Elementær Matematik. Rumgeometri

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Elementær Matematik. Rumgeometri"

Transkript

1 Elementær Mtemtik Rumgeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gmnsium 8

2 Inhol. Koorintsstem i rummet.... Vektorer i rummet.... Sklrproukt.... Prmeterfremstilling for en linie i rummet...5. Krsproukt f to vektorer...6. Den geometriske fortolkning f krsprouktet Afstn fr punkt til en linie i plnen Ligning for en pln. Afstn fr et punkt til en pln Prmeterfremstilling for plnen Vinklen mellem to plner skæring mellem to plner Vinkel mellem vektor og pln Afstnen mellem to vinskæve linier Afstn fr linie til et punkt i rummet...5. Projektion f vektor på en pln...6. Kuglen...7. Rumfng og rumproukt...8. Tre ligninger me tre uekente...

3 Rumgeometri. Koorintsstem i rummet På smme måe som mn i plnen fstlægger et koorintsstem ve ortogonle kser så fstlægger mn et koorintsstem i rummet som ortogonle kser me fælles egnelsespunkt. I plnen vælger mn -ksen og -ksen sålees t -ksen er rejet 9 i forhol til -ksen. I rummet fstlægges -ksen og -ksen på smme måe men sålees t -ksen smmen me - ksen og -ksen nner en højreskrue. Højreskrue eter t ve en rejning me højre hån fr -ksen til -ksen vil -ksen ligge i tommelfingerens retning. I rummet hr et punkt P tre koorinter som svrer til projektionen f P på e tre kser - helt på smme måe som et er tilfælet me projektionen på to kser i plnen.. Vektorer i rummet Angåene nottion: I mtemtisk littertur kn mn ngive en vektor som et ogstv me en pil over eller ve et fremhævet ogstv. De to smoler og hr erfor smme etning. Vi vil herefter nvene egge nottioner når et ikke kn give nlening til misforståelser. For vektoren er foriner to punkter A og B skriver mn og lti AB. I et følgene vil vi gøre ustrkt nvenelse f neenståene konsttering som erfor er vigtigt t notere sig. Der er ingen prinipiel forskel på vektorer i plnen og i rummet så længe højst to vektorer er involveret. To egentlige ikke prllelle vektorer uspæner lti en pln som mn kn vælge som - -plnen. Vi hr tiligere vist t lle egensker ve vektorer i plnen er ufhængige f koorintsstemet. Derfor kn vi umielrt overtge lt hv er gæler for to vektorer i plnen til to vektorer i rummet.

4 Rumgeometri Koorinterne til et punkt P i rummet er projektionen f P på hver f e koorintkser helt på smme måe som et er tilfælet i plnen hvor er projektionen f et punkt P på hver f e to koorintkser. Se figuren ovenfor. På smme måe som mn i plnen infører sisvektorerne i og j infører mn i rummet sisvetorer i j og k. De er ortogonle enhesvektorer ensrettet me hver f e koorintkser og. Herefter kn vi estemme koorinterne til en vektor. En vektor nringes me egnelsespunkt i sålees t for Stevektoren til punktet P. OP. OP kles som hitil Projektionen f P på - plnen etegnes Q. Projektionen f P på -ksen etegnes T. Projektionen f Q på -ksen og -ksen etegnes henholsvis R og S. Nu er et inlsene t OR OQ i OS OR OS j og erme som et lti gæler i -plnen i j Af figuren fremgår enviere t QP OT k og t OP OQ QP. Der gæler sålees.. OP OQ OT OS OR OT i j k Fremstillingen f OP ve hjælp f e sisvektorer er entig. Koorinterne til vektoren er erfor. Ofte skriver mn koorinterne på "højknt". Dette vil vi og ikke lt gøre f tpogrfiske grune. OP til punktet hr smme ko- Vi ser t et ligesom i plnen gæler t et punkt P og stevektoren orinter. U fr opløsningen f en vektor i sisvektorer i j k og i j k og u fr regnereglerne for vektorer i plnen er et lige til t inse t vektorerne hr koorinterne. og

5 Rumgeometri. og I øvrigt gæler lle e regneregler vi kener for vektorer i plnen. Hvis er er givet to punkter A og B kn mn estemme koorinterne til en vektor som foriner A og B på følgene måe:.4 OB OA AB AB OB OA AB Altså enepunktets koorinter minus egnelsespunktets koorinter. Fulstænig nlogt til en formel som vi kener fr vektorer i plnen.. Sklrproukt Sklrprouktet er kent fr vektorer i plnen. Om sklrprouktet for vektorer i plnen ve vi.5 osv Hvor v er vinklen mellem e to vektorer. D e to vektorer uspæner en pln kn vi uen viere overtge og nvene enne efinition f sklrproukt i rummet. Enviere gæler for sklrprouktet for vektorer i plnen en kommuttive og en istriutive lov..6 I rummet kn en siste f e to reltioner reltivt nemt vises geometrisk iet en følger f t summen f projektionerne f og på er lig me projektionen f sumvektoren. I plnen efineree vi sklrprouktet givet ve ets koorintutrk. Hvis og så er:. I rummet vil vi i steet nvene en geometriske efinition.5 og erfr ulee et koorintutrk for sklrprouktet f to vektorer. D e sisvektorer i j og k er inres ortogonle enhesvektorer gæler ifølge.5: i i j j k k og i j j k i k. L e to vektorer være givet ve koorintutrkkene: og eller utrkt ve sisvektorerne: i j k og i j k

6 Rumgeometri 4 Ve uregning f sklrprouktet i j k i j k vil lningsproukterne mellem lle sisvektorerne live sisvektorerne er ortogonle mens e resterene sklrproukter vil live. Sklrprouktet liver sålees ikke overrskene..7 Reltionen følger f også f efinitionen på sklrproukt og kn overtges uænret fr vektorer i plnen. For kvrtet på længen f en vektor finer mn:.8 ltså selve længen f vektor er kvrtroen f enne størrelse..9 Afstnen mellem punkterne A og B er et smme som længen f vektoren AB Herf fås fstnsformlen hvor mn i formlen hr ttet om på rækkefølgen f 'erne og 'erne. Dist A B AB For osinus til vinklen v mellem to vektorer gæler ifølge efinitionen.5 som hitil. os v For projektionen f vektor på vektor er formlen ligelees uænret i rummet selv om sklrprouktet og længen f vektorerne uregnes på en nen måe..

7 Rumgeometri 5. Eksempel. Vi vil estemme koorinterne til en vektor som foriner punkterne A-64 og B-7. Ifølge.4 får mn AB AB Længen f enne vektor er Eksempel. Vi vil estemme vinklen mellem vektorerne -45 og -. Ifølge.5 osv finer mn 68 os v v Prmeterfremstilling for en linie i rummet I plnen lev liniens ligning fstlgt ve et punkt på linien og en normlvektor til linien. Dette kn ikke enttes for en linie i rummet fori en sån linie hr uenelig mnge ikke prllelle normlvektorer. I steet vil vi krkterisere linien ve et punkt P på linien og en retningsvektor for linien. En retningsvektor r r r r er en egentlig vektor som er prllel me linien. Vi utrkker i steet for t et punkt P ligger på linien l hvis og kun hvis er fines et tl t sålees t P P t r t r r r Herf følger liniens prmeterfremstilling. t etegnes prmeteren. Alle punkterne på linien fremkommer når t gennemløer e reelle tl. Speielt er PP for t. Koorinterne til liniens prmeterfremstilling er skrevet u neenfor

8 Rumgeometri 6. r r r t og skrevet u for hver koorint finer mn: ; ; r t r t r t.4 Eksempel Fin en prmeterfremstilling for linien me retningsvektor --5 og som går gennem punktet P-6. Vi kn irekte opskrive efter. 5 6 t.5 Eksempel Fin en prmeterfremstilling for linien er går gennem punkterne A-6 og B5-. En retningsvektor for linien er AB Herf fås prmeterfremstillingen t. Krsproukt f to vektorer For to vektorer og i rummet efinerer mn et såklt krsproukt eller vektorproukt - som en vektor er for egentlige ikke prllelle vektorer er vinkelret på såvel som sålees t og nævnt i enne rækkefølge nner en "højreskrue". Begreet højreskrue refererer til en måe mn i lminelighe vælger et -retvinklet koorintsstem. Ufører mn me højre hån en numerisk minste rejning v fr til så ligger i tommelfingerens retning. Længen f krsprouktet er efineret ve en geometriske formel.. sin v. Vil og ikke nvene enne efinition irekte men i steet forsøge t estemme et koorintutrk for krsprouktet. Senere viser vi t koorintefinitionen er i overensstemmelse me en geometriske efinition ovenfor. Vi stiller os erfor opgven:

9 Rumgeometri 7 For to egentlige ikke prllelle vektorer og vil vi estemme en vektor som står vinkelret på såvel og. Dette kn utrkkes ve t e to sklrproukter me skl være. og Skrevet op i koorinter får mn ligningerne: og Ve t fltte leet me over på en nen sie f lighestegnet får mn ligningerne. - - Dette kn vi etrgte som to ligninger me to uekente som kn løses på sævnlig vis me eterminntmetoen. Før vi gør ette vil vi og lige væle ve etingelsen t vektorerne og ikke må være prllelle. At to egentlige vektorer og er prllelle er ensetene me t er fines et tl t sålees t t. Skrevet u i koorinter: t. Dette kn umøntes i ligninger. t og t og t Opftter mn isse koorintsæt som koorinter til vektorer i plnen læser mn t i hvert f e tilfæle vektorerne er prvis prllelle. For egentlige vektorer hr vi tiligere vist t ette er ensetene me t eres eterminnt er nul. De ligninger kn erfor skrives:. Vi hr her skrevet koorinterne på "højknt" som mn i lminelighe gør for vektorer men eterminnten er ufornret en smme hvis mn skriver koorinterne vnret..4 Vi rekpitulerer: To egentlige vektorer og i rummet er prllelle hvis og kun hvis e eterminnter ovenfor lle er nul. Vi vil nu løse ligningssstemet. me eterminntmetoen. Vi miner om løsningsformlen som lev ulet uner vektorregningen. Ligningssstemet:

10 Rumgeometri 8 me eterminnten: D hr netop en løsning hvis D.4 og Anvenes enne løsningsformel på ligningssstemet. finer mn : Vi hr ntget t vektorerne og ikke er prllelle men erfor kn nævner eterminnten D got være. I ette tilfæle kunne vi så løse ligningssstemet. me hensn til og eller me hensn til og. Alle e tre nævner eterminnter kn ikke være nul hvis linierne ikke er prllelle så vi ntger t nævnereterminnten overfor er forskellig fr. Minustegnet på en søjle kn fjernes ve t mn tter om på e to søjler og mn kn fltte som er en konstnt fktor i en søjle uen for eterminntsmolet. Enelig omtter vi og i nævner eterminnten. Herf finer mn: eller me inlsene etegnelser for e tre eterminnter. For enhver væri f forskellig fr nul vil være en vektor er er vinkelret på såvel som. Vælger vi nu speielt så er givet ve utrkket:.5 Utrkket hr nogle ehgelige smmetriegensker og et er enne vektor som mn efinerer som krsprouktet f og. Vi viser neenfor t ette er i overensstemmelse me en geometriske efinition. Mn emærker t et netop er e eterminnter fr.4 som ingår i utrkket og erme t krsprouktet nulvektoren hvis og kun hvis vektorerne og er prllelle.

11 Rumgeometri 9.6 Eksempel Fin krsprouktet mellem vektorerne - 4 og - 5. Ifølge.5 får mn Den geometriske fortolkning f krsprouktet Vi vil vise t længen f krsprouktet er lig me relet f et prllellogrm som uspænes f vektorerne og ltså t:. sin v hvor v er vinklen mellem e to vektorer og v 8. Vi skl her nvene t længen og retningen f er ufhængig f vlget f koorintsstem. At retningen er et følger f en geometriske efinition og sætningen ovenfor verører kun længen f vektorer som er ufhængig f koorintsstem. Vi vil nu uregne i et koorintsstem hvor - plnen er smmenflene me en pln er uspænes f og. D står vinkelret på enne pln hr en kun en komposnt lngs - ksen vs. og koorinterne er. Ifølge formlen for krsprouktet ses et t -koorinten netop er lig me eterminnten for e to vektorer og i - plnen. Vi hr tiligere vist t et sin v lig me relet f prllelogrmmet som uspænes f og. Me et vlgte koorintsstem er længen f lig me -koorinten numerisk så i ette tilfæle er sætningen korrekt. D krsprouktet er ufhængigt f vlg f koorintsstem vil utrkket imilerti gæle i lle tilfæle. Herme hr vi gotgjort t efinitionen f krsprouktet u fr vektorernes koorinter er i overensstemmelse me en geometriske efinition. 4. Afstn fr punkt til en linie i plnen L en linie l i plnen være fstlgt ve et punkt P og en normlvektor til linien n. Vi kn utrkke følgene:

12 Rumgeometri Punktet P ligger på linien hvis og kun hvis vektorerne n og P P er ortogonle ltså hvis n P P hvor vi hr st - -. Det emærkes t ette også er opflt når P P iet P P. Afstnen istp l fr punktet P til linien l kn på smme måe fines ve t utrkke t er lig me længen f projektionen f vektoren P på n. For projektionen f en vektor på en vektor hr vi utrkket 4. me længen Herf fås: P 4. n P P ist l P n Det siste utrk svrer til et vi tiligere hr ulet me og uen rug f vektorer. 5. Ligning for en pln. Afstn fr et punkt til en pln Det viser sig t uleningen f formlen for fstnen fr et punkt i rummet til en pln kn overtges næsten orret fr en tilsvrene formel for fstnen fr et punkt i plnen til en linie. En pln er fulstænig fstlgt ve et punkt i plnen og en normlvektor til plnen. L en pln være fstlgt ve et punkt P i plnen og en normlvektor til plnen n. Vi kn utrkke følgene: Punktet P ligger i plnen hvis og kun hvis vektorerne n og P P er ortogonle ltså hvis P n P - - -

13 Rumgeometri 5. hvor vi hr st Det emærkes t 5. også er opflt når P P. Dette kles en ligning for plnen eller plnens ligning For fstnen fr et punkt P til en pln me ligningen emærker vi t er lig me længen f projektionen f vektoren P på normlvektoren n. Formlerne for projektion f vektor på vektor er e smme i rummet som i plnen og vi finer erfor: P ist α P n P P n og herme 5. ist α P Mn ser t formlen næsten er ientisk me en tilsvrene formel for fstn fr punkt til linie. 5.4 Eksempel Bestem ligningen for en pln som går gennem P og hr normlvektoren n --. Ifølge 5. finer mn ve irekte insættelse <> Eksempel Fin ligningen for en pln som går gennem punkterne A B64- og C--. For t estemme en normlvektor til plnen uregner vi krsprouktet f for eksempel AB 4-4 og AC --5 AB AC Ligningen for plnen kn herefter fines <> Eksempel Fin fstnen fr punktet Q-4 til plnen me ligningen Ifølge 5. finer mn 4 4 ist α Q

14 Rumgeometri 5.7 Eksempel. Skæring mellem linie og pln Vi vil fine skæringspunktet hvis et fines mellem plnen α: 4-5 og linien me prmeterfremstillingen: t -t 4t-. Vi gør et ve t insætte prmeterutrkkene i plnes ligning og løse ligningen me hensn til t. Hvis ligningen ikke hr nogen løsning er linien prllel me plnen. Hvis ligningen er opflt for lle t ligger linien i plnen og hvis er er netop en løsning skærer linien plnen i et punkt. t-4-t-4t-5 <> t som insættes i prmeterfremstillingen. 5. Prmeterfremstilling for plnen I steet for t krkterisere en pln i rummet ve et punkt og en normlvektor kn plnen fstlægges: ve et punkt P i plnen og to ikke prllelle egentlige vektorer p p p p og q q q q prllelle me plnen. D opløsningen f en vektor i plnen efter to givne retninger er entig kn ethvert punkt P i plnen estemmes ve: P 5.4 P s p t q p s p p q t q q Dette kles for en prmeterfremstilling for plnen. Alle plnens punkter fremkommer når e to prmetre s og t gennemløer e reelle tl. 5.5 Eksempel Bestem en prmeterfremstilling for en pln som er uspænt f vektorerne og -5 og som går gennem P-. Ifølge 5.4 s Bestem ernæst en ligning for enne pln. t men et er ofte lettere t isolere e to pr- Dette kn nturligvis gøres ve t estemme en normlvektor som metre s og t fr to f ligningerne og insætte i en treje. 5

15 Rumgeometri s - t - løses mht. 7s og 7t for -7t - Insættes i utrkket for s t t ungå røkregning 7s s 5 t > <> Vinklen mellem to plner skæring mellem to plner To plner er ikke er prllelle skærer hinnen i en linie. Ve vinklen mellem plnerne forstår mn vinklen mellem to hlvlinier er fst u fr smme punkt egge er vinkelrette på skæringslinien og som ligger i hver sin pln. Afsætter mn e to normlvektorer n og n u fr et smme punkt ser mn t mn genfiner enne vinkel som vinklen mellem normlvektorerne. Vinklen mellem e to plner kn erfor eregnes f: 6. osv n n n n 6. Eksempel Bestem vinklen mellem e to plner: og - 4. Ifølge 6. får mn: os v v 8 v Eksempel. Skæringslinie mellem to plner Vi illustrerer metoen ve et eksempel. L e to plner være givet ve ligningerne: Vi ønsker t estemme lle e koorintsæt som tilfresstiller egge ligninger. Dette gøres ve t vælge en f koorinterne som prmeter t. Vælger vi t og insættes ette ligningerne kn ligningssstemet løses me hensn til og sålees t lle koorinter er utrkt ve en prmeter som svrer til prmeterfremstillingen for skæringslinen linie mellem e to plner. Alle koorintsæt er ligger på linien opfler jo netop e to ligninger ovenfor. 5t 4 5t 7 Ligningssstemet hr eterminnten D 8 4 D D hr ligningssstemet netop en løsning. Hvis D er plnerne enten smmenflene hvis e to ligninger er ientiske eller prllelle hvis e to ligninger er i stri me hinnen vs. t e ikke er opflt smtiig for noget Ligningerne kn løses på sævnlig vis f.eks. me eterminntmetoen.

16 Rumgeometri 4 5t 5t t 7 8 5t t t t t 8 6t 6 8 t Vi hr tilføjet t hvorefter vi hr en prmeterfremstilling for skæringslinien. 7. Vinkel mellem vektor og pln Ve vinklen mellem en vektor og en pln forstår mn vinklen mellem vektoren og ens projektion på plnen. Hvis projektionen er nulvektoren er vinklen 9. Hvis vinklen mellem en vektor og plnen er v så er vinklen mellem og én f e to normlvektorer 9 v. Vinklen mellem en nen normlvektor og vil være 9 v. I egge tilfæle finer mn vinklen mellem vektor og pln u fr formlen for vinklen mellem to vektorer. 7. n os 9 ± v n Her skl mn nvene tegnet hvis en funne vinkel er større en 9 og tegn hvis en funne vinkel er minre en Eksempel. Vi vil estemme vinklen mellem plnen 5 7 og vektoren - 5. Ifølge os 9± v 9± v 5 v Afstnen mellem to vinskæve linier På figuren ses to vinskæve linier l og m vs. e er hverken prllelle eller skærer hinnen. L liniernes retningsvektorer være r og r. Ve fstnen mellem linierne forstår mn længen f et korteste liniestkke som foriner e to linier. Det er klrt t ette liniestkke må stå vinkelret på egge linier og erme være prllel me vektoren n r r

17 Rumgeometri 5 Lægger mn to plner egge me normlvektor n som ineholer henholsvis l og m er fstnen mellem l og m en smme som fstnen mellem e to plner. P Enviere ses et t enhver vektor P hvor P og P ligger i hver sin pln hr smme projektion på n nemlig fstnen mellem plnerne lig me fstnen mellem linierne istlm. U fr ette kn mn fine en formel for fstnen mellem linierne. L P og P være vilkårlige punkter på e to vinskæve linier l og m me retningsvektorer r og r. L enviere n r r være en vektor som er vinkelret på em egge. Afstnen mellem linierne kn eregnes f projektionsformlen. n P P 8. Dist l m n hvor n r r og hvor P og P er et vilkårligt punkt på hver f e to linier f.eks. et fste punkt P som ingår i prmeterfremstillingen. 8. Eksempel Bestem fstnen mellem linierne l og m me prmeterfremstillingerne: l: 4-4t t 4t og m: 5-4t 5t t De to retningsvektorer for linier ses t være: r -44 og r Vi estemmer en norml vektor n til egge linier som krsprouktet mellem e to vektorer n r r n Det ses umielrt P 4 og P 5 er et punkt på hver f e to linier så P P Herf finer mn ifølge Distlm Afstn fr linie til et punkt i rummet På figuren er vist et punkt P og en linie l. Linien l er estemt ve retningsvektoren r og et punkt P. P 's projektion på l etegnes Q. Vi ønsker t estemme fstnen P Q. Anringer mn vektoren r sålees t R P r P og tegner mn vektoren P så kn mn estemme relet f Δ P P R på to forskellige måer.

18 Rumgeometri 6 Mn emærker først t fstnen P Q fr P til l er højen i enne treknt som hr grunlinien r. Arelet er erfor: T ½ r Dernæst emærker vi t T er hlvelen f et prllelogrm som uspænes f vektorerne r og P P. Dette rel kn skrives som længen f krsprouktet. T ½ r P P Smmenligner mn e to formler finer mn: 9. Dist P l r P P r 9. Eksempel Vi vil estemme fstnen fr punktet P4- til linien m me prmeterfremstillingen: - t 7 t 9 t me retningsvektor r -. r 7 Det ses t P 79 er et punkt på linien så P P Vi uregner krsprouktet f r og r P 6 P r P P 6 Vi finer erfor ifølge ist l P P P. Projektion f vektor på en pln Vi ønsker t estemme projektionen α f en vektor på plnen α me normlvektor n. Afsætter vi vektorerne og n u fr et smme punkt i plnen kn skrives som vektorsummen f ens projektion på plnen α og ens projektion på n. α n α - n Projektionen på normlvektoren n er imilerti lot projektion f vektor på vektor og finer erfor utrkket for α. n α n n

19 Rumgeometri 7. Eksempel Vi vil fine projektionen f vektoren 64-5 på plnen Normlvektoren til plnen er n --. Vi estemmer først n og n Herf finer mn α Kuglen En kugle er et geometriske ste for e punkter som hr smme fstn til et givet punkt. Det fste punkt kles entrum for kuglen og fstnen kles for rius i kuglen. Hvis C er entrum f kuglen me rius r og P er et vilkårligt punkt på kuglen vil er gæle CP r. Ifølge fstnsformlen får mn : r. r Dette utrk kles for kuglens ligning.. Eksempel Bestem ligningen for en kugle som hr entrum i -- og som går gennem punktet P57. Rius estemmes ve hjælp f fstnsformlen: 5 7 r 4 og irklens ligning liver 4. Eksempel Vis t ligningen fremstiller en kugle og estem entrum og rius. Vi smler leene og omskriver til kvrtet på en toleet størrelse på smme måe som vi gjore et for irklens ligning <> <> Ligningen fremstiller ltså en kugle me entrum -4 7 og rius 9..4 Eksempel. Skæring mellem en kugle og en linie. Vi ønsker t estemme eventuelle skæringspunkter mellem kuglen me ligningen - -5 og linien me prmeterfremstillingen 99t --6t t. Skæringspunkterne kn fines ve t insætte prmeterutrkkene for og i irklens ligning og løse en fremkomne nengrsligning me hensn til t. 99t - --6t -5 t <> 79t -8-6t 6t som efter en el uregning giver: t 76t 968 <> t 6t 8 <> t -4 v t - Ve t insætte i liniens prmeterfremstilling får mn skæringspunkterne: -7-5 og --

20 Rumgeometri 8.5 Eksempel. Tngentpln til en kugle En kugle er givet ve ligningen: P 64 er et punkt er ligger på kuglen hvilket kn ses ve insætning Kuglen hr entrum i C477 så CP 4 er en normlvektor til plnen gennem P. Herf fås tngentplnens ligning: <> Rumfng og rumproukt Vi vil stille os en opgve t fine rumfnget f et prllelepipeum ltså en klos er er uspænt f vektorer hvor ikke to er inres prllelle. Hertil Et sånt prlellepipeum er vist på figuren til venstre. Rumfnget f et prlellepipeum kn uregnes som høje grunfle. Vi ve t ette gæler for en rektngulær ksse. På figuren til højre hr vi tegnet en ksse og et prlellepipeum me smme høje og grunfle. Vi kn se t e to ksser hr et smme rumfng. Hvis vi nemlig skærer et stkke som rger u på en højre sie vil et psse præis me et stkke er mngler på venstre. Kssen og prlellepipeet hr erfor et smme rumfng.

21 Rumgeometri 9 Vi ve t længen f krsprouktet er lig me relet f grunflen. Højen h er lig me osv hvor v er vinklen mellem og. Rumfnget V er lig me: v os men ette kn ifølge efinitionen f sklrproukt skrives som : kles for rumprouktet f vektorerne og. Fortegnet for rumprouktet fhænger f orienteringerne f e tre vektorer men i lle tilfæle er rumfnget V. Vi vil nu uregne rumprouktet i koorinter hvor vi sætter: og Umielrt virker et siste utrk ikke særlig overskueligt men er er skm en streng sstemtik i et. Først emærker mn t lle le ineholer et et og et i enne rækkefølge og hvert le ineholer ineks men i forskellig rækkefølge. Btter mn om på rækkefølgen f forskellige elementer kles et for en permuttion. Der fines 6 permuttioner f elementerne. Der er nemlig muligheer for t esætte. plsen muligheer for plsen i lt 6 og for hver f e 6 kun mulighe for. plsen. De 6 permuttioner er:. Enhver f permuttionerne kn opnås u fr ve t omtte noelementer. Den. permuttion er opnået ve omtning f noelementer. Den. ve to omtninger f noelementer. Hvis er skl et lige ntl omtninger til for t opnå en given permuttion u fr siges et t være en lige permuttion ellers en ulige permuttion. Vener vi tilge til uregningen f rumprouktet så ses et t e 6 le opskrevet præis svrer til e 6 permuttioner f inies sålees t e lige permuttioner hr positiv fortegn og e ulige permuttioner hr negtivt fortegn. Dette er noget vi lleree kener fr en eterminnt. Det viser sig t rumprouktet helt på smme måe kn skrives som en eterminnt.

22 Rumgeometri Hvert le fremkommer ve t gnge en fktor fr hver f e søjler og ikke fr smme række. Hvis rækkeineks er en lige permuttion f så skl leet fornstilles me plus ellers me minus. Eksempel Uregn rumfnget f et prllepipeum er uspænes f e vektorer: 5 4 og 46. Vi opskriver eterminnten: Figurerne neenfor er tegnet me et mtemtikprogrm som en ægte prllelprojektion. Tre ligninger me tre uekente I vektorregningen så vi hvorlees mn ve vektorregning kn fine en generel løsningsformel for ligninger me to uekente. Løsningen lev utrkt ve eterminnter. Der fines helt generelle løsningsformler for n ligninger me n uekente som kles Crmers formler. Her er løsningen utrkt ve n n eterminnter. Disse formler vil vi ikke forsøge t ulee men tilfælet n ltså ligninger me uekente kn ulees ve nvenelse f rumprouktet.

23 Rumgeometri Før vi gør et vil vi notere os nogle egensker ve rumprouktet.hvis to eller flere f vektorerne i rumprouktet er prllelle så er Dette følger f t krsprouktet er nul hvis er prllel me eller hvis er prllel me eller prllel me eller kn skrives som en linerkomintion f og ltså t s så vil være vinkelret på og rumprouktet vil være nul. Hvis et f e nævnte tilfæle er opflt siges og t være lineært fhængige hvilket er et smme som t e tre vektorer ligger i smme pln. U fr en geometriske fortolkning f rumprouktet som rumfnget f et prlleepipeum er uspænes f e vektorer er et klrt t rumprouktet må være nul når e tre vektorer ligger i smme pln. Opskriver vi rumprouktet som en eterminnt: et Så følger et f efinitionen på eterminnten t eterminnten er ufornret ortset fr et fortegnsskifte hvis vi omtter to søjler. Herf følger: Vi opskriver nu et ligningssstem eståene f ligninger me uekente: hvor Løsning f ligningssstemet kommer u på t estemme en opløsning f efter og Vi ve t ette lti kn le sig gøre hvis og ikke ligger i sme pln hvilket er et smme som t. Hvis og ligger i en smme pln hr ligningssstemet uenelig mnge løsninger. Vi vil løse ligningssstemet ovenfor uner ntgelsen t. Vi nvener nu næsten en smme metoe som vi løste to ligninger me to uekente ve vektorregning. Vi tger først krsprouktet f me.

24 Rumgeometri Dernæst tger vi sklrprouktet me. fori så vi finer: et et Vi ser t uregnes som en røk hvor tælleren er ligningssstemets eterminnt hvor en. søjle er erstttet me ligningens højre sie og nævneren er ligningssstemets eterminnt. På helt sme måe kn mn fine og uner nvenelse f e omtningsregler for eterminnter er er nført ovenfor. Herefter finer mn uner forusætning f t ligningssstemets eterminnt er forskellig fr nul. Eksempel Løs ligningssstemet: Vi uregner først ligningssstemets eterminnt

25 Rumgeometri Determinnten er forskellig fr nul så ligningssstemet hr netop én løsning. Vi uregner ernæst og finer: På helt tilsvrene måe finer mn: og Løsningen til ligningssstem er erfor: De viste formler kn uen viere et kræver og et evis generliseres til n ligninger me n uekente. De resulterene formler kles som nævnt for Crmers formler.

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Tredimensional grafik

Tredimensional grafik Teimensionl gfi 6 Ksten Juul Inhol I Homogene oointsæt og gngning f mtie sie Vi vil fose og eje figue i ummet og æne ees støelse Defo inføe vi homogene oointsæt og gngning f mtie II th sie Et olsninge

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning: Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Formelsamling Matematik på højniveau version 2.0 af Daniel Thaagaard Andreasen & Kristian Jerlsev Aarhus Universitet Institut for Fysik og Astronomi

Formelsamling Matematik på højniveau version 2.0 af Daniel Thaagaard Andreasen & Kristian Jerlsev Aarhus Universitet Institut for Fysik og Astronomi Formelsamling Matematik på højniveau version 2.0 af Daniel Thaagaar Anreasen & Kristian Jerlsev Aarhus Universitet Institut for Fysik og Astronomi Inhol 1 Foror 2 2 Potensregneregler 3 3 Kvaratsætninger

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

8 SØJLE OG VÆGELEMENTER 1

8 SØJLE OG VÆGELEMENTER 1 BETOELEETER, SEP. 9 BETOELEETBYGGERIERS STATIK 8 SØJLE OG VÆGELEETER 8 SØJLE OG VÆGELEETER 1 8.1 Brugrænsetilstane 8.1.1 Tværsnitsanalyse generel metoe 8.1. Dannelse af bæreevnekurve ve brug af esigniagrammer

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Interferens og gitterformlen

Interferens og gitterformlen Interferens og gitterformlen Vi skal stuere fænomenet interferens og senere bruge enne vien til at sige noget om hva er sker, når man sener monokromatisk lys, altså lys me én bestemt bølgelænge, igennem

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

SALGSOPSTILLING. Westring Estate Havremarksvej 7, Annisse N.., 3200 Helsinge Tlf.: 7023 9568 info@westring-estate.dk - www.westring-estate.

SALGSOPSTILLING. Westring Estate Havremarksvej 7, Annisse N.., 3200 Helsinge Tlf.: 7023 9568 info@westring-estate.dk - www.westring-estate. Hvremrksvej 7, Annisse N.., 3200 Helsinge Tlf.: 7023 9568 info@westring-estte.k - www.westring-estte.k SALGSOPSTILLING Bøge Skov Bøge Strnvej 27, 4720 Præstø Lystejenom Kontntpris: 25.750.000 Uetling:

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

NORDICA VARMEPUMPE OPVARMNING OG KØL - AIRCONDITION

NORDICA VARMEPUMPE OPVARMNING OG KØL - AIRCONDITION BRUGERMANUAL NORDICA VARMEPUMPE OPVARMNING OG KØL - AIRCONDITION Dnsk VÆGMODEL Ineel ASYG09LMCB ASYGLMCB Ueel AOYG09LMCBN AOYGLMCBN BEHOLD DENNE BRUGERMANUAL FOR FREMTIDIGE REFERENCER AIRCONDITIONANLÆG

Læs mere

DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule

DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND Cross Boule 1 Forord Cross Boule når som helst og hvor som helst Dnsk Arejder Idrætsforund er glde for t kunne præsentere Cross Boule - et oldspil, hvor lle kn være med. Spillet

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2 Mt1GB Minilex Henrik Dhl, Hold 8 29. mj 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v. 18 2.1 Begrænsethed, åben/lukket..................... 18 2.2 Differentition............................ 18 2.3 Differentilligninger.........................

Læs mere

Grafisk design. Workflow. Hvordan blev det lavet?

Grafisk design. Workflow. Hvordan blev det lavet? Grafisk esign Workflow Hvoran blev et lavet? Workflow af forsie For at påbegyne en kreative process best muligt startee jeg me at lave en brainstorm. Det gjore jeg for at få et overblik over hvilket slags

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

Brandsikring af ventilationskanaler

Brandsikring af ventilationskanaler Brndsikring f ventiltionsknler Klsse EI 30/E 60 A2-s1, d0 November 2 010 Monteringsvejledning for brndisolering iht. DS428, 3. udgve, 2009 - og lukninger med Conlit Brndskotplde, EI60 [BS60] Runde knler

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne?

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne? Pleje f fugtige vedvrende græsreler ved komintion f græssende kvæg og mskiner Hvd sker der med plnterne? Liseth Nielsen og Ann Bodil Hld, Ntur & Lndrug ApS www.ntln.dk I det følgende eskrives: Opsummering

Læs mere

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1 Mtemtisk fomelsmling til A-niveu - i fosøget med netdgng til skiftlig eksmen Food Mtemtisk fomelsmling til A-niveu e udejdet fo t give et smlet ovelik ove de fomle og det symolspog, de knytte sig til kenestoffet

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk Vielsesringe Designer og guldsmed Jn Jørgensen Siden 1995 hr Jn Jørgensen hft egen virksomhed, hvor nturen i det rske og åne Nordjyllnd hr givet inspirtion til det meste f designet. Smykker i de ædleste

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

over, hvordan man gør. På sarr.:-. :-=--e teagerer vi i forhold til de emotionelle påvirkninger. gruii.-.::z:..a: i oerioden: vore iølelsesmæssige

over, hvordan man gør. På sarr.:-. :-=--e teagerer vi i forhold til de emotionelle påvirkninger. gruii.-.::z:..a: i oerioden: vore iølelsesmæssige TEKSTELSEBADEN,]ENSEN WWWELSEBADEN]ENSEND(//FOTOI/ARIANNELANE WWW]\4ARANNEIANED(/WWWKERNEIEATNG,DK arianne Lane, 43 år. er norjye me en ertil hørene norjysk accent. Hun or ue på lanet ve Freerikshavn me

Læs mere

CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER

CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER Monteringsvejledning for brndisolering iht. DS428, 4. udgve, 2011 - og lukninger med Conlit Brndskotplde, EI60 [BS60] Klsse EI 30/E 60 A2-s1, d0 1 2013 Runde

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Retningslinier for udarbejdelse af dokumentation til brug for registrering efter bilag 8 i registreringsbekendtgørelsen 1

Retningslinier for udarbejdelse af dokumentation til brug for registrering efter bilag 8 i registreringsbekendtgørelsen 1 for udrejdelse f dokumenttion til rug for registrering efter ilg 8 i registreringsekendtgørelsen 1 Af nedenstående skemer fremgår, hvilke oplysninger Plntedirektortet hr rug for ved vurdering f, om virksomheden

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP... 2 1.Bggrund... 2 2.Køekrftpritet hvd er det?... 2 3.Formål og orgnistion... 3 4.Brugere og nvendelsesområder... 3

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

SIDDER DU GODT? En brugerhåndbog for kørestolsbrugere Af Helle Dreier

SIDDER DU GODT? En brugerhåndbog for kørestolsbrugere Af Helle Dreier En brugerhånbog for kørestolsbrugere En brugerhånbog for kørestolsbrugere INDHOLDSFORTEGNELSE FORORD FORMÅL SKADER PÅ KROPPEN 03 04 05 Skaer på bevægeapparatet(vs skelet, muskler og le) Skaer på eller

Læs mere

KOMPETENCECENTRET FOR AFFEKTIVE LIDELSER

KOMPETENCECENTRET FOR AFFEKTIVE LIDELSER START Psykiatrisk Center Køenhavn Psykoterapeutisk Klinik Navn: Cpr.nr.: Ufylt ato: Velkommen til KOMPETENCECENTRET FOR AFFEKTIVE LIDELSER Som en el af in urening og ehanling vil vi ee ig ufyle velagte

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Blowerdoor test med Termograferingsrapport

Blowerdoor test med Termograferingsrapport Blowerdoor test med Termogrferingsrpport For Skætterivej 53 4300 Holbæk. Udført d. 6.2 & 12.2.12008 Af Ole Lentz Hnsen Sknsehgevej 5, 4581 Rørvig. Tlf.: 59 91 94 80 & 61 60 43 86 www.olelentz.dk mil@olelentz.dk

Læs mere

Kvalitetsmål til On-line algoritmer

Kvalitetsmål til On-line algoritmer Istitut for Matematik og Datalogi Bachelorprojekt Kvalitetsmål til O-lie algoritmer Forfatter: Christia Kuahl Vejleer: Joa Boyar Jauary 1, 2011 Cotets 1 Ileig 3 2 Problemet 3 3 Algoritmer og variater 4

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi Stort energi- og stndby forbrug? En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Sluk for det hele......

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi 2 En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Energy Efficiency Energieffektivitet hndler ikke kun

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Det Lille Big Bang. Indespærrede kvarker og gluoner Det grundlæggende sigte med de store kollisionsforsøg er at

Det Lille Big Bang. Indespærrede kvarker og gluoner Det grundlæggende sigte med de store kollisionsforsøg er at A k t e l N a t r v i e n s k a b 1 2 0 0 1 19 Det Lille Big Bang Ve kernekollisioner i speracceleratoren, RHIC, har forskere skabt stofområer me temperatrer over 1000 milliarer graer. Håbet me forsøgene

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere