dataindsamlingen/eksperimentet skal udføres. Dette foregår ved lodtræning for at undgå at der sker en sammenblanding af x og andre variable med indydelse på y. For eksempel må vi ikke se på rismarken og beslutte hvornår der skal høstes; dette skal være afgjort ved lodtrækning på forhånd. Mere generelt må vi ikke lade indsamlede data bestemme hvordan resten af eksperimentet udføres, idet det vil påvirke resultatet af dataanalysen. De indsamlede datapunkter vil aldrig ligge præcis på en parabel (eller en ret linie hvis vi snakker om lineær regression). Der er variation i risudbyttet som vi ikke kan forklare blot

8 Optimalt høsttidspunkt Fig. 5: Histogram over 5000 simulerede optimale høsttidspunkter (toppunkter). Data er simuleret fra en normalfordeling med middelværdifunktion y = 4.536x x og spredning 204. Det optimale høsttidspunkt for disse værdier (32.35) er vist med den lodrette røde linie. ved at inddrage tiden siden afblomstringen. Selv hvis vi vidste alting om rismarkerne, ville vi næppe kunne forudsige udbyttet præcist. Der er en naturlig variation som vi hverken kan eller vil beskrive. De indsamlede data giver anledning til en estimeret parabel som punkterne varierer omkring. Hvis vi gentog eksperimentet eller dataindsamlingen, ville vi få andre y-værdier og dermed en anden estimeret parabel. Der er altså en vis usikkerhed behæftet med den estimerede parabel eller de estimerede parametre. En meget vigtig del af en statistisk analyse er at kunne gøre rede for denne usikkerhed, dvs. gøre rede for hvor meget vi kan stole på den estimerede sammenhæng. Det var det vi forsøgte at gøre i afsnittet om simulation, men i statistik har vi også andre redskaber til at beskrive denne usikkerhed. I denne bog har I set at man kan bruge mindste kvadraters metode til at lineær regression og kvadratisk regression. Metoden kan også bruges i andre situationr, for eksempel hvis der er en eksponentiel sammenhæng eller en potensssammenhæng mellem x og y, eller hvis værdien af y beskrives ved hjælp af ere x-variable. Det sidste kaldes multipel regression. Opgave (Brudstyrke af kraftpapir) Kraftpapir bruges blandt andet til papirsposer, og det er derfor vigtigt at trækstyrken og brudstyrken er høj. Kraftpapir består hovedsageligt af træ fra nåletræer, men løvtræ kan tilsættes træmassen under produktionen. Spørgsmålet er hvor meget løvtræ der bør bruges for at opnå størst mulig brudstyrke. I tabellen nedenfor er vist sammenhørende værdier af andelen af løvtræ (procent af træmassen) og den maksimale belastning før brud. Belastningen er målt i enheden psi, dvs. 'pounds per square inch' eller pund per kvadrattomme. Data kommer fra en artikel af Joglekar, Schuenemeyer og LaRiccia fra 1989.

9 9 Løvtræ Brudstyrke Løvtræ Brudstyrke Løvtræ Brudstyrke Indtast data i Excel. Overvej hvilken variabel (løvtræ eller brudstyrke) der skal bruges som y, og hvilken der skal bruges som x. Tegn derefter data. 2. Gør rede for at det er fornuftigt at bruge en kvadratisk regressionsmodel til at beskrive sammenhængen mellem andelen af løvtræ og brudstyrken. 3. Beregn estimaterne i den kvadratiske regressionsmodel i Excel, og indtegn den estimerede parabel i guren med data. Overvej om du synes parablen passer godt til data. 4. Beregn et estimat for den andel af løvtræ der giver størst brudstyrke, samt et estimat for den tilhørende brudstyrke. 5. Beregn et estimat for brudstyrken for kraftpapir med 13.5% løvtræ. Tror du man kan stole på dette estimat? 6. Beregn et estimat for brudstyrken for kraftpapir med 20% løvtræ. Tror du man kan stole på dette estimat?

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst

Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst (Projektet anvender værktøjsprogrammet TI Nspire) Alle de tilstedeværende i klassen tildeles et nummer, så med 28 elever i klassen uddeles numrene

Læs mere

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17 nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større

Læs mere

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Mikro-kursus i statistik 1. del 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Hvad er statistik? Det systematiske studium af tilfældighedernes spil!dyrkes af biostatistikere Anvendes som redskab til vurdering

Læs mere

Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression

Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression Jens Ledet Jensen H2.21, email: jlj@imf.au.dk Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression p. 1/34 Program for i dag 1. Indledning: sammenhæng mellem

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Dig og din puls. 17-10-2004 Dig og din puls Side 1 af 17

Dig og din puls. 17-10-2004 Dig og din puls Side 1 af 17 Dig og din puls Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Dig og din puls Side 1 af 17

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Statistik i GeoGebra

Statistik i GeoGebra Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik

Læs mere

12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse

12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse . september 5 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning Uge, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 8 Multipel Lineær Regression 1 Simpel Lineær Regression (SLR) y Sammenhængen mellem den afhængige variabel (y) og den forklarende variabel (x) beskrives vha. en SLR: ligger ikke

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4

Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4 BH Test for normalfordeling i WordMat Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4 Grupperede observationer Vi tager udgangspunkt i

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Modelkontrol i Faktor Modeller

Modelkontrol i Faktor Modeller Modelkontrol i Faktor Modeller Julie Lyng Forman Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Statistik for Biokemikere 2003 For at konklusionerne på en ensidet, flersidet eller hierarkisk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik C Lærer(e) LSP ( Liselotte Strange-Pedersen

Læs mere

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression Regressionsanalyse Regressionsanalyser

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

OpenOffice Calc ver 3.3 (regneark)

OpenOffice Calc ver 3.3 (regneark) OpenOffice Calc ver 3.3 (regneark) Lineær regression Indtast benævnelser som for eksempel x og y og tilhørende talsæt Anbring markøren på cellen B4, hold venstre musetast nedtrykket og træk markøren ned

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

University of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version

University of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version university of copenhagen University of Copenhagen Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs Publication date: 2014 Document Version Peer-review version Citation for published version (APA): Larsen,

Læs mere

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk Eksempel: Systolisk blodtryk Udgangspunkt: Vi ønsker at prædiktere det systoliske blodtryk hos en gruppe af personer. Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik.

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot

Læs mere

Modellering af elektroniske komponenter

Modellering af elektroniske komponenter Modellering af elektroniske komponenter Formålet er at give studerende indblik i hvordan matematik som fag kan bruges i forbindelse med at modellere fysiske fænomener. Herunder anvendelse af Grafregner(TI-89)

Læs mere

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder.

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder. Parabler En funktion med grundformlen y = ax 2 + bx + c kaldes en andengradsfunktion. Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. 1. Hvis a = 0, er det ikke en andengradsfunktion.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C MIHY (Michael

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900. 2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske

Læs mere

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136 Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Center for Statistik Handelshøjskolen i København MPAS Tue Tjur November 2006 Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Ved en tidsrække forstås i almindelighed et datasæt, der

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Handelsskolen Silkeborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Frede

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2016 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) SIPE

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C CASO(Carina Suzanne

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf.

Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf. Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer 2010. Nakskov Gymnasium & Hf. Eksaminator: Ulla Juul Franck Der er 20 spørgsmål i alt, og bilag til spørgsmål 14 og 15. 1. Andengradspolynomier og parabler.

Læs mere

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Baggrund: I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher

Læs mere

GUX. Matematik Niveau B. Prøveform b

GUX. Matematik Niveau B. Prøveform b GUX Matematik Niveau B Prøveform b August 014 GUX matematik B august 014 side 0 af 5 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Vejledning til GYM17 Copyright Adept Nordic 2013

Vejledning til GYM17 Copyright Adept Nordic 2013 Vejledning til GYM17 Copyright Adept Nordic 2013 Vejledning i brug af Gym17-pakken... iv 1 Deskriptiv statistik... 1 1.1 Ikke-grupperede observationssæt... 1 1.2 Grupperede observationssæt... 4 2 Regressioner...

Læs mere

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Tirsdag den 8. juni 2010 kl

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Tirsdag den 8. juni 2010 kl Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Tirsdag den 8. juni 2010 kl. 9.00 12.00 IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt. Opgavesættet består af 5

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Statistik Lektion 17 Multipel Lineær Regression

Statistik Lektion 17 Multipel Lineær Regression Statistik Lektion 7 Multipel Lineær Regression Polynomiel regression Ikke-lineære modeller og transformation Multi-kolinearitet Auto-korrelation og Durbin-Watson test Multipel lineær regression x,x,,x

Læs mere

Lineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation:

Lineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation: Lineær regression Simpel regression Model Y i X i i ofte bruges følgende notation: Y i 0 1 X 1i i n i 1 i 0 Findes der en linie, der passer bedst? Metode - Generel! least squares (mindste kvadrater) til

Læs mere

Statistik viden eller tilfældighed

Statistik viden eller tilfældighed MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2012 (denne beskrivelse dækker efterår 2011 og forår 2012) Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse

Læs mere

1 Ligninger. 2 Ligninger. 3 Polynomier. 4 Polynomier. 7 Vækstmodeller

1 Ligninger. 2 Ligninger. 3 Polynomier. 4 Polynomier. 7 Vækstmodeller 1 Ligninger a. Fortæl om algebraisk og grafisk løsning af ligninger ud fra ét eller flere eksempler. b. Gør rede for algebraisk løsning af andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0. 2 Ligninger a. Fortæl om

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK NOVEMBER 008 MATEMATIK A-NIVEAU g Prøve november 008 1. delprøve: 1 time med formelsamling samt. delprøve: timer med alle hjælpemidler Alle delspørgsmål indenfor hver af

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1

6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6. Regression Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6.0 Indledning til funktioner eller matematiske modeller Mange gange kan

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Bilag 7. SFA-modellen

Bilag 7. SFA-modellen Bilag 7 SFA-modellen November 2016 Bilag 7 Konkurrence- og Forbrugerstyrelsen Forsyningssekretariatet Carl Jacobsens Vej 35 2500 Valby Tlf.: +45 41 71 50 00 E-mail: kfst@kfst.dk Online ISBN 978-87-7029-650-2

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket: Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium

Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Projektopgave Matematik A Tema: Eksponentielle modeller Vejleder: Jørn Bendtsen Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 01-01-2008 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 1.

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Antal timer 19 5 7 10 0 6 6 3 7 6 4 14 6 5 12 10 Køn k m k m m k m k m k k k m k k k

Antal timer 19 5 7 10 0 6 6 3 7 6 4 14 6 5 12 10 Køn k m k m m k m k m k k k m k k k Statistik 5 Statistik er en meget omfattende matematisk disciplin, og den anvendes i meget stor udstrækning i vores moderne samfund. Den handler om at analysere et (ofte meget stort) talmateriale. Det

Læs mere

Regneark Excel fortsat

Regneark Excel fortsat Regneark Excel fortsat Indhold SÅDAN TEGNES GRAFER I REGNEARK EXCEL... 1 i Excel 97-2003... 1 I Excel 2007... 1 ØVELSE... 2 I Excel 97-2003:... 2 I Excel 2007... 3 OM E-OPGAVER 12A... 4 Sådan tegnes grafer

Læs mere

Program. Modelkontrol og prædiktion. Multiple sammenligninger. Opgave 5.2: fosforkoncentration

Program. Modelkontrol og prædiktion. Multiple sammenligninger. Opgave 5.2: fosforkoncentration Faculty of Life Sciences Program Modelkontrol og prædiktion Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Test af hypotese i ensidet variansanalyse F -tests og F -fordelingen. Multiple sammenligninger. Bonferroni-korrektion

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik

Epidemiologi og Biostatistik Kapitel 1, Kliniske målinger Epidemiologi og Biostatistik Introduktion til skilder (varianskomponenter) måleusikkerhed sammenligning af målemetoder Mogens Erlandsen, Institut for Biostatistik Uge, torsdag

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf Matematik C-B Pia Hald ph@kvuc.dk

Læs mere

To samhørende variable

To samhørende variable To samhørende variable Statistik er tal brugt som argumenter. - Leonard Louis Levinsen Antagatviharn observationspar x 1, y 1,, x n,y n. Betragt de to tilsvarende variable x og y. Hvordan måles sammenhængen

Læs mere