MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger"

Transkript

1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sædvanlige Differenialligninger a b. udgave 004

2 FORORD Dee noa giver en indføring i eorien for sædvanlige differenialligninger. Der lægges især væg på løsningen af lineære differenialligninger med konsane koefficiener. Til løsning af differenialligningssysemer og sysemer med forsinkelse anvendes Laplaceransformaion. De forudsæes, a man har en viden svarende il noae Maemaiske Grundbegreber, sam a man har e elemenær kendskab il polynomier svarende il noae Komplekse al. Avancerede lommeregnere som Ti89 og maemakprogrammer som Maple kan le foreage beregninger med komplekse al, finde rødder i polynomier osv. Der vil derfor blive give eksempler på, hvorledes man kan foreage beregningerne med neop disse o regnemidler. De må dog beones, a hvis man ikke er i sand il a manipulere med simple uryk, bliver de næsen umulig a læse en eknisk eks eller forså e foredrag, hvori der indgår nogen maemaik. De er derfor vigig. a man manuel foreager beregningerne af enkle problemer. Dee er også nødvendig for a kunne forså og forolke udskriferne fra maemaikprogrammerne. De forudsæes, a man har rådighed over en maemaiklommeregner som eksempelvis Ti 89. Da man må forudse, a man senere vil skulle kunne anvende e egenlig maemaikprogram, som angives også nogle af ordrerne i programme Maple. En del eksempler er hene fra lærebogssyseme Bjarne Hellesen, Mogens Oddershede Larsen: Maemaik for Ingeniører. Jeg vil derfor gerne her benye lejligheden il a akke Bjarne Hellesen for mange års inspirerende samarbejde. Andre noer i samme serie er Maemaiske grundbegreber Giver en kor gennemgang af definiioner og regneregler for de mes almindelige reelle funkioner af. variabel, disses differeniaion og inegraion, Vekorer Indhold: ) Vekorer i plan og rum, ) Rumgeomeri (relaioner mellem punk, linie og plan) ) Kurver i plan give ved en parameerfremsilling Komplekse al Indhold: ) Rekangulær og polær form, eksponenialfunkion, ) Binom- og andengradsligning ) Opløsning af polynomier i fakorer og dekomponering Maricer og lineære ligninger Indhold: ) Regneregler for maricer, ) Lineære ligningssysemer, herunder løsning af overbesem ligningssysem Fourieranalyse Indhold: ) Reelle Fourierrækker, ) Fourierrækker på kompleks form, ) Fourierransformaion 4) Diskre Fourierransformaion Januar 005 Mogens Oddershede Larsen ii

3 Indhold INDHOLD Differenialligninger af. orden.... Indledning.... Numerisk løsning af. ordens differenialligning.... Differenialligninger, hvor de variable kan adskilles Den lineære differenialligning af. orden Eksempler på anvendelser af lineære differenialligninger af.orden... Differenialligninger af. orden Indledning Den homogene differenialligning af. orden med konsane koefficiener Den inhomogene differenialligning af. orden med konsane koefficiener... 5 Differenialligninger af n e orden Indledning Den lineære differenialligning af n e orden med konsane koefficiener Sysem af differenialligninger af 'e orden Indledning Numeriske meoder il løsning af sammenhørende differeialligninger af. orden Laplaceransformaion Indledning Laplace-ransformaion Laplaceransformaion af differenialkvoiener Enhedsrinfunkion Forsinkelsesregel Dirac s delafunkion Appendix 5.. Tabel over Laplaceransformerede Appendix 5.. Tabel over invers- Laplaceransformerede Opgaver Sikord iii

4 Sædvanlige differenialligninger Differenialligninger af. orden. Indledning Ved en sædvanlig differenialligning forsås en ligning, der indeholder en eller flere afledede af en uken funkion y(), og som vi ønsker a finde ud fra ligningen. Eksempelvis er ligningen + y () = sinen sædvanlig differenialligning. Orde sædvanlig beyder, a den ukene funkion er en funkion af variabel (i modsæning il de parielle differenialligninger, hvor den ukene funkion er af eller flere variable). Vi vil i dee noa kun se på sædvanlige differenialligninger, og de vil derfor i de følgende være underforsåe. Ved en differenialligning af. orden forsås en ligning, hvori der indgår en uken funkions. afledede, men ingen højere afledede. Differenialligningen + y () = sin er således af. d orden, mens y + y () = siner af anden orden. Mange fysiske problemsillineg fører il differenialligninger, hvor den uafhængige variabel vil være iden. Dee er begrundelsen for a funkionerne i dee noa er funkioner af (og ikke x) Ved en (parikulær) løsning il en differenialligning forsås en differeniabel funkion y () som er definere i e inerval I og i dee inerval *) ilfredssiller differenialligningen. Grafen for en løsning kaldes en løsningskurve eller en inegralkurve Mængden af samlige løsninger kaldes den fuldsændige løsning.. Eksempel. Radioakiv henfald Eksperimener viser, a e radioakiv sof henfalder med en hasighed der er proporional med dens mængde y() il e give idspunk. Vi har følgelig = ky() hvor k er en konsan. Vi anager i de følgende, a k = ) Lad C være en vilkårlig (arbirær) konsan. Vis, ved indsæelse, a y = Ce er løsning il differenialligningen. ) Tegn løsningskurverne i samme koordinasysem for C=, og 5 ) Find den løsning for hvilke de gælder, a il iden = 0 er sarmængden af de radioakive sof gram, dvs. y( 0) =. Løsning: ) Da y = Ce giver y = 0. e =0. y ses ved indsæelse, a y = Ce er en (parikulær) løsning il differenialligningen. ) Løsningskurverne besår af en skare af kurver svarende il forskellige værdier af C. Maple: plo([exp(-0.*),*exp(-0.*), 5*exp(-0.*)],=-..8); *) Vi vil alid forudsæe, a definiionsinervalle I er valg sørs mulig.

5 . Differenialligninger af. orden )Indsæes = 0 og y = i y = Ce fås = Ce C = Den ønskede (parikulære) løsning med begyndelsesbeingelsen y( 0) = er følgelig y = e k I eksempel. så vi, a der går neop én løsningskurve gennem ehver punk.. Dee gælder prakisk age alid for en differenialligning, der er brag på formen = f (, y). Man kan vise, a er S en åben sammenhængende mængde i y-planen, hvor f (, y) er koninuer og har en koninuer f pariel aflede med hensyn il y, så går der gennem ehver indre punk ( 0, y0) af S én og kun én y løsningskurve il differenialligningen = f (, y). Koninuie besemmes som ved funkioner af en variabel. Eksempelvis er f (, y) = cos( 5y ) koninuer i hele y- planen, ide ( 5y koninuer koninuer ) 5 koninuer cos koninuer cos( 5y ) koninuer.. Numerisk løsning af. ordens differenialligning. I de følgende berages en. ordens differenialligning, der er brag på formen = f(, y). De er ofe umulig a angive eksake uryk for y(). Imidlerid kender man jo i ehver punk (, y) differenialkvoienen, og de kan man udnye il gennem e sor anal punker a egne e kor liniesykke med den kene hældning (kaldes linielemene i punke.. Dee vil så give os e inryk af løsningskurvernes udseende.

6 Sædvanlige differenialligninger Eksempel.. Grafisk løsning af differenialligning Lad der være give differenialligningen = y+. ) Tegn i e koordinasysem linielemenerne gennem punkerne (, y)=(-, 0), (, y) = (0, ) og (, y) = (, ) ) Tegn ved hjælp af e edb - program e sor anal linielemener, og skiser på basis heraf løsningskurven gennem punke (0,) ) Ud fra figuren synes en besem løsning ydelig. Angiv funkionsurykke for denne løsning, og vis ved indsæelse i differenialligningen a denne er en løsning.. Løsning: ) Vi har ide α er hældningskoefficienen: (, y, α) = ( 0,, ), (, y, α) = ( 0,, ), (, y, α) = (,, ), Linielemenerne ses på figuren il højre. ) Tegnes e sor anal linielemener fås figuren il højre ) En re linie med ligningen y =synes a være en løsning. Dee vises ved indsæelse i differenialligningen = y+. Da = ( ) + 0= 0, er påsanden bevis.

7 . Differenialligninger af. orden Som eksempel. viser, kan linielemenerne give e umiddelbar inryk af løsningskurvernes forløb. Ønsker man en abel over en løsning besem ved begyndelsesbeingelsen ( 0, y0), sker de mere præcis ved ud fra punke ( 0, y0 ) a beregne e ilnærme nabopunk (, y) ud fra dee e ny punk (, y) osv. Eulers meode. Eulers meode bygger på, a man ud fra begyndelsespunke ( 0, y0) beregnes de næse punk (, y ) ved a følge angenen i P 0. Ud fra punke (, y ) beregnes de næse punk (, y) ved a følge angenen i P., osv. (se figur.) Fig.. Eulers meode Fig.. Beregning af k Lad der være give differenialligningen = f (, y) med begyndelsesbeingelsen ya ( ) = y 0 I figur. går vi fra de i'e punk P (, y ) il de næse punk P = (, y ) ved a følge i i i angenen i P i. Denne angen har hældningskoefficienen i P i har derfor ligningen y y = f (, y ) ( ) i i i i = f (, ) i+ i+ i+ y i i punke P i. Tangenen Indsæes = + fås y = y + f (, y ) ( ). Ud fra koordinaerne il punke i i+ i i i i+ i P = (, y ) kan vi så på ilsvarende måde finde koordinaerne il næse punk,. i+ i+ i+ [ ] Ønsker man a lave en abel over løsningen i e inerval a, b, vil man sædvanligvis gøre de b a ved a Inervalle opdeles i n delinervaller med samme længde h = n (se figur.). Indsæes i+ = i + h i yi+ = yi + f ( i, yi) ( i+ i) fås yi+ = yi + f ( i, yi) h. Sæes for korheds skyld k = f ( i, yi) h får vi, a Pi+ = ( i+, yi+ ) = ( i + h, yi + k) Eulers meode kan sammenfaes i følgende algorime: b a h =, n 0 = a k = h f ( i, yi) ilnærme yilvæks Genag for i = 0,,,.,, n i = i + h + næse værdi yi+ = yi + k næse y værdi 4

8 Sædvanlige differenialligninger På grund af den ringe nøjagighed kan Eulers meode ikke anbefales il prakisk brug. En væsenlig mere nøjagig meode er Runge-Kua meode af 4. orden Algorimen for Runge Kua af 4. orden: b a h =, 0 = a n k = h f ( i, yi) h k k = h f i +, y i + h k k = h f y i = n i +, i + Genag for 0,,,.,, k4 = h f ( i + h, yi + k) i+ = i + h næse værdi yi+ = yi + ( k+ k + k+ k4) næse y værdi 6 Eksempel.. Numerisk løsning af differenialligning Lad der være give differenialligningen = y+, y(0) =, [ 0 ;] ) Ved anvendelse af Eulers meode skal der beregnes punker svarende il en skrilængde på h =, og på h =. ) Beny lommeregnerens Euler program il a finde y() med en skrilængde på 0.5. ) Beny lommeregnerens Runge-Kua program il a finde y() med en skrilængde på ) Beny Maple il a finde y() med en skrilængde på 0.5. Løsning: Sarpunke for algorimen er ( 0, y0) = ( 0, ) ) h =. Hele inervalle [,] 0 gennemløbes i é skri: k = h f (,) 0 = ( + 0) = = + h = 0+ =, y = y + k = + = 0 0 h =. Hele inervalle [,] 0 gennemløbes i o skri: k = h f (,) 0 = ( + 0) = = + h = 0+ =, y = y + k = + = 0 0 k = h f (,) = ( + ) = = + h= + =, y = y + k = + = 5 ) MODE, GRAPH = Diff.Equaions, ENTER, Y= +y ENTER. yi = Bemærk: y ikke y, og gange skal skrives som * Windows, 0 =0, max =, TSTEP =0.5, plo=0,xmin =0, XMAX=,... YMIN =, YMAX=4, osv.enter., Graph, Man får egne en kurve. Tabellering: (Graph Forma), Axes on, Labels on, Soluion Mehods, Euler, Fields = Fldiff, ENTER Caalog, Blddaa ENTER, skriv euler, ENTER APPS,Daa-Marix, NEW, Variable=eul, APPS,Daa-Marix, Curren Der fremkommer en marix y() ) Som i spørgsmål, men i Graph Forma vælges som Soluion Mehods RK fremfor Euler y()

9 . Differenialligninger af. orden 4) I programme Maple udføres en mege nøjagig numerisk løsning ved ordrerne: g:= dsolve( {diff(y(),) = +y(), y(0)=},y(), numeric, oupu= array( [0,0.5,,.5,] ) ); Resulae bliver [, y() ] 0.. g := I eksempel. ser vi som vene, a Runge- Kua ligger æes ved de rigige resula, selv om vi kun havde anven en skrilænge på 0.5, Med Euler skulle man have anven en mege mindre skrilængde for a få e go resula. Probleme vil så være, a afrundingsfejlene ved så mange beregninger kan bevirke, a resulae alligevel ikke bliver så nøjagig.. Differenialligninger hvor de variable kan adskilles. Vi vil i dee afsni berage en differenialligning af ypen = f () g( y) dx Sæning. (Adskillelse af de variable) Lad f() være koninuer i e inerval I og lad g(y) være koninuer og forskellig fra 0 i e inerval J. Der gælder da: y() er en løsning il = f () g( y) y() er en løsning il dx gy = ( ) f () Bevis: Lad y = h() være en løsning il den givne differenialligning. Vi har nu = f () g( y) = f () da g( y) 0 dx gy ( ) dx = f () h () = f () da y = h() gy ( ) dx gh ( ( )) h () = f () h () = f () + C er o funkioner ens er deres gh ( ( )) gh ( ( )) samfunkioner ens pånær en konsan h () = f () + C = f () + C inegraion ved sunsiuion, ide vi gh ( ( )) gy ( ) sæer y = h() og = h () I de specielle ilfælde, hvor gy ( ) = 0 for y = a er, og man ser derfor, a dx = 0 = f () g( y) 0= f () 0. dx y = a er derfor en reline løsning il differenialligningen. 6

10 Sædvanlige differenialligninger Meoden huskes lees ved a man opfaer som en brøk. dx Man samler al med y på vensre side af lighedsegne og al med på højre side (adskiller de variable), og så inegrerer på begge sider. = f () g( y) = f + C dx gy ( ) () I praksis er man ofe kun ineressere i en (parikulær) løsning, som opfylder en begyndelsesbeingelse y ( ) = y dvs. il iden 0 skal funkionsværdien være y Er gy ( 0 ) 0 kan en løsning gennem ( 0, y0 ) findes ved a indsæe ( 0, y0) i løsningen il differenialligningen og besemme C. Er man ikke ineressere i samlige løsninger, men kun i en parikulær løsning gennem (, y ) kan man finde denne direke af y y gy ( ) = 0 0 Meoden illusreres ved følgende eksempel: f () 0 0 Eksempel.4. Adskille variable ) Find samlige løsninger il differenialligningen =4( y4) ) Find og skisér de løsningskurver, som går gennem henholdsvis (, y ) = (,) 0 og (, y ) = (,) 4. Løsning: ) Forudsæes y4 0 y 4 kan de variable i differenialligningen adskilles: Ved inegraion fås: C y C y e y = 4 + ln 4 = = y 4 = e e C y 4= ± e e y = 4+ Ke hvor + C C K = ±, dvs. K 0 y = 4: Ved indsæelse i differenialligningen ses. a den ree linie y = 4 er løsning 0 ) Indsæes (, y ) = (,) 0 fås = 4+ Ke K = y = 4e Da (, y ) = (,) 4 e C ligger på linien y = 4 er denne løsningen. y 4 = De ses. a kurven for y = 4e er symmerisk omkring = 0,har e minimum i punke (0.) og har linien y = 4 som asympoe 7

11 . Differenialligninger af. orden y = 4 e Ti 89: ) desolve(y =-4**(y-4),,y) Resula: y = C e + 4 ) desolve(y =-4**(y-4) and y(0)=,,y) Resula: y = 4 e and findes under MATH, Tes Tegning: MODE, GRAPH = FUNCTION, ENTER, Y= -4*x*(y-4) ENTER. Indsil Window på passende værdier og ryk på Graph Maple: dsolve(diff(y(),)=-4**(y()-4),y()); L:=dsolve({diff(y(),)=-4**(y()-4),y(0)=},y()); y:=unapply(rhs(l),); plo(y(),=-..); 8

12 Sædvanlige differenialligninger Eksempel.5. Anvendelse i reakionskineik ) Opsilling af differenialligning. Lad A og B være o soffer, der reagerer med hinanden efer reakionsligningen A+ B produker produker. Koncenraionerne af A og B il iden beegnes henholdsvis C A og C B [mol/lier]. Ide der pr. idsenhed dc forsvinder lige mange mol af A og B, må der gælde A dc = B CA = CB + konsan. (4) dc Endvidere anages processen a følge den simple hasighedslov: A =k CA CB (5) hvor k = + er en "hasighedskonsan" ( k afhænger af iden som følge af, a emperauren ændrer sig). Lad koncenraionen af A og B il iden = 0 være C A0 > 0 og C B0 > 0 og lad CA0 CB0 = Heraf følger, a CA0 = + CB0 > Ifølge ligning (4) vil der da il enhver id 0 gælde CA CB = CB = CA Vi får derfor ved indsæelse i (5), a dca = CA ( CA ) + Ersaes for korheds skyld C A med y og C A0 med y 0, bliver probleme a finde den løsning il differenialligningen = ( y ( y ), der går gennem punke (, y) = (, 0 y) og hvor > 0, y > og + 0 y 0 > Løsning af differenialligning. Ved a separere de variable (alernaiv meode) fås y = y yy ( ) Ved hjælp af Ti89 (eller Maple) fås = ln y ln y yy ( ) Vi har derfor y y = [ ln y ln y ] = [ ln + ] y yy ( ) + y Da > 0, y > og y 0 > fås y [ ] [ ] ln y ln y = ln + ln( y ) ln y (ln( y ) ln y ) = ln( + ) y y y + + ln ln 0 ln( ) = ln( + ) = e = ( + ) e y y0 y y0 y y0 y = ( + ) e y0 Tolkning af løsning. Ersaes y med C A og y 0 med C A0 fås CA = e C ( + ) A0 De ses, a C A eferhånden afager mod, i overenssemmelse med a A reagerer med B, således a B eferhånden bliver næsen hel opbrug. 9

13 . Differenialligninger af. orden.4. Den lineære differenialligning af. orden. Ved en lineær differenialligning af førse orden forsås en differenialligning der kan skrives på formen + p () y () = q () hvor p() og q() er funkioner af Beegnelsen "lineær" sammer fra, a de "ukene sørrelser" sørrelser" x og y indgår i en re linies ligning. og y() indgår på lignende måde, som de "ukene Ide vi forudsæer, a funkionerne p og q er koninuere i e inerval I, gælder følgende sæning: Sæning. (lineær differenialligning af. orden). Samlige løsninger il differenialligningen + p () y () = q (), I p() p() p() er da give ved y () = e qe () + Ce, hvor C er en vilkårlig (arbirær) konsan. (formlen kaldes populær for panserformlen da den er pansre i inegralegn ) Bevis: Lad P() være en samfunkion il p(). y + p y = q y + p y e P () P () () () () () () () () = q() e [ ] Mulplikaion med e P () P () qe P () () () [ ] ye = P () P () P () P () P () y () e = q () e + C y () = e q () e + Ce Omskrivning(ses ved a differeniere ) Inegraion og division med e P () Panserformlen er re komplicere, så man forerækker ofe følgende omskrivning: Sæning. (lineær differenialligning af. orden). Samlige løsninger il den inhomogene differenialligningen + p () y () = q (), I er give ved y () = y () + C y (), hvor C er en vilkårlig (arbirær) konsan. p h p () hvor yh () = e er en løsning il den homogene differenialligning + p () y () = 0 og q () yp() = yh() er en (parikulær) løsning il den inhomogene differenialligning, y () h p () Bevis: Indsæes q ()= 0 i panserformlen fås y () = C yh(), hvor yh() = e Derefer er formlen blo en indsæning af yh () i panserformlen Hvis q() er en sum af flere led, vil man ofe for overskuelighedens skyld berage differenialligninger svarende il hver led for sig (jævnfør de følgende eksempel). 0

14 Sædvanlige differenialligninger Eksempel.6. Lineær. ordens differenialligning ) Find samlige løsninger il differenialligningen + y () = e +, > 0. ) Find den løsning, der opfylder begyndelsesbeingelsen y() = Løsning: ) Førs normeres differenialligningen ved division med : y e y + = + + = e () () + Homogen løsning:. + y = () 0 yh e ln () = = e = a) Parikulær løsning il y + = e () q. y y e () e p() = h() = = e = yh () b) Parikulær løsning il + y = () q () yp() = yh() = = = = yh () 4 4 Fuldsændig løsning il + y = e + y e ()= + + C 4 () 4 = e 8 C ) Begyndelsesbeingelsen y() = giver = e + + C = e 4 Den søge parikulære løsning er alså y e ()= e. Ti89:MATH, Calculus, desolve(* y +y=e^(-/*)+^,,y) e 4 ( + C) e 8 Resula: y= y (som kan omskrives il samme resula som før. 4. MATH, Calculus, desolve(* y +y=e^(-/*)+^ and y()=,,y) Resula ser igen anderledes ud, men kan omskrives. 4 e + + _C 4 Maple: dsolve(*diff(y(),)+y()=exp(-/)+^,y()); y( ) =

15 . Differenialligninger af. orden.5. Eksempler på anvendelse af lineære differenialligninger af. orden. Eksempel.7 Reguleringseknik Skal man dæmpe voldsomme svingninger af e sof A i en srøm, benyes i reguleringseknik bl.a. én eller flere anke som opløsningen pumpes igennem. Dee eksempel er e regneeknisk simpel eksempel herpå. Figuren viser en ank, hvori der foregår en opblanding af e sof A. Koncenraionen c() [kga/m ] i anken er en funkion af iden. Syseme sares il iden = 0, og c(0) = 0. ) Opsil en differenialligning hvoraf man kan finde c() for alle 0. ) Løs differenialligningen og find c ( ) i ilfælde c(0) = 0. Løsning: ) For anken opsilles balancen: IND + PRODUCERET = UD + AKKUMULERET. som e differeniel regnskab over, hvor mange on A der passerer ind og ud af søen i e idsinerval [ ; + ] a) IND: Da ilførelseshasigheden il idspunke er [m /min] og koncenraionen af A er [kga/m ] vil der i løbe af iden blive ilfør [kg A]. b) PRODUCERET: Der vil ikke blive producere A i søen. c) UD: Da koncenraionen i anken il idspunke er c() [kg A/m ] og fraløbe er [m /min] vil der i løbe af iden forsvinde c () [kg] fra anken. d) AKKUMULERET: Til iden er den oale mængde A i søen c () [kg ]. I løbe af de infiniesimale idsrum vil der i søens oale A - indhold ske en differeniel ændring d( 4 c( )). Balanceligningen bliver alså + 0= c() + d( 4 c()) Ved division med fås differenialligningen 6= c + 4 dc 4 dc () + c () = 6 dc dc ) 4 + c () = 6 + c () = 4 dc 075. Homogen løsning: c ( ) = 0 ch ( ) = K e e Parikulær løsning: cp () = e = e 5. e = e. = 075. e Fuldsændig løsning: c () = K e +. Indsæes c( 0 ) = 0 fås 0= K+ K = c () = e 075. Bemærk, a løsningen il den homogene ligning alene afhænger af sysemes konsaner, mens inpu alene indgår i den parikulære løsning. Havde inpu således li mere realisisk være periodisk f.eks. være 5 cos( ) [kg A/m ] ville kun 075.

16 Sædvanlige differenialligninger dc differenialligningens højre side have ændre sig, dvs. 4 + c () = 5cos( ). Eksempel.8. Elekrisk kredsløb Dee eksempel er hene fra læren om elekriske kredsløb. I sådanne kan forekomme følgende elemener: Navn Symbol Noaion Enhed Spændingsforskel Ohms modsand R Ohm Ri Indukor, spole H (henry) L di Kondensaor, Kapacior C F (Farad) Q = C C i () 0 Lad os berage følgende RL- kredsløb, hvor L = 0. Henry, R = 5 ohm or e 5 vol baeri giver den elekromooriske kraf.lad endvidere i(0) = 0. ) Opsil en differenialligning hvoraf man kan finde i() for alle 0. ) Løs differenialligningen og find i() i ilfælde i(0) = 0. Løsning: ) Spændingsfalde over modsanden er R i, og spændingsfalde over spolen er L di. Summen af de o spændingsfald er lig den elekromooriske kraf E(), dvs. L di + Ri = E() di Indsæes de givne al fås i =

17 . Differenialligninger af. orden ) di di i = + 50 i = 0 Homogen løsning: di i = 0 ih () = Ce Parikulær løsning: ip () = e = 0e e = = e di i = i() =. 4 + Ce Indsæes i(0) = 0 fås: 0= 4. + C C = 4.. di + 50i = i() =. 4 + Ce Bemærk, a løsningen il den homogene ligning alene afhænger af sysemes konsaner, mens inpu alene indgår i den parikulære løsning. Havde inpu således være en påryk periodisk elekromoorisk kraf E0 sin( ω ) ville de kun være differenialligningens højre side der ville have ændre sig. 50 4

18 . Differenialligninger af. orden. Differenialligninger af. orden..indledning Vi vil i dee kapiel begrænse os il a se på lineære differenialligninger af. orden, dvs. d y differenialligninger af ypen p q y r, hvor funkionerne p(), q() og r() + () + () () = () anages koninuere i e inerval I. d y Eksempelvis er + + 6y() = sin() en lineær differenialligning af. orden, Eksempel. (differenialligning af. orden). Find den fuldsændige løsning il differenialligningen d y =, > 0 Løsning: dx d y dx x () =, =, indsæes i differenialligningen, og vi får. x () = Denne lineære differenialligning af. orden kan løses efer meoden i afsni.4. Homogen løsning: dx x x h e e ln () = 0 = = = Parikulær løsning: q () xp() = xh() = x () = Vi har derfor: = x () = + C som ved inegraion giver y() = ( + C) + C y() = + C + C h I eksempel. fan vi, a den fuldsændige løsning indehol (arbirære) konsaner C og C. De kan vises a gælde generel, ide man kan vise følgende sæning (der anføres uden bevis): Sæning.. Lineær differenialligning af. orden. ) Lad f( ) og f () være o ikke proporionale løsninger il den homogene differenialligning d y + p () + qy () () = 0. I Samlige løsninger il den homogene differenialligning er da besem ved y () = C f() + C f(), hvor C og C er o vilkårlige reelle konsaner. ) Lad yp () være en parikulær løsning il den inhomogene differenialligning d y p, + () q y r + () () = () I 5

19 Sædvanlige differenialligninger Samlige løsninger il den inhomogene differenialligning er da besem ved y () = y () + C f () + C f (), hvor C og C er o vilkårlige reelle konsaner. p Eksempel. (illusraion af sæning.). ) Vis, a y ()= C og y ()= C er o ikke proporionale løsninger il den homogene d y differenialligning = 0, > 0 ) Vis, a y ()= er (parikulær) løsning il den inhomogene differenialligning d y =, > 0 ) Angiv den fuldsændige løsning il differenialligningen d y =, > 0 Løsning: ) Da y()= Cikke er lig med en konsan gange med y()= C er funkionerne ikke proporionale. Indsæes y()= C, y = y d y () () = 0 i =0, fås 0 = 0. Indsæes y()= C, y = C y d y (), () = C i =0, fås C C = 0 0 = 0. Heraf ses, a y()= Cog y()= C er o ikke proporionale løsninger il den homogene differenialligning ) Indsæes y ()=, y = y d y (), () = 6 i =, fås 6, = 0 = 0 dvs. y ()= er løsning il den inhomogene differenialligning ) Af sæning. følger da, a den fuldsændige løsning er y ()= + C + C (svarende il løsningen i eksempel.) Da urykke for samlige løsninger indeholder neop konsaner C og C, skal der o beingelser il a faslægge en besem løsning. De mes almindelige er, a benye såkale begyndelsesbeingelser, hvor man udover for en besem værdi 0 a faslægge y ( 0 ) også faslægger hældningskoefficienen y ( 0 ). Man kan vise, a sådanne begyndelsesbeingelser enydig faslægger løsningen. 6

20 Eksempel.. Løsning il differenialligning. Differenialligninger af. orden d y Lad der være give differenialligningen : =, > 0 (jævnfør eksempel.) Vi ønsker a besemme den løsning y (), der opfylder begyndelsesbeingelsen y() =, y () = 0 Løsning: Fra eksempel. er den fuldsændige løsning y ()= + C + C. Indsæes begyndelsesbeingelsen haves: = + C + C C + C = 0 = ( C, C ),. y ()= + 0= + C C = Løsningsmeoden i eksempel. kan kun anvendes i de ilfælde, hvor den lineære differenialligning ikke indeholder for differenialligninger af ypen + p () = 0. d y Dee er også mulig for visse andre yper lineære differenialligninger af anden orden, men generel er de imidlerid ikke mulig a angive en løsningsmeode, der som panserformlen urykker løsningen ved formler indeholdende inegraler. De må i sådanne ilfælde anbefales eksempelvis a anvende e program som Maple, og håbe på, a den kan løse probleme. Som de følgende afsni viser, er de imidlerid forholdsvis le a angive en løsningsmeode for den ved anvendelserne vigigse ype differenialligninger. Den homogene lineære differenialligning af. orden med konsane koefficiener. Differenialligningen A d y + B + Cy() = 0 A 0 () dx dx siges a være homogen og lineær med konsane koefficiener A, B, C. Da en eksponenialfunkion opråe i løsningen il den homogene lineære differenialligning af. orden, er de naurlig a søge en løsning af ypen y ()= e λ hvor λ er en konsan. λ λ λ Indsæes y () = e, y () = λe, y () = λ e i differenialligningen (), fås λ λ λ λ Aλ e + Bλe + Ce = 0 e Aλ + Bλ+ C = 0 Aλ + Bλ+ C = 0 (da e λ 0 ) ( ) 7

21 Sædvanlige differenialligninger Funkionen y ()= λ er alså en løsning il differenialligningen, hvis og kun hvis λ er en rod e i den såkale karakerligning Aλ + Bλ+ C = 0. B B 4 AC B D Da Aλ + Bλ+ C = 0 λ = ± λ = ±, hvor D= B 4 AC A A bliver løsningerne afhængige af om : D > 0 : To reelle rødder D = 0 : En reel dobbel rod D < 0: To komplekse rødder Sæning. (løsning il homogen differenialligning med konsane koefficiener). Den lineære homogene differenialligning med konsane koefficiener A d y + B + Cy() = 0 A 0, A, B, C er reelle al. () dx dx har karakerligningen Aλ + Bλ+ C = 0, med diskriminanen D= B 4 AC Der gælder da: Rødder i karakerligning. Fuldsændig løsning il () D > 0: To reelle rødder λ og λ, hvor λ λ λ y () = Ce + Ce λ D = 0: En reel dobbelrod λ λ y () = Ce + C e λ D < 0: To komplekse rødder r± iω r r y () = Ce cos( ω) + C e sin( ω) r eller y () = K e cos( ω+ ϕ ) r eller y () = K e sin( ω+ ϕ ) C, C,K og ϕ er reelle vilkårlige (arbirære) konsaner. K = C + C ( C C ) ϕ ( C C ) ϕ = arg,, = arg,, ϕ ϕ Bevis: I alle ilfælde, er den fuldsændige løsning af ypen y () = Cf() + C f(). Ifølge sæning. er de ilsrækkelig, ved indsæelse i differenialligningen, a vise, a de o funkioner f( ) og f () opfylder ligningen (),og a de ikke er proporionale. 8

22 . Differenialligninger af. orden I: D > 0 To forskellige reelle rødder. Af udledningen af karakerligningen ses, a y()= e λ λ og y()= e er o forskellige løsninger il λ differenialligningen. Da de o funkioner ikke er proporionale er y Ce λ () = + Ce den fuldsændige løsning il differenialligningen. II: D = 0.To ens reelle rødder. Lad dobbelroden være Af udledningen af karakerligningen følger, a y( )= e λ er en løsning il λ = B A λ y ()= e differenialligningen. For a vise, a er en løsning indsæes λ y( )= e, y () = λ e λ + e λ = e λ ( λ + ) og y λ ( ) λ λ e e e ( ) () = λ λ + + λ = λ λ + i (): ( ) λ λ λ λ λ A( λ e ( λ + ) + B e ( λ + ) + C e = 0 e Aλ + Bλ + C + ( Aλ + B) e = = λ Aλ + B = 0 λ = B A Da Aλ Bλ C 0 (fordi er rod i karakerligningen) og (da ) λ ses, a y ()= e er løsning il () Da funkionerne y( )= e λ λ og y ()= e ikke er proporionale følger af sæning. a den fuldsændige løsning il differenialligningen er λ y Ce ()= λ + C e Man kan undre sig over hvorledes man førse gang har gæe, a den anden løsning er y( )= e λ. De kunne være ske ved, a man opfaer dobbelroden som o nærliggende rødder λ + λ og λ og derpå lade λ 0 ( λ+ λ) λ Samlige løsninger er y () = Ce + Ce. Sæes C = og C = ( λ+ λ) λ e e, fås y () = λ λ λ λ df f ( λ + λ, ) f ( λ, ) d f de Da er definere ved for λ 0 fås y () = e λ for λ 0 d λ λ d λ dλ De er derfor nærliggende a formode, a urykke y( )= e λ er en løsning il differenialligningen. III: D < 0: To komplekse rødder. Karakerligningen har de o komplekse rødder r± iω. y () ( e r + i ω ) ( = og y e r i ω ) () = er da komplekse ( r+ iτω ) r r løsninger il (). Da e = e cos( ω) + ie sin( ω) er de rimelig a anage, a realdel og imaginærdel hver for sig er reelle løsninger il (). Ved indsæelse i ligning () ses (beregningen udfør nedenfor), a de er løsninger, og da de o funkioner ikke er r r proporionale, er den fuldsændige løsning: y () = Ce cos( ω) + Ce sin( ω) y e r r () = cos( ω), y () = e r cos( ω) ω sin( ω) Beregning: ( ) r ( ) ( cos( ω ) ω sin( ω ) ω sin( ω ) ω cos( ω )) ( ( ω ) cos( ω ) ωsin( ω ) cos( ω ) ωsin( ω ) cos( ω )) ( Ar ( ω ) B r C) cos( ω) ω( A r B)sin( ω) 0 y = e r r r indsæes i () r e A r A r + B r B + C = = Vi har λ = B± i D = ± ω = B r i r ω = D A A 4 A 9

23 Sædvanlige differenialligninger B Heraf fås, a r = B D B A r + B= 0 og Ar ( ) + B r+ C= A B C A A A + ω + A B ( ( B 4 AC) = + = + + = A BA C B C B 4 4A A C 0 Hermed ses, a r y( ) = e cos( ω) er løsning il (). På ilsvarende måde ses, a r y( ) = e sin( ω) er løsning il (). Ifølge addiionsformlerne fås: r r r Ke cos( ω + ϕ) = Ke (cos( ω) cos( ϕ) sin( ω) sin( ϕ)) = e ( Ccos(( ω) + Csin( ω) ) hvor C = Kcos( ϕ) C = Ksin( ϕ), Heraf ses, a r y( ) = Ke cos( ω + ϕ) er løsning il (). På ilsvarende måde ses, a r y () = Ke sin( ω + ϕ ) er løsning il (). Endvidere følger heraf omregningen mellem C, C og K, ϕ Eksempel.4. Homogen lineær differenialligning med konsane koefficiener ) Find samlige løsninger il differenialligningen d y + 6y () = 0 ) Find samlige løsninger il differenialligningen d y + y () = 0 ) Find samlige løsninger il differenialligningen d y 4 + 0y () = 0, sam den pari- kulære løsning, der opfylder begyndelsesbeingelserne y(0)= - og y () 0 = r r Løsningen ønskes angive på såvel formen Ce cos( ω) + Ce sin( ω) som på formen Ke ω + ϕ ) Løsning: ) Karakerligningen: λ + λ 6= 0 λ = ± ( ) λ = ± λ = λ = Samlige løsninger: y Ce ()= + Ce ± 4 λ λ+ = 0 λ = ) Karakerligningen: λ = λ = Samlige løsninger: y Ce ()= + C e 0

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72.

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72. Bioeknologi 2, Tema 4 5 Kineik Kineik er sudier af reakionshasigheden hvor man eksperimenel undersøger de fakorer, der påvirker reakionshasigheden, og hvor resulaerne afslører reakionens mekanisme og ransiion

Læs mere

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og EPDEMER DYAMK AF Kasper Larsen, Bjarke Vilser Hansen Henriee Elgaard issen, Louise Legaard og Charloe Plesher-Frankild 1. Miniprojek idefagssupplering, RUC Deember 2007 DLEDG Maemaisk modellering kan anvendes

Læs mere

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente N O T A T Bankernes rener forklares af ande end Naionalbankens udlånsrene 20. maj 2009 Kor resumé I forbindelse med de senese renesænkninger fra Naionalbanken er bankerne bleve beskyld for ikke a sænke

Læs mere

FitzHugh Nagumo modellen

FitzHugh Nagumo modellen FizHugh Nagumo modellen maemaisk modellering af signaler i nerve- og muskelceller Torsen Tranum Rømer, Frederikserg Gymnasium Fagene maemaik og idræ supplerer hinanden god inden for en lang række emner.

Læs mere

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel Kemiske reakionshasigheder 1 Simpel epidemimodel I en populaion af N individer er I() inficerede og resen

Læs mere

Computer- og El-teknik Formelsamling

Computer- og El-teknik Formelsamling ompuer- og El-eknik ormelsamling E E E + + E + Holsebro HTX ompuer- og El-eknik 5. og 6. semeser HJA/BA Version. ndholdsforegnelse.. orkorelser inden for srøm..... Modsande ved D..... Ohms ov..... Effek

Læs mere

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud En-dimensionel model af Sprce dworm dbrd Kenneh Hagde Mandr p Niel sen o g K asper j er ing Søby Jensen, ph.d-sderende ved oskilde Universie i hhv. maemaisk modellering og maemaikkens didakik. Maemaisk

Læs mere

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer Copenhagen Business School 2010 Kandidaspeciale Cand.merc.ma Prisfassæelse af fasforrenede konvererbare realkrediobligaioner Vejleder: Niels Rom Aflevering: 28. juli 2010 Forfaere: Mille Lykke Helverskov

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator Side 1/6 Kompak mikroprocessorregulaor Indbygningshus ih. DIN 43 700 Kor beskrivelse er en kompak mikroprocessorsyre opunksregulaor med fronrammemåle 96mm x 96mm. Alle re udførelser af regulaoren har e

Læs mere

GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER

GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER Geodæisk Insiu før og efer GIER GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER Sasgeodæ, dr. scien. Knud Poder 1 Beregningsopgave med konsekvenser 1.1 Opgaven I 1953 fik Geodæisk Insius afdeling GA1 en sørre beregningsopgave,

Læs mere

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni DET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Øger Transarens Konkurrencen? - Teoreisk modellering og anvendelse å markede for mobilelefoni Bjørn Kyed Olsen Nr. 97/004 Projek- & Karrierevejledningen

Læs mere

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008 Tjekkie Šěpán Vimr lærersuderende Rappor om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie Frankrig 15.12.-19.12.2008 Konak med besøgslæreren De indledende konaker (e-mail) blev foreage med de samme undervisere hvilke

Læs mere

Danmarks Nationalbank

Danmarks Nationalbank Danmarks Naionalbank Kvar al so ver sig 3. kvaral Del 2 202 D A N M A R K S N A T I O N A L B A N K 2 0 2 3 KVARTALSOVERSIGT, 3. KVARTAL 202, Del 2 De lille billede på forsiden viser Arne Jacobsens ur,

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Indekserede Obligationer

Indekserede Obligationer Insiu for Finansiering Cand. Merc. 3. emeser Lærer: vend Jacobsen Forfaere: Per Frederisen Torben Peersen Indeserede Obligaioner - En analyse af den implicie opions enise aspeer og anvendelsesmuligheder

Læs mere

Udlånsvækst drives af efterspørgslen

Udlånsvækst drives af efterspørgslen N O T A T Udlånsvæks drives af eferspørgslen 12. januar 211 Kor resumé Der har den senese id være megen fokus på bankers og realkrediinsiuers udlån il virksomheder og husholdninger. Især er bankerne fra

Læs mere

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13 Side 1 af 34 Tielblad Dao: 16. december 2004 Forelæser: Ben Dalum og Björn Johnson Vejleder: Ger Villumsen Berglind Thorseinsdoir Charloa Rosenquis Daniel Skogemann Lise Pedersen Maria Rasmussen Susanne

Læs mere

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement Hovedopgave i finansiering, Insiu for Regnskab, Finansiering og Logisik Forfaer: Troels Lorenzen Vejleder: Tom Engsed Prisdannelsen i de danske boligmarked diagnosicering af bobleelemen Esimering af dynamisk

Læs mere

tegnsprog Kursuskatalog 2015

tegnsprog Kursuskatalog 2015 egnsprog Kursuskaalog 2015 Hvordan finder du di niveau? Hvor holdes kurserne? Hvordan ilmelder du dig? 5 Hvad koser e kursus? 6 Tegnsprog for begyndere 8 Tegnsprog på mellemniveau 10 Tegnsprog for øvede

Læs mere

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne 1 Noa Afrapporering om danske underekser på nabolandskanalerne Sepember 2011 2 Dee noa indeholder: 1. Indledning 2. Baggrund 3. Rammer 4. Berening 2010 5. Økonomi Bilag 1. Saisik over anal eksede programmer

Læs mere

Pensions- og hensættelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014

Pensions- og hensættelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014 Pensions- og hensæelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014 Indhold 1 Indledning 6 1.1 Lovgrundlag.............................. 6 1.2 Ordningerne.............................. 6 2 Risikofakorer

Læs mere

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil?

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Hvor mege er de værd a kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Bjarke Jensen Rolf Poulsen 1 Indledning For den almindelig fordrukne og forgældede danske boligejer var 1. okober 2003 en god dag: Billigere

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Hvor lang tid varer et stjerneskud?

Hvor lang tid varer et stjerneskud? Hvor lang id varer e jernekud? Ole Wi-Hanen, Køge Gymnaium Hvordan kan man ud fra en meeor mae og haighed bekrive den vej ned gennem amofæren? Her giver forfaeren en fremilling af fyikken bag. Søndag den

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Magtanvendelse i forhold til personer med betydelig og varigt nedsat psykisk funktionsevne. Til myndighedspersoner

Magtanvendelse i forhold til personer med betydelig og varigt nedsat psykisk funktionsevne. Til myndighedspersoner Maganvendelse i forhold il personer med beydelig og varig nedsa psykisk funkionsevne Til myndighedspersoner Publikaionen er udgive af Socialsyrelsen Edisonsvej 18, 1. 5000 Odense C Tlf.: 72 42 37 00 E-mail:

Læs mere

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet Modellering af den Nordiske spopris på elekricie Speciale Udarbejde af: Randi Krisiansen Oecon. 10. semeser Samfundsøkonomi, Aalborg Universie 2 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER 20062862 Tielblad Uddannelse:

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter...

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter... Gener el l ebe i ngel s erf orl ever i ngogdr i f af L ok al Tel ef onens j enes er Ver s i on1. 0-Febr uar2013 L ok al Tel ef onena/ S-Pos bok s201-8310tr anbj er gj-k on ak @l ok al el ef onen. dk www.

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul Mere om rekansberegning D s A C v B 01 Karsen Jl Dee häfe indeholder ilfåjelser il fålgende häfer: Korfae rekansberegning for gymnasie og hf /11-010 hp://ma1.dk/korfae_rekansberegning_for_gymnasie_og_hf.pdf

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Prisfastsættelse og hedging af optioner under stokastisk volatilitet

Prisfastsættelse og hedging af optioner under stokastisk volatilitet Erhvervsøkonomisk insiu Afhandling Vejleder: Peer Løche Jørgensen Forfaere: Kasper Korgaard Anders Weihrauch Prisfassæelse og hedging af opioner under sokasisk volailie Suppose we use he sandard deviaion

Læs mere

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Hvad spiser de? Hvordan forarbejdes skindet? S æ r l i g e. h u s d y r o p d r æ

Hvad spiser de? Hvordan forarbejdes skindet? S æ r l i g e. h u s d y r o p d r æ 53 S æ r l i g e h u s d y r o p d r æ Hvad spiser de? Mange pelsdyr er kødædere, men de er ikke mulig a give dem levende bye a spise. Derfor har forskerne udvikle en særlig slags foder, der er ilpasse

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2011. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2011. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen Danmarks fremidige beflkning Beflkningsfremskrivning 2011 Marianne Frank Hansen & Peer Sephensen Side 2 af 116 Indhldsfregnelse 1 Indledning... 6 1.1 Opbygningen af beflkningsmdellen... 8 1.2 Viale begivenheder...

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Pricing of Oil Derivatives. -With the SABR and Schwartz models. Prisfastsættelse af Oliederivater. -Med SABR og Schwartz modellerne

Pricing of Oil Derivatives. -With the SABR and Schwartz models. Prisfastsættelse af Oliederivater. -Med SABR og Schwartz modellerne Pricing of Oil Derivaives -Wih he SABR and Schwarz models Prisfassæelse af Oliederivaer -Med SABR og Schwarz modellerne Mark Søndergaard Pedersen CPR xxxxxx-xxxx Alex Rusanov CPR xxxxxx-xxxx Vejleder:

Læs mere

Softstartere, motorstyringer og elektroniske kontaktorer CI-tronic

Softstartere, motorstyringer og elektroniske kontaktorer CI-tronic Sofsarere, moorsyringer og elekroniske konakorer CI-ronic INDUSTRIAL CONTROLS Elekroniske konakorer CI-ronic konakorer er skræddersyede il kræende indusrielle applikaioner. Takke ære indbygge LTE-eknik

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Porteføljeteori: Investeringsejendomme i investeringsporteføljen. - Med særligt fokus på investering gennem et kommanditselskab

Porteføljeteori: Investeringsejendomme i investeringsporteføljen. - Med særligt fokus på investering gennem et kommanditselskab Poreføljeeori: Inveseringsejendomme i inveseringsporeføljen - Med særlig fokus på invesering gennem e kommandiselskab Jonas Frøslev (300041) MSc in Finance Aarhus Universie, Business and Social Sciences

Læs mere

DFG/TFG 660-690 DFG 660 DFG 670 DFG 680 DFG 690 DFG S80 DFG S90 TFG 660 TFG 670 TFG 680 TFG 690 TFG S80 TFG S90. Driftsanvisning 12.12 - 11.

DFG/TFG 660-690 DFG 660 DFG 670 DFG 680 DFG 690 DFG S80 DFG S90 TFG 660 TFG 670 TFG 680 TFG 690 TFG S80 TFG S90. Driftsanvisning 12.12 - 11. DFG/TFG 660-690 12.12 - Drifsanvisning 51289397 11.14 K DFG 660 DFG 670 DFG 680 DFG 690 DFG S80 DFG S90 TFG 660 TFG 670 TFG 680 TFG 690 TFG S80 TFG S90 Overenssemmelseserklæring Jungheinrich AG, Am Sadrand

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Hvordan ville en rendyrket dual indkomstskattemodel. Arbejdspapir II

Hvordan ville en rendyrket dual indkomstskattemodel. Arbejdspapir II Hvordan ville en rendyrke dual indkomsskaemodel virke i Danmark? Simulering af en ensare ska på al kapialindkoms Arbejdspapir II Ændre opsparingsadfærd Skaeminiserie 2007 2007.II Arbejdspapir II - Ændre

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

fermacell Brandbeskyttelse Ekstraordinær brandbeskyttelse med fermacell Aestuver og fermacell Firepanel A1

fermacell Brandbeskyttelse Ekstraordinær brandbeskyttelse med fermacell Aestuver og fermacell Firepanel A1 fermacell Brandbeskyelse Eksraordinær brandbeskyelse med fermacell esuver og fermacell Firepanel 1 2 Brandbeskyelse af bjælker og søjler med fermacell esuver Pladens opbygning Fermacell esuver pladen er

Læs mere

BAT Nr. 1 februar 2007. Industriens år INDHOLD

BAT Nr. 1 februar 2007. Industriens år INDHOLD B A T k a r e l l e BAT Nr. 1 februar 2007 Bedre arbejdsmiljø, overholdelse af idsfriser, færre mangler - resulaerne fra re års arbejde med BygSoL-projeke er il a age og føle på. Side 2 Trods høje økonomiske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Handelsskolen Silkeborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Frede

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

PENGEPOLITIKKENS INDFLYDELSE PÅ AKTIEMARKEDET

PENGEPOLITIKKENS INDFLYDELSE PÅ AKTIEMARKEDET HANDELSHØJSKOLEN I ÅRHUS INSTITUT FOR FINANSIERING CAND.MERC. FINANSIERING KANDIDATAFHANDLING VEJLEDER: MICHAEL CHRISTENSEN UDARBEJDET AF: JULIE LINDBJERG NIELSEN PENGEPOLITIKKENS INDFLYDELSE PÅ AKTIEMARKEDET

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Udarbejdet af gr. 542 Aalborg Universitet, AAUE 2002 Det teknisk-naturvidenskabelige falkultet Institut 7 Niels Bohrs Vej 8 6700 Esbjerg

Udarbejdet af gr. 542 Aalborg Universitet, AAUE 2002 Det teknisk-naturvidenskabelige falkultet Institut 7 Niels Bohrs Vej 8 6700 Esbjerg Udarbejde af gr. 542 Aalborg Universie, AAUE 2002 De eknisk-naurvidenskabelige falkule Insiu 7 Niels Bohrs Vej 8 6700 Esbjerg Tielblad Tiel: Klimacompuer il vækshus Tema: Appara- og/eller sysemkonsrukion

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2014 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik niveau

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Bilag 1 Kravspecifikation

Bilag 1 Kravspecifikation Bilag 1 specifikaion Indholdsforegnelse 1. Indledning 1 1.1 Baggrund 1 1.2 Formål 1.3 Overordnede rammer for syseme 2 3 1.4 Definiioner og forkorelser 4 1.5 Besvarelse af krav 4 2. 2.1 Funkionelle krav

Læs mere

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain).

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). En introduktion til Maple i 1.g. 1. En første introduktion til Maple. Kommandoerne expand, factor og normal. 2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). 3. Uligheder

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2015 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik niveau B Lærer(e)

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Numerisk løsning af differentialligninger

Numerisk løsning af differentialligninger KU-LIFE; Matemati og modeller 009 Numeris løsning af differentialligninger Thomas Vils Pedersen 1 Numerise metoder Ved numeris analyse forstås tilnærmet, talmæssig løsning af problemer, som ie, eller un

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 09/10 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik A (2 årigt forløb

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå?

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? Differentialregning - Rayleigh spredning - oki.wpd INDLEDNING Hvem har ikke betragtet den flotte blå himmel på en klar dag og beundret den? Men hvorfor er himlen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Magtanvendelse i forhold til personer med betydelig og varigt nedsat psykisk funktionsevne. Til fagpersoner

Magtanvendelse i forhold til personer med betydelig og varigt nedsat psykisk funktionsevne. Til fagpersoner Maganvendelse i forhold il personer med beydelig og varig nedsa psykisk funkionsevne Til fagpersoner Publikaionen er udgive af Socialsyrelsen Edisonsvej 18, 1. 5000 Odense C Tlf.: 72 42 37 00 E-mail: socialsyrelsen@socialsyrelsen.dk

Læs mere