Rettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 2. januar 2007
|
|
- Ejnar Kvist
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Rettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1,. årsprøve. januar 007 I rettevejledningen henvises der til Berry and Lindgren "Statistics Theory and methods"(b&l) hvis ikke andet er nævnt. Opgave 1 1. Tabellen nedenfor angiver sandsynlighedsfunktionerne for de marginale fordelinger af X m og X k. x f Xm (x) f Xk (x) Eksempelvis. Middelværdier f Xm (0) = P (X m = 0) = = 008 E (X m ) = = 344 E (X k ) = = 30 Momenter af. orden E Xm E Xk = = 138 = = 1088 Varianser 3. Der gælder at Var (X m ) = E Xm Var (X k ) = E Xk E X m = E X k = 188 E (X k X m ) = ( ) = 103 Dermed bliver kovariansen mellem X k og X m Cov (X k ; X m ) = E (X k X m ) E (X k ) E (X m ) = = 0 Dermed bliver korrelationen lig med 0, idet Xk ;X m = Cov (X k ; X m ) p Var (Xk ) Var (X m ) 4. De betingede fordelinger af kvindens arbejdstid givet, at mandens arbejdstid er henholdsvis 0, 0 og 40 timer pr. uge er givet i tabellen nedenfor. x P (X k = xj X m = 0) 1/8 /8 5/8 P (X k = xj X m = 0) 0 1/ 1/ P (X k = xj X m = 40) 1/8 /8 5/8 Eksempelvis P (X k = 0j X m = 0) = P (X k = 0; X m = 0) P (X m = 0) = = 1=8 Man bemærker, at fordelingen af kvindens arbejdstid er den samme når manden arbejder 0 eller 40 timer. 1
2 5. X k og X m er ikke uafhængige, da de betingende fordelinger i sp. 4 (kvindens arbejdstid givet mandens arbejdstid) ikke er ens og lig den marginale fordeling af X k i sp. 1. En anden måde at se det på, er ved at bemærke at de simultane sandsynligheder angivet i Tabel 1a ikke er produktet af de marginale sandsynligheder fra sp. 1. Eksempelvis gælder der 0 = P (X k = 0; X m = 0) 6= P (X k = 0) P (X m = 0) = En ny stokastisk variabel de neres som ~ X = (X k + X m ) =. (a) Den stokastiske variabel ~ X angiver husstandens gennemsnitlige arbejdstid pr. uge. (b) Middelværdi af ~ X E ~X = E Xk + X m = 1 [E (X k) + E (X m )] = 3 Varians af X ~ Var ~X Xk + X m = Var Opgave = 1 4 [Var (X k) + Var (X m ) + Cov (X k ; X m )] = 1 4 [Var (X k) + Var (X m )] da Cov (X k ; X m ) = 0 i g. sp. 3 = For = 350 og = 1365 gælder der (a) Sandsynligheden for at timelønnen i periode 1 er højst 75 Y P (Y 1 75) = P p p = p ( 0674) (b) Sandsynligheden for at timelønnen i periode 1 er mindst P (Y 1 45) = 1 P (Y 1 45) = 1 p 1 (0674) (c) 1. kvartil i fordelingen af Y 1 er ca. 75 idet P (Y 1 75) kvartil i fordelingen af Y 1 er ca. 45 idet P (Y 1 45) 075. Middelværdien af Y Variansen af Y E (Y ) = E ( + Y 1 + U) = + E (Y 1 ) + E (U) middelværdi-operatoren er lineær = + indsættelse af E (Y 1 ) = og E (U) = 0 Var (Y ) = Var ( + Y 1 + U) = Var (Y 1 + U) regneregel = Var (Y 1 ) + Var (U) + Cov (Y 1 ; U) regneregel = Var (Y 1 ) + Var (U) da Y 1 og U er uafhængige er Cov (Y 1 ; U) = 0 = + v Da Y 1 og U begge er normalfordelte, bliver Y også normalfordelt med middelværdi og varians som angivet ovenfor.
3 3. For 6= 0 er Y 1 og Y ikke uafhængige, da korrelationen ikke er nul i dette tilfælde. Der gælder at Cov (Y 1 ; Y ) = E (Y 1 Y ) E (Y 1 ) E (Y ) = E (Y 1 ) + E Y1 E (Y 1 U) E (Y 1 ) ( + E (Y 1 )) h = E Y1 E (Y 1 ) i = Var (Y 1 ) 6= 0 for 6= 0 For = 0 er Y = + U, og da Y 1 og U er uafhængige i dette tilfælde er også Y 1 og Y uafhængige. 4. Den betingende middelværdi af Y givet Y 1 = y 1 E (Y j Y 1 = y 1 ) = E ( + Y 1 + Uj Y 1 = y 1 ) = + y 1 + E (Uj Y 1 = y 1 ) = + y 1 + E (U) = + y 1 Tredie lighedstegn følger af, at den betingede fordeling af U givet Y 1 = y 1 er lig med den marginale fordeling af U, da U og Y 1 er uafhængige. Dermed er den betingede middelværdi af U givet Y 1 = y 1 lig med middelværdien af U. Den betingende varians af Y givet Y 1 = y 1 Var (Y j Y 1 = y 1 ) = Var ( + Y 1 + Uj Y 1 = y 1 ) = Var (Uj Y 1 = y 1 ) = Var (U) = v Igen følger tredie lighedstegn ved at bruge samme argument som ovenfor. 5. (a) Ved at bruge resultaterne fra sp. fås E (Y ) = + = 350 (1 ) = 350 = Var (Y ) = = 1365 = Dvs. de marginale fordelinger af Y 1 og Y er ens og givet ved N (350; 1365). (b) Der gælder P (Y 75j Y 1 75) = P (Y 1 75; Y 75) 0193 P (Y 1 75) P (Y 45j Y 1 75) = 1 P (Y 45j Y 1 75) = 1 P (Y 1 75; Y 45) P (Y 1 75) (c) Da de marginale fordelinger af Y 1 og Y er ens, er 5% kvartilen 75 og 75% kvartilen 45 for både Y 1 og Y. Dermed betyder resultatet i (b) at givet man er blandt de 5% med lavest timeløn i periode 1, da er sandsynligheden for også at være blandt de 5% med lavest timeløn i periode forholdsvis stor (ca. 77%), mens sandsynligheden for at være blandt de 5% med højst timeløn er nul. Der er altså en lav grad af mobilitet over tid. Dette stemmer overens med, at for = 090 er der positiv korrelation mellem Y 1 og Y i- g. sp. 3. 3
4 Opgave 3 I denne opgave undersøges sandsynligheden for at en mand i beskæftigelse er selvstændig. Valget af beskæftigelse, X kan beskrives ved en Bernoulli fordelt variabel med sandsynlighedsparameter p m og desuden haves en tilfældig stikprøve (X 1; X ; X 3 ; ; X n ) 1. I dette spørgsmål skal de studerende angive middelret estimator for p m og argumentere for at den er middelret. Her er et oplagt valg gennemsnittet ^p m = X = 1 nx X i ; n idet der i B&L side 338 er redegjort for at E(^p m ) = p m, hvilket er de nitionen på en middelret estimator (se B&L side 369). Andre middelrette estimatorer vil også være et korrekt svar, der skal dog argumenteres for at estimatoren er middelret.. De studerende skal angive middelværdi og varians for den valgte estimator i spørgsmål 1. Hvis estimatoren er ^p m følger det direkte af B&L side 338 at E(^p m ) = p m V (^p m ) = p m(1 p m ) n Middelværdi og varians vil være forskellig fra det angivet, hvis en anden estimator er valgt. 3. På baggrund af en tilfældig stikprøve beskrevet i tabel 3a kan estimatet for p m beregnes Estimatet for p m er givet ved ^p m = 103 = 0; På baggrund af informationen i tabellen, er der en del middelrette estimatorer som ikke vil være mulige at anvende. Det er derfor i orden, at studerende, som har valgt en anden estimator i spørgsmål 1 og, ikke nødvendigvis benytter den valgte estimator. Her bør de studerende så skifte til estimatoren ^p m 4. De studerende skal gøre rede for hvorledes man kan teste hypotesen H 0 p m = 0; 10 mod alternativhypotesen H A p m > 0; 10 på et 5% signi kansniveau. De studerende skal angive teststørrelsen og dens fordeling. Her bør de studerende bemærke, at vi har en stor stikprøve, så vi kan tillade os at anvende teststørrelsens asymptotiske fordeling. I B&L side er angivet, en Z-teststørrelsen, som kan anvendes på den givne problemstilling idet vi har med en Bernoullifordelte population at gøre og har en stor stikprøve ^p p 0 Z = p p0 (1 p 0 )=n ; hvor p 0 = 0; 10 Z-teststørrelsen er asymptotisk standard normalfordelt. De ekstreme værdier af teststørrelsen (som peger i retning af alternativhypotesen) er store værdier af Z, idet alternativhypotesen er et enkeltsidet alternativ H A p m > 0; 10. Da det oplyses, at testet skal udføres på et 5% signi kansniveau, kan enten forkastelselsområdet angives eller P -værdien kan udregnes og dernæst sammenlignes med 0,05. Det er fuldt tilstrækkeligt at benytte en af metoderne. Forkastelsesområdet kan bestemmes udfra 95% fraktilen i en standard normalfordeling til 1; 64 (se B&L side 645 tabel IIb). Forkastelsesområdet er da R = [1; 64; 1[ Udregnes Z-teststørelsen for den konkrete stikprøve fås Z = 0; 135 0; 10 p 0; 10 0; 90=761 = 3; 5 Det sluttes så at vi forkaster nulhypotesen idet Z R Alternativt kan man udregne Da p < 0; 05 sluttes at nulhypotesen forkastes. P = 1 (3; 5) 0;
5 5. De studerende skal redegøre for at P n X i (frekvensen af 1-taller) er en su cient stikprøvefunktion for p k i en tilfældig stikprøve fra en Bernoullifordelt population. Dette kan gøres ved at henvise til eksemplet i B&L side 319 eller ved direkte at benytte de nitionen på su cient stikprøvefunktion. I det sidste tilfælde skal likelihood funktionen for en stikprøve af uafhængige (dette følger af at det er en tilfældig stikprøve), Bernoullifordelte variable opskrive L(p k ) = P n p k (1 p k ) n P n i nx = g( X i ; p k ) Xi Heraf følger (se B&L side 319) at P n X i er en su cient stikprøvefunktion. 6. I dette spørgsmål skal de studerende teste hypotesen H 0 p k = p m mod alternativhypotesen H A p k 6= p m De studerende bør angive, hvilket signi kansniveau de anvender samt hvilke antagelser som anvendes. Da begge stikprøver er store, kan man anvende Z-teststørrelsen for sammenligning af population (se B&L side ). De studerende bør nævne, at testproceduren er baseret på følgende antagelser to tilfældige stikprøver, de to stikprøver er uafhængige, et stort antal observationer i begge stikprøver. Teststørrelsen er givet ved Z = ^p m ^p k p^p(1 ^p)(1=nm + 1=n k ) ^p = Y m + Y k n m + n k Z-teststørrelsen er approksimativt standard normalfordelt. Ekstreme værdier af teststørrelsen er store og små værdier. Udregnes teststørrelsens værdi i den konkrete stikprøve fås P værdien kan udregnes til ^p m = = 0; 135; ^p k = 3 = 0; ^p = = 0; Z = 0; 135 0; 051 p = 5; 30 0; 097(1 0; 097)(1= =630) P = ( jzj) 0; 000 Nulhypotesen vil blive afvist, hvis man anvender et 5% (eller 1%) signi kansniveau. Alternativt kan forkastelsesområdet for et 5% signi kansniveau angives R =] 1; 1; 96] [ [1; 96; 1[ Også her sluttes at nulhypotesen om den samme sandsynlighed for mænd og kvinder må forkastes. Opgave 4 Det antages, at bruttoindkomsten X i den danske population er normalfordelt med en middelværdi og en varians Desuden antages, at vi udtager en tilfældig stikprøve (X 1 ; X ; X 3 ; X n ) 1. De studerende skal angive en estimator for ; samt dens fordeling. En oplagt estimator er gennemsnittet af stikprøven X P = 1 n X i. Da vi antager, at populationen er normalfordelt, følger det at X~N(; n ); se B&L side 350. Hvis de studerende angiver andre estimatorer og angiver fordelingen af estimatoren skal dette svar også regnes som korrekt. 5
6 . På bagrund af oplysninger i tabel 4a udregnes estimatet for for den givne stikprøve X = 401; 8 5 = 160; De studerende skal teste hypotesen H 0 = 170 mod alternativhypotesen H A 6= 170 på et 5% signi kansniveau. Dette test skal udføres som et t-test, da vi har en normalfordelt population og en lille stikprøve (5 observationer). Teststørrelsen er givet ved (se B&L side 436) X T = 0 S= p n hvor nx (X i X) S = n 1 Teststørrelsen er t-fordelt med n 1 frihedsgrader. For det dobbeltsidet alternativ er ektreme værdier af teststørrelsen store og små værdier. Forkastelsesområdet for et 5% signi kansniveau bestemmes udfra 97,5% fraktilen i en t-fordeling med 4 frihedsgrader (se B&L tabel IIIa),06 Værdien af teststørrelsen kan udregnes til R =] 1; ; 06] [ [; 06; 1[ S = 901 = 3833; ; T = p = 0; ; 8=5 Vi kan nu slutte at nulhypotesen ikke kan forkastes. De studerende kan også angive P-værdien P = P (T < 0; 737 [ T > 0; 737) = P (T > 0; 73) 0; De studerende skal angive en estimator for variansen samt argumentere for, at estimatoren er middelret. En middelret estimator for er S = nx (X i X) n 1 I B&L side 370 er det vist at S er en middelret estimator. Desuden skal estimatet angives (som er fundet i spørgsmål 3) S = 3833; 8 5. De studerende skal angive et 95% kon densinterval for Kon densintervallet kan beregnes ved (n 1)S at anvende samme metode som i B&L 395. Det benyttes her at er Chi-i-anden fordelt med n 1 frihedsgrader. Så bestemmes,5% og 97,5 % fraktilen i en chi-i-anden fordeling med 4 frihedsgrader k 0;05 = 1; 4 k 0;975 = 39; 4 Der gælder således at P (1; 4 < 4S < 39; 4) = 0; 95 Det betyder at kon densintervallet kan udregnes som [ 4 S 39; 4 4 S ; ] = [335; 740; 3] 1; 4 6
7 6. Det antages at variansen i indkomstfordelingen er = 3800; og at styrkefunktionen for hypotesen i spørgsmål 3 kan udregnes i værdien = 165 til (165) = 0; 14 De studerende skal i ord forklare hvad styrkefunktionen angiver. Styrkefunktionen angiver, at sandsynligheden for at forkaste nulhypotesen H 0 = 170 er 0,14, når den sande parameter for = 165Udfra styrkefunktionen kan man fastlægge størrelsen på Type II fejl. Hvis den sande parameter er = 165; er sandsynligheden for at begå Type II fejl (acceptere en forkert nulhypotese) 1-0,14=0,816. 7
Rettevejledning til Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 18. juni timers prøve med hjælpemidler
Rettevejledning til Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 18. juni 2007 4 timers prøve med hjælpemidler Opgaven består af re delopgaver, som alle skal besvares. De re opgaver indgår med samme vægt. Opgaverne
Læs mereDagens program. Praktisk information:
Dagens program Praktisk information: Husk hjemmeopgaven i statistik Hypoteseprøvning kap. 11.2,11.3 og 11.8 Eksempel på test Styrkefunktionen kap. 11.2 Stikprøvens størrelse kap. 11.3 Likelihood ratio
Læs mereDagens program. Praktisk information: Husk evalueringer af kurset
Dagens program Praktisk information: Husk evalueringer af kurset Hypoteseprøvning kap. 11.1-11.3 Fokastelsesområdet kap. 11.1 Type I og Type II fejl kap. 11.1 Styrkefunktionen kap. 11.2 Stikprøvens størrelse
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Estimation: Kapitel 9.7-9.10 Estimationsmetoder kap 9.10 Momentestimation Maximum likelihood estimation Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Hypoteser: kap: 10.1-10.2 Eksempler på Maximum likelihood analyser kap 9.10 Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1 Estimationsmetoder Kvantitative
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Estimation: Kapitel 9.1-9.3 Estimation Estimationsfejlen Bias Eksempler Bestemmelse af stikprøvens størrelse Konsistens De nitioner påkonsistens Eksempler på konsistente og middelrette estimatorer
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14
Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Opgave 1 a) Det første trin i opstillingen af en hypotesetest er at formulere to hypoteser, hvoraf den ene støtter den teori vi vil teste, mens den anden
Læs mereTrin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereHvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereNanostatistik: Opgavebesvarelser
Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 4. Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele
Anvendt Statistik Lektion 4 Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele Hypoteser og Test Hypotese I statistik er en hypotese en påstand om en populationsparameter. Typisk en påstand om
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Kapitel 7 Introduktion til statistik Organisering af data Diskrete variabler Kontinuerte variabler Beskrivende statistik Fraktiler Gennemsnit Empirisk varians og spredning Empirisk korrelationkoe
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereNote til styrkefunktionen
Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H
Læs mereStatistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test
Statistik Lektion 0 Ikkeparametriske metoder Repetition KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,
Læs merePersonlig stemmeafgivning
Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt
Læs mereUge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser
Uge 43 I Teoretisk Statistik,. oktober 3 Simpel lineær regressionsanalyse Forudsigelser Fortolkning af regressionsmodellen Ekstreme observationer Transformationer Sammenligning af to regressionslinier
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder
Læs mereHypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0
Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt
Læs mereKvantitative metoder 2
Kvantitative metoder Heteroskedasticitet 11. april 007 KM: F18 1 Oversigt: Heteroskedasticitet OLS estimation under heteroskedasticitet (W.8.1-): Konsekvenser af heteroskedasticitet for OLS Gyldige test
Læs mereIkke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test
Ikkeparametriske metoder Repetition Wilcoxon SignedRank Test KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,
Læs mereNormalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ
Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program
Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1 Tag-hjem prøve 1. juli 2010 24 timer Alle hjælpemidler er tilladt. Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder,
Læs mereLøsning til eksamen d.27 Maj 2010
DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1
Læs mereProgram. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18
Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)
Læs mereProgram: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.
Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)
Læs mereAnalysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17
nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse
Læs mereEksamen i Statistik for biokemikere. Blok
Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. Vejledende besvarelse 22-01-2007, Niels Richard Hansen Bemærkning: Flere steder er der givet en argumentation (f.eks. baseret på konfidensintervaller)
Læs mereØkonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september Økonometri 1: F6 1
Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september 2006 Økonometri 1: F6 1 Oversigt: De næste forelæsninger Statistisk inferens: hvorledes man med udgangspunkt i en statistisk model kan
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2005 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive
Læs mereTænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.
Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og
Læs mereEnsidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereEksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet
Eksamen ved Københavns Universitet i Kvantitative forskningsmetoder Det Samfundsvidenskabelige Fakultet 14. december 2011 Eksamensnummer: 5 14. december 2011 Side 1 af 6 1) Af boxplottet kan man aflæse,
Læs mereKapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser
Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 29 Indledning 1. z-test for ukorrelerede data 2. t-test for ukorrelerede data med ens
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]
Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination af
Læs mereTeoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger
Uge 49 I Teoretisk Statistik, 2. december 2003 Sammenligning af poissonfordelinger o Generel teori o Sammenligning af to poissonfordelinger o Eksempel Opsummering om multinomialfordelinger Fishers eksakte
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereMLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som
MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,
Læs mereEt firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen
STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet
Læs mereKvantitative metoder 2
Kvantitative metoder 2 Inferens i den lineære regressionsmodel 7. marts 2007 regressionsmodel 1 Opgave fra sidst (Gauss-Markov teoremet) Opgave: Vis at hvis M = I X X X X 1 ( ' ) ' er M idempoten dvs der
Læs mereKvantitative metoder 2
Opgave fra sidst (Gauss-Markov teoremet) Kvantitative metoder Inferens i den lineære regressionsmodel 7. marts 007 Opgave: Vis at hvis M = I X X X X ( ' ) ' er M idempoten dvs der gælder gælder M = M '
Læs mere5.11 Middelværdi og varians Kugler Ydelse for byg [Obligatorisk opgave 2, 2005]... 14
Module 5: Exercises 5.1 ph i blod.......................... 1 5.2 Medikamenters effektivitet............... 2 5.3 Reaktionstid........................ 3 5.4 Alkohol i blodet...................... 3 5.5
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele
Anvendt Statistik Lektion 5 Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Motiverende eksempel Antal minutter brugt på rengøring/madlavning: Rengøring/Madlavning
Læs mereØkonometri 1. Dummyvariabler 13. oktober Økonometri 1: F10 1
Økonometri 1 Dummyvariabler 13. oktober 2006 Økonometri 1: F10 1 Dagens program Dummyvariabler i den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap. 7.3-7.6) Dummy variabler for kvalitative egenskaber med flere
Læs mereSkriftlig eksamen Science statistik- ST501
SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 Torsdag den 21. januar Opgavesættet består af 5 opgaver, med i alt 13 delspørgsmål, som vægtes ligeligt.
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereKapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven
Kapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 19 Indledning Forskelle mellem stikprøver undersøges med z-test eller t-test for data målt på
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2002 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive
Læs mereØkonometri 1. Dagens program. Den simple regressionsmodel 15. september 2006
Dagens program Økonometri Den simple regressionsmodel 5. september 006 Den simple lineære regressionsmodel (Wooldridge kap.4-.6) Eksemplet fortsat: Løn og uddannelse på danske data Funktionel form Statistiske
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mere1 Statistisk inferens: Hypotese og test Nulhypotese - alternativ Teststatistik P-værdi Signifikansniveau...
Indhold 1 Statistisk inferens: Hypotese og test 2 1.1 Nulhypotese - alternativ.................................. 2 1.2 Teststatistik........................................ 3 1.3 P-værdi..........................................
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele
Anvendt Statistik Lektion 5 Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Motiverende eksempel Antal minutter brugt på rengøring/madlavning: Rengøring/Madlavning
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2003 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive
Læs mereVejledende besvarelse af eksamen i Statistik for biokemikere, blok
Opgave 1 Vejledende besvarelse af eksamen i Statistik for biokemikere, blok 2 2006 Inge Henningsen og Niels Richard Hansen Analysevariablen i denne opgave er variablen forskel, der for hver af 10 kvinder
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test]
Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] 1 Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination
Læs mereForelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby
Læs mereTest nr. 4 af centrale elementer 02402
QuizComposer 2001- Olaf Kayser & Gunnar Mohr Contact: admin@quizcomposer.dk Main site: www.quizcomposer.dk Test nr. 4 af centrale elementer 02402 Denne quiz angår forståelse af centrale elementer i kursus
Læs mere(studienummer) (underskrift) (bord nr)
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 21 sider. Skriftlig prøve: 27. maj 2010 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs mereKvantitative metoder 2
Kvantitative metoder 2 Den multiple regressionsmodel 5. marts 2007 regressionsmodel 1 Dagens program Emnet for denne forelæsning er stadig den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap. 3.4-3.5, E.2) Variansen
Læs mereVejledende løsninger til opgaver i kapitel 6
Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer
Læs mereHvad skal vi lave? Nulhypotese - alternativ. Teststatistik. Signifikansniveau
Hvad skal vi lave? 1 Statistisk inferens: Hypotese og test Nulhypotese - alternativ. Teststatistik P-værdi Signifikansniveau 2 t-test for middelværdi Tosidet t-test for middelværdi Ensidet t-test for middelværdi
Læs mereStikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader
Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af
Læs mereØkonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 2. oktober Økonometri 1: F8 1
Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 2. oktober 2006 Økonometri 1: F8 1 Dagens program Opsamling om asymptotiske egenskaber: Asymptotisk normalitet Asymptotisk efficiens Test af flere lineære
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mere! Proxy variable. ! Målefejl. ! Manglende observationer. ! Dataudvælgelse. ! Ekstreme observationer. ! Eksempel: Lønrelation (på US data)
Dagens program Økonometri 1 Specifikation, og dataproblemer 10. april 003 Emnet for denne forelæsning er specifikation (Wooldridge kap. 9.-9.4)! Proxy variable! Målefejl! Manglende observationer! Dataudvælgelse!
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Introduktion Kursusholder: Kasper K. Berthelsen Opbygning: Kurset består af 5 blokke En blok består af: To normale
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af
Læs mereForelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereKursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs meret-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program ( ): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t.
t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program (8.15-10): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke,
Læs mereMat2SS Vejledende besvarelse uge 11
MatSS Vejledende besvarelse uge Eksamen V99/00 opg. a Kønsfordelingen 996 den samme for de tre skoler Mænd Kvinder I alt København 5 = n x 56 = x 8 = n Odense 9 = n x 06 = x 5 = n Århus 0 = n x 40 = x
Læs mereStatistik II 1. Lektion. Analyse af kontingenstabeller
Statistik II 1. Lektion Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller Logistisk regression
Læs mereKapitel 12 Variansanalyse
Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan
Læs mereHvad er danskernes gennemsnitshøjde? N = 10. X 1 = 169 cm. X 2 = 183 cm. X 3 = 171 cm. X 4 = 113 cm. X 5 = 174 cm
Kon densintervaller og vurdering af estimaters usikkerhed Claus Thorn Ekstrøm KU Biostatistik ekstrom@sund.ku.dk Marts 18, 2019 Slides @ biostatistics.dk/talks/ 1 Population og stikprøve 2 Stikprøvevariation
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereKvantitative metoder 2
Kvantitative metoder 2 Specifikation og dataproblemer 2. maj 2007 KM2: F22 1 Program Specifikation og dataproblemer, fortsat (Wooldridge kap. 9): Betydning af målefejl Dataudvælgelse: Manglende observationer
Læs mereBayesiansk statistik. Tom Engsted. DSS Aarhus, 28 november 2017
Bayesiansk statistik Tom Engsted DSS Aarhus, 28 november 2017 1 Figure 1: Nicolajs gur 2 Klassisk frekvensbaseret statistik Statistisk beslutningsteori Bayesiansk statistik Et kompromis mellem den klassiske
Læs mereØkonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater
Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi
Læs mereTest nr. 5 af centrale elementer 02402
QuizComposer 2001- Olaf Kayser & Gunnar Mohr Contact: admin@quizcomposer.dk Main site: www.quizcomposer.dk Test nr. 5 af centrale elementer 02402 Denne quiz angår forståelse af centrale elementer i kursus
Læs mereNanostatistik: Test af hypotese
Nanostatistik: Test af hypotese JLJ Nanostatistik: Test af hypotese p. 1/50 Repetition n uafhængige gentagne målinger: Fordelingsundersøgelse: Pindediagram / Histogram qq-plot Parameter: egenskab ved fordeling
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereCenter for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable
Center for Statistik Handelshøjskolen i København MPAS Tue Tjur November 2006 Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Ved en tidsrække forstås i almindelighed et datasæt, der
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereStatDataN: Test af hypotese
StatDataN: Test af hypotese JLJ StatDataN: Test af hypotese p. 1/69 Repetition n uafhængige gentagne målinger: Fordelingsundersøgelse: Pindediagram / Histogram qq-plot Parameter: egenskab ved fordeling
Læs mereDagens Emner. Likelihood teori. Lineær regression (intro) p. 1/22
Dagens Emner Likelihood teori Lineær regression (intro) p. 1/22 Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 ) = ( 1 2πσ 2)n/2 e 1 2σ 2 P n (x i µ) 2 er tætheden som
Læs mere