Robusthed af netværk

Transkript

1 Robusthed af netværk Optimering af vaccinationsstrategier Projekt Rapport Gruppe B2-1a Aalborg Universitet Det Teknisk- Naturvidenskabelige Basisår Software Strandvejen DK-9000 Aalborg

2

3 Første Studierår Software Strandvejen Aalborg Titel: Robusthed af netværk - Optimering af vaccinationsstrategier Tema: Robusthed af netværk Projektperiode: P1, efterårssemesteret 2013 Projektgruppe: B2-1a Deltagere: Mike Frederik Andersen Jesper Wædeled Henriksen Lasse Lyngø Nielsen Lasse Just Petersen Vejledere: Ulrik Mathias Nyman Anna-Sofie Olsen Synopsis: Denne rapport indeholder modelering af virus epidemier. Der undersøges vaccinationsstrategi i en model af en influenza epidemi. Dette gøres ved brug af Markov Kæder og på baggrund af vægtede grafer og rejseaktivitet. Oplagstal: 7 Sidetal: 60 Appendiks: 1 Bilag: 10 Afsluttet den: 18/

4

5 ii Forord Denne rapport er udarbejdet af software studerende på første semester som P1 projekt. Projektet omhandler virus, hvilke vira der er relevante i dag og hvordan de spreder sig. Projektet har fokus på modellering af virus udbrud. Vi har vedlagt et projektforslag som appendix til sidst i rapporten. Mike Frederik Andersen - mikand13@student.aau.dk Jesper Wædeled Henriksen - jhenri13@student.aau.dk Lasse Lyngø Nielsen - lassni13@student.aau.dk Lasse Just Petersen - ljpe12@student.aau.dk

6

7 Indhold 1 Indledning 2 2 Problemanalyse Beskrivelse af vira og bakterier Hvordan spreder vira sig? Vira i dag Influenza Grafteori Modellering af spredning af vira Smittetræ modellen SIR modellen SIS modellen Problemformulering Interessentanalyse Kravspecifikation 24 4 Program design Vægtede og orienterede grafer Vægtede grafer Beregninger baseret på SIR-modellen Markov Kæder Rejseaktivitet Fly traffik Andre transport muligheder Design Begrænsninger Programbeskrivelse Diskussion Konklusion 46 Litteratur 47 iv

8

9 Kapitel 1 Indledning Denne rapport arbejder med Robusthed af netværk som hovedemne. Et netværk er generelt defineret som et system af objekter, hvor nogle par er forbundet [5] og er derfor et vidt begreb, da netværk findes mange forskellige steder. Det kan bl.a. være et data-netværk mellem computere, et socialt netværk mellem personer, eller et vejnetværk. Robusthed kan defineres som et emnes modstandsdygtighed [6], overfor udefra kommende påvirkning. I denne sammenhæng er robusthed et netværks modstanddygtighed overfor forsøg på at bryde det. Breden af emnet gør, at man kan fokusere på mange forskellige områder. I denne rapport er der fokus på epidemier, og de netværk disse bruger til at sprede sig. En epidemi siges at forekomme, når et uønsket fænomen spreder sig hurtigere, end hvad man normalt forventer, baseret på erfaring fra tidligere tilfælde [23]. I denne rapport tænker vi på epidemier i forbindelse med spredning af smitsomme sygdomme. Mange faktorer har indflydelse på hvordan og hvor hurtigt en epidemi spreder sig. Udover selve patogenets egenskaber for smittefare og smitteperiode, spiller det netværk som patogenet spreder sig gennem også en stor rolle. En sygdom der spreder sig fra person til person, spreder sig via et kontaktnetværk. Personerne er her repræsenteret af punkter. Hvis to personer kommer i kontakt med hinanden, på en måde hvorpå sygdommen kan sprede sig, opstår der en forbindelse mellem disse to punkter [5]. Dette netværk kan derfor varriere utroligt meget, baseret på patogenets egenskaber. For en meget smitsom luftbåren virus, vil dette kontaktnetværk omfatte enormt mange forbindelser, da virussen for eksempel nemt kan sprede sig til andre passagerer i en bus. Hvis der i stedet er tale om en seksuelt overført sygdom, vil kontaktnetværket være meget mindre. For at få en god forståelse for spredningen af en specifik epidemi, er det derfor vigtigt at lave en præcis modellering af dette netværk De enkelte personers rejsemønstre spiller også en vigtig rolle for spredningen af epidemier [11]. Hvis der for eksempel er meget stor rejseaktivitet mellem to bestemte byer, vil et epidemi udbrud i den ene by, med stor sandsynlighed sprede sig til den anden by, da der i så fald vil opstå et kontaktnetværk mellem personer fra begge byer. Derved udvides sygdommens kontaktnetværk betydeligt, og derved kan den spredes meget hurtigt [9]. Dette kan bremses, hvis man formår at mindske kontaktnetværket mellem disse byer. Viras smittenetværk bliver større, jo længere tid 2

10 3 den har til at sprede sig til flere personer [27]. Derfor er det interessant, at se på muligheden for hurtigt at identificere disse netværk, og lukke nogle af disse netværk ned, i tilfælde af et epidemi udbrud. Derved kan man isolere epidemien, og antallet af smittede personer kan reduceres kraftigt. Pga. den store variation af kontaktnetværket, kan der ikke på forhånd, fastlægges en strategi for håndtering af epidemier i alle tilfælde [34]. I denne rapport undersøges derfor om modellering og computersimulering, kan bruges til at opnå en forståelse for hvordan en epidemi kan forventes at sprede sig, udfra modeller over epidemiens kontaktnetværk, baseret på generel viden omkring patogenets egenskaber, netværk mellem personer samt rejsemønstre mellem byer. Deruover undersøges om sådanne simuleringer, kan benyttes til at identificere de vigtigste netværk for spredning af epidemien og om forskellige beslutninger omkring lukning af disse netværk, kan påvirke spredningen af epidemien. Vi har valgt, pga. projektets omfang, at afgrænse projektet til at have fokus på Danmark. En af de primære smitteveje for bakterie infektioner, som kolera og hepatitis A, sker gennem vandforurening fra kloak til drikkevand, som ofte opstår pga. dårlig kloakering [33]. Danmark er et højt udviklet land, med moderne kloaksystemer og effektiv affaldshåndtering, som derfor ikke er plaget af bakterie infektioner [20]. Den mest udbredte epidemi i Danmark er influenza epidemier, som kan forventes at forekomme med nogle års mellemrum [21]. Fokus vil derfor mere specifikt være på influenza epidemier. Der findes forskellige metoder, til at lukke nogle forbindelser i viras kontaktnetværk. En af disse er isolation og karantæne. Denne metode har størst effektivitet, hvis man tidligt i virussens forløb har mulighed for at identificere og isolere smittebærene, og sætte de personer der er omfattet af virussens kontaktnetværk, i karantæne i en periode svarende til inkubationstiden [12]. Dette er ikke en effektiv metode ved influenza epidemier, pga. hastigheden disse spreder sig med, kombineret med den egenskab virussen har til at smitte inden smittebæren viser symptomer. Derudover er der en række etiske dilemmaer i forbindelse med isolation, der også taler imod denne metode [12]. En mere udbredt, og mere velegnet metode, til bekæmpelse af influeanzaepidemier, er vaccination [12]. Da de fleste influenza typer ikke har nogle alvorlige konsekvenser for personer med et normalt immunforsvar, vil disse vaccinationsstrategier ofte fokusere på de mest udsatte grupper. Dette dækker f.eks. over personer med svækket immunforsvar, f.eks. ældre borgere, og personer der er i tæt kontakt med virussen, som læger og sygeplejersker [19]. Læger og sygeplejersker vil altid være en vigtig gruppe at vaccinere hurtigt, da stor sygdom i denne gruppe vil kunne resultere i nedsat effektivitet i sundhedssektoren. [34]

11 Kapitel 2 Problemanalyse 2.1 Beskrivelse af vira og bakterier Der findes flere forskellige patogener, som i denne rapport dækker over sygdomsfremkaldende organismer [14]. Typen af disse har en stor indvirkning på både hvordan de kan bekæmpes, og hvordan de spredes. I dette afsnit beskrives nogle af de væsentlige patogener, samt deres egenskaber. Hvad er en virus? Når man snakker om virus er der to ting man kommer til at tænke på. Den biologiske virus og computervirus. I denne opgave bliver der ikke snakket om computervirus, men vi sætter derimod fokus på den biologiske virus. Vi vil behandle biologiske vira i et datalogisk perspektiv ved at modellere og simulere spredning af virus. Biologisk virus Indenfor biologi er en virus mikroorganismer, som ikke kan forme sig alene men skal bruge en værtscelle. Når en virus har overtaget en værtcelle begynder den at lave flere viruspartikler. Virus består af genetisk materiale, DNA eller RNA, som er beskyttet af en proteinkappe. Derved er den i stand til at hægte sig fast på celler for bagefter at trænge ind i dem. Hos mennesker er de mest udsatte steder luftveje og mavetarmkanalen, da de ikke er dækket af beskyttende hud [2]. Måden virus spreder sig på er når smittede hoster og nyser på omgivelserne og andre så rører der hvor der er blevet hostet eller nyst. En anden vigtig vej er fra tarmsystemet til fødevarer [2]. Virus er en af de to vigtigste smittestoffer som man arbejder med indenfor medicin. Den anden er bakterier som der bliver omtalt i et andet afsnit. Dog er vira svære at bekæmpe end baterier. Der er flere grunde til at vira er svære at bekæmpe end bakterier. En af grundene er fordi de hele tiden ændre sig. Vira har ikke noget stofskifte. De former sig først efter de er kommet ind i cellen. Derfor når man laver en modgift skal man passe på ikke at ramme de raske celler også. Dette er grunden til at hvis man først har fået en virus ind i kroppen at man ikke kan medicinere imod den. Dog har man udviklet noget specifikt antiviral medicin imod HIV og herpes [2]. 4

12 2.1. Beskrivelse af vira og bakterier 5 Selvom vi ikke kan bekæmpe vira, kan vi forebygge den. Det gøres ved at vaccinere folk for at styrke immunforsvaret imod netop den virus man vaccinere imod. Den måde man behandler virus infektioner er nemlig at få kroppen til at klare det selv. Derfor vil man helst have at immunforsvaret har en så stor fordel som muligt mod nogle af de mest kendte og farligste vira.typiske vacciner er mod MFR, hepatitis og influenza [30]. Hvad er en bakterie? Bakterier er encellede mikroorganismer som man formere sig ved deling. Bakterier har et kromosom hvor de kan udveksle arvemarteriale med andre bakterier mens den lever. Dermed kan resistente bakterier overføre deres arvemateriale til et andet bakterie [2]. De kan også overføre deres sygdomsfremkaldende egenskaber sådan at det nye bakterie også får de sygdomsfremkaldende egenskaber. Bakterier har en cellevæg hvilket gør dem robuste overfor påvirkning udefra [30]. Dog er næsten alle bakterier harmløse og nogle bakterier er endda nødvendige for os, som f.eks. mælkesyrebakterien der hjælper os med at fordøje vores mad. Mennnesker har også gavnlige bakterier på huden og i slimhinderne som kan forhindre skadelige bakterier i at få fodfæste [2]. I modsætning til virus kan man behandle bakterier med antibiotika, hvor en af de mere kendte er penicillin, som også var det første antibiotika der blev opdaget. Måden de virker på er at antibiotika endten går ind og forhindre bakterievækst eller slår bakterierne ihjel. Problemet med dette er at baktiernes gener udviklinger sig og jo mere medicin man tager, jo større er risikoen for at danne modstandsdygtig bakterier, hvilket vil sige at de danner sig et forsvar og derfor bliver immune [30]. Afgrænsning Da virus er svære at gøre noget ved, når den først er kommet ind i kroppen end bakterier, vil rapporten fokusere på virus epidemier. Rapporten vil have fokus på hvordan man modarbejder en virus epidemi Hvordan spreder vira sig? Når der tales om virusspredning menes der måden som virus spreder sig imellem de enkelte individer. Dette kommer an på hvilken type af virus som der tales om. Eksempelvis smitter HIV kun igennem ubeskyttet sex, blodkontakt og ved graviditet og fødsel [29], hvor imod lungebetændelse kan smitte ved indånding af mikroorganismer [1]. Der findes også sygdomme som i de fleste tilfælde spredes via spyt. Et eksempel på sådan en virus er mononukleose, også kendt som kyssesyge, som i 9 ud af 10 tilfælde smittes via spyt [18]. Hvordan forhindres spredning af vira? I forbindelse med hindring i forhold til spredning af virus, findes der flere forskellige former for forebyggende tiltag. Den mest effektive og kendte hindring af spredning er god hygiejne. God håndhygiejne er en af de vigtigste. Håndvask flere gange om dagen er essensielt; specielt efter toiletbesøg og før indtagelse af mad. Det er også optimalt at hoste ind i ærmet, sådan at man forhindrer at eventuelle infektioner spreder sig videre til andre individer. I tilfælde af at man er inficeret med en sygdom, bør man undgå så meget social omgang som mulig, i det en enkelt

13 2.1. Beskrivelse af vira og bakterier 6 smittekilde, ved store forsamlinger vil medføre, en mikroorganisme spreder sig hurtigtere da der er mange modtagelige [10]. Håndtering af virus udbrud I tilfælde af virusudbrud findes der flere forskellige faser for håndtering af de enkelte inficerede, alt efter hvor alvorlig infektionen er holdt op imod det enkelte individs helbred. De første tiltag som bliver iværksat er grundlæggende at forebygge videre spredning, som kunne for eksempel starte med at det medicinske personale bliver vaccineret. De inficerede bliver vurderet, ud fra hvor alvorlig infektionen er. Efterfølgende bliver patienterne delt op i grupper på baggrund af en vurdering, som lægger grundlaget for deres videre behandling. Patienter over 65 år bliver ofte hårdest ramt, da deres immunforsvar er svækket grundet deres alder og bliver på baggrund af dette en prioriteret med henblik på behandling. Ser man derimod på børn og voksne, får disse kun tilbudt behandling hvis symptomerne opfylder de rigtige kriterier. Disse kriterier er virussens styrke og varighed [10] Vira i dag Influenza epidemier er et vigtigt emne i diskussion omkring sundhed og har opnået stor opmærksomhed på det nationale og internationale plan, på grund af potentialet for at destabilisere et samfund, ved et betydeligt befolkningsantal omkommer eller ramte bliver uarbejdsdygtige og derved ude af stand til at foretage deres arbejdsbyrde i samfundet. Dette kan stoppe ydelsen af services som er vigtig for opretholdsen af samfundet og sikkerheden af samfundets individer. Dette involvere områder som sygehusvæsenet, som har daglig kontakt med svækkede individer og er derfor en udsat risikogruppe [19], politivæsenet og andre vitale samfundsorganers funktionalitet og derved på samme måde undergrave stabiliteten af et samfund [34]. Derudover er spredningen svær at opdage og inddæmme, da smittebærer kan sprede virussen uden at udvise symptomer [4]. Smitten kan spredes via dråber, derfor igennem host, nys og anden kontakt via væske [16]. Den globale udvikling har øget befolknings mobiliteten som aldrig før. Kontakten mellem nationer og kontinenter bliver flydende og mindre begrænsende med udviklingen af langt mere effektive transport systemer og kraftig reducering i investeringen af tid og kræfter for at foretage en rejse [24]. Denne udvikling har betydet en øget mobilitet for epidemier som foreksempel med influenza, der er i stand til at sprede ud over naturlige nationale grænser, som tidligere har begrænset epidemiens omfang ved at begrænse smittebærernes mobilitet. Globaliseringen har medført at epidemier potentielt spredes betydeligt hurtigere end tidligere og kan påvirke langt større befolkningsgrupper end tidligere som man for eksempel kan se ved SARS epidemien [9]. Det er kontroversielt at forskere arbejder og manipulere med meget smittende dødelige influenza sygdomme, som kunne anvendes til at sprede endnu farligere sygdomme ud i samfundet [16]. Dette udmundede i et års indstillet forskningen indenfor feltet med influenza i 2012, for at nationale og internationale organisationer kunne skabe nogle retningslinjer og regler, for at sikre imod at forskning blev anvendt med dårlige intentioner eller undgå virus udslip [16]. Forberedelse imod influenza epidemier er blevet et nationalt og internationalt mål, som øger bevidstheden om smittens fare. Dette er en forandring som afspejler den øgede forståelse på området [28]. Frygten for influenza sygdomme som fugle influenza stammer fra den høje smitsomhed, manglende vaccinenations mulighed, dødeligheden og at epidemien spredes ukontrolleret [16]. Det anskues at der er 39% sandsynlighed for at et udslip med dødelig influenza virus fra et laboratorium indenfor det næste årti, selvom man har lavet tiltag for at forhindre det. Denne vurdering er sket ved at

14 2.1. Beskrivelse af vira og bakterier 7 vurdere antallet af tidligere udslip og foretage division med antallet af nuværende laboratorier som håndtere dødelige influenza vira. Håndtering af vira i dag og tidligere Opmærksomheden på vira og komplikationerne af smitte, dødelighed og dets effekt på det nationale og internationale plan, er et veldiskuteret emne indenfor international sundhed. For eksempel har WHO, World Health Organisation, udgivet en guide til at håndtere og forbygge imod en pandemisk influenza situation, "Pandemic influenza preparedness and response : a WHO guidance document". Håndtering af vira sker med behandling som vaccination når muligt, forebyggelse med forbedret basal hygiejne og undgå kontakt med smitte kilder og isolering af smittende individer. WHO dokumentet om håndtering af pandemier ligger stor vægt på vurdering og analyse af influenza udbreddelse, forhold og hvilke risiko den udgør før håndtering, bliver diskuteret. Forståelsen og deraf håndteringen af vira vokser stadig. Der er områder som ikke er tilfredsstillende forstået, men hvor der foretages videre forskning i feltet [16]. Forståelse af vira og smitte har formindsket smitterisiko mellem både person til person kontakt og kontakt til dyr. Det har anledt til at Dansk fødevarestyrelse har udarbejdet et leksikons artikel "Forebyggende beskyttelse [8] der vedrører håndtering af fugle og regler på området. Dette viser hvordan forståelsen for vira ændrer vores håndteringen af vira og en skaber en mere sikker ramme for interaktion med emnet Influenza Denne rapport tager udgangspunkt i virusinfektionen influenza, da denne type infektion er den mest relevante infektion i forhold til Danmark. Danmark har nemlig, som resten af norden, kolde vintre og forholdvis kolde somre, hvis man sammenligner det med store dele af verden, og influenza trives bedre og spreder sig nemmere i tør luft og koldt vejr [7] [13]. Dette kan have flere årsager: 1. Mikroorganismerne i en virus lever bedst i et klima som har lavere end 50% luftfugtighed [7]. 2. Kroppen reagerer anderledes i koldt vejr ved at slimhinderne svækkes, dette giver vira nemmere adgang til kroppen [17]. 3. Mennesker samler sig ved varme steder (busser, butikker etc.) som fører til at virussen nemmere kan smitte andre individer [7]. Influenza smitter også via kontaktsmitte. Her findes det to typer; indirekte og direkte. Indirekte kontaktsmitte, også kaldt krydsinfektion, er når smitstof går fra smittebærer til modtager via en mellemstation. Dette kunne ske hvis nogen hostede i håndfladen og rørte et dørhåndtag hvorefter en anden tog fat i samme dørhåndtag hvorefter hånden kom tæt på sit ansigt. Ved direkte kontaktsmitte kunne et eksempel være at en person hoster og personen ved siden af bliver syg. Dette er grunden til at udstyr og instrumenter bliver steriliseret før og efter brug på patienter [22]. For at modellere en influenza epidemi vil vi først kigge på grafteori.

15 2.2. Grafteori Grafteori En graf er en måde at beskrive forholdene mellem en samling af emner [5]. En graf består af et sæt af objekter, som er kaldt knuder, nogle af disse knuder er forbundet af links kaldet kanter. Nedenstående er en graf, som består af 4 knuder, som er tildelt navnene A, B, C, og D, hvor B er forbundet til de andre tre knuder igennem kanter, og C og D er forbundet igennem en kant. Dette forhold beskrives som at knuderne er naboer, hvis de er forbundet med en kant. Figur 2.1 viser forholdet mellem to ender af en kant hvor venstre side kan anskues som symmetrisk, da grafen er uorienteret. Uorienterede grafer bruges når retningen af grafen er irrelevant. Figur 2.1: Figuren til venstre viser uorienteret graf, mens figuren til højre viser en orienteret graf [5]. Asymmetriske forhold i grafer kan anskues, eksempelvis at A peger til B men B peger ikke til A. Til dette anvendes den orienterede graf (2.1 til højre), som består af et sæt af knuder og orienterede kanter, hver orienteret kant, er en kant fra en knude til en anden knude, hvor retningen er vigtig. Et eksempel på en orienteret graf, ses i figur 2.1, som viser hvilken retning knuderne er orienterede [5]. Grafer kan anvendes til matematisk at modellere netværk strukturer og illustrere forholdene visuelt. Et eksempel på dette kunne være 2.2, som viser netværk strukturen af Internettet i december Dengang hed det Arpanet [5], og havde 13 sites. Knuderne repræsenterer "computer værter"og hvis der er en kant som forbinder to knuder i figuren, betyder det at der er direkte kommunikationsforbindelse imellem dem.

16 2.2. Grafteori 9 Figur 2.2: Figuren viser Arpanettet fra 1970 [5]. Det skal understreges at den reelle geografiske placering er uvæsentlig, men betydning ligger i hvordan knuderne er forbundet og interagere [5]. Hvis geografien af figuren tilsidesættes, erfares at det er en 13 knude graf og kan illustreres som figur 2.3. Altså afspejler begge figurer det samme netværk. Figur 2.3: Figuren viser det samme Arpanet, men er vist på en anden måde [5]. Grafer er yderst bredt anvendt og til mange emner, om det illustrere hvordan emner er enten fysisk eller logisk forbundet til hinanden, i en netværks struktur. Figurene af Arpanet, viser et eksempel af et kommunikations netværk, i hvilket knuderne er computerer eller andre enheder som er i stand til at sende information [5]. Kanterne repræsentere direkte links imellem knuderne. En væsentlig forskel på kommunikations netværk og sociale netværk, er at sociale netværks knuder er mennesker eller grupperinger af mennesker, mens kanterne er en form for social interaktion. I et kommunikations netværk er knuderne informations ressourcer som internet sider

17 2.2. Grafteori 10 eller dokumenter, og kanter er logiske forbindelser som hyperlinks og citationer. Et interessant koncept indenfor grafer, er begrebet en sti eller på engelsk en "path", hvilket er opstået ved ideen omkring noget der rejser tværs over kanter i en graf, som bevæger sig fra knude til knude i sekvens. Dette kunne for eksempel være personer som rejser imellem byer eller noget information, som bliver delt fra person til person i et socialt netværk. En sti er en simpel sekvens af knuder med den egenskab at hvert efterfølgende par i sekvensen er forbundet med en kant [5]. Stier kan anskues til at være mere end bare knuderne det indeholder, men også selve sekvensen af kanter der forbinder disse knuder. Knuderne fra de to figurere af Arpanet, med sekvensen MIT, BBN, RAND, UCLA er en sti. Hvis stier ikkel repetere nogle af de knuder, som de indeholder, bliver de kaldt simple stier. En interessent type af en ikke-simpel-sti er en cyklus, hvilket essentielt er en ring struktur, som sekvensen af knuderne LINC, CASE, CARN, HARV, BBN, MIT, LINC som er vist på højre side af figur 2.3. En cyklus er en sti med mindst tre kanter, i hvilket den første og sidste knude er identisk, men derudover er alle knuder forskellige i cyklussen. Denne cyklus form har en stor fordel, hvis alle kanterne hører til en cyklus: Dette betyder at hvis en kant svigter, er der stadig mulighed for at kommunikere imellem alle knuderne. Generelt set er cyklusser anvendt i kommunikation og transports netværk, for at give robusthed i systemet, altså giver dette alternative ruter rundt omkring en svigtende kant. Et andet koncept indenfor grafer er "connectivity"som refereres til tilslutningsmuligheder. Det er interessant at anskue om enhver knude, kan nå alle andre knuder i netværket igennem en sti. Denne beskrivelse anvendes for en graf, som er tilsluttet: Hvis for hvert par af knuder, at der er en sti imellem dem [5].

18 2.2. Grafteori 11 Et eksempel på en tilsluttet graf, er den tidligere anvendte graf af internettet. Kommunikationsog transportnetværk er normalt tilsluttede. Dette skyldes at målet for disse netværks typer er at transportere objekter eller informationer fra en knude til en anden knude. Der er andre typer af netværk, som ikke er tilsluttet men derimod afbrudt. Et eksempel kunne være et socialt netværk, hvor der er to personer i netværket, repræsenteret af to knuder, som det er umuligt at danne en sti imellem. Altså at den sociale interaktion igennem den sociale kreds fra en knude på ingen måde kan interagere med enhver anden knude i netværket. Et sådant netværk er illustreret på figur 2.4, som er et simpelt eksempel, hvor der er tre tilsluttede komponenter. Konceptet "komponent"bliver uddybet senere i afsnittet. Figur 2.4: Denne graf, viser et simeplt netværk med tre tilsluttede komponenter [5]. De to figurer 2.4 og 2.5 illustrere en vigtig indsigt omkring afbrudte grafer. Hvis en graf ikke er forbundet, så bryder den naturligt fra hinanden til et sæt af tilsluttede dele, som kan anskues som grupper af knuder. Dette betyder at hver gruppe er tilsluttet, når den bliver betragtet individuelt, og at ingen af grupperne overlapper hinanden. I figur 2.4 ses det at grafen består af tre dele. En del med knuderne A, B og anden del med C, D og E samt en gruppe med resten af knuderne [5]. For at omtale dette, opstår konceptet tilsluttet komponent af en graf, som ofte er angivet ved en komponent, som er et delsæt af knuder som opfylder følgende: Enhver knude i delsættet har en sti til en hvilken som helst anden knude i delsættet, og at delsættet ikke er en del af et større helhed med egenskaben at hver knude kan nå en hvilken som helst anden knude. Den nedenstående graf 2.5, viser samarbejdet i et biologisk efterforsknings center, Structural Genomics of Pathogenic Protozoa forskningscenter (SGPP)", som er en mere kompleks graf som

19 2.2. Grafteori 12 også har tre tilsluttede komponenter. Grafen illustrere det officielle samarbejde og viser ikke de informelle interaktioner i netværket. Figur 2.5: Grafen viser det officielle samarbejde i et forskningenscenter [5]. Betydningen af disse to betingelser er at en komponent er forbundet ved at være indre tilsluttet. Dette betyder at det reelt er en fritstående del af helheden af grafen og ikke en tilsluttet del af et større netværk. Forståelsen ved at dele en graf op i komponenter, er et initialiserende forsøg på en helheds beskrivelse af strukturen. I en given komponent, kan der være en meget dybdegående indre struktur, der er vigtig for forståelsen af netværket. Et eksempel på denne forståelse kunne være den største komponent i figur 2.5 og de forbindelser det repræsentere. Der ses en fremtrædende knude i centrum og tæt forbundede grupper er forbundet til denne knude, men ingen andre. En måde at forstå betydningen af den centrale knude, er ved at betragte at ved fjernelsen af denne knude, ville den største tilsluttede komponent bryde ud i tre komponenter. Denne metode at analysere en graf på, i henhold til dens tæt forbundene regioner og grænser imellem dem, er en anderledes måde at anskue en netværksstruktur på. Et andet begreb indenfor grafer, er kæmpe komponent, på engelsk "giant komponent-[5]. Kæmpe komponent er en væsentlig komponent i et netværk, som i mange tilfælde kan bestå af en betydelig del af alle knuder i netværket. En kæmpe komponent er også til stede i figur 2.5 af samarbejdet i et forskningscenter [5], som er den største og miderste komponent og mest fremtrædende af alle tre komponenter. Derfor betegnes denne komponent som kæmpe komponent. Kæmpe komponenter er interessante at anskue med henblik på netværkets forbindelser og konse-

20 2.2. Grafteori 13 kvenser heraf. Et eksempel kunne være af en gruppe af mennesker og deres seksuelle relationer. Når kæmpe komponenten i sådan et netværk anskues, kan det give informationer om spredning af seksuelt overførte sygdomme [5]. Den enkelte knude kan uden at vide det, være en del af en meget større komponent end antaget og derfor er der mange stier af potentiel overførsel [5]. Der skal tages hensyn til brud i relationer imens information over netværket indsamles og påvirkningen af den tid der foreløber [5].

21 2.3. Modellering af spredning af vira Modellering af spredning af vira Et virus udbrud afhænger ikke udelukkende om hvordan virussens egenskaber, som for eksempel dens smitsomhed, smitteperiode og hvilke konsekvenser den har. Når virus spredning modelleres er det relevant at vurdere hvordan forholdene er, i området hvor virussen spreder sig. Forholdene i et bymiljø kunne eksempelvis være det sociale netværk og befolkningstætheden i det samfund som er udgangspunktet [5] Smittetræ modellen Afsnittet starter med en simpel model for smitte. I rapporten referes der til denne model som et smittetræ. Den virker som følger: 1. Første bølge: Først antages at der er en person som bærer influenzaen og som kan inficerer hvert individ personen møder med en individuel sandsynlighed angivet ved c. Der referes i denne rapport til denne person som smittekilden. Det antages at smittekilden kommer i kontakt med p antal individer, i perioden personen er i stand til at smitte andre. Denne tilfældige overførsel af infection er grundlaget for, at nogle individer i første bølge bliver smittet, mens andre forbliver upåvirket. 2. Anden bølge: Hvis hvert individ i første bølge kontakter andre individer, og igen kommer i kontakt med antal p individer. Så består anden bølge af p*p individer. 3. Efterfølgende bølger: De næste bølger af inficerede vil være forårsaget på samme måde hvor de inficerede individer fra bølgen forinden kontakter yderligere p antal individer. Matematisk kan dette beskrives overordnet ved udvikling med formlen p t hvor t er antal bølger [5]. Denne simple model kan blive vist hvis vi antager at p = 3 og t = 3 illustreret på figur 2.6. Der er indkluderet 2 ekstra modeller som viser hvordan henholdsvis en knap så smittende virus og en meget smittende virus spreder sig. Se figur 2.7 og figur 2.8.

22 2.3. Modellering af spredning af vira 15 Figur 2.6: Denne figur beskriver hvordan de forskellige personer interagerer med hinanden [5]. Figur 2.7: Denne figur beskriver hvordan den knap så smittende virus spreder sig [5]. Figur 2.8: Denne figur beskriver hvordan den meget smittende virus spreder sig [5].

23 2.3. Modellering af spredning af vira 16 Det som illustreres på figur 2.7 og figur 2.8, er at den højere c værdi vil sprede sig meget hurtigere end som man kan se på figur 2.7 hvor den mindre c værdi faktisk går "død"i anden bølge da den ikke spreder sig mere, efter at have smittet 4 personer. Denne model tager også højde for smitteperiode, da den initierende bølge er færdig efter at den første smitteperiode er færdig. Så det der egentligt sker er at antallet af personer p i første bølge stiger. Dog burde der kunne begynde at komme størrer grene på vores smitte træ inden den første bølge er færdig hvis smitteperioden er lang nok. Grafisk ville dette træ udvikle sig lidt anderledes end de tidligere figure. Det kunne f.eks. se ud som illustreret på figur 2.9.

24 2.3. Modellering af spredning af vira 17 Figur 2.9: Denne figur beskriver hvordan virus spreder sig selvom den første bølge ikke er afsluttet. Som illustreret på figur 2.9 vokser den venstre side af smittetræet hurtigere end den højre side imens den første bølge bliver afviklet. Dette er blevet vist med et antal personer der langt fra er realistisk for at gøre det mere simpelt og for at have mulighed for at illustrere det. Så selvom at smittekilden har smittet p antal personer, så vil han blive ved med at være en smittefare så længe han er smittebærer. Derfor vil han blive ved med selv at smitte andre mens første og anden bølge er i gang.

25 2.3. Modellering af spredning af vira SIR modellen I SIR modellen anvendes en mere avanceret model som kan bruges på en hvilken som helst netværksstruktur. For at dette kan gøres, beholder vi de grundlæggende træk i forgreningsproccessen for hver person mens vi modellere kontakten til andre personer mere generelt. Hver person der bliver smittet med sygdommen, gennemløber tre faser: 1. Susceptible: Den modtagelige gruppe. Før personen er blevet smittet. Her er han modtagelig for at blive smittet af andre omkring ham. 2. Infected: Den inficerede gruppe. Her er personen blevet smittet og bliver betragtet som en mulig smittebærer og dermed har en risiko for at smitte andre personer. 3. Removed: Den fjernede gruppe. Efter at personen har gennemgået en sygdomsperiode med influenza og herfra har dannet antistoffer og har opnået immunitet. En anden mulighed er vaccination, som betyder at personen er blevet immun overfor virussen, og derfor ikke har risiko for at blive smittet igen med samme sygdom. Det er også muligt at personen er død [5]. Ved at benytte disse tre nye stadier til at beskrive en slags livscyklus af en vilkårlig virus, kan vi nu definere en model for virusser på et netværk. Dette vil bliver vist på et simpelt netværk vist på figur Figur 2.10: Denne figur viser et simpelt netværk af 4 personer. I de fleste sociale netværk vil både den ene part og den anden part snakke med hinanden så pilenes retning har egentligt ikke nogen betydning i denne sammenhæng. Hvert knudepunkt har mulighed for at gå igennem en livscyklus, altså Modtagelig-Inficeret- Fjernet. En epidemi i denne model er styret af strukturen af netværket og af to yderligere parametre: c (sandsynligheden for at smitte andre) og t i (smitteperioden). Et nyt scenarie betragtes: 1. Vi starter med at have nogle få knudepunkter i I stadiet og resterende i S stadiet. 2. Hvert knudepunkt som kommer over i I stadiet forbliver i I stadiet i tidsperioden t i.

26 2.3. Modellering af spredning af vira Mens knudepunkterne er i I kan de i tidsperioden t i smitte de raske knuderpunkter der er forbundet med kanter. 4. Når tidsperioden t i er ovre, er de knudepunkter der var i I stadiet ikke længere relevante i modellen og antager derfor stadiet R, da de ikke længere kan smitte eller modtage sygdommen. Hvis SIR modellen benyttes på figur 2.10 og antager at knudepunkt V er inficerede så vil V både have mulighed for at smitte W og Y da der er kontakt imellem dem. V kan ikke smitte X da de ikke har direkte kontakt. For at illustere dette på en mere overskulig måde, ser vi nu på figur Figur 2.11: Disse figure viser SIR modellen forløb [5]. Der antages her at de røde noder er personer som har været smittet af sygdommen. Hvis de har en tyk ring omkring sig betyder det at de stadig er syge og udgør en fare for at smitte dem som de kommer i kontakt med. De røde noder som har en tynd ring omkring sig, har været igennem et smitteforløb og er blevet immune. De kan derfor ikke modtage sygdommen igen. Disse er heller ikke til fare for andre SIS modellen Den sidste model som kunne være interessant at se på i forhold til dette projekt er SIS modellen. I dette tilfælde er det muligt at blive smittet igen selvom man har haft sygdommen før. Den har altså kun en livscyklus på de 2 første trin, nemlig Raske og Smittet også Raske igen. Herfra

27 2.3. Modellering af spredning af vira 20 gælder næsten det samme som i SIR modellen. Vi har nogle personer som er smittet mens de resterende er raske. Hvert smittet har s risiko for at give sygdommen videre. Individet vil så have den i tidsperioden. t i [5]. Rapporten vil ikke omhandle denne model yderligere, da det primært er SIR modellen, som der er relevant for projektet da folk ikke kan blive smittet igen efter de har været igennem en smitteperiode. Det programmet kommer også til at være baseret på SIR modellen. På denne baggrund af problemanalysen opstilles en problemformulering.

28 2.4. Problemformulering Problemformulering Den mest udbredte form for epidemi i Danmark er influenza epidemier[21], der især er farlig for ældre mennesker, med svækket immunforsvar. Der forekommer jævnligt influenza epidemier i Danmark. Dette kan medføre et tab af mennneskeliv, som muligvis kan afværges. Derfor opstilles følgende problemformulering: Hvordan kan man lave et program der på en daglig basis kan simulere og hjælpe sundhedsstyrelsen med at lave en god daglig vaccinationsstrategi?

29 2.5. Interessentanalyse Interessentanalyse Simuleringer af influenza epidemier, bliver anvendt for at skabe forståelse for epidemier og hvordan de kan forebygges. Modellerne er ofte konstrueret eller vurderet på baggrund af tidligere epidemier, hvor der er statistisk viden tilgængelig vedrørende forløbet af epidemien. En influenza epidemi har potentiale til at påvirke store dele af et samfund, og der forekommer derfor vidt udstrakt interesse for at modellere dette, med henblik på håndteringen og forebyggelse. På grund af dette anvendes et skema for at få et nemt overblik over interessenter og deres indflydelse på projektet.

30 2.5. Interessentanalyse 23 Interessenter Fordele for interessenten Staten Påvirke omfanget af influenza epidemi, færre sygedage og sikre funktionaliteten i samfundets sektorer [34]. Befolkning Befolkningen er interesseret i at undgå et ubehageligt sygdomsforløb [15]. Sundhedsstyrelsen Samarbejde omkring en vaccinationsstrategi påvirker positivt mod potentielt færre berørte af en epidemi Læger Nedsat arbejdsbelastning med færre influenza patienter, giver plads til fortsættelse af normal arbejdsbyrde [34]. Ulemper for interessenten Staten investere ressourcer og risikere at miste credibilitet og anselse [31] En vaccineringsstrategi som er administreret til bestemte grupper eller individer, har potentiale for at skabe forvirring og bekymring hos resten af befolkningen. Problem med at implementere og tilpasse nyt system. Hvis patienter er uafklaret omkring vaccinationsstrategien, og har behov for at få afklaret spørgsmål, kan det blive en byrde for lægerne. Interessentens position Staten har interesse i at reducere sygelighed i befolkningen [35], og vil derfor generelt være interesserede i en vaccinationsstrategi. Interesseret i at undgå ubehageligt sygdomsforløb [15]. Sundhedsstyrelsen har sat generelle retningslinjer for en håndtering af influenza epidemi [34]. Muligvis bidrage med praktisk erfaring i håndtering af influenza. Håndtering af interessenten Fremhæve de potentielle fordele og besparelser, ved at vise hvor effektivt en epidemi kan stoppes ved at bryde dens smitte-netværk tidligt. Håndtereringen af denne interessant blive foretaget ved at tage hensyn og informere befolkningen i tilfælde af implementering af vaccinationsstrategi. Kontakte sundhedsstyrelsen efter at programmet overholder kravspecifikationerne og derefter foretage dialog omkring deres interesse og samarbejde. Løbende kontakt mellem praktiserende læger og administrering af vaccine er relevant, deres meninger og erfaringer, giver mulighed for videre udvikling. De omtalte interessenter er alle relevante for udformningen og har haft indflydelse på hvordan projektet er bearbejdet. Interessenterne er dem, som vi har vurderet til at have haft mest indflydelse på området. Det er derfor blevet disse fire interessenter som er blevet fokuseret på, for at give indblik i deres forhold og påvirkning i emnet og på vores projekt.

31 Kapitel 3 Kravspecifikation Ved udvikling af et program, der kan afhjælpe problemet stillet i problemformuleringen, er der en række krav der skal opfyldes. Identificering af disse specifikke krav er vigtig, for at sikre at programmet effektivt kan løse problemet. Disse krav er også vigtige, for at have nogle klare mål at arbejde udfra, ved udvikling af programmet. Herunder opstiller vi de vigtige krav til programmet. Krav til programmet: 1. Programmet skal kunne modtage simple input for virussens egenskaber. 2. Gemme relevante data om forskellige byer. 3. Gøre brug af data for rejseaktivitet mellem byer. 4. Tage hensyn til virussens egenskaber for at smitte. 5. Tage hensyn til virussens dødelighed. 6. Tage hensyn til hvor mange der er modtagelige overfor virussen, ved brug af SIR-modellen. 7. Beregne hvor mange smittede der kan forventes af være efter en given tid. 8. Tage hensyn til hvilke grupper der vil opleve de største konsekvenser ved at blive smittet. 9. Tage hensyn til de tilgængelig mængder vaccine. 10. Identificere de netværk der er størst sandsynlighed for at virussen spreder sig gennem. 11. Simulere effektiviteten af at lukke nogle af disse netværk ned. 12. Dagligt gemme data for virussens spredning. 13. Bruge disse simuleringer til at beregne det mest effektive sted at gribe ind på daglig basis. 14. Programmet skal tage højde for at folk bliver hjemme når de er syge. Pga. projektets omfang, og vores nuværende viden om programmering, er det ikke muligt for os at fremstille et program der opfylder alle disse krav. Derfor har vi valgt at udvikle en mindre del af programmet, som skal opfylde nogle udvalgte krav, som følger herunder. 24

32 25 1. Programmet skal kunne modtage simple input for virussens egenskaber. 2. Gøre brug af data for rejseaktivitet mellem byer. 3. Tage hensyn til virussens egenskaber for at smitte. 4. Tage hensyn til virussens dødelighed. 5. Tage hensyn til hvor mange der er modtagelige overfor virussen, ved brug af SIR-modellen. 6. Beregne hvor mange smittede der kan forventes af være efter en given tid. 7. Tage hensyn til de tilgængelig mængder vaccine. 8. Simulere effektiviteten af at lukke nogle af disse netværk ned. 9. Dagligt vise data for virussens spredning.

33 Kapitel 4 Program design 4.1 Vægtede og orienterede grafer I afnittet omkring grafteori, beskrives hvordan orienterede grafer, kan bruges til at beskrive, at nogen forbindelser mellem punkter er ensrettede. Hvorved punkt A, f.eks. kan have indflydelse på punkt B, uden at punkt B har nogen indflydelse på punkt A, som illustreret på den orienterede graf i figur 2.1. Dette er meget nyttigt ved modellering af en virus epidemi, hvor der tages udgangspunkt i SIR-modellen. Begrundelsen for dette kan udledes af den efterfølgende simple orienterede model. Figur 4.1: Figuren viser hvordan der er muligt, at bevæge sig imellem grupperne i SIR-modellen. Som beskrevet i afsnittet omkring modeller har SIR-modellen den egenskab, at man kun kan bevæge sig mellem grupperne Modtagelig (Susceptible), Inficeret (Infected) og Fjernet (Removed) på bestemte måder. F.eks. kan personer i gruppen Fjernet, ikke bevæge sig tilbage til andre grupper. Dette er illustreret ved brug af de orienterede forbindelser man kan se i figur Vægtede grafer I dette afsnit implementeres vægtede grafer. Disse er nyttige ved modellering af epidemier efter SIR-modellen. Dette giver mulighed for at tage højde for, hvor stor sandsynlighed der er for at bevæge sig mellem punkterne i grafen. Disse sandsynligheder varierer baseret på flere forskellige faktorer, som antallet af smittede personer individet møder, samt virussens smitte egenskaber. Her antager vi at risikoen for at en influenza virus smitter, når man er i kontakt med en smittebærer, er 10%. Ud fra dette kan man opstille følgende model for tilfældet hvor en modtagelig 26

34 4.1. Vægtede og orienterede grafer 27 person S, er i kontakt med en smittebærer. Figur 4.2: Figuren viser sandsynligheden for, at bevæge sig fra en gruppe til en anden. Det fremgår af modellen i figur 4.2, at den modtagelige person S, nu har en 10% risiko for at kommer over i den smittede gruppe I. Derudover fremgår det, at en person der ender i den smittede gruppe I, derefter altid vil ende i den fjernede gruppe R. Dette skyldes SIR-modellens udformning, hvor alle personer der ikke længere kan smittes eller er smittede, placeres i denne gruppe. Den dækker derfor både over personer der har opbygget en resistens overfor virussen og døde Beregninger baseret på SIR-modellen I udformningen af programmet ønskes det at kunne beregne på antallet af personer der befinder sig i disse grupper. Ud fra SIR-modellen kan man udlede disse formler over ændringen i grupperne, som vil være brugbare i vores projekt. Ved udledning af disse formler, antages en række forskellige forhold omkring epidemi forløbet. SIR-modellen tager udgangspunkt i en fastsat total befolkning N = S(t) + I(t) + R(t), hvor S(t), I(t) og R(t) betegner hendholdsvis antallet af modtagelige, inficerede og fjernede personer, som en funktion af tiden t [5]. Det antages at alle modtagelige (S) har den samme risiko for at blive smittet. Der anvendes variablen b som beskriver antallet af kontakter en inficeret person har dagligt, multipliceret med risikoen for infection. Derudover antages at andelen af modtagelige i den totale befolkning N, svarer til andelen af modtagelige hver smittet person møder per dag. Derved får vi, at hver inficeret person genererer bs(t) nye inficerede per dag. Til sidst antager vi at en andel af de inficerede (k), forlader denne gruppe hver dag. Det sker ved dødsfald, eller ved at opnå naturlig immunitet. Dermed kan de følgende differentialligninger, for ændringer i antallet af individer indeholdt i de tre grupper, opstilles: ds = bs(t)i(t) (4.1) dt Formel 4.1 beskriver ændringen i antallet af personer, indeholdt i den modtagelige gruppe S, med hensyn til tiden t. I følge den klassiske SIR model er den eneste måde at forlade den modtagelige gruppe på, at blive inficeret. Derfor trækkes antallet af nye inficerede personer blot fra det antal personer, der allerede findes i den modtagelige gruppe. På denne måde beskrives der hvor mange inficerede hver inficeret person generere om dagen, som ganges med antalet af personer i den inficerede gruppe. di dt = bs(t)i(t) ki(t) (4.2)

35 4.1. Vægtede og orienterede grafer 28 Formel 4.2 beskriver ændringen af antallet af personer, indeholdt i den inficerede gruppe I, med hensyn til tiden t. Da vi allerede kender udregningen for antallet af nye inficerede per tidsenhed, findes talet for nye inficerede ved at lægge dette tal til de allerede inficerede, samt at trække antallet af personer, der forlader den inficerede gruppe fra. dr = ki(t) (4.3) dt Formel 4.3 beskriver ændringen af antallet af personer, indeholdt i den fjernede gruppe R, med hensyn til tiden t. Dette findes ved at gange faktoren k, med antallet af personer indeholdt i den inficerede gruppe. Af disse formler kan der udformes en graf over den forventede udvikling af epidemien over en periode. For at gøre dette skal der fastsættes nogle værdier for N, b og k. I dette eksempel tager vi udganspunkt i byen Aalborg, der har en befolkning på N = Vi antager at en inficeret personer har netop én smittefarlig kontakt hver dag, derfor sættes b = 1. Ved influenza epidemier er dødeligheden meget lav, så denne ses der i dette tilfælde bort fra. Vi antager at det gennemsnitligt tager 4 dage at blive rask, derfor sættes k = 1/4. Det antages i dette eksempel, at der starter med at være 50 inficerede personer. Startbetingelserne sættes derfor til S(0) = , I(0) = 50 og R(0) = 0. Med disse tal fås grafen som ses på figur 4.3. Figur 4.3: Grafen viser antallet af personer indeholdt i grupperne modtagelig (S), inficeret (I ) og fjernet (F), i et tidsinterval fra dag 0 til dag 60, med betingelserne b = 1, k = 1/4 og i(0) = 50

36 4.1. Vægtede og orienterede grafer 29 Figur 4.3 viser udviklingen af en virus epidemi, der har de egenskaber, at en inficeret person i gennemsnit har netop en smittefarlig kontakt hver dag, og er smittefarlig i 4 dage. Med disse egenskaber ses det at der efter 35 dage næsten ingen udvikling sker længere. Man kan også se at antallet i den fjernede gruppe (R), slutter med at være næsten lige så højt, som antallet af personer der startede som modtagelige (S). Ud fra figur 4.3, kan det udledes at næsten hele befolkningen, her har været inficeret af epidemien. I mange sammenhænge vil det være mere hensigtsmæssigt, at se på grupper som andelen af befolkningen der findes i den pågældende gruppe. Dette opnåes ved at lave nogle ændringer i formlerne 4.1, 4.2 og 4.3. Andelen af den total befolkning i en gruppe, findes ved at dividere antallet af personer i gruppen, med den total befolkning N. Derved findes følgende variable, der beskriver andelen af den totale befolkning, i de forskellige grupper, som en funktion af den forløbne tid t. s(t) = S(t)/N i(t) = I(t)/N r(t) = R(t)/N (4.4) Derved fås disse differentialligninger, for ændringen i andelen af den totale befolkning, der befinder sig i de tre grupper. ds dt = bs(t)i(t) di = bs(t)i(t) ki(t) dt (4.5) dr dt = ki(t) Med disse ligninger kan der tegnes en graf lignende den i figur 4.3. Her behøver vi dog ikke at kende den totale befolkning, eller antallet at inficerede og modtagelige personer. Det er nok at kende andelen af personer der starter med at være inficerede.

37 4.1. Vægtede og orienterede grafer 30 Figur 4.4: Grafen viser andelen af den total befolkning, indeholdt i grupperne modtagelig (S), inficeret (I ) og fjernet (F), i et tidsinterval fra dag 0 til dag 60, med betingelserne b = 2/3, k = 1/4 og i(0) = 0, Ved denne graf er der foretaget den ændring, at det nu antages at hver inficeret person, nu kun har 2 smittefarlige kontakter på 3 dage. Dette resulterer, som ventet, i at en større del af befolkningen ikke bliver smittet af epidemien. Antallet af smittefarlige kontakter der sker om dagen per person (b), afhænger både af virussens egenskaber og personernes sociale netværk. Perioden hvor man er smittefarlig (k) afhænger kun af virussens egenskaber. Man ikke kan gå ind og ændre virussens egenskaber under en epidemi, og ændringer i personers sociale netværk kun kan ske ved isolation, som tidligere nævnt ikke er effektiv ved influenza epidemier. Derfor antager vi i dette projekt at disse to værdier er konstante under hele epidemien. Derfor er den eneste værdi der kan ændres på, som har indflydelse på spredningen af epidemien, andelen af modtagelige personer (s). Denne andel kan der ændres på ved at vaccinere nogle af personerne i den modtagelige gruppe, som derefter med altid vil bliver flyttet direkte over i gruppen R. Derfor er det naturligt at tage en faktor for vaccination med i modellen. Her antager vi at en person ud af 20 i den modtagelige gruppe bliver vaccineret, og dermed flyttes direkte fra gruppe S til gruppe R. Dermed ender vi med modellen som er vist på figur 4.5.

38 4.2. Markov Kæder 31 Figur 4.5: Figuren viser hvordan man i modellen, kan medtage en faktor for at en del af befolkningen bliver vaccineret. På figur 4.5 ses det at der nu er en lille chance for at blive flyttet over i gruppen R, uden at blive inficeret af virussen. Dette er især attraktivt for de mest udsatte grupper, ofte ældre personer, da disse individer kan opleve større konsekvenser ved infektion [19]. Derfor anbefaler læger også at personer over 65 år bliver vaccineret jævnligt [21]. Sandsynligheden for at blive vaccineret, vil derfor generelt være højere for denne del af befolkningen. I udviklingen af dette program tages dog ikke højde for alderen, men kun hvor mange der bliver vaccineret. Derfor antages en generel sandsynlighed for at at blive vaccineret, til at gælde for alle personer i befolkningen, hvilket der modelleres efter i de følgende afsnit. 4.2 Markov Kæder I forrige afsnit, udledte vi nogle formler (4.5) for ændringen i andelen af befolkningen, der befinder sig i grupperne S, I og R. Ved at benytte disse formler kan sandsynligheden for at bevæge sig fra den ene gruppe til den anden findes. Disse sandsynligheder kan derefter bruges til at opstille en model for en markov-kæde, også kaldet en Discrete-time Markov chain [26]. Markov kæder kan bruges til at beskrive bevægelserne i et system med forskellige stadier [32]. Derfor kan der opstilles en model over en markov-kæde, for en modtagelig person på en dag. Det kræver en viden om sandsynligheden, for at flytte sig fra et stadie til et andet. Disse sandsynligheder kan findes hvis man kender tallene for det nuværende antal smittede I, det totale antal indbyggere N, antallet af smittefarlige kontakter en smittet person har om dagen b, hvor længe man kan forvente at forblive inficeret k samt hvor mange personer der kan forventes at blive vaccineret på en dag a. Her antages nogle værdier, og derved opstilles denne model.

39 4.2. Markov Kæder 32 Figur 4.6: Markov kæde over udviklingen for en enkelt person under en epidemi. Lavet efter betingelserne I = 50, b = 1, k = 1/4, N = og a = 1/20 En af de engeskaber en markov-kæde har, er at sansynligheden for at bevæge sig fra et stadie til andet, kun afhænger af det stadie man bevæger sig fra, og det stadie man bevæger sig til, og ikke afhænger af nogle foregående skridt [32]. Derfor opstår et problem ved at bruge discretetime markov-kæder i denne sammenhæng, da chancen for at bevæge sig fra stadiet S til stadie I varrierer, baseret på andelen af personer der fandtes på stadiet I, den foregående dag. Derfor kan man i stedet gøre brug af Continuous-time Markov chains, som kan tage højde for, at sandsynligheden afhænger af den forløbne tid [3]. Derved kan man ved at bruge formlerne fra formel 4.5, opstille en generel model for udviklingen. Denne model ses her i figur 4.7. Figur 4.7: Generel markov kæde over SIR-modellen for hele epidemi forløbet I denne rapport vil det være nødvendig, at opdele befolkningen i flere grupper, end dem der allerede findes i SIR-modellen. Dette gøres for at skabe et overblik over hvordan personerne i den fjernede gruppe R er endt i denne. Derfor deles denne gruppe her op i de tre undergrupper, tidligere inficerede (Previous infected), vaccinerede (Vaccinated) og døde (Deaths). Heraf opstilles følgende model.

40 4.2. Markov Kæder 33 Figur 4.8: Her ses en markov kæde, baseret på SIR-modellen, hvor den fjernede gruppe er delt op i tre undergrupper. I programmet beholdes den modtagelige gruppe også, og alle personer den bliver flyttet over i grupperne P, V og D bliver også flyttet over i den modtagelige gruppe R. Ud fra figur 4.8 kan man opstillen matricen T for overgangen fra en gruppe til en anden [32]. Denne matrix ses her i formel 4.6. T = S I P V D S 1 bi(t) a I bi(t) 1 k d P 0 k V a D 0 d Denne matrix skal læses sådan at hver søjle beskriver udvilkingen for en gruppe. Det vil sige at søjle 1 beskriver sandsynligheden for at gå fra den modtagelige gruppe S, til alle de andre grupper, som rækkerne beskriver. Ved at gange denne matrix T, med en vektor der indeholder startbetingelserne w, kan man udregne sandsynlighederne for at befinde sig i alle grupperne efter en dag. Vektoren med start betingelserne kan generelt opstilles som følgende. (4.6)

41 4.3. Rejseaktivitet 34 s(t) i(t) w = p(t) v(t) d(t) Hvis det antages at der ikke er nogen døde, tidligere inficerede, eller vaccinerede i starten (t = 0), kan denne matrix opstilles ved at kende andelen af befolkningen i(t), da andelen af modtagelige så findes ved s(t) = 1 i(t). Ved brug af matrix T og vektor w, kan man udregne sandsynligheder for at befinde sig i hver af grupperne, efter t dage, ved brug af formlen T ( t)w [32]. Denne udregning kan bruges for udviklingen i en enkelt by, hvor populationen forbliver uændret. Da det ønskes at rejseaktiviteten imellem byerne bliver et vigtigt element i det udviklede program, skaber dette et problem med implementering af markov-kæder. Sandsynlighederne for at bevæge sig mellem grupperne, som ses i figur 4.8, kan stadig med fordel benyttes i programmet, da der ønskes en hvis tilfældighed i programmet. Dette kan gøres ved at sammenligne sandsynlighederne med et tilfældigt genereret tal, for hver enkelt person. Derved kan udviklingen findes, ved at se på hver enkelt person, hvilket er nødvendigt når der kigges på en varierende befolkning. 4.3 Rejseaktivitet Trafikken mellem forskellige byer har stor betydning for hvordan en virus kan sprede sig. Som nævnt i afsnittet "Vira i dag"har udviklingen af effektive transport muligheder ændret forudsætningerne for transport [24]. Offentlig transport er en mulighed for vidt tilgængelig transport imellem byer og områder. Udviklingen indenfor transport og transport netværk har indirekte påvirket viras mulighed for at spredes fra et område og til et andet [24] Fly traffik Hvert år er der mange hundrede tusinde som rejser mellem Aalborg og København [25]. For at forhindre smitte i at spredes imellem byer via fly traffik, er en mulighed at vaccinere passagere som rejser til områder med aktiv influenza epidemi. Vaccination og helbredsundersøgelse for influenza symptomer burde muligvis foretages i lufthavnens sikkerhedstjek. Passagere med influenza symptomer og passagere som nægter at modtage vaccine, må nødvendigvis blive udelukket fra at rejse, for at opretholde denne vaccinationstrategi. Et muligt problem for denne tilgang, er perioder med mange passagere og manglende tilgængelig vaccine Andre transport muligheder Transport foretaget med biler er yderst vanskeligt at modellere, eftersom der er manglende tilgængelig information omkring antallet af biler som rejser imellem byer, antallet af passagere, og deres start og slut destination. Grundet disse problemer er transport foretaget med biler ikke inkluderet i modelleringen af en influenza epidemi. Grundet projektets omfang er bus, færge og andre offentlige og private transport muligheder udelukket fra modelleringen influenza epidemi. (4.7)

42 4.4. Design Design Designet af programmet omhandler problematikken ved at designe en influenza epidemi i et antal byer. For at kunne designe en influenza epidemi igennem vores program, er der først undersøgt teorier omkring grafteori og modellering af vira. Det næste trin har været at vurdere hvilke elementer og til hvilken grad teorien kunne implementeres af vores nuværende programmeringsviden. Forståelsen af smittetræ s modellen i afsnittet "Modellering af spredning af vira", afspejler det grundlæggende: individer har en individuel risiko for at blive smittede af inficerede individer de kommer i kontakt med. Dette afspejles igennem en tilfældig overførsels værdi, uden at blive påvirket af biologiske faktorer som alder, helbred og temperatur. Overførsels raten er beskrevet igennem en tilfældig værdi. Dette er tydeligvis en tilnærmelse og en betydelig generalisering af overførslen af vira. Det er udelukket at modellere i dybere detaljer og bedre faktorer eftersom vores gruppe er første års studerende på Softwareingeniør studiet og har derfor ingen dybere forståelse for programmering af vira spredning. De er tre overordnede stadier personerne i populationen tilhører: susceptible (modtagelige), infected (smittet) og removed (fjernet). Denne tilgang er taget fra teorien om SIR modellen, beskrevet i afsnittet af samme navn. Heraf opstår to underkategorier for removed, som er interessente at vurdere i en influenza epidemi: vaccinerede og døde. Befolkningen er lukket, det betyder at ingen tilføjning eller reducering i antallet af populationen forekommer, altså bliver fødsler og dødsfald i perioden udelukket. Kun dødsfald som følge af den modellerede influenza epidemi, som bliver betragtet som removed, bliver der taget med i modellering af programmet. For at overskue antallet af vaccinerede, omkomne, immune, naturligt immune, og smittede anvendes structs til at opsummere antallet af hver type. Denne metode skaber overblik i forståelsen for epidemiens udvikling. Grafteorien beskriver netværk og har været fundamentalt i foreståelsen for at lave forbindelse imellem byer. Modellering af transport er måden, hvor med byerne forbindes og udveksler befolkning igennem. Dette er derfor yderst vigtigt i måden epidemien spreder sig fra en by til den næste. Fly transport er blevet valgt som den transport form der er blevet fokuseret på. Valget er begrundet i afsnitet om rejseaktivitet. Brugeren er i stand til at ændre værdier for rejsende, vaccineret, dødsrate, vaccinationsrate og smitterate igennem bruger input. Ændringer i værdier, eksempelvis at tilføje eller fjerne byer, by navne, indbygger antal og nabobyer sker igennem data filen som programmet indlæser. Dog kan programmet som standard kun klare 3 byer. Dette er dog let at ændre sådan at der kommer flere byer i programmet. Nabobyer fungere ved at byen er forbundet med sin naboby, igennem grafteori kan det anskues, som at byerne er forbundet igennem en kant, det betyder at transport ved flytrafik er mulig for nabobyer Begrænsninger De punkter som der ikke kommes ind på i programmet er: 1. Tage hensyn til hvilke grupper der vil opleve de største konsekvenser ved at blive smittet. 2. Bruge disse simuleringer til at beregne det mest effektive sted at gribe ind på daglig basis.

43 4.4. Design Programmet skal tage højde for at folk bliver hjemme når de er syge. 4. Dagligt gemme data for virussens spredning. Der er ikke taget højde for om man er rig eller fattig, ung eller gammel og andre grupper i programmet. En anden af de begrænsninger vi står over for med hensyn til programmet er at når folk bliver smittet, så opfører de sig som om de ikke syg og fortsætter deres daglige rutiner, som normalt. Rigtigt ville man melde sig syg om blive hjemme fra arbejde eller fra besøg hos svigermor. Smitte chancen vil derfor være mindre da man ikke kommer ud af huset og er sammen med andre.

44 Kapitel 5 Programbeskrivelse I dette kapitel beskrives det program der er blevet udarbejdet til denne rapport. Programmet skal simulere et epidemiudbrud, og derved give en indsigt i spredningen af epidemien mellem nogle danske byer. Denne viden kan så bruges til at udarbejde en effektiv vaccinationsstrategi. Der kan køre simuleringer, hvor et forskellige antal personer, og en forskellig andel af rejsende, vaccineres. Udfra disse simuleringer kan man så se hvilke vaccinationsstrategier der er mest effektive. Figur 5.1: Funktionen som scanner en fil og læser fra den. Det første programmet gør er at indlæse en masse værdier omkring de forkskellige byer fra en tekst fil. Den tager disse værdier og lægger dem ind i en struct som holder styr på hvilke data der hører sammen med de forskellige byer. Som det ses på figur 5.1 så bruges fscanf til at gemme alt dataen. Vi har indkluderet en fail safe i form af en if som lukker programmet ned hvis datafilen ikke indlæses korrekt. 37

45 38 Figur 5.2: En oversigt over den struct som indeholder data for alle byer. På figur 5.2 ser man den struct som indeholder informationen om de forskellige byer. I structen bliver der lagt al den data, som datafilen indeholder, lagt over i. Figur 5.3: Structen der indeholder data for rejseaktiviteten til en by. På figur 5.3 ser man den struct som indeholder om rejseaktiviteten ind i hver by.

46 39 Figur 5.4: Funktionen her beregner chancen for at blive smittet. I funktion 5.4 besluttes der om personen bliver smittet eller om han ikke gør. Dette gøres tilfældigt ved at tage et tal mellem 1 og / 100 og derefter ser vi om dette tal er større eller mindre end tallet vi får fra risk_getting_infected. Risk_getting_infected bruger funktionerne infectious_contacts og part_infected. Disse to funktioner finder henholdsvis hvor mange inficerede personer som en modtagelig person møder om dagen og part_infected som finder ud af hvor stor en procentdel af befolkningen er inficeret. Vi har antaget at man møder mellem Dette afgør om personen bliver smittet eller ej og returnere 1 eller 0. Figur 5.5: Funktionen her beregner chancen for at blive rask igen efter man er blevet smittet. Funktionerne som ses på 5.5 beregner chancen for at blive rask og for at dø er ved at tage et tilfældigt tal imellem 1 og 100 og så se om dette tal er mindre eller lig med henholdsvis recovery_rate og death_rate. Dette gøres for hver inficeret person.

47 40 Figur 5.6: Funktionen updatere de rejsende i hver bølge. Funktionen i figur 5.6 finder først ud af hvor mange nye rejsende der er i hver dag. Den tjekker derefter om disse er vaccineret eller ej, ved at bruge finde ud af hvilken del af befolkningen der er vaccineret. Derefter tages den indtastede rejse vaccine procent og de rejsende som ikke allerede er vaccinerede, bliver vaccineret. Til sidst i funktionen undersøger den hvor mange af de resterende der immune, inficerede og modtagelige, på samme måde som de vaccinerede. Figur 5.7: Funktioner der opdaterer structen over byen, når de rejsenede personer rejser afsted, og igen når de rejser hjem. Funktionerne i figur 5.7 hendholdsvis opdaterer byerne efter de rejsende er rejst afsted, og