Projekt 7.3 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter
|
|
- Helle Jensen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Hv er mtemtik? Projekt 7.3 Firkntstrigonometri og Ptolemios sætning i ykliske firknter Trigonometrien til eregning f ukente vinkler, sier og reler for treknter er stort set utømt me ulening f sinusreltionerne, osinusreltionerne og relformlerne. Men er fines også en firkntstrigonometri me osinusreltioner og relformler. et er genstnen for ette projekt. Projektet hr hovesgelig teoretisk krkter. et kn suppleres f projekt. i kpitel, hvor vi åe rejer eksperimentelt og teoretisk me løsning f geometriske optimeringsopgver, vs. opgver, hvor vi uner estemte etingelser skl estemme et størst mulige rel eller minst mulige omkres. Sætning (osinusreltionen for firknter) For en konveks firknt me sierne,, og smt igonlerne e og f og igonlvinklen v gæler: + = + e f v os evis igonlerne e og f eler hinnen i stykkerne e, e, f og f. igonlvinklen overfor sien kles v. e øvrige igonlvinkler er 80 v, v og 80 v. Ve t nvene osinusreltionerne på e fire treknter uspænt f igonlstykkerne og unytte t os(80 v) = os( v) fås : = e + f e f os( v) = f + e + f e os( v) = e + f e f os( v) = f + e + f e os( v) Lægger vi ligningerne for og smmen og tilsvrene for + = e + e + f + f e f + e f os( v) + = e + e + f + f + e f + e f os( v) og smmen fås: Trækker vi em ernæst fr hinnen fås enelig en funmentle smmenhæng: ( ) + + = e f + e f + e f + e f os( v) = e + e f + f os( v) = e f os( v) Herf følger påstnen ve t rykke om på leene. e f v f e Øvelse : Hv sker er, hvis sien klpper smmen, vs. vi sætter = 0? Hvilken sætning svrer et til? emærkning: Vi kn speielt se på tilfælet, hvor igonlvinklen v er ret. I så fl gæler os(v) = 0 og erme fås: + = +. Men hvis er på en nen sie gæler, t + = +, så må også os(v) = 0. Vi hr erfor vist: Sætning (Pythgors for firknter) igonlerne i en konveks firknt me sierne,, og står vinkelret på hinnen, netop når summen f kvrterne på moståene sier er ens: + = + emærkning: enne sætning viser l.. t enten er igonlvinklen i en firknt me fire opgivne sier,, og lti ret eller også liver en et lrig! 08 L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k
2 Hv er mtemtik? Øvelse : Hv sker er, hvis sien klpper smmen, vs. vi sætter = 0? Hvilken sætning svrer et til? Sætning 3 (relformlen for firknter) For en konveks firknt me sierne,, og smt igonlerne e og f og igonlvinklen v gæler: T = e f sin( v). evis: Som før eler igonlerne e og f hinnen i stykkerne e, e, f og f. igonlvinklerne er v, 80 v, v og 80 v. Ve t nvene relformlen for treknter på e fire treknter fremrgt f igonlerne og unytte t e sin(80 v) = sin( v) fås : f v T = e f sin( v), T = e f sin( v) T = e f sin( v), T = e f sin( v) 3 4 f e Lægger vi e fire reler smmen fås netop: T = T + T + T + T 3 4 ( ) ( e e ) ( f f ) sin( v) = e f + e f + e f + e f sin( v) = + + = e f sin( v) Øvelse 3: Hv sker er, hvis sien klpper smmen, vs. vi sætter = 0? Hvilken sætning svrer et til? enne relformel er en simpleste for en firknt, men en fines også i to nre vrinter. Vi kn nemlig els eliminere igonlerne e og f, els eliminere igonlvinklen v. Sætning 4 (lterntive relformler) relet T for en konveks firknt me sierne,, og smt igonlerne e og f og igonlvinklen v opfyler e følgene to smmenhænge: T = + + tn( v) 4 ) (hvor et forusættes t igonlvinklen v ikke er ret! Hvis vinklen er ret er tngens ikke efineret). + + ) T = e f L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k
3 Hv er mtemtik? evis: Ugngspunktet er relformlen og osinusreltionen, er omskrives på formen: 4T = e f sin( v) + + = e f os( v) ) Ve ivision f e to ligninger me hinnen går igonlerne e og f u og vi finer: 4T sin( v) = = tn( v) os( v) ( + ) ( + ) 4 T = + + tn( v) ) Ve t kvrere e to ligninger og lægge em smmen går v u i krft f trigonometriens Pythgors: sin ( v) + os ( v) =. Først kvreres e to ligninger: ( ) 6 T = 4 e f sin ( v) + + = 4e f os ( v) ernæst lægges e to ligninger smmen: Isoleres ( ) 6 T = 4e f sin ( v) + 4 e f os ( v) = 4 e f sin ( v) + os ( v) = 4 e f T fr enne ligning fås netop en ønskee formel. For en firknt me fste sielænger,, og er forskellen på kvrtsummerne for e moståene sier, vs. ( + ) ( + ), nu en konstnt. e to nye relformler viser erfor t relet f en konveks firknt me givne sielænger fhænger på simpel vis f els igonlvinklen v (hvis enne ikke er ret), els f igonlernes proukt e f. en første formel viser, t relet f firknten T er proportionlt me tngens til en spise igonlvinkel v, vs. tn(v). Når vi eformerer en firknt hvor igonlvinklen v ikke er ret finer vi erfor et størst mulige rel, netop når en spise igonlvinkel er størst mulig (iet tngensfunktionen er voksene for spise vinkler). en nen formel viser tilsvrene, t forskellen mellem kvrtet på relet T og kvrtet på et hlve igonlproukt e f er konstnt. Men et viser t kvrtet på relet vs., er størst mulig, netop når kvrtet på igonlprouktet, vs. ( e f), er størst muligt. Men erme gæler også, t relet T er størst muligt, netop når igonlprouktet e f er størst muligt (iet kvrtfunktionen er voksene for positive tl). Sætning 5 For en konveks firknt me fste sielænger,, og topper e følgene tre størrelser erfor smtiigt:. Firkntens rel T.. Firkntens spise igonlvinkel v. 3. Firkntens igonlproukt e f. erme hr vi på elementær vis gjort ree for e fleste f e oservtioner vi (forhåentligt) hr gjort i vores eksperimentelle unersøgelse f firkntens rel. Vi mngler nu kun t gøre nærmere ree for e præise omstænigheer, hvoruner firkntens rel er mksimlt. T 08 L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k
4 Hv er mtemtik? ykliske firknter og Ptolemios sætning Vi vil nu se nærmere på firknter, er hr en omskrevet irkel såklte ykliske firknter. Vinklerne i en yklisk firknt er supplementvinkler. et skyles t en periferivinkel er hlvt så stor som en ue, en spæner over. To moståene vinkler, fx og, i en yklisk firknt spæner over hele irklens omkres, vs. 360, + = 80 hvorfor e to vinkler tilsmmen spæner over et hlve grtl, vs. + = 80. et omvente gæler også, som et fremgår f en følgene sætning. Sætning 6 En firknt er yklisk, netop når moståene vinkler er supplementvinkler. Men ikke lot er er en simpel forinelse mellem e fire vinkler i en yklisk firknt. er er også en simpel forinelse mellem e fire sier,, og smt igonlerne og i en yklisk firknt: Sætning 7 (Ptolemios sætning) Prouktet f igonlerne i en yklisk firknt er lig me summen f proukterne f e moståene sier: = + evis Vi fsætter punktet E på igonlen, så vinklerne ve, vs. E og er lige store: Men vinklerne ve og er også lige store, e spæner over smme ue. e to treknter E og er ltså ensvinklee og erme ligennee, hvorfor vi slutter: E = E = E På smme måe er treknterne og E ensvinklee, fori vinklerne ve per konstruktion er lige store, mens vinklerne ve og spæner over smme ue. enne gng slutter vi erfor t er gæler: E = E = Lægger vi e funne ligninger smmen fås: + = E + E = ( E + E) = Herme er sætningen vist. enne vigtige smmenhæng går tilge til en store græske stronom Ptolemios fr et net århunree, er gjore en til en hjørnesten i en græske trigonometri. E Øvelse 6 Hv svrer Ptolemios sætning til for et rektngel? 08 L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k
5 Hv er mtemtik? Øvelse 7 ) I en irkel me imeteren spæner periferivinklen v over koren. Vis t = sin(v) (se figur ). ) Gøre ree for, t hvis én f igonlerne i en yklisk firknt er en imeter, vil firknten være oelt retvinklet me igonlen som fælles hypotenuse. ntg t imeteren er. Vis t Ptolemios sætning netop svrer til itionsformlen for sinus, vs. (se figur ); sin( + ) = sin( ) os( ) + sin( ) os( ) sin(v) v Figur. Figur 08 L&R Unnelse /S Vognmgerge K-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.k
Projekt 1.1 Optimeringsproblemer i geometri eksperimenter og beviser
Hv er mtemtik? ISN 9788770668699 Projekt. Optimeringsprolemer i geometri eksperimenter og eviser Introuktion Projektet kn nvenes åe på og -niveu. et enkelte hol vil normlt ikke kunne nå t reje hele projektet
Læs mereProjekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter
Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af
Læs mereElementær Matematik. Ligninger og uligheder
Elementær Mtemtik Ligninger og uligheer Ole Witt-Hnsen 0 Inhol. Førstegrsligninger.... Nulreglen.... Uligheer og regning me uligheer.... Doeltuligheer.... Anengrsligningen... Ligninger og uligheer. Førstegrsligninger
Læs mereProjekt 1.8 Optimeringsproblemer i geometri en eksperimentel tilgang
Hv er mtemtik?, i-bog ISN 978-87-7066-494-3 Projekt.8 Optimeringsproblemer i geometri en eksperimentel tilgng (Projektet ingår i et større projekt.5 i -bogen om optimering f geometriske figurer, specielt
Læs mereMatematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c
Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole
Læs mereTrigonometri. Matematik A niveau
Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den
Læs mereElementær Matematik. Trigonometri
Elementær Mtemtik Trigonometri Ole Witt-Hnsen 11 Indhold 1. Vinkler...1. Sinus, osinus og tngens...3.1 Overgngsformler...4 3. Den retvinklede treknt...6 4. Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne...8
Læs mereMat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler
Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel
Læs mereMatematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge
Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke
Læs mereTrigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1
Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt
Læs mereProjekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb
Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i
Læs mereTegning. Arbejdstegning og isometrisk tegning Perspektivtegning Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion
Tegning Arejs og isometrisk Perspektiv Ligennee figurer Målestoksforhol Konstruktion Hilsen fr Bornholm Østerlrs Runkirke Iso = ens Metri = mål : Erling Hgensen, www.merling.k Bivl og rejser Tegn en rejs
Læs mere1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).
Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter
Læs mereDet dobbelttydige trekantstilfælde
Det dobbelttydige trekntstilfælde Heine Strømdhl, Københvns Kommunes Ungdomsskoler Formålet med denne rtikel er t formulere en meget simpel grfisk løsningsmetode til det dobbelttydige trekntstilfælde med
Læs mereTrigonometri FORHÅNDSVIDEN
Trigonometri I dette kpitel skl du rejde med trigonometri. Ordet trigonometri stmmer fr græsk og etyder trekntsmåling. Den mtemtik, der ligger g trigonometrien, hr du llerede rejdet med. Det drejer sig
Læs mereGeometriske egenskaber & sammenhæng - Fase 3
Nvn: Klsse: Geometriske egensker smmenhæng - Fse 3 Vurdering fr 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer eviser og forslg til foredring 1. Jeg kender til og kn ruge Pythgors lærersætning. 2. Jeg
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri
Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)
Skriftlig Eksmen Algoritmer og Dtstrukturer (DM507) Institut for Mtemtik og Dtlogi Synsk Universitet, Oense Torsg en 26. juni 2008, kl. 9 3 Alle sævnlige hjælpemiler (lærebøger, notter, osv.) smt brug
Læs mere3. Vilkårlige trekanter
3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke
Læs mereProjekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft
Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Projekt 65 Vektorers eskrivelseskrft Indhold Vektorer i gymnsiet Linjestykker og prllelogrmmer Bevis inden for den klssiske geometri Bevis med nvendelse f vektorer 3 Digonlerne
Læs mereMichel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C
Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den
Læs mereElementær Matematik. Plangeometri
Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5.
Læs mereElementær Matematik. Rumgeometri
Elementær Mtemtik Rumgeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gmnsium 8 Inhol. Koorintsstem i rummet.... Vektorer i rummet.... Sklrproukt.... Prmeterfremstilling for en linie i rummet...5. Krsproukt f to vektorer...6.
Læs mereIntegralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul
Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion
Læs mereDiskriminantformlen. Frank Nasser. 12. april 2011
Diskriminantformlen Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette okument må kun anvenes til unervisning i klasser som aonnerer på MatBog.k. Se yerligere etingelser for rug her. Bemærk: Dette er en arkiveret
Læs mereElementær Matematik. Analytisk geometri
Elementær Mtemtik Anltisk geometri Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. koordintsstemet.... Afstndsformlen.... Liniens ligning...4 4. Ortogonle linier...7 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte....7 6.
Læs mere( ) Projekt 7.17 Simpsons formel A A A. Hvad er matematik? 3 ISBN
Projekt 7.7 Simpsons formel Simpson vr søn f en selvlært væver, og skulle egentlig selv hve været en væver, men en solformørkelse vkte hns interesse for mtemtik og nturvidensk og mod lle odds lykkedes
Læs merePythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:
Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...
Læs mereProjekt 10.3 Terningens fordobling
Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der
Læs mereProjekt 10.3 Terningens fordobling
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deducere sig til og konstruere sig til ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige,
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8
Læs mereImplicit differentiation Med eksempler
Implicit fferentition Implicit fferentition Indhold. Implicit fferentition.... Tngent til ellipse og hperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen
Læs meregudmandsen.net Geometri C & B
gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5
Læs mereOpgave 1 ( Toppunktsformlen )
Opgve 1 ( Toppunktsformlen ) Et nengrspolynomium er givet ve f x x 2 b x c. For t fine toppunktet vil vi først ifferentiere f x Derefter løser vi ligningen f ' x x b f ' x 0 x b 0 x b D f ' x x b er en
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik
Læs mereK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri
K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Mtemtik F Geometri www.if.dk Mtemtik F Geometri Forord Redktør Hgen Jørgensen År 2004 est. nr. Erhvervsskolernes Forlg Munkehtten 28 5220 Odense
Læs mereMattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum
Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.
Læs merePotens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul
Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.
Læs mereUDLEJNINGSAFTALE MELLEM BOLIGFORENINGEN 3B & HERLEV KOMMUNE
UDLEJNINGSAFTALE MELLEM BOLIGFORENINGEN B & HERLEV KOMMUNE 017-019 B og Herlev Kommune hr ingået ftle om ulejning f B s oliger i Herlev Aftlen ygger på B s overornee prinip om t uleje leige oliger vi vores
Læs mereMattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2 og 3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum
Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2
Læs mereIntegralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach
Integrlregning Version.0 27. juni 209 y f x Mike Vndl Auerch www.mthemticus.dk Integrlregning Version.0, 209 Disse noter er skrevet til mtemtikundervisningen på stx A- og B-niveu efter gymnsiereformen
Læs mereI kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:
INTRO I kpitlet skl eleverne lære om plne og rumlige igurers egensker og om eres nvenelse som geometriske moeller. I en orinelse kommer e l.. til t eskætige sig me eregninger omkres, rel og rumng, me grunplnstegninger
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... BRØER... LIGNINGER... 3 PARENTESER... 3 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...
Læs mereHjemmeopgavesæt 01.02.10
Rami Kaoura Matematik A Dato 01.0.010 Hjemmeopgavesæt 01.0.10 Navn: Rami Kaoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Vejleer: Jørn Christian Bentsen Skole: Roskile tekniske gymnasium, Htx Dato: 01.0.010 1 Rami
Læs mereOversigt. geometri exempler. areal: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m. areal: 5 5 = 25 cm 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 cm. areal: 8 5 = 40 dm 2
geometri exempler 4 m 3 m rel: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m 5 m 5 m rel: 5 5 = 25 m 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 m 8 dm 5 dm rel: 8 5 = 40 dm 2 8 dm 5 mm 4 mm 1 2 rel: 4 (5+9) = 28 mm 2 9 mm 7 km rel:
Læs mereUDLEJNINGSAFTALE MELLEM BOLIGFORENINGEN 3B & BALLERUP KOMMUNE
UDLEJNINGSAFTALE MELLEM BOLIGFORENINGEN 3B & BALLERUP KOMMUNE 017-019 3B og Bllerup Kommune hr ingået ftle om ulejning f 3B s oliger i Bllerup Fleksiel ulejning i Bllerup Kommune Aftlen ineærer lnt net,
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret
Læs mereProjekt 8.4 Logaritmefunktionerne
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Indhold. log( ) og 0 som omvendte funktioner... 2 2. Den nturlige logritmefunktion, ln( ) og den nturlige
Læs mereElementær Matematik. Vektorer i planen
Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning
Læs mereALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,
INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner
Læs mereImplicit differentiation
Implicit differentition Implicit differentition Indhold. Implicit differentition.... Tngent til ellipse og hyperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen
Læs mere2x MA skr. årsprøve
MA skr. årsprøve 8.0.08 Prøven uen hjælpemiler Opg. + = 0 ( ) + = 0 I parentesen står et anengraspolynomium. Det har = = 9 + og erme røerne = = og = = Af nulregelen ses at også 0 er en løsning, så
Læs mereElementær Matematik. Vektorer i planen
Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer.... Multipliktion f vektor med et tl... 4. Opløsning f en vektor efter
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...
Læs mereNy Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.
Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer
Læs mereMatematikkens sprog INTRO
Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.
Læs mereBEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN
MTEMK Mtemtik o hh C-iveu BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN Dette e e smlig ove lle e sætige og evise e e i oge. Det e met som suppleee mteile isæ til e eleve, e skl hve mtemtik på B- elle -iveu. ee i ku metget
Læs mereKompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014
Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel
Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,
Læs mere2 Erik Vestergaard
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 3 Definition 1 En funktion på formen f ( x) = b x, x R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel
Læs mereEksamensopgave august 2009
Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er
Læs mereKoblede svingninger. Thomas Dan Nielsen Troels Færgen-Bakmar Mads Sørensen juni 2005
Koblee svingninger Thomas Dan Nielsen 20041151 Troels Færgen-Bakmar 20041116 Mas Sørensen 20040795 1. juni 2005 Institut for Fysik og Astronomi Det Naturvienskabelige Fakultet Aarhus Universitet Inhol
Læs mereGivet D [a, b] [c, d] og f : D R en funktion. 1
Oversigt S].,.,.3 Inelinger i to retninger S]. oule integrls over retngles Nøgleor og egreer oelt integrl Fuinis sætning Generelle områer Tpe I Tpe II egneregler Nem ulighe ( ij, ij ) Inelt rektngel, ],
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning
Læs mereVærdier og værdibaseret ledelse resultat af undersøgelse
Værier og væriseret leelse resultt f unersøgelse Af: Susnne Teglkmp, Direktør i Teglkmp & Co. I jnur og ferur måne 6 gennemførte Teglkmp & Co. en internetseret unersøgelse f Værier. Der inkom i lt 2 esvrelser.
Læs mereMATEMATISK FORMELSAMLING
MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD
Læs mereFormelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til
Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle
Læs mereACO Afvandingsløsninger
ACO Afvningsløsninger B o l i g g u l v f l ø Rustfrit stål AISI 304-316 Ti ACO EG150 Boliggulvflø www.o.k ACO STAINLESS EG 150 Boliggulvflø til eton og flisegulve Forkortelser til typeetegnelser: V =
Læs mereProjekt 7.8 To ligninger med to ubekendte
Projekt 78 To ligninger med to uekendte Den opgve t skulle løse to ligninger med to uekendte er vi stødt på i en række speciltilfælde under ehndlingen f vækstmodellerne: Funktionstype Ligningssystem Lineær
Læs mereTredimensional grafik
Teimensionl gfi 6 Ksten Juul Inhol I Homogene oointsæt og gngning f mtie sie Vi vil fose og eje figue i ummet og æne ees støelse Defo inføe vi homogene oointsæt og gngning f mtie II th sie Et olsninge
Læs mereKort om Potenssammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning
Læs mereKortfattet vejledning Gallery 100
Kortfttet vejlening Gllery 100 75517500 04.01 OFF ON Beskrivelse f ispenserens komponenter Venstre ør Låg til ingreienseholer Ingreienseholer Sikkerheskontkt Sipleholer Uløstu Grumseholer Kneholer (= rist
Læs mereLektion 7s Funktioner - supplerende eksempler
Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side
Læs mere1. Eksperimenterende geometri og måling
. Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t
Læs mereBrug af regneark til beregninger, statistik og grafisk afbildning. Excel 97
Brug f regnerk til eregninger, sttistik og grfisk filning Exel 97 pril 2003 * St Om vurering f tlmterile sie 1 I Definitioner BLOK En eller flere eller eller rækker eller kolonner MARKER BLOK Peg på øverste
Læs mereProjekt 5.4. Den størst mulige firkant bestemt ved hjælp af differentialregning
Hv r mtmtik? Projktr: Kpitl 5. Projkt 5.. Dn størst mulig firknt stmt v hjælp f iffrntilrgning Projkt 5.. Dn størst mulig firknt stmt v hjælp f iffrntilrgning I kpitl om optimringsopgvr liggr Projkt. Optimringsprolmr
Læs mereAlle rettigheder forbeholdes. Optryk, kopiering - også uddrag - er ikke tilladt uden forudgående indhentning af skriftlig tilladelse fra RHEINZINK
Prouktprogrm 2013 2013 RHEINZINK Dnmrk A/S Alle rettigheer foreholes. Optryk, kopiering - også urg - er ikke tillt uen forugåene inhentning f skriftlig tillelse fr RHEINZINK Dnmrk A/S Inholsfortegnelse
Læs mereBogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a
Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med
Læs mereAnalysens Fundamentalsætning
Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)
Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger
Læs mereTeknisk grundlag. Skandia Livsforsikring A A/S 01-01-2015
Teknisk grunlg Skni Livsforsikring A A/S 01-01-2015 Inhol Inhol... 2 1. Anvente grunformer... 7 1.1 Prmeterefinitioner... 7 1.2 Oversigt over grunformer... 7 1.2.1 Nettopssiver uen kollektive elementer
Læs mereEksponentielle Sammenhænge
Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....
Læs mereEksamensopgaver og spektroskopi
Annette Nyv Eksmensopgver og spektroskopi 1 H NMR og IR Typisk 1 2 spørgsmål i spektroskopi i et sæt Annette Nyv 1 H NMR spørgsmål Bestem struktur. Argumenter u fr integrlkurve, kemiske skift og kli kolingsmønstre
Læs mereFormelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11
Formelsmling Mt. C BRØER... LIGNINGER... PARENTESER... RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... VILÅRLIG TREANT... Sinusreltionerne:... Cosinusreltionerne:...
Læs mereGrafregner-projekt om differentiation.
Grafregner-projekt om ifferentiation. Motivation: Når nu ifferentieret giver, og e ifferentieret giver e, hvorfor får man så ikke e når man ifferentiere e? Formål: ) At opnå kenskab til, og forståelse
Læs mereIntegration ved substitution og delvis (partiel) integration
DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK INTEGRATION EFTERÅRET Integrtion ved sustitution og delvis (prtiel) integrtion Differentil- og integrlregningens hovedsætning lyder: Hvis ƒ er
Læs merePlanfejning. Skæring. Geometrisk skæring. Anvendelser
Plnfejning Skæring 1 2 Geometrisk skæring Anvenelser Afgørelse f om er fines skæringer lnt geometriske ojekter Bestemmelse f lle skæringsunkter Design f integreree kreslø: Løsningsmetoer: Rå krft Plnfejning
Læs mereDefinition Givet D [a, b] [c, d] og f : D R en funktion. 1. Figur
Oversigt S].,.,.3 Inddelinger i to retninger S]. oule integrls over retngles Nøgleord og egreer oelt integrl Figur Fuinis sætning Generelle områder Tpe I Tpe II Regneregler Nem ulighed d ( ij, ij ) Inddelt
Læs mereMATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)
Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i
Læs mereFigurer. Planere: glatte, udjævne. Linjer. EB og AI, GK og HJ, MO og NP. Linjer. Vinkler Plane figurer Flytninger. 2 Linjestykker. 1 Hvad husker I?
Figurer Linjer Vinkler Plne figurer Flytninger Plnere: gltte, udjævne 1 Hvd husker I? 2 2 Linjestykker Fortsæt sætningerne. En linje er... Et linjestykke er... Tegn linjestykkerne: I, C, CE, F og FI. b
Læs mereMatematikken bag perspektivet I
Supperende mterie ti erspektiv med GeoMeter Mtemtikken bg perspektivet I Som udgngspunkt for t diskutere de vigtigste mtemtiske sætninger bg perspektivtegninger vi vi benytte noge eementære egenskber for
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... 1 BRØER... PARENTESER... 3 PROCENT... 4 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...
Læs mereProjekt 3.1 Potensbegrebet og geometriske rækker
Hvd er mtemtik? ISBN 97887766879 Projekter: pitel. Projekt. Potesbegrebet og geometriske rækker Projekt. Potesbegrebet og geometriske rækker (Vi tger i det følgede udggspukt i kpitlfremskrivigsformle:
Læs mereGeneraliserede koordinater. Opstilling af Euler-Lagrange ligningerne
Koee penuer en kotisk evæese En nvenese f rne forisen Generiseree koorinter. Opstiin f Euer-rne ininerne. = T - U Hvis et syste er estet ve eneriseree koorinter q i er Euer-rnes ininer for ekstreu f en
Læs mereDesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner
DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner Preben Alsholm Forår 008 Hyperbolske funktioner. sinh og cosh sinh og cosh Sinus hyperbolsk efineres sålees for alle x R sinh x = ex e x Cosinus hyperbolsk
Læs mereInterferens og gitterformlen
Interferens og gitterformlen Vi skal stuere fænomenet interferens og senere bruge enne vien til at sige noget om hva er sker, når man sener monokromatisk lys, altså lys me én bestemt bølgelænge, igennem
Læs mere