Elementær Matematik. Rumgeometri

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Elementær Matematik. Rumgeometri"

Transkript

1 Elementær Mtemtik Rumgeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gmnsium 8

2 Inhol. Koorintsstem i rummet.... Vektorer i rummet.... Sklrproukt.... Prmeterfremstilling for en linie i rummet...5. Krsproukt f to vektorer...6. Den geometriske fortolkning f krsprouktet Afstn fr punkt til en linie i plnen Ligning for en pln. Afstn fr et punkt til en pln Prmeterfremstilling for plnen Vinklen mellem to plner skæring mellem to plner Vinkel mellem vektor og pln Afstnen mellem to vinskæve linier Afstn fr linie til et punkt i rummet...5. Projektion f vektor på en pln...6. Kuglen...7. Rumfng og rumproukt...8. Tre ligninger me tre uekente...

3 Rumgeometri. Koorintsstem i rummet På smme måe som mn i plnen fstlægger et koorintsstem ve ortogonle kser så fstlægger mn et koorintsstem i rummet som ortogonle kser me fælles egnelsespunkt. I plnen vælger mn -ksen og -ksen sålees t -ksen er rejet 9 i forhol til -ksen. I rummet fstlægges -ksen og -ksen på smme måe men sålees t -ksen smmen me - ksen og -ksen nner en højreskrue. Højreskrue eter t ve en rejning me højre hån fr -ksen til -ksen vil -ksen ligge i tommelfingerens retning. I rummet hr et punkt P tre koorinter som svrer til projektionen f P på e tre kser - helt på smme måe som et er tilfælet me projektionen på to kser i plnen.. Vektorer i rummet Angåene nottion: I mtemtisk littertur kn mn ngive en vektor som et ogstv me en pil over eller ve et fremhævet ogstv. De to smoler og hr erfor smme etning. Vi vil herefter nvene egge nottioner når et ikke kn give nlening til misforståelser. For vektoren er foriner to punkter A og B skriver mn og lti AB. I et følgene vil vi gøre ustrkt nvenelse f neenståene konsttering som erfor er vigtigt t notere sig. Der er ingen prinipiel forskel på vektorer i plnen og i rummet så længe højst to vektorer er involveret. To egentlige ikke prllelle vektorer uspæner lti en pln som mn kn vælge som - -plnen. Vi hr tiligere vist t lle egensker ve vektorer i plnen er ufhængige f koorintsstemet. Derfor kn vi umielrt overtge lt hv er gæler for to vektorer i plnen til to vektorer i rummet.

4 Rumgeometri Koorinterne til et punkt P i rummet er projektionen f P på hver f e koorintkser helt på smme måe som et er tilfælet i plnen hvor er projektionen f et punkt P på hver f e to koorintkser. Se figuren ovenfor. På smme måe som mn i plnen infører sisvektorerne i og j infører mn i rummet sisvetorer i j og k. De er ortogonle enhesvektorer ensrettet me hver f e koorintkser og. Herefter kn vi estemme koorinterne til en vektor. En vektor nringes me egnelsespunkt i sålees t for Stevektoren til punktet P. OP. OP kles som hitil Projektionen f P på - plnen etegnes Q. Projektionen f P på -ksen etegnes T. Projektionen f Q på -ksen og -ksen etegnes henholsvis R og S. Nu er et inlsene t OR OQ i OS OR OS j og erme som et lti gæler i -plnen i j Af figuren fremgår enviere t QP OT k og t OP OQ QP. Der gæler sålees.. OP OQ OT OS OR OT i j k Fremstillingen f OP ve hjælp f e sisvektorer er entig. Koorinterne til vektoren er erfor. Ofte skriver mn koorinterne på "højknt". Dette vil vi og ikke lt gøre f tpogrfiske grune. OP til punktet hr smme ko- Vi ser t et ligesom i plnen gæler t et punkt P og stevektoren orinter. U fr opløsningen f en vektor i sisvektorer i j k og i j k og u fr regnereglerne for vektorer i plnen er et lige til t inse t vektorerne hr koorinterne. og

5 Rumgeometri. og I øvrigt gæler lle e regneregler vi kener for vektorer i plnen. Hvis er er givet to punkter A og B kn mn estemme koorinterne til en vektor som foriner A og B på følgene måe:.4 OB OA AB AB OB OA AB Altså enepunktets koorinter minus egnelsespunktets koorinter. Fulstænig nlogt til en formel som vi kener fr vektorer i plnen.. Sklrproukt Sklrprouktet er kent fr vektorer i plnen. Om sklrprouktet for vektorer i plnen ve vi.5 osv Hvor v er vinklen mellem e to vektorer. D e to vektorer uspæner en pln kn vi uen viere overtge og nvene enne efinition f sklrproukt i rummet. Enviere gæler for sklrprouktet for vektorer i plnen en kommuttive og en istriutive lov..6 I rummet kn en siste f e to reltioner reltivt nemt vises geometrisk iet en følger f t summen f projektionerne f og på er lig me projektionen f sumvektoren. I plnen efineree vi sklrprouktet givet ve ets koorintutrk. Hvis og så er:. I rummet vil vi i steet nvene en geometriske efinition.5 og erfr ulee et koorintutrk for sklrprouktet f to vektorer. D e sisvektorer i j og k er inres ortogonle enhesvektorer gæler ifølge.5: i i j j k k og i j j k i k. L e to vektorer være givet ve koorintutrkkene: og eller utrkt ve sisvektorerne: i j k og i j k

6 Rumgeometri 4 Ve uregning f sklrprouktet i j k i j k vil lningsproukterne mellem lle sisvektorerne live sisvektorerne er ortogonle mens e resterene sklrproukter vil live. Sklrprouktet liver sålees ikke overrskene..7 Reltionen følger f også f efinitionen på sklrproukt og kn overtges uænret fr vektorer i plnen. For kvrtet på længen f en vektor finer mn:.8 ltså selve længen f vektor er kvrtroen f enne størrelse..9 Afstnen mellem punkterne A og B er et smme som længen f vektoren AB Herf fås fstnsformlen hvor mn i formlen hr ttet om på rækkefølgen f 'erne og 'erne. Dist A B AB For osinus til vinklen v mellem to vektorer gæler ifølge efinitionen.5 som hitil. os v For projektionen f vektor på vektor er formlen ligelees uænret i rummet selv om sklrprouktet og længen f vektorerne uregnes på en nen måe..

7 Rumgeometri 5. Eksempel. Vi vil estemme koorinterne til en vektor som foriner punkterne A-64 og B-7. Ifølge.4 får mn AB AB Længen f enne vektor er Eksempel. Vi vil estemme vinklen mellem vektorerne -45 og -. Ifølge.5 osv finer mn 68 os v v Prmeterfremstilling for en linie i rummet I plnen lev liniens ligning fstlgt ve et punkt på linien og en normlvektor til linien. Dette kn ikke enttes for en linie i rummet fori en sån linie hr uenelig mnge ikke prllelle normlvektorer. I steet vil vi krkterisere linien ve et punkt P på linien og en retningsvektor for linien. En retningsvektor r r r r er en egentlig vektor som er prllel me linien. Vi utrkker i steet for t et punkt P ligger på linien l hvis og kun hvis er fines et tl t sålees t P P t r t r r r Herf følger liniens prmeterfremstilling. t etegnes prmeteren. Alle punkterne på linien fremkommer når t gennemløer e reelle tl. Speielt er PP for t. Koorinterne til liniens prmeterfremstilling er skrevet u neenfor

8 Rumgeometri 6. r r r t og skrevet u for hver koorint finer mn: ; ; r t r t r t.4 Eksempel Fin en prmeterfremstilling for linien me retningsvektor --5 og som går gennem punktet P-6. Vi kn irekte opskrive efter. 5 6 t.5 Eksempel Fin en prmeterfremstilling for linien er går gennem punkterne A-6 og B5-. En retningsvektor for linien er AB Herf fås prmeterfremstillingen t. Krsproukt f to vektorer For to vektorer og i rummet efinerer mn et såklt krsproukt eller vektorproukt - som en vektor er for egentlige ikke prllelle vektorer er vinkelret på såvel som sålees t og nævnt i enne rækkefølge nner en "højreskrue". Begreet højreskrue refererer til en måe mn i lminelighe vælger et -retvinklet koorintsstem. Ufører mn me højre hån en numerisk minste rejning v fr til så ligger i tommelfingerens retning. Længen f krsprouktet er efineret ve en geometriske formel.. sin v. Vil og ikke nvene enne efinition irekte men i steet forsøge t estemme et koorintutrk for krsprouktet. Senere viser vi t koorintefinitionen er i overensstemmelse me en geometriske efinition ovenfor. Vi stiller os erfor opgven:

9 Rumgeometri 7 For to egentlige ikke prllelle vektorer og vil vi estemme en vektor som står vinkelret på såvel og. Dette kn utrkkes ve t e to sklrproukter me skl være. og Skrevet op i koorinter får mn ligningerne: og Ve t fltte leet me over på en nen sie f lighestegnet får mn ligningerne. - - Dette kn vi etrgte som to ligninger me to uekente som kn løses på sævnlig vis me eterminntmetoen. Før vi gør ette vil vi og lige væle ve etingelsen t vektorerne og ikke må være prllelle. At to egentlige vektorer og er prllelle er ensetene me t er fines et tl t sålees t t. Skrevet u i koorinter: t. Dette kn umøntes i ligninger. t og t og t Opftter mn isse koorintsæt som koorinter til vektorer i plnen læser mn t i hvert f e tilfæle vektorerne er prvis prllelle. For egentlige vektorer hr vi tiligere vist t ette er ensetene me t eres eterminnt er nul. De ligninger kn erfor skrives:. Vi hr her skrevet koorinterne på "højknt" som mn i lminelighe gør for vektorer men eterminnten er ufornret en smme hvis mn skriver koorinterne vnret..4 Vi rekpitulerer: To egentlige vektorer og i rummet er prllelle hvis og kun hvis e eterminnter ovenfor lle er nul. Vi vil nu løse ligningssstemet. me eterminntmetoen. Vi miner om løsningsformlen som lev ulet uner vektorregningen. Ligningssstemet:

10 Rumgeometri 8 me eterminnten: D hr netop en løsning hvis D.4 og Anvenes enne løsningsformel på ligningssstemet. finer mn : Vi hr ntget t vektorerne og ikke er prllelle men erfor kn nævner eterminnten D got være. I ette tilfæle kunne vi så løse ligningssstemet. me hensn til og eller me hensn til og. Alle e tre nævner eterminnter kn ikke være nul hvis linierne ikke er prllelle så vi ntger t nævnereterminnten overfor er forskellig fr. Minustegnet på en søjle kn fjernes ve t mn tter om på e to søjler og mn kn fltte som er en konstnt fktor i en søjle uen for eterminntsmolet. Enelig omtter vi og i nævner eterminnten. Herf finer mn: eller me inlsene etegnelser for e tre eterminnter. For enhver væri f forskellig fr nul vil være en vektor er er vinkelret på såvel som. Vælger vi nu speielt så er givet ve utrkket:.5 Utrkket hr nogle ehgelige smmetriegensker og et er enne vektor som mn efinerer som krsprouktet f og. Vi viser neenfor t ette er i overensstemmelse me en geometriske efinition. Mn emærker t et netop er e eterminnter fr.4 som ingår i utrkket og erme t krsprouktet nulvektoren hvis og kun hvis vektorerne og er prllelle.

11 Rumgeometri 9.6 Eksempel Fin krsprouktet mellem vektorerne - 4 og - 5. Ifølge.5 får mn Den geometriske fortolkning f krsprouktet Vi vil vise t længen f krsprouktet er lig me relet f et prllellogrm som uspænes f vektorerne og ltså t:. sin v hvor v er vinklen mellem e to vektorer og v 8. Vi skl her nvene t længen og retningen f er ufhængig f vlget f koorintsstem. At retningen er et følger f en geometriske efinition og sætningen ovenfor verører kun længen f vektorer som er ufhængig f koorintsstem. Vi vil nu uregne i et koorintsstem hvor - plnen er smmenflene me en pln er uspænes f og. D står vinkelret på enne pln hr en kun en komposnt lngs - ksen vs. og koorinterne er. Ifølge formlen for krsprouktet ses et t -koorinten netop er lig me eterminnten for e to vektorer og i - plnen. Vi hr tiligere vist t et sin v lig me relet f prllelogrmmet som uspænes f og. Me et vlgte koorintsstem er længen f lig me -koorinten numerisk så i ette tilfæle er sætningen korrekt. D krsprouktet er ufhængigt f vlg f koorintsstem vil utrkket imilerti gæle i lle tilfæle. Herme hr vi gotgjort t efinitionen f krsprouktet u fr vektorernes koorinter er i overensstemmelse me en geometriske efinition. 4. Afstn fr punkt til en linie i plnen L en linie l i plnen være fstlgt ve et punkt P og en normlvektor til linien n. Vi kn utrkke følgene:

12 Rumgeometri Punktet P ligger på linien hvis og kun hvis vektorerne n og P P er ortogonle ltså hvis n P P hvor vi hr st - -. Det emærkes t ette også er opflt når P P iet P P. Afstnen istp l fr punktet P til linien l kn på smme måe fines ve t utrkke t er lig me længen f projektionen f vektoren P på n. For projektionen f en vektor på en vektor hr vi utrkket 4. me længen Herf fås: P 4. n P P ist l P n Det siste utrk svrer til et vi tiligere hr ulet me og uen rug f vektorer. 5. Ligning for en pln. Afstn fr et punkt til en pln Det viser sig t uleningen f formlen for fstnen fr et punkt i rummet til en pln kn overtges næsten orret fr en tilsvrene formel for fstnen fr et punkt i plnen til en linie. En pln er fulstænig fstlgt ve et punkt i plnen og en normlvektor til plnen. L en pln være fstlgt ve et punkt P i plnen og en normlvektor til plnen n. Vi kn utrkke følgene: Punktet P ligger i plnen hvis og kun hvis vektorerne n og P P er ortogonle ltså hvis P n P - - -

13 Rumgeometri 5. hvor vi hr st Det emærkes t 5. også er opflt når P P. Dette kles en ligning for plnen eller plnens ligning For fstnen fr et punkt P til en pln me ligningen emærker vi t er lig me længen f projektionen f vektoren P på normlvektoren n. Formlerne for projektion f vektor på vektor er e smme i rummet som i plnen og vi finer erfor: P ist α P n P P n og herme 5. ist α P Mn ser t formlen næsten er ientisk me en tilsvrene formel for fstn fr punkt til linie. 5.4 Eksempel Bestem ligningen for en pln som går gennem P og hr normlvektoren n --. Ifølge 5. finer mn ve irekte insættelse <> Eksempel Fin ligningen for en pln som går gennem punkterne A B64- og C--. For t estemme en normlvektor til plnen uregner vi krsprouktet f for eksempel AB 4-4 og AC --5 AB AC Ligningen for plnen kn herefter fines <> Eksempel Fin fstnen fr punktet Q-4 til plnen me ligningen Ifølge 5. finer mn 4 4 ist α Q

14 Rumgeometri 5.7 Eksempel. Skæring mellem linie og pln Vi vil fine skæringspunktet hvis et fines mellem plnen α: 4-5 og linien me prmeterfremstillingen: t -t 4t-. Vi gør et ve t insætte prmeterutrkkene i plnes ligning og løse ligningen me hensn til t. Hvis ligningen ikke hr nogen løsning er linien prllel me plnen. Hvis ligningen er opflt for lle t ligger linien i plnen og hvis er er netop en løsning skærer linien plnen i et punkt. t-4-t-4t-5 <> t som insættes i prmeterfremstillingen. 5. Prmeterfremstilling for plnen I steet for t krkterisere en pln i rummet ve et punkt og en normlvektor kn plnen fstlægges: ve et punkt P i plnen og to ikke prllelle egentlige vektorer p p p p og q q q q prllelle me plnen. D opløsningen f en vektor i plnen efter to givne retninger er entig kn ethvert punkt P i plnen estemmes ve: P 5.4 P s p t q p s p p q t q q Dette kles for en prmeterfremstilling for plnen. Alle plnens punkter fremkommer når e to prmetre s og t gennemløer e reelle tl. 5.5 Eksempel Bestem en prmeterfremstilling for en pln som er uspænt f vektorerne og -5 og som går gennem P-. Ifølge 5.4 s Bestem ernæst en ligning for enne pln. t men et er ofte lettere t isolere e to pr- Dette kn nturligvis gøres ve t estemme en normlvektor som metre s og t fr to f ligningerne og insætte i en treje. 5

15 Rumgeometri s - t - løses mht. 7s og 7t for -7t - Insættes i utrkket for s t t ungå røkregning 7s s 5 t > <> Vinklen mellem to plner skæring mellem to plner To plner er ikke er prllelle skærer hinnen i en linie. Ve vinklen mellem plnerne forstår mn vinklen mellem to hlvlinier er fst u fr smme punkt egge er vinkelrette på skæringslinien og som ligger i hver sin pln. Afsætter mn e to normlvektorer n og n u fr et smme punkt ser mn t mn genfiner enne vinkel som vinklen mellem normlvektorerne. Vinklen mellem e to plner kn erfor eregnes f: 6. osv n n n n 6. Eksempel Bestem vinklen mellem e to plner: og - 4. Ifølge 6. får mn: os v v 8 v Eksempel. Skæringslinie mellem to plner Vi illustrerer metoen ve et eksempel. L e to plner være givet ve ligningerne: Vi ønsker t estemme lle e koorintsæt som tilfresstiller egge ligninger. Dette gøres ve t vælge en f koorinterne som prmeter t. Vælger vi t og insættes ette ligningerne kn ligningssstemet løses me hensn til og sålees t lle koorinter er utrkt ve en prmeter som svrer til prmeterfremstillingen for skæringslinen linie mellem e to plner. Alle koorintsæt er ligger på linien opfler jo netop e to ligninger ovenfor. 5t 4 5t 7 Ligningssstemet hr eterminnten D 8 4 D D hr ligningssstemet netop en løsning. Hvis D er plnerne enten smmenflene hvis e to ligninger er ientiske eller prllelle hvis e to ligninger er i stri me hinnen vs. t e ikke er opflt smtiig for noget Ligningerne kn løses på sævnlig vis f.eks. me eterminntmetoen.

16 Rumgeometri 4 5t 5t t 7 8 5t t t t t 8 6t 6 8 t Vi hr tilføjet t hvorefter vi hr en prmeterfremstilling for skæringslinien. 7. Vinkel mellem vektor og pln Ve vinklen mellem en vektor og en pln forstår mn vinklen mellem vektoren og ens projektion på plnen. Hvis projektionen er nulvektoren er vinklen 9. Hvis vinklen mellem en vektor og plnen er v så er vinklen mellem og én f e to normlvektorer 9 v. Vinklen mellem en nen normlvektor og vil være 9 v. I egge tilfæle finer mn vinklen mellem vektor og pln u fr formlen for vinklen mellem to vektorer. 7. n os 9 ± v n Her skl mn nvene tegnet hvis en funne vinkel er større en 9 og tegn hvis en funne vinkel er minre en Eksempel. Vi vil estemme vinklen mellem plnen 5 7 og vektoren - 5. Ifølge os 9± v 9± v 5 v Afstnen mellem to vinskæve linier På figuren ses to vinskæve linier l og m vs. e er hverken prllelle eller skærer hinnen. L liniernes retningsvektorer være r og r. Ve fstnen mellem linierne forstår mn længen f et korteste liniestkke som foriner e to linier. Det er klrt t ette liniestkke må stå vinkelret på egge linier og erme være prllel me vektoren n r r

17 Rumgeometri 5 Lægger mn to plner egge me normlvektor n som ineholer henholsvis l og m er fstnen mellem l og m en smme som fstnen mellem e to plner. P Enviere ses et t enhver vektor P hvor P og P ligger i hver sin pln hr smme projektion på n nemlig fstnen mellem plnerne lig me fstnen mellem linierne istlm. U fr ette kn mn fine en formel for fstnen mellem linierne. L P og P være vilkårlige punkter på e to vinskæve linier l og m me retningsvektorer r og r. L enviere n r r være en vektor som er vinkelret på em egge. Afstnen mellem linierne kn eregnes f projektionsformlen. n P P 8. Dist l m n hvor n r r og hvor P og P er et vilkårligt punkt på hver f e to linier f.eks. et fste punkt P som ingår i prmeterfremstillingen. 8. Eksempel Bestem fstnen mellem linierne l og m me prmeterfremstillingerne: l: 4-4t t 4t og m: 5-4t 5t t De to retningsvektorer for linier ses t være: r -44 og r Vi estemmer en norml vektor n til egge linier som krsprouktet mellem e to vektorer n r r n Det ses umielrt P 4 og P 5 er et punkt på hver f e to linier så P P Herf finer mn ifølge Distlm Afstn fr linie til et punkt i rummet På figuren er vist et punkt P og en linie l. Linien l er estemt ve retningsvektoren r og et punkt P. P 's projektion på l etegnes Q. Vi ønsker t estemme fstnen P Q. Anringer mn vektoren r sålees t R P r P og tegner mn vektoren P så kn mn estemme relet f Δ P P R på to forskellige måer.

18 Rumgeometri 6 Mn emærker først t fstnen P Q fr P til l er højen i enne treknt som hr grunlinien r. Arelet er erfor: T ½ r Dernæst emærker vi t T er hlvelen f et prllelogrm som uspænes f vektorerne r og P P. Dette rel kn skrives som længen f krsprouktet. T ½ r P P Smmenligner mn e to formler finer mn: 9. Dist P l r P P r 9. Eksempel Vi vil estemme fstnen fr punktet P4- til linien m me prmeterfremstillingen: - t 7 t 9 t me retningsvektor r -. r 7 Det ses t P 79 er et punkt på linien så P P Vi uregner krsprouktet f r og r P 6 P r P P 6 Vi finer erfor ifølge ist l P P P. Projektion f vektor på en pln Vi ønsker t estemme projektionen α f en vektor på plnen α me normlvektor n. Afsætter vi vektorerne og n u fr et smme punkt i plnen kn skrives som vektorsummen f ens projektion på plnen α og ens projektion på n. α n α - n Projektionen på normlvektoren n er imilerti lot projektion f vektor på vektor og finer erfor utrkket for α. n α n n

19 Rumgeometri 7. Eksempel Vi vil fine projektionen f vektoren 64-5 på plnen Normlvektoren til plnen er n --. Vi estemmer først n og n Herf finer mn α Kuglen En kugle er et geometriske ste for e punkter som hr smme fstn til et givet punkt. Det fste punkt kles entrum for kuglen og fstnen kles for rius i kuglen. Hvis C er entrum f kuglen me rius r og P er et vilkårligt punkt på kuglen vil er gæle CP r. Ifølge fstnsformlen får mn : r. r Dette utrk kles for kuglens ligning.. Eksempel Bestem ligningen for en kugle som hr entrum i -- og som går gennem punktet P57. Rius estemmes ve hjælp f fstnsformlen: 5 7 r 4 og irklens ligning liver 4. Eksempel Vis t ligningen fremstiller en kugle og estem entrum og rius. Vi smler leene og omskriver til kvrtet på en toleet størrelse på smme måe som vi gjore et for irklens ligning <> <> Ligningen fremstiller ltså en kugle me entrum -4 7 og rius 9..4 Eksempel. Skæring mellem en kugle og en linie. Vi ønsker t estemme eventuelle skæringspunkter mellem kuglen me ligningen - -5 og linien me prmeterfremstillingen 99t --6t t. Skæringspunkterne kn fines ve t insætte prmeterutrkkene for og i irklens ligning og løse en fremkomne nengrsligning me hensn til t. 99t - --6t -5 t <> 79t -8-6t 6t som efter en el uregning giver: t 76t 968 <> t 6t 8 <> t -4 v t - Ve t insætte i liniens prmeterfremstilling får mn skæringspunkterne: -7-5 og --

20 Rumgeometri 8.5 Eksempel. Tngentpln til en kugle En kugle er givet ve ligningen: P 64 er et punkt er ligger på kuglen hvilket kn ses ve insætning Kuglen hr entrum i C477 så CP 4 er en normlvektor til plnen gennem P. Herf fås tngentplnens ligning: <> Rumfng og rumproukt Vi vil stille os en opgve t fine rumfnget f et prllelepipeum ltså en klos er er uspænt f vektorer hvor ikke to er inres prllelle. Hertil Et sånt prlellepipeum er vist på figuren til venstre. Rumfnget f et prlellepipeum kn uregnes som høje grunfle. Vi ve t ette gæler for en rektngulær ksse. På figuren til højre hr vi tegnet en ksse og et prlellepipeum me smme høje og grunfle. Vi kn se t e to ksser hr et smme rumfng. Hvis vi nemlig skærer et stkke som rger u på en højre sie vil et psse præis me et stkke er mngler på venstre. Kssen og prlellepipeet hr erfor et smme rumfng.

21 Rumgeometri 9 Vi ve t længen f krsprouktet er lig me relet f grunflen. Højen h er lig me osv hvor v er vinklen mellem og. Rumfnget V er lig me: v os men ette kn ifølge efinitionen f sklrproukt skrives som : kles for rumprouktet f vektorerne og. Fortegnet for rumprouktet fhænger f orienteringerne f e tre vektorer men i lle tilfæle er rumfnget V. Vi vil nu uregne rumprouktet i koorinter hvor vi sætter: og Umielrt virker et siste utrk ikke særlig overskueligt men er er skm en streng sstemtik i et. Først emærker mn t lle le ineholer et et og et i enne rækkefølge og hvert le ineholer ineks men i forskellig rækkefølge. Btter mn om på rækkefølgen f forskellige elementer kles et for en permuttion. Der fines 6 permuttioner f elementerne. Der er nemlig muligheer for t esætte. plsen muligheer for plsen i lt 6 og for hver f e 6 kun mulighe for. plsen. De 6 permuttioner er:. Enhver f permuttionerne kn opnås u fr ve t omtte noelementer. Den. permuttion er opnået ve omtning f noelementer. Den. ve to omtninger f noelementer. Hvis er skl et lige ntl omtninger til for t opnå en given permuttion u fr siges et t være en lige permuttion ellers en ulige permuttion. Vener vi tilge til uregningen f rumprouktet så ses et t e 6 le opskrevet præis svrer til e 6 permuttioner f inies sålees t e lige permuttioner hr positiv fortegn og e ulige permuttioner hr negtivt fortegn. Dette er noget vi lleree kener fr en eterminnt. Det viser sig t rumprouktet helt på smme måe kn skrives som en eterminnt.

22 Rumgeometri Hvert le fremkommer ve t gnge en fktor fr hver f e søjler og ikke fr smme række. Hvis rækkeineks er en lige permuttion f så skl leet fornstilles me plus ellers me minus. Eksempel Uregn rumfnget f et prllepipeum er uspænes f e vektorer: 5 4 og 46. Vi opskriver eterminnten: Figurerne neenfor er tegnet me et mtemtikprogrm som en ægte prllelprojektion. Tre ligninger me tre uekente I vektorregningen så vi hvorlees mn ve vektorregning kn fine en generel løsningsformel for ligninger me to uekente. Løsningen lev utrkt ve eterminnter. Der fines helt generelle løsningsformler for n ligninger me n uekente som kles Crmers formler. Her er løsningen utrkt ve n n eterminnter. Disse formler vil vi ikke forsøge t ulee men tilfælet n ltså ligninger me uekente kn ulees ve nvenelse f rumprouktet.

23 Rumgeometri Før vi gør et vil vi notere os nogle egensker ve rumprouktet.hvis to eller flere f vektorerne i rumprouktet er prllelle så er Dette følger f t krsprouktet er nul hvis er prllel me eller hvis er prllel me eller prllel me eller kn skrives som en linerkomintion f og ltså t s så vil være vinkelret på og rumprouktet vil være nul. Hvis et f e nævnte tilfæle er opflt siges og t være lineært fhængige hvilket er et smme som t e tre vektorer ligger i smme pln. U fr en geometriske fortolkning f rumprouktet som rumfnget f et prlleepipeum er uspænes f e vektorer er et klrt t rumprouktet må være nul når e tre vektorer ligger i smme pln. Opskriver vi rumprouktet som en eterminnt: et Så følger et f efinitionen på eterminnten t eterminnten er ufornret ortset fr et fortegnsskifte hvis vi omtter to søjler. Herf følger: Vi opskriver nu et ligningssstem eståene f ligninger me uekente: hvor Løsning f ligningssstemet kommer u på t estemme en opløsning f efter og Vi ve t ette lti kn le sig gøre hvis og ikke ligger i sme pln hvilket er et smme som t. Hvis og ligger i en smme pln hr ligningssstemet uenelig mnge løsninger. Vi vil løse ligningssstemet ovenfor uner ntgelsen t. Vi nvener nu næsten en smme metoe som vi løste to ligninger me to uekente ve vektorregning. Vi tger først krsprouktet f me.

24 Rumgeometri Dernæst tger vi sklrprouktet me. fori så vi finer: et et Vi ser t uregnes som en røk hvor tælleren er ligningssstemets eterminnt hvor en. søjle er erstttet me ligningens højre sie og nævneren er ligningssstemets eterminnt. På helt sme måe kn mn fine og uner nvenelse f e omtningsregler for eterminnter er er nført ovenfor. Herefter finer mn uner forusætning f t ligningssstemets eterminnt er forskellig fr nul. Eksempel Løs ligningssstemet: Vi uregner først ligningssstemets eterminnt

25 Rumgeometri Determinnten er forskellig fr nul så ligningssstemet hr netop én løsning. Vi uregner ernæst og finer: På helt tilsvrene måe finer mn: og Løsningen til ligningssstem er erfor: De viste formler kn uen viere et kræver og et evis generliseres til n ligninger me n uekente. De resulterene formler kles som nævnt for Crmers formler.

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 12. april 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 12. april 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette okument må kun anvenes til unervisning i klasser som aonnerer på MatBog.k. Se yerligere etingelser for rug her. Bemærk: Dette er en arkiveret

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Opgave 1 ( Toppunktsformlen )

Opgave 1 ( Toppunktsformlen ) Opgve 1 ( Toppunktsformlen ) Et nengrspolynomium er givet ve f x x 2 b x c. For t fine toppunktet vil vi først ifferentiere f x Derefter løser vi ligningen f ' x x b f ' x 0 x b 0 x b D f ' x x b er en

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Grafregner-projekt om differentiation.

Grafregner-projekt om differentiation. Grafregner-projekt om ifferentiation. Motivation: Når nu ifferentieret giver, og e ifferentieret giver e, hvorfor får man så ikke e når man ifferentiere e? Formål: ) At opnå kenskab til, og forståelse

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Tredimensional grafik

Tredimensional grafik Teimensionl gfi 6 Ksten Juul Inhol I Homogene oointsæt og gngning f mtie sie Vi vil fose og eje figue i ummet og æne ees støelse Defo inføe vi homogene oointsæt og gngning f mtie II th sie Et olsninge

Læs mere

Koblede svingninger. Thomas Dan Nielsen Troels Færgen-Bakmar Mads Sørensen juni 2005

Koblede svingninger. Thomas Dan Nielsen Troels Færgen-Bakmar Mads Sørensen juni 2005 Koblee svingninger Thomas Dan Nielsen 20041151 Troels Færgen-Bakmar 20041116 Mas Sørensen 20040795 1. juni 2005 Institut for Fysik og Astronomi Det Naturvienskabelige Fakultet Aarhus Universitet Inhol

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Planfejning. Skæring. Geometrisk skæring. Anvendelser

Planfejning. Skæring. Geometrisk skæring. Anvendelser Plnfejning Skæring 1 2 Geometrisk skæring Anvenelser Afgørelse f om er fines skæringer lnt geometriske ojekter Bestemmelse f lle skæringsunkter Design f integreree kreslø: Løsningsmetoer: Rå krft Plnfejning

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

Projekt 1.8 Optimeringsproblemer i geometri en eksperimentel tilgang

Projekt 1.8 Optimeringsproblemer i geometri en eksperimentel tilgang Hv er mtemtik?, i-bog ISN 978-87-7066-494-3 Projekt.8 Optimeringsproblemer i geometri en eksperimentel tilgng (Projektet ingår i et større projekt.5 i -bogen om optimering f geometriske figurer, specielt

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

Sfærisk Geometri Ole Witt-Hansen nov. 2016

Sfærisk Geometri Ole Witt-Hansen nov. 2016 Sfærisk Geometri Ole Witt-Hnsen nov. 6 Indhold. Geometri på en kugle.... Sfæriske toknter og treknter...3. Polrtreknter...4 3. Den retvinklede sfæriske treknt...5 4. Beregning f sider og vinkler i den

Læs mere

Brug af regneark til beregninger, statistik og grafisk afbildning. Excel 97

Brug af regneark til beregninger, statistik og grafisk afbildning. Excel 97 Brug f regnerk til eregninger, sttistik og grfisk filning Exel 97 pril 2003 * St Om vurering f tlmterile sie 1 I Definitioner BLOK En eller flere eller eller rækker eller kolonner MARKER BLOK Peg på øverste

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

2x MA skr. årsprøve

2x MA skr. årsprøve MA skr. årsprøve 8.0.08 Prøven uen hjælpemiler Opg. + = 0 ( ) + = 0 I parentesen står et anengraspolynomium. Det har = = 9 + og erme røerne = = og = = Af nulregelen ses at også 0 er en løsning, så

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Teknisk grundlag. Skandia Livsforsikring A A/S 01-01-2015

Teknisk grundlag. Skandia Livsforsikring A A/S 01-01-2015 Teknisk grunlg Skni Livsforsikring A A/S 01-01-2015 Inhol Inhol... 2 1. Anvente grunformer... 7 1.1 Prmeterefinitioner... 7 1.2 Oversigt over grunformer... 7 1.2.1 Nettopssiver uen kollektive elementer

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Matematik - September 2001 Afleveret d. 27/4-2006

Matematik - September 2001 Afleveret d. 27/4-2006 Matematik - September Afleveret. 7/ - 6 Opgave For at lave en paremeterfremstilling for en ret linje, så skal jeg bruge et punkt på linjen, og en retningsvektor. Punktet kener jeg a jeg får opgivet to

Læs mere

1 Plan og rumintegraler

1 Plan og rumintegraler 1 PLAN OG RUMINTEGRALER 1 1 Pln og rumintegrler Ligesom for funktioner f en vribel kn mn for kontinuerte funktioner f flere vrible definere deres integrle. Vi vil her kun beskæftige os med funktioner f

Læs mere

Implicit differentiation

Implicit differentiation Implicit differentition Implicit differentition Indhold. Implicit differentition.... Tngent til ellipse og hyperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

Teknisk Matematik. Teknisk Matematik Formler. Preben Madsen. 8. udgave

Teknisk Matematik. Teknisk Matematik Formler. Preben Madsen. 8. udgave Teknisk Mtemtik Formler Teknisk Mtemtik Formler Preen Mdsen 8. udge Teknisk mtemtik Formler er et prktisk opslgsærk, der gier et hurtigt oerlik oer lle formler fr læreogens enkelte kpitler. Ud oer formlerne

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning: Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

Elementær Matematik. Plangeometri

Elementær Matematik. Plangeometri Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5.

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Formelsamling Matematik på højniveau version 2.0 af Daniel Thaagaard Andreasen & Kristian Jerlsev Aarhus Universitet Institut for Fysik og Astronomi

Formelsamling Matematik på højniveau version 2.0 af Daniel Thaagaard Andreasen & Kristian Jerlsev Aarhus Universitet Institut for Fysik og Astronomi Formelsamling Matematik på højniveau version 2.0 af Daniel Thaagaar Anreasen & Kristian Jerlsev Aarhus Universitet Institut for Fysik og Astronomi Inhol 1 Foror 2 2 Potensregneregler 3 3 Kvaratsætninger

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Mtemtik F Geometri www.if.dk Mtemtik F Geometri Forord Redktør Hgen Jørgensen År 2004 est. nr. Erhvervsskolernes Forlg Munkehtten 28 5220 Odense

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Vådrumsvægge. Knauf Danogips letbygningsteknik, med flere forskellige pladeprodukter, muliggør sikre og gode løsninger til vådrum.

Vådrumsvægge. Knauf Danogips letbygningsteknik, med flere forskellige pladeprodukter, muliggør sikre og gode løsninger til vådrum. Inervægge / Funktionsvægge Vårumsvægge Knuf Dnogips letygningsteknik, me flere forskellige pleproukter, muliggør sikre og goe løsninger til vårum. Gulve og vægge skl uføres, så e kn mostå især e fugtmæssige,

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der

Læs mere

Sammenskrivning af det anmeldte tekniske grundlag m.v. for livsforsikringsvirksomhed

Sammenskrivning af det anmeldte tekniske grundlag m.v. for livsforsikringsvirksomhed Finnstilsynet Arhusge 0 00 K0benhvn 0 Smmenskrivning f et nmelte tekniske grunlg m.v. for livsforsikringsvirksomhe I henhol til, stk. 8, jf., stk. 9, i bekentgorelse om nmelelse f et tekniske grunlg m.v.

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10 Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO I kpitlet skl eleverne lære om plne og rumlige igurers egensker og om eres nvenelse som geometriske moeller. I en orinelse kommer e l.. til t eskætige sig me eregninger omkres, rel og rumng, me grunplnstegninger

Læs mere

Elementære funktioner

Elementære funktioner enote 14 1 enote 14 Elementære funktioner I enne enote vil vi els repetere nogle af e basale egenskaber for et uvalg af e (fra gymnasiet) velkente funktioner f (x) af én reel variabel x, og els introucere

Læs mere

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R =

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R = Plnintegrlet Preben Alsholm 5. mj 8 Plnintegrlet. Integrlet f en funktion f én vribel et bestemte integrl efinition Ld f være en funktion defineret på intervllet [ b]. Ld = x x... x n = b være en inddeling

Læs mere

Introduktion til Modelanalyse Note til Økonomiske Principper B

Introduktion til Modelanalyse Note til Økonomiske Principper B Introuktion til Moelanalyse Note til Økonomiske Principper B ve Claus Thustrup Kreiner Gitte Ying Michaelsen Hans Jørgen Whitta-Jacobsen Introuktion til moelanalyse Claus Thustrup Kreiner Gitte Ying Michaelsen

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

Hjemmeopgavesæt 01.02.10

Hjemmeopgavesæt 01.02.10 Rami Kaoura Matematik A Dato 01.0.010 Hjemmeopgavesæt 01.0.10 Navn: Rami Kaoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Vejleer: Jørn Christian Bentsen Skole: Roskile tekniske gymnasium, Htx Dato: 01.0.010 1 Rami

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Bemærkning Den dobbelte Riemannsum af en funktion f : R R er. 2 Sætning (Polært koordinatskift) For f kontinuert på det polære rektangel

Bemærkning Den dobbelte Riemannsum af en funktion f : R R er. 2 Sætning (Polært koordinatskift) For f kontinuert på det polære rektangel Oversigt [S].4,.5,.7 Pol og sigtelinje [S] Appendi H. Polr coordintes Nøgleord og egreer epetition: Polære koordinter Lgkgestkker Koordintskift Tpe II vrinten August, opgve Populære nvendelser Flv højere...

Læs mere

8 SØJLE OG VÆGELEMENTER 1

8 SØJLE OG VÆGELEMENTER 1 BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK 8 SØJLE OG VÆGELEETER 8 SØJLE OG VÆGELEETER 1 8.1 Brugrænsetilstane 8.1.1 Tværsnitsanalyse generel metoe 8.1. Dannelse af bæreevnekurve ve brug af esigniagrammer

Læs mere

gudmandsen.net Geometri C & B

gudmandsen.net Geometri C & B gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner

DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner Preben Alsholm Forår 008 Hyperbolske funktioner. sinh og cosh sinh og cosh Sinus hyperbolsk efineres sålees for alle x R sinh x = ex e x Cosinus hyperbolsk

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

Eksamensopgaver og spektroskopi

Eksamensopgaver og spektroskopi Annette Nyv Eksmensopgver og spektroskopi 1 H NMR og IR Typisk 1 2 spørgsmål i spektroskopi i et sæt Annette Nyv 1 H NMR spørgsmål Bestem struktur. Argumenter u fr integrlkurve, kemiske skift og kli kolingsmønstre

Læs mere

Uddannelsesordning for uddannelsen til CNC Tekniker

Uddannelsesordning for uddannelsen til CNC Tekniker Uannelsesorning for uannelsen til CNC Tekniker 1. Ikrafttræelsesato: 1. august 2015 Ustet af et faglige uvalg for Metalinustriens Uannelser i henhol til bekentgørelse nr. 437 af 13/04/2015 om uannelsen

Læs mere

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...

Læs mere

RISIKOVURDERING. μg l = K 5,2. / l 20.417l

RISIKOVURDERING. μg l = K 5,2. / l 20.417l RISIKOVURDERING Til vurering af om tungmetaller og PAHér kan ugøre en risiko for grunvanet er er i et følgene gennemført beregninger af inholet af stoffer, er teoretisk kan uvaskes af klasse 2 og 3 jor

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Stamfunktion & integral

Stamfunktion & integral PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn

Læs mere

Matematikken bag perspektivet I

Matematikken bag perspektivet I Supperende mterie ti erspektiv med GeoMeter Mtemtikken bg perspektivet I Som udgngspunkt for t diskutere de vigtigste mtemtiske sætninger bg perspektivtegninger vi vi benytte noge eementære egenskber for

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere