Svar på opgave 336 (Januar 2017)

Transkript

1 Svar på opgave 6 (Januar 07) Opgave: De komplekse tal a, b og c opfylder ligningssystemet Vis, at a, b og c er reelle. (a + b)(a + c) = b (b + c)(b + a) = c (c + a)(c + b) = a. Besvarelse:. metode Lad P(x) = x - sx + qx - p være polynomiet af. grad med rødderne a, b og c. Så er hvoraf de tre Viètes former: De tre givne ligninger omskrives til Addition af disse ligninger giver x - sx + qx p = (x - a)(x - b)(x - c), s = a + b + c, q = ab + bc + ca, p = abc. a + ab + ac + bc = b sa + bc = b b + ab + bc + ca = c sb + ca = c () c + ca + cb + ab = a sc + ab = a. s(a + b + c) + bc + ca + ab = a + b + c s + q = s q = s - s. Ved multiplikation af ligningerne () med henholdsvis a, b og c får vi og addition af disse ligninger giver Nu er så vi af () får sa + abc = ab sb + abc = bc sc + abc = ac, s(a + b + c ) + p = q p = s - s - s(a + b + c ). () a + b + c = (a + b + c) - (ab + bc + ca) = s - q, p = s - s - s(s - q) = s - s - s + sq = s - s - s + s(s - s ) = -s + s + s Januar 07 /7 Matematik

2 hvoraf p = (-s + s + s) () De tre givne ligninger omskrives til og multiplikation af disse giver (s - c)(s - b) = b (s - a)(s - c) = c (s - b)(s - a) = a, ((s - a)(s - b)(s - c)) = abc [s - (a + b + c)s + (ab + bc + ca)s - abc] = abc (s - s + qs - p) = p [(s - s )s - (-s + s + s)] = (-s + s + s). Et orgie i kedsommelig algebra forvandler denne ligning til s(s + ) (4s - ) = 0 Hvis s = 0, er q = s - s = 0 og efter () er p = 0, så P(x) = x med rødderne a = b = c = 0. Altså er a, b og c reelle. Hvis s = - er q = s - s = - og p = (+-) = så P(x) = x + x - x -. En tabel over funktionsværdier er: x P(x) De tre rødder a, b og c er altså reelle og ligger i intervallerne ]-;-[, ]-;0[ og ];[. q s s og p, Hvis endelig s = 4 er hvoraf P( x) x x x (64x 48x x ) (4x ). Her er de reelle rødder a = b = c = metode Vi trækker den anden ligning fra den første og får (a + b)(a + c) - (b + c)(b + a) = b - c (a + b)(a - b) = b - c. (4) Analogt fås ved parvis subtraktion af de øvrige ligninger: (b + c)(b - c) = c - a og (c + a)(c - a) = a - b. (5) Hvis to af tallene a, b og c er ens, får vi af disse ligninger, at alle tre tal er ens. Det oprindelige ligningssystem er da Januar 07 /7 Matematik

3 a a = a 4a = a a 0 a 4. Antag så, at der ikke findes to ens tal blandt de tre. Multiplikation af ligningerne (4) og (5) giver (a + b)(a - b)(b + c)(b - c)(c + a)(c - a) = (b - c)(c - a)(a - b) Hvis vi benytter de oprindelige ligninger, får vi Hvis et af de tre tal a, b og c er reelt, fx a, er (a + b)(b + c)(c + a) =. b(b + c) = c(c + a) = a(a + b) =. (6) a b b a a a, så også b er reel. Derefter er også c reel. Antag så, at ingen af de tre tal er reelle. To af tallene arga, argb, argc ligger i et af intervallerne ]0;π] eller ]π;π[. Antag, at det drejer sig om tallene arga og argb. Så vil også (vektor)summen a + b have et argument i det samme interval og der- med har vi efter (6): arga arga + arg(a + b) = arga(a + b) = arg = 0 i strid med, at arga ligger i ]0;π] eller ]π;π[. Antagelsen om, at ingen af de tre tal er reelle er dermed falsk. Mindst et af tallene er derfor reelt og efter ovenstående er så alle tre reelle.. metode Vi sætter Ligningssystemet omskrives til Ved addition fås Desuden fås x = a + b + c, y = ab + bc + ca, z = abc. () a = (c + a)(c + b) a = c + ab + bc + ca a = c + y b = (a + b)(a + c) b = a + y () c = (b + a)(b + c) c = b + y. hvoraf ved addition Vi har, at x = a + b + c = a + b + c + y. () ab = (c + a) (a + b)(b + c) bc = (a + b) (b + c)(c + a) (4) ca = (b + c) (b + c)(c + a), y = ab + bc + ca = (a + c)(a + b)(b + c) [c + a + a + b + b + c] og ved hjælp af (5) omformes dette til Videre er = (c + a)(a + b)(b + c) x. (5) x = (a + b + c) = a + b + c + (ab + bc + ca), x = x - y + y x = x - y. (6) xy - z = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc. Januar 07 /7 Matematik

4 Ved udregning af begge sider af lighedstegnet kontrolleres, at så vi har, at Af (5) og (7) får vi (a + b + c)(ab + bc + ca) abc = (a + b)(b + c)(c + a), (a + b)(b + c)(c + a) = xy - z. (7) Ved multiplikation af ligningerne i (4) får vi ved hjælp af (7) og (8): y = (xy - z) x. (8) a b c = (c + a) 4 (b + c) 4 (a + b) 4 abc = [ab + bc + ca] abc = (xy - z) y =. (9) x Her forudsættes x 0. Antag nu, at x = 0, dvs. at a + b + c = 0. Det oprindelige ligningssystem får udseendet -c (-b) = b bc = b -a (-c) = c eller ac = c -b (-a) = a ab = a. Løsningerne er (a,b,c) = (0,0,0) og (a,b,c) = (,,). Da x = 0 forkastes den sidste mulighed. Antag så, at x 0. Af (6) får vi y = x - x, (0) og af (9) følger y x x ( x) z x x 4 De fundne udtryk for y og z indsættes i (8): ( x) x x x x ( x x ) x x ( x) 4 ( x). 4 Her er x = en løsning. Hvis x = følger af (0) og (), at y = 0 og z = 0. Af () følger, at to af tallene a, b og c er 0. Men så viser ligningssystemet (), at a = b = c = 0. Dette strider imidlertid imod, at x =. Antag derfor, at x. Af () får vi Vi får af (0) og (), at Vi har, at ( x ( x)) x x x x x = - giver y = - og z = x = 4 giver y = 6 og z = 64. (u - a)(u - b)(u - c) = u - (a + b + c)u + (ab + bc + ca)u - abc = u - xu + yu - z. Hvis (a,b,c) er en løsning til det oprindelige ligningssystem, er a, b og c rødder i poly- nomiet P(u) = u - xu + yu z. Vi gennemgår de to muligheder. I. (x,y,z) = (-,-,). Her er Vi finder tabellen over funktionsværdier: P(u) = u + u - u -.. () () Januar 07 4/7 Matematik

5 u P(u) Altså findes en rod i hvert af intervallerne ]-;-[, ]-;0[ og ]0;[, dvs. tre reelle løsnin- ger, så a, b og c er reelle tal. Ved at gøre prøve, kan man efterse, at de faktisk er løsnin- ger. II. (x,y,z) = ,,. Her får vi P( u) u u u u, så 4 er tredobbelt rod. Altså er a = b = c = 4. Vi efterprøver, at disse tal er løsninger til det oprindelige ligningssystem. I alle tilfælde har vi fundet, at a, b og c er reelle tal. 4. metode Hvis b = 0 ser ligningssystemet sådan ud: a(a + c) = 0 ca = c (c + a)c = a. Vi ser på den første ligning. Hvis a = 0 giver den anden ligning, at c = 0. Hvis a + c = 0, giver den tredje ligning a = 0 og dermed får vi igen af den anden ligning, at c = 0. Altså gælder, at hvis en af de ubekendte er 0, er også de to andre 0. Dermed er (a,b,c) = (0,0,0) en løsning. Antag så, at hverken a, b eller c er 0. Ved division får vi a c b a b c og. b c c a c a Her er det nærliggende at bruge substitutionerne a = s c og b = t c, hvor s, t 0. Så får vi hvoraf Den første ligning giver, at hvilket indsat i den anden fører til sc c tc sc tc c og, tc c c sc c sc s og s t t. t s s s = t + t -, 4 t t t t t t t t t t t t t t t Hvis t = er s =, så a = b = c. Ligningerne forvandles til idet a 0. Dermed fås løsningen (a,b,c) = Ligningen 4 0 ( )( 4 ) 0. 4a = a a = 4, 4 4 4,,. t + 4t + t - = 0 () Januar 07 5/7 Matematik

6 har tre reelle løsninger. Da s = t + t -, er også s reel. Det oprindelige ligningssystem ser sådan ud: Dermed får vi (sc + tc) (sc + c) = tc (s + t) c (s + ) = t (tc + c) (tc + sc) = c (t + ) c (s + t)= = (c + sc) (c + tc) = sc (s + ) c (t + ) = s. t s c ( s t)( s ) ( t )( s t) ( s )( t ). De tre brøker er ens på grund af sammenhængen s = t + t. Vi får ved indsættelse af de tre reelle værdier for t tre reelle værdier for c og dermed er også a = sc og b = tc re- elle. Ligningen () har i øvrigt løsningerne 5. metode Vi sætter Vi får heraf, at t 7 sin Arctan 9 4 t 7 cos Arc cot 9 4, t 7 sin Arctan 9 4, Ligningssystemet er nu ensbetydende med Af den første lignings fås hvilket indsættes i de to andre: og. x = a + b, y = a + c, z = b + c. a = x + y - z, b = x - y + z, c = -x + y + z. xy = x - y + z xz = -x + y + z yz = x + y z. z = xy - x + y, x(xy - x + y) = -x + y + xy - x + y (x - )y = x(x - ), () y(xy - x + y) = x + y - xy + x - y (x + )y = x. () Vi antager, at x - 0 og at x + 0. Af () fås og heri indsættes (), idet vi forudsætter x 0: (x - ) y = x (x - ), x () x ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x x x x x x. Hvis x = 0 er y = 0 og z = 0 og dermed er (a,b,c) = (0,0,0) en reel løsning. Ligningen () omskrives til 4x x = (x + x)(x - x + ) x 4 + x - 4x - x + = 0 (x - )(x + x - x - ) = 0. Løsningen x = giver y = z =, så (a,b,c) = ( 4, 4, 4 ) er en løsning til ligningssyste- met. Polynomiet Januar 07 6/7 Matematik

7 f (x) = x + x - x - har tre reelle rødder i intervallerne ]-;-[, ]-;0[ og ]0;[. Hver af disse indsættes i (): xx ( ) y, x og derefter sammen med y-værdierne i z = xy - x + y, så y og z også er reelle. Endelig er som nævnt a = x + y - z, b = x - y + z, c = -x + y + z, så a, b og c er reelle. Januar 07 7/7 Matematik