Anden del af kapitlet fokuserer på rentebegrebet. I læseplanen fra Fælles Mål 2009 står der direkte, at eleverne skal arbejde med

Transkript

1 Af læseplanen for klassetrin fremgår det, at beskrivelse af lineære og ikke-lineære sammenhænge indgår i arbejdet med funktionsbegrebet. Det er ligeledes fremhævet, at arbejdet med funktionsbegrebet skal foregå i nært samspil med praktiske problemstillinger fra dagligliv, samfundsliv og naturforhold. Dette kapitel kan bl.a. ses i lyset af disse hensigter. Omdrejningspunktet er vækst, der beskrives sprogligt, med tabeller, formler og grafer. Eksemplerne vedrører bl.a. fart, salmonellabakterier og renter og omfatter således både lineær vækst og eksponentiel vækst. Første del af kapitlet introducerer begreberne lineær vækst og eksponentiel med udgangspunkt i elevernes egne beskrivelser af forskellige fænomener, der vokser. Eleverne er ikke ubekendte med fænomener, der vokser eksponentielt, men funktionsforskriften for eksponentiel vækst er ny for dem og det er nyt for dem at anvende begrebet eksponentiel vækst. Anden del af kapitlet fokuserer på rentebegrebet. I læseplanen fra Fælles Mål 2009 står der direkte, at eleverne skal arbejde med Rentebegrebet, fx i tilknytning til opsparing, låntagning og kreditkøb. Dette første møde med rentebegrebet handler udelukkende om opsparing. I Kolorit for 9. klasse behandles låntagning og kreditkøb. Set fra et emneperspektiv vedrører arbejdet med kapitlet trinmål fra både tal & algebra, geometri og fra matematik i anvendelse. Det er nærliggende at inddrage regneark i arbejdet med kapitlet, der på den måde også kan komme til at udvikle elevernes hjælpemiddelkompetence. I kapitlet arbejdes med følgende centrale faglige begreber: Lineær vækst Punktvis lineær vækst Stykkevis lineær vækst Eksponentiel vækst Punktvis eksponentiel vækst Rentesats, kapital Huskeliste: Papir (til side 156) Evt. mm-papir (til side 156) Evt. regneark (til side 162, 163, 164, 165, 166) VÆKST 1

2 FRA FAGHÆFTET Kompetencer: afkode, bruge og vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationsformer og kunne se deres indbyrdes forbindelse (repræsentationskompetence) kende forskellige hjælpemidler, herunder it, og deres muligheder og begrænsninger, samt anvende dem hensigtsmæssigt, bl.a. til eksperimenterende udforskning af matematikkens sammenhænge, til beregninger og til præsentationer (hjælpemiddelkompetence) Matematiske emner: I arbejdet med tal og algebra at arbejde med talfølger og forandringer med henblik på at undersøge, systematisere og generalisere anvende funktioner til at beskrive sammenhænge og forandringer arbejde med funktioner i forskellige repræsentationer I arbejdet med geometri at arbejde med koordinatsystemet og forstå sammenhængen mellem tal og geometri Matematik i anvendelse: arbejde med problemstillinger vedrørende dagligdagen, bl.a. i forbindelse med privatøkonomi, bolig og transport anvende faglige redskaber og begreber, bl.a. procentberegninger, formler og funktioner som værktøj til løsning af praktiske problemstillinger Matematiske arbejdsmåder: undersøge, systematisere og ræsonnere med henblik på at generalisere Indhold og mål I dette kapitel skal I arbejde med at beskrive vækst. Målet er, at I får erfaringer med at bruge funktioner til at beskrive vækst. lærer, hvad der forstås ved lineær vækst og eksponentiel vækst. ærer begreberne rentesats, termin og kapital. lærer at bruge to renteformler. får erfaringer med at bruge regneark til arbejdet med vækst. VÆKST 2

3 FACIT Side 156 1a 1b MUNDTLIG 7-tabellen begynder med 7 og vokser med 7 for hvert trin i tabellen. Trin x Tal x 1c y = 7x x er trinnummer, y er resultatet. 2a 2b For hver time bliver turen 100 km længere. Trin x Længde i km x 2c y = 100x x er trinnummer, y er resultatet. 3a 3b De første to timer vokser turens længde med 100 km pr. time. I de næste to timer vokser turen med 50 km pr. time og derefter med 80 km pr. time. Trin x Længde i x -20 km 3c For 0 x 2 gælder: y = 100x For 2 < x 4 gælder: y = 50x For x > 4 gælder: y = 80x - 20 x er trinnummer, y er resultatet. VÆKST 3

4 4a 4b 4c Antallet af lag fordobles med hvert fold. Trin x Antal lag x y = 2 x Side 157 MUNDTLIG 5 og 6 Opgave 1 hører til Punktvis lineær vækst. Opgave 2 hører til Lineær vækst. Opgave 3 hører til Stykkevis lineær vækst. Opgave 4 hører til Punktvis eksponentiel vækst. 7 Fx Lineært: Prisen på bær vokser lineært med vægten. Prisen på euro vokser lineært med antallet af euro. Eksponentielt: Beløbet på en opsparingskonto (med rente) vokser eksponentielt med tiden. Antal bakterier i æg vokser eksponentielt med tiden. Side 158 1a PROBLEM Felt nr Antal hvedekerner b y = x VÆKST 4

5 1c Antal hvedekerner Felt nr a Felt nr Antal hvedekerner b y = 2 x VÆKST 5

6 2c Antal hvedekorn Felt nr a 3b (Punktvis) lineær vækst. (Punktvis) eksponentiel vækst. Side 159 PROBLEM 1 Antal timer, x Antal bakterier, y VÆKST 6

7 Antal bakterier Timer Mellem 5 timer og 6 timer passerer antallet af bakterier Mellem 4 timer og 5 timer passerer antallet af bakterier VÆKST 7

8 Side 160 PROBLEM 1 Trin 1 Trin 2 Trin 3 2 Trin n Antal n Antal Trin 4 VÆKST 8

9 5 Trin n Areal 1 6 Areal Antal 7 Grafen falder i en blød bue. Side 161 FÆRDIGHED Facit findes i grundbogen på side 185. VÆKST 9

10 Side 162 MUNDTLIG 1 Rentebeløbet er 11,11 kr. 2 Antal dage Rentebeløb 11,11 22,22 33,33 44,44 55,56 66,67 3 Rentebeløb i kr Antal dage Rentebeløbet inden for en termin vokser lineært. Renteformel 1 har formen y = ax + b. VÆKST 10

11 Side 163 MUNDTLIG 5 Efter første termin står der 2100 kr. på kontoen. 6a 6b Fx Den nye saldo kan beregnes ved ,05 = 2000 (1 + 0,05) = ,05 Fx Den nye saldo kan beregnes ved ,05 1,05 = , Antal terminer Saldo efter terminsnummer n 2100 kr kr. 2315,25 kr. 2431, ,05 n Saldo i kr Antal terminer Vi ved, at saldoens vækst efter n terminer kan beregnes ved VÆKST 11

12 2000 1,05 n Det svarer til 2000 (1 + 0,05) n Generelt gælder derfor K n = K (1 + r) n 10 Saldoen vokser eksponentielt. Renteformel 2 har formen y = a x Side 164 1a 1b 1c PROBLEM =C7+B8 =C8*$B$4 =C8+B9 2 Der er 2025,82 kr. til barnebarnet på hendes 18 års fødselsdag. VÆKST 12

13 Saldo i kr Antal terminer a 4b 4c 4051,63 kr. 5708,68 kr ,50 kr. 5 Fx Startkapital: 3503,44 kr. Rente: 6,0 % Side 165 PROBLEM 1 Det kan bedst betale sig at vælge bank B, fordi saldoen med renters rente vokser hurtigere end i bank A. VÆKST 13

14 2 Forskellen er ,09 kr ,69 kr. = 75,40 kr. 3 Hvis bank A hæver sin rentesats til 4,6 %, kan det bedre betale sig at vælge den frem for bank B. Efter 10 år vil der stå ,95 kr. på kontoen. 4 4,55 % Side 166 1a 1b PROBLEM Efter 10 år har Anders flest penge. Efter 20 år har Nikolaj flest penge. VÆKST 14

15 2 Saldo i kr Anders Nikolaj År VÆKST 15

16 3 Der går cirka 16 år, før opsparingerne er lige store. Graferne skærer hinanden ved cirka 14 år. 4 Anders opsparing er størst de første 14 år. Her ligger grafen for Anders opsparing ligger over grafen for Nikolajs opsparing. Nikolajs opsparing er størst efter 14 år. Her ligger grafen for Nikolajs opsparing over grafen for Anders opsparing. Side 167 FÆRDIGHED Facit findes i grundbogen på side 186. VÆKST 16