MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger"

Transkript

1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sædvanlige Differenialligninger a b. udgave 004

2 FORORD Dee noa giver en indføring i eorien for sædvanlige differenialligninger. Der lægges især væg på løsningen af lineære differenialligninger med konsane koefficiener. Til løsning af differenialligningssysemer og sysemer med forsinkelse anvendes Laplaceransformaion. De forudsæes, a man har en viden svarende il noae Maemaiske Grundbegreber, sam a man har e elemenær kendskab il polynomier svarende il noae Komplekse al. Avancerede lommeregnere som Ti89 og maemakprogrammer som Maple kan le foreage beregninger med komplekse al, finde rødder i polynomier osv. Der vil derfor blive give eksempler på, hvorledes man kan foreage beregningerne med neop disse o regnemidler. De må dog beones, a hvis man ikke er i sand il a manipulere med simple uryk, bliver de næsen umulig a læse en eknisk eks eller forså e foredrag, hvori der indgår nogen maemaik. De er derfor vigig. a man manuel foreager beregningerne af enkle problemer. Dee er også nødvendig for a kunne forså og forolke udskriferne fra maemaikprogrammerne. De forudsæes, a man har rådighed over en maemaiklommeregner som eksempelvis Ti 89. Da man må forudse, a man senere vil skulle kunne anvende e egenlig maemaikprogram, som angives også nogle af ordrerne i programme Maple. En del eksempler er hene fra lærebogssyseme Bjarne Hellesen, Mogens Oddershede Larsen: Maemaik for Ingeniører. Jeg vil derfor gerne her benye lejligheden il a akke Bjarne Hellesen for mange års inspirerende samarbejde. Andre noer i samme serie er Maemaiske grundbegreber Giver en kor gennemgang af definiioner og regneregler for de mes almindelige reelle funkioner af. variabel, disses differeniaion og inegraion, Vekorer Indhold: ) Vekorer i plan og rum, ) Rumgeomeri (relaioner mellem punk, linie og plan) ) Kurver i plan give ved en parameerfremsilling Komplekse al Indhold: ) Rekangulær og polær form, eksponenialfunkion, ) Binom- og andengradsligning ) Opløsning af polynomier i fakorer og dekomponering Maricer og lineære ligninger Indhold: ) Regneregler for maricer, ) Lineære ligningssysemer, herunder løsning af overbesem ligningssysem Fourieranalyse Indhold: ) Reelle Fourierrækker, ) Fourierrækker på kompleks form, ) Fourierransformaion 4) Diskre Fourierransformaion Januar 005 Mogens Oddershede Larsen ii

3 Indhold INDHOLD Differenialligninger af. orden.... Indledning.... Numerisk løsning af. ordens differenialligning.... Differenialligninger, hvor de variable kan adskilles Den lineære differenialligning af. orden Eksempler på anvendelser af lineære differenialligninger af.orden... Differenialligninger af. orden Indledning Den homogene differenialligning af. orden med konsane koefficiener Den inhomogene differenialligning af. orden med konsane koefficiener... 5 Differenialligninger af n e orden Indledning Den lineære differenialligning af n e orden med konsane koefficiener Sysem af differenialligninger af 'e orden Indledning Numeriske meoder il løsning af sammenhørende differeialligninger af. orden Laplaceransformaion Indledning Laplace-ransformaion Laplaceransformaion af differenialkvoiener Enhedsrinfunkion Forsinkelsesregel Dirac s delafunkion Appendix 5.. Tabel over Laplaceransformerede Appendix 5.. Tabel over invers- Laplaceransformerede Opgaver Sikord iii

4 Sædvanlige differenialligninger Differenialligninger af. orden. Indledning Ved en sædvanlig differenialligning forsås en ligning, der indeholder en eller flere afledede af en uken funkion y(), og som vi ønsker a finde ud fra ligningen. Eksempelvis er ligningen + y () = sinen sædvanlig differenialligning. Orde sædvanlig beyder, a den ukene funkion er en funkion af variabel (i modsæning il de parielle differenialligninger, hvor den ukene funkion er af eller flere variable). Vi vil i dee noa kun se på sædvanlige differenialligninger, og de vil derfor i de følgende være underforsåe. Ved en differenialligning af. orden forsås en ligning, hvori der indgår en uken funkions. afledede, men ingen højere afledede. Differenialligningen + y () = sin er således af. d orden, mens y + y () = siner af anden orden. Mange fysiske problemsillineg fører il differenialligninger, hvor den uafhængige variabel vil være iden. Dee er begrundelsen for a funkionerne i dee noa er funkioner af (og ikke x) Ved en (parikulær) løsning il en differenialligning forsås en differeniabel funkion y () som er definere i e inerval I og i dee inerval *) ilfredssiller differenialligningen. Grafen for en løsning kaldes en løsningskurve eller en inegralkurve Mængden af samlige løsninger kaldes den fuldsændige løsning.. Eksempel. Radioakiv henfald Eksperimener viser, a e radioakiv sof henfalder med en hasighed der er proporional med dens mængde y() il e give idspunk. Vi har følgelig = ky() hvor k er en konsan. Vi anager i de følgende, a k = ) Lad C være en vilkårlig (arbirær) konsan. Vis, ved indsæelse, a y = Ce er løsning il differenialligningen. ) Tegn løsningskurverne i samme koordinasysem for C=, og 5 ) Find den løsning for hvilke de gælder, a il iden = 0 er sarmængden af de radioakive sof gram, dvs. y( 0) =. Løsning: ) Da y = Ce giver y = 0. e =0. y ses ved indsæelse, a y = Ce er en (parikulær) løsning il differenialligningen. ) Løsningskurverne besår af en skare af kurver svarende il forskellige værdier af C. Maple: plo([exp(-0.*),*exp(-0.*), 5*exp(-0.*)],=-..8); *) Vi vil alid forudsæe, a definiionsinervalle I er valg sørs mulig.

5 . Differenialligninger af. orden )Indsæes = 0 og y = i y = Ce fås = Ce C = Den ønskede (parikulære) løsning med begyndelsesbeingelsen y( 0) = er følgelig y = e k I eksempel. så vi, a der går neop én løsningskurve gennem ehver punk.. Dee gælder prakisk age alid for en differenialligning, der er brag på formen = f (, y). Man kan vise, a er S en åben sammenhængende mængde i y-planen, hvor f (, y) er koninuer og har en koninuer f pariel aflede med hensyn il y, så går der gennem ehver indre punk ( 0, y0) af S én og kun én y løsningskurve il differenialligningen = f (, y). Koninuie besemmes som ved funkioner af en variabel. Eksempelvis er f (, y) = cos( 5y ) koninuer i hele y- planen, ide ( 5y koninuer koninuer ) 5 koninuer cos koninuer cos( 5y ) koninuer.. Numerisk løsning af. ordens differenialligning. I de følgende berages en. ordens differenialligning, der er brag på formen = f(, y). De er ofe umulig a angive eksake uryk for y(). Imidlerid kender man jo i ehver punk (, y) differenialkvoienen, og de kan man udnye il gennem e sor anal punker a egne e kor liniesykke med den kene hældning (kaldes linielemene i punke.. Dee vil så give os e inryk af løsningskurvernes udseende.

6 Sædvanlige differenialligninger Eksempel.. Grafisk løsning af differenialligning Lad der være give differenialligningen = y+. ) Tegn i e koordinasysem linielemenerne gennem punkerne (, y)=(-, 0), (, y) = (0, ) og (, y) = (, ) ) Tegn ved hjælp af e edb - program e sor anal linielemener, og skiser på basis heraf løsningskurven gennem punke (0,) ) Ud fra figuren synes en besem løsning ydelig. Angiv funkionsurykke for denne løsning, og vis ved indsæelse i differenialligningen a denne er en løsning.. Løsning: ) Vi har ide α er hældningskoefficienen: (, y, α) = ( 0,, ), (, y, α) = ( 0,, ), (, y, α) = (,, ), Linielemenerne ses på figuren il højre. ) Tegnes e sor anal linielemener fås figuren il højre ) En re linie med ligningen y =synes a være en løsning. Dee vises ved indsæelse i differenialligningen = y+. Da = ( ) + 0= 0, er påsanden bevis.

7 . Differenialligninger af. orden Som eksempel. viser, kan linielemenerne give e umiddelbar inryk af løsningskurvernes forløb. Ønsker man en abel over en løsning besem ved begyndelsesbeingelsen ( 0, y0), sker de mere præcis ved ud fra punke ( 0, y0 ) a beregne e ilnærme nabopunk (, y) ud fra dee e ny punk (, y) osv. Eulers meode. Eulers meode bygger på, a man ud fra begyndelsespunke ( 0, y0) beregnes de næse punk (, y ) ved a følge angenen i P 0. Ud fra punke (, y ) beregnes de næse punk (, y) ved a følge angenen i P., osv. (se figur.) Fig.. Eulers meode Fig.. Beregning af k Lad der være give differenialligningen = f (, y) med begyndelsesbeingelsen ya ( ) = y 0 I figur. går vi fra de i'e punk P (, y ) il de næse punk P = (, y ) ved a følge i i i angenen i P i. Denne angen har hældningskoefficienen i P i har derfor ligningen y y = f (, y ) ( ) i i i i = f (, ) i+ i+ i+ y i i punke P i. Tangenen Indsæes = + fås y = y + f (, y ) ( ). Ud fra koordinaerne il punke i i+ i i i i+ i P = (, y ) kan vi så på ilsvarende måde finde koordinaerne il næse punk,. i+ i+ i+ [ ] Ønsker man a lave en abel over løsningen i e inerval a, b, vil man sædvanligvis gøre de b a ved a Inervalle opdeles i n delinervaller med samme længde h = n (se figur.). Indsæes i+ = i + h i yi+ = yi + f ( i, yi) ( i+ i) fås yi+ = yi + f ( i, yi) h. Sæes for korheds skyld k = f ( i, yi) h får vi, a Pi+ = ( i+, yi+ ) = ( i + h, yi + k) Eulers meode kan sammenfaes i følgende algorime: b a h =, n 0 = a k = h f ( i, yi) ilnærme yilvæks Genag for i = 0,,,.,, n i = i + h + næse værdi yi+ = yi + k næse y værdi 4

8 Sædvanlige differenialligninger På grund af den ringe nøjagighed kan Eulers meode ikke anbefales il prakisk brug. En væsenlig mere nøjagig meode er Runge-Kua meode af 4. orden Algorimen for Runge Kua af 4. orden: b a h =, 0 = a n k = h f ( i, yi) h k k = h f i +, y i + h k k = h f y i = n i +, i + Genag for 0,,,.,, k4 = h f ( i + h, yi + k) i+ = i + h næse værdi yi+ = yi + ( k+ k + k+ k4) næse y værdi 6 Eksempel.. Numerisk løsning af differenialligning Lad der være give differenialligningen = y+, y(0) =, [ 0 ;] ) Ved anvendelse af Eulers meode skal der beregnes punker svarende il en skrilængde på h =, og på h =. ) Beny lommeregnerens Euler program il a finde y() med en skrilængde på 0.5. ) Beny lommeregnerens Runge-Kua program il a finde y() med en skrilængde på ) Beny Maple il a finde y() med en skrilængde på 0.5. Løsning: Sarpunke for algorimen er ( 0, y0) = ( 0, ) ) h =. Hele inervalle [,] 0 gennemløbes i é skri: k = h f (,) 0 = ( + 0) = = + h = 0+ =, y = y + k = + = 0 0 h =. Hele inervalle [,] 0 gennemløbes i o skri: k = h f (,) 0 = ( + 0) = = + h = 0+ =, y = y + k = + = 0 0 k = h f (,) = ( + ) = = + h= + =, y = y + k = + = 5 ) MODE, GRAPH = Diff.Equaions, ENTER, Y= +y ENTER. yi = Bemærk: y ikke y, og gange skal skrives som * Windows, 0 =0, max =, TSTEP =0.5, plo=0,xmin =0, XMAX=,... YMIN =, YMAX=4, osv.enter., Graph, Man får egne en kurve. Tabellering: (Graph Forma), Axes on, Labels on, Soluion Mehods, Euler, Fields = Fldiff, ENTER Caalog, Blddaa ENTER, skriv euler, ENTER APPS,Daa-Marix, NEW, Variable=eul, APPS,Daa-Marix, Curren Der fremkommer en marix y() ) Som i spørgsmål, men i Graph Forma vælges som Soluion Mehods RK fremfor Euler y()

9 . Differenialligninger af. orden 4) I programme Maple udføres en mege nøjagig numerisk løsning ved ordrerne: g:= dsolve( {diff(y(),) = +y(), y(0)=},y(), numeric, oupu= array( [0,0.5,,.5,] ) ); Resulae bliver [, y() ] 0.. g := I eksempel. ser vi som vene, a Runge- Kua ligger æes ved de rigige resula, selv om vi kun havde anven en skrilænge på 0.5, Med Euler skulle man have anven en mege mindre skrilængde for a få e go resula. Probleme vil så være, a afrundingsfejlene ved så mange beregninger kan bevirke, a resulae alligevel ikke bliver så nøjagig.. Differenialligninger hvor de variable kan adskilles. Vi vil i dee afsni berage en differenialligning af ypen = f () g( y) dx Sæning. (Adskillelse af de variable) Lad f() være koninuer i e inerval I og lad g(y) være koninuer og forskellig fra 0 i e inerval J. Der gælder da: y() er en løsning il = f () g( y) y() er en løsning il dx gy = ( ) f () Bevis: Lad y = h() være en løsning il den givne differenialligning. Vi har nu = f () g( y) = f () da g( y) 0 dx gy ( ) dx = f () h () = f () da y = h() gy ( ) dx gh ( ( )) h () = f () h () = f () + C er o funkioner ens er deres gh ( ( )) gh ( ( )) samfunkioner ens pånær en konsan h () = f () + C = f () + C inegraion ved sunsiuion, ide vi gh ( ( )) gy ( ) sæer y = h() og = h () I de specielle ilfælde, hvor gy ( ) = 0 for y = a er, og man ser derfor, a dx = 0 = f () g( y) 0= f () 0. dx y = a er derfor en reline løsning il differenialligningen. 6

10 Sædvanlige differenialligninger Meoden huskes lees ved a man opfaer som en brøk. dx Man samler al med y på vensre side af lighedsegne og al med på højre side (adskiller de variable), og så inegrerer på begge sider. = f () g( y) = f + C dx gy ( ) () I praksis er man ofe kun ineressere i en (parikulær) løsning, som opfylder en begyndelsesbeingelse y ( ) = y dvs. il iden 0 skal funkionsværdien være y Er gy ( 0 ) 0 kan en løsning gennem ( 0, y0 ) findes ved a indsæe ( 0, y0) i løsningen il differenialligningen og besemme C. Er man ikke ineressere i samlige løsninger, men kun i en parikulær løsning gennem (, y ) kan man finde denne direke af y y gy ( ) = 0 0 Meoden illusreres ved følgende eksempel: f () 0 0 Eksempel.4. Adskille variable ) Find samlige løsninger il differenialligningen =4( y4) ) Find og skisér de løsningskurver, som går gennem henholdsvis (, y ) = (,) 0 og (, y ) = (,) 4. Løsning: ) Forudsæes y4 0 y 4 kan de variable i differenialligningen adskilles: Ved inegraion fås: C y C y e y = 4 + ln 4 = = y 4 = e e C y 4= ± e e y = 4+ Ke hvor + C C K = ±, dvs. K 0 y = 4: Ved indsæelse i differenialligningen ses. a den ree linie y = 4 er løsning 0 ) Indsæes (, y ) = (,) 0 fås = 4+ Ke K = y = 4e Da (, y ) = (,) 4 e C ligger på linien y = 4 er denne løsningen. y 4 = De ses. a kurven for y = 4e er symmerisk omkring = 0,har e minimum i punke (0.) og har linien y = 4 som asympoe 7

11 . Differenialligninger af. orden y = 4 e Ti 89: ) desolve(y =-4**(y-4),,y) Resula: y = C e + 4 ) desolve(y =-4**(y-4) and y(0)=,,y) Resula: y = 4 e and findes under MATH, Tes Tegning: MODE, GRAPH = FUNCTION, ENTER, Y= -4*x*(y-4) ENTER. Indsil Window på passende værdier og ryk på Graph Maple: dsolve(diff(y(),)=-4**(y()-4),y()); L:=dsolve({diff(y(),)=-4**(y()-4),y(0)=},y()); y:=unapply(rhs(l),); plo(y(),=-..); 8

12 Sædvanlige differenialligninger Eksempel.5. Anvendelse i reakionskineik ) Opsilling af differenialligning. Lad A og B være o soffer, der reagerer med hinanden efer reakionsligningen A+ B produker produker. Koncenraionerne af A og B il iden beegnes henholdsvis C A og C B [mol/lier]. Ide der pr. idsenhed dc forsvinder lige mange mol af A og B, må der gælde A dc = B CA = CB + konsan. (4) dc Endvidere anages processen a følge den simple hasighedslov: A =k CA CB (5) hvor k = + er en "hasighedskonsan" ( k afhænger af iden som følge af, a emperauren ændrer sig). Lad koncenraionen af A og B il iden = 0 være C A0 > 0 og C B0 > 0 og lad CA0 CB0 = Heraf følger, a CA0 = + CB0 > Ifølge ligning (4) vil der da il enhver id 0 gælde CA CB = CB = CA Vi får derfor ved indsæelse i (5), a dca = CA ( CA ) + Ersaes for korheds skyld C A med y og C A0 med y 0, bliver probleme a finde den løsning il differenialligningen = ( y ( y ), der går gennem punke (, y) = (, 0 y) og hvor > 0, y > og + 0 y 0 > Løsning af differenialligning. Ved a separere de variable (alernaiv meode) fås y = y yy ( ) Ved hjælp af Ti89 (eller Maple) fås = ln y ln y yy ( ) Vi har derfor y y = [ ln y ln y ] = [ ln + ] y yy ( ) + y Da > 0, y > og y 0 > fås y [ ] [ ] ln y ln y = ln + ln( y ) ln y (ln( y ) ln y ) = ln( + ) y y y + + ln ln 0 ln( ) = ln( + ) = e = ( + ) e y y0 y y0 y y0 y = ( + ) e y0 Tolkning af løsning. Ersaes y med C A og y 0 med C A0 fås CA = e C ( + ) A0 De ses, a C A eferhånden afager mod, i overenssemmelse med a A reagerer med B, således a B eferhånden bliver næsen hel opbrug. 9

13 . Differenialligninger af. orden.4. Den lineære differenialligning af. orden. Ved en lineær differenialligning af førse orden forsås en differenialligning der kan skrives på formen + p () y () = q () hvor p() og q() er funkioner af Beegnelsen "lineær" sammer fra, a de "ukene sørrelser" sørrelser" x og y indgår i en re linies ligning. og y() indgår på lignende måde, som de "ukene Ide vi forudsæer, a funkionerne p og q er koninuere i e inerval I, gælder følgende sæning: Sæning. (lineær differenialligning af. orden). Samlige løsninger il differenialligningen + p () y () = q (), I p() p() p() er da give ved y () = e qe () + Ce, hvor C er en vilkårlig (arbirær) konsan. (formlen kaldes populær for panserformlen da den er pansre i inegralegn ) Bevis: Lad P() være en samfunkion il p(). y + p y = q y + p y e P () P () () () () () () () () = q() e [ ] Mulplikaion med e P () P () qe P () () () [ ] ye = P () P () P () P () P () y () e = q () e + C y () = e q () e + Ce Omskrivning(ses ved a differeniere ) Inegraion og division med e P () Panserformlen er re komplicere, så man forerækker ofe følgende omskrivning: Sæning. (lineær differenialligning af. orden). Samlige løsninger il den inhomogene differenialligningen + p () y () = q (), I er give ved y () = y () + C y (), hvor C er en vilkårlig (arbirær) konsan. p h p () hvor yh () = e er en løsning il den homogene differenialligning + p () y () = 0 og q () yp() = yh() er en (parikulær) løsning il den inhomogene differenialligning, y () h p () Bevis: Indsæes q ()= 0 i panserformlen fås y () = C yh(), hvor yh() = e Derefer er formlen blo en indsæning af yh () i panserformlen Hvis q() er en sum af flere led, vil man ofe for overskuelighedens skyld berage differenialligninger svarende il hver led for sig (jævnfør de følgende eksempel). 0

14 Sædvanlige differenialligninger Eksempel.6. Lineær. ordens differenialligning ) Find samlige løsninger il differenialligningen + y () = e +, > 0. ) Find den løsning, der opfylder begyndelsesbeingelsen y() = Løsning: ) Førs normeres differenialligningen ved division med : y e y + = + + = e () () + Homogen løsning:. + y = () 0 yh e ln () = = e = a) Parikulær løsning il y + = e () q. y y e () e p() = h() = = e = yh () b) Parikulær løsning il + y = () q () yp() = yh() = = = = yh () 4 4 Fuldsændig løsning il + y = e + y e ()= + + C 4 () 4 = e 8 C ) Begyndelsesbeingelsen y() = giver = e + + C = e 4 Den søge parikulære løsning er alså y e ()= e. Ti89:MATH, Calculus, desolve(* y +y=e^(-/*)+^,,y) e 4 ( + C) e 8 Resula: y= y (som kan omskrives il samme resula som før. 4. MATH, Calculus, desolve(* y +y=e^(-/*)+^ and y()=,,y) Resula ser igen anderledes ud, men kan omskrives. 4 e + + _C 4 Maple: dsolve(*diff(y(),)+y()=exp(-/)+^,y()); y( ) =

15 . Differenialligninger af. orden.5. Eksempler på anvendelse af lineære differenialligninger af. orden. Eksempel.7 Reguleringseknik Skal man dæmpe voldsomme svingninger af e sof A i en srøm, benyes i reguleringseknik bl.a. én eller flere anke som opløsningen pumpes igennem. Dee eksempel er e regneeknisk simpel eksempel herpå. Figuren viser en ank, hvori der foregår en opblanding af e sof A. Koncenraionen c() [kga/m ] i anken er en funkion af iden. Syseme sares il iden = 0, og c(0) = 0. ) Opsil en differenialligning hvoraf man kan finde c() for alle 0. ) Løs differenialligningen og find c ( ) i ilfælde c(0) = 0. Løsning: ) For anken opsilles balancen: IND + PRODUCERET = UD + AKKUMULERET. som e differeniel regnskab over, hvor mange on A der passerer ind og ud af søen i e idsinerval [ ; + ] a) IND: Da ilførelseshasigheden il idspunke er [m /min] og koncenraionen af A er [kga/m ] vil der i løbe af iden blive ilfør [kg A]. b) PRODUCERET: Der vil ikke blive producere A i søen. c) UD: Da koncenraionen i anken il idspunke er c() [kg A/m ] og fraløbe er [m /min] vil der i løbe af iden forsvinde c () [kg] fra anken. d) AKKUMULERET: Til iden er den oale mængde A i søen c () [kg ]. I løbe af de infiniesimale idsrum vil der i søens oale A - indhold ske en differeniel ændring d( 4 c( )). Balanceligningen bliver alså + 0= c() + d( 4 c()) Ved division med fås differenialligningen 6= c + 4 dc 4 dc () + c () = 6 dc dc ) 4 + c () = 6 + c () = 4 dc 075. Homogen løsning: c ( ) = 0 ch ( ) = K e e Parikulær løsning: cp () = e = e 5. e = e. = 075. e Fuldsændig løsning: c () = K e +. Indsæes c( 0 ) = 0 fås 0= K+ K = c () = e 075. Bemærk, a løsningen il den homogene ligning alene afhænger af sysemes konsaner, mens inpu alene indgår i den parikulære løsning. Havde inpu således li mere realisisk være periodisk f.eks. være 5 cos( ) [kg A/m ] ville kun 075.

16 Sædvanlige differenialligninger dc differenialligningens højre side have ændre sig, dvs. 4 + c () = 5cos( ). Eksempel.8. Elekrisk kredsløb Dee eksempel er hene fra læren om elekriske kredsløb. I sådanne kan forekomme følgende elemener: Navn Symbol Noaion Enhed Spændingsforskel Ohms modsand R Ohm Ri Indukor, spole H (henry) L di Kondensaor, Kapacior C F (Farad) Q = C C i () 0 Lad os berage følgende RL- kredsløb, hvor L = 0. Henry, R = 5 ohm or e 5 vol baeri giver den elekromooriske kraf.lad endvidere i(0) = 0. ) Opsil en differenialligning hvoraf man kan finde i() for alle 0. ) Løs differenialligningen og find i() i ilfælde i(0) = 0. Løsning: ) Spændingsfalde over modsanden er R i, og spændingsfalde over spolen er L di. Summen af de o spændingsfald er lig den elekromooriske kraf E(), dvs. L di + Ri = E() di Indsæes de givne al fås i =

17 . Differenialligninger af. orden ) di di i = + 50 i = 0 Homogen løsning: di i = 0 ih () = Ce Parikulær løsning: ip () = e = 0e e = = e di i = i() =. 4 + Ce Indsæes i(0) = 0 fås: 0= 4. + C C = 4.. di + 50i = i() =. 4 + Ce Bemærk, a løsningen il den homogene ligning alene afhænger af sysemes konsaner, mens inpu alene indgår i den parikulære løsning. Havde inpu således være en påryk periodisk elekromoorisk kraf E0 sin( ω ) ville de kun være differenialligningens højre side der ville have ændre sig. 50 4

18 . Differenialligninger af. orden. Differenialligninger af. orden..indledning Vi vil i dee kapiel begrænse os il a se på lineære differenialligninger af. orden, dvs. d y differenialligninger af ypen p q y r, hvor funkionerne p(), q() og r() + () + () () = () anages koninuere i e inerval I. d y Eksempelvis er + + 6y() = sin() en lineær differenialligning af. orden, Eksempel. (differenialligning af. orden). Find den fuldsændige løsning il differenialligningen d y =, > 0 Løsning: dx d y dx x () =, =, indsæes i differenialligningen, og vi får. x () = Denne lineære differenialligning af. orden kan løses efer meoden i afsni.4. Homogen løsning: dx x x h e e ln () = 0 = = = Parikulær løsning: q () xp() = xh() = x () = Vi har derfor: = x () = + C som ved inegraion giver y() = ( + C) + C y() = + C + C h I eksempel. fan vi, a den fuldsændige løsning indehol (arbirære) konsaner C og C. De kan vises a gælde generel, ide man kan vise følgende sæning (der anføres uden bevis): Sæning.. Lineær differenialligning af. orden. ) Lad f( ) og f () være o ikke proporionale løsninger il den homogene differenialligning d y + p () + qy () () = 0. I Samlige løsninger il den homogene differenialligning er da besem ved y () = C f() + C f(), hvor C og C er o vilkårlige reelle konsaner. ) Lad yp () være en parikulær løsning il den inhomogene differenialligning d y p, + () q y r + () () = () I 5

19 Sædvanlige differenialligninger Samlige løsninger il den inhomogene differenialligning er da besem ved y () = y () + C f () + C f (), hvor C og C er o vilkårlige reelle konsaner. p Eksempel. (illusraion af sæning.). ) Vis, a y ()= C og y ()= C er o ikke proporionale løsninger il den homogene d y differenialligning = 0, > 0 ) Vis, a y ()= er (parikulær) løsning il den inhomogene differenialligning d y =, > 0 ) Angiv den fuldsændige løsning il differenialligningen d y =, > 0 Løsning: ) Da y()= Cikke er lig med en konsan gange med y()= C er funkionerne ikke proporionale. Indsæes y()= C, y = y d y () () = 0 i =0, fås 0 = 0. Indsæes y()= C, y = C y d y (), () = C i =0, fås C C = 0 0 = 0. Heraf ses, a y()= Cog y()= C er o ikke proporionale løsninger il den homogene differenialligning ) Indsæes y ()=, y = y d y (), () = 6 i =, fås 6, = 0 = 0 dvs. y ()= er løsning il den inhomogene differenialligning ) Af sæning. følger da, a den fuldsændige løsning er y ()= + C + C (svarende il løsningen i eksempel.) Da urykke for samlige løsninger indeholder neop konsaner C og C, skal der o beingelser il a faslægge en besem løsning. De mes almindelige er, a benye såkale begyndelsesbeingelser, hvor man udover for en besem værdi 0 a faslægge y ( 0 ) også faslægger hældningskoefficienen y ( 0 ). Man kan vise, a sådanne begyndelsesbeingelser enydig faslægger løsningen. 6

20 Eksempel.. Løsning il differenialligning. Differenialligninger af. orden d y Lad der være give differenialligningen : =, > 0 (jævnfør eksempel.) Vi ønsker a besemme den løsning y (), der opfylder begyndelsesbeingelsen y() =, y () = 0 Løsning: Fra eksempel. er den fuldsændige løsning y ()= + C + C. Indsæes begyndelsesbeingelsen haves: = + C + C C + C = 0 = ( C, C ),. y ()= + 0= + C C = Løsningsmeoden i eksempel. kan kun anvendes i de ilfælde, hvor den lineære differenialligning ikke indeholder for differenialligninger af ypen + p () = 0. d y Dee er også mulig for visse andre yper lineære differenialligninger af anden orden, men generel er de imidlerid ikke mulig a angive en løsningsmeode, der som panserformlen urykker løsningen ved formler indeholdende inegraler. De må i sådanne ilfælde anbefales eksempelvis a anvende e program som Maple, og håbe på, a den kan løse probleme. Som de følgende afsni viser, er de imidlerid forholdsvis le a angive en løsningsmeode for den ved anvendelserne vigigse ype differenialligninger. Den homogene lineære differenialligning af. orden med konsane koefficiener. Differenialligningen A d y + B + Cy() = 0 A 0 () dx dx siges a være homogen og lineær med konsane koefficiener A, B, C. Da en eksponenialfunkion opråe i løsningen il den homogene lineære differenialligning af. orden, er de naurlig a søge en løsning af ypen y ()= e λ hvor λ er en konsan. λ λ λ Indsæes y () = e, y () = λe, y () = λ e i differenialligningen (), fås λ λ λ λ Aλ e + Bλe + Ce = 0 e Aλ + Bλ+ C = 0 Aλ + Bλ+ C = 0 (da e λ 0 ) ( ) 7

21 Sædvanlige differenialligninger Funkionen y ()= λ er alså en løsning il differenialligningen, hvis og kun hvis λ er en rod e i den såkale karakerligning Aλ + Bλ+ C = 0. B B 4 AC B D Da Aλ + Bλ+ C = 0 λ = ± λ = ±, hvor D= B 4 AC A A bliver løsningerne afhængige af om : D > 0 : To reelle rødder D = 0 : En reel dobbel rod D < 0: To komplekse rødder Sæning. (løsning il homogen differenialligning med konsane koefficiener). Den lineære homogene differenialligning med konsane koefficiener A d y + B + Cy() = 0 A 0, A, B, C er reelle al. () dx dx har karakerligningen Aλ + Bλ+ C = 0, med diskriminanen D= B 4 AC Der gælder da: Rødder i karakerligning. Fuldsændig løsning il () D > 0: To reelle rødder λ og λ, hvor λ λ λ y () = Ce + Ce λ D = 0: En reel dobbelrod λ λ y () = Ce + C e λ D < 0: To komplekse rødder r± iω r r y () = Ce cos( ω) + C e sin( ω) r eller y () = K e cos( ω+ ϕ ) r eller y () = K e sin( ω+ ϕ ) C, C,K og ϕ er reelle vilkårlige (arbirære) konsaner. K = C + C ( C C ) ϕ ( C C ) ϕ = arg,, = arg,, ϕ ϕ Bevis: I alle ilfælde, er den fuldsændige løsning af ypen y () = Cf() + C f(). Ifølge sæning. er de ilsrækkelig, ved indsæelse i differenialligningen, a vise, a de o funkioner f( ) og f () opfylder ligningen (),og a de ikke er proporionale. 8

22 . Differenialligninger af. orden I: D > 0 To forskellige reelle rødder. Af udledningen af karakerligningen ses, a y()= e λ λ og y()= e er o forskellige løsninger il λ differenialligningen. Da de o funkioner ikke er proporionale er y Ce λ () = + Ce den fuldsændige løsning il differenialligningen. II: D = 0.To ens reelle rødder. Lad dobbelroden være Af udledningen af karakerligningen følger, a y( )= e λ er en løsning il λ = B A λ y ()= e differenialligningen. For a vise, a er en løsning indsæes λ y( )= e, y () = λ e λ + e λ = e λ ( λ + ) og y λ ( ) λ λ e e e ( ) () = λ λ + + λ = λ λ + i (): ( ) λ λ λ λ λ A( λ e ( λ + ) + B e ( λ + ) + C e = 0 e Aλ + Bλ + C + ( Aλ + B) e = = λ Aλ + B = 0 λ = B A Da Aλ Bλ C 0 (fordi er rod i karakerligningen) og (da ) λ ses, a y ()= e er løsning il () Da funkionerne y( )= e λ λ og y ()= e ikke er proporionale følger af sæning. a den fuldsændige løsning il differenialligningen er λ y Ce ()= λ + C e Man kan undre sig over hvorledes man førse gang har gæe, a den anden løsning er y( )= e λ. De kunne være ske ved, a man opfaer dobbelroden som o nærliggende rødder λ + λ og λ og derpå lade λ 0 ( λ+ λ) λ Samlige løsninger er y () = Ce + Ce. Sæes C = og C = ( λ+ λ) λ e e, fås y () = λ λ λ λ df f ( λ + λ, ) f ( λ, ) d f de Da er definere ved for λ 0 fås y () = e λ for λ 0 d λ λ d λ dλ De er derfor nærliggende a formode, a urykke y( )= e λ er en løsning il differenialligningen. III: D < 0: To komplekse rødder. Karakerligningen har de o komplekse rødder r± iω. y () ( e r + i ω ) ( = og y e r i ω ) () = er da komplekse ( r+ iτω ) r r løsninger il (). Da e = e cos( ω) + ie sin( ω) er de rimelig a anage, a realdel og imaginærdel hver for sig er reelle løsninger il (). Ved indsæelse i ligning () ses (beregningen udfør nedenfor), a de er løsninger, og da de o funkioner ikke er r r proporionale, er den fuldsændige løsning: y () = Ce cos( ω) + Ce sin( ω) y e r r () = cos( ω), y () = e r cos( ω) ω sin( ω) Beregning: ( ) r ( ) ( cos( ω ) ω sin( ω ) ω sin( ω ) ω cos( ω )) ( ( ω ) cos( ω ) ωsin( ω ) cos( ω ) ωsin( ω ) cos( ω )) ( Ar ( ω ) B r C) cos( ω) ω( A r B)sin( ω) 0 y = e r r r indsæes i () r e A r A r + B r B + C = = Vi har λ = B± i D = ± ω = B r i r ω = D A A 4 A 9

23 Sædvanlige differenialligninger B Heraf fås, a r = B D B A r + B= 0 og Ar ( ) + B r+ C= A B C A A A + ω + A B ( ( B 4 AC) = + = + + = A BA C B C B 4 4A A C 0 Hermed ses, a r y( ) = e cos( ω) er løsning il (). På ilsvarende måde ses, a r y( ) = e sin( ω) er løsning il (). Ifølge addiionsformlerne fås: r r r Ke cos( ω + ϕ) = Ke (cos( ω) cos( ϕ) sin( ω) sin( ϕ)) = e ( Ccos(( ω) + Csin( ω) ) hvor C = Kcos( ϕ) C = Ksin( ϕ), Heraf ses, a r y( ) = Ke cos( ω + ϕ) er løsning il (). På ilsvarende måde ses, a r y () = Ke sin( ω + ϕ ) er løsning il (). Endvidere følger heraf omregningen mellem C, C og K, ϕ Eksempel.4. Homogen lineær differenialligning med konsane koefficiener ) Find samlige løsninger il differenialligningen d y + 6y () = 0 ) Find samlige løsninger il differenialligningen d y + y () = 0 ) Find samlige løsninger il differenialligningen d y 4 + 0y () = 0, sam den pari- kulære løsning, der opfylder begyndelsesbeingelserne y(0)= - og y () 0 = r r Løsningen ønskes angive på såvel formen Ce cos( ω) + Ce sin( ω) som på formen Ke ω + ϕ ) Løsning: ) Karakerligningen: λ + λ 6= 0 λ = ± ( ) λ = ± λ = λ = Samlige løsninger: y Ce ()= + Ce ± 4 λ λ+ = 0 λ = ) Karakerligningen: λ = λ = Samlige løsninger: y Ce ()= + C e 0

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014 Maemaik A Sudenereksamen Forberedelsesmaeriale il de digiale eksamensopgaver med adgang il inernee sx141-matn/a-0505014 Mandag den 5. maj 014 Forberedelsesmaeriale il sx A ne MATEMATIK Der skal afsæes

Læs mere

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004 DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies

Læs mere

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk Oversig Mes repeiion med fokus på de sværese emner Modul 3: Differenialligninger af. orden Maemaik og modeller 29 Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk 3 simple yper differenialligninger

Læs mere

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72.

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72. Bioeknologi 2, Tema 4 5 Kineik Kineik er sudier af reakionshasigheden hvor man eksperimenel undersøger de fakorer, der påvirker reakionshasigheden, og hvor resulaerne afslører reakionens mekanisme og ransiion

Læs mere

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver Newons afkølingslov løs ved hjælp af linjeelemener og inegralkurver Vi så idligere på e eksempel, hvor en kop kakao med emperauren sar afkøles i e lokale med emperauren slu. Vi fik, a emperaurfalde var

Læs mere

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og EPDEMER DYAMK AF Kasper Larsen, Bjarke Vilser Hansen Henriee Elgaard issen, Louise Legaard og Charloe Plesher-Frankild 1. Miniprojek idefagssupplering, RUC Deember 2007 DLEDG Maemaisk modellering kan anvendes

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock April 7, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C niveau, men dengang havde vi ikke

Læs mere

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente N O T A T Bankernes rener forklares af ande end Naionalbankens udlånsrene 20. maj 2009 Kor resumé I forbindelse med de senese renesænkninger fra Naionalbanken er bankerne bleve beskyld for ikke a sænke

Læs mere

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen Fysikrappor: Vejr og klima Maila Walmod, 13 HTX, Rosklide I gruppe med Ann-Sofie N Schou og Camilla Jensen Afleveringsdao: 30 november 2007 1 I dagens deba høres orde global opvarmning ofe Men hvad vil

Læs mere

FitzHugh Nagumo modellen

FitzHugh Nagumo modellen FizHugh Nagumo modellen maemaisk modellering af signaler i nerve- og muskelceller Torsen Tranum Rømer, Frederikserg Gymnasium Fagene maemaik og idræ supplerer hinanden god inden for en lang række emner.

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock July 27, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C nivea uden en præcis definiion. Funkionerne

Læs mere

Computer- og El-teknik Formelsamling

Computer- og El-teknik Formelsamling ompuer- og El-eknik ormelsamling E E E + + E + Holsebro HTX ompuer- og El-eknik 5. og 6. semeser HJA/BA Version. ndholdsforegnelse.. orkorelser inden for srøm..... Modsande ved D..... Ohms ov..... Effek

Læs mere

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel Kemiske reakionshasigheder 1 Simpel epidemimodel I en populaion af N individer er I() inficerede og resen

Læs mere

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE?

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? Af Torben A. Knudsen, Sud. Poly. & Claus Rehfeld, Forskningsadjunk Cener for Trafik og Transporforskning (CTT) Danmarks Tekniske Uniersie Bygning 115, 800

Læs mere

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003 RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Eferårssemesre 2003 Generelle bemærkninger Opgaven er den redje i en ny ordning, hvorefer eksamen efer førse semeser af makro på 2.år

Læs mere

Lidt om trigonometriske funktioner

Lidt om trigonometriske funktioner DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK TRIGNMETRISKE FUNKTINER EFTERÅRET 000 Lid m rignmeriske funkiner Funkinerne cs g sin De rignmeriske funkiner defines i den elemenære maemaik ved

Læs mere

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst Oversig Eksempler på hvordan maemaik indgår i undervisningen på LIFE Gymnasielærerdag Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk Sofskife og kropsvæg hos paedyr Vægforhold mellem

Læs mere

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST ENDOGEN VÆKST MAKRO 2 2. årsprøve Forelæsning 7 Kapiel 8 Hans Jørgen Whia-Jacobsen econ.ku.dk/okojacob/makro-2-f09/makro I modeller med endogen væks er den langsigede væksrae i oupu pr. mand endogen besem.

Læs mere

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation.

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation. comfor forrængningsarmaurer Lindab Comdif 0 Lindab Comdif Ved forrængningsvenilaion ilføres lufen direke i opholds-zonen ved gulvniveau - med lav hasighed og underemperaur. Lufen udbreder sig over hele

Læs mere

Undervisningsmaterialie

Undervisningsmaterialie The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan Alexis ielsen, Syddansk Universie Odense, Denmark Undervisningsmaerialie Ark il suderende og opgaver The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan

Læs mere

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011 Badevande 2010 Teknik & Miljø - Maj 2011 Udgiver: Bornholms Regionskommune, Teknik & Miljø, Naur Skovløkken 4, Tejn 3770 Allinge Udgivelsesår: 2011 Tiel: Badevande, 2010 Teks og layou: Forside: Journalnummer:

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4 Insiu for Maemaiske Fag Maemaisk Modellering 1 Aarhus Universie Eva B. Vedel Jensen 12. februar 2008 UGESEDDEL 4 OBS! Øvelseslokale for hold MM4 (Jonas Bæklunds hold) er ændre il Koll. G3 på IMF. Ændringen

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Efterspørgslen efter læger 2012-2035

Efterspørgslen efter læger 2012-2035 2013 5746 PS/HM Eferspørgslen efer læger 2012-2035 50000 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 Anal eferspurge læger i sundhedsudgifalernaive Anal eferspurge læger i finanskrisealernaive

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

1. Raketligningen. 1.1 Kinematiske forhold ved raketopsendelse fra jorden. Raketfysik

1. Raketligningen. 1.1 Kinematiske forhold ved raketopsendelse fra jorden. Raketfysik Rakefysik. Rakeligningen Rakeligningen kan udlede ud fra iulssæningen. Vi anager a vi har en rake ed asse (), Rakeen drives fre ved a der udslynges en konsan asse µ r. idsenhed µ -d/d ed hasigheden u i

Læs mere

Estimation af markup i det danske erhvervsliv

Estimation af markup i det danske erhvervsliv d. 16.11.2005 JH Esimaion af markup i de danske erhvervsliv Baggrundsnoa vedrørende Dansk Økonomi, eferår 2005, kapiel II Noae præsenerer esimaioner af markup i forskellige danske erhverv. I esimaionerne

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie!

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie! FARVEAVL myer og facs Eller: Sådan får man en blomsre collie! Da en opdræer for nylig parrede en blue merle æve med en zobel han, blev der en del snak bland colliefolk. De gør man bare ikke man ved aldrig

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Øresund en region på vej

Øresund en region på vej OKTOBER 2008 BAG OM NYHEDERNE Øresund en region på vej af chefkonsulen Ole Schmid Sore forvenninger il Øresundsregionen Der var ingen ende på, hvor god de hele ville blive når broen blev åbne, og Øresundsregionen

Læs mere

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud En-dimensionel model af Sprce dworm dbrd Kenneh Hagde Mandr p Niel sen o g K asper j er ing Søby Jensen, ph.d-sderende ved oskilde Universie i hhv. maemaisk modellering og maemaikkens didakik. Maemaisk

Læs mere

Formler for spoler. An English resume is offered on page 5.

Formler for spoler. An English resume is offered on page 5. An English resume is offered on page 5. Ledere En leder har ved lave frekvenser en inern selvindukion L 1 som følge af fele inde i lederen, men srømmen løber kun i de yderse,5 mm ved khz og,1 mm ved 1

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer Copenhagen Business School 2010 Kandidaspeciale Cand.merc.ma Prisfassæelse af fasforrenede konvererbare realkrediobligaioner Vejleder: Niels Rom Aflevering: 28. juli 2010 Forfaere: Mille Lykke Helverskov

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator Side 1/6 Kompak mikroprocessorregulaor Indbygningshus ih. DIN 43 700 Kor beskrivelse er en kompak mikroprocessorsyre opunksregulaor med fronrammemåle 96mm x 96mm. Alle re udførelser af regulaoren har e

Læs mere

8.14 Teknisk grundlag for PFA Plus: Bilag 9-15 Indholdsforegnelse 9 Bilag: Indbealingssikring... 3 1 Bilag: Udbealingssikring... 4 1.1 Gradvis ilknyning af udbealingssikring... 4 11 Bilag: Omkosninger...

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

ktion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1

ktion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1 Brugervejledning kion & insrukion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1 INDHOLD Indeks. 1: Beskrivelse 2: Insallaion 3: Programmering 4: Hvordan fungerer syringen 4.1 Toggle ermosa 4.2 1 rins ermosa 4.3 Neuralzone

Læs mere

Micrologic overstrømsrelæer 2.0 og 5.0

Micrologic overstrømsrelæer 2.0 og 5.0 Micrologic oversømsrelæer.0 og.0 Lær oversømsrelæe a kende Idenifikaion af oversømsrelæe Oversig over funkioner 4 Indsilling af oversømsrelæe 6 Indsillingsprocedure 6 Indsilling af Micrologic.0 oversømsrelæ

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Matematil projekt Bærbar

Matematil projekt Bærbar Maemaik Kursusopgave Bærbar -6-26 Maemail projek Bærbar Opgave A. For a finde ligningen for planen så skal jeg bruge e punk på planen, og normalvekoren for planen. Punke på planen, kan jeg finde fordi

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B Trekansberegning Udgave 7,0 3 5 00 Karsen Juul ee häfe indeholder den del af rekansberegningen som skal kunnes på -niveau i gymnasie (sx) og hf. Fra sommer 0 kräves mere. Indhold. real af rekan.... Pyhagoras'

Læs mere

CS Klimateknik ApS Tlf.: +45 38 88 70 70 DATA OG FAKTA. Luftbehandlingsenhed MultiMAXX New Generation. ... God luft til erhverv og industri

CS Klimateknik ApS Tlf.: +45 38 88 70 70 DATA OG FAKTA. Luftbehandlingsenhed MultiMAXX New Generation. ... God luft til erhverv og industri CS Klimaeknik ApS Tlf.: +45 38 88 7 7 DATA OG FAKTA Lufbehandlingsenhed MuliMAXX New Generaion... God luf il erhverv og indusri Enhedsbeskrivelse MuliMAXX Om dee kaalog Til vore kunder Med dee kaalog ønsker

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni DET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Øger Transarens Konkurrencen? - Teoreisk modellering og anvendelse å markede for mobilelefoni Bjørn Kyed Olsen Nr. 97/004 Projek- & Karrierevejledningen

Læs mere

GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER

GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER Geodæisk Insiu før og efer GIER GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER Sasgeodæ, dr. scien. Knud Poder 1 Beregningsopgave med konsekvenser 1.1 Opgaven I 1953 fik Geodæisk Insius afdeling GA1 en sørre beregningsopgave,

Læs mere

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008 Tjekkie Šěpán Vimr lærersuderende Rappor om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie Frankrig 15.12.-19.12.2008 Konak med besøgslæreren De indledende konaker (e-mail) blev foreage med de samme undervisere hvilke

Læs mere

Produktionspotentialet i dansk økonomi

Produktionspotentialet i dansk økonomi 51 Produkionspoeniale i dansk økonomi Af Asger Lau Andersen og Moren Hedegaard Rasmussen, Økonomisk Afdeling 1 1. INDLEDNING OG SAMMENFATNING Den økonomiske udvikling er i Danmark såvel som i alle andre

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 4. Rumgeometri

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 4. Rumgeometri Maemaikkens mserier - på e høj niveau af Kenneh Hansen 4. Rumgeomeri Hvordan kan o forskellige planer ligge i forhold il hinanden? 4. Rumgeomeri Indhold 4. Vekorer i rumme 4. Krdsproduke 7 4. Planer og

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk Vejdirekorae Side 1 Forsøg med modulvognog Slurappor Bilag 1E: Toalvæge og ryk Bilag 1E: Toalvæge og ryk Dee bilag er opdel i følgende dele: 1. En inrodukion il bilage 2. Resulaer fra de forskellige målesaioner,

Læs mere

Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder

Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder Opimal poreføljevalg i en model med inern habi nyefunkion og sokasiske inveseringsmuligheder Thomas Hemming Larsen cand.merc.(ma.) sudie Insiu for Finansiering Copenhagen Business School Vejleder: Carsen

Læs mere

Udlånsvækst drives af efterspørgslen

Udlånsvækst drives af efterspørgslen N O T A T Udlånsvæks drives af eferspørgslen 12. januar 211 Kor resumé Der har den senese id være megen fokus på bankers og realkrediinsiuers udlån il virksomheder og husholdninger. Især er bankerne fra

Læs mere

A. Valg af udførelsesmetode og materiel

A. Valg af udførelsesmetode og materiel A. Val af udførelseseode o aeriel I dee kapiel beskrives, vorledes ovedakivieerne udføres, sa vilke aeriel der benyes. I dee kapiel benyes der ænder. A.1 Val af raveaskiner I forbindelse ed val af askine

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2006. Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2006. Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peter Stephensen Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 26 Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peer Sephensen Juni 26 Indholdsforegnelse Forord...4 1. Indledning...6 2. Befolkningsfremskrivningsmodellen...8

Læs mere

Vækst på kort og langt sigt

Vækst på kort og langt sigt 12 SAMFUNDSØKONOMEN NR. 1 MARTS 2014 VÆKST PÅ KORT OG LANG SIGT Væks på kor og lang sig Efer re års silsand i dansk økonomi er de naurlig, a ineressen for a skabe økonomisk væks er beydelig. Ariklen gennemgår

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 29 Marianne Frank Hansen og Mahilde Louise Baringon Augus 29 Indholdsforegnelse Danmarks fremidige befolkning... 1 Befolkningsfremskrivning 29...

Læs mere

Danmarks Nationalbank

Danmarks Nationalbank Danmarks Naionalbank Kvar al so ver sig 3. kvaral Del 2 202 D A N M A R K S N A T I O N A L B A N K 2 0 2 3 KVARTALSOVERSIGT, 3. KVARTAL 202, Del 2 De lille billede på forsiden viser Arne Jacobsens ur,

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Eulers equidimensionale differentialligning

Eulers equidimensionale differentialligning Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Bilag 7 - Industriel overfladebehandling Bilag til Arbejdstilsynets bekendtgørelse nr. 302 af 13. maj 1993 om arbejde med kodenummererede produkter

Bilag 7 - Industriel overfladebehandling Bilag til Arbejdstilsynets bekendtgørelse nr. 302 af 13. maj 1993 om arbejde med kodenummererede produkter Bilag 7 - Indusriel ovfladebehandling Bilag il Arbejdsilsynes bekendgørelse nr. 302 af 13. maj 1993 om arbejde kodenume produk 7.1. Bilages område a. Påføring af maling og lak på emn på fase arbejdsplads

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

tegnsprog Kursuskatalog 2015

tegnsprog Kursuskatalog 2015 egnsprog Kursuskaalog 2015 Hvordan finder du di niveau? Hvor holdes kurserne? Hvordan ilmelder du dig? 5 Hvad koser e kursus? 6 Tegnsprog for begyndere 8 Tegnsprog på mellemniveau 10 Tegnsprog for øvede

Læs mere

Indekserede Obligationer

Indekserede Obligationer Insiu for Finansiering Cand. Merc. 3. emeser Lærer: vend Jacobsen Forfaere: Per Frederisen Torben Peersen Indeserede Obligaioner - En analyse af den implicie opions enise aspeer og anvendelsesmuligheder

Læs mere

Anvendelseseksempler ANVENDELSESEKSEMPLER 73 72 KAPITEL A. FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER. Ud fra tabellen udregner vi de 4 summer:

Anvendelseseksempler ANVENDELSESEKSEMPLER 73 72 KAPITEL A. FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER. Ud fra tabellen udregner vi de 4 summer: 7 KAPITEL A FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER Anvendelseseksempler Anvendelseseksempel A Udklækningsid for flueæg (Daa i dee eksempel sammer fra Pracical saisics for environmenal and biological scieniss

Læs mere

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne 1 Noa Afrapporering om danske underekser på nabolandskanalerne Sepember 2011 2 Dee noa indeholder: 1. Indledning 2. Baggrund 3. Rammer 4. Berening 2010 5. Økonomi Bilag 1. Saisik over anal eksede programmer

Læs mere

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst d. 02.11.2011 Esben Anon Schulz Baggrundsnoa: Esimaion af elasicie af skaepligig arbejdsindkoms Dee baggrundsnoa beskriver kor meode og resulaer vedrørende esimaionen af elasicieen af skaepligig arbejdsindkoms.

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Differentialligninger og nummeriske metoder. Thomas G. Kristensen 7. februar 2002

Differentialligninger og nummeriske metoder. Thomas G. Kristensen 7. februar 2002 Differentialligninger og nummeriske metoder Thomas G. Kristensen 7. februar 2002 1 INDHOLD 2 Indhold 1 Indledning 3 2 Definition af 1. og 2. ordens differentialligninger 3 2.1 1. ordens differentialligninger....................

Læs mere

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement Hovedopgave i finansiering, Insiu for Regnskab, Finansiering og Logisik Forfaer: Troels Lorenzen Vejleder: Tom Engsed Prisdannelsen i de danske boligmarked diagnosicering af bobleelemen Esimering af dynamisk

Læs mere

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer?

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer? Hvor bliver pick-up e af på realkrediobligaioner? Kvanmøde 2, Finansanalyikerforeningen 20. April 2004 Jesper Lund Quaniaive Research Plan for dee indlæg Realkredi OAS som mål for relaiv værdi Herunder:

Læs mere

Data og metode til bytteforholdsberegninger

Data og metode til bytteforholdsberegninger d. 3. maj 203 Daa og meode il byeforholdsberegninger Dee noa redegør for daagrundlage og beregningsmeoden bag byeforholdsberegningerne i Dansk Økonomi, forår 203.. Daagrundlag Daagrundlage for analysen

Læs mere

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13 Side 1 af 34 Tielblad Dao: 16. december 2004 Forelæser: Ben Dalum og Björn Johnson Vejleder: Ger Villumsen Berglind Thorseinsdoir Charloa Rosenquis Daniel Skogemann Lise Pedersen Maria Rasmussen Susanne

Læs mere

Lommeregnerkursus 2008

Lommeregnerkursus 2008 Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen Appendisk. Formel beskrivelse af modellen I dee appendiks foreages en mere formel opsilning af den model, der er beskreve i ariklen. Generel: Renen og alle produenpriser - eksklusiv lønnen - er give fra

Læs mere

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil?

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Hvor mege er de værd a kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Bjarke Jensen Rolf Poulsen 1 Indledning For den almindelig fordrukne og forgældede danske boligejer var 1. okober 2003 en god dag: Billigere

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Jakob Nielsen 27. november 2003 Claus Færch-Jensen Udkas pr. 27/11-2003 il: Equiy Premium Puzzle - den danske brik Resumé: Papire beskriver udviklingen på de danske

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Pensions- og hensættelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014

Pensions- og hensættelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014 Pensions- og hensæelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014 Indhold 1 Indledning 6 1.1 Lovgrundlag.............................. 6 1.2 Ordningerne.............................. 6 2 Risikofakorer

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Fulde navn: NAVIGATION II

Fulde navn: NAVIGATION II SØFARTSSTYRELSEN Eks.nr. Eksaminaionssed (by) Fulde navn: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachskippereksamen af 1. grad. Y1NAV2-1/02

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Hvor mange er der?

Hvor mange er der? A Familien Tal 9 0 Hvor mange er der? Tæl ing Læs hisorien om Familien Tal høj. Se lærervejledningen..-. Tæl analle af de vise ing og skriv, hvor mange der er. Tæl ing fra asken 0 Tæl ing fra klassen 9

Læs mere