CoCo-obligationer i matematisk modelperspektivering

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "CoCo-obligationer i matematisk modelperspektivering"

Transkript

1 CoCo-obligatione i matematisk modelpespektiveing CoCo bonds in a mathematical modeling pespective af JENS PRIERGAARD NIELSEN ######-#### THESIS fo the degee of MSc in Business Administation and Management Science Cand.mec.mat.) Vejlede Jens Dick-Nielsen 30. novembe 2011 Institut fo Finansieing Copenhagen Business School Side i alt 160 Heaf afhandling 79 Anslag

2 ii Abstact This maste s thesis focuses on the issues that aises in the context of using Contingent Capital Bonds CoCo bonds) in the capital stuctue of banks. Due to the global financial cisis, and especially the EU-aeas way of handling it, this subject is cuently gowing inceasingly popula at an almost exponential pace. Most global paticipants ecognize the need of inceased capital equiements fo banks. This thesis examines whethe pat of that capital could be aised as CoCo bonds, and if they ae means that can inject discipline in the financial secto, and lowe the isks to society It is shown how CoCo bonds can be applied to lowe isk shifting incentives and cost of bank faillue. Also, it shows the cedit spead that should associated with the yield on CoCo bonds. The thesis validates the models used by implementation of existing CoCo bond issuances, and finds that even though the models might pedict coectly a lot of factos influence the pictue bluing the models exact conclusions. Finally, the thesis uses the validated models to undestand and evaluate expets pesumptions of CoCo bonds and thei effects.

3 Food Jeg takke Pawel Misiewicz cand.scient.dat.) fa Univesity of Wasaw) fo at lade mig buge sin otte-kenede cluste-compute til at køe simulatione på. Den ubetingede støste tak gå til min vejlede, Jens Dick-Nielsen, fo ikke blot at give mig enestående god vejledning, men også fo at have tålmodighed med mig og give mig plads. Det ha væet vitalt fo abejdet med denne afhandling. Fedeiksbeg, novembe 2011 Jens Piegaad Nielsen iii

4 Indhold Indhold Figue Tabelle iv vi viii 1 Indledning Poblemfomuleing Afgænsning Opgavens stuktu Baggund og pespektiv Femtidig eguleing af banke Foventninge til CoCo-obligatione Definitione Pennacchi: Keditspænd og asset substitution Antagelse Effekt ved paameteændinge Albul, Jaffee & Tchistyi: Kapitalstuktu Modelleing af aktive Vigtige esultate: Pisudtyk og optimal fallitgænse Vædien af de indgående elemente i en kapitalstuktu med CoCo-obligatione Paametevalg unde Betingelse Optimal kapitalstuktu CoCo-obligatione i stedet fo obligatione En systemisk vigtig bank Flee ligevægtsaktiekuse og makedsmanipulatione CoCo-obligatione og asset substitution Case study: Cedit Suisse Test i model: Pennacchi Udstedelse betagtet indenfo Albul-Jaffee-Tchistyi iv

5 5 Diskussion 73 6 Konklusion 77 Litteatu 81 A Til kapitel 1 89 A.1 Keynes ske økonomiopfattelse A.2 Pengemultiplikatoen B Til kapitel 2 93 B.1 Symbole i Pennacchi B.2 Itôs lemma på en spingdiffusionspoces B.3 Udledning af h t B.4 CoCo-obligatione med dobbelttigge B.5 R-kode til simulatione B.6 Figu B.7 Stamkode til figu 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6 samt figue fa case study C Til kapitel C.1 Symbole i Albul-Jaffee-Tchistyi C.2 Vædi af annuitet og voksende annuitet C.3 Vigtige esultate: Pisudtyk og optimal fallitgænse C.4 Hvofo W < 0 ved 3.51) på side C.5 Konsekvens af afundning C.6 Sammenligning af G og Ĝ C.7 R-kode til udvalgte figue i kapitlet C.8 Systemisk vigtig bank. β-estiktion C.9 To ligevægtskuse C.10 Sundaesan & Wang: Flee ligevægtskuse D Til kapitel D.1 R-kode: Rentekalibeing D.2 Resultate med lavee egenkapitalstigge, ē E Til kapitel E.1 Uddag af inteview med Head of Compensation and Benefits Goup Human Resouces i Nodea, Steen Chistensen E.2 Banksektoens elative støelse i udvalgte lande

6 Figue 1.1 De foskellige modelles dækning Økonomisk eaktionsskema ved egelændinge h t. Keditspænd på indlån i basispoint c. Kupone ved foskellige vædie af initial foholdet K-t-I samt spinghyppigheden og indlånstilpasningspaameteen c. Kupone ved foskellige løbetide c. Kupone ved foskellige konveteingsfohold Asset substitutionsincitamentstuktu ved ænding af spingpaamete Asset substitutionsincitamentstuktu ved ænding af diffusionspocesvolatiliteten W. Optimal tigge W. Tigge de byde Betingelse 1 og inoptimal tigge W. Eksempel med ikke-monoton fohold G..). γ At A C Ĝ Aktiekus, aktivvædi samt beslutning vedøende CoCo-obligationskonveteing W, dw dσ og W σ Ex post W 0,15)) 3.9 dw dσ og 1 W W 0,15) dw dσ W, dw dσ og W σ Ex post W 0,15)) W 0,15) CIR-ente tilpasning ved 13. juni Case study. λ/σ Case study. λ/µ A.1 Te-sekto økonomi C.1 Abitæt valgte vædie til illustation af pointe ved esultat C.2 G & Ĝ C.3 CoCo-manipulation C.4 Aktiv- og obligationsvædi C.5 CoCo-obligationsvædi og aktiekus uden to på konveteing vi

7 Figue vii C.6 CoCo-obligationsvædi og aktiekus med to på konveteing D.1 Rentekuve med CIR-entekuve tilspasninge D.2 Case study. Lavee egenkapitalstigge. λ/σ D.3 Case study. Lavee egenkapitalstigge. λ/µ

8 Tabelle 1.1 Bankbalance Basel III minimumskapitalkav og udfasningsplane Case study. Spingpaameteinput Cedit Suisses Tie 1-kapitalfoholdsmål B.1 Pennacchi Symbolfoklaing C.1 Albul-Jaffee-Tchistyi Symbolfoklaing E.1 Foholdet mellem banksektoens aktivvædi og BNP

9 Kapitel 1 Indledning En CoCo-obligation e et finansielt hybidpodukt, hvo en obligation ved en given tigge konvetees til aktiekapital. CoCo-obligation e et semi-akonym fo Contingent Convetible-obligation. [Lumme et al. 1993)] efee folkesagnet om, at den føste konvetible obligation blev udstedt i 1880 ene af jenbanemagnaten J.J. Hill. He va konveteingen dog kun en mulighed, mens den ved CoCoobligationene e obligatoisk. Bugen af CoCo-obligatione e blevet aktuel i kølvandet på finanskisen, de blandt andet viste, at den finansielle sekto ikke va i stand til at modstå støe tab. Således ha en ække kommissione foeslået at anvende poduktet som et led i en flestenget indsats fo at fobede den finansielle sektos kapitalfohold. 1.1 Poblemfomuleing Afhandlingens fomål e via matematiske modelle at undesøge implikatione og konsekvense ved anvendelse af CoCo-obligatione, og vudee om CoCo-obligatione ha det ønskede esultat fo henholdsvis investo, udstede samt myndighed og demed i sidste instans samfundet. Heunde behandles udstedes kapitalstuktu, hvilken effekt CoCo-obligatione ha på dette felt, incitamentstuktuen fo udstedelse samt foventninge til kuponpæmien på CoCo-obligatione. Afhandlingen vil foholde sig til, om teoi e foeneligt med paksis gennem et case study af elevant udstedelse. 1.2 Afgænsning Undesøgelsen begænse sig til banke og tage afsæt i to modelle, som eftepøves på empiiske data. Undesøgelsen inddage ligeledes elevante ekspetes vudeinge og foudsigelse vedøende bugen af CoCo-obligatione. I modellene behandles tiggeen, udstedelsesincitament og asset substitutionsincitament som følge af udstedelse samt foventninge til kuponstuktu. Heudove blive det analyseet, hvovidt CoCoobligatione faktisk øge stabilitet i økonomien og disciplinee banksektoen, elle om de medføe øgede sociale omkostninge og en mee volatibel banche. 1

10 2 KAPITEL 1. INDLEDNING Det ske ved at oveføe hypotetiske situatione fa divese atikle og appote til modellene og ved case studie, hvo faktiske CoCo-udstedelse fosøges foklaet i en konceptuel sammenhæng. I det omfang det e muligt benyttes de pæsenteede modelle til at beskive, hvilken situation udstede va i ved udstedelse samt de følge, udstedelsen kan have. Dette ske med espekt fo den educeede vikelighed, modellenes antagelse og de facto esultate umme. 1.3 Opgavens stuktu Afhandlingens indledning give dels en baggund fo emnets elevans og aktualitet samt definee opgavens poblemfomuleing. Heefte følge to hoveddele. Føste hoveddel femstille to stuktuelle modelle: Albul-Jaffee-Tchistyi og Pennacchi. Albul-Jaffee- Tchistyi foholde sig til, hvoledes CoCo-obligatione fungee i en udstedes kapitalstuktu. I Pennacchi blive udstedes bankens) aktive beskevet ved simulation, og CoCo-obligationenes kuponstuktu samt asset substitutionsincitament undesøges. I den anden hoveddel e fokus på, hvodan modellene agee i paksis. Dette ske ved hjælp af case-studie. Afslutningsvis diskutees modelle og esultate, idet de undes af med en konklusion. Modelvalg Modellene behandle emnet i hve dees amme. Defo og fodi emnet e foholdsvist nyt og ubeskevet, e de lagt vægt på en gundig gennemgang af modellene. [Albul et. al 2010)] kigge på, hvoledes CoCo-obligatione fungee i en kapitalstuktu. Det e elevant at vide, om udstede vil anvende dette instument pe automatik, og i bekæftende fald om det blot e fo at høste en eksta skattegevinst. Ligeledes skal det undesøges, om ekstene fohold som offentliggøelse af systemisk vigtige SV-) banke vil ænde implementeingsmotivet. Unde disse oveodnede temae e de pimæt fokus på de kontaktspecifikke fohold. Altså, pæcis hvodan kuponen, konveteingspaameteen og andet skal væe fo, at hveken egenkapitalen elle CoCoobligationsholdene ha en abitagemulighed. Modellen e pimæt valgt fo at vise, hvofo det e nødvendigt Figu 1.1: De foskellige modelles dækning. Rød steg e anvendt, nå flee modelle dække samme emne.

11 1.4. BAGGRUND OG PERSPEKTIV 3 med ekstene påbud, hvis udstede banke) skal anvende CoCo-obligatione som en del af dees kapitalstuktu. Albul-Jaffee-Tchistyi behandle også de manipulations- og asset substitutionsincitamente, de eksistee ved benyttelse af CoCo-obligatione. Fokus i papiet [Pennacchi 2010)] e på modelleingen af, hvodan udstedes aktive kan opføe sig. Konteksten e betydningen fo entestuktuen, som CoCo-obligationene vil danne. Atiklen e simulationsbaseet. Via sensitivitetsanalyse e det også muligt at beskive kontaktpaametenes effekt fo asset substitutionsincitamentstuktuen. Selvom modellene ikke e bede end antagelsene, de e skabt på, ha de alligevel udbedt anvendelse. Ideen om at CoCo-obligatione kan indgå i kapitalstuktuen hos banke e foholdsvis ny. Alligevel findes de alleede et utal af appote, atikle, blogindlæg, inteviews mv. om, hvofo netop dette instument kan elle ikke kan løse poblemene. Det e umiddelbat svæt at foudsige, hvem de ha et. Et e dog sikket, hvis man undlade at opstille klae betingelse fo CoCo-obligationsudstedelsene, så e alle tænkelige konklusione mulige. Defo e de to matematiske modelle afhandlingens analyseappaat. De fungee som et kot ove vikeligheden, de angive etning og undlade oveflødige detalje. Det e muligt at få helt konkete output, nå man ænde en models paamete. Således kan man altså bestemme, hvilke inputs modellen, og demed bugen af CoCo-obligatione, e mest sensitiv ovefo. Endelig kan modellene også anvendes til at anskue iationalitet på makedene, hvis nogle esultate divegee meget. Omvendt kan det påvise modellenes begænsninge. 1.4 Baggund og pespektiv Siden finanskisen i 2008 ha økonome, politikee og myndighede fosøgt at afdække kisens åsage fo at kunne fohinde lignende situatione. Denne afhandling beskæftige sig med CoCo-obligationes olle i den fobindelse. Det e ikke føste gang, at man ha analyseet og indføt tiltag fo at educee isikoen fo en systemisk kise. I dette afsnit gennemgås kot en ække af disse tiltag. Det deje sig blandt andet om stikse lovbestemte udlånsloft, valutaeguleinge, fobud mod finansielle instumente samt høje kapitalkav. Den ameikanske eguleing ha f.eks. indeholdt et såkaldt double liability-system, altså dobbelt hæftelse. Systemet skulle begænse incitamente til asset substitution og demed mindske isikoen i banksektoen. Selvom vaiatione af dobbelt hæftelse e foeslået af økonome [Leijonhufvud 2010)], så hveken fohindede elle educeede den 1930 enes depession. I 1991 etableede USA The Fedeal Deposit Insuance Copoation heefte: FDIC), de skulle kontollee finansielle instutione, og om nødvendigt ovetage styingen af dem elle afvikle dem. Kontollen omfattede dog ikke investeingsbanke, heunde Lehman Bothes og helle ikke bankenes off-balance sheet aktivitete. Således havde FDIC hveken tilstækkeligt bemyndigelse endsige ette abejdsgange til at holde oden på det ameikanske finansielle maked.

12 4 KAPITEL 1. INDLEDNING I eftedønningene af den seneste finanskise ha foskellige stuktuede podukte væet enomt udskældte. Det va blandt andet standadiseede lånepotefølje fo eksempel bil- og huslån), som ha kunnet omstuktuees og udbudt til investoe med tanche i foskellige isikokategoie og afkastfoventninge, Collateized Debt Obligations. Også muligheden fo at tegne fosiking mod egen og andes fallit, Cedit Default Swap, e blevet nævnt som medvikende til kisen. Dog bæe stuktuede podukte ingenlunde ansvaet alene. Bankene og banksystemet va simpelthen fo dåligt ustet til kedittab, nå kapitalkav tillod, at bankene opeeede med en meget høj geaing, altså foholdet mellem bankens egenkapital og isikovægtede aktive RVA). Lehman Bothes opeeede med en coe Tie 1-kapitalfohold på 2%, hvilket svae til en geaing på 50. De havde bugt ande kapitalinstumente til at opfylde lovens kav. Poblemet va/e imidletid, at disse ande kapitalinstumente føst konvetee til igtig kapital, nå banken gå konkus. Skadens omfang blev fostæket af det faktum, at stot set alle støe banke e sammenkoblet via det globale intebank maket. Og demed e mange minde banke også infilteet, da de stoe banke typisk fungee som cleaingsbank fo minde. En poblemstilling, de blandt andet behandles i [Squam Lake Repot 2010)], hvis dagsoden va at skabe et økonomisk system indeholdende nød- og afviklingsplane samt at skabe en finanssekto med minde gad af tilbøjelighed til konkuse. Bankenes intene afhængighed samt isæ stoe bankes samfundsbetydning ha medføt, at state i fygt fo udløsning af en systemisk kise ikke ha ønsket at lade banke gå fallit. Omkostninge ved at edde konkustuede banke e betalt af skattebogene med en socialiseing af tab til følge. Ha bankenes keditoe ikke noget at miste, fodi staten betale, hvis alt gå galt, foeligge de intet gundlag fo en disciplineing anføt af gældsejene. Dette e beskevet mange stede i litteatuen, blandt andet i [Sten et al. 2004)]. Ifølge [ICB 2011)], de e udabejdet af en uafhængig bankkommission Independent Banking Commission, hefte: ICB), e konsekvensen heaf, at bankenes optimale sikkehedsbuffee e meget lavee end, hvad de e socialt optimalt. Således ha skattebogene sto inteesse i, at bankene stamme dees foetningsmodel, da det alt andet lige give en mee stabil økonomi. Altså kunne man to, at løsningen e at hæve kapitalkav til banke. Dog medføe dette andet end en mee stabil økonomi. Bogene e nemlig ikke kun skattebogee. De e også fobugee, de låne penge til bolig, bil mv. Blive bankene pålagt at ænde dees sikkehedsbuffee, blive udlån dyee og demed ammes bogene. Defo skal kapitalkavene på den ene side sike en obust sekto og på den anden side undestøtte ønsket om økonomisk vækst. Banke spille som nævnt en vigtig olle i økonomien. Pålægges banke nye egle, ha det i sidste ende en effekt på ealøkonomien. I de to følgende afsnit pespektivees dette. En note om Modigliani-Mille Modigliani-Milles MM) sætning foeskive, at kapitalstuktuen fo en bank ikke påvike bankens vædi. Ego e det undeodnet, hvodan bankens potefølje e finansieet. Ifølge MM falde volatiliteten på RoE, hvofo gælden til obligationsholdene blive mee sikke, og ego må omkostningen i fobindelse med begge finansieingskilde falde. Det ske på en sådan måde, at den vægtede gennemsnitlige omkostning ved finansieing e uændet [Modigliani et al. 1958)]. Dette skulle således betyde, at banke blot kan udstede aktie og tilfedsstille højee kapitalkav. [Miles et al. 2011)] undesøge, om denne

13 1.4. BAGGRUND OG PERSPEKTIV 5 makedsantagelse e sand, og dees undesøgelse vise, at effekten af MM e 45% af, hvad den skulle væe fo at have en totalt udlignende effekt. Asymetisk og mangelfuld infomation om makedet samt ikke-ationelle agente og tansaktionsomkostninge e alle faktoe, de gø sig gældende i den vikelige veden og som svække MM-effekten. En bank, dens balance samt olle i økonomien Fo at fostå, en banks funktion i en økonomi, e det vigtigt føst at fostå, hvodan selve økonomien fungee. Enhve økonomi e et dynamisk system. Husholdninge konsumee og viksomhede poducee. Økonomien ænde sig konstant, simultant med at den eagee på ændinge. Nå viksomehdene skal investee til poduktion og lage til femtidig eftespøgsel, benyttes bankene som keditgive. Denne poces kaldes injektseing se bilag A.1 fo figue samt mee dybdegående foklaing). Viksomhedene tage den isiko, de e fo at dees fomodning om femtidig eftespøgsel e ovevudeet. I en sådan situation kan viksomhedene ikke afsætte dees vae og demed helle ikke tilbagebetale dees lån i denne simple model. Bankene give et samfund en effektiv mulighed fo at fodele midle og isiko. Og det ha defo betydning fo ealøkonomien, nå man skæpe betingelsene fo bankenes foetning. Dette poblem blive behandlet mee specifikt i afsnit 1.5. En bank kan natuligvis ikke yde uanede mængde af kedit til viksomhedene. Dette synes intuitivt, men lad os alligevel betagte et eksempel på en banks balance se tabel 1.1). Bemæk, at de ved modelgennemgang foekomme stækt educeede bankbalance, hvad angå poste. Dog kan alle passivpostene govsotees som væende enten indlån, obligatione og/elle Aktive Pengeeseven Udlån på intebankmakedet Udlån til viksomhede Udlån til pivate Investeinge Tabel 1.1: Bankbalance. Passive Indlån Indlån på intebankmakedet Indlån fa viksomhede Indlån fa pivate Senio gæld, udstedt obligatione Udstedte CoCo-obligatione Ansvalig inskudskapital Egenkapital CoCo-obligatione) og aktie, hvofo simplificeingene fungee. Til senee gennemgang undesteges, at indlån demed blandt andet også indeholde alle ove-night-positione og andet kotfistet gæld. Pengeeseven udgø egentlig den foskel, de måtte væe mellem de indlån, banken ha modtaget og de lån, banken ha givet. Støelsen splittes op i to: dees pengeeseve og bankens netto-)position på intebankmakedet. Pengeeseven holdes typisk på en konto i centalbanken. Denne mængde e de stot set intet afkast på, hvofo den holdes på et minimum, de typisk e fastsat via eglement. På gund af cikulationsmønsteet se figu A.1) vil penge sat i banken af Peson 1 og lånt ud til Peson 2 eftehånden finde sin vej til banken igen. He kan de så lånes ud til Peson 3. Nå denne poces analysees, femkomme pengemultiplikatoen. He skal skelnes mellem pengebasen, H, som udstedes af og styes af centalbanken, og det nominelle 1 pengeudbud, M. Pengemultiplikatoen e gennemgået i bilag A.2, og e givet ved M = 1 1 θ)1 σ) H, hvo isæ 0 < θ < 1, som e den andel banken lovmæssigt e påbudt at holde, e inteessant. Denne fungee nemlig som en slags kapitalkavskoefficient. Og idet bankene pålægges at holde en støe andel som pengeeseve, da vil pengemultiplikatoen og det nominelle pengeudbud ceteis paibus falde.

14 6 KAPITEL 1. INDLEDNING Det e endvidee tivielt fa gundlæggende udbud og eftespøgselsteoi, at hvis pengeeftespøgslen e upåviket, da vil et dalende udbud foåsage højee pise. I paksis blive det altså dyee at låne. Det foåsage et fald i investeingene, som slutteligt give et fald i BNP. Pengeeseven fungee altså som et slags kapitalkav til banken, og nå de i det eftefølgende ses næmee på, hvoledes de kan lægges ydeligee estiktione på banke, benyttes denne benævnelse. De skelnes også mellem foskellige fome fo kapital afhængig af kvaliteten. Dette komme sig simpelthen af, at nutidens bankbalance indeholde andet end blot ind- og udlån. I denne afhandling eksistee de i ealiteten blot op til te foskellige guppe af passive. Det deje sig om: indlån, femmekapital og egenkapital. Indlånene ha den absolut højeste pioitet, hvofo de betales tilbage føst ved et eventuelt fallit. Denæst betales, hvad betales kan af femmekapital. De skelnes ikke mellem betaling af femmedkapital udgjot af obligatione elle CoCo-obligatione. Dette komme sig af, at CoCo-obligatione i en fallitsituation enten e konveteet til egenkapital elle blive konveteet til egenkapital. Og egenkapitalen få sjældent noget i en fallitsituation. Gundet den favæende MM-effekt i paksis samt en eventuel lammelse af væksten, skal banke disciplinees med omtanke. 1.5 Femtidig eguleing af banke [IIF 2011)] beskive, hvoledes intenationale og egionale samt nationale stamninge af bankeguleing uundgåeligt påvike ealøkonomien. De omtales ni felte indenfo bankeguleing, hvo de stammes op. I denne afhandling e det elevant at kigge på te af omådene, nemlig ændede kapitalkav, definition af og egle fo SV-banke og esolutionsplane. Basel III egelsættet kan ses som væende en global komponent af de nye egelbaseede standade. EU og USA ha fomelt tilsluttet sig kavene i Basel III, hvo højee kav til kapitalfohold, omdefineing af kapital, ændet afvejning af RVA og kapitaltillægskav engelsk: capital suchages) fo SV-banke indgå. Ændede kav vedøende kapitalfohold e blot en anden måde at skive stengee kapitalkav på. Kapitalkavene til aktieejenes egenkapital som andel af bankens samlede vædi fohøjes fa 2% til 4, 5%. Indfasningen påbegyndes i 2013 og skal væe nået i I skivende stund e EU-landene blevet enige om, at alle støe banke skal holde minimum 9% Tie 1-kapital [Haddon 2011)]. Isæ stige minimumskavene til Tie 1-kapital. I 2013 skal den udgøe 4, 5% af bankens totale vædi, og i 2015 skal den væe 6%. Omdefineingen af, hvad de femove kan godkendes som Tie 1- og 2-kapital, betyde at fæe papie af de nuvæende obligationsstutue kan anvendes i disse kategoie, hvofo bankene få svæee ved at møde kapitalkavene. Sigtet med ændingen e at sike mee kapital, som kan anvendes i en going

15 1.5. FREMTIDIG REGULERING AF BANKER 7 Tabel 1.2: Basel III minimumskapitalkav og udfasningsplane. Kilde: [ICB 2011)] Udfasning af kapital, 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% de ej længee e beetiget som Tie 1 elle 2 Minimum Tie 1-kapital 4% 4% 4,5% 5,5% 6% 6% 6% 6% 6% concen situation og ikke kun i en konkus-situation. Nå eglene fo afvejningen af isikovægtede aktive ændes, ske det således, at isikovægtene, de f.eks. anvendes ved opgøelse af bankenes handelsbøge, øges. Det e ikke endnu klat, hvo meget vægtningen foøges, men lige meget hvad øge det kapitalkavene i bankenemindskes. Det e fodi støelse som fo eksempel Tie 1-kapitalfohold denominees i aktiekapital ove RVA. Et eventuelt kapitaltillæg fo SV-banke e også bestemt af nationale estiktione. Flee lande lade til at indføe dette. Isæ dette punkt blive behandlet senee, da godkendelse af CoCo-obligatione som Tie 1-kapital måske kan sike SV-banke, at et sådan kapitaltillæg kan klaes uden foingelse af dees konkuenceevne. De omåde- og nationalspecifikke kav i USA, euo-omådet, Japan, Stobitanien og Schweiz e alle indenfo alleede nævnte kategoie, nemlig ændede kapitalkav, omdefineing af kapital samt eksta omkostninge fo SV-banke. Schweiz og Stobitanien ha af finansielle autoitete og kommissione med økonomiske ekspete, FINMA Swiss Financial Maket Supevisoy Authoity) og ICB, fået vudeet, hvoledes bankene kan blive mee modstandsdygtige ovefo finanskise af typen fa Begge stede e man som mange ande heiblandt [Squam Lake Repot 2010)] kommet fem til, at poblemet ikke kan løses med én sølv kugle, men en del af løsningen e at hæve foskellige sikkehedsbuffee skæpe kapitalkav) og benytte hybidpodukte som CoCo-obligatione til at inkopoee sådanne automatiske buffee [ICB 2011)], [SIF 2010)]. Det skal tilføjes, at de i The Dodd-Fank Act [Dodd-Fank 2010)] USA) om finansefome og beskyttelse af fobugee stå, at et åd skal udabejde plane fo mulig anvendelse af CoCo-obligatione. Den schweiziske kommission ha ekendt betydningen af de skæpede kav, hvo de nye standade med tilladelse af flee type af sikkehede indgå. Konket betød det, at schweiziske SV-banke fik etningslinie om at holde 9% af dees kapital i CoCo-obligatione. Demed e CoCo-obligatione alleede en integeet del af Schweiz næst-støste banks, Cedit Suisse Goup heefte: Cedit Suisse), kapitalstuktu. Og selvom den støste bank, Union Bank of Switzeland heefte: UBS), ha udtykt dees skepsis [Vaughan 2011)], [Reutes 2011)], e det ydest sandsynligt, at de snat også ha CoCo-obligatione på makedet med dem som udstede.

16 8 KAPITEL 1. INDLEDNING Cedit Suisse ha imødekommet kavet ved at udstede CoCo-obligatione elle Buffe Capital Notes BCN), som de ha kaldt dem, med to foskellige tæskle engelsk: tigges, tiggee buges heefte). Udstedelsen e sket af to omgange. Føst ved en lukket udstedelse til en fond og deefte en offentlig udstedelse. Det e pimæt den offentlige udstedelse, de abejdes med senee i afhandlingen. Den appot, de e blevet udabejdet fo Stobittanian [ICB 2011)], indeholde CoCo-obligatione som en del af løsningen, men også gæld kaldet Bail-in obligatione. Foskellen på de to e, at CoCoobligatione konvetees, mens banken e en going concen, mens Bail-in obligatione anvendes, nå banken e en gone concen. Bail-in obligatione e ikke genstand fo videe undesøgelse i denne afhandling, men man kan foestille sig, at de kan implementees i modelle som CoCo-obligatione med en meget lav tigge. Foøvigt ha den bitiske bank Lloyds Banking Goup heefte: Lloyds) alleede udstedt CoCo-obligatione kaldet Enhanced Capital Notes ECN). Det skete ved en ombytning af undeodnet gæld det vil sige obligatione. Hvis man se på balancen, vil disse hybide indgå på passivsiden. De e gældsposte, om de e konveteet elle ej. Så længe banken e en going concen på den igtige side af tiggeen, indgå CoCoobligationene unde gæld. Ved konveteing elle fallit laves de om til egenkapital, og senioiteten e som tidligee beskevet. Dette vise også, hvofo bugen af CoCo-obligatione kan fohinde ealøkonomiske pobleme foåsaget af stenge kapitalbuffe-kav. Og dette e netop det fohold, man må have fo øje: hvad e fodelen ved at disciplinee bankene, så man få et mee stabilt finansielt maked konta hvilken indvikning det vil have på ealøkonomien i fom af en bemsning af væksten. Estimeede omkostninge som følge af egelændinge Nå man skal vudee omkostningene ved stammee egle, skal man dels bedømme den isoleede effekt på bankene, dels bedømme effekten fo økonomien som helhed. Det handle om at betagte øget keditomkostninge samt indskænkning af keditudbuddet. Helt konket nævnes det i [IIF 2011)], at de nye bankegle kan lede til et fald i den globale poduktionen på 3,2% i Det svae til, at 7,5 millione fæe jobs end elles blive skabt. De e således en akut fae fo, at man fo at opnå stabil økonomi undegave vækst- og jobskabelsen. Og det på et tidspunkt, hvo vedensøkonomien e meget skøbelig. CoCo-obligatione synes umiddelbat at væe det helt igtige finansielle instument, nå bankene skal håndtee de nye kapitalkav. Mens bankene e en going concen hvilket de fohåbentligt altid vil stile efte fungee CoCo-obligationene som nomale obligatione og tælle med som stykende kapital. Banken kunne også blot udstede mee egenkapital, men dette vil påvike et vigtigt nøgletal, nemlig RoE. RoE e afkastgaden på egenkapitalen RoE, engelsk: etun on equity) og e et nøgletal, som bankene altid søge at holde højt. Desto højee RoE, desto mee attaktiv e bankens aktie. RoE e simpelthen et mål fo, hvo Figu 1.2: Økonomisk eaktionsskema ved egelændinge. Kilde: [IIF 2011)]

17 1.6. FORVENTNINGER TIL COCO-OBLIGATIONER 9 god en foetning banken e hvis det altså kan kvalifices som væende udtyk fo tue alpha, og ikke bae et højt afkast på gund af isikopæmie. Det sige sig selv, at hvis banken e nødsaget til at udstede mee egenkapital, men ikke må investee den eksta kapital i poduktene og pojekte, de eventuelt kan give afkast, da vil det helt uundgåeligt påvike dees RoE i en nedadgående etning. De e dog et abe dabei, nemlig den juidiske poblemstilling vedøende målbaheden af tiggene. Da Tie 1-foholdet måske offentliggøes en gang i kvatalet, kan det væe umådeligt svæt fo poteføljemanagee at hedge dees positione, hvis de holde CoCo-obligatione. Dette give anledning til en masse pobleme, og indskænke makedet enomt. Fo hvis ikke pensionsinstitutte og ande stoe investoe ænde dees egelsæt, så vil makedet fo CoCo-obligatione væe utolig segmenteet, fobeholdt de sunde og gode banke, og ikke mindst meget smalt. Det e et poblem, at nogle poteføljemanagee ikke må holde aktie, og altså helle ikke CoCo-obligatione, da de i pincippet kan konvetee til aktie uden, at man kan væe totalt hedget mod dette. Man kan dog agumentee fo, at investeingsmandate histoisk set ha fulgt udviklingen på de finansielle makede. Således statede danske pensionsinstitutte med blot at holde danske obligatione og aktie. 1.6 Foventninge til CoCo-obligatione Geneelt heske de positivitet omking indføelsen af CoCo-obligatione som et nyt kapitalgivende instument fo banke. Diektøen fo den danske centalbank, Nationalbanken, Nils Benstein, ha i atiklen [Bogge et al. 2011)] udtykt, at det e imeligt at betagte CoCo-obligatione som en måde, hvopå SV-banke kan opfylde højee kapitalkav. I samme atikel bemæke nationalbanksdiektøen både, at de isici, de måtte komme som følge af bugen af CoCo-obligatione e noget, egulatoe må tage hånd om til den tid, og at Danmaks støste bank nok ikke e SV globalt set, men at den danske stat nok ikke vil lade den gå fallit. Sidste del af hans bemækning e ikke blot en fomodning. Den danske stat hjalp i sælig gad Danske Bank unde finanskisen via Bankpakke I og II. Også de administeende diektøe fo henholdsvis Nodea og Danske Bank, Chistian Clausen og Pete Staaup, e begge åbne ovefo bugen af CoCo-obligatione. Nodeas Chistian Clausen tilføje, at de kan væe gode, hvis de blive bugt igtigt [Bunsden et al. 2011)]. Nodea e netop listet som en af de 29 G-SIFI e Systemically Impotant Financial Institution. G fo G-20). Selvom Schweiz ha pioiteet et bede og mee stabilt finansielt system, e landets støste bank UBS stadig tilbageholdende ovefo at anvende CoCo-olibgatione, fodi det ikke e i aktionæenes inteesse [Bat 2011)]. Ande anvendelse e også foeslået. En højtstående medabejde i Bank of England BoE) Andy Haldane mene, at CoCo-obligatione e et femagende instument og man bø oveveje dets anvendelsesmulighede ved bonusudbetalinge i banke [Teano 2011)]. Således blive bankledelsen ikke motiveet til at investee i isikable pojekte. Haldane buge i denne sammenhæng udtykket: Thee is an old lesson hee, about eating you own cooking. Han sætte også spøgsmålstegn ved, om en simpel hævelse af kapitalkav kan håndtee en ny finanskise. Det skyldes, at kapitalkavene e blevet mee komplekse at kotlægge. Deudove gå de længee og længee tid mellem effektive tedjepatsevisione. I stedet

18 10 KAPITEL 1. INDLEDNING fo at hæve kapitalkavene, bø man ifølge Haldane injektsee disciplin i bankvedenden i fom af CoCoobligationene. Mak Flanney ha væet meget aktiv i debatten om CoCo-obligatione. Han og Enico Peotti beskive instumentet som et væktøj, de vike pæventivt ovefo isiko i atiklen [Flanney et al. 2011)]. I atiklen [Bunsden et al. 2011)] lufte Basel-kommiteen idéen om at give banke lov til at buge CoCo-obligatione som godkendt kapital. De nævne dog poblemet med definition af en bugba tigge, men samtidig fokusee de på, at det ikke vil væe gavnligt, hvis alle banke skal til at ejse kapital på det samme maked, nemlig aktiemakedet. Pofesso fa London School of Economics Chales A. E. Goodhat udtykke i atiklen [Goodhat 2010)] sin tvivl om CoCo-obligationenes evne til at kunne agee counte-cykliske. Han mene, at CoCo-obligationene skabe støe kompleksitet, hvilket undeminee makedsdynamikken. Den tigge, de anvendes ved hidtil udstedte CoCo-obligatione, e baseet på egnskabstal, hvilket e bagudskuende og defo inefficient i fohold til målet. Endelig adessee han contango-poblemet ved en tigge-begivenhed: Købe af CoCo-obligatione skal hedge sig ved at shote aktien. Aktien skal shotes mee og mee desto tættee, man komme på tiggeen. Dette kan skabe en nedadgående og selvfostækende spial engelsk: death spial). Iøvigt tvivle Goodhat på, at ejene vil have et økonomisk incitament til at udstede CoCo-obligatione, og om de e tilstækkelig likvide. Hans esevation gå således både på udbuds- og eftespøgselssiden. I atiklen [Allen et al. 2011)], de omhandle implikationene fo den finansielle stabilitet, nå banke opeee intenationalt, nævne seks pofessoe fa foskellige univesitete, at CoCo-obligatione kan væe et middel til at disciplinee banksektoen. Rappoten [Squam Lake Repot 2010)] give 15 økonomipofessoes bud. De mene, at hvis man alene hæve kapitalkavene, ovevæltes omkostningen på kundene, hvilket de ikke anse fo ønskeligt. CoCo-obligationene femhæves som et instument, de kan give bankene en stødpude i kisetide. Ydemee give det ejene et incitament til at undgå en tiggeudløsning, hvo CoCo-obligatione konvetees og demed udvande den eksisteende egenkapital. Rappoten beskive også de pobleme, de kan væe ved tiggeen. Dette løses dog ved at buge to tiggee: en inten som gå på bøgene, og en eksten de kan væe styet af egulatoe. Rappoten slå også på, at eglene omking bugen af CoCo-obligatione skal hamonisees. I modsat fald komme de uens konkuencevilkå. He afvige vudeingen fa [ICB 2011)]. Endelig vedkende de sig det poblem, at de blandt ekspete ikke vil væe konsensus om effekten af CoCo-obligatione, da to økonome give te fomodninge. I atiklen [Goodhat 2011)] ha Goodhat allieet sig med gundlæggeen af Intelligence Capital, Avinash Pesaud. De behandle ICBs anbefalinge vedøende stabiliseing af det bitiske finansmaked og lægge vægt på, at CoCo- og Bail-in-obligationene e skabt til at håndtee en enkeltbanks fallit. Men som de skive: "Watepoofing individual compatments did not safe the Titanic fom sinking eithe" de mene simpelthen, at CoCo-obligatione vil lede til endnu hutigee og mee komplette konkuse.

19 1.7. DEFINITIONER 11 I atiklen [Columba 2009-II)] diskutee te italienske økonome, hvodan det finansielle system kan fobedes. De ekende, at de ikke findes en miakelku, men at noget af løsningen kan væe at buge "systemic evese convetible type secuities" a la CoCo-obligatione. 1.7 Definitione I modelgennemgangen anvendes foskellige udtyk. Disse beskives he. Deposit e ovesat med indlån, men dække alle fome fo lån, de ikke e aktie elle obligatione. Det e defo også ove night-lån mellem banke. Indlån ha absolut højeste pioitet, heefte følge obligatione og aktie. Udove CoCo-obligatione findes de en ække fome fo femmedkapital. I opgaven eksistee de blot nomale obligatione heefte: obligatione) og CoCo-obligatione. Obligationene fungee som det de i litteatuen kaldes undeodnet gæld engelsk: subodinated debt). Ejene, aktieejene, egenkapitalsholdene og egenkapitalsejene e alle udtyk fo holdene af egenkapitalen, og de efeees til samme agent, ved vekselviken af foskellige benævnelse. På samme vis e obligationsejee og holdee også to udtyk fo samme agent. De findes natuligvis flee foskellige fome fo aktie og obligatione. Fo at kunne fastholde fokus antages det, at de blot findes én slags aktie og én slags obligatione. De eksistee således ikke aktie, som give anledning til flee stemme ved eventuelle genealfosamlinge endsige obligatione med foskellige løbetide. Symbolfoklaingstabelle til modellene i kapital 2 og 3 kan findes i bilag B.1 og C.1.

20

21 Kapitel 2 Pennacchi: Keditspænd og asset substitution I dette kapitel pæsentees modellen heefte: Pennacchi) beskevet i [Pennacchi 2010)]. He modellees en banks aktive efte en spingdiffussionspoces, og de opeees med postene: indlån, CoCoobligatione, nomale obligatione og egenkapital aktie) på passivsiden. De undesøges udelukkende tilfælde med te gældsposte af gangen. Således e alle bankens obligatione enten CoCo-obligatione elle nomale obligatione. Bankens kapitalstuktu tages fo givet, og Pennacchi undesøge, hvodan geaing, isikopofil samt vilkå fo gældsudstedelse påvike ydelsen, gældskøbe vil afkæve. Det analysees endvidee, om foskellige udstedelse foøge asset substitutionsincitamentet. Pennacchi udskille sig ved mulighed fo sping i aktivvædien, dynamisk tilpasning af indlånsstøelsen samt bug af stokastisk ente og et pæspecificeet ligevægtsniveau fo kapitalfohold. 2.1 Antagelse I de næste afsnit beskives modellens antagelse vedøende passove og aktive. Føst egenskabene fo bankens aktive, så indlån, CoCo-obligatione, aktie og endelig obligatione. Bankens aktive Antag, at bankens aktive til tidspunkt t e givet ved A t. Ænding i aktivvædien følge af afkast på aktivene samt pengeind- og udstømning. He fokusees alene på ændinge foåsaget af afkastet på aktivene. Toptegnet makee, at ændinge som følge af nettopengestømmen e udeladt. Det instantane afkast på bankens aktive følge, unde det isikojusteede Q-mål, afkastpocessen da t A t = t λ t k t )dt + σdz + Y qt 1)dq t, 2.1) hvo σ e standadafvigelsen, og dz e en standad bownsk bevægelse unde Q-mål. Udtykket "standad" benyttes om en bownsk bevægelse med vaians lig 1 se [Lawle 2006)]). 13

22 14 KAPITEL 2. PENNACCHI: KREDITSPÆND OG ASSET SUBSTITUTION q t e en Poisson tællepoces, de tiltage med e, ved hve Poissonfodelt begivenhed he et sping. Således e dynamikken fo q t dq t = 1 hvis sping 0 elles 2.2) λ t e den isikojusteede foventede spinghyppighed, og den isikojusteede sandsynlighed fo at q t øges med 1 e de facto λ t dt. Y e en mængde af tal, de afgø spingenes fotegn og støelse. Eftesom q t e en tællepoces e mængden af tal i Y indeholdt i de natulige tal, Y n n N. Det fungee sådan, at til tidspunkte, hvo q t = n 1 og q t = n e de en diskontinuet ænding i vædien af bankens aktive et sping). Denne ske til tidspunkt t og e A t+ = Y qt A t, 2.3) hvo Y qt e en lognomalfodelt vaiabel, de føst kendes til tidspunkt t. Med 2.1) følge, at fo Y qt > 1 e de et sping opad i vædien af bankens aktive og omvendt. k t e defineet som foventningen til det isikojusteede sping i vædien fo bankens aktive k t E Q t [ Yqt 1 ]. 2.4) Eftesom Poissonpocessen e uden hukommelse, e den isikojusteede sandsynlighed fo sping og spingstøelsen uafhængige af hinanden, hvofo den foventede isikojusteede ænding ove intevallet dt i A fa spingkomponenten Y qt 1)dq t e λ t k t dt. En sti dannet ud fa 2.1) vil mestendels væe kontinuelig, men de vil dog foekomme en endelig mængde sping af foskellige støelse. Spingenes timing e bestemt af den Poissonfodelte vaiabel q t og spingstøelsen afhænge af den stokastiske vaiabel Y qt. Indlån Vædien af indlån til tidspunkt t notees som D t, og det antages, at de e omgående udløb på dem. Nå de simulees med tidssteppet 1 dag, svae dette til en fom fo ove night-lån som nævnt i afsnit 1.4. Renten på indlån e kompetitiv. Nogle indlån vil væe dækket af statslige elle pivate enhede. I USA kunne dette væe FDIC 1, i Danmak indskydegaanti. 2 Denne sikkehed betale banken en pæmie fo, betegnet som keditspændet på indlån h t. Idet banken via fosiking ha gjot indlån isikofi, ydes den isikofiente, t, på dem. E indlånene ikke dækket, vil långiveen kæve en pæmie svaende til h t denne modellees senee i afsnit 2.1). Defo skal banken fosiket elle ej betale en kontinuelig pæmie på dees indlån på t + h t )D t dt. Støelsen på bankens indlån ændes blot af cashflow fa indog udlån. Som beskevet i kapitel 1 ha en bank typisk et mål fo dees kapitalfohold, hvo den søge at holde et pæspecificeet fohold mellem dees kapital og indlån. Det ske fo at oveholde egulative og sike 1 Fedeal Deposit Insuance Copoation, 2 Indskydegaantifonden,

23 2.1. ANTAGELSER 15 en bæedygtig bankfoetning. E vædien af indlån elativ højt sammenlignet med bankens kapital, kan indlån ikke indfies i fuldt omfang i tilfælde af chok sping) i økonomien. Deved isikee banken at gå konkus. Et chok i Pennacchi modellees som et sping nedad) i aktivvædien. Vikelighedspaallellen e et pludseligt, makant udlånstab se eventuelt tabel 1.1). Resultate fa [Adian and Shin 2010)] fastslå, at banke abejde med kapitalfoholdsmål, og at vædien af indlån e voksende, nå de e oveskydende kapital. Defo antages det, at væksten i indlån e positivt påviket af bankens aktive-tilindlånsfohold engelsk: asset-to-deposit atio, heefte: A-t-I), som notees x t At D t. Indlån antages at følge dynamikken dd t D t = gx t ˆx), 2.5) hvo g e en positiv konstant og ˆx > 1 e det niveau, banken ha som mål fo A-t-I. Hvis x t < 1 kan bankens aktive ikke dække indlån, og banken vil typisk gå fallit. Ovestige det faktiske niveau målet fo A-t-I, vil banken øge D t ved nye indlån, hvilket ses af indmaden i paentesen i 2.5). Det fosætte indtil x t = ˆx, og fungee natuligvis omvendt, nå banken ligge unde målet. Således skabes en mean-eveting-effekt fo x t. I Pennacchi ske fallit til tidspunkt t f, hvo A tf D tf, de svae til x t 1. Ved fallit deles tabet popotionelt mellem indlånsholdee henholdsvis med og uden fosiking 3. Dette e givet ved D tf A tf. Eftesom indlån ha omgående udløb, kan et tab hepå alene udløses af et sping til fallit. Fodi indlån altid kompensees med keditpæmie, vil ændinge i kapitalen elle design af ande fodinge ikke påvike dem. Påvikningen af bankens fodinge ved ændinge i kapitalfohold, obligationskontaktsvilkå elle isikopofil kan defo undesøges uden hensyntagen til vædioveføsel til elle fa indlånsholdee. CoCo-obligatione To foskellige designs fo CoCo-obligatione vil blive gennemgået. Føst CoCo-obligatione designet lignende pæsentationen i [Flanney 2009a)]. Depå et design af CoCo-obligatione med en dobbelttigge som set i [McDonald 2009)]. Det antages, at CoCo-obligatione udstedes til tidspunkt t = 0 med pålydende vædi B 0 4 og udløb ved T > t. Så længe CoCo-obligationenene ikke e konveteet elle udstede e gået fallit, udbetales de løbende kupon af cbdt. CoCo-obligatione konvetee ved tiggeen, x t, de qua afsnit 2.1 e x t > 1. Hvilket e ækvivalent med x t x t. Dette tidspunkt opfylde kavene fo en stoppetid og makees ved t c c fo convesion). Ved konveteing e vædien af CoCo-obligatione pb hvis pb A tc D tc V tc = A tc D tc hvis 0 < A tc D tc pb 0 hvis A tc D tc 0, 2.6) 3 Denne antagelse e inspieet at guidelines fa FDIC i fald af fallit. 4 I pogam B = 1.

24 16 KAPITEL 2. PENNACCHI: KREDITSPÆND OG ASSET SUBSTITUTION hvo p e konveteingspaameteen. Fo p < 1 p > 1) konvetees CoCo-obligatione til egenkapital med abat pæmie). Idet den totale kapital til tidspunkt t c e positiv, men ikke tilstækkelig til fuld konveteing, altså 0 A tc D tc > 0, vil CoCo-obligationene konvetees til en andel af egenkapitalen svaende til den esteende kapital, de e lig A tc D tc. I det sidste tilfælde, hvo vædien af bankens kapital e nul elle negativ, e den pe definition gået fallit, og CoCo-obligationsejene modtage ingenting. Ved simuleing kontollees fo fallit ved hvet tidsstep, hvofo situatione med minde end fuld konveteing skal foudsættes af et sping i aktivvædien. Egenkapital Udove indlån og obligatione finansiee banken sig også gennem dens initiale beholdning af egenkapital. Vædien af egenkapital til tidspunkt t notees ved E t. Såfemt banken alene ha udstedt CoCoobligatione, de ikke at væe konveteet, vil egenkapitalens vædi ved udløb, t = T, væe E T = A T B D T. Hvis CoCo-obligationene konvetee, vil vædien af den oiginale) egenkapital væe A tc D tc pb hvis pb A tc D tc E tc = 0 hvis A tc D tc pb, hvo t c som fø indikee stoppetiden x t x t. Bemæk, at hvis CoCo-obligationene udløbe elle konvetee, da vil vædien af egenkapitalen væe givet ved bankens nettovædi af kapital, nemlig A t D t. Dette svae til det midteste tilfælde af 2.6), hvo vædien af bankens nettokapital ikke e adækvat fo fuld konveteing. He blive tidligee) CoCo-obligationsejene de nye ejee og få aktie med vædi svaende til A t D t. Efte udløb elle konveteing kan nye CoCo-obligatione udstedes til dees fai pis B, uden at de vil væe en pompte effekt på vædien af egenkapitalen. Således e modellens vædifastsættelse af eksisteende CoCo-obligatione og aktie konsistent med, hvad de måtte udstedes af nye fai pisfastsatte) CoCo-obligatione efte udløb elle eventuelt konveteing. Tiggeen Tiggeen notees som x t. Denne tigge fungee som en absobeende baiee. Føste gang x t x t, konvetees CoCo-obligationene. Antag, at konveteingen ske ved tidspunkt t = t h, hvo de nøjagtigt gælde, at x th = x th. Som tidligee beskevet ske dette blot, nå de ej ha væet sping til konveteing. Det e uealistisk at foestille sig et sping til eksakt konveteing. Ved et sping foventes det demed, at de idet de spinges unde tæsklen spinges stengt unde tæsklen, x t < x t. Tiggeen kan have foskellige designs specificeet i de espektive CoCo-obligationskontakte. I Pennacchi anvendes foholdet aktivvædi-til-indlån A-t-I) At h D th og aktiekapital-til-indlån E-t-I) e således indiekte en del af tiggeen. Det tilføjes, at foholdet mellem kapital egen- og obligationskapital benyttes ved undesøgelse og e x t 1 = Et+B D t = At Dt D t. Foholdet fokotes K-t-I. Makedsvædien af bankens aktive e ikke diekte obseveba. Dog kan vædien af egenkapitalen, E t, samt den pålydende vædi fo CoCo-obligatione, B, og endelig vædien af indlån, D t, obsevees. Og tiggeen kan, via sammenhængen beskevet i føste linie af 2.7), udtykkes ved obsevebae støelse. En tigge udtykt ved E-t-I, ē, e således givet ved 2.7)

25 2.1. ANTAGELSER 17 ē = E t h D th = A t h D th pb D th = A t h D th D t h D th p B D th = x th 1 pb th, 2.8) hvo b t B D t e foholdet CoCo-obligationsvædi-til-indlån til tidspunkt t. Nu kan A-t-I-tiggeen effektivt udtykkes ved obsevebae elemente ē = x th 1 pb th x th = 1 + ē + pb th. 2.9) Ego skal konveteingspaameteen p, foholdet b th og det i makedet obsevebae fohold ē kendes. Antag fo et øjeblik, at p = 1, b th = 4% og ē = 2%. Det betyde, at tiggeen ammes, nå aktiekusen falde til 2% af indlån. Nå det ske, konvetees CoCo-obligatione til ny egenkapital med vædien 4% af indlån se eventuelt sammenhæng i 2.8)), og således e den totale kapital 6% af indlån hvilket svae til, A-t-I og således x th = 1, 06. Hvis man ænde p, så p = 0, 9; b th = 4% og ē = 2%, vil CoCo-obligatione nu konvetees med abat. Nå aktiekusen falde til 2% af indlån, konvetees til aktie udgøende pb th = 0, 9 4% = 3, 6% af indlån, og tiggeen e demed x th = 1, 056. Idet tiggeen udtykkes ved aktiekusen, og CoCo-obliagtione konvetee med abat, da vil ceteis paibus den esulteende totale kapital væe lavee end, hvis konveteingen skete i foholdet en-til-en, dvs. p = 1. Fo at justee fo dette kan man vælge at lade ē afhænge af p. Fa 2.9) haves, at effekten ved ændet p e b. Demed skal tiggeen koigees som ē p = ē p=1 + 1 p) B D 0 = ē p=1 + 1 p)b ) Indsættes dette i den tigge, vi tidligee ha koncenteet os om, x th, haves, at x th = 1 + ē p=1 + 1 p)b 0 ) + pb th = 1 + ē p=1 + b 0 pb 0 + pb th = 1 + ē p=1 + b 0 + pb th b 0 ), 2.11) hvo ændingen fa udgangspunktet p = 1 ganges med b 0 og lægges oveni elle tækkes fa, hvis p < 1). Denne justeing sike, at nettokapitalen e støe end vædien af CoCo-obligatione, nå konveteing ske med abat, A th D th > B, hvilket stå ækvivalent med x th > 1 + b th. Demed undgå man også situationen, hvo CoCo-obligatione ikke e konveteet, men de alligevel ikke e nok total kapital til at betale hovedstolen, B, igen ved udløb.

26 18 KAPITEL 2. PENNACCHI: KREDITSPÆND OG ASSET SUBSTITUTION Idet konveteing ske ved tiggeen beskevet ved vædien af den oiginale egenkapital, nemlig E th = ēd th, og antallet af oiginale aktie e N, e stykpisen på aktiene Et h N = ēdt h N. Og det kan udegnes, hvo mange nye aktie, de komme ved eventuel konveteing. Nå en CoCo-obligation konvetee ved tiggeen ha den vædien pb, og det e tivielt, at de komme følgende antal nye aktie Vædi af CoCo ved konveteing Stykpis = pb ēd th N = pbn ēd th. 2.12) Hvis konveteingen ikke ske pæcis ved tiggeen, så e x t < x t, og E t < ēd t, kan de måske ikke udstedes aktiekapital til vædien pb t. Nå de som følge af konveteing udstedes et nyt antal aktie lig pbn E t, og vædien af den nye aktiekapital e pb, da beholde de oiginale ejee en positiv del af den nye, samlede egenkapital. Men i fald de udstedes et nyt antal aktie lig pbn E t, og stykpisen falde meget tæt på nul, da haves en indikation på, at CoCo-obligatione ikke kan konvetees til tilstækkelig vædi, og vædien af den opindelige egenkapital fotyndes voldsomt. I et simpelt eksempel med en eje, de holde en aktie til kus 1 og en CoCo-obligationseje med en CoCo-obligation, de ha pålydende vædi 1, vil de ved en konveteing p = 1 fo nemheds skyld), hvo aktiekusen e faldet til DKK 0,01, altså 1 øe; ifølge 2.12) tilkomme CoCo-obligationsejeen Vædi af CoCo ved konveteing Stykpis = 1 aktie/coco-obl. 1 DKK/CoCo-obl. 1 aktie 1 øe/aktie = 100 nye) aktie. Og den fohenvæende CoCo-obligationseje ha nu solid aktiemajoitet. He kan det diskutees, hvilken type aktie, de tilvejebinges ved konveteing. Klassifikationen af disse kan nemlig tænkes at væe pefeed altså aktie med begænset elle ingen stemmeet. Myndighedene bø øge ovevågning og kontol af banke, hvo konveteing e sket efte voldsomt fald i aktiekusen, så de tidligee CoCoobligationsejee ha aktiemajoiten. En sådan situation kan nemlig kalde på behøvet fo at udabejde og ivæksætte esolutionsplane. Obligatione En kapitalstuktu med obligatione i stedet fo CoCo-obligatione give et sammenligningsgundlag, hvo incitamentet til asset substitution kan vudees. Pålydende vædi, udstedelse og udløb e stadig henholdsvis B, 0 og T. Også kuponene blive fotsat udbetalt kontinuet. Banken gå fallit, nå vædien af den totale femmedkapital, B + D t, ovestige vædien af bankens aktive, A t, og obligationens vædi e V sub t c = A tc D tc hvis 0 A tc D tc B. 2.13) 0 hvis A tc D tc 0, Toptegnet sub indikee undeodnet engelsk: subodinated). Som ved CoCo-obligationen fotsætte stømmen af kuponbetalinge til udløb, T, idet banken ikke gå fallit.

27 2.1. ANTAGELSER 19 CoCo-obligatione med dobbelttigge [McDonald 2009)] udvide tiggeen fa [Flanney 2009b)] således, at konveteing ske som esultatet af bud på to tiggeniveaue. Konveteingen blive nu ikke blot effektueet af en individual aktivvæditigge, men også af en indeks-tigge. Begge tiggeniveaue skal væe budt, fø de konvetees. Motivationen fo at anvende en dobbelttigge e at sike, at de kun udstedes ny egenkapital som følge af en systemisk kise. Således kan banken gå fallit uden foududgående konveteing, og man ha demed en gældspost de afhængig af situationen kan have foskellige egenskabe: Unde en finanskise vil den optæde som CoCo-obligation og unde nomale omstændighede som obligation. De henvises til bilag B.4, eftesom esultatet ved bug af dobbelttigge fungee ganske intuitivt. Bilaget gennemgå den tekniske modelleing. Unde afsnit 2.2 kommentees esultate ved bug af dobbelttigge, men de udføes ikke videe analyse. Bankens aktive og passive e nu beskevet. Ved simuleing af aktivudvikling, skal det endelige esultat blandt andet buges til at bestemme nutidsvædien af kuponbetalingækken samt eventuelt konveteing elle hovedstol. Defo skal man kende den ette diskonteingfakto, som blive gennemgået i næste afsnit. Risikofi entestuktu Antag, at den isikofi entes dynamik e beskevet ved CIR-pocessen d t = κ t )dt + σ t dζ, 2.14) hvo dζ e en bownsk bevægelse, de opfylde dζdz = ρdt. Denne poces stamme fa [Cox et al. 1985)]. Idet entendynamikken e givet ved 2.14), da e pisen på en isikofi nulkuponsobligation NKO), de udbetale 1 om τ T t å, givet ved hvo P t, τ) = Aτ)e Bτ)t, 2.15) Aτ) [ ] 2θe θ+κ) τ 2κ 2 σ 2, Bτ) 2e θτ 1) θ + κ)e θτ 1) + 2θ θ + κ)e θτ 1) + 2θ og θ κ 2 + 2σ ) Lad c væe kuponaten fo en isikofi obligation, de betale kontinuelige kupone af støelsen c F dt indtil udløb om τ å, hvo F e pålydende vædi. Da vil den fai kuponate væe hvo n = τ t. c = 1 Aτ)e Bτ)t τ 0 As)e Bs)t ds = 1 Aτ)e Bτ)t i=n i=1 A t i)e B t i)t t, 2.17)

28 20 KAPITEL 2. PENNACCHI: KREDITSPÆND OG ASSET SUBSTITUTION Rentespænd på indlån h t e pæmien på indlån som følge af dees keditisiko, og beskives som en funktion af A-t-I, x t. Det e muligt, nå den isikojusteede fodeling fo afkastet på bankens aktie e defineet. Banken lukkes af myndighedene elle modpat, de ha gaanteet indlån, nå x t 1. Som tidligee nævnt lukkes banken ved x t = 1 og A tb = D t, hvis de ikke ha væet sping til fallit, og indlånsholdene lide ikke tab. De kan kun udsættes fo tab ved sping til fallit. Nå simulationsesultatene senee beskives, e det klat, at spingfaktoene ha stæk påvikning fo blandt andet indlånene. Hvis et sping til fallit ske til tidspunkt ˆt, e det øjeblikkelige popotionale tab fo indlånsholdene givet ved Dt Yq t A t D t. Til ethvet tidspunkt eflektee keditspændet, h t, den isikojusteede foventning til dette og e givet ved h t = λ t E Q t [ )] Dt Y qt A t max, ) D t Det antages, at λ t e konstant. Altså, λ t = λ. Og at de isikojusteede spingstøelse e uafhængige og individuelt fodelt ved lognomalfodelingen lny qt ) Nµ y, σ 2 y). Demed e k t givet ved k t E Q t [Y qt 1] = e µy+ 1 2 σ2 y ) og ligeledes konstant. Med disse antagelse kan det vises se bilag B.3), at hvo [ ] h t = λ N d 1 ) x t e µy+ 1 2 σ2 yn d 2 ), 2.20) Vædifastsættelse af CoCo-obligatione Vi ved, at vædien af egenkapital til tidspunkt t < t h e d 1 = lnx t ) + µ y σ y og d 2 = d 1 + σ y. 2.21) E t = A t D t pb E t + pb = A t D t, 2.22) hvilket betyde, at hvis vædien af CoCo-obligatione kan udledes, da vil vædien af egenkapital væe esidualbestemt. Det betyde, at ændinge i modellens tilstandsvaiable, x t og t, blot vil skifte vædidistibutionen mellem CoCo-obligationsholdene og ejeene. Denne egenskab udnyttes ved undesøgelse af asset substitutionsincitamentet. Antag, at CoCo-obligationene ved udstedelse ha vædien V 0, og at kupon, c, sættes, så denne e i oveensstemmelse med abitagefi pisfastsættelse. Altså V 0 = B. Dette ske ent paktisk ved udvælge et inteval fo x t samt c t og løse fo V 0 ved de foskellige kombinatione 5. 5 Denne metode e ikke lig metoden benyttet i atiklen [Pennacchi 2010)], hvo de iteees ove c indtil V 0 = B. Resultatene mellem de to metode afvige minimalt fa hinanden.

29 2.1. ANTAGELSER 21 Helt nøjagtigt bestemmes CoCo-obligationspisen med given kupon ved den gængse matingaltilgang, hvo den isikojusteede pisfastsættelse e V 0 = E Q 0 [ T 0 e ] t 0 sds vt). 2.23) He e vt) den pengestøm kuponate) p. tidsenhed, CoCo-obligationsejeen modtage til tidspunkt t. Og så længe banken ikke e gået fallit elle CoCo-obligationskapitalen e konveteet, da vil den ålige) pengestøm væe c t B, hvo c t = c fo den faste kupon. Hvis CoCo-obligationene ikke e konveteet ved udløb, T, elle banken ikke e gået fallit, da vil den sidste betaling falde nemlig hovedstolen, B. Pæcis som tidligee beskevet vil et engangsbeløb givet ved 2.6) oveføes til CoCo-obligationsejene, hvis CoCo-obligationskapitalen konvetee. Idet dette e sket til tidspunkt t c, gælde de eftefølgende, at vt) = 0 fo t > t c. I [Pennacchi 2010)] benyttes Monte Calo MC) simulationsteknik af [Boyle 1977)] til at udegne 2.23). Det kan lade sig gøe, idet man kende initialvædiene fo aktive, indlån og den isikofi ente, altså: A 0 og D 0 espektivt. I denne afhandling e de også benyttet MC-simulation, men metoden til at finde ligevægtskuponen e en anelse andeledes end den foeslåede. De henvises til bilag?? fo kode. Pocessen fo bankens aktive e afkastet på aktivene fatukket ente og pæmie til indlånsholdene samt sålænge disse eksistee kupone til CoCo-obligationsejee, hvo alle støelse e isikojusteede. Altså, da t = [ t λk)a t t + h t )D t c t B] dt + σa t dz + Y qt 1)A t dq 2.24) [ da t = t λk) t + h t ) D ] t D t c t b t dt + σdz + Y qt 1)dq t. 2.25) A t A t A t Vi ha x t = At D t, hvilket indsættes som x 1 t da t A t = [ t λk) t + h t )x 1 t = [ t λk) t + h t + c t b t x t c t b t x 1 ] t dt + σdz + Yqt 1)dq t ] dt + σdz + Y qt 1)dq t. 2.26) c tb A t Bemæk, at man ved tedje led i de kantede paentese ha folænget med D t i tælle og nævne. Så Dt = ctbdt = c t b Dt = c t bx 1 t. D t A td t A t Vi kan nu opskive den isikojusteede poces fo foholdet A-t-I, fodi vi ha dynamikken fo indlån givet ved 2.5), og vi ha netop udledt 2.26). dx t x t = da t D t A t D [ t = t λk) ] t + h t + c t b t gx t ˆx) dt + σdz + Y qt 1)dq t. 2.27) x t

30 22 KAPITEL 2. PENNACCHI: KREDITSPÆND OG ASSET SUBSTITUTION Itôs lemma på denne spingdiffusionspoces give se eventuelt bilag B.2) d lnx t ) = [ t λk) t + h t + c t b t gx t ˆx) 1 ] x t 2 σ2 dt + σdz + ln Y qt dq t. 2.28) Fo en kupon, c t, kan den isikojusteede poces fo den isikofi ente, t, i 2.14) og logaitmen til A-t-I, lnx t ), fa 2.28) simulees således, at h t til hvet tidspunkt tilfedstille 2.20). Dynamikken fo indlån, D t, kendes fa 2.5), og det kan sluttes, at b t = B D t udvikle sig efte db t b t ) 1 = d = gˆx x). 2.29) D t Vædifastsættelse af obligatione Antaget, at banken ikke e gået fallit, modtage obligationsejee kontinuete betalinge af støelsen c t Bdt. Det ske, nå x t 1 + b t, hvo b t = B D t nu e foholdet mellem obligatione og indlån. Den tekniske vædifastsættelse fungee på samme vis som ved CoCo-obligationene, men i pogammet sættes ē som e.ba=0, da de ingen tigge e ved obligatione. 2.2 Effekt ved paameteændinge I dette afsnit undesøges, hvodan en ække paamete påvike kuponstuktuen, keditspændet på indlån samt asset substitutionsincitamente. Til simulation af den isikofi entestuktu benyttes paamete estimeet i [Duan 1999)], hvo κ = 0, 114; σ = 0, 07 og = 0, 069, og initialenten antages at væe 0 = 0, 035. Det give en opadgående entestuktu, hvilket bevike, at den fai kupon fo en 5-åig isikofi obligation e 4, 23%. Som benchmak anvendes paamete fa [Pennacchi 2010)], hvo bankens ålige afkast ha en standadafvigelse, de stamme fa en bownsk bevægelse med volatiliteten σ = 2%. Disse afkast e iøvigt negativt koeleede, ρ = 0, 2, med ændinge i den kote ente. Og endelig e de isikojusteede foventninge til hyppigheden af sping, spingstøelse samt standadafvigelsen på støelsen givet ved henholdsvis λ = 1, µ y = 1% og σ y = 2%. Føst undesøges effekten på keditspænd vedøende indlån og denæst kuponstuktuen i foskellige setups. Keditspænd på indlån, h t Som det femgå af figu 2.1, eksistee de en inves sammenhæng mellem K-t-I x 0 1) og keditspænd på indlån. Det gælde uanset hvilke paamete, de benyttes. Hvis bankens elative kapitalmængde e høj, e sandsynligheden fo, at et nedadgående sping e stot nok til at påvike afdækning af indlån tilsvaende lav. Mod lavee vædie af K-t-I e det muligt at skelne benchmak fa de ande gafe. De e alle placeet ove, eftesom de alle ha absolut højee vædie fo isikoelateede paamete. Og nå K-t-I=0,5%, vil bae et lille sping kunne foåsage misligholdelse af indlån, hvofo den blå gaf med

31 2.2. EFFEKT VED PARAMETERÆNDRINGER 23 Figu 2.1: h t. Keditspænd på indlån i basispoint. λ = 2 give det støste keditspænd. Fa K-t-I = 2% skal de et støe sping til at påvike indlån, og den øde og gønne gaf med henholdsvis øget spingvolatilitet, σ y = 3%, og absolut spingstøelse, µ y = 2%, ligge he ove den blå gaf. Bemæk, at den blå gaf med, dobbelt så mange foventede sping, svae til en 100% vetikal foskydning af benchmaket. I de næste afsnit undesøges effekten fo kuponstuktuen, nå foskellige paamete ændes. Kuponstuktu I dette afsnits undeafsnit pæsentees den fai kupon fo nytegnede CoCo-obligatione med fast kupon. Det antages, at banken ha et mål om at holde K-t-I på 10%, det vil sige ˆx = 1, 10. Desuden e speedof-eveesion paameteen fo indlånsvæksten givet ved g = 0, 5. Det indebæe, at afvige bankens solvenspocent fa målet, vil den foventede eduktion i afvigelsen ove det næste å væe cika halvdelen. CoCo-obligationen antages at have en løbetid på fem å, T = 5, og en udstedelsesvædi a pai) svaende til 4% af indlånene, b 0 = 0, 04. Således e 4% udgjot af CoCo-obligatione og 6% af opindelig aktiekapital, hvis banken ved udstedelse ha K-t-I lig taget på 10%. Den CoCo-obligationen, de e benchmak antages at konvetee til pai, altså p = 1. Det ske, nå foholdet E-t-I falde til ē = 2%. Demed e de konveteing ved x th =1 + ē + pb th = 1 + 2% + 4% = 1 + 6% elle lavee hvis de ha væet sping til konveteing). Det svae til, at konveteingen ske, nå K-t-I 6%.

32 24 KAPITEL 2. PENNACCHI: KREDITSPÆND OG ASSET SUBSTITUTION Således e e scenen sat. I næste afsnit betagtes effekten af ændinge i spinghyppigheden og meanevesion paameteen. Spinghyppighed og mean-eveting paamete fo indlånsgeaing, λ og g Figu 2.2: c. Kupone ved foskellige vædie af initial foholdet K-t-I samt spinghyppigheden og indlånstilpasningspaameteen. He eksistee intet benchmak, men den isikofi obligation kan anvendes som efeenceamme. To gafe blå og ød) ligge ove og en unde gøn). Af de to de ligge ove, ses at dees espektive kuponstuktue kydse hinanden ved foskellige initialvædie af K-t-I. Foskellen på de to gafe e, at den ene koigee sin geaede position dobbelt så hutigt som den anden. Det betyde, at fo lave vædie af K-t-I, vil gafen med højee speed-of-evesion paamente, g = 0, 05, give anledning til lavee kupon, da banken hutigt koigee sin potefølje, så den passe med dees K-t-I. Agumentet fungee omvendt fo gafen med den tilhøende lave vædi fo speed-of-evesion fo indlånds-geaing, g = 0, 25. Ved høje vædie af K-t-I e sidstnævnte langsom til at øge geaing, hvilke esultee i en mee sikke bank sammenlignet med den hutigt koigeende, de ved de højee vædi K-t-I hutigt vil lade geaing følge med. Den isikofi fem ås ente antages at væe 4,23% sot stiplede gaf) og figu 2.2 vise kuponstuktuen ved udstedelse fo CoCo-obligatione med fast kupon. De e bugt npath < simulatione. Bankens initiale K-t-I vaiee mellem 6,5% til 15%. Den blå og den øde gaf e begge ove den isikofi obligation fo alle vædie af K-t-I. Dette spænd skyldes isikoen fo at konvetee til minde end pålydende ved et nedadgående sping. Nå spinghyppigheden e sat til nul, kan de aldig konvetees lavee end ved tiggeen. Det e vist simuleet ved den gønne gaf. Og eftesom p = 1, vil CoCo-obligationsholdeen altid blive kompenseet

33 2.2. EFFEKT VED PARAMETERÆNDRINGER 25 svaende til pålydende de e altså ikke isiko fo tab. Kuponstuktuen e defo unde den isikofi obligation, da sandsynligheden fo at få hovedstolen igen fø fem å stige med et lavee initialt K-t-I, og kuponen vil minde mee om en en, to, elle måske te ås isikofi obligation. Muligheden fo sping ha således en vigtig betydning fo pisfastsættelsen af CoCo-obligatione. Og det e oplagt at foestille sig finansielle kise modelleet som sping. Fa den øde til den blå gaf e speed-of-evesion-paameteen fo indlånsudviklingen ændet fa g = 0, 5 til g = 0, 25. Det simulee en bank, de langsommee justee sine indlån fo at bevæge sig mod sit K-t-I-mål he sat til 10%). Som esultat ligge den blå gaf ove den øde i ekstemene. Hvis banken state unde-kapitaliseet, vil langsommee indlånsjusteing have tendens til at lade banken foblive undekapitaliseet i en elativt længee peiode. Det give det høje spænd ved lav initialvædi af K-t-I. I det modsatte tilfælde, altså en ove-kapitaliseet bank, vil manglende evne til at justee indlånsudviklingen søge fo, at banken foblive ove-kapitaliseet i længee tid. Defo det lavee spænd. Den sidste vaiant educee sandsynligheden fo, at et sping nedad kan føe til en konveteing ved minde unde pålydende. I næste afsnit undesøges effekten på kuponstuktuen ved foskellige løbetide. Udløb, T Figu 2.3: c. Kupone ved foskellige løbetide He undesøges, hvoledes kuponstuktuen e påviket af foskellige løbetide. De stiplede linie indikee isikofi obligatione. De ha løbetidene te, fem og ti å, og holde henholdvist den effektive

34 26 KAPITEL 2. PENNACCHI: KREDITSPÆND OG ASSET SUBSTITUTION ente 3,99%; 4,23% og 4,64%. CoCo-obligatione med ækvivalente løbetide e ligeledes blevet udstedt. Dees stuktue næmee sig de isikofi obligationes, nå kapitalniveauet e højt. Ved lave vædie af K-t-I minde de te CoCoobligationes fai kupon mee om hinanden. Det skyldes, at de på gund af den høje isiko fo konveteing delvist vædifastsættes som aktie. Aktie udløbe ikke, og foventede pay-off e uafhængige af, hvilken løbetid CoCo-obligationen havde. Det e væd at bemæke, at nå K-t-I e lav, da e sandsynligheden fo konveteingstab fo CoCoobligationsholdene høj, og keditspændet ove den isikofi obligation e en aftagende funktion af løbetiden. Det skyldes, at den lavee effektive løbetid ha højee effekt, nå efeenceløbetiden e længee. Defo ligge den blå gaf T = 10) unde den gønne gaf T = 5) og den øde gaf T = 3). I næste afsnit behandles konveteingsbetingelsen. Konveteingsbetingelsen Figu 2.4: c. Kupone ved foskellige konveteingsfohold. He ses på, hvodan konveteingsbetingelsene påvike kuponstuktuen fo nyligt udstedte CoCoobligatione. Den sotstiplede og den øde gaf e de samme som ved figu 2.2, altså den fem-åige isikofi obligation og CoCo-obligationen med p = 1 og ē = 2%. Ved den gønne gaf e vist kuponstuktuen fo en CoCo-obligation med fem å til udløb og konveteingsfohold, de give CoCo-obligationsholdeen 90% af vædien af vedkommenes position i aktie. Det betyde, at de i modellen e bugt p = 0, 9 og ē = 2, 4. Det e tydeligt, at CoCo-obligatione, de konvetee med abat, ha betydeligt højee kupon. Dette e navnligt udtalt ved lave vædie af K-t-I. Obsevationen e ikke foåsaget af mulighed fo sping

35 2.2. EFFEKT VED PARAMETERÆNDRINGER 27 i aktivvædien. Eftesom de konvetees med tab fo CoCo-obligationsejene, e de et positivt spænd selv ved en en diffusionspoces, λ = 0. Situationen med fuld konveteing, p = 1, men en lavee egenkapitalstigge, ē = 1% e vist ved den blå gaf. I dette tilfælde ske konveteingen ved x 1+0, 01+0, 04 = 1, 05. Denne CoCo-obligation give anledning til et støe spænd end benchmak, da den lavee egenkapitalstigge øge sandsynligheden fo, at et nedadgående sping i aktivvædien kan esultee i hinding af fuld konveteing. Helt konket gælde de fo benchmak, at ved et punkt lige fø konveteing skal de ske et aktivvædisping nedad på ove 2%, mens dette blot skal væe på 1% fo blå gaf, fo at de ej e fuld konveteing. Dette sætte også fokus på en fakto, de isæ e diskuteet af egulatoe, nemlig hvonå CoCo-obligationene skal konvetee. Dette skal ske på et tidspunkt, hvo banken e i økonomiske vanskelighede. Alt i alt kan det ses, at idet konveteing udsættes til et tidspunkt, hvo vædien af egenkapitalen e meget lav, give det anledning til højee keditspænd på CoCo-obligationen. Endelig e en nomal obligation med fast kupon og fem ås løbetid vist ved lyseblå gaf. Denne e modelleet med en initialvædi svaende til 4% af indlån, b 0 = 4%. De mindes om, at myndighedene antages at lukke banken, nå aktivenes vædi falde til elle unde den samlede vædi af indlån samt vædien af obligationsgælden. Det betyde, at implementeingen i kodningsmæssig sammenhæng kan foegå ved at lave den lyseblå gaf med p = 1 og ē = 0, da obligatione ingen egenkapitalstigge ha. Det betyde samtidigt, at de vil væe højee sandsynlighed fo at se et sping nedad, de pålægge obligationsejene tab, hvilket foklae, hvofo obligationskuponen e højee end den ækvivalente CoCo-obligation hvo de konvetees til pålydende). Dog e spændet ned til CoCo-obligationen, de konvetee med abat gøn gaf) negativt he opleves jo tab i alle fald. Det tilføjes, at havde man anvendt en dobbelttigge, ville den afhængige af paameteen p og demed indiekte ē) ligge ove elle unde dens ækvivalente med enkelttigge. Eftesom de ved bug af dobbelttigge skal bydes to tiggee, vil de opstå fæe tiggebegivenhede. Defo e det fodelagtigt i en situation, hvo p < 1, da man tabe ved konveteing, mens det ved p 1 vil give støe keditspænd. I næste afsnit behandles incitamentet til at ænde på isikoelateede paamete efte udstedelse. Altså, asset substitutionsincitamentet. Asset substitution Dette afsnit omhandle bankens asset substitionsincitamente i fobindelse med udstedelse af CoCoobligatione og obligatione. Det ske ved at se på, hvodan ændinge i isikopaametene påvike elative vædie af CoCo-obligationene og egenkapitalen. I en kapitalstuktu bestående af indlån og egenkapital, vil de ikke foeligge et asset subsitutionsincitament. Indlånsholdee kompensees ved 2.20), og de kan ikke flyttes vædi fa dem. Til foskel fa mee basale stuktuelle modelle som i [Meton 1974)], hvo de bae e én paamete fo isiko, σ, så e de i Pennacchi flee. He kan i tillæg til volatilitetpaameteen fo diffusionspocessen også justees på den isikojusteede sandsynlighed fo sping, λ, den gennemsnitlige spingstøelse, µ y og endelige spingets volatilitet, σ y. Som det vil femgå af gafene dannet ved simuleing, ha de foskellige paamete foskellige betydninge fo den isikojusteede fodeling af aktivenes afkast, og demed asset substitutionsincitamentet fo ejene.

36 28 KAPITEL 2. PENNACCHI: KREDITSPÆND OG ASSET SUBSTITUTION Analysen e fotsat baseet på foskellige fome fo CoCo-obligatione og obligatione alle med fem ås løbetid. Og ved udstedelse e b 0 = 4% og x 1 = 10%. Pånæ den isikofi obligation, e de anvendt samme gafe som ved figu 2.4. Føst e simulationen køt med vædiene fa tidligee, og kuponene gemt. Depå e nedenstående paameteændinge foetaget, og simulationen e køt igen, men uden beegning af nye kupone da de gamle anvendes. λ = 1 1, 25, σ y = 0, 02 0, 025, µ y = , 0125 og σ = 0, 02 0, 025. Bemæk, at disse ændinge natuligvis ikke påvike den isikojusteede foventning til afkastet på bankens aktive, de stadig e lig den isikofi ente, t. Og eftesom A = D + pb + E A D = pb + E, 2.30) betyde det, at en stigning et fald) i CoCo-obligations- elle obligationsvædien e foeneligt med et fald en stigning) i vædien af egenkapitalen af pæcis samme absolutte støelse. Ænding af spingpaametene, λ, σ y og µ y Fo alle vaiante e de en stigning i vædien af egenkapital ved en øget sandsynlighed fo sping λ. Stigningen e mindst fo benchmak CoCo-obligationen ød gaf). Denne ha paametene p = 1 og ē = 2%. Fo de lidt højee niveaue af K-t-I ses det, at CoCo-obligationen med p = 0, 9 og ē = 2, 4% makeet ved gøn gaf e påviket væsentligt i negativ etning, hvilket qua 2.30 hæve egenkapitalens vædi. CoCo-obligatione, de konvetee med abat, e mest favoable at holde til udløb, hvofo den maginale effekt e støst, nå sandsynligheden fo dette e støst. Det vil sige ved høje vædie af K-t-I. Fo CoCo-obligationen tilhøende den blå gaf, de konvetee til pai, p = 1, men ha en lavee egenkapitalstigge, ē = 1%, vil det øgede λ øge sandsynligheden fo sping til konveteing og altså sping til en situation, hvo fuld konveteing ikke e muligt. Det samme gø sig gældende fo obligationen lyseblå gaf). Denne blev implementeet ved ē = 0. Det e defo ikke oveaskende, at obligationen skabe det støste incitament fo holdene af egenkapitalen til at udføe asset substitution. Helt konket vil de uden egenkapitalstiggeen væe støe sandsynlighed fo et sping i aktivvædien, de vil pålægge obligationsholdene tab. Et tab som, via 2.30), vindes af ejene. I figu 2.5 pæsentees også tilfældet med en 25% stigning i volatiliteten fo spingene, σ y. Incitamentet e støst, nå banken ha udstedt obligatione. Den blå gaf med lav egenkapitalstigge give det støste incitament fo CoCo-obligationene, mens det ved lave vædie af K-t-I e den gønne gaf med høj egenkapitalstigge, ē = 2, 4%, de give det mindste incitament. Denne ækkefølge bekæfte, hvo vigtig betydningen af tiggeen e, nå CoCo- og obligationsholdene skal beskyttes. En støe kapitalbuffe mellem tiggeen og femmedkapitalens pålydende vædi, det vil sige egenkapitalstiggeen, yde beskyttelse mod et pludseligt sping nedad i aktivvædien, da et sping ned til egenkapitaltiggeen elle lige unde ikke umiddelbat give anledning til tab fo CoCoobligationsholdeen.

37 2.2. EFFEKT VED PARAMETERÆNDRINGER 29 Figu 2.5: Asset substitutionsincitamentstuktu ved ænding af spingpaamete. Bemæk at fo alle fie slags obligatione se det ud til, at asset substitutionsincitamentet toppe umiddelbat, men signifikant efte dees espektive tiggeniveau. En mulig foklaing e, at beegningen måle den maginale effekt fo vædien af egenkapitalen og femmedkapitalen ved en stigning i volatiliteten fo spingstøelsen. En sådan stigning give anledning til fedee hale fo fodelingen af aktivenes afkast, og den maginale effekt af disse fedee halesandsynlighede udsætte altså femmedkapitalen fo støste nedgang i vædi ved et punkt, de e signifikant ove tiggeen. Resultatene ved ænding af µ y e kvalitativt de samme som de alleede gennemgåede. Som fø e asset substitutionsincitamentet støst ved obligationen lyseblå gaf). Vædiene fo den gønne gaf i den kote ende pointee endnu engang, hvo kitisk en olle tiggeen spille, nå det gælde beskyttelse af CoCo- elle obligationsejee mod sping i aktivvædien.

38 30 KAPITEL 2. PENNACCHI: KREDITSPÆND OG ASSET SUBSTITUTION Øget volatilitet fo diffussionspocessen, σ Figu 2.6: Asset substitutionsincitamentstuktu ved ænding af diffusionspocesvolatiliteten. He e undesøgt ændingen i vædien af egenkapital, nå volatiliteten fo diffusionspocessen, σ, stige. Og det vise sig, at de på sin vis e kvalitativ foskel på esultatene, de stammede fa ovenstående beegninge med ænding af spingelateede paamete. Med undtagelse af en bank, de ha udstedt CoCo-obligatione af typen med abat ved konveteing gøn gaf), ha ejene intet incitament til asset substitution. Gunden e, at nå den volatiliteten fo den bownske bevægelse stige, stige sandsynligheden fo at amme tiggeen ved en kontinuet bevægelse samtidigt. Det må nødvendigvis betyde, at sandsynligheden fo et sping nedad i aktivvædien, de foåsage tab fo CoCo- elle obligationsholdeen, falde. Og det e netop he, at ejene hente vædi fa femmedkapitalen. Som noteet foholde det sig andeledes fo CoCo-obligationen makeet ved den gønne gaf. Det skyldes, at konveteingen ske med abat, og det e således undeodnet, om tiggeen ammes kontinuet elle ej CoCo-obligationsholdeen vil lide tab i begge fald.

39 Kapitel 3 Albul, Jaffee & Tchistyi: Kapitalstuktu I dette kapitel pæsentees modellen heefte: Albul-Jaffee-Tchistyi) beskevet i [Albul et. al 2010)]. Albul-Jaffee-Tchistyi behandle kapitalstuktu med CoCo-obligatione og e inspieet af den klassiske kapitalstuktusmodel fa [Leland 1994)]. Valg af kapitalstuktu beskives fo at afklae, om det e en fodel at benytte CoCo-obligaitone. Kapitalstuktumodelle antage, at en banks initiale ejee maksimee vædien af banken ved at udstede gæld i fom af aktie og obligatione. Udstedelse af gæld med kuponbetalinge, det vil sige obligatione, give anledning til et skattefadag engelsk: tax-shield), hvilket skal afstemmes mod den øgede isiko, de høe med ved øget gældssætning via obligatione. Det fungee sådan, at jo mee obligationsgæld, banken ha udstedt, jo højee e kuponbetalingsposten. Demed vil et elativt højt skattefadag fode tilsvaende høj obligationsgæld. Eftesom banken da skal yde en elativ høj kuponbetaling, vil den væe såba unde lavkonjunktu. Demed øge udstedelsen af obligatione isikoen fo fallit. Dog e det også et væsentligt element fo ejene, at de ikke skal dele oveskuddet med femmedkapitalsholdee. Hvis de foventede kusstigninge samt udbyttet e støe end kuponbetalingen, da vil aktieejene have incitament til at udstede obligatione. De initiale ejee udstede også aktie, som de typisk selv beholde. Nye investoe kan købe sig ind ved en IPO bøsintoduktion, engelsk: initial public offeing). Ejene udgjot af opindelige og nye) afgø bankens pioiteinge og valg. Senee i kapitlet optæde inteessekonflikten mellem obligationsog egenkapitalsholdene. CoCo-obligatione intoducees nu til dette setup, og alt efte om det ske de novo elle ved en eksisteende kapitalstuktu, vil det have foskellige mako- og mikoøkonomiske implikatione. Ved optimeing af kapitalstuktu e det elevant at vide, hvilket funktion og effekt banken ønske fa et givent instument. Defo hoppe vi kot tilbage til, hvad obligationen give, hvad aktien give, og hvad hybiden af de to, CoCo-obligationen, give: Med en øget mængde obligatione opnå banken udove et umiddelbat povenu ved salget et skattefadag på sine løbende kuponbetalinge, men må så løbe en støe isiko fo at gå fallit i nedtue. Aktien e mee neutal. He kæves ingen obligatoiske betalinge, men til gengæld ha banken ikke skattefadag fo eventuelle udbyttebetalinge. CoCo-obligationen e konstueet således, at den vil konvetee til egenkapital fø banken gå fallit benævnt Betingelse 1 i Albul-Jaffee-Tchistyi. Gjode den ikke det, ville man de jue have en nomalt fungeende 1 obligation, 1 Dette foudsætte selvsagt, at kontakten ikke ha specificeet sælige fohold vedøende senioitet. Det kunne jo 31

40 32 KAPITEL 3. ALBUL, JAFFEE & TCHISTYI: KAPITALSTRUKTUR da konveteingsdelen aldig ville blive aktuel. Givet CoCo-obligationen ikke e konveteet, da ha banken endnu skattefodelen, men ved eventuel konveteing e kausaliteten ligefem: de obligatoiske kuponbetalinge til de nu gamle) CoCo-obligationsholdee fafalde, hvofo skattefodelen ligeledes fafalde. Det e dog samlet set en fodel fo banken at få luft unde økonomiske svæe tide. 3.1 Modelleing af aktive Antag, at dynamikken fo de cashflows en banks aktive danne efte skat e givet ved dδ t δ t = µdt + σdb Q t, 3.1) hvo µ og σ e konstante, B Q e en standad bownsk bevægelse unde det isikojusteede Q-mål. Den isikofi ente,, e konstant, og konstueet således, at µ <. Den aktuelle skattekvotient e θ 0, 1). Og endelig antages det, at kuponbetalinge e fadagsbeettigede. Til alle tidspunkte t) gælde det som sædvanlig, at makedsvædien af bankens aktive, A t, e alle femtidige cash-flow tilbagediskonteet. Med 3.1) haves, at A t = E Q t [ t ] e s t) δ s ds = δ t µ. 3.2) 3.2) e en voksende annuitet. I bilag C.2 foklaes føst, hvodan vædien af en annuitet og depå en voksende annuitet fastsættes. Eftesom dynamikken fo cashflows e givet som i 3.1), da følge bankens aktive en geometisk bownsk bevægelse GBM) unde Q-målet, de bae e en skaleet vesion af den cash-flows følge, nemlig da t A t = µdt + σdb Q t. 3.3) Begge fome fo femmedkapital antages at væe evigtvaende annuitete. Demed kan de måske nok afsluttes tilbagebetales elle konvetees i endelig tid, men det ske udelukkende som funktion af A t, og altså ikke tidens gang. Det antages, at den kontinuelige kuponbetaling til obligatione e c b indtil fallit, og c b fo CoCoobligatione indtil konveteing. Ved fallit gå en faktion, α 0, 1), af fimaets aktive tabt, og esten esidualen: 1 α) e ecovey, som ovetages af femmedkapitalsejene husk på, at disse nu blot bestå af de tidligee obligationsejee Betingelse 1 sike, at eventuelle CoCo-obligatione e konveeteet). Konveteing af CoCo-obligatione ske ved stoppetiden τa C ) = infs : A s A C. Det betyde, at de vil ske pligtmæssig konveteing, føste gang vædien af bankens aktive falde til elle unde en pædefineet tigge, A C. Ved konveteing blive alle CoCo-obligatione omlagt til aktie, og CoCoobligationsholdene modtage aktie opgjot til makedsvædi i et popotionelt fohold til vædien af dees CoCo-obligatione. tænkes, at de va udfomet som ansvalig indkudskapital, de e absobeende fø nomal seniogæld.

41 3.2. VIGTIGE RESULTATER: PRISUDTRYK OG OPTIMAL FALLITGRÆNSE 33 Vædien af en CoCo-obligation, de aldig konvetee e cc lig vædien af en uendelig CoCokuponbetalingsstøm. Popotionalitetskoefficienten elle konveteingspaameteen e λ pendant til Pennacchis p), og ved konveteing få CoCo-obligationsholdeen aktiekapital svaende til λ cc. λ e unikt bestemt fa kontakt til kontakt, og de gælde, at hvis λ < 1 λ > 1) ske konveteingen med abat pæmie). Med ovenstående paamete på plads kan Betingelse 1 nøjagtigøes. Betingelse 1 Hveken c b, c c, A C elle λ antage vædie, de gø det muligt, at banken gå fallit fø elle ved konveteing. Denne betingelse gælde i esten af afhandlingen, såfemt andet ikke bemækes. I næste afsnit sættes selve modelgennemgangen på stand by, idet to centale esultate, de gøes bug af, foklaes. 3.2 Vigtige esultate: Pisudtyk og optimal fallitgænse I modellen gøes bug af to esultate fa litteatuen. Begge e hentet fa [Lando 2004)], og de gives i bilag C.3 en kot gennemgang af, hvoledes de e femkommet. I dette afsnit vises og motivees esultatene kot. Det føste vigtige esultat e vædien af en kontakt, de udbetale 1 ved en given baiee, A B. At ) γ, 3.4) hvo γ e positiv. Blot ved at betagte 3.4) ses det, at fo A t >> A B, e A B At A B ) γ 0, mens ) γ man ved A t = A B ha At A B = 1. Dette esultat anvendes senee, nå vædien af skattefadaget og fallitomkostningen beskives. Det andet esultat femkomme, nå man undesøge, hvonå det e optimalt fo bankens ejee at eklæe konkus. He opstilles en betinget afledt, nemlig vædien af egenkapitalen, W, diffeentieet med hensyn til aktivvædien, A t, hvo netop denne sættes til at væe konkusbaieen, A B. d da t W A=AB = ) Nå denne e nul, da sike smooth pasting-betingelsen 2, at vædien af egenkapitalen ha nået sit absolutte ationelle minimum, og den elevante løsning give den optimale fallitgænse, A Bc b ) = γ1 θ)c b 1 + γ), 3.6) 2 Den såkaldte high contact betingelse beskevet i [Samuelson 1965)] og i litteatu, om optimale stoppetide i [Shiayayev 1978)] som smooth pasting betingelsen. [Meton 1973)] finde, at high contact betingelsen e en nødvendig føste odens betingelse fo optimalitet. Og unde nogle svage betingelse e det modsatte også sandt en løsning til et optimal stoppetidspoblem, de opfylde high contact-betingelsen e faktisk en optimal løsning til poblemet.

42 34 KAPITEL 3. ALBUL, JAFFEE & TCHISTYI: KAPITALSTRUKTUR som e uafhængig af A t, men popotional med c b samt faldende i θ. Den indsættes i udtykket fo egenkapitalens vædi, hvoefte man kan finde den optimale kuponstøelse til c b = 1 + γ) γ1 θ) 1 + γ)θ + α1 θ)γ θ ) 1 γ. 3.7) Nu e det klalagt ved 3.4), hvad vædien e af en kontakt, de udbetale 1 ved et givent fallittidspunkt. Ligeledes e det tydeliggjot ved 3.6) netop hvilken vædi af bankens aktive fo en given kupon, de e optimal fo ejene at eklæe banken fallit. Af Betingelse 1 fostås, hvofo banken blot ha aktie og obligatione i sin kapitalstuktu ved fallit. Og man ha bae de to passive at tage hensyn til, nå fallitgænsen skal bestemmes. Hei ligge det implicit, at idet indføelsen af CoCo-obligatione ske uden at ænde mængden af obligatione, da kan ingen effekt fo den optimale fallitgænse spoes. Dette e Lemma 1 i [Albul et. al 2010)]. 3.3 Vædien af de indgående elemente i en kapitalstuktu med CoCo-obligatione I dette afsnit femstilles og beskives vædifunktione fo aktuelle støelse i fohold til bankens kapitalstuktu. I den sammenhæng e esultatetene fa foige afsnit isæ vigtige. Tilsvaende C.41) må de til ethvet tidspunkt gælde, at den totale vædi af banken e lig aktivenes vædi, A t, samt vædien af skattefodelen, T B, fatukket vædien af fallitomkostningene, BC. Bankens vædi e også givet ved den totale kapital. Altså, GA t ; c b, c c ) = A t + T BA t ; c b, c c ) BCA t ; c b, c c ) 3.8) = W A t ; c b, c c ) + U B A t ; c b, c c ) + U C A t ; c b, c c ), 3.9) hvo GA t ; c b, c c ) ligeledes kan opskives som ved C.42), men nu også indeholdende CoCo-obligatione. Vædien af femmedkapitalspostene e makeet ved U B fo obligation engelsk: bond) og U C fo CoCoobligation. Med bug af ovenstående sammenhænge samt 3.4) e det muligt at opskive lukkede løsninge fo den totale vædi af banken, G, vædien af egenkapitalen, W, vædien af de to obligatione, U B og U C, samt vædien af skattefadaget, T B, og fallitomkostningen, BC, fo det tidsum, hvo CoCo-obligationene ikke e konveteet elle banken e eklæet fallit. Inden sætningen gengives, pæsentees den indsigt, de e gundlag fo de endelige esultate. Alle ligningene give fin intuitiv foståelse, nå man acceptee, at tods indføelse af CoCo-obligatione, da bestå skattefadaget stadig blot af betalingsstømme ganget på en specifik kontakt, de ha vædien nul ved en given baiee. Pæcis som tidligee. Tansitionen til situationen, hvo CoCo-obliagtione e indeholdt i kapitalstuktuen, ske ved at ealisee, at de nu komme skattefadagselateede cashflows fa to gældsposte. Defo skal de anvendes en sammensætning, de e nul ved fallitgænsen fo banken, A B. Det blev pæsenteet i afsnit 3.2. Men de skal ligeledes buges en, som tage vædien nul, nå CoCo-obligationenes tigge, A C, ammes, og e ) ) γ 1 At A C = 1 P AC ). Bemæk, at vædien af CoCo-obligationene, U C, ha samme opsætning

43 3.4. PARAMETERVALG UNDER BETINGELSE 1 35 som C.40). Nemlig 1 P AC ) gange med vædien af de løbende kupone samt P AC, de ganges med det, CoCo-obligationsholdeen modtage ved konveteing. Resultatene e indeholdet i Sætning 1 fa Albul-Jaffee-Tchistyi. Sætning 1 Idet kapitalstuktuen i en bank indeholde aktie, obligatione og CoCo-obligatione, da gælde fo t < τa C ) T BA t;c b,c c) BCA t;c b,c c) ) ) θc γ b At GA t ; c b, c c ) =A t θc ) ) γ ) γ b At At 1 αa B, 3.10) A B A C A B W A t ; c b, c c ) =A t c ) ) b1 θ) γ At 1 c ) ) c1 θ) γ At ) A B A C ) γ At A B λ c ) ) c A γ t 3.12) A B A C U B A t ; c b, c c ) = c ) ) γ ) γ b At At α)a B, 3.13) A B A B U C A t ; c c ) = c ) ) γ c At 1 + λ c ) γ c At, 3.14) A C A C T BA t, c b, c c ) = θc ) ) γ b At 1 + θc ) ) γ c At 1, 3.15) A B A C ) γ At BCA t ; c b, c c ) =αa B. 3.16) A B Siden CoCo-obligatione konvetee til aktie inden et eventuelt fallit ha dees tilstedevæelse ingen indflydelse på vædien af hveken obligationene, U B, fallitomkostningen, BC, elle den optimale fallitgænse, A B, hvilket også e ekspliciteet i Albul-Jaffee-Tchistyis Lemma 1. Denne gennemgås nedenfo. Lemma 1 og tilhøende foklaing Lad en eksisteende kapitalstuktu bestå af aktie og obligatione. Hvis banken fø fallit vælge at udstede CoCo-obligatione ovenpå den mængde obligatione, de va i fovejen, da vil CoCo-obligationene i kaft af Betingelse 1 konvetee til egenkapital fø en eventuelt fallit. Jævnfø 3.9) ænde konveteingen ikke vædien af bankens aktive, da CoCo-obligationsholdene nu blot e blevet en del af egenkapitalen og løsningen til 3.5) e således den samme som, hvis kapitalstuktuen blot bestod af aktie og obligatione. 3.4 Paametevalg unde Betingelse 1 Som beskevet i afsnit 3.2 maksimee ejene bankens vædi ved at sætte en optimal fallitgænse, A B. I dette afsnit undesøges, hvoledes tiggeen, A C, skal væe, givet vædie fo kuponene på CoCo-

44 36 KAPITEL 3. ALBUL, JAFFEE & TCHISTYI: KAPITALSTRUKTUR obligatione samt konveteingspaameteen altså c c og λ, espektivt uden, at Betingelse 1 ovetædes. Netop denne betingelse e væsentlig. Det skyldes, at manglende opfyldelse af betingelsen bevike, at CoCo-obligationene ikke kan buges, nå bankens kapitalgundlag skal stykes i kisetid. Nå A C hæves, svae det til, at banken lade CoCo-obligationene konvetee tidligee i den fostand, at konveteingen vil ske ved en højee aktivvædi. Det fungee natuligvis omvendt, nå banken sænke A C. Vi se på, hvodan de foskellige støelse fa Sætning 1 eagee ved ænding af tiggeen. Ænding af W, nå A C sænkes He skal de kigges på, hvad den eksklusive CoCo-obligationseffekt e fo egenkapitalens vædi fø og efte konveteing. Fø konveteing tilkomme de egenkapitalsholdene et skattefadag, hvis støelse e bestemt af skattekvotienten, θ. Ved konveteing ske de to ting fo ejene af egenkapitalen: De slippe fo en betalingsstøm med vædien cc, men tage samtidigt et tab på gund af den fotyndende engelsk: diluting) effekt af støelsen λcc, svaende til den mængde egenkapital CoCo-obligationsejeene ha et til. Det e nu på plads, hvad de ske fø og efte konveteing. Defo kan det opskives, hvad betingelsen e fo, at det skal væe gavnligt fo vædien af egenkapitalen, at sænke konveteingstæsklen, A C. He skal egenkapitalsholdene sike sig e, at det de få fø konveteing e mee væd, end det de få efte. E det tilfældet, da e vædien af egenkapital stigende ved lavee tigge. Nedenfo opstilles en ligning, de vise, hvad de skal gælde. På venste siden e den skattefodel, som vædien af egenkapitalen nyde godt af fø konveteing, og på høje siden e vædien af de kupone, som ejene af egenkapitalen slippe fo at distibuee til CoCo-obligationsholdene ved konveteing. Denne e fatukket vædien af de aktie, som CoCo-obligationsholdene blive kompenseet med ved konveteing. θc c > c c λc c c c < θc c + λc c 1 < θ + λ. 3.17) Vende støe-end-minde-end-tegnet den anden vej, ville det betyde, at vædien af det ejene modtage ved konveteing, lavee end det, de havde fø. I sådan et tilfælde vil en lavee konveteingstæskel sænke vædien af egenkapitalen. Effekten udeblive, da de to støelse ophæve hinanden. He vil ejene modtage pæcis den vædi, som de give afkald på ved konveteing. Ænding af U C, nå A C sænkes Effekten på CoCo-obligationenes vædi, U C, kan aflæses diekte fa fomlen i Sætning 1. Såfemt λ < 1, da vil CoCo-obligationsvædien stige ved lavee konveteingstæskel. Denne obsevation va ganske foudsigelig. λ e jo netop konveteingspaameteen, de afgø, hvo meget egenkapital CoCoobligationsholdene få ved konveteing. Konvetee de med pæmie, det vil sige λ > 1, da ha de selvsagt fodel af en tidlig konveteing og vice vesa. Ænding af U B, nå A C sænkes En ænding i konveteingstæskelsniveauet ha ingen effekt fo den opindelige gæld, altså obligationsholdene. Dette følge af Lemma 1. Da konveteingen vil ske fø fallit, vil en eventuel sænkning af

45 3.4. PARAMETERVALG UNDER BETINGELSE 1 37 konveteingstæsklen ikke påvike det optimale niveau fo fallittæsklen, A B, hvofo skattefadaget fa obligationene e uændet. Denne vigtige pointe blev ligeledes femhævet i slutningen af afsnit 3.2. Og det e jo netop defo, at den optimale fallitgænse ikke e påviket af CoCo-obligationenes tilstedevæelse. Ovenstående foklaing anvendes også til næste afsnit. Ænding af BC, nå A C sænkes Da fallitomkostningen udelukkende afhænge af obligationsgælden, vil fallitomkostningen væe uændet. Vædien af obligatione e uændet og upåviket af indføelsen af CoCo-obligatione og defo også upåviket af, om CoCo-obligationene skulle konvetee ved høj elle lav tigge, hvilket svae til at sænke A C. Ænding af T B, nå A C sænkes Nå banken få lov til at udstede CoCo-obligatione, vil den samtidig modtage endnu et skattefadag. Det e tidligee blevet specificeet, at de vil komme et skattefadag fa obligationene og CoCoobligationene. Skattefadaget fa obligationene ophøe, hvis de misligholdes elle indfies, mens skattefadaget fa CoCo-obligationene natuligvis fafalde, nå de konvetee. Som altid gå sandsynligheden fo konveteing elle foventet ventetid til konveteing) i samme etning som selve tiggeen: hvis den sænkes, falde sandsynligheden fo konveteing, og hvis den hæves, stige sandsynligheden fo konveteing. Ego vil en sænket tigge betyde højee vædi af skattefadaget. Dette fohold gø sig gældende i næste afsnit. Ænding af G, nå A C sænkes Endelig kan det konkludees, at hvis tiggeen sænkes, da vil vædien af banken stige. Dette skyldes et højee skattefadag i fom af det eksta, de komme fa CoCo-obligationskuponene. Nå man kende effekten af foskellige tiggee, e det elevant at bestemme den optimale vædi af tiggeen, som oveholde Betingelse 1. Denne kan unde visse omstændighede findes ved at løse fo A C i ligningen W A C ; c b, c c ) = 0, 3.18) unde bibetingelse af, at A C < A B, men de skal også gælde, at W e voksende i A t fo A t A C. I næste afsnit vises eksemple på situatione, hvo 3.18) ikke e tilstækkelig. Illustation af konsekvense ved abitæt tiggevalg He illustees, hvodan vædien af egenkapital opføe sig, hvis tiggeen vælges abitæt. I figu 3.1 e hvo tiggeen, A C, sat så vædien af egenkapitalen e 0 elle infinitesimalt støe) ved konveteing. Det betyde, at ejene e indiffeente vedøende valget om at gå konkus elle ej.

46 38 KAPITEL 3. ALBUL, JAFFEE & TCHISTYI: KAPITALSTRUKTUR Figu 3.1: W. Optimal tigge. Det antages, at de holde banken køende til τa B ). Demed e Betingelse 1 oveholdt. Bemæk, at de i papiet [Albul et. al 2010)] benyttes vædiene c b = 5, 24 og senee U B A t, A B ; c b, 0) = 88, 36) som væende de optimale. Vædiene afvige lidt, hvis man egne efte, hvilket skyldes afundning. De ændes ikke på de foeslåede vædie se eventuelt bilag C.5 fo sande vædie). Figu 3.2: W. Tigge de byde Betingelse 1 og inoptimal tigge. Ved figuene 3.2 og 3.3 illustees poblemet med abitæt valg af tigge, A C : En tigge de e sat fo lavt give i dette tilfælde anledning til negative vædie af egenkapitalen fø fallit. Dette e et bud på Betingelse 1. Omvendt ses det, at en fo højt sat tigge vil opfylde betingelsen, men eftesom egenkapitalsvædi ved konveteing e stengt positiv, kunne tiggeen godt væe lavee, hvilket give en højee vædi af W. Figu 3.2 og 3.3 vise blandt andet eksemple på konstellatione, hvo vædien af egenkapital, W, ej

47 3.4. PARAMETERVALG UNDER BETINGELSE 1 39 Figu 3.3: W. Eksempel med ikke-monoton fohold. e stengt stigende i A t fo A t A C, hvoved A C således kunne findes ved 3.18). Figuene 3.3 vise situatione, hvo dette ikke e tilfældet. He e vædien af egenkapital, W, som funktion af aktivvædien, A t, ikke-monoton og aftage således umiddelbat efte tiggeen, A C. Tiggevalg De skal opstilles en geneel betingelse, de gælde fo den laveste vædi tiggeen kan tage. Denne vil væe A CL = infa C : W A s ; c b, c c ) 0, s τa C ). 3.19) Ved at sætte W A CL ; c b, c c ) = 0 og buge Sætning 1 fås hvilket kan omskives til A CL = c b1 θ) 1 ACL A B ) γ ) ) γ ACL + A B + λc c A B, 3.20) A B + λc c < A CL < c b1 θ) + λc c. 3.21) Dette indses ved at opfatte elementene 1 ACL A B ) γ og ACL A B ) γ som eksteme. Den føste e lig 1, nå man e langt fa tiggeen, mens den anden e lig 1, nå man e tæt ved. Defo e den øve ) γ ) γ gænse givet ved at sætte 1 ACL A B = 1 og de facto ACL A B = 0), og den nede e givet ved at ) γ sætte ACL A B = 1.

48 40 KAPITEL 3. ALBUL, JAFFEE & TCHISTYI: KAPITALSTRUKTUR Vigtig obsevation og Lemma 2 Hvis λ + θ > 1, da haves at vædien af egenkapitalen, W, e en stengt voksende funktion af vædien af bankens aktive, A s, nå s : t τa C ) det vil sige så længe, de ikke e konveteet. De eksistee en én-til-én koespondance mellem vædien af egenkapital og aktive indenfo fønævnte gænse, hvofo tiggeen kan udtykkes ved hjælp af aktiekusen, de e obsevéba, til foskel fa aktivenes vædi. Således gå man fa at abejde med aktivtiggeen A C til aktiekustiggeen W C. Paametevædienes betydning samt spændvidde e nu klalagt, og modellens egentlige fomål kan fofølges. Det ske ved at bestemme en optimal kapitalstuktu og afgøe, hvovidt CoCo-obligatione vil væe en del af denne. Næste afsnit abejde med denne poblemstilling ved foskellige opsætninge. 3.5 Optimal kapitalstuktu Konteksten e alt afgøende, nå en bank skal optimee sin kapitalstuktu. Som vi skal se, e de nemlig sto foskel på om, det ske de novo, altså om det e de initiale ejee, de optimee, elle om det ske i en eksisteende kapitalstuktu, hvo det e ejene, de bestemme. Poblemet e af klassisk spilteoetisk kaakte. Den agent, de ha initiativet maksimee sin nytte unde de givne foudsætninge. De initiale eje stå således ovefo maksimeingspoblemet Maksimé den totale vædi af banken, G u.b.b. Betingelse 1. I en eksisteende kapitalstuktu ha de initiale ejee udstedt femmedkapital i fom af henholdsvis obligatione og aktie, og nu aktieejene den maksimeende agent. Ego e kiteiet Maksimé vædien af egenkapital, W u.b.b Betingelse 1. Relevante løsninge fo de foskellige agentes pobleme femstilles nedenfo. Men føst tilføjes endnu et lag, nemlig hvoledes en eventuelt implementeing af CoCo-obligatione vil foegå. He abejdes med to oveodnede tiltag: enten CoCo-obligatione udstedt ovenpå elle i stedet fo som en slags udskiftning obligatione. Ved begge fome fo udstedelse undesøges en bank med optimalt og inoptimalt geaet kapitalstuktu både ved intialvalg og eksisteende kapitalstuktu He følge en mee detaljeet definition af de initiale ejees maksimeingspoblem max c b 0 GA 0; c b, c c ) max c b 0 A 0 + T BA 0 ; c b, c c ) BCA 0 ; c b )) 3.22) = max c b 0 T BA 0; c b, c c ) BCA 0 ; c b )), 3.23) som e sand, da A 0 e konstant. Løsningen findes i kapitlets bilag GØR DEN IKKE!!. Den optimale vædi af obligationsgæld ændes fotsat ikke. Demed gælde, at den obligationskupon, c b, de maksimee den totale vædi af banken, G, e den samme med og uden CoCo-obligatione.

49 3.5. OPTIMAL KAPITALSTRUKTUR 41 max GA 0; c b, c c ) c b A 0; c b, 0) = c b A 0; c b, c c ). 3.24) c b 0 Bemæk notationen. XX; c b, 0) benyttes, nå de ingen CoCo-obligatione e elle ha væet i kapitalstuktuen, og XX; c b, c c ), hvis de ha væet elle e. Nå man ha taget højde fo det eksta skattefadag fa CoCo-obligationskuponene, T B C, ofes egenkapitalen i foholdet 1-til-1 med vædien af CoCo-obligatione. Det e klat eftesom den opindelige egenkapitalsvædi fotyndes ved konveteing. W A t ; c b, c c) = W A t ; c b, c c) U C A t ; c b, c c) + T B C A t ; c b, c c). 3.25) Det totale skattefadag vil stige med det eksta fadag, de komme i fobindelse med CoCokuponbetalingene. T BA t ; c b, c c) = T BA t ; c b, 0) + T BC A t ; c b, c c). 3.26) Resultatet kan summees kot. En de novo indføelse af CoCo-obligatione i kapitalstuktuen ænde ikke mængden af obligatione, U B, ej helle påvike fallitomkostningen, men dog skabe en eksta social omkostning i fom af endnu) et skattesubsidie, de femgå af sidste led af 3.26). Således vil denne implementeingsfom ikke væe fundament fo en fobeding af kvaliteten af gælden, da fallittidspunktet og den detilhøende omkostning e foblevet uændet. Eksisteende og inoptimalt geaet kapitalstuktu Antag, at CoCo-obligatione blive indføt i en eksisteende og geaet kapitalstuktu. Det antages ydeligee, at kapitalstuktuen ikke e geaet optimalt. Kuponbetalingsaten fo obligationene e c b som ikke nødvendigvis e lig c b ). Banken med denne kapitalstuktu bestemme sig nu fo at udstede CoCoobligatione uden at ænde mængden af obligatione. Det vides fa Lemma 1, at denne handling ikke ænde fallittidspunktet, og udstedelsen af CoCo-obligatione påvike helle ikke vædien af obligationene elle fallitomkostningen. Pæcis som tidligee stige vædien af banken gundet det eksta skattefadag fa kuponbetalingene til CoCo-obligationsholdene GA t ; c b, c c ) = GA t ; c b, 0) + T B C A t ; c b, c c ), 3.27) og ved budgetestiktionen 3.9) kan vædien af egenkapitalen findes. GA t ; c b, c c ) = W A t ; c b, c c ) + U B A t ; c b, c c ) + U C A t ; c b, c c ) 3.28) GA t ; c b, 0) + T B C A t ; c b, c c ) = W A t ; c b, c c ) + U B A t ; c b, c c ) + U C A t ; c b, c c ) 3.29) W A t ; c b, 0) + U B A t ; c b, 0) + T B C A t ; c b, c c ) = W A t ; c b, c c ) + U B A t ; c b, c c ) + U C A t ; c b, c c ) 3.30) W A t ; c b, c c ) = W A t ; c b, 0) U C A t ; c b, c c ) + T B C A t ; c b, c c ) 3.31)

50 42 KAPITEL 3. ALBUL, JAFFEE & TCHISTYI: KAPITALSTRUKTUR Ejene e villige til at udstede CoCo-obligatione, da det vil hæve den samlede vædi af egenkapitalen, fo selvom de miste vædi af støelsen U C A t ; c b, c c ) T B C A t ; c b, c c ), få de et udbytte på U C A t ; c b, c c ). Kvaliteten af gælden e ikke blevet fobedet, og de e følge eksta sociale omkostninge i fom af et skattesubsidie. 3.6 CoCo-obligatione i stedet fo obligatione I dette afsnit behandles scenaie, hvo CoCo-obligationene komme til at estatte en del af obligationene. Det vil enten ske i en de novo-situation, hvo en optimal obligationsgæld skal til at stiftes elle i en situation, hvo kapitalstuktuen e eksisteende og bestå af aktie og obligatione. Initialt valg af kapitalstuktu ved egelmæssige begænsninge He betagtes en bank, de udskifte en del af den optimale) obligationsgæld, den skal til at udstede, med CoCo-obligatione. Udskiftningen e undelagt lovmæssige begænsninge. Reglene bevike, at mængden af obligatione, U B A t, ĀB; c b, c c ), og mængden af CoCo-obligatione, U C A t, ĀB; c b, c c ), fastlåses, så U B A t, ĀB; c b, c c ) + U C A t, ĀB; c b, c c ) = U B A t, A B; c b, 0). 3.32) Demed udstede banken et niveau af kombinationsgæld, som kan sammenlignes med situationen, hvo den bae optimeede med aktie og obligatione. Banken kan ved at ænde tiggeen elle kuponen udstede uendelige mange foskellige CoCo-obligatione, de alle ha samme vædi. Antag, at banken fastlåse tiggeen, A C, da kan kuponen c c bestemmes. c c 1 At A C U C A t, ĀB; c b, c c ) = U B A t, A B; c b, 0) U B A t, ĀB; c b, c c ) 3.33) ) ) γ ) γ At + λ c c = U B A t, A B; c b, 0) U B A t, ĀB; c b, c c ) 3.34) A C c c = U B A t, A B ; c b, 0) U B A t, ĀB; c b, c c ) λ) At A C ) γ ) 3.35) Spøgsmålet e, om banken ønske vaiationen, hvo CoCo-obligatione og obligatione kombinees unde et bestemt egelsæt, elle om udgangspunkt med blot obligatione e at foetække. He tages beslutningen initialt, og det e ændingen i vædien af banken, G, de afgø, om de initiale ejee e inteesseede i kombinationsvaiaten. Denne e givet ved G =GA t, ĀB; c b, c c ) GA t, A B; c b, 0) 3.36) =W A t, ĀB; c b, c c ) + U B A t, ĀB; c b, c c ) + U C A t, ĀB; c b, c c ) W A t, A B; c b, 0)+ 3.37) U B A t, A B; c b, 0) 3.38) =W A t, ĀB; c b, c c ) W A t, A B; c b, 0), 3.39)

51 3.6. COCO-OBLIGATIONER I STEDET FOR OBLIGATIONER 43 hvo de i anden linie e gjot bug af 3.32). Demed e ændingen i egenkapitalsvædi den elevante støelse. I afsnit 3.3 blev et udtykt fo vædien af egenkapitalen bestemt og Det betyde, at hvis W = θ + α θα) θ + α θα) At A B At A B ) γ ) ) γ A At At B ĀB θ Ā B A C ) γ ) ) γ A At At B ĀB θ Ā B A C ) γ λ c ) c. 3.40) ) γ λ c ) c > 0, 3.41) så foetække de initiale ejee kombinationsvaianten indeholdende CoCo-obligatione. Det undesøges, hvonå 3.41) passe, og fo nemheds skyld sættes ) γ ) γ ) γ [A At ] = θ + α θα) A A B, [Ā] = θ + α θα) At At ĀB og [A C ] = θ λ 1 ) B Ā B A C 3.41) skives nu som 0 < [A ] [Ā] c c[a C ] 0 < [A ] [Ā] [A C ] c c c c < [A ] [Ā]. 3.42) [A C ] Således stige vædien af banken, nå blot c c e tilstækkeligt lille, og både CoCo-obligatione og obligatione udstedes. Det undesøges, hvodan dette påvike fallitomkostningen, BC. Det e social optimalt, at denne falde. Altså, BCA t, ĀB; c b, c c ) < BCA t, ĀB; c b, 0). 3.43) Udtykkene fo BC bestemmes med fomlene i afsnit 3.3, hvo A B sættes til henholdsvis ĀB og A B. Det give BCA t, ĀB; c b, c c ) BCA t, A B; c b, 0) = αāb A0 Ā B ) γ ) γ αa A0 B A 3.44) B Ā B og A B findes ved bug af 3.6), og BC e givet ved BC = c γ+1 b c b )γ+1) β1 θ))γ+1 α A γ. 3.45) 0

52 44 KAPITEL 3. ALBUL, JAFFEE & TCHISTYI: KAPITALSTRUKTUR Demed falde fallitomkosningen, BC < 0, fo c b > c b. Da banken e pålagt at udstede minde obligationsgæld, idet den også udstede CoCo-obligatione, e kuponbetalingen, c b, i en optimal kapitalstuktu uden CoCo-obligatione højee end kuponen på obligatione, c b, i tilfældet med CoCoobligatione. Og defo e c b > c b. E det muligt at indføe CoCo-obligatione dog med begænsninge) de novo, udstedes de både CoCo-obligatione og obligatione. Siden begænsningen foudsætte, at den samlede gæld ikke stige, skabes de ikke ydeligee sociale omkostninge. Ydemee vil fallitomkostningen falde, da obligationsgælden qua begænsningen e lavee. I figu 3.4 e ændingen i vædien af banken plottet mod vædien af udstedte CoCo-obligatione. Eksemplet indeholde tilfælde med fie foskellige tiggee og vaieende vædi fa 1 til 25 af udstedte CoCo-obligatione. Kapitalstuktuen antages at have væet ugeaet og divese paamete femgå unde figuen. Det e tydeligt af figu 3.4, at kun en lille del af den optimale obligationsgæld udskiftes med CoCo-obligationsgæld. Bankens totale vædi falde, hvis fo meget udskiftes. Dette e konsistent med, hvad 3.42) foeskev. Omking U C = 20 antage alle fie gafe negative vædie. Tabet α = 0, 50; λ = 1, c b = 5, 24 og U B A t, A B ; c b Figu 3.4: G. A t = 100; = 0, 05; µ = 0, 01; σ = 0, 15; θ = 0, 35;, 0) = 88, 36. skyldes en ganske betydelig eduktion af bankens obligatione og demed også en betydelig eduktion af skattefadaget. Demed e det også konstateet, at vædiændingen af banken ved at udstede nogle) CoCo-obligatione i stedet fo nogle) obligatione ikke ha en monoton sammenhæng med mængde af CoCo-obligatione. Alt i alt foetække banken en kapitalstuktu indeholdende begge slags obligatione og egenkapital dog udstedes kun en lille del CoCo-obligationsgæld. Det kan også ses, at lavee tigge, A C, vil esultee i højee vædi af banken. Det svae til, hvad de blev vist i afsnit 3.4. Næste afsnit undesøge, om dette også e tilfældet fo en eksisteende kapitalstuktu, hvo CoCoobligationene kan komme ind ved udskiftning med obligatione. Patiel udskiftning af obligatione med CoCo-obligatione I dette afsnit undesøges situationen, hvo en bank med eksisteende kapitalstuktu, ha mulighed fo at udskifte nogle af dees obligatione med CoCo-obligatione.

53 3.6. COCO-OBLIGATIONER I STEDET FOR OBLIGATIONER 45 Det antages, at obligationskuponen e ĉ b de ikke nødvendigvis e lig c b ), og banken foetage nu en udskiftning. Som konsekvens falde obligationskuponbetalingen til c b. Siden vædien af obligationsgælden falde, nå denne udskiftning ske, vil fallitbaieen også falde. Det makees ved at ænde ÂB til Ā B. Eftesom kapitalstuktuen e eksisteende, gælde de, at U B A t, ĀB; c b, c c ) + U C A t, ĀB; c b, c c ) = U B A t, ÂB; ĉ b, 0), 3.46) som betyde, at eksisteende obligationsejee e indiffeente mellem at holde dees obligatione elle skifte til CoCo-obligatione. Restiktion give således fin makedsmæssig intuition. Det antages også, at myndighedene bestemme kuponen c b, og at banken selv konstuee sine CoCo-obligatione ved at justee på kuponen, c c, samt konveteingsfoholdet, λ. I lighed med tidligee indsættes det fastlagte c b i 3.46), og de løses fo c c, hvilket give c c = U B A t, ÂB; ĉ b, 0) U B A t, ĀB; c b, c c ) ) ) γ 3.47) λ) At A C ) ) γ ) γ ) ) γ ) ) γ ĉ b 1 At + At Ā B Ā 1 α) c Ā B b B 1 At + At Ā B Ā 1 α) Ā B B = = ĉ b 1 At Ā B ) γ ) c b 1 At Ā B ) γ ) = ĉ b c b ) λ) At A C ) γ ) 3.48) ) γ 3.49) 1 1 λ) At A C ) ) γ 1 At Ā B 1 1 λ) At A C ) γ. 3.50) Hvis egenkapitalsejene skal initiee denne udskiftning, skal dees vædi vokse deved, Ŵ > 0. I bilag C.4 gennemgås bevis fo, hvofo dette ikke e tilfældet. Resultatet blive, at Ŵ = W A t, ĀB; c b, c c ) W A t, ÂB; ĉ b, 0) < ) Vædien af banken, G, stige dog ved den patielle udskiftning, da den vædi, de mistes af egenkapitalen vindes af banken ved en sænket fallitomkostning. Ĝ = GA t, ĀB; c b, c c ) GA t, ÂB; ĉ b, 0) 3.52) ) γ ) ) γ ) γ ) γ ) γ = ĉb At At At At At + αâb αâb θ λ c ) c 3.53) Â B Ā B Â B Â B A C

54 46 KAPITEL 3. ALBUL, JAFFEE & TCHISTYI: KAPITALSTRUKTUR Det ses, at nå blot c c e tilstækkelig lav, c c 0, c 1 ), da vil Ĝ væe positiv, hvofo banken som helhed gene vil gennemføe den patielle udskiftning. Det bevises specifikt i bilag tilhøende kapitlet DET GØR DET IKKE!, at hvis ) γ ĉ b c At b og λ 2, 3.54) A C ) γ som det også til dels illustees ved figu 3.5, e 2 At A C 1 fo AC A t, og Ĝ > 0. Det betyde, at konveteing med abat λ < 1) umuliggø, at bankens vædi stige ved udskiftningen. Ved en patiel udskiftning se man et fald i fallitomkostningene. Siden kuponbetalingen på obligatione falde, ĉ b > c b, ha ejene et lavee skattefadag, hvofo fallit eklæes tidligee ÂB < ĀB. BC ˆ = BCA t, ĀB; c b, c c ) BCA t, ÂB; ĉ b, 0) 3.55) ) γ ) γ At At = αāb αâb 3.56) Ā B Som agumenteet fo ovenfo, e fallitgænsen ĀB lavee end ÂB, hvofo ˆ BC < 0. Hvis 3.54) e opfyldt, betyde det, at banken ha en optimal elle ovegeaet kapitalstuktu. Det e ligetil at fostå: siden den samlede kuponbetaling e støe end elle lig det optimale niveau, må banken væe ovegeaet; en undegeaing ville give en lavee kuponbetaling end det optimale niveau. E det tilfældet, stige bankens vædi ved en patiel udskiftning. Vædistigningen e dog ikke uden begænsning. Foudsat en patiel udskiftning miste banken en del af sit skattefadag, mens den på den anden side educee sine fallitomkostninge. Sagen e således tveægget, men fo en vis mængde indskiftet CoCo-obligatione mod obligatione, dominee sænkede fallitomkostning det tabte skattefadag. Det bemækes, at eksta sociale omkostninge kan foekomme. Hvis CoCoobligationene aldig konvetee, kompensees økonomien ikke fo, at de e tilladt udskiftning. Stige mængden af CoCo-obligatione voldsomt, så c c > c 1, da vil de mistede skattemæssige fodele oveskygge alle gevinste heunde både den educeede fallitomkostning samt det eksta skattesubsidie. Dette e et udtyk fo ineffektiviteten ved gældsovehæng engelsk: debt ovehang). Ejene vil aldig initiee en ænding som denne. Sagen e, at al potentiel mevædi fo banken tilkomme obligationsejene ved lavee fallitomkostning og vædioveføsel fa egenkapitalen. Â B Figu 3.5: 2 At A C ) γ. At løbe på 40,100), A C = 70, = 0, 05, µ = 0, 01 og σ = 0, 15.

55 3.7. EN SYSTEMISK VIGTIG BANK 47 Det kan vike paadoksalt, at det ikke e i ejenes inteesse, at bankens vædi stige. Det skyldes, at den samlede vædi skal distibuees mellem femmed- og egenkapital. Dette e netop de to agente som tidligee beskevet, og hve agent maksimee sin nytte uden hensyntagen til det stoe billede. Va dette ikke tilfældet, ville 2008-finanskisen måske væe minde voldsom elle undgået. I figu 3.6 e samme øvelse som i figu 3.4 udføt. Foskellen e, at kapitalstuktuen, som i esten af dette afsnit, e givet og geaet. Relevante paamete femgå unde figuen. Figu 3.6: Ĝ. A t = 100; = 0, 05; µ = 0, 01; σ = 0, 15; θ = 0, 35; α = 0, 50; λ = 1; ĉ b = c b = 5, 24 og U B A t, ÂB; ĉ b, 0) = U B A t, A B ; c b, 0) = 88, 36. Det kan ses, at figuene 3.4 og 3.6 ha samme udfomning, men hvo figu 3.4 viste, hvodan vædien af banken ænde sig, nå man geae kapitalstuktuen og bugte CoCo-obligatione, så vise figu 3.6 situationen, hvo banken e geaet, men udskifte nogle af sine obligatione med CoCo-obligatione. De obsevatione og kommentae, de gø sig gældende fo figu 3.4 gælde også he. De e dog en vigtig foskel mellem de to figue. Plottet i samme diagam vil de stiplede linie lægge ove de fuldt optukne se figu C.2 i bilag C.6). Det skyldes en elative støe mængde fadagbeetiget gæld efte udskiftningen. De e altså et støe skattefadag. Effekten ved intoduktion af CoCo-obligatione e nu analyseet i foskellige setups. En ting e fælles fo alle situationene: banken kan gå konkus. Men hvad ske de, nå en stat ikke tillade dette? Hvad ske de, nå man, som ved 2008-finanskisen, opleve banke, de subsidiees i situatione, hvo de skulle gå fallit. Dette analysees i næste afsnit. 3.7 En systemisk vigtig bank Hvis en stat ikke kan lade en bank gå fallit, da dennes funktion e systemisk vigtig fo det økonomien, benævnes den en systemisk vigtig bank SV-bank). Omkostningene ved en en makedstilgang kan væe uvudelig skadelig. Lade man en SV-bank gå fallit, vil den ikke blot hive en masse ande banke med sig ned, den vil også skabe geneel uo på makedene, hvilket kan betyde, at de fyse det vil sige handelsvolumen gå mod nul fo en tid. En anden og mee diekte effekt e, at alle betalingssysteme kan stoppe. Det sætte samfundet i stå, øjeblikkeligt. Et sådant tilfælde e den finansielle veden ekstem såba ovefo.

56 48 KAPITEL 3. ALBUL, JAFFEE & TCHISTYI: KAPITALSTRUKTUR Hvis banken ikke kan gå fallit, må det betyde, at på det tidspunkt, hvo de nomalt ville blive eklæet konkus, A B, da vil staten gå ind og ovetage selskabet. Demed blive SV-bankens obligationsholdee ikke amt af fallitbegivenheden. SV-banken gå stadig) i betalingsstandsning ved A B. He komme staten den elle ettee dens keditoe) til undsætning og standse falliteklæingen. Det gø den ved, at ovetage vædien af de aktive, som e tilbage, A B, og samtidig ovetage kuponbetalingsydelsen, c b, til obligationsholdene. Og i Albul-Jaffee-Tchistyi e gælden evigtvaende, hvofo den ovetagede foding ha vædien c b. Gunden til at banken stadig) vælge at gå fallit, nå aktivenes vædi e faldet til A B e, at hjælpen fa staten blot dække den femmedkapital, de e udgjot af obligatione. Defo e det optimale fallittidspunkt stadig τa B ). Bemæk, at femmedkapitalen altid blot vil væe udgjot af obligatione ved fallit. Det så vi alleede ved Lemma 1. Og vædien af statens indgiben e den samme, om CoCo-obligatione anvendes elle ej. Demed e vædien af den økonomiske bistand, S, staten yde banken CoCo-obligatione elle ej ved fallit SA t ; c b, 0) = SA t ; c b, c c ) = cb ) ) A A γ t B. 3.57) A B Vædien af en SV-bank, hvis kapitalstuktu indeholde obligatione, CoCo-obligatione og aktie, e således GA t ; c b, c c ) = A t + T B B A t ; c b, c c ) + T B C A t ; c b, c c ) + SA t ; c b, c c ) BCA t ; c b, c c ) 3.58) = A t + θc ) ) γ b At 1 + θc ) ) γ c At cb ) ) 1 + A A γ t B ) A B Ego e vædien af banken stengt stigende i c b. Samtidig vil obligationene blive isikofi, da staten dække dem. Det betyde, at fallitomkostningen eliminees i hvetfald set fa banken side. I ealiteten eksistee den stadigvæk, den blive bae dækket af staten. Vi ha således, at A C Ā B U B A t ; c b, c c ) = c b og BCA t ; c b ) = ) Dette e esultatet, nå en SV-bank ha en kapitalstuktu bestående af aktie, obligatione og CoCoobligatione. I næste afsnit betagtes det, om det gø nogen foskel, hvis en ugeaet SV-bank ønske at væe geaet. Initialvalg af kapitalstuktu: CoCo-obligatione i stedet fo obligatione Det antages, at en SV-bank ejes af de initiale ejee, elle at de blot e udstedt egenkapital som gæld. Det betyde, at SV-banken ej e geaet. De e nu et ønske om at udstede femmed- og egenkapital hvis ingen e udstedt) fo at geae op.

57 3.7. EN SYSTEMISK VIGTIG BANK 49 Dette kan ske på to måde: enten ved blot at udstede aktie og obligatione, elle ved også at inkludee CoCo-obligatione. Sidstnævnte implementeingsfom fode dog begænsninge på maksimumudstedelse af gæld. Pæcis som tidligee. Poblemstillingen kan til dels angibes ved bug af 3.62). Nå banken blot udstede aktie og obligatione, e den totale vædi GA t ; c b, 0) = A t + T B B A t ; c b, 0) + SA t ; c b, 0) 3.61) = A t + θc ) ) γ b At cb ) ) 1 + A A γ t B. 3.62) A B Denne e stengt stigende i c b. Det sige sig selv, at en støe kuponbetaling vil give anledning til et støe skattefadag og mee økonomisk bistand fa staten. Nå man blot ønske at maksimee bankens totale vædi, e de ingen idé i at betagte tade-off et mellem skattefodelen og fallitomkostningen. Det eneste, de skal fokusees på, e at udstede så meget gæld som ovehovedet muligt. Det vil nemlig give en støe kuponbetaling. Dette maksimeingspoblem e så lige til, at man må fovente, at myndighedene vil foegibe begivenhedenes gang, hvofo de med fodel kan indføe et loft på kuponbetalingen, c g b. Toptegnet g henvise til stat engelsk: govenment). Denne nye øve gænse fo, hvo meget gæld, de må udstedes, og defo hvo høj kuponbetalingsposten kan væe, kan staten også buge til at begænse kuponbetalingsposten, hvis SV-banken vælge at udstede både obligatione og CoCo-obligatione. He kan staten kæve, at banken udstede obligatione med kuponbetalingen c b og CoCo-obligatione med kuponbetalingen c c, så Ā B U B A t ; c g b, 0) = U C A t ; c b, c c ) + U B A t ; c b, c c ) 3.63) 3.63) e let løst. Man skal blot huske, at alle obligatione nu vædifastsættes som evigtvaende annuitete. Med denne viden kombineet med esultat fa Sætning 1, kan c b findes. c g b = c c 1 c g b = c c 1 At A C At A C ) ) γ + λ c ) γ c At + c b A C 3.64) ) ) γ ) γ At + λc c + c b 3.65) A C ) γ ) ) γ At At = c c 1 + λ + c b 3.66) A C A C ) ) γ At = c c 1 1 λ) + c b 3.67) c b = c g b c c 1 1 λ) A C At A C ) γ ) 3.68)

58 50 KAPITEL 3. ALBUL, JAFFEE & TCHISTYI: KAPITALSTRUKTUR Opgøelsen af dette esultat e ganske udamatisk. Det e klat, at kuponbetalingen på obligatione e faldet. SV-banken havde udstedt op til det lovpligtigsmæssige maksimale niveau, de fobindes med c g b, og nu vælges de at sænke mængden fo at kunne udstede CoCo-obligatione. Det e defo helle ikke oveaskende, at kuponbetalingen på obligationene e faldende fo en stigende udstedelse af CoCoobligatione. Dette vil selvsagt også få støelsen af statens økonomiske bidag til at falde. Igen benyttes, at den optimale fallitgænse e givet ved A B c b ) = β1 θ) c b, og vædien af den nye økonomiske bistand e cb ) ) SA t ; c b, c c ) = A A γ t B c b ) 3.69) A B c b ) cb ) ) = β1 θ) c A γ t b 3.70) β1 θ) c b ) ) 1 β1 γ = c b β1 θ) θ) cb. 3.71) A t Givet, at < 1, θ < 1 og β < 1, da e SA t ; c b, c c ) en stigende funktion i c b, hvilket spille fint oveens med det ovenstående. At enten og skattekvotienten nødvendigvis må væe minde end en, vike tilfoladeligt. I et ekstemt hypotetisk tilfælde kunne enten selvsagt godt væe ove en, mens det e helt uealistisk med en skattekvotient ove en. Dog e det estiktionen på β, de femgå af [Albul et. al 2010)] side 29, som vike spøjs. At denne skulle væe minde end en, synes diekte modsigende med de paametevædie, man hidtil ha anvendt se eftetjek i bilag C.8). Alt i alt e SA t ; c b, c c ) voksende i c b, og intuitionen e ganske som fø, nemlig at støelsen af statens økonomiske bistand e støe, des støe kuponbetalingen til obligatione e, og da c g b > c b vil SA t ; c g b, 0) > SA t; c b, c c ). 3.72) Således e konklusionen på dette afsnit helle ikke oveaskende. Hvis SV-banken udstede aktie og obligatione, e vædien GA t ; c g b, 0) = A t + T BA t ; c g b, 0) + SA t; c g b, 0), 3.73) mens den ved udstedelse af både aktie, obligatione og CoCo-obligatione e GA t ; c b, c c ) = A t + T BA t ; c b, c c ) + SA t ; c b, c c ) 3.74) Af 3.72) ses det, at statens økonomiske hjælp e minde, hvis banken vælge at udstede CoCoobligatione, og at denne foingelse oveskygge den ænding i skattefadagets støelse, som måtte væe gældende ved udstedelse af både obligatione og CoCo-obligatione. He ske implementeingen ikke automatik. I næste afsnit undesøges det, om esultatet e andeledes, hvis kapitalstuktuen tænkes at væe eksisteende, og CoCo-obligationene kan substituees ind.

59 3.8. FLERE LIGEVÆGTSAKTIEKURSER OG MARKEDSMANIPULATIONER 51 Patiel udskiftning: Obligatione i stedet fo CoCo-obligatione Antag, at en SV-bank ha en eksisteende kapitalstuktu indeholdende aktie og obligatione med kuponbetalingen ĉ b. Spøgsmålet e, om denne SV-bank vil væe inteesseet i at udskifte nogle af sine obligatione fo CoCo-obligatione. Foskellen he i fohold til afsnit 3.6 e, at de esteende obligatione ikke stige i vædi ved annonceing af en udstedelse af CoCo-obligatione. Obligationene ha alleede status som isikofi, hvofo de ikke kan stige mee i vædi, selvom banken måske blive mee sikke. Dette e hele foskellen. Og nå de ingen mevædi e at hente ved obligationene, da vil det bae væe skattefadaget, som dominees af det tabte skattesubsidie fa staten. Altså vil det hveken gavne bankens elle ejenes totale vædi. Defo vil vaianten aldig blive aktuel, hvis implementeingen skal ske pe automatik. 3.8 Flee ligevægtsaktiekuse og makedsmanipulatione I dette afsnit behandles poblemene med flee ligevægtskuse, samt incitamente til at manipulee aktiekusen. Eftesom både aktie og CoCo-obligatione e fodinge på bankens esidual-vædi undesøges, hvilke fohold som gø sig gældende, nå egenkapitalholdene ha incitament til at manipulee pisen, og nå obligationsholdene ha incitament til at manipulee aktiekusen. Idet det antages, at fø og ved konveteing e egenkapitalens vædi stengt stigende med vædien af bankens aktive eksempelvis som ved figu 3.1), da vil det væe muligt at fomulee en konveteingsegel, de ikke gå på vædien af aktivene, men deimod aktiekusen. Det e en fodel, da vædien af aktivene ikke e obseveba, hvoimod aktiekusen typisk e tilgængelig hele tiden. Således vil CoCo-obligationene konvetee, nå aktiekusen eflektee, at W C = W A C ; c b, c c ). E det sandt, vil konveteing ske til samme niveau af aktivvædi. To ligevægtskuse Nå en bank udstede aktie, obligatione og CoCo-obligatione, da vil det væe muligt at opnå to ligevægtskuse fo aktien, hvilket e poblematisk, hvis tiggeen fosøges udtykt ved denne. I figu 3.7 e illusteet, hvodan muligheden fo to ligevægte opstå, og hvodan infomationsstømmen e. Til tidspunkt t kan blot aktiekusen obsevees. Det e tanken, at man føst senee ved, hvilken aktivvædi, de va gældende ved denne aktiekus. Demed kan de ske foskellige ting, indtil dette mysteium løses. Det foegå således, at man obsevee aktiekusen til tidspunkt t, W t. Denne kan enten væe ove elle unde den aktiekusbaseede tigge, henholdsvis W t W C elle W t > W C. Dette eagees de på til tidspunkt t +, og de afgøes, om de e konveteing. Bemæk, at makedsopeatøene ikke kende den sande vædi af bankens aktive, men handle udelukkende på baggund af aktiekusen. Til tidspunkt t ++ kendes aktivvædien, A t, de va associeet med aktiekusen ved tidspunkt t, W t. Det vil sige, at man ved, om de va gundlag fo konveteing elle ej. Aktivvædien antages at tage vædien A d med sandsynlighed p d og A u med sandsynlighed p u, hvo p d = p u 1.

60 52 KAPITEL 3. ALBUL, JAFFEE & TCHISTYI: KAPITALSTRUKTUR t t + t ++ p u A t = A H I/K W t obsevees, A t obsevees ikke Hvis W t > W C I/K p d At = A L K p u A t = A H I/K Hvis W t W C K p d At = A L I/K Figu 3.7: Aktiekus, aktivvædi samt beslutning vedøende CoCo-obligationskonveteing. K = Konveteing og I/K = Ingen Konveteing. De to vædie som aktivene kan antage, e konstueet, så A d < A C < A u. Og defo kan at udslagene ved tidspunkt t + og t ++ væe inkonsistente i den fostand, at aktiekusen ved t + kan fode konveteing, det vil sige W t W C, mens aktivvædien ved t ++ ej give anledning hetil, altså A t = A u. Vi se nu næmee på de foskellige mulighede fo udviklingen og esultatet. Føst betagtes situtationen, hvo W t > W C. Ved tidspunkt t + e de ikke konveteing, hvofo man kigge på aktivvædien ved tidspunkt t ++. He kan de ske to ting, nemlig A t = A u det ske med sandsynligheden p u ) elle A t = A d det ske med sandsynligheden p d ). Det betyde, at foventningen til vædien af egenkapitalen e W A u ; c b, c c ) det ske med sandsynligheden p u ) elle W A d ; c b, c c ) λ cc det ske med sandsynligheden p d) til tidspunkt t ++, hvilket betyde, at egenkapitalens vædi til tidspunktet fø, t +, e W t = p u W A u ; c b, c c ) + p d W A d ; c b, 0) λ c ) c 3.75) = p u W A u ; c b, c c ) + 1 p u ) W A d ; c b, 0) λ c ) c. 3.76) Nå de ikke e konveteing ved t +, anvendes notationen W t, og hvis de e konveteing, anvendes notationen Ŵt om vædien af den gamle egenkapital efte konveteing.

61 3.8. FLERE LIGEVÆGTSAKTIEKURSER OG MARKEDSMANIPULATIONER 53 I den situation, hvo vædien af egenkapitalen fode konveteing, W t W C, da vil udfaldet ved t ++ ikke spille nogen olle fo konveteingen), da de konvetees i alle tilfælde. Demed e vædien af gammel egenkapital og ny egenkapital fa konveteede CoCo-obligatione e Ŵt + λ cc. Den samlede vædi af både ny og gammel) egenkapital til tidspunkt t ++ e afhængigt af op- elle nedgang W A u ; c b, 0) og W A d, c b, 0), hvofo vædien ved t + nødvendigvis e givet ved Ŵ t + λ c c = p uw A u ; c b, 0) + p d W A d ; c b, 0) 3.77) Ŵ t = p u W A u ; c b, 0) + 1 p u ) W A d ; c b, 0)) λ c c. 3.78) 3.76) og 3.78), de beskive vædien af egenkapital, hvis de ikke konvetees og hvis de konvetees ved t +, e tydeligvis ikke ens. Foskellen mellem de obseveede vædie af egenkapitalen kan findes ved bug af Sætning 1 som W t Ŵt =... p u W A u ; c b, c c ) + 1 p u ) W A d ; c b, 0) λ c c )) p u W A u ; c b, 0) + 1 p u ) W A d ; c b, 0) λ c c = p u W A u ; c b, c c ) + 1 p u )W A d ; c b, 0) 1 p u )λ c c p uw A u ; c b, 0) 1 p u )W A d ; c b, 0) + λ c c = p u W A u ; c b, c c ) p u W A u ; c b, 0) 1 p u )λ c c + λc c = p u W A u ; c b, c c ) W A u ; c b, 0)) + p u λ c c 3.79) He indsættes, at )) W A u ; c b, c c ) =A u c b1 θ) 1 Au A B ) ) γ c c1 θ) 1 Au A C ) γ ) 3.80) ) γ Au A B λ c c Au A B A C ) γ 3.81) og W A u ; c b, 0) =A u c b1 θ) 1 Au A B ) γ ) ) γ Au A B, 3.82) A B så

62 54 KAPITEL 3. ALBUL, JAFFEE & TCHISTYI: KAPITALSTRUKTUR W t Ŵt =... [ = p u A u c b1 θ) 1 ) γ Au A B λ c c A B = p u c c1 θ) 1 ) ) c γ c Au = p u 1 A C Au Au A C Au ) ) γ c c1 θ) 1 A B ) γ A u c b1 θ) 1 ) ) γ λ c ) ) γ c Au A C A C Au A C Au A B + p u λ c c ) γ ) ) γ ) ) γ Au ] A B + p u λ c c A B λ + θ 1) 3.83) Hvilket betyde, at så længe λ + θ > 1, så e W t > A u > A C pe definition. Ŵt. Det kan indses idet man genkalde, at At θ, som e skattekvotienten, og λ, som e konveteingspaameteen, ha betydning fo, om egenkapitalen ha højee vædi, nå konveteing ske med sandsynlighed p d konta det tilfælde, hvo det ske unde alle omstændighede, give fin intuitiv mening, og æsonnementet e ækvivalent med foklaingen i afsnit 3.4 vedøende 3.17). Ejene miste nemlig vædi popotionelt med de to støelse. Den fotyndende effekt e støe, des støe λ e, mens tabet af skattefadag e støe, des støe θ e. Demed kan det navnligt ved fotyndelseseffekten fostås, at givet den va ufoholdsmæssigt lavt sat, da ville egenkapitalen faktisk gene slippe fo kuponbetalingen mod lidt) fotyndning af dees position som egenkapital. Dette va pæcis, hvad man så ved figuene 3.1) og 3.2). De to foskellige aktiekuse, Ŵ t og W t, komme altså af, at man i det ene tilfælde med gaanti miste skattefodelen fa kuponbetalingen til CoCo-obligatione, mens man i det andet tilfælde blot miste den med sandsynlighed p d. Hvis de e mulighed fo to foskellige aktiekuse, da vil de også væe mulighed fo at påvike makedet i den elle anden etning. Påvikning vil natuligvis væe afhængig af agenten, de søge at maksimee sin nytte. Dette behandles i de sidste undeafsnit af dette kapitel. Poblemstilling behandles ligeledes i [Sundaesan 2010)], de på effektiv vis illustee poblemet. Dette e gengivet i bilag C.10. Kusmanipulationsincitamente I de næste to afsnit undesøges, hvilke faktoe de skal gøe sig gældende, hvis henholdsvis CoCoobligationsejene elle egenkapitalejene skal have incitament til at manipulee aktiemakedet. Manipulation anføt af CoCo-obligationsholdene Manipulationsmotivet fo CoCo-obligationsholdene e føst at gå langt i CoCo-obligationen hvilket gø dem til CoCo-obligationsholdene), denæst at manipulee pisen ned til konveteing og modtage aktie.

63 3.8. FLERE LIGEVÆGTSAKTIEKURSER OG MARKEDSMANIPULATIONER 55 Hepå vente til makedet vende tilbage til sit nomale niveau og de sælge aktiene til den nomale kus de e ove konveteingskusen. CoCo-obligationsholdene kan manipulee makedet i en nedadgående etning ved foskellige metode. Disse kan væe så simple som at spede dålige ygte om banken elle benytte en metode, de involvee at gå kot i den elevante aktie. Fo god odens skyld oplyses de om, at bevidst ygtedannelse med henblik på at skabe kusænding kaldes kusmanipulation og e ulovligt. Nå man gå kot i en aktie, sælge man den uden at have den. Det e således en geaet position, og man skal købe aktien tilbage igen på et tidspunkt. En nomal makedsantagelse gå på, at man ikke kan påvike makedet med sin gøen og fæden. Det vil sige, at hvis familien ABC vælge at sætte alt dees opspaing i fima XYZ, da vil denne investeing ikke påvike udviklingen fo fima XYZ aktie. Antagelsen e den samme vedøende shot selling elle at gå kot i aktien. Ved fuld infomation bø det at gå kot ikke påvike aktiekusen. Det e dog ikke altid tilfældet, at gængse makedsantagelse holde vand, fo eksempel kan disse sættes i svagt lys, nå handelsvolumen og likviditeten e lav. Histoisk ha det vist sig, at det ved foskellige lejlighede e lykkedes blandt andet såkaldte hedgefonde, at vælte en aktie ved massiv shot-selling. Et eksempel e ygtet, om at Lehman Bothes fik dødsstødet, da en ække ameikanske hedge-fonde via en stiltiende aftale engelsk: tacit collusion) gjode makedsinfomationen asymmetisk, og det lykkedes dem således at få makedet til at to, at det makante antal shot-sellings va et tegn på, at aktien va på vej nedad. Defo nævnes shot-selling som en mulighed fo at manipulee pisen nedad. Vædien af A t e givet som ved figu C.3 i bilag C.9. Ved manipuleing antages det, at CoCo-obligationsholdene e i stand til at påvike den isikoneutale op- og nedsandsynlighed, p u og p d, til at væe p u < p u og p d > p d. Det betyde, at makedet kan danne to foskellige aktiekuse. Det antages, at A L < A C < A H. Vi se på de to foskellige vædie henholdsvis fø og efte. Fø e og efte e W t = p u W A H ; c b, 0) + 1 p u )W A L ; c b, 0) 3.84) W t = p uw A H ; c b, 0) + 1 p u)w A L ; c b, 0). 3.85) Ved konveteing få CoCo-obligationsholdene aktie svaende til λ cc. Nå makedet stabilisees igen, og alles foventninge ikke e influeet af advese selection, da vil vædien af egenkapitalen bevæge sig fa Wt til Wt. Demed e pay-off ved manipulation, som tigge konveteing til de tidligee CoCo-obligationsejee, de modtog aktie ved konveteingen, givet ved foholdet foholdet mellem aktiekusene samt aktiekonveteingskapitalen. Altså, Π t = λ c c = λ c c W W + 1 ) = λ c c W W + W = λ c c W 3.86) W W W W W p u W A H ; c b, 0) + 1 p u )W A L ; c b, 0) p uw A H ; c b, 0) + 1 p u)w A L ; c b, 0). 3.87)

64 56 KAPITEL 3. ALBUL, JAFFEE & TCHISTYI: KAPITALSTRUKTUR Pay-off til samme agent uden manipulation, og det vil sige uden en nødvendig konveteing, vil væe He e foskellen ved de to pay-offs Π t = p u U C A u ; c b, c c ) + 1 p u )λ c c. 3.88) Π t Π t = λ c c p u W A u ; c b, 0) + 1 p u )W A d ; c b, 0) p uw A u ; c b, 0) + 1 p u)w A d ; c b, 0) p u U C A u ; c b, c c ) + 1 p u )λ c ) c 3.89) c c λp u W A u ; c b, 0) = p u 1)p u 1)W A d ; c b, 0) + p uw A u ; c b, 0)) 3.90) c c λp + uw A u ; c b, 0) p u 1)p u 1)W A d ; c b, 0) + p uw A u ; c b, 0)) 3.91) + c cλp u p u 1) + c cλp u c c λ p u 1) c cλ p uu C A u ; c b, c c ) 3.92) = λ c c p u p u)w A u ; c b, 0) W A d ; c b, 0)) p uw A u ; c b, 0) 1 p u)w A d ; c b, 0) p u U C A u ; c b, c c ) λ c ) c. 3.93) Fa Sætning 1 kendes vædien af CoCo-obligationen, U C A u ; c b, c c ), som indsættes Π t Π t = λ c c = λ c c p u p u)w A u ; c b, 0) W A d ; c b, 0)) p uw A u ; c b, 0) 1 p u)w A d ; c b, 0) p1 λ)c c p u + p u p u W A d ;c b,0) W A u;c b,0) W A d ;c b,0) p u 1 λ) c c 1 Au A C 1 ) γ ) Au A C ) γ ) 3.94). 3.95) Det ses, at hvis konveteingsfoholdet λ = 0, da vil Π t Π t < 0, hvofo CoCo-obligationsholdene ikke vil have motiv til at manipulee aktiemakedet. Vi fosøge nu at finde det konveteingsfohold, de sike, at Π t Π t = 0. Π tλ ) Π t λ ) = ) ) ) γ p u 1 Au λ A C = ) γ ). 3.97) p W A u + d ;c b,0) W A u;c b,0) W A d ;c b,0) + p u 1 Au A C Eftesom det e defineet, at A u > A C, da vil λ > 0, men samtidig gælde de også, som en konsekvens af p u + W A d ; c b, 0) > 0, 3.98) W A u ; c b, 0) W A d ; c b, 0)

65 3.8. FLERE LIGEVÆGTSAKTIEKURSER OG MARKEDSMANIPULATIONER 57 at λ < 1. Demed findes de altså et konveteingsfohold, λ 0, 1), så Π t Π t = 0. Det betyde også, at hvis λ λ, da vil CoCo-obligationsholdene intet ationelt incitament have til at manipulee makedet, mens de fo λ > λ ha 3. Sagen e den, at nå konveteingsfoholdet e tilstækkeligt ufodelagtigt fo CoCo-obligationsejene det vil sige tilstækkeligt lavt), da vil den elativt lille mængde aktie, som de få ved konveteing, dominees af vædien af de femtidige kuponbetalinge, som de gå glip af, til tods fo en post-konveteing aktiekus stigning nå makedets foventninge vende tilbage til nomalen. De to diffeense p u p u og A u A d e faktoene, de afgø, hvo tæt konveteingspaameteen skal placee sig på intevallet mellem nul og en, fo at de ikke eksistee incitament fo CoCo-obligationsholdene. Hvis diffeensen p u p u e sto, svae det til, at CoCo-obligationsholdene ha nemt ved at påvike aktiemakedet, og i det tilfælde skal konveteingspaameteen væe lavee fo at undgå manipulationsincitamente. Hvis diffeensen A u A d e sto, svae det til, at de e sto foskel på de to mulige ealisatione af aktivvædien, hvilket helt konket gø foskellen W A u ; c b, 0) W A d ; c b, 0) støe, og det kæves defo, at λ e foholdsvist lavee. I od betyde det, at des støe usikkehed, de e om vædien af aktive, des lavee skal konveteingspaameteen væe. Det va manipulationsfoholdene set fa CoCo-obligationsholdenes pespektiv. I næste afsnit betagtes situationen, hvo det e ejene af egenkapitalen, de ønske at vildlede makedet. Manipulation anføt af ejene I dette afsnit behandles det manipulationsmotiv, som måtte eksistee fo holdene af egenkapitalen. He e guleoden at slippe foholdsvist billigt fo kuponbetalingen til CoCo-obligationsholdene, c c. Stategien e, på en elle anden måde at vildlede makedet, så aktiekusen falde til W C, og CoCoobligationene konvetee til aktie. Nå det e sket slippe de opindelige holdee af egenkapitalen nemlig fo kuponbetalingen, c c, til CoCo-obligationsholdene. Det e tydeligt, at hvis denne opeation ovehovedet skal kunne betale sig, da skal konveteingen fa CoCo-obligation til aktiekapital væe fodelagtig fo den opindelige egenkapital. E det ikke tilfældet, da slippe de stadig fo at betale kuponen, c c, men de miste dog skattefadaget associeet med denne betaling, og de betale en høj pis i fom af en, fo dem, dålig konveteingsaftale, de sike CoCoobligationsholdene meget egenkapital ved konveteing. Vi betagte nu, hvodan pay-offmønstet tage sig ud. Vædien af den opindelige egenkapital inden manipulation e givet ved W A t ; c b, c c ). Hvis det lykkes at vildlede makedet til konveteing, da e vædien på det tidspunkt W A C ; c b, 0). Denne vædi e dog ikke koekt, og nå makedet yste chokket af sig og vende, vil pisen nomalisees og blive W A t ; c b, 0). Nu e vædien af den opindelige egenkapital givet ved den totale nye vædi af egenkapital, W A t ; c b, 0), fatukket den andel de tilhøe de nye egenkapitalsholdee udgjot af de gamle CoCo-obligationsejee, λ cc ved W At;c b,0) W A C ;c b,0) W A C ;c b,0) + 1 ) = λ cc 3 Det e sandt eftesom Π t Π t) λ = cc at W e stengt stigende i A fø og ved konveteing. W A t;c b W A C ;c b,0). Altså e pay-off til den opindelige egenkapital givet p u p u p u + W A d ;c b,0) W Au;c b,0) W A d ;c b,0) + p u c c 1 A u A C ) γ ) > 0 og fodi det e antaget,

66 58 KAPITEL 3. ALBUL, JAFFEE & TCHISTYI: KAPITALSTRUKTUR Π W t = W A t ; c b, 0) λ c ) c W A t ; c b, 0) W A t ; c b, c c ). 3.99) W A C ; c b, 0) Demed vil den opindelige egenkapital ikke have incitament til at manipulee makedet, så længe at Π W t 0. Igen kan Sætning 1 anvendes, hvilket give Π W t = A t c ) ) b1 θ) γ ) ) γ At At 1 A B λ c c W A t ; c b, 0) 3.100) A B A B W A C ; c b, 0) A t c ) ) b1 θ) γ At 1 c ) ) c1 θ) γ At ) A B A C ) γ At A B λ c ) ) γ c At 3.102) A B A C = c ) ) c1 θ) γ At 1 + λ c ) γ c At λ c c W A t ; c b, 0) W A C ; c b, 0) ) A C Det kan åbenlyst sluttes, at pay-off til de opindelige egenkapitalsholdee e positivt, nå λ = 0. Dette e ikke bae givet ved ovenstående ligning, men det følge også intuitivt. Hvis λ = 0, koste det ikke noget fo de opindelige egenkapitalsholdee, at de konvetees. Det e iøvigt ielevant, om man henvise til dem som væende den opindelige selv efte konveteing e de alene. At λ = 0 e ekstemvædien fo, hvo fodelagtig konveteingsfoholdet kan væe fo de opindelige egenkapitalsholdee. I den anden ende af ekstemene kan man foestille sig, at λ = 1 λ > 1 kan dog sagtens lade sig gøe), og da de også miste et skattefadag ved konveteingen, da vil den bedste vædi i denne kontekst fo egenkapitalen væe, at θ = 0. Unde disse betingelse e A C Π W t λ=1, θ=0 = c c 1 = c c c c = c c At A C ) γ ) W A t ; c b, 0) W A C ; c b, 0) 1 W A t; c b, 0) W A C ; c b, 0) + c c At A C ) γ c c W A t ; c b, 0) W A C ; c b, 0) 3.104) 3.105) ) < ) Som indikeet ved 3.106), e Π W t λ=1, θ=0 stengt negativ. Det e klat, at hvis konveteingspaameteen låses til λ = 1, da vil en hve bugba vædi af skattekvotienten, θ, blot gøe Π W t mee og mee negativ, og de vil således ikke væe gundlag fo, at de opindelige egenkapitalsholdee vildlede makedet i håb om pofit. Det konveteingsfohold, de sike, at pay-off til de opindelige egenkapitalsholdee e givet ved

67 3.8. FLERE LIGEVÆGTSAKTIEKURSER OG MARKEDSMANIPULATIONER 59 Π W t λ ) = 0 0 = c c1 θ) 1 λ = At A C ) γ ) + λ c c 1 At A C ) γ ) 1 θ)w A C ; c b, 0) At A C ) γ W AC ; c b, 0) W A t ; c b, 0) = 1 θ) 1 At A C ) γ At A C ) γ λ c c 3.107) W A t ; c b, 0) W A C ; c b, 0) 3.108) 3.109) W A t;c b,0) W A C ;c b,0) At A C ) γ ) Det betyde, at nå λ λ, så vil de opindelige holdee af egenkapitalen ikke have et incitament til at manipulee makedet. Og omvendt, hvis λ < λ 4. Udtykket W At;c b,0) W A C ;c b,0) betyde, at λ e en aftagende funktion af A t. Det vil sige, at hvis man ønske, at 3.110) skal væe sand fo alle A t, da skal den lavest mulige vædi af A t indsættes. Denne e A C, og man ha λ = 1 θ) 1 At A C ) γ W A C ;c b,0) W A C ;c b,0) At A C ) γ 3.111) ) γ 1 At A C = 1 θ) ) γ 3.112) 1 At A C = 1 θ ) Det betyde altså, at hvis λ 1 θ), da vil egenkapitalen ikke væe inteesseet i at vildlede makedet. Gunden e simpelthen, at hvis konveteingsfoholdet e fo højt, vil det væe fo dyt at slippe fo CoCo-obligationskuponbetalingen, c c. Det e demed vist, at den øve gænse fo, hvonå det ikke kan betale sig fo CoCo-obligationsholdene at manipulee makedet e givet ved 3.97), mens den nede gænse fo, hvonå holdene af egenkapitalen ha et incitament til at manipulee makedet, e 1 θ). Det betyde alt i alt, at hvis man sætte konveteingsfoholdet, sådan at λ = 1 θ og λ > 1 θ), 3.114) så eksistee de netop én ligevægtsaktiekus, og hveken CoCo-obligationsejene elle holdene af egenkapitalen vil væe inteesseet i at manipulee denne kus. 4 Det pæcise matematiske agument e ligesom ved fodnote 3.

68 60 KAPITEL 3. ALBUL, JAFFEE & TCHISTYI: KAPITALSTRUKTUR 3.9 CoCo-obligatione og asset substitution Det undesøges i nævæende afsnit, om inkludeingen af CoCo-obligatione i kapitalstuktuen øge ejenes villighed til at satse på mee isikable pojekte. Villigheden undesøges, nå CoCo-obligatione udstedes ovenpå obligationene i en de novo kapitalstuktu. CoCo-obligatione intoducees til en de novo kapitalstuktu som en obligations-swap og med egelmæssige estiktione. CoCo-obligatione intoducees til en eksisteende kapitalstuktu som en obligations-swap og med egelmæssige estiktione. De Novo kapitalstuktu: CoCo-obligatione som aktie-swap I afsnit 3.5 fandt vi, at en bank vil væe inteesseet i at tilføje CoCo-obligatione til sin kapitalstuktu, nå disse blive udstedt oven på den optimale obligationsgæld. I dette afsnit undesøges det, om inkludeing kan tænkes at give anledning til støe villighed til asset substitution. Asset substitution foegå helt konket i modellen ved at ænde volatilitetspaameteen σ. Nå volatiliteten opjustees, svae det til, at man flytte mee masse ud i halene fo fodelingen af dynamikken fo aktivvædien. Det vil sige, at de flyttes mee sandsynlighedsmasse ove på tiggebegivenheden. Man kan sige, at likelihood en fo konveteing stige med volatiliteten. Af 3.113) femgå det, at hvis λ + θ) > 1, e det ikke fodelagtigt fo ejene at holde isikable aktive. Det e fodi konveteing e dem ufodelagtig. Det betyde dog, i det fald at λ + θ) < 1, da vil de foeligge et incitament til asset substitution. Figu 3.8 illustee, hvodan vædien af egenkapitalen afhænge af volatiliteten. Det e antaget, at banken e ugeaet og netop fø udstedelsen e volatiliteten, σ = 0, 15. De elevante paametevædie femgå af titlen på figu 3.8. Banken optimee sin kapitalstuktu ved at geae op, og de vudees fie foskellige situatione. Benchmaket e situationen, hvo geaing foegå uden bug af CoCo-obligatione blå gaf). I de esteende te tilfælde anvendes CoCo-obligatione, og he e konveteingspaameteen, λ, valgt, så λ + θ > 1, λ + θ = 1 og λ + θ < ) Nå kapitalstuktuen e optimeet, kan ejene søge at hæve vædien af dees position ved at hæve elle sænke volatiliteten. Den nye vædi e i eksemplet efeeet til som ex-post σ. Det stoe diagam vise vædien af egenkapitalen som funktion af ændinge i volatiliteten i en eksisteende kapitalstuktu. Unde denne vise diagammet til venste hældningen. Bemæk, at begge diagamme e konsistente med, hvad de tidligee blev vist, nemlig at asset substitutionsincitamentet vil væe lavee elle det samme ved λ + θ = 1), nå λ + θ > 1. Diagammet til høje vise den elative W ) W σ=0,15) W σ=0,15) gevinst i fohold til ex-ante niveauet,, og det e vigtigt at obsevee, at fo ex-post vædie af σ ove 0,20, e gafene med CoCo-obligatione alle ove den uden blå gaf). Og konklusionen

69 3.9. COCO-OBLIGATIONER OG ASSET SUBSTITUTION 61 Figu 3.8: W, dw W 0,15). A t = 100; ex-ante) σ = 0, 15; c b = 5, 24; A C = 70; c c = 0, 5; = 0, 05; µ = 0, 01; θ = 0, 35 og α = 0, 50. dσ og W σ Ex post W 0,15)) e, at ejene geneelt vil væe tilbøjelige til via asset substitution at hæve volatiliteten efte udstedelse. Foskellige banke vil have foskellige potefølje, hvofo dees volatilitet vil væe foskellig. Denne situation betagtes nu. Alle ande paamete foblive de samme. Diagammet til venste ved figu 3.9 vise ex-post vædie af dw dσ ved foskellige initiale ex-ante) vædie af volatiliteten, σ. Som det også femgik af figu 3.8, så e sensitiviteten fo vædien af egenkapitalen ovefo σ højee des lavee λ e. Det kan bemækes, at tilfældet, hvo λ = 1 og λ + θ = 1), de lægge gafen fo vesionen med CoCo-obligatione ød gaf, fuldoptukken) pæcis oven i vesionen uden blå gaf, inge). Ved diagammet til høje vises de samme gafe, hvo de blot e nomeet med W, hvilket give den pocentvise ænding i vædien af egenkapitalen ved ænding af σ. Det ses, at gafene indeholdende CoCo-

70 62 KAPITEL 3. ALBUL, JAFFEE & TCHISTYI: KAPITALSTRUKTUR Figu 3.9: dw dσ og 1 dw W dσ. A t = 100, ex-ante) σ = vaieende, c b = 5, 24, A C = 70; c c = 0, 5; = 0, 05; µ = 0, 01; θ = 0, 35 og α = 0, 50. obligatione ligge ove den uden. Dette indikee og fostæke konklusionen fa fø at tilstedevæelsen af CoCo-obligatione geneelt vil få ejene til at fosøge at hæve σ. Asset substitution ved egelmæssige begænsninge: De Novo og eksisteende He beskives asset substitutionincitamentet unde egelmæssige estiktione givet ved 3.32), de beskive, at U B A t, ĀB; c b, c c ) + U C A t, ĀB; c b, c c ) = U B A t, A B; c b, 0) ) Øvelsen fa figu 3.8 gentages, og det ses af figu 3.10, at niveauet fo gafene som tidligee ha en inves sammenhæng med støelsen af λ. Til foskel fa tidligee, så e gafen fo kapitalstuktuen uden CoCo-obligatione blå gaf), ved det lille diagam til venste, højee end to af dem med CoCo-obligatione sot og ød gaf). Det betyde, at denne bug af CoCo-obligatione pånæ et enkelt tilfælde systematisk educee incitamentet til at hæve volatiliteten ved asset substitution. Det ses altså, at ejene fotække en mee sikke potefølje, nå CoCo-obligatione inkludees unde estiktionen 3.32). Det betyde, at de uden CoCo-obligatione ha et højee incitament til asset substitution. Intuitionen e, at CoCo-obligatione intoduceet som en obligations-swap, give minde obligationskapital i kapitalstuktuen, som educee incitamentet til asset substitution. Så lige på næ eksteme tilfælde, hvo konveteingsfohold e absud fodelagtigt fo ejene, vil bugen af CoCo-obligatione i nævæende kontekst lede til en mee sikke bank. Nå kapitalstuktuen e eksisteende, og CoCo-obligatione blive indskiftet fo obligatione, vil billedet væe ækvivalent med ovenstående. Konklusionen e således fotsat, at intoduktionen af CoCoobligatione ved given estiktion sænke asset substitutionsincitamentet. Reduktionen vil dog væe lavee end fø, fo som vi så i afsnit 3.6, vil de væe pobleme med ovehængende gæld, som påvike dette en anelse.

71 3.9. COCO-OBLIGATIONER OG ASSET SUBSTITUTION 63 Figu 3.10: W, dw W 0,15). A t = 100; ex-ante) σ = 0, 15; c b = 5, 24; A C = 70; c c = 0, 5; = 0, 05; µ = 0, 01; θ = 0, 35 og α = 0, 50. dσ og W σ Ex post W 0,15))

72

73 Kapitel 4 Case study: Cedit Suisse I dette kapitel vil modellene blive valideet i et case study, hvo Cedit Suisses offentligt udstedte CoCoobligatione samt divese effekte associeet med denne udstedelse behandles i modellene Pennacchi og Albul-Jaffee-Tchistyi. I Albul-Jaffee-Tchistyi beskives endvidee Lloyds patielle indskiftning af CoCoobligatione. Valg af metode, altså case study, skyldes pimæt det begænsede datagundlag. Metodevalget e desuden begundet i smooth pasting-betingelsens manglende opfyldelse, som sammen med unikt defineet tigge og fohold omking konveteing besvæliggø deduktion fa teoi til paksis. De eksistee således ikke en model, som pæcist beskive Cedit Suisses CoCo-obligatione, BCN. Defo e de foetaget enkelte ændinge i Pennacchi-setuppet med det fomål at anvende det tilgængelige datagundlag hidøende udstede og det modtagende maked. Som det femgå at kapitel 1, besluttede de schweiziske myndighede at fostæke dees bankssekto. Målet va og e at uste sektoen til selv at kunne modstå ydeligee tubulente peiode og deved beskytte skattebogene mod at skulle dække omkostninge på gund af fallit elle tab. I Schweiz tiltag indgå også esolutionsplane. I et vist omfang ha samfundet og demed blandt andet skattebogene nemlig inteesse i at bistå sektoen, da den vaetage systemisk vigtige funktione. Gennemtænkte og veldefineede esolutionsplane, omtalt i afsnit 1.5, e således essentielle fo optimeing af samfundets nytte. Den schweiziske model fo esolutionplane ha i øvigt inspieet EU-myndighedenes abejde med at definee og gennemføe tiltag på omådet inden fo EU. Mee konket opdele esolutionsplanen den enkelte SV-banks situation i fie stadie. I de føste te fungee banken. I det sidste stadie likvidees elle sælges den [SIF 2010)]. Føste stadie e cuent opeations. Banken skal he holde mee kapital end, hvad de e intenationalt påbudt. Dette kaldes Swiss finish. Anden stadie e cisis management. Det e he, at CoCo-obligationene komme til at fungee som en eseve fo banken. SV-banke skal have to slags eseve. Nå banken indtæde i dette stadie, konvetee den føste eseve af CoCo-obligatione til egenkapital. Banken e elativt upåviket, men handle og eagee selvfølgelig med henblik på at fjene elle i det mindste educee poblemet. Bankens systemisk vigtige funktione opetholdes uden ydeligee støtte. Tedje stadie e econstuction. He komme den nu) sidste eseve i spil. CoCo-obligationene konvetees, og myndighedene tæde til. Myndighedenes ovetagelse fungee som nå Finansiel Stabilitet 65

74 66 KAPITEL 4. CASE STUDY: CREDIT SUISSE hehjemme ovetage en bank og afvikle dens usunde dele. De systemisk vigtige funktione e stadig intakte uden bug af skattemidle. Bankens systemisk vigtige funktion e, at den via indskud kan yde kedit til keditvædige viksomhede, de deved kan skabe vækst. Med det nye schweiziske system e funktionen beskyttet af en billedligt talt "edningsbåd" i fom af en dattebank, som komme i spil, nå den sidste CoCo-obligationsgæld konvetees. 4.1 Test i model: Pennacchi Fo at kunne anvendele Pennacchi skal en ække paamete kalibees og estimees. Hetil benyttes så meget viden fa udstedelsen samt udstede som muligt. 17. febua 2011 udstedte Cedit Suisse CoCoobligationsgæld af en samlet vædi på USD 2 milliade. Gælden udløbe 24. febua 2041 og løbetiden e således 30 å. Det femgå ligeledes, at CoCo-obligationene e call-able ved pålydende vædi fa 24. august 2016 [Cedit Suisse Annual Repot 2010)] og [Whittake 2010)]. Den sidste infomation avendes dog ikke, da det ligge udenfo modellens amme at vudee, om udstedeen ønske at kalde CoCo-obligationene igen. Paametenevædiene i [Pennacchi 2010)] fungee som etningslinje fo valg af paamete til case studiet. Dog skal de kalibees en ny entekuve, da løbetiden nu e 30 å. Dette ske i næste afsnit. Kalibeing af entepaamete Til kalibeingen af paameteinput fo entesimulationen anvendes esultate fa afsnit 2.1 om den isikofi entestuktu samt R s indbyggede optimeingsfunktion optim. Det e ikke videe elevant fo opgaven, hvoledes kalibeingen e udføt, og de henvises defo til bilag D.1. I figu 4.1 e te CIR-kuve tilpasset en dansk NKO-entestuktu fa 13. juni 2007 Date <- 650). Figuen vise tydeligt, at den uvægtede estimeing e pænest, og de tilhøende paamete anvendes. De e givet ved 0 = 0, ; = 0, ; κ = 0, og σ = 0, Figu 4.1: CIR-ente tilpasning ved 13. juni I næste afsnit beskives håndteingen af de isikoelateede paamete fo sping og diffusionspocessen samt valget af konveteingsfohold p. Valg af simulationspaamete Geneelt ha keditvudeingsbueauene væet fobeholdne ovefo CoCo-obligationene. I skivende stund ha kun Fitch atet Cedit Suisses CoCo-obligatione. De e ated BBB+. Af Fitchs hjemmeside femgå det, at BBB+ svae til en lavee middelkaakte engelsk: lowe medium-gade). Denne kategoi befinde sig lige akkuat indenfo det omåde, de betegnes som investment-

75 4.1. TEST I MODEL: PENNACCHI 67 gade, og keditvudeingen beskives som: låntageen ha tilstækkelig kapacitet til at opfylde sine økonomiske fopligtelse. Kategoien indebæe dog også, at negative økonomiske vilkå elle ændede omstændighede kan øge isikoen fo, at låntage ikke kan opfylde sine økonomiske fopligtelse. Umiddelbat bidage denne beskivelse ikke meget til valg af de isikoelateede paamete λ, σ y, µ y og σ. Nå odvalg som tilstækkelig og højee gad af tilbøjelighed skal ovesættes til kvantitative støelse e det fobundet med høj usikkehed. Altenativt kunne omkingliggende keditklasse sammenlignes fo at fobede guestimatet, men denne tilgang basee sig på en subjektiv fotolkning og kvantificeing af odenes betydning. Heudove e histoiske fallitate til ådighed fa BBB+, men at kalibee paametene til denne støelse e helle ikke helt koekt, da modellen måle konveteinge og ikke fallitte. Defo e modellen testet på data ved at indabejde kendte støelse og simulee ove foskellige kombinatione af spingpaametene og konveteingsfoholdet. Se tabel 4.1. I det omfang modellen tilnæmelsesvis e sand, e det demed også muligt at undesøge, hvodan makedet vudee poduktet og situationen hvo situationen e et udtyk fo, hvodan de isikoelateede støelse e. Af de kendte støelse e fo eksempel kuponen elle ydelsen, c fa [Whittake 2010)] og [Cedit Suisse Annual Repot 2010)] sat til 7,875%. Konveteingsfoholdet, p, e også opgivet. Cedit Suisses konveteing til maxusd 20, CHF 20, S), hvo S e et vægtet gennemsnit af aktiekusen dækkende peioden 30 dage foinden. Denne konveteingspaamete blev fosøgt indabejdet i koden, men umuliggjode kompilation med passende antal simulatione. Pogammet blev simpelthen fo tungt. Defo e det vudeet, at konveteingsfoholdet passe bedst til et en-til-en fohold. De foskellige testkombinatione femgå af tabel 4.1. I tilfælde hvo en given paamete ikke justees, anvendes den opindelige vædi fa [Pennacchi 2010)]. Altså, σ y = 0, 02; µ y = 0, 01 og p = 1. Motivation fo valget af intevalle fo λ, σ y og µ y e som følge. Føste kombination, hvo spinghyppigheden løbe fa nul til te Tabel 4.1: Case study. Spingpaameteinput. Kombination Inteval λ) σ y /µ y ) Imiteet situation λ, σ y 0, 3) 0, 004; 0, 1) Pennacchi λ, µ y 0, 1) 0, 1; 0, 01) Lavee spinghyppighed, men støe sping. foventede ålige sping, og standadafvigelsen på spingene e mellem en femtedel af og fem gange så sto som opindelig vædi altså 0, 004 og 0, 1 e en imiteet situation af den beskevet i [Pennacchi 2010)]. Heudove kan minde sping i aktivvædien tænkes at væe fint foklaet ved en en diffusionspoces, og eelle kise modellees som kaftigee sping, men med lavee fekvens. Det e simuleet ved anden kombination. He bevæge spinghyppigheden sig mellem nul og et foventet sping pe å. Til gengæld e den gennemsnitlige spingstøelse mellem 0, 01 og 0, 1. Med hensyn til diffusionsvolatilitetspaameteen, σ, antages at vædien, de foefindes i [Pennacchi 2010)], e anvendelig. Det e et studie i sig selv at afgøe den sande aktivvolatilitet fo eksempel på baggund af aktiekusvolatiliteten. Det ligge udenfo afhandlingens amme at bestemme en mee nøjagtig vædi. Det samme e gældende fo koelationen, ρ, mellem de to bownske bevægelse, de knytte sig til henholdvis ente- og K-t-I-simulationen. Agumentet e tilsvaende [Pennacchi 2010)], og det antages således, at substitutionseffekten dominee. Demed anvendes σ = 0, 02 og ρ = 0, 2. Endelig e det nødvendigt at foetage nogle unikke justeinge fo at kunne buge Pennacchi. Disse

76 68 KAPITEL 4. CASE STUDY: CREDIT SUISSE gennemgås i næste afsnit. Nødvendige modelleinge fo implementeing I stedet fo at buge e = E D, anvendes Tie 1-kapitalfohold. Dette e gjot fo at kunne implementee mest mulig viden fa udstede oplysninge e hentet fa [Cedit Suisse Annual Repot 2010)]. Demed definees he specielt, at indgående støelse denominees i RVA. De benyttes ande symbole fo ikke at skabe foviing, således e e Θ, b Σ og x Ξ. 4.1) He skal pilene ikke fostås som lighedstegn, men næmee at Θ fungee nogenlunde ækvivalent til e i den opindelige model. Cedit Suisses initiale Tie 1-kapitalfohold e Θ 0 = Tie 1-kapital anno 2010 RVA = = 17, 2%, hvilket e i oveenstemmelse med [Cedit Suisse Annual Repot 2010)] se figu 4.2. Heudove e b 0, de i [Pennacchi 2010)] angav foholdet mellem CoCo-obligatione og indlån nu også ændet, så den e RVA-nomeet. Altså, Σ 0 = Offentligt udstedte BCNs RVA = 0, 9CHF/USD = 0, 8% Det betyde, at case studiet anvende en til dels obseveba støelse, nemlig Θ de e et udtyk fo Tie 1-kapitalfoholdet nå den ikke-obsevebae tigge, Ξ, bestemmes. De skal nu definees et taget niveau, som Cedit Suisse søge at amme, ˆΞ. Denne findes i Cedit Suisses åsappot. Se tabel 4.2. Tabel 4.2: Cedit Suisses Tie 1-kapitalfoholdsmål. Kilde: [Cedit Suisse Annual Repot 2010)] fo / ultimo Kommende mål Nuvæende mål BIS Tie 1-fohold Basel II) Oveholde Schweiz >12,5 17,2 16,3 13,3 "Too Big To Fail"-pogam og Basel III He anvendes det nuvæende mål. Gentages case studiet, kan man benytte specifikke kav fa Basel III og det schweiziske "Too-Big-to-Fail"-pogam, i fald de e specifikt pæciseet og implementeet. Iøvigt e nuvæende mål mee skæpet end kommende kav fa Basel III se tabel 1.2).

77 4.1. TEST I MODEL: PENNACCHI 69 ˆΞ = Θ Taget + 1 = 12, 5% + 1 = 1, 125. Statvædien fo denne nye tilstandsvaiabel, de kan kaldes Tie 1-tiggeen, vil i dette case-study væe givet ved Ξ 0 = Θ p Σ 0 = 17, 2% , 8% = 1, 180. Og endelig vil initialvædien af den ikke-obsevebae Tie 1-tigge væe Ξ 0 = Θ p Σ 0 = 7% , 8% = 1, 078. Demed e alle paametene, de skal anvendes til case studiet fastlagt. I næste afsnit pæsentees esultatene ved simulation ove paamete i tabel 4.1. Resultate I dette afsnit pæsentees esultatet af testen af Pennacchi. I figu 4.2 ses vædien af betalingsstømmen, V 0, fo føste kombination med foskellige vædie af spinghyppighed, λ, samt standadafvigelse fo sping, σ y. Figu 4.3 vise anden kombination med spinghyppighed og spingstøelse, µ y. Bemæk, at gafen e i te dimensione og defo vise figuene afbildninge fa foskellige vinkle. Fo næsten alle kombinatione ha betalingsækkene en diskonteet vædi ove en, V 0 > 1. Det vil sige, at CoCo-obligationen e mee væd end sin hovedstol, B = 1 ved udstedelse. Dette skulle umiddelbat antyde, at Cedit Suisse ha betalt fo høj en kupon på tvæs af de fleste vaiatione af makedsopfattelse. Figu 4.2: Case study. λ/σ I figu 4.2 ses det, at vædien af CoCo-obligationen ha minimum ved V 0 = 0, fo λ, σ y ) = 3; 0, 1) og maksimum ved V 0 = 1, fo λ, σ y ) = 3; 0, 0573). I figu 4.3 ses det, at vædien af CoCo-obligationen ha minimum ved V 0 = 1, fo λ, µ y ) = 0; 0, 01) og maksimum ved V 0 = 1, fo λ, µ y ) = 1; 0, 1).

78 70 KAPITEL 4. CASE STUDY: CREDIT SUISSE Figu 4.3: Case study. λ/µ Fo både figu 4.2 og 4.3 eksistee de højeste CoCo-obligationes vædie sammen med maksimalvædien af spinghyppighed. Som det også blev vist ved figu 2.3, e vædien ekstemt påviket af den lange løbetid. Og selv med et minde tab ved konveteing, dominee effekten af en effektiv fokotelse af løbetiden og hæve vædien af CoCo-obligationen. En meget høj standadafvigelse e dog ikke at foetække. Det kan skyldes at fo meget sandsynlighedsmasse blive pesset ud i halene, hvo konveteing med stoe tab blive mee fekvente. Det skyldes, at CoCo-obligationsejene ikke deltage i gevinstpotentialet engelsk: upside potential) fø en eventuel konveteing, hvofo de således ikke ha gavn af den sandsynlighedsmasse, de også skubbes ud i den anden hale, hvo aktivvædien sping opad. Nå den gennemsnitlige spingstøelses sænkes hæves i absolutte teme), stige isikoen fo konveteing med tab til følge. Og figu 4.3 vike misvisende i denne sammenhæng. He ses det, at øget sandsynlighed fo sping samt gennemsnitligt støe sping nedad faktisk øge vædien af CoCo-obligationen. Foklaing e endnu engang, at en øget sandsynlighed fo konveteing med tab som følge af et sping til en tabssituation, og altså ikke gundet konveteing med abat, geneelt øge sandsynligheden fo konveteing, som fokote løbetiden uden en signifikant sænkelse af den samlede ydelse til CoCoobligationsholdeen. Øvelsen e gentaget med en lavee egenkapitalstigge Θ Lav = 0, 142) fo at simulee en situation, hvo makedet ikke to på opetholdelse af det nuvæende niveau. Resultatet femgå af bilag D.2, men e ikke kvalitativt foskellige fa nævæende. Såfemt modellen kan foklae vikeligheden fuldstændigt altså at paksis e diekte deduktivt af teoi synes CoCo-obligationene umiddelbat at væe en dy finansieingskilde fo Cedit Suisse. En omstændighed, som måske kan foklae pæmiespændet, e, at CoCo-obligatione e foholdsvis nye podukte. Defo må investoene tænkes at have ufuldkommen viden om CoCo-obligationenes eelle effekt. På den baggund kan det give mening at modellee konveteingsfoholdet som en slags peceived convesion value altså ikke vædien som CoCo-obligationsholdeen ent faktisk modtage ved konveteing, men næmee den opfattede vædi i en kontekst pæget af økonomisk kise, hvilket alt andet lige gø bankens aktie minde attaktive. Hvis man på den måde kan agumentee fo, at det nye konveteingfohold e p < 1, falde CoCo-obligationsvædien. Det e højst tænkeligt, at makedet endnu e nevøst og ego vil den føste CoCo-obligationsgæld væe fobundet med eksta omkostninge en pæmie).

79 4.2. UDSTEDELSER BETRAGTET INDENFOR ALBUL-JAFFEE-TCHISTYI Udstedelse betagtet indenfo Albul-Jaffee-Tchistyi Cedit Suisses udstedelse Cedit Suisses udstedelse af CoCo-obligatione e som bekendt sket ovenpå den eksisteende gæld. I Albul-Jaffee-Tchistyi ænde det ikke på kvaliteten af de eksisteende obligatione. Tabet ved konkus e stadig det samme. Det betyde også, at idet Cedit Suisse anses fo at væe en SV-bank, vil denne udstedelse blot give anledning til et støe skattefadag, men omkostningen fo skatteydene i fald af fallit e uændet. Det må defo vudees, at det via FINMAs ekspetise e blevet konkludeet, at denne eksta omkostning tjene til geneelt sundee banksekto, og altså en mee stabil økonomi. He skal de huskes på, at Schweiz blev eksta hådt amt, da finanskisen ullede, og den schweiziske økonomis stabilitet e ekstem afhængig af banksektoens stabilitet, da bankene pimæt udgjot af UBS og Cedit Suisse udgø så stoe dele af økonomien. Se tabel E.1 i bilag E.2. Demed kan udstedelsen væe svæ at tolke i et kapitalstuktusoptimeingssetup, fo som [Albul et. al 2010)] også lægge vægt på, e det netop egulatoes opgave at sætte ind med foodninge, de sike, at banken ikke undekapitalisee sig i fohold til, hvad de e samfundsmæssigt optimalt. Det kan så diskutees, om FINMA ha skudt ove målet. I næste afsnit behandles Lloyds udstedelse kot. Det ske også i Albul-Jaffee-Tchistyi. Lloyds udskiftning Lloyds udstedelse e sket som en ombytning af eksisteende obligatione til nye CoCo-obligatione. Lloyds e en bitisk bank og demed blandt andet undelagt EU-eguleing. Ved udstedelsen blev i alt udskiftet EUR 7,5 milliade svaende til GBP 6,43 milliade), hvilket udgø 1,58% af dees samlede RVA. Af Albul-Jaffee-Tchistyi afsnit 3.6 e det klat, at ejene vil modsætte sig en udstedelse, de ske ved en udskiftning af nogle af de eksisteende obligatione. Også i det fald, at Lloyds skulle betagtes som en SV-bank de figuee på som G-SIFI bank udstede nyttemaksimeende ejee aldig CoCoobligatione, eftesom det føe til en vædioveføsel fa ejene til obligationsholdene. Man kunne væe fistet til at konkludee, at modellen foeslået i [Albul et. al 2010)] e fejlagtig. Det e dog ikke sagen. Fo ejene ha højst sandsynlig maksimeet dees nytte de e blot faktoe, som Albul-Jaffee-Tchistyi ikke diekte medtage. Lloyds fundament fo udstedelsen af CoCo-obligatione va udove sådanne instumentes pimæe effekt at give luft ved tænge tide at undgå obligatoisk deltagelse i det bitiske sikkehedspogam Govenment Scheme Asset Potection GAPS). Dette ville fode en obligationsudstedelse til He Majesty s HM) Teasuy på EUR 15,6 milliade, de konvetee ved HM Teasuys ønske elle konvetee i fald Lloyds aktie steg til et givent niveau [Bead 2009)]. Hetil komme, at Lloyds deltagelse i GAPS-pogammet stille dem i en minde gunstig position netop fø EU-kommissionen afgø, hvodan omstuktueinge af stoe finansielle institutione, de e stækt afhængige af statsstøtte, skal egulees. Med denne infomation kan esultatet imeligvis siges at stemme oveens med fomodningene femsat i [Albul et. al 2010)]. He e det nemlig klat, at bankene må væe tvunget til at udstede CoCoobligatione ved patiel udskiftning, hvis det nogensinde skal ske. I Albul-Jaffee-Tchistyi kom denne

80 72 KAPITEL 4. CASE STUDY: CREDIT SUISSE tvungne handling i kaft af et givent eglement, men man kunne snildt ovesætte dette til ekstene faktoe elle ande fohold, de påvike egenkapitalens suvæenitet elle vædi. Og i dette tilfælde va det Lloyds ovebevisning, at ejene va bedst tjent med at betale en eksta pæmie på CoCo-obligatione i sammmenligning med at deltage i GAPS-pogammet.

81 Kapitel 5 Diskussion De to pæsenteede modelle beskæftige sig med en ække temae i elation til CoCo-obligatione. Fo det føste betagtes påvikningen af kapitalstuktuen og makedsmainpulationsincitamentet i Albul- Jaffee-Tchistyi. Fo det andet beskives og simulees kuponstuktuen i Pennacchi. Og fo det tedje beøe begge atikle poblemstillinge vedøende dels tiggeen dels asset substitution. Det e inteessant at se på i hvilket omfang, de heske konsensus modellene imellem. Umiddelbat bø dees individuelle esultate stemme oveens, i det omfang de hvile på de samme antagelse. Begge modelle ha et klassisk spilteoetisk udgangspunkt med nyttemaksimeende agente. Defo skal de specifikke antagelse vedøende CoCo-obligationsmodelleingen sammenlignes. I Albul-Jaffee-Tchistyi e tiggeen udtykt ved en pæspecificeet aktivvædi, og i Pennacchi va tiggeen givet ved et dynamisk niveau, de va udtykt ved foholdet mellem vædien af aktive. Albul-Jaffee-Tchistyi fandt samme poblem med makedsmanipulationsinefficensen som Sundaesan- Wang beskevet i bilag C.10. Men i Albul-Jaffee-Tchistyi skal tiggeen føst omdannes, så den kan aflæses af egenkapitalsvædien. Konklusionen e dog den samme. Det e vædioveføslen fa agent til agent, de afgø, hvovidt de e manipulationsincitament elle ej. Gennemgangen viste dog, at de eksistee en konveteingspaamete, de fohinde vædioveføsel. Demed abejde modellene med nogenlunde samme foudsætninge. Tiggeen i Pennacchi e en funktion af aktiv- og indlånsvædi, hvo Albul-Jaffee-Tchistyi alene anvende aktivvædien. Ved konveteing konvetees til aktie bestemt af en konveteingskoefficient, og tiggeen e afgjot af aktivvædien. Resultatet vedøende asset substitutionsincitamentet divegee dog. I Albul-Jaffee-Tchistyi se vi, at incitamentet både e lavee og højee ved anvendelse af CoCo-obligatione, mens de ved Pennacchi altid e et lavee asset substitutionsincitament ved bug af CoCo-obligatione. I Pennacchi antages udelukkende bug af enten obligatione elle CoCo-obligatione, mens banken i Albul-Jaffee-Tchistyi optimee sin kapitalstuktu ved bug af begge femmedkapitalsposte. Af de to esultate må det fomodes, at Albul-Jaffee-Tchistyi e mest ealistisk, da de pågældende banke ent faktisk ha udstedt både CoCo-obligatione og obligatione. Diskussionen om asset substitutionsincitamentets eksistens og omfang e imidletid ikke den væsentligste det e deimod kvaliteten af myndighedenes ovevågning og kontol. Da en banks kapital blive målt i fohold til RVA, vil banken unde foudsætning af effektiv kontol blive påkævet at holde mee kapital gundet mee isikable positione. Og denne betagtning åbne op fo den eelle diskussion 73

82 74 KAPITEL 5. DISKUSSION nemlig hvo gennemskueligt makedet e. Det kan diskutees, om en anden definition af konveteingspaameteen som foeslået i case studiet) vil give et mee etvisende billede, så længe CoCo-obligationsmakedet endnu e nyt og pæget af illikviditet. Umiddelbat e en oplagt udvidelse af Pennacchi at inkludee valutakusudvikling samt gennemsnitlig aktiekusvædi, hvilket gø koekt implementeing af Cedit Suisses tigge mulig i case studiet blev anvendt en appoksimation). Dog kan det tænkes, at netop denne udvidelse ikke give mest i fohold til modelleing af CoCo-obligatione. I skivende stund e CoCo-obligationsmakedet pæget af nevøsitet og usikkehed, hvofo en omdefineing af konveteingspaameteen bø afspejle dette. Som foeslået i case studiet kunne man anvende en konveteingspaamete kaldet peceived value of convesion. Endelig vudees det, at en indabejdelse af call-ability funktion, som eksistee fo nogle CoCoobligatione ikke binge meget nyt til billedet. Det sike natuligvis udstedeen fo eksempel Cedit Suisse) mod unødig dy gæld, hvis lovgivning pludselig fode kontaktsspecifikke ændinge fo at kapitalen e beetiget til at tælle med i en givent kapitalfohold. He kan udstedeen indløse CoCoobligationene og udstede nye med egenskabe, de tilfedsstille myndighedenes kav. I næste afsnit pespektivees tidligee pæsenteede ekspetsynspunkte i fohold til de gennemgåede modelle. Foventninge til CoCo-obligatione i modelpespektiveing UBS begundede dees tilbageholdenhed ovefo at udstede CoCo-obligatione med, at det ikke va i aktionæenes inteesse. Betagtes UBS som væende i en situation beskevet ved Albul-Jaffee-Tchistyi i afsnit 3.5 unde Eksisteende og inoptimalt geaet kapitalstuktu, e dette ikke koekt sluttet. I afsnittet blev det netop beskevet, at udbyttet og skattefodelen dominee tabet ved udstedelse af CoCoobligatione. Det e et faktum, at UBS figuee på listen ove 29 SV-banke G-SIFI) [FSB 2011)]. Dette ænde ikke på konlusionen vedøende effekten af udstedelse. Det va fotsat en fodel fo SV-bank at udstede CoCo-obligatione ovenpå den eksisteende obligationsgæld. Dog give de gennemgåede modelle ikke et komplet gundlag fo at vudee netop denne situation. Eftesom de schweiziske banke UBS og Cedit Suisse e blevet pålagt at hæve dees elative kapitalniveaue, e en umiddelba løsning at udstede egenkapital elle afvikle femmedkapital. Samfundet e ikke inteesseet i det sidste, og en bank i det omfang det e muligt modsætte sig udstedelse af egenkapital jævnfø pecking ode theoy [Myes et al. 1984)]. Demed ha de to banke fået muligheden fo at benytte CoCo-obligatione, og det lade til at væe et spøgsmål om tid, fø UBS også ha udstedt sådanne. Vælge bankene i stedet at møde kapitalkavene ved egenkapitalsfoøgelse, vil det alt andet lige påvike RoE negativt hvilket aldig kan væe i aktionæenes inteesse. UBS holdning synes at væe pæget af konsevatisme. Makedet fo CoCo-obligatione e nyt, og sikkehedene blive mestendels udstedt ved pivate offeings det tænkes, at UBS måske ikke ha fundet en modpat til at ovetage den mængde, de vil udstede. Cedit Suisse e også klassificeet som G-SIFI. Dees udstedelse e sket ovenpå obligationsgælden, og som beskevet i Albul-Jaffee-Tchistyi bø dette gavne ejene. Dog skal det tilføjes, at denne udvidelse af kapitalstuktuen ikke sænke fallitomkostningen. Det påbudte øgede kapitalfohold øge således de sociale omkostninge, nå det tilfedsstilles med CoCo-obligatione. Situationen kan vike pekæ hvofo skulle den schweiziske stat med hjælp fa FINMA ivæksætte et kapitalmæssigt opustningspogam, de øge den samme stats sociale omkostninge? Foklaingen kan ligge i, at de to bankes kombineede

83 75 aktive udgø en sto del af landets økonomi. I 2007 svaede aktivene til ni gange Schweiz BNP i slutningen af 2008 va det faldet til otte [SNB 2009)]. Schweiz økonomi e således umådelig såba ovefo kise i de to stoe banke, og en fallit i enten Cedit Suisse elle UBS vil udløse sto isiko fo at tække hele økonomien ned. Defo e poblemstillingen igen øget stabilitet konta lavee vækst. FINMA og Schweiz ha tilsyneladende oppioiteet finansiel stabilitet og det e ikke muligt at vudee, om de ha skudt ove målet. Men idéen e, at CoCo-obligationene fungee som et signalhon, de øge myndighedenes bevågenhed om nødvendigt. Andy Haldanes begejsting fo CoCo-obligatione og idée til dees anvendelsespotentiale vike i en modelpespektiveing koekt unde visse foudsætninge. Bonusodninge med CoCo-obligatione bø ifølge Haldane disciplinee bankens medabejdee. Hans æsonnement e angiveligt, at nå medabejdene e CoCo-obligiationsejee, vil de nu i egen inteesse opeee mee sikket. Det foudsætte dog, at CoCo-obligationene ikke give anledning til asset substitution elle makedsmanipulation. I afsnit 3.8 klagjodes det, at e konveteingspaameteen tilstækkelig lav, λ λ, vil CoCo-obligationsholdene og he medabejdene) ikke have incitament til at manipulee kusen ned. Dette blev også beøt i Sundaesan-Wang. Geneelt kan man foestille sig, at CoCo-obligatione, de udstedes som bonus, ikke e undelagt pefekte makedsfohold, hvofo de kan udstedes med en lavee kuponente og konveteingsfohold. Nodeas Head of Compensation and Benefits Goup Human Resouces), Steen Chistensen, beskive i inteview se tanskiption i bilag E.1), at Nodea alleede anvende en fom fo syntetiske CoCoobligatione med konveteingspaameteen λ, p = 0 i dees bonuspogam. I denne sammenhæng e tiggeen bestemt af bankens esultat, idet et egnskabsundeskud betyde, at banken tække på bonuseseven. Og da konveteingspaameteen e minimal, e asset substitutionsincitamentet tilsvaende i Pennacchi sås det netop, at incitamentet va stigende fo faldende p, men eftesom topchefen nu e CoCo-obligationsholde falde vedkommendes incitament til at satse på isikable pojekte. Flanney og Peotti postuleede, at CoCo-obligatione vike pæventivt ovefo isiko. I Pennacchi blev det kotlagt, at dette ikke e entydigt sandt. Kan banken vælge pæcis, hvilken slags isiko den justee, og konvetees CoCo-obligatione med abat, vil asset substitutionsincitamentet væe højee ved bug af CoCo-obligatione, nå diffusionsvolatiliteten hæves. Dette esultat e konsistent med flee af setups i Albul-Jaffee-Tchistyi. Det e dog igtigt, at fo de spingelateede paamete e asset substitutionsincitamentet lavee ved anvendelse af CoCo-obligatione. Det samme gælde ved [Allen et al. 2011)]. Det e konstateet, at banke unde bestemte fohold fo udstedelsen og fo selve kontaktspecifikationen kan sænke asset substitutionsincitamentet; igen e det modsatte tilfælde også en mulighed. CoCo-obligatione kan i følge [Squam Lake Repot 2010)] væe med til at opbygge et finansielt system, de e bede ustet ovefo fallit blandt banke. Rappoten påpege pobleme med manipulationsincitamente, som foeslåes løst med en dobbelttigge. Som ved de ande eksemple, afhænge føste del af løsningen fuldstændig af implementeingsfomen. Ske CoCo-obligationsudstedelsen ikke unde bestemte fohold, e det vist i modellene, at det skal væe påkævet. I modsat fald ha bankene intet incitament. [Squam Lake Repot 2010)] og [ICB 2011)] va uenige om nødvendigheden af hamoniseede kav. ICB give udtyk fo, at systemet ha gavn af en sikee bank uanset hvad. Mens dette måske e koekt, fostækes samtidig vigtigheden af egulatoenes funktion, fo stille de uimelige kapitalkav, kan bankene ikke konkuee med udenlandske banke, de e undelagt lavee kapitalkav. Husk, at vi tidligee beskev, at MM ikke holde 100%. Og det e muligvis defo, at man i

84 76 KAPITEL 5. DISKUSSION [Squam Lake Repot 2010)] kan læse, at CoCo-obligatione e billigee fo skattebogene som vist i Albul-Jaffee-Tchistyi e dette sandt unde visse foudsætninge, og nå MM ikke holde, e det ligeledes sandt, hvis altenativet e egenkapitalsudstedelse. Pofesso Goodhat udtykke i [Goodhat 2010)] en velbegundet bekyming fo tiggeens anvendelighed, da den e en uobseveba støelse. Begge modelle foklae tiggevalget og benytte en aktivsafhængig tigge, altså en uobseveba støelse. Contangopoblemet påpeges også, men kan ikke undesøges i nævæende modelle. Det e et studie fo sig at udvikle en model, de beskive postkonveteingseaktione i makedet. Men spøgsmålet lede til et andet og måske endda vigtigee spøgsmål: Hvem e købeen? Og he mene han, at makedet fo CoCo-obligatione e ikke-eksisteende, hvofo sikkehedene e illikvide. Set i lyset af den 11 gange stoe oveeftespøgsel, de va på Cedit Suisses udstedelse, fistes man til at væe uenig. Det skal dog ikke afvises, at endnu mee måske fa UBS) CoCo-obligationsgæld ville væe udstedt, hvis makedet havde den ette støelse. Cedit Suisse, de e en sund bank og som klaede sig gennem finanskisen, kan tænkes at væe en ydest attaktiv udstede, hvofo eftespøgslen va ufoholdsmæssig høj. Iøvigt antydede case studiet også, at Cedit Suisse ha betalt en eksta pæmie. Denne kan sagtens tænkes at væe udtyk fo usikkeheden omking det nye podukt. Men det vudees, at hvis poduktet blive et fast element i mange økonomiske opustningsplane, komme makedet fo CoCo-obligatione af den vej. Spøgsmålet om, hvem købeen e, vise sig at væe næsten lige så elevant, som hvem udstedeen e. Fo hvad gø man, hvis en SV-bank købe CoCo-obligatione? Da kan det fygtes, at systemiske kise blive mee udtalt. Det e defo spændende at se, om de også komme egle fo, hvem de må holde CoCo-obligatione i bekæftende fald vil dette indsnæve makedet ydeligee. Og hvis det e sandt, som beskives i [Goodhat 2011)], at CoCo-obligatione måske kan håndtee en enkelt fallit, men ikke edde det finansielle system som helhed, vil håndteing af en enkelt fallit måske blive ændet til udløsning af mutiple falitte. Af de foskellige kommissiones appote femgå det, at CoCo-obligatione ikke alene e nok til at sike finansiel stabilitet. De kan således indgå i en støe og bedee løsning, de omfatte hele sektoen og altså ikke bae den enkelte bank. Hentydningen i [Goodhat 2011)] om, at "watepoofing individual compatments did not safe the Titanic fom sinking eithe" ha egulatoene taget til sig. G-20 ha således listet 29 G-SIFIe SV-banke) og demed ha de i oveføt betydning fostæket og ovevåge nu tæt de yde lag af skibet.

85 Kapitel 6 Konklusion Pennacchi dannede i en stuktuel keditisikomodel amme fo vædifastsættelsen af CoCo-obligatione samt egenkapital. Pennacchi næmede sig ealistiske fohold ved at lade pludselige sping i aktivvædien foekomme, hvilket isæ e elevant i en kontekst med CoCo-obligatione og økonomisk kise, hvo diskete fald e mee eglen end undtagelsen. Motivationen fo at se på CoCo-obligatione va netop, at de e foeslået som instumente, de kan afhjælpe økonomiske pobleme og beskytte skattebogene unde en kise defo e foståelsen af spingisikoens tilstedevæelse vital fo en vikelighedsdannende fomodning. Og det viste sig også, at stoe pludselige tab i en banks aktivvædi ha en decideet kvalitativ foskellig effekt på det keditspænd, CoCo-obligationene give anledning til. Uden muligheden elle ettee isikoen fo sping fandt man, at standad CoCo-obligatione, de konvetee til pålydende, e isikofie og de facto foenelige med et keditspænd på elle unde nul gundet muligheden fo fokotet løbetid. Det sås, at keditspændet fo nyligt udstedte CoCo-obligatione va højee, des lavee K-t-I foholdet va ved udstedelsen. Spændet blev støe af ugunstige fohold fo CoCo-obligationsholdeen ved konveteingen. Altså, p < 1. En sådan konveteingspaamete e i alle tilfælde lig en eksta kompensation af CoCo-obligationsinvesto ved højee keditspænd), da konveteingen ske med tab fo hans pat. Ved at indføe dobbelttigge va det hensigten at skabe en hybid mellem en nomal obligation og en CoCo-obligation, og den esulteende kuponstuktu vil da også falde mellem obligatione og CoCoobligatione med, elles, ækvivalente paamete. Det blev også klat, at en bank, som udstede CoCo-obligatione, stå ovefo et incitament til at begå moal hazad ved at øge isici i fobindelse med spingpocessen fo dens aktive. Men sagen va den, at ejene også ha et incitament, nå de blot blev udstedt obligatione. Vigtigee e det, at vædioveføslen fa femmekapitalejee til egenkapitalsejee e lavee ved bug af CoCo-obligatione. Således kan det sluttes, at vælge bankene CoCo-obligatione femfo obligatione, falde dees asset substitutionsincitament. CoCo-obligationene blive isæ effektive, nå tiggeen sættes højt, hvo incitamentet e aftagende. Det skyldes som nævnt, at med en højee egenkapitalstigge e et sping nedad, de lede til konveteing med tab, minde sandsynligt. Alt i alt gav Pennacchi udtyk fo, at CoCo-obligatione e en ealistisk og billig måde at afbøde 77

86 78 KAPITEL 6. KONKLUSION finansiel uo på. Dette e isæ sandt, nå tiggeen e sat til et elativt højt niveau af den opindelige egenkapital. Og i fohold til ande femmedkapitalsposte, e isikoviligheden lavee ved benyttelse af CoCo-obligatione. I et Pennacchi-pespektiv synes det således ydest elevant at oveveje anvendelsen af CoCo-obligatione som del af en efom-pakke, de skal stabilisee det finansielle system. I Albul-Jaffee-Tchistyi blev CoCo-obligationene pespektiveet i kapitalstuktueingsamme. Modellen kan ikke som Pennacchi simulee pludselige sping i aktivvædien, men esultatene e vigtige, da de beskive alle fome fo incitamente i givne situatione. Via Albul-Jaffee-Tchistyi blev det klat, at hvis myndighedene og egulatoene ønske, at CoCoobligatione konvetee fø fallit Betingelse 1), hvilket e CoCo-obligationens unikke egenskab, da kan det væe, at de skal lovgives om fastsættelsen af kuponbetalingen på obligations- og CoCo-obligationsgælden, henholdsvis c b og c c, samt konveteingspaameteen, λ, de afgø, hvo meget CoCoobligationene få ved konveteing. Det blev ligeledes klat, at nå myndighedene lade banke udstede CoCo-obligatione ovenpå den optimale mængde obligatione, skabe det eksta sociale omkostninge, uden at kvaliteten af bankenes gæld fobedes. Men hvis de i stedet lade ugeaede banke estatte en del af dees obligatione med CoCo-obligatione i en ny, geaet kapitalstuktue, give det fodele uden at skabe eksta sociale omkostninge. Den samlede vædi af banken stige, og fallitomkostningen falde. Vædien af gælden e gundet estiktion) den samme, hvofo de ikke skabes eksta sociale omkostninge ved skattefadag. Og det kan sluttes, at myndighedenes udfoding e at sætte den ette estiktion, de netop gø, at bankene ha incitament til at udstede CoCo-obligatione. Som det også blev diskuteet i case studiet, fandt man i Albul-Jaffee-Tchistyi, at SV-banke ikke udstede CoCo-obligatione ved estiktion hvis de gø det, miste de noget af dees skattesubsidie fa staten. Så blev det vist, at de sikes én ligevægtskus, hvilket ske nå λ = 1 θ og 1 θ < λ he ha ingen agente incitament til manipulation. Og endelig blev de med hensyn til asset substitutionsincitamentet vist, at CoCo-obligatione som del af et aktie-swap, hvo obligationsmængden holdes uændet, kan foøge effekten af asset substitutionsineffektivitet det vil sige, de vil foeligge et asset substitutionsincitament fo ejene. Men det blev også vist, at udstedelse af CoCo-obligatione ved udskifting af obligatione omvendt kan lede til en eduktion af asset substitutionsincitamentet. Hvovidt anvendelsen af CoCo-obligatione opfylde fomålet om øget stabilitet, e et oveodnet makoøkonomisk spøgsmål. Det e umuligt at foudsige pæcis, hvad de koekte aktione fa myndighedenes side e. Nå alt komme til alt, handle det, om at de e tilto til det finansielle system. Makoøkonomen Antonio Fatas fa INSEAD skev i et blogindlæg om EU s fosøg på at injektsee tillid til den spanske og italienske økonomi: "But how do you build a capital buffe fo banks that convinces makets? By being pessimistic and conside scenaios whee things eally go wong."[fatas 2010)]. Nogle mene, at kapitalkavene e fo stenge. Diektøen fo IIF, Philip Suttle, udtykke, at "If you bash banks and it s vey politicly succesful to do so I think you weaken the economy significantly at a time [...] when things ae aleady fagile. That sends you into, potentially, a vey vicious cicle."[bloombegtv 2011)]. Dog lade stategien beskevet af Fatas til at væe den skjulte agenda fa myndighedenes side. Og geneelt kan skæpede kapitalkav kombineet med bug af hybidkapital som CoCo-obligatione måske

87 79 væe det, de skal til fo at få sty på økonomien og genskabe tilliden. Favæ af tillid e associeet med langt højee omkostninge end et eksta skattesubsidie elle en fo) høj pæmie på CoCo-obligatione. Ikke uventet heske de således uenighed, om hvo hådt man skal sætte ind. Og det eneste man med sikkehed kan konkludee e, at kun tiden vil vise, hvad de va igtigt.

88

89 Litteatu [Achaya et al. 2009)] Vial Achaya, Thomas Cooley, Matthew Richadson, and Ingo Walte. Real Time Solutions fo Financial Refom, An NYU Sten Woking Goup on Financial Refom.. Abejdspapi. NYU Sten, [Admati 2010)] Anat Admati og Paul Pfleidee. Inceased-Liability Equity: A Poposal to Impove Capital Regulation of Lage Financial Institutions. Abejdspapi. Standfod Univesity, [Adian and Shin 2010)] T. Adian og H.S. Shin. Liquidity and Leveage. Jounal of Financial Intemediation 20, [Albul et. al 2010)] Bois Albul, Dwight M. Jaffee og Alexei Tchistyi. Contingent Convetible Bonds and Capital Stuctue Decisions. Haas School of Business, Univesity of Califonia at Bekeley, 25. apil [Allen et al. 2011)] Fanklin Allen, Thosten Beck, Elena Caletti, Philip Lane, Dik Schoenmake og Wolf Wagne. Coss-bode banking in Euope: Implications fo financial stability and macoeconomic policies. VoxEU.og, 20. juni [Alloway 2009a)] Tacy Alloway. Will ate CoCo bonds fo food. Atikel. ft.com/alphaville, 9. novembe [Alloway 2009b)] Tacy Alloway. Cuckoo fo CoCos. Atikel. ft.com/alphaville, 11. novembe [Alloway 2009c)] Tacy Alloway. The CoCo indexing conundum. Atikel. ft.com/alphaville, 12. novembe [Alloway 2009d)] Tacy Alloway. A CoCo Cashbox. Atikel. ft.com/alphaville, 12. novembe [Alloway 2009e)] Tacy Alloway. CoComplications. Atikel. ft.com/alphaville, 18. novembe [Alloway 2010a)] Tacy Alloway. I should not have CoCo-ed?. Atikel. ft.com/alphaville, 10. novembe [Alloway 2010b)] Tacy Alloway. Evey 1% incease in bank capital = 0.19% lost in GDP, BIS says. Atikel. ft.com/alphaville, 18. august [Alloway 2010c)] Tacy Alloway. Flipping the capital stuctue eutcuts latipac eht gnippilf. Atikel. ft.com/alphaville, 20. august

90 82 LITTERATUR [Alloway 2010d)] Tacy Alloway. The IBC s six degees of banking) sepaation. Atikel. ft.com/alphaville, 24. septembe [Alloway 2010e)] Tacy Alloway. Flipping the capital stuctue eutcuts latipac eht gnippilf. Atikel. ft.com/alphaville, 20. august [Alloway 2010-f)] Tacy Alloway. That s a big bowl of Swiss bank) CoCos. Atikel. ft.com/alphaville, 4. oktobe [Alloway 2010g)] Tacy Alloway. CoCos can cost you bonus. Atikel. ft.com/alphaville, 8. oktobe [Alloway 2010h)] Tacy Alloway. BaCap s CoCo comeback. Atikel. ft.com/alphaville, 15. oktobe [Alloway 2010i)] Tacy Alloway. Euopean bank bail-ins will cost +87 basis points. Atikel. ft.com/alphaville, 25. oktobe [Alloway 2010j)] Tacy Alloway. CoCos can cost you bonus. Atikel. ft.com/alphaville, 8. oktobe [Alloway 2010k)] Tacy Alloway. CoCos can cost you bonus. Atikel. ft.com/alphaville, 8. oktobe [Alloway 2011a)] Tacy Alloway. Cedit Suisse s $6.2bn Swiss finish. Atikel. ft.com/alphaville, 14. febua [Alloway 2011b)] Tacy Alloway. The CoCo cap a mee EUR 150bn?. Atikel. ft.com/alphaville, 20. juli [Bat 2011)] Kathaina Bat. UBS s Stuggle fo a Lighte Regulatoy Touch. The Wall Steet Jounal, 26. maj [Bead 2009)] Robet Bead. Lloyds s CoCo Bond Exchange Offe is Massively Ovesubscibed. Atikel. The Conglomeate, 1. decembe [Beg et al. 2010)] Jespe Beg, Las Jul Oveby og Jes Winthe Hansen. The unintended consequences of the peace A view fom between the tenches on upcoming financial egulation. Pæsentationspapie. Nykedit, 18. decembe [BIS 2009)] David Bishop, Ethan Zuofei Liu, Patick Muay og Téa SolomoniaContingent Convetible Bonds: Comments on the Decembe 2009 Consultative Document Stengthening the Resilience of the Banking Secto. bis.og, decembe [BIS 2010)] Goup of Cental Bank Govenos and Heads of Supevision einfoces Basel Committee efom package. bis.og, 11. janua [BloombegTV 2011)] Owen Thomas inteviewe Philip Suttle diektø fo IIF). Banking Rules, Regulation, ICB Repot, IIF Repot. bloombeg.com/video/ , 12. septembe 2011.

91 LITTERATUR 83 [Black et al. 1976)] Fische Black og John C. Cox,. Valuing Copoate Secuities: Some Effects of Bond Indentue Povisions. The Jounal of Finance 31, , [Bond et al. 2010)] Philip Bond, Itay Goldstein og Edwad Pescott. Maket-Based Coective Actions. Review of Financial Studies 23, , [Bossone 2010)] Biagio Bossone. Banks and capital makets: A two-way nexus. VoxEU.og, 18. Decembe [Boyle 1977)] P. Boyle. Options: A monte calo appoach. Jounal of Financial Economics 4, [Bekke et al. 1991)] K. A. Bekke og B. Øksendal. The high contact pinciple as a sufficiency condition fo optimal stopping i Stochastic Models and Option Values: Applications to Resouces, Envionment and Investment Poblems af D. Lund og B. Øksendal. Noth-Holland, [Bogge et al. 2011)] Tasnem Bogge og Adam Ewing. Danish Cental Bank Opens Doo to CoCos Bloombeg, 21. juni [Bunnemeie et al. 2009)] Makus Bünnemeie Pinceton Univesity and CEPR), Andew Cocket JPMogan Chase), Chales Goodhat London School of Economics), Avinash D. Pesaud bestyelsesfomand fo Intelligence Capital Limited) og Hyun Shin Pinceton Univesity and CEPR). The Fundamental Pinciples of Financial Regulation. Cente fo Economic Policy Reseach CEPR), [Bunsden et al. 2011)] Jim Bunsden og Adam Ewing. Basel Committee May Let Banks Use CoCos in Capital Suchage Bloombeg, 4. maj [Columba 2009-I)] Fancesco Columba, Wanda Conacchia og Camelo Salleo. Financial secto developments and po-cyclicality pat I. VoxEU.og, 30. juni [Columba 2009-II)] Fancesco Columba, Wanda Conacchia og Camelo Salleo. A few poposals to mitigate financial secto po-cyclicality pat II. VoxEU.og, 1. juli [Cont et al. 2000)] Rama Cont og Pete Tankov. Financial Modelling With Jump Pocesses. Chapman & Hall/CRC Financial Mathematics Seies. ISBN: , [Cotteill 2009)] Joseph Cotteill. Basel gives good CoCo. Atikel. ft.com/alphaville, 19. august [Cox et al. 1980)] J. Cox, J. Ingesoll og S. A. Ross. An Analysis of Vaiable Rate Loan Contacts. The Jounal of Finance 35, , [Cox et al. 1985)] J. Cox, J. Ingesoll og S. A. Ross. A theoy of the tem stuctue of inteest ates. Econometica 53, , [Cedit Suisse 2010)] Cedit Suisse. Multi-Level Solution Concept fo Systemic Risks in the Financial Secto "Too Big to Fail"). Public Policy. Cedit Suisse, 2010.

92 84 LITTERATUR [Cedit Suisse Annual Repot 2010)] Cedit Suisse. Annual Repot Åsopgøelse. Cedit Suisse, [Danthine 2010)] Jean-Piee Danthine. Money Makets and Monetay Policy in and afte the cisis. Pæsentationspapie. Swiss National Bank, 28. oktobe [Dodd-Fank 2010)] Dodd-Fank Wall Steet Refom and Consume Potection Act. Lov. One Hunded Eleventh Congess of the United States of Ameica, [Dohety et al. 1997)] N. Dohety og S. Haington. Managing Copoate Risk with Revese Convetible Debt,. Abejdspapi. Whaton, [Duffie 2001)] Daell Duffie. Dynamic Asset Picing Theoy. Thid edition. Pinceton Univesity Pess, [Duffie 2009)] Daell Duffie. Contactual Methods fo Out-of-Cout Restuctuing of Systemically Impotant Financial Institutions. Gaduate School of Business, Stanfod Univesity, [Duan 1999)] J. C. Duan og J. G. Simonato. Estimating and testing exponential-affine tem stuctue models by kalman flte. Papi. Review of Quantitative Finance and Accounting, [Dwye 2010)] Geald P. Dwye. The Financial System afte the Cisis: Policy Fallout. Notes Fom The Vault. Cente fo Financial Innovation and Stability, juli [FASB 2005)] FASB Emeging Issues Task Foce. Accounting fo the Convesion of an Instument That Becomes Convetible upon the Issue s Execise of a Call Option. EITF Issue No. 05-1, 1. septembe [Fatas 2010)] Antonio Fatas. Being pessimistic to build optimism. Atikel. fatasmihov.blogspot.com, 28. oktobe [Flanney 2002)] M. J. Flanney. No Pain, No Gain? Effecting Maket Discipline via Revese Convetible Debentues. Univesity of Floida, novembe [Flanney 2009a)] M. J. Flanney. Maket value tigge will wok fo contingent capital instuments. Univesity of Floida. Abejdspapi, [Flanney 2009b)] M. J. Flanney. Stabilizing lage financial institutions with contingent capital ceticates. Univesity of Floida. Abejdspapi, [Flanney 2010a)] M. J. Flanney. Keeping Capital Adequate. Pæsentationspapie. Univesity of Floida, 13. decembe [Flanney 2010b)] M. J. Flanney. What to Do about TBTF. Univesity of Floida, 12. maj [Flanney et al. 2011)] M. J. Flanney og Enico Peotti. CoCo design as a isk peventive tool. VOX, 9. febua 2011.

93 LITTERATUR 85 [Feixas et al. 1999)] Xavie Feixas og Jean-Chales Rochet. Micoeconomics of Banking. MIT Pess, [FSB 2011)] Financial Stability Boad. Policy Measues to Addess Systemically Impotant Financial Institutions. Notat. Financial Stability Boad, 4. novembe [Gabade 2001)] Kenneth D. Gabade. Picing Copoate Secuities as Contingent Claims. The MIT Pess. Cambidge, Massachusetts, [Goodhat 2010)] Chales A.E. Goodhat. Ae CoCos fom Cloud Cuckoo Land?. VoxEU.og. London School Of Economics, 10. juni [Goodhat 2011)] Chales A.E. Goodhat og Avinash Pesaud. Not fa enough: Recommendations of the UK s Independent Commission on Banking. VoxEU.og, 13. maj [Haddon 2011)] Michael Haddon. AT A GLANCE: National Reactions To EU Bank Recapitalization Plan. Atikel. Dow Jones Newswies, 27. oktobe [Hat et al. 2010)] Olive Hat og Luigi Zingales. How to make a bank aise equity. Atikel. Financial Times, 7. febua [Hillion et al. 2001)] Piee Hillion og Theo Vemaelen. Death Spial Convetibles. Abejdspapi. INSE- AD, [ICB 2011)] ICB. Final Repot Recommendations. Independent Commission on Banking, septembe [IIF 2011)] Institute of Intenational Finance. The Cumulative Impact on the Global Economy of Changes in the Financial Regulatoy Famewok. IIF, [InvestoWods 2011)] InvestoWods. CoCo Bonds. investowods.com, [Jenkins et al. 2011)] Patick Jenkins, Booke Mastes og Alex Bake. EU banks could shink to hit capital ules. Atikel. ft.com, 12. oktobe [Kashyap et. al 2008)] Anil K. Kashyap, Raghuam Rajan og Jeemy Stein. Rethinking Capital Regulation. Fedeal Reseve Bank of Kansas City Symposium, [Kaminska 2009)] Izabella Kaminska. Guess the balance sheet. Atikel. ft.com/alphaville, 12. novembe [Lando 2004)] David Lando. Cedit Risk Modeling. Pinceton Univesity Pess, [Lawle 2006)] Gegoy F. Lawle. Intoduction to Stochastic Pocesses. Second edition. Chapman & Hall/CRC, [Leijonhufvud 2010)] Leijonhufvud, Axel. A Modest Poposal, VoxEU.og, 23. janua [Leland 1994)] H. E. Leland Copoate debt value, bond covenants, and optimal capital stuctue. Jounal of Finance 49: , 1994.

94 86 LITTERATUR [Lloyds 2009)] Lloyds Banking Goup. Exchange Offe and Publication of Exchange Offe Memoandum. Lloyds Banking Goup, 3. novembe [Lloyds i/t)] Lloyds Banking Goup. Pospectus fo Enhanced Capital Note. Pospekt-/salgsskabelon. [Lumme et al. 1993)] Scott L. Lumme og Mak W. Riepe. Convetible Bonds as an Asset Class: Atikel, [Mankiw 2002)] N. Gegoy Mankiw. Macoeconomics. Woth Publishes, [McDonald 2009)] R. L. McDonald. Contingent Capital with a Dual Pice Tigge. Nothwesten Univesity. Abejdspapi, [Meton 1973)] Robet C. Meton. Theoy of Rational Option Picing. Papi. Bell Jounal of Economics and Management Science 4, , [Meton 1974)] Robet C. Meton. On the Picing of Copoate Debt: The Risk Stuctue of Inteest Rates. Jounal of Finance 29, , [Miles et al. 2011)] David Miles, Jing Yang og Gilbeto Macheggiano. Optimal bank capital. Discussion Pape No. 31: evised and expanded vesion. Bank of England, apil [Modigliani et al. 1958)] Fanco Modigliani og Meton H. Mille. The Cost of Capital, Copoation Finance and the Theoy of Investment. Papi. The Ameican Economic Review, Vol. 48, No. 3., pp , juni [Myes et al. 1984)] Stewat Myes og Nicholas S. Majluf. Copoate Financing and Investment Decisions when Fims have Infomation that Investos Do Not Have. Atikel. Jounal of Financial Economics, Vol. 13, No. 2, pp , juni [Noedgaad 2010)] Ulik Nødgaad. The Futue of the Financial Regulation. Pæsentationspapie. Finanstilsynet, 13. decembe [Pazabasioglu et al. 2011)] Ceyla Pazabasioglu, Jianping Zhou, Vanessa Le Leslé og Michael Mooe. Contingent Capital: Economic Rationale and Design Featues. IMF Staff Discussion Note, 25. janua [Pennacchi 2010)] Geoge Pennacchi. A Stuctual Model of Contingent Bank Capital. Abejdspapi. Univesity of Illinois, College of Business, 23. apil [Pennacchi et al. 2011)] Geoge Pennacchi, Theo Vemaelen og Chistian C.P. Wolff. Contingent Capital: The Case fo COERCs. Univesity of Illinois, evideet mats [PEO Cambidge 2011)] PEO Cambidge. CoCo Bonds. peo.cambidge.og, [Pinedo et al. 2010)] Anna T. Pinedo og James R. Tanenbaum. A equiem fo hybids?. Atikel. Moison & Foeste LLP, 20. august [Rajan 2010)] Raghuam Rajan. Fixing the financial system. VoxEU.og, 9. juli 2010.

95 LITTERATUR 87 [Rajan 2009)] Raghuam Rajan. Moe capital will not stop the next cisis. Atikel. Financial Times, 1. oktobe [Reutes 2011)] Reutes. UBS CEO sees altenative to CoCo bonds-pape. Reutes, 13. febua, [Samuelson 1965)] Paul A. Samuelson. Rational Theoy of Waant Picing. Atikel. Massachusetts Institute of Technology. Industial Management Review, [Shin 2011)] Hyun Song Shin. Basel III: the only game in town. VoxEU.og, 25. mats [Shiayayev 1978)] A. N. Shiayayev. Optimal Stopping Rules. Spinge-Velag. New Yok, [SIF 2010)] State Secetaiat fo Intenational Financial Mattes SIF). Final epot of the Commission of Expets fo limiting the economic isks posed by lage companies. Rappot. SIF, 30. septembe [Slovik et al. 2011)] Patick Slovik og Bois Counède. Macoeconomic Impact of Basel III. Abejdsdokument n OECD Economics Depatment. OECD Publishing, [SNB 2009)] Die Schweizeische Nationalbank. Financial Stability Repot Rappot. Den schweiziske nationalbank, [Squam Lake Repot 2010)] Kenneth R. Fench Datmouth College), Raghuam G. Rajan Univesity of Chicago), Matin N. Baily Bookings Institution), David S. Schafstein Havad Univesity), John Y. Campbell Havad Univesity), Robet J. Shille Yale Univesity), John H. Cochane Univesity of Chicago), Hyun Song Shin Pinceton Univesity), Douglas W. Diamond Univesity of Chicago), Matthew J. Slaughte Datmouth College), Daell Duffie Stanfod Univesity), Jeemy C. Stein Havad Univesity), Anil K Kashyap Univesity of Chicago), René M. Stulz Ohio State Univesity) and Fedeic S. Mishkin Columbia Univesity). The Squam Lake Repot: Fixing The Financial System. Pinceton Univesity Pess, [Sten et al. 2004)] Gay H. Sten og Ron J. Feldman. Too Big To Fail: The Hazads of Bank Bailouts. Bookings Institution Pess. Washington, D.C., [Sundaesan 2010)] Suesh Sundaesan og Zhenyu Wang. Design of Contingent Capital with a Stock Pice Tigge fo Mandatoy Convesion. Fedeal Reseve Bank of New Yok Staff Repots, evideet juni [Teano 2011)] Jill Teano. Bank of England official backs coco secuities fo capital and bankes pay. guadian.co.uk, 23. mats [Vaughan 2011)] Liam Vaughan. UBS sticks to CoCos wok despite chief s dange waning. Financial News, 3. mats [Whittake 2010)] Thomas Whittake. Cedit Suisse CoCo ovesubsciption dispels concens ove investo demand. Risk.net, 4. mats [Zhou 2001)] Chunsheng Zhou. The Tem Stuctue Of Cedit Speads With Jump Risk. Jounal of Banking and Finance, 2001.

96 88 LITTERATUR [Zopounidis et al. 2008)] Constantin Zopounidis, Michael Doumpos og Panos M. Padalos. Handbook of Financial Engineeing, Volume 18. Spinge, 2008.

97 Bilag A Til kapitel 1 A.1 Keynes ske økonomiopfattelse Gode, sevices & løn V H Poduktionsfaktoe & fobug Udlån B Indlån Figu A.1: Te-sekto økonomi. De to pimæe stømme e udgjot af en støm af eale essouce og podukte og en støm bestående udelukkende af penge. Men buge ikke alt dees indtjente løn på gode og sevices fa fimaene. Det e selvsagt uealistisk at foestille sig, at alle husholdninge konsumee hve en kone de tjene. 89

98 90 BILAG A. TIL KAPITEL 1 Nogle penge blive også lagt til side. Dette e husholdningenes opspaing. Men denne handling skabe uligevægt i systemet. Nu e de nemlig en lekage. Nå husholdningene spae penge op sænkes faten, hvomed pengemængden stømme. Og siden husholdningene nu ikke længee buge alle dees midle på podukte, som fimaene poducee, sænke fimaene inden længe dees poduktion. Hvofo poducee ting folk ej købe? Dette e klassisk Keynes ske teoi. Modstykket til opspaing komme fa fimaene. De e nødt til at investee i poduktionen fo at kunne møde femtidige foventet eftespøgsel. Investeingen ske ved bug af de midle som husholdningene ha lagt til side, men hvodan få fimaene finge i disse midle? Det e he bankene komme ind i billedet. I bilag A.1 findes et gafisk eksempel på et te-sektos cikulationsskema, hvo stømningene mellem Husholdninge, Fimae og Banke kan betagtes. Folks opspaing ske ved at putte den andel af lønnen, de ikke konsumees omgående i banken. De laves et indlån. He kan fimaene låne penge til de investeinge, som e nødvendige fo at betale poduktionsfaktoe bugt til at opbygge lage, de skal kunne tilfedsstille femtidig fobug fa husholdningene. Banken lave et udlån til fimaene. Denne poces, hvo fimae få midle til investeinge kaldes en injektseing. Fimaene tage den isiko, de e fo at dees fomodning om femtidig eftespøgsel e ovevudeet. I en sådan situation kan fimaene ikke afsætte dees vae og demed helle ikke tilbagebetale dees lån. Det skal fo god odens skyld pointees, at cikulationsskemaet natuligvis ikke stoppe he. Et meget mee nuanceet og ealistisk billede indeholde også sektoene stat og udland. A.2 Pengemultiplikatoen Antag, at egulatoe fastlægge, at banke e lovmæssigt fopligtede til at holde en given pengeeseve. Denne skal som minimum udgøe 0 < θ 1 af dees samlede indlån. Antag ydemee, at hve af de føomtalte pesone stikke andelen 0 < σ 1 i lommen denne andel kaldes seddelbøkken. Hvis pengebasen, H, e udstedt til Peson 1, da e hændelsesfoløbet og det nominelle pengeudbud, M, givet ved. Peson 1 beholde andelen svaende til σ og sætte det esteende beløb 1 σ)h i banken. Banken e lovmæssigt fopligtede til at holde θ1 σ)h. Peson 2 gå ned i banken og låne 1 θ)1 σ)h Bemæk at det nominelle pengeudbud nu e de H som centalbanken statede med at udstede samt de 1 θ)1 σ)h som banken ha udlånt. Altså H + 1 θ)1 σ)h. De 1 θ)1 σ) 2 H, som e tilbage efte Peson 2 ha taget sin seddelbøk, finde fø elle siden ned i banken igen, og de holdes igen andelen θ heaf. Peson 3 komme ned i banken og låne 1 θ) 2 1 σ) 2 H

99 A.2. PENGEMULTIPLIKATOREN 91 Og det nominelle pengeudbud e nu steget til H + 1 θ)1 σ)h + 1 θ) 2 1 σ) 2 H Pocessen fotsætte, idet banken hve gang beholde den påkævede mængde eseve, og låne esten ud. Alt i alt blive pengemængden M = H + 1 θ)1 σ)h + 1 θ) 2 1 σ) 2 H +... A.1) 1 = H, 1 1 θ)1 σ) A.2) hvo bøken foan H kaldes pengemultiplikatoen. Denne e stengt støe end én, hvilket bevike, at det nominelle pengeudbud e støe end pengebasen, og det e pocessen med ind- og udlån skyld i.

100

101 Bilag B Til kapitel 2 B.1 Symbole i Pennacchi Tabel B.1: Symbolfoklaing. Indeholde symbole, de og foklaing heaf, de indgå i Pennacchi. Symbol b th I t Ī t c Foklaing A Vædi af aktive A indikee, at pengestøm til og fa bank ej e indeholdt λ t Risikojusteet spinghyppighed q t Poisson-tællepoces λ t d t Risikoneutale sandsyndlighed fo at q t øges med 1 Y Fakto de afgø, hvo stoe spingene e, Y n n N, samt dees etning k t Foventningen til det isikoneutale sping i vædien fo A D t Kvantiteten af kot-sigtede indlån til tidspunkt t t Risikofi ente h t Pæmie på isikofyldt ente x t Foholdet aktive-til-indlån, At D t ˆx Banks ønskede niveau fo x t B CoCo-obligations pålydende vædi s Fast keditspænd ove den kote ente x t Pæspecificeet konveteingstæskel V Vædi af CoCo-obligatione p Konveteingspaameteen E Vædi af egenkapital ē Foholdet egenkapital-til-indlån, Et D t B Foholdet pålydende vædi af CoCo-til-indlån, D t Vædi af specificeet indeks til tidspunkt t Vædi af pæspecificeet tæskel fo indekset tidspunkt t Kuponate fo isikofi obligation 93

102 94 BILAG B. TIL KAPITEL 2 B.2 Itôs lemma på en spingdiffusionspoces Geneel bug af Itôs lemma fa [Cont et al. 2000)]. Antag, X e en spingdiffusionspoces defineet som en sum af diftled, et bowsk stokastisk integal og en akkumuleet Poissonpoces. Altså, X t = X 0 + t 0 b s ds + t 0 N t σ s dw s + X i, i=1 B.1) hvo b t og σ t e kontinuete tilpassede pocesse med [ T ] E 0 σt 2 dt <. B.2) De gælde det fo alle C 1,2 -funktione det vil sige funktione med smooth føste og anden afledte at f : [0, T ] R = R, kan pocessen Y t = ft, X t ) skives som ft, X t ) f0, X 0 ) = Og på diffeentialnotation e dette t 0 [ f s s, X s) + f ] x s, X s)b s ds t t B.3) + 1 σ 2 2 f s 2 0 x 2 s, X f s)ds + 0 x s, X s)σ s dw s B.4) + [ fxti + X i ) fx Ti ) ]. B.5) i 1,T i t dy t = f t t, X f t)dt + b t x t, X t)dt + σ2 t 2 f 2 x 2 t, X t)dt + f x t, X t)σ t dw t + [fx t + X) fx t )]. B.6) B.7) B.3 Udledning af h t Føst definees H E Q t max D t Y qt A t D t 1 Y t x t, 0 B.8) =E Q t [max 1 Y t x t, 0)]. B.9)

103 B.3. UDLEDNING AF H T 95 Buge, at lny qt ) Nµ y, σ 2 y). = 1 x 0 1 Y x) exp [ lny ) µ y) 2 2σ 2 y ] Y σ y 2π) 1 dy. B.10) Udskifte y = lny ) µy σ y og huske, at ln0) =. Så e y Y =0 =, y Y = 1 x = ln 1 x) µ y σ y Y = exp [µ y + yσ y ] og dy = Y σ y ) 1 dy. Hepå definees = lnx)+µy σ y, d 1 lnx) + µ y σ y, B.11) hvoved H kan skives som d1 y 2 1 exp [µ y + yσ y ] x) e d1 2 dy = Nd 1 ) xe µy 2π Abejdes de videe med det sidste integal fås exp ] [yσ y y2 2π) 1 dy. B.12) 2 d1 hvo exp ] [yσ y y2 2 2 y 2π) 1 dy = e σ 2 d1 exp [ 1 2 µ σ y) 2] 2π 2 y dy = e σ 2 d2 exp [ σy 2 ] dy, B.13) 2π Samlet blive d 2 =d 1 + σ y B.14) = ln x + µ y σ y + σ y. B.15) H =N d 1 ) x exp =N d 1 ) exp [ [ µ y + σ2 y 2 ] ln x + µ y + σ2 y 2 N d 2 ) ] N d 2 ). B.16) B.17)

104 96 BILAG B. TIL KAPITEL 2 B.4 CoCo-obligatione med dobbelttigge Til CoCo-obligationsvaianten med dobbelttigge ha vi bug fo at pæcisee, hvodan dette finansielle aktie-indeks fungee i modellen. De fastsættes, at I t e vædien af indekset til tidspunkt t, og Īt e den pæspecificeede tigge fo indekset. En konveteing kan således føst blive aktuel idet både I t Īt og x t x t. Konveteingen e enten fuld elle delvis og følge i dette tilfælde, som gene skulle indikee en støe kise, 2.6). I situationen, hvo x t x t, men indeks-tiggeen ikke e amt, tænkes man ikke at væe i en decideet kisesituation, hvofo banken fotsat udbetale kupone. Nå x t 1+pb t antages det, at myndighedene lukke banken, og vædien af CoCo-obligationene følge da 2.13). Det finansielle aktie-indeks isikoneutale dynamik antages at tilfedsstille SDE en: di t I t = t dt + σ i dz i, B.18) hvo σ i e en konstant, og dz i e en bownsk bevægelse, de e koeleet med den bownske bevægelse fo den individuelle banks afkast, dz. Bankens aktive og passive e nu beskevet, og vi vende blikket mod miljøet omking antagelsene vedøende enten. B.5 R-kode til simulatione Pogammene bugt til figue i kapitel 2 femgå femgå nedenfo. He følge føst en kot skitseing af, hvodan et af pogammene vike. Alle kendte paametevædie indlæses. Dette omfatte fo eksempel løbetiden på CoCo-obligationen Tn <- 5, initialvædien fo entesimulationen 0 < og koelationen mellem afkastet på bankens aktive og enten ho < Hvis en paamete skal vaiee ove flee simulatione, specificees det ligeledes he, eksempelvis lambda <- c1,0,1) ved figu 2.2. Denæst bestemmes antallet e stie, npath, til ente- og aktivafkastsimuleinge. De sættes intevalle og inddelinge fo K-t-I, x0.nint, og kupon, c.nint. Hefa køe pogammet selv, og de skal blot justees på elevante indeksindikatoe, nå de foskellige figue udabejdes. Føst simulees to nomalfodelte stie med koelationen ho. Den ene anvendes til at simulee enten den anden afkastspocessen.

105 B.6. FIGUR Heefte simulees spingene. Ved hvet tidsstep simulees en binomialfodelt vaiabel, de afgø om de spinges elle ej og endelig en nomalfodelt vaiabel, de afgø, hvo stot spinget e. Heefte finde pogammet betalingsækkene og udegne nutidsvædien baseet på entesimulationen. Kupon findes ved egession som beskevet tidligee. B.6 Figu 2.1 ## PROGRAM TO PLOT FIGURE 1 ## ## RUN BEFOREHAND: # NONE # h, figue 1 - START h <- matix0,20,4) d_1 <- d_2 <- h.bp <- h <- matix0,20,4) sigma_y <- c2,3,2,2)/100 # Base case = sigma_y mu_y <- c-1,-1,-2,-1)/100 # Base case = mu_y lambda <- c1,1,1,2) # Base case = lambda = 1 x <- seqfom= , to= , length=20) foj in 1:4) foi in 1:20) d_1[i,j] <- logx[i])+mu_y[j])/sigma_y[j] d_2[i,j] <- d_1[i,j]+sigma_y[j] h[i,j] <- lambda[j]*pnom-d_1[i,j])-explogx)[i]+mu_y[j]+0.5*sigma_y[j]^2)* pnom-d_2[i,j])) h.bp[i,j] <- h[i,j]*100*100 # h in basis point = 100*% dev.newwidth=6, height=4.5) plotx-1,h.bp[,1],type="l", xlab=expessionx[t]-1), ylab="", ylim=c0,maxh.bp))) foj in 2:4) linesx-1,h.bp[,j], col=j) legend"topight", cexpessionsigma[y] * "=0.02, " * mu[y] * "=-0.01, " * lambda * "=1"), expessionsigma[y] * "=0.03"), expessionmu[y] * "=-0.02"), expessionlambda * "=2")), lty=c1,1,1,1), col=c1,2,3,4)) titleexpessionh[t] * " i basispoint)"))

106 98 BILAG B. TIL KAPITEL 2 # h, figue 1 - END B.7 Stamkode til figu 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6 samt figue fa case study Bemæk, at de asset substitutionsincitamentbeskivende figue e dannet ved to simulatione. En, hvo kupone e beegnet, og en med ændede paametevædie og genbugte kupone. ## PROGRAM TO CREATE TWO 2) SEQUENCES OF RANDOM NUMBERS WITH A PREDETERMINED LENGTH n) AND CORRELATION ho) VIA THE CHOLESKY DECOMPOSITION ## ## RUN BEFOREHAND: # NONE # Syntax: # a.b = a has been applied to b, i.e. t.a is ta) # o # b.a = b has supescipt o simila) a, i.e. b^a o a.tilt = ã # b_a = b has subscipt a # CAPITAL LETTERS usually SYMBOLISE A MATRIX ## # Clea all? Use: # mlist=ls)) # Moe than one plot in output? Use: # pamfow=c1,1)) # Moe than one plot in same fame? Use: # linesx,y) ## # Time T <- 5 # Yeas matuity n <- T*250 # 250 days pe yea dt <- T/n # Time-step # Numbe of paths inteest ates and assets) npath <- 1000

107 B.7. STAMKODE TIL FIGUR 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6 SAMT FIGURER FRA CASE STUDY 99 # "Same" andom numbes set.seed1987) # Check? Use: nom10) ## Cholesky START ## # Building coelation-matix, RHO ho < # Coelation between inteest ate and lnx)-etun vect <- c1,ho,ho,1) RHO <- matixvect,now=2) # Coelation-matix # Cholesky-decomposition of RHO chol.rho <- tcholrho)) # Two UNcoelated BMs dw_1 <- matix1,n,npath) # Making nxnpath-matix dw_2 <- matix1,n,npath) # Same foj in 1:npath) # use j when npath dw_1[,j] <- nomn)*sqtdt) dw_2[,j] <- nomn)*sqtdt) # New coelated pocess using Cholesky-decomposition) dw_2co <- matix1,n,npath) # Making nxnpath-matix foj in 1:npath) foi in 1:n) dw_2co[i,j] <- dw_1[i,j]*chol.rho[2,1]+dw_2[i,j]*chol.rho[2,2] # Check/Output co.vecto <- 1:npath foj in 1:npath) pintcodw_1[,j],dw_2co[,j])) co.vecto[j] <- codw_1[,j],dw_2co[,j]) matixc"numbe of sequences", "Random numbes pe sequence", "Numbe of paths", "Mean coelation", 2, n, npath, meanco.vecto)), now=4) ## Cholesky END ##

108 100 BILAG B. TIL KAPITEL 2 ## PROGRAM TO SIMULATE A CIR-INTEREST RATE WITH A PREDETERMINED CORRELATION TO ASSETS ## ## RUN BEFOREHAND: # PENN.CHOL ## Inteest ate START ## # The change in the default-fee inteest ate fom day t to day t+dt p. 17) # Paametes fo inteest ate modeling p. 18) 0 < # Inteest t=0 => same as [1] <- matix0,n+1,npath) # Making a "n+1)xnpath"-matix, and effectively assigning 0 as fist enty in evey column.ba < # Equilibium level fo the inteest ate sigma_ < # Standad deviation fo the inteest ate kappa < # Mean evesion paamete fo the inteest ate # Stochastic inteest ate, CIR-pocess foj in 1:npath) foi in 1:n) [i+1,j] <- [i,j] + kappa*.ba-[i,j])*dt+sigma_*sqt[i,j])*dw_2co[i,j] # Plotting plot1:n+1),[,1], type="l", xlab="t", ylab="", col=1) foj in 2:npath) lines1:n+1),[,j], col=j) #legend"bottomight","",lty=1,col="black") # Check/Output matixc"numbe of sequences", "Random numbes pe sequence", "Mean evesion level", "Mean fo CIR-pocess", 1, n,.ba, mean)), now=4) ## Inteest ate END ## ## PROGRAM TO SIMULATE A JUMPS IN ASSETS VALUE WITH A PREDETERMINED INTENSITY lambda) AND SIZE mu_y) ## ## RUN BEFOREHAND: # PENN.CHOLesky) # PENN.CIR.RATE ## Jumps START ##

109 B.7. STAMKODE TIL FIGUR 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6 SAMT FIGURER FRA CASE STUDY 101 # Jump-pocess p.17) # Paametes fo jump modeling p. 18) mu_y < # Mean fo jump size sigma_y < # Standad deviation fo jump size lambda <- 1 # Fequency 1 = once pe yea) phi <- matixbinomn%*%npath,1,dt*lambda),n,npath) # Jump o not? Binomial vaiable ln.y <- matixnomn%*%npath,mu_y,sigma_y),n,npath) # Actual) jump size # Plotting jumps plot1:n,ln.y[,1]*phi[,1], type="lines", xlab="t", ylab="jump size", col=1) foj in 2:npath) lines1:n,ln.y[,j]*phi[,j], col=j) # Check/Output matixc"lambda check","jump size check",sumphi)/t*npath), meanln.y)),2,2) ## Jumps END ## ## PROGRAM TO SIMULATE THE DAILY RISK NEUTRAL PROCESS FOR THE LOG OF THE BANK S ASSET-TO-DEPOSIT RATIO p. 17) ## ## RUN BEFOREHAND: # PENN.CHOLESKY # PENN.CIR.RATE # PENN.JUMPS ## lnx) START ## # Daily isk-neutal pocess fo the log of the bank s asset-to-deposit atio p. 17) # Paametes fo lnx) modeling p. 18) B <- 1 #The pincipal c < g <- 0.5 # Mean evesion paamete fo capital atio taget x.hat <- 1.1 # Capital atio taget b0 < # CCB-to-deposit atio, B/D b <- matixb0,n+1,npath) # Making b a n+1)xnpath matix and effectively assigning b0 as the fist enty of b of all enties actually) p <- 1 # Convesion paamete: pa=1, pemium>1, discount<1 e.ba < # equity-to-deposit atio x.ba <- 1+e.ba+p*b0 # Total capital-to-deposit atio convesion theshold) sigma_x < # Standad deviation fo assets h <- matix1,n,npath) # Making h a nxnpath-matix

110 102 BILAG B. TIL KAPITEL 2 k <- 1-exp-mu_Y+0.5*sigma_Y^2) # k = E[Y-1], p. 14 # Let the games begin x0 < # Stating capital-to-deposit atio x <- matixx0,n+1,npath) # Making x a nxnpath-matix, and assigning x0 as the value of all enties in x thus effectively making x0 the fist value of x) ln.x0 <- matixlogx0),n+1,npath) # Same ln.x <- ln.x0 # Same binom.c <- matix1,n+1,npath) # Making binom.c a nxnpath-matix # Calculating: d_1, d_2, h, b, ln.x, x, binom.c foj in 1:npath) foi in 1:n) # d_1 & d_2 d_1 <- ln.x[i,j]+mu_y)/sigma_y d_2 <- d_1+sigma_y # h h[i,j] <- lambda*pnom-d_1)-expln.x[i,j])*expmu_y+0.5*sigma_y^2)*pnom-d_2)) # b b[i+1,j] <- b[i,j]*exp-g*expln.x[i,j])-x.hat)*dt) # ln.x ln.x[i+1,j] <- ln.x[i,j] + [i,j]-lambda*k) - [i,j]+h[i,j]+c* b[i,j])/expln.x[i,j]) - g*expln.x[i,j])-x.hat) - 0.5*sigma_x^2 )*dt + sigma_x*dw_1[i,j] + ln.y[i,j]*phi[i,j] # x x[i+1,j] <- expln.x[i,j]) # binom.c # Ceating vecto with 1 if payment i.e. tigge point not eached) and 0 if no payment i.e. tigge point eached) ifx[i,j]>=1+b[i,j]) && binom.c[i,j]>0.5) binom.c[i+1,j] <- 1 else binom.c[i+1,j] <- 0

111 B.7. STAMKODE TIL FIGUR 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6 SAMT FIGURER FRA CASE STUDY 103 # Ceates vectos) with payments # Finds the lump sum lump.c) that will be paid in the event of tigge/no tigge payments <- matixcepc*dt, n-1),b), n, npath)*binom.c[1:n,] # OBS: dt multiplied hee!! foj in 1:npath) foi in 2:n) ifpayments[i,j] == 0 && p*b[sumbinom.c[,j])+1,j] <= x[sumbinom.c[,j])+1]-1 ) payments[i,j] <- p*b beak else ifpayments[i,j] == 0 && 0 < x[sumbinom.c[,j])+1]-1 && x[sumbinom.c[,j])+1]-1 < p*b[sumbinom.c[,j])+1,j]) payments[i,j] <- x[sumbinom.c[,j])+1]-1)*b/b[sumbinom.c[,j])+1,j] pintj) beak else payments[i,j] <- payments[i,j] # Plotting 1+x plot1:n+1), x[,1], type="l", ylim=cminx),maxx)), ylab="1+x", xlab="t") foj in 2:npath) lines1:n+1), x[,j], col=j) legend"topleft",expessionlnx_t)),lty=1,col="black") ## lnx) END ## dimpayments) plot1:dimpayments)[2],payments[7250,]) Final <- payments[dimpayments)[1],] 1-sumFinal)/lengthFinal))*0.1 1-sumFinal)/lengthFinal))*0.2

112 104 BILAG B. TIL KAPITEL 2 Eksempel på fuldstændig R-kode He til figu 2.2 ## Set this # Numbe of paths fo inteest ates and assets) npath < # "Same" andom numbes set.seed1987) # Check? Use: nom10) ## #Cholesky # Time Tn <- 5 # Yeas matuity ho < # Coelation between inteest ate and lnx)-etun #CIR 0 < # Inteest t=0 => same as [1].ba < # Equilibium level fo the inteest ate sigma_ < # Standad deviation fo the inteest ate kappa < # Mean evesion paamete fo the inteest ate #Jumps mu_y < # Mean fo jump size sigma_y < # Standad deviation fo jump size lambda <- c1,0,1) # Fequency 1 = once pe yea) #x g <- c0.5,0.5,0.25) # Mean evesion paamete fo capital atio taget x.hat <- 1.1 # Capital atio taget b0 < # CCB-to-deposit atio, B/D p <- 1 # Convesion paamete: pa=1, pemium>1, discount<1 e.ba < # equity-to-deposit atio sigma_x < # Standad deviation fo assets #x0 < # Stating capital-to-deposit atio x0.low < x0.high < x0.nint <- 10 # numbe of intevals between x0.low and x0.high

113 B.7. STAMKODE TIL FIGUR 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6 SAMT FIGURER FRA CASE STUDY 105 B <- 1 # Pincipal c.low < c.high < c.nint <- 10 # numbe of intevals between c.low and c.high c.fit.matix <- matix0,x0.nint,lengthlambda)) n <- Tn*250 # 250 days pe yea dt <- Tn/n # Time-step ## Cholesky START ## # Building coelation-matix, RHO vect <- c1,ho,ho,1) RHO <- matixvect,now=2) # Coelation-matix # Cholesky-decomposition of RHO chol.rho <- tcholrho)) # Two UNcoelated BMs dw_1 <- matix1,n,npath) # Making nxnpath-matix dw_2 <- matix1,n,npath) # Same foj in 1:npath) # use j when npath dw_1[,j] <- nomn)*sqtdt) dw_2[,j] <- nomn)*sqtdt) # New coelated pocess using Cholesky-decomposition) dw_2co <- matix1,n,npath) # Making nxnpath-matix foj in 1:npath) foi in 1:n) dw_2co[i,j] <- dw_1[i,j]*chol.rho[2,1]+dw_2[i,j]*chol.rho[2,2] ## Inteest ate START ## # The change in the default-fee inteest ate fom day t to day t+dt p. 17) # Paametes fo inteest ate modeling p. 18) <- matix0,n+1,npath) # Making a "n+1)xnpath"-matix, and effectively assigning 0 as fist enty in evey column

114 106 BILAG B. TIL KAPITEL 2 # Stochastic inteest ate, CIR-pocess foj in 1:npath) foi in 1:n) [i+1,j] <- [i,j] + kappa*.ba-[i,j])*dt+sigma_*sqt[i,j])*dw_2co[i,j] ## Inteest ate END ## ################## fow in 1:lengthlambda)) ## PROGRAM TO SIMULATE A JUMPS IN ASSETS VALUE WITH A PREDETERMINED INTENSITY lambda) AND SIZE mu_y) ## ## Jumps START ## # Jump-pocess p.17) # Paametes fo jump modeling p. 18) phi <- matixbinomn%*%npath,1,dt*lambda[w]),n,npath) # Jump o not? Binomial vaiable ln.y <- matixnomn%*%npath,mu_y,sigma_y),n,npath) # Actual) jump size ## Jumps END ## ################## ## lnx) START ## # Daily isk-neutal pocess fo the log of the bank s asset-to-deposit atio p. 17) # Paametes fo lnx) modeling p. 18) b <- matixb0,n+1,npath) # Making b a n+1)xnpath matix and effectively assigning b0 as the fist enty of b of all enties actually) x.ba0 <- 1+e.ba+p*b0 # Total capital-to-deposit atio convesion theshold) x.ba <- matixx.ba0,n+1,j) h <- matix1,n,npath) # Making h a nxnpath-matix k <- expmu_y+0.5*sigma_y^2)-1 # k = E[Y-1], p. 14 # Let the games begin # Fist: The egession pat

115 B.7. STAMKODE TIL FIGUR 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6 SAMT FIGURER FRA CASE STUDY 107 c <- seqc.low, c.high, length=c.nint) x0 <- seqx0.low,x0.high,length=x0.nint) eg.matix <- matix0,c.nint, lengthx0)) eg.fit1 <- 1:x0.nint eg.fit2 <- 1:x0.nint c.fit <- 1:x0.nint fol in 1:x0.nint) # Use l fo x0 fom in 1:c.nint) # Use m fo c x <- matixx0[l],n+1,npath) # Making x a nxnpath-matix, and assigning x0 as the value of all enties in x thus effectively making x0 the fist value of x) ln.x0 <- matixlogx0[l]),n+1,npath) # Same ln.x <- ln.x0 # Same binom.c <- matix1,n+1,npath) # Making binom.c a nxnpath-matix # Calculating: d_1, d_2, h, b, ln.x, x, binom.c foj in 1:npath) foi in 1:n) # d_1 & d_2 d_1 <- ln.x[i,j]+mu_y)/sigma_y d_2 <- d_1+sigma_y # h h[i,j] <- lambda[w]*pnom-d_1)-expln.x[i,j])*expmu_y+0.5*sigma_y^2)*pnom-d_2)) # b b[i+1,j] <- b[i,j]*exp-g[w]*expln.x[i,j])-x.hat)*dt) # ln.x ln.x[i+1,j] <- ln.x[i,j] + [i,j]-lambda[w]*k) - [i,j]+h[i,j]+c[m]*b[i,j])/expln.x[i,j]) - g[w]*expln.x[i,j])-x.hat) - 0.5*sigma_x^2 )*dt + sigma_x*dw_1[i,j] + ln.y[i,j]*phi[i,j] # x x[i+1,j] <- expln.x[i+1,j]) # x.ba

116 108 BILAG B. TIL KAPITEL 2 x.ba[i+1,j] <- 1+e.ba+p*b[i+1,j] # binom.c # Ceating vecto with 1 if payment i.e. tigge point not eached) and 0 if no payment i.e. tigge point eached) ifx[i+1,j]>=x.ba[i+1,j] && binom.c[i,j]>0.5) binom.c[i+1,j] <- 1 else binom.c[i+1,j] <- 0 # Ceates vectos) with payments # Finds the lump sum lump.c) that will be paid in the event of tigge/no tigge payments <- matixcepc[m]*dt, n-1),b), n, npath)*binom.c[1:n,] # OBS: dt multiplied hee!! foj in 1:npath) foi in 2:n) ifpayments[i,j] == 0 && p*b[sumbinom.c[,j])+1,j] <= x[sumbinom.c[,j])+1,j]-1 ) payments[i,j] <- p*b beak else ifpayments[i,j] == 0 && 0 < x[sumbinom.c[,j])+1,j]-1 && x[sumbinom.c[,j])+1,j]-1 < p*b[sumbinom.c[,j])+1,j]) payments[i,j] <- x[sumbinom.c[,j])+1,j]-1)*b/b[sumbinom.c[,j])+1,j] beak else payments[i,j] <- payments[i,j] ################## ## Fixed-coupon START ## # S exp-s ds) * vt) dt

117 B.7. STAMKODE TIL FIGUR 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6 SAMT FIGURER FRA CASE STUDY 109 vec.disc.v <- ep0, npath) #disc = discounting foj in 1:npath) disc.v <- 0 int. <- 0 foi in 1:n) int. <- int. + [i,j]*dt disc.v <- disc.v + exp-int.)*payments[i,j] vec.disc.v[j] <- disc.v V0 <- meanvec.disc.v) eg.matix[m,l] <- V0 ## Fixed-coupon END ## eg.fit1[l] <- lmeg.matix[,l]~1+c)$coef[1] eg.fit2[l] <- lmeg.matix[,l]~1+c)$coef[2] c.fit[l] <- B-eg.fit1[l])/eg.fit2[l] c.fit.matix[,w] <- c.fit # Gaphics plotx0-1), c.fit.matix[,1], type="l", col=2, ylim=cc.low,c.high), xlab=expessionx[0]-1), ylab="") fow in 2:lengthlambda)) linesx0-1),c.fit.matix[,w], col=w+1) linesx0-1),ep0.0423,lengthx0)), col=1, lty=2) legend"topight", c"risikofi Obl.",expession"p=1, " * bae) * "=2%, " * lambda * "=1, g=0.5"),expessionlambda * "=0"),"g=0.25"), col=c1,2,3,4), lty=c2,1,1,1)) title"c")

118

119 Bilag C Til kapitel 3 C.1 Symbole i Albul-Jaffee-Tchistyi Tabel C.1: Symbolfoklaing. Indeholde symbole og foklaing heaf, de indgå i Albul-Jaffee-Tchistyi. Symbol Foklaing W Vædi af egenkapital G Totale vædi af bank Den isikofi ente A Vædi af aktive A B Vædi af aktive ved falliteklæing A C Vædi af aktive ved konveteingstæksel c b Den kontinuelige kuponbetaling på en obligation c c Den kontinuelige kuponbetaling på en CoCo-obligation λ Popotionalitetskoefficient ved konveteing BC Fallitomkostning T B Skattefadag U B Vædi af obligatione U C Vædi af CoCo-obligatione X i potens betyde, at vædien e optimal XA t ; c b, 0) Vædi af "X" uden CoCo-obligatione XA t ; c b, c c ) Vædi af "X" med CoCo-obligatione θ Skattekvotient 1 α Recovey ved fallit 111

120 112 BILAG C. TIL KAPITEL 3 C.2 Vædi af annuitet og voksende annuitet He skal vædien af et aktiv med vædien, A, de udbetale 1DKK dt til hvet tidsinstans i uendelighed, findes. Via Itôs Lemma kan dynamikken fo A opskives. Denne afhænge nemlig ikke af stokastiske vaiable, hvofo A = At) og da dt = Adt, C.1) hvilket også kan skives som A t = Adt. Både det foventede kapitalgevinst samt foventede cash-flow skal beegnes. Den foventede kapitalgevinst, E[dA], e givet ved E[dA] = A t, C.2) og det foventede cash-flow e natuligvis blot de 1DKK pe tidsstep, dt. Kombinationen af de to give den totale foventede fotjeneste, A tdt + 1DKK dt = A t + 1DKK)dt. C.3) He anvendes et abitageagument, og følgende kan skives, at A t + 1DKK)dt = Adt C.4) A t + 1DKK = A. C.5) He skal indses, at siden A ej e tidsafhængig, da må A t = 0 og løsningen til diffeentialligningen e givet ved A = 1DKK. C.6) Ovenstående e esultatet i det tilfælde, hvo betalingen e konstant og aktivet, A, ikke ha en kendt positiv dift. Og det e jo netop situationen, de he skal undesøges. Hvis man i stedet antage, at A s samlede vædien, δdt, som e beskevet ved pocessen dδ t δ t = µdt + σdb Q t C.7)

121 C.2. VÆRDI AF ANNUITET OG VOKSENDE ANNUITET 113 Da e A således vædien af en evigtvaende kontakt, hvis kontinuelige cash-flow δdt vokse med en gennemsnitlig ekspnentiel ate µ. Hvad e så vædien af kontakten? Som fø e A evigtvaende, hvofo A = At, δ t ) = Aδ t ). C.8) Femgangsmåden e som tidligee: Itôs Lemma kotlægge dynamikken fo A. da = [ A δ µδ A δδ σ2 δ 2 ] dt + A δ σδdb Q t. C.9) Den foventede kapitalgevinst på denne kontakt, E[dA], e givet ved E[dA] = [ µδa δ + 1 ] 2 σ2 δ 2 A δδ dt. C.10) He give et abitage-agument, at [ µδa δ + 1 ] 2 σ2 δ 2 A δδ dt = Adt, C.11) hvilket e en diffeentialligning. He skal man gætte, at en fodobling af δ må lede til en fodobling af A. Dette lede til, at de må eksistee popotionalitet mellem δ og A, så A = aδ C.12) fo en given konstant a. Dette betyde, at A δ haves, at = a og A δδ = 0. Substituees disse udtyk ind i diffeentialligningen fa C.11) hvilket betyde, at aδ = µaδ + δ a = µa + 1 a µ) = 1 a = 1 µ, C.13) C.14) C.15) C.16) A = δ µ. C.17)

122 114 BILAG C. TIL KAPITEL 3 C.3 Vigtige esultate: Pisudtyk og optimal fallitgænse I modellen gøes bug af to esultate fa litteatuen. Begge e hentet fa [Lando 2004)], og de gives he en kot gennemgang af, hvoledes de e femkommet. Betagt tilstandsvaiablen ξ, de state i ξ > 0 og tilfedsstille den stokastiske diffeentialligning dξ t ξ t = µdt + σdw t. C.18) Den elevante diskonteingsfakto e β t = e t, og de betagtes en evigtvaende kontakt med vædien F ξ t ) til tidspunkt t. Denne kontakt e tidshomogen. Som foklaet tidligee betyde det, at det godt kan væe, at kontakten afsluttes, men det ske kun på gund af bevægelse i tilstandsvaiablen ξ t. De udbytte, de måtte væe sket, samles i vaiablen D t. He indeholdes demed de kumulative udbyttebetalinge op til tid t. De haves således, at D t = t 0 a + bξ s ds. C.19) Fo voes føomtalte kontakt betyde det, at dennes diskonteede gains-poces, dγ t, e dγ t = dβ t F ξ t )) + β t dd t, C.20) hvilket e ændingen i den diskonteede pis plus de diskonteede udbytte. Og med bug af patiel integation kan ovenstående udtyk blive til dγ t = βdf ξ t ) + F ξ t )dβ t + β t dd t. C.21) Hefa skal Itôs lemma benyttes. Denne give os pocessen fo den diskonteede gains-poces, dγ t, hetil komme diffeentiation af de indgående led. df ξ t ) = ) F ξ t )µξ t + σ2 2 ξ2 t F ξ t ) dt + β t F ξ t )σξ t dw t dβ t = β t dt dd t = a + bξ t )dt. C.22) Og samlet blive den diskonteede gains-poces ) dγ t = β t F ξ t )µξ t + σ2 2 ξ2 t F ξ t ) + a + bξ t ) dt + β t F ξ t )σξ t dw t C.23)

123 C.3. VIGTIGE RESULTATER: PRISUDTRYK OG OPTIMAL FALLITGRÆNSE 115 Pisfastsættelse unde et isikojusteet Q-mål afkæve natuligvis, at gains-pocessen e en matingal unde dette mål, hvofo diftleddet skal væe 0. Dette e ensbetydende med 2. odens odinæe diffeentialligningen De gættes på σ 2 2 x2 F x) + µxf x) + a + bx = F x). C.24) A 1 x γ + A 2 A 2 x δ + a + bx µ C.25) som den fuldstændige løsning til den odinæe diffeentialligning, hvo og δ = µ + σ2 2 σ 2 + ) 2 µ σ σ 2 σ 2 > 0 C.26) δ e den positive potens, da γ = µ + σ2 2 σ 2 ) 2 µ σ σ 2 σ 2 < 0. C.27) ) 2 µ + σ2 2 < µ + σ2 + 2σ 2 2 C.28) ) 2 ) 2 µ + σ2 < µ + σ2 + 2σ 2 C.29) 2 2 µ 2 + σ4 4 2µσ2 2 < µ2 + σ4 4 2µσ σ2 C.30) 0 < 2σ 2, C.31) hvilket e sandt, da man huske, at både σ og e stengt positive. Vi ønske nu at finde vædien af en kontakt, som udbetale 1, hvis bankens vædi amme en given fallitgænse K, og 0 elles. Eftesom de ingen løbende dividende e, ha vi, at vædien e givet på fomen P K A t ) = A 1 A γ t + A 2 A δ t. C.32)

124 116 BILAG C. TIL KAPITEL 3 A 1 og A 2 e konstante, de bestemmes i næste del af udledningen, mens A t stadig e vædien af bankens aktive. Fo at indikee foskellen e konstantene makeet med fed font. Eftesom vi ved, at kontakten ingenting udbetale sålænge banken ikke e gået fallit, da må de nødvendigvis gælde fo gænsetilfældet, hvo aktivvædien e enom sto, at P B A t ) 0 fo A t. C.33) Med kig på udtykket fo vædien af kontakten, e det umiddelbat, at A 2 må væe 0, hvis denne betingelse nogensinde skal tilfedsstilles, thi de indgå en positiv eksponent. Hetil vides, at vædien af kontakten e 1, nå fallit ammes, altså P B A B ) = A 1 A γ B + A 2 A δ B = 1 = A 1 A γ B = 1 A 1 = A γ B C.34) Og de kan endelig opstilles et udtyk fo vædien af den kontakt med vædien 1 ved fallit, og dette e det føste esultat, vi skal buge. P B A) = At A B ) γ. C.35) Det andet esultat, beskive bankens optimale valg af falliteklæingstidspunkt, τa B ). Det femkomme ved at buge det føste esultat til at beskive vædien af fallitomkostningen samt vædien af skattefodelen og kombinee de to. De følge he en kot gennemgang. Det vides, at de ved fallit e et tab af popotional støelse med konkusbaieen, nemlig αa B. Demed kan man udfa 3.4) opskive vædien af fallitomkostningen engelsk: bankuptcy cost, BC) til tidspunkt t = 0 som ) γ At BCA t ; A B, c b ) = αa B. C.36) A B Denne støelse benyttes, nå valget af kapitalstuktu bestemmes. He balancees denne støelse samt skattefadaget, således at den samlede vædi af banken optimees. Nu skal et udtyk fo vædien af dette skattefadag findes. Til dette skal buges en foskift fo vædien af en kontakt, de udbetale 1 pe tidsenhed indtil fallit, A B, ammes og heefte 0. Denne e P T A t ) = A 1 A γ + A 2 A δ + 1. C.37)

125 C.3. VIGTIGE RESULTATER: PRISUDTRYK OG OPTIMAL FALLITGRÆNSE 117 Igen betagtes gænsevædiene. Fo A t, må vædien af kontakten gå mod vædien af en kontakt, de udbetale 1 pe tidsenhed i al evighed, altså 1. Det kan defo sluttes, at A 2 må væe 0. Hetil vides, at vædien e 0 ved fallit. Demed kan vædien skives som P T A t ) = 1 1 P BA t )). C.38) Unde antagelse af en konstant kuponbetaling på c b pe tidsenhed, hvo skattefodelen gø, at banken til gengæld få et cashflow på θc b pe tidsenhed, da blive vædien af denne skattefodel engelsk: tax benefit, T B) T BA t ; A B, c b ) = θc b 1 P BV )). C.39) Den økonomiske intuition give he god mening. Tænk på ekstemen, hvo skatten e 0. He e de ingen gevinst ved at udstede gæld, og som det femgå af ovenstående ligning, e T B da også 0. Hvis T B og BC kombinees fås nemt vædien af gælden, nemlig UA t ; A B, c b ) = c b 1 P BA t )) + 1 α)a B P B A t ), C.40) hvo føste led e vædien af kuponstømmen indtil fallit, og andet led e vædien af den ecovey, de e tilbage til gældsejene i tilfælde af fallit. Med ovenstående sammenhænge kan vædien af banken opskives som vædien af skattefodelen plus vædien af aktivene fatukket tabet ved fallit GA t ; V B, c b ) = A + T B BC. C.41) Idet de bae findes gæld U) og egenkapital W), da må GA t ; V B, c b ) = W + U, C.42) så vædien af egenkapitalen kan findes esidualt. Det e ejene, de afgø, hvonå de ønske at eklæe banken fallit. Det kan ses diekte fa C.36) og C.41), at fallitgænsen sættes så lavt som muligt, uden at vædien af egenkapitalen blive negativt, og til dette benyttes en smooth-pasting-betingelse, de gø, at vædien af egenkapitalen ha minimum, netop de hvo A t amme A B, altså d dv W A=A B = 0. C.43)

126 118 BILAG C. TIL KAPITEL 3 Løsningen give den optimale fallitgænse, og denne løsning e det andet esultat, man skal buge. Givet ved Det e uafhængigt af A, men popotional med c b samt faldende i θ. A Bc b ) = γ1 θ)c b 1 + γ). C.44) få Man kan nu indsætte A B c b) i udtykket fo egenkapitalen og maksimee som en funktion af c b, og c b = 1 + γ) γ1 θ) 1 + γ)θ + α1 θ)γ θ ) 1 γ C.45) C.4 Hvofo W < 0 ved 3.51) på side 45 Vi buge endnu engang esultatene fa afsnit 3.3, det give og W A t, ÂB; ĉ b, 0) = A t ĉb1 θ) W A t, ĀB; c b, 0) = A t c b1 θ) Tækkes disse fa hinanden fås Ŵ =A t ĉb1 θ) 1 A t c b1 θ) 1 = ĉ b c b )1 θ) 1 ĉ b 1 θ) At Ā B Hefa skal man benytte, at At  B At Ā B At Ā B ) γ ) ) γ ) ) γ At  B ÂB ĀB At  B At Ā B 1 1 At  B At Ā B ) γ ) ) γ ) ÂB ĀB At  B At Ā B ) γ C.46) ) γ. C.47) ) γ C.48) ) γ C.49) ) ) γ c ) ) c1 θ) γ At 1 λ c ) ) c A γ t + C.50) A C A C ) ) γ ) γ ) γ At At + ÂB ĀB. C.51)  B Ā B

127 C.4. HVORFOR W < 0 VED 3.51) PÅ SIDE c c 1 At A C ) γ ) De ganges igennem med 1 θ) og 1 θ) ) ) c γ c At At 1 + A C A C At + A C hvilket give følgende udtyk på venstesiden ) γ λ c ) ) ) c = ĉb c γ b At 1. C.52) Ā B ) γ λ c ) ) c = 1 θ) c c 1 θ) 1 At A C ) γ ) ) )) ĉ b c γ b At 1, C.53) Ā B, C.54) og At 1 θ) A C ) γ λ c ) c At = A C ) γ λ c ) c At θ A C ) γ λ c ) c C.55) At A C ) γ λ c ) c. C.56) Mens højesiden give 1 θ)ĉ b c b ) 1 At A C ) γ ). C.57) Disse fie udtyk indsættes i C.51), hvoved de føste to led fosvinde, mens tedje led educees, og man ha Ŵ = θ λ c ) ) c A γ t + ĉb1 θ) At = ĉ1 θ) At A C Ā B ) γ ĀB Nu definees funktionen At Ā B Ā B ) γ ) ) γ ) γ ) γ At At At + Â ÂB B Â ĀB B Ā B ) γ ) ĉ1 θ) γ ) ) γ At At θ Â B Â B λ c c C.58) ) ) A γ t. A C C.59)

128 120 BILAG C. TIL KAPITEL 3 HX) ĉ1 θ) ) γ At C.60) X som benyttes i C.59), så Ŵ = HÂB) HĀB)) θ λ c ) ) c A γ t. C.61) Vi mangle nu blot at beskive, hvoledes den føste afledte af HX) opføe sig, da kan det nemlig afgøes, hvilken af funktionene HÂB) og HĀB), som e støst. A C H X) = γĉ b1 θ) ) γ ) At 1 γ At 1 + γ). C.62) X X X Figu C.1: Abitæt valgte vædie til illustation af pointe ved esultat. σ = 15%, µ = 1%, ĉ b = 5, θ = 0, 35, = 0.05, A t = 100 og ÂB = 43, 72 Nu indsættes ÂB på X s plads. Og de mindes om, at ÂB = γ1 θ)ĉ b 1 γ). Så

129 C.5. KONSEKVENS AF AFRUNDNING 121 H ÂB) = γĉ b1 θ) = γĉ b1 θ) = = = 0 A t γ1 θ)ĉb 1 γ) A t γ1 θ)ĉb 1 γ) At  B ) γ γ)  B γ A t ) 1 γ1 θ)ĉb 1 γ) ) ) γ γ 1 γ1 θ)ĉb 1 γ) 1 γ1 θ)ĉb 1 γ) At γ1 θ)ĉb 1 γ)  B ) γ C.63) ) 1 + γ) γĉb 1 θ) ) 1 γ) γĉb 1 θ) ) A t γ1 θ)ĉb 1 γ) γ1 θ)ĉ ) b ) γ )) γ1 θ)ĉb 1 γ) C.64) C.65) C.66) C.67) Som det femgå af figu C.1, e HX) en stigende funktion på intevallet 0, ÂB), hvofo C.61) nødvendigvis må væe negativ og det kan de facto konstatees, at Ŵ = W A t, ĀB; c b, c c ) W A t, ÂB; ĉ b, 0) < 0. C.68) C.5 Konsekvens af afundning He e vist, hvilken obligationsvædi, man få ved bug af c b U B A t, A B ; c b, 0) = 88, 36. = I [Albul et. al 2010)] buges > # Consequence of Albul et. al s choice of significant digits > mlist=ls)) > # Initial values and calculations > A <- 100; <- 0.05; mu <- 0.01; sigma <- 0.15; alpha <- 0.5; theta <- 0.35; c_b < > m <- mu - sigma^2/2; gamma <- m+sqtm^2+2**sigma^2))/sigma^2; beta <- gamma/*1+gamma)) > A_B <- beta*1-theta)*c_b; A_gam <- A/A_B)^-gamma) > # Value of bond when coupon = > U <- c_b/ * 1-A_gam) + A_gam*1-alpha)*A_B) [1] > findu <- functionc_b) + + etun88.36-c_b/ * 1-A_gam) + A_gam*1-alpha)*A_B)) + > # Value of coupon when bond = > c_bb <- uniootfindu, c0,6))$oot)

130 122 BILAG C. TIL KAPITEL 3 [1] > #Check > U <- c_bb/ * 1-A_gam) + A_gam*1-alpha)*A_B) [1] Altså få man U B A t, A B ; c b, 0) = , idet man anvende c b = 5.24, hvis man ønske 88.36, skal c b = anvendes. C.6 Sammenligning af G og Ĝ Figu C.2: G & Ĝ sammenlignet. C.7 R-kode til udvalgte figue i kapitlet Til figu 3.1, figuene 3.2 og 3.3 # Pogam de lave plot af egenkapitalens vædi som funktion af aktivvædien. # Pogammet e baseet på atiklen Contingent Convetible Bonds and Capital Stuctue #

131 C.7. R-KODE TIL UDVALGTE FIGURER I KAPITLET 123 # Konstante < mu < sigma < alpha <- 0.5 #Kø manuelt? A_c <- 60 c_b < c_c <- 0.5 lambda <- 0.9 theta < A_b < REGNAB <- 0 #Bug, hvis Albul et. al s afundningsfejl ikke ønskes med. CoCo <- functiona_c, c_b, c_c, lambda, theta, A_b, REGNAB) # Udegnede konstante gamma <- --mu+sigma^2/2)/sigma^2 - sqtmu-sigma^2/2)^2+2*sigma^2*))/sigma^2)) beta <- gamma/*1+gamma)) ifregnab == 1) A_b <- A_b <- beta*1-theta)*c_b A <- seqfom=ounda_b-1), to=100, length=1000) # Egenkapital, W W <- ep0,lengtha)) temp <- 1:lengthA) foi in 1:lengthA)) ifa_c>=a[i]) count <- temp[i] foi in 1:count-1) W[i] <- A[i] - c_b*1-theta)/ * 1-A[i]/A_b)^-gamma)) - A_b*A[i]/A_b)^-gamma)

132 124 BILAG C. TIL KAPITEL 3 foi in count:lengtha)) W[i] <- A[i] - c_b*1-theta)/ * 1-A[i]/A_b)^-gamma)) - c_c*1-theta)/ * 1-A[i]/A_c)^-gamma)) - A_b*A[i]/A_b)^-gamma) - lambda*c_c/*a[i]/a_c)^-gamma) dev.newwidth=5.9, height=4.5) # Udskive gaf # A plottet mod W, W~A etunplota, W, type="l", main="w", ylab="", xlab=cexpessiona[t])))) Til figu 3.4 # Delta G A_C <- seqfom=80, to=95, length=5) U_C.fix <- seqfom=1, to=25, length=25) U_B.Sta < U_B.ba.fix <- U_B.Sta-U_C.fix c_b.sta < #c_c <- 0.5 < mu < A <- 100 lambda <- 1 alpha <- 0.5 theta < sigma < gamma <- --mu+sigma^2/2)/sigma^2 - sqtmu-sigma^2/2)^2+2*sigma^2*))/sigma^2)) beta <- gamma/*1+gamma)) A_B.Sta <- beta*1-theta)*c_b.sta CoCo <- 1 c_ccalc <- U_C.fix/1/*1-1-lambda)*A/A_C)^-gamma))) f_diff <- functionc_b.ba, U_B.ba.fixit) A_B.ba <- beta*1-theta)*c_b.ba etunu_b.ba.fixit-c_b.ba/ * 1-A/A_B.ba)^-gamma)) + A/A_B.ba)^-gamma) * 1-alpha)*A_B.ba))

133 C.7. R-KODE TIL UDVALGTE FIGURER I KAPITLET 125 TB.fn <- functiona_c, A_B, c_b, c_c, CoCo) TB <- theta*c_b/ * 1-A/A_B)^-gamma)) + theta*c_c*coco/ * 1-A/A_C)^-gamma))) etuntb) BC.fn <- functiona_b) BC <- alpha * A_B * A/A_B)^-gamma) etunbc) c_b.bacalc <- ep0,25) A_BCalc <- ep0,25) foi in 1:25) c_b.bacalc[i] <- uniootf_diff, c3,7), U_B.ba.fixit = U_B.ba.fix[i])$oot c_b.bacalc[i] <- c_b.bacalc[i]*1 # To get as vecto A_BCalc[i] <- beta*1-theta)*c_b.bacalc[i] DeltaG <- matix0,4,25) foj in 1:4) # A_C foi in 1:25) DeltaG[j,i] <- theta+alpha-theta*alpha) * A/A_B.Sta)^-gamma)*A_B.Sta- A/A_BCalc[i])^-gamma)*A_BCalc[i]) - theta*a/a_c[j])^-gamma)*lambda*c_ccalc[i]/ # DeltaW DeltaW <- matix0,4,25) foj in 1:4) # A_C foi in 1:25) DeltaW[j,i] <- TB.fnA_C[j],A_BCalc[i], c_b.bacalc[i], c_ccalc[i],1) - BC.fnA_BCalc[i])) - TB.fn0,A_B.Sta, c_b.sta, 0, 0) - BC.fnA_B.Sta))

134 126 BILAG C. TIL KAPITEL 3 Til figu 3.4, 3.6 og figuene 3.8, 3.9 samt 3.10 # Jaffee s. 21, Fig. 2 #U_Bba -> Finding c_b A_C <- seqfom=80, to=95, length=5) U_C.fix <- seqfom=1, to=25, length=25) U_B.Sta < U_B.ba.fix <- U_B.Sta-U_C.fix c_b.sta < #c_c <- 0.5 < mu < A <- 100 lambda <- 1 alpha <- 0.5 theta < sigma < gamma <- --mu+sigma^2/2)/sigma^2 - sqtmu-sigma^2/2)^2+2*sigma^2*))/sigma^2)) beta <- gamma/*1+gamma)) A_B.Sta <- beta*1-theta)*c_b.sta CoCo <- 1 c_ccalc <- U_C.fix/1/*1-1-lambda)*A/A_C)^-gamma))) f_diff <- functionc_b.ba, U_B.ba.fixit) A_B.ba <- beta*1-theta)*c_b.ba etunu_b.ba.fixit-c_b.ba/ * 1-A/A_B.ba)^-gamma)) + A/A_B.ba)^-gamma) * 1-alpha)*A_B.ba)) TB.fn <- functiona_c, A_B, c_b, c_c, CoCo) TB <- theta*c_b/ * 1-A/A_B)^-gamma)) + theta*c_c*coco/ * 1-A/A_C)^-gamma))) etuntb) BC.fn <- functiona_b) BC <- alpha * A_B * A/A_B)^-gamma)

135 C.7. R-KODE TIL UDVALGTE FIGURER I KAPITLET 127 etunbc) c_b.bacalc <- ep0,25) A_BCalc <- ep0,25) foi in 1:25) c_b.bacalc[i] <- uniootf_diff, c3,7), U_B.ba.fixit = U_B.ba.fix[i])$oot c_b.bacalc[i] <- c_b.bacalc[i]*1 # To get as vecto A_BCalc[i] <- beta*1-theta)*c_b.bacalc[i] DeltaG <- matix0,4,25) foj in 1:4) # A_C foi in 1:25) DeltaG[j,i] <- theta+alpha-theta*alpha) * A/A_B.Sta)^-gamma)*A_B.Sta- A/A_BCalc[i])^-gamma)*A_BCalc[i]) - theta*a/a_c[j])^-gamma)* lambda*c_ccalc[i]/ # DeltaW DeltaW <- matix0,4,25) foj in 1:4) # A_C foi in 1:25) DeltaW[j,i] <- TB.fnA_C[j],A_BCalc[i], c_b.bacalc[i], c_ccalc[i],1) - BC.fnA_BCalc[i])) - TB.fn0,A_B.Sta, c_b.sta, 0, 0) - BC.fnA_B.Sta)) #DeltaG <- DeltaW dev.newwidth=5.9, height=4.5) plotu_c.fix, DeltaG[1,], type= l, ylab="", xlab=expessionu[c]), ylim=cmindeltag), maxdeltag)))

136 128 BILAG C. TIL KAPITEL 3 foj in 1:4) linesu_c.fix, DeltaG[j,], col=j) legend"bottomleft", cexpessiona[c] * "=80"), expessiona[c] * "=85"), expessiona[c] * "=90"), expessiona[c] * "=95")), lty=1, col=1:4) titleexpessiondelta * G)) # Jaffee s. 26, Fig. 3 A_C <- seqfom=80, to=95, length=5) U_C.fix <- seqfom=1, to=25, length=25) U_B.hat < U_B.ba.fix <- U_B.hat-U_C.fix c_b.hat < < mu < A <- 100 lambda <- 1 alpha <- 0.5 theta < sigma < gamma <- --mu+sigma^2/2)/sigma^2 - sqtmu-sigma^2/2)^2+2*sigma^2*))/sigma^2)) beta <- gamma/*1+gamma)) A_B.hat <- beta*1-theta)*c_b.hat c_b.bacalc <- ep0,25) A_BCalc <- ep0,25) c_ccalc <- matix0,4,25) f_diff <- functionc_b.ba, U_B.ba.fixit) A_B.ba <- beta*1-theta)*c_b.ba etunu_b.ba.fixit-c_b.ba/ * 1-A/A_B.ba)^-gamma)) + A/A_B.ba)^-gamma) * 1-alpha)*A_B.ba)) TB.fn <- functiona_c, A_B, c_b, c_c, CoCo) TB <- theta*c_b/ * 1-A/A_B)^-gamma)) + theta*c_c*coco/ * 1-A/A_C)^-gamma))) etuntb) BC.fn <- functiona_b) BC <- alpha * A_B * A/A_B)^-gamma)

137 C.7. R-KODE TIL UDVALGTE FIGURER I KAPITLET 129 etunbc) #W.fn <- functiona_b, c_b, c_c,coco) # # W <- TB.fnA_B, c_b, c_c,coco) - BCA_B) # etunw) # ## foj in 1:4) foi in 1:25) c_b.bacalc[i] <- uniootf_diff, c3,7), U_B.ba.fixit = U_B.ba.fix[i])$oot c_b.bacalc[i] <- c_b.bacalc[i]*1 # To get as vecto A_BCalc[i] <- beta*1-theta)*c_b.bacalc[i] c_ccalc[j,i] <- c_b.hat-c_b.bacalc[i])*1-a/a_bcalc[i])^-gamma)))/ 1-1-lambda)*A/A_C[j])^-gamma)) DeltaG <- matix0,4,25) foj in 1:4) # A_C foi in 1:25) DeltaG[j,i] <- c_b.hat*theta/ * A/A_B.hat)^-gamma)-A/A_BCalc[i])^-gamma)) + alpha*a_b.hat*a/a_b.hat)^-gamma) - alpha*a_bcalc[i]*a/a_bcalc[i])^ -gamma)-theta*a/a_c[j])^-gamma)*lambda*c_ccalc[j,i]/ # DeltaW #DeltaW <- matix0,4,25) foj in 1:4) # A_C foi in 1:25)

138 130 BILAG C. TIL KAPITEL 3 DeltaW[j,i] <- TB.fnA_C[j],A_BCalc[i], c_b.bacalc[i], c_ccalc[i],1) - BC.fnA_BCalc[i])) - TB.fn0,A_B.Sta, c_b.sta, 0, 0) - BC.fnA_B.Sta)) #DeltaG <- DeltaW dev.newwidth=5.9, height=4.5) plotu_c.fix, DeltaG[1,], type= l, ylab="", xlab=expessionu[c]), ylim=cmindeltag), maxdeltag)), lty=2) foj in 2:4) linesu_c.fix, DeltaG[j,], col=j, lty=2) legend"bottomleft", cexpessiona[c] * "=80"), expessiona[c] * "=85"), expessiona[c] * "=90"), expessiona[c] * "=95")), lty=1, col=1:4) titleexpessiondelta * hatg))) # Jaffee s. 42, Fig 5.1 mlist=ls)) W.fn <- functionsigma, lambda, CoCo) A_t <- 100 c_b < A_C <- 70 c_c <- 0.5 < mu < theta < alpha <- 0.5 gamma <- --mu+sigma^2/2)/sigma^2 - sqtmu-sigma^2/2)^2+2*sigma^2*))/sigma^2)) beta <- gamma/*1+gamma)) A_B <- beta*1-theta)*c_b W.B <- c_b*1-theta)/ * 1-A_t/A_B)^-gamma)) + A_B*A_t/A_B)^-gamma) W.C <- c_c*1-theta)/ * 1-A_t/A_C)^-gamma)) + lambda*c_c/*a_t/a_c)^-gamma) W.fn <- A_t - W.B - W.C*CoCo etunw.fn) sigma <- seqfom=0.05, to=0.4, length=60)

139 C.7. R-KODE TIL UDVALGTE FIGURER I KAPITLET 131 W.fn.gaf <- matix0,4,lengthsigma)) lambda <- c1,0.65,0,1) CoCo <- c1,1,1,0) foj in 1:4) foi in 1:lengthsigma)) W.fn.gaf[j,i] <- W.fnsigma[i], lambda[j], CoCo[j]) # plot fig 5.1 dev.newwidth=5.9, height=4.5) plotsigma, W.fn.gaf[1,], type= l, ylim=cminw.fn.gaf),maxw.fn.gaf)), ylab="", xlab=expession"ex-post " * sigma)) foj in 2:4) linessigma, W.fn.gaf[j,], col=j) legend"topleft", cexpessionlambda * "=1"), expessionlambda * "=0.65"), expessionlambda * "=0"), "Ingen CoCo"), lty=1, col=1:4) titleexpessionw)) ### # til fig 5.2 dx1 <- sigma[1:lengthsigma)-1] dx2 <- sigma[2:lengthsigma)] dx <- dx2-dx1 df1 <- df2 <- df <- matix0,4,lengthsigma)-1) foj in 1:4) df1[j,] <- W.fn.gaf[j,1:lengthsigma)-1] df2[j,] <- W.fn.gaf[j,2:lengthsigma)] df[j,] <- df2[j,]-df1[j,])/dx # plot fig 5.2 dev.newwidth=5.9, height=4.5) plotsigma[-lengthsigma)], df[1,], type= l, ylab="", ylim=cmindf),maxdf)), xlab=expession"ex-post " * sigma)) linessigma[-lengthsigma)], df[2,], col=2, lty=1) linessigma[-lengthsigma)], df[3,], col=3, lty=1) pointssigma[-lengthsigma)], df[4,], col=4) legend"bottomight", cexpessionlambda * "=1"), expessionlambda * "=0.65"), expessionlambda * "=0"), "Ingen CoCo"), lty=c1,1,1,1), col=1:4) titleexpessionpatialdiff * W / patialdiff * sigma))

140 132 BILAG C. TIL KAPITEL 3 ### # til fig 5.3 WminusW15 <- matix0,4,lengthsigma)) foj in 1:4) WminusW15[j,] <- W.fn.gaf[j,]-W.fn0.15, lambda[j], CoCo[j]))/ W.fn0.15, lambda[j], CoCo[j]) # plot fig 5.3 dev.newwidth=5.9, height=4.5) plotsigma, WminusW15[1,], type= l, ylab="", ylim=cminwminusw15), maxwminusw15)), xlab=expession"ex-post " * sigma)) linessigma, WminusW15[2,], col=2, lty=1) linessigma, WminusW15[3,], col=3, lty=1) linessigma, WminusW15[4,], col=4, lty=1) legend"bottomight", cexpessionlambda * "=1"), expessionlambda * "=0.65"), expessionlambda * "=0"), "Ingen CoCo"), lty=c1,1,1,1), col=1:4) titleexpessionfacwsigma[ex-post])- Wsigma=0.15),Wsigma=0.15)))) # Jaffee s. 43, Fig #mlist=ls)) A_t <- 100 c_b < A_C <- 70 c_c <- 0.5 < mu < theta < alpha <- 0.5 InitialW.fn <- functionsigma, lambda, CoCo) gamma <- --mu+sigma^2/2)/sigma^2 - sqtmu-sigma^2/2)^2+2*sigma^2*))/sigma^2)) beta <- gamma/*1+gamma)) A_B <- beta*1-theta)*c_b W.B <- c_b*1-theta)/ * 1-A_t/A_B)^-gamma)) + A_B*A_t/A_B)^-gamma) W.C <- c_c*1-theta)/ * 1-A_t/A_C)^-gamma)) + lambda*c_c/*a_t/a_c)^-gamma) W.fn <- A_t - W.B - W.C*CoCo

141 C.7. R-KODE TIL UDVALGTE FIGURER I KAPITLET 133 InitialW <- W.fn etuninitialw) InitialSigma <- seqfom=0.12, to=0.4, length=50) Initialc_b <- ep0,length=lengthinitialsigma)) InitialA_B <- ep0,length=lengthinitialsigma)) InitialW <- matix0, 4, lengthinitialsigma)) lambda <- c1,0.65,0,1) CoCo <- c1,1,1,0) foj in 1:4) foi in 1:lengthInitialSigma)) InitialW[j,i] <- InitialW.fnInitialSigma[i], lambda[j], CoCo[j]) # til fig 6.1 dx1 <- InitialSigma[1:lengthInitialSigma)-1] dx2 <- InitialSigma[2:lengthInitialSigma)] dx <- dx2-dx1 df1 <- df2 <- df <- matix0,4,lengthinitialsigma)-1) foj in 1:4) df1[j,] <- InitialW[j,1:lengthInitialSigma)-1] df2[j,] <- InitialW[j,2:lengthInitialSigma)] df[j,] <- df2[j,]-df1[j,])/dx # plot fig 6.1 dev.newwidth=5.9, height=4.5) plotinitialsigma[-lengthinitialsigma)], df[1,], type= l, ylab="", ylim=cmindf), maxdf)), xlab=expession"initial " * sigma)) linesinitialsigma[-lengthinitialsigma)], df[2,], col=2, lty=1) linesinitialsigma[-lengthinitialsigma)], df[3,], col=3, lty=1) pointsinitialsigma[-lengthinitialsigma)], df[4,], col=4) legend"bottomight", cexpessionlambda * "=1"), expessionlambda * "=0.65"), expessionlambda * "=0"), "Ingen CoCo"), lty=c1,1,1,1), col=1:4) titleexpessionfacpatialdiff * W, patialdiff * sigma)))

142 134 BILAG C. TIL KAPITEL 3 # til fig 6.2 dx1 <- InitialSigma[1:lengthInitialSigma)-1] dx2 <- InitialSigma[2:lengthInitialSigma)] dx <- dx2-dx1 df1 <- df2 <- df <- matix0,4,lengthinitialsigma)-1) foj in 1:4) df1[j,] <- InitialW[j,1:lengthInitialSigma)-1] df2[j,] <- InitialW[j,2:lengthInitialSigma)] df[j,] <- df2[j,]-df1[j,])/dx * 1/df2[j,] # plot fig 6.2 dev.newwidth=5.9, height=4.5) plotinitialsigma[-lengthinitialsigma)], df[1,], type= l, ylab="", ylim=cmindf), maxdf)), xlab=expession"initial " * sigma)) linesinitialsigma[-lengthinitialsigma)], df[2,], col=2, lty=1) linesinitialsigma[-lengthinitialsigma)], df[3,], col=3, lty=1) linesinitialsigma[-lengthinitialsigma)], df[4,], col=4) legend"topight", cexpessionlambda * "=1"), expessionlambda * "=0.65"), expessionlambda * "=0"), "Ingen CoCo"), lty=c1,1,1,1), col=1:4) titleexpessionfac1,w) *" "* facpatialdiff * W, patialdiff * sigma))) # Jaffee s. 44, Fig mlist=ls)) sigma <- seqfom=0, to=0.4, length=1000) A <- 100 #Asset value c_b < #c_b* in pape A_C <- 70 #Value of asset at convesion c_c <- 0.5 #CoCo-bond coupon < #ate mu < #diffusion-poces mean theta < #tax-ate alpha <- 0.5 #loss in default U_B.Sta < #Optimal value fo staight debt SigmaInitial < #Initial value of sigma gamma <- --mu+sigmainitial^2/2)/sigmainitial^2 - sqtmu-sigmainitial^2/2)^2+2*sigmainitial^2*))/sigmainitial^2))

143 C.7. R-KODE TIL UDVALGTE FIGURER I KAPITLET 135 beta <- gamma/*1+gamma)) A_B.Sta <- beta*1-theta)*c_b lambda <- c1,0.65,0,9e9) U_C <- c_c/ * 1-A/A_C)^-gamma)) + A/A_C)*lambda[-4]*c_c/) U_B.ba <- U_B.Sta - U_C f_diff1 <- functionc_b.ba) U <- U_B.ba[1] A_B.ba <- beta*1-theta)*c_b.ba etunu-c_b.ba/ * 1-A/A_B.ba)^-gamma)) + A/A_B.ba)^-gamma) * 1-alpha)*A_B.ba)) f_diff2 <- functionc_b.ba) U <- U_B.ba[2] A_B.ba <- beta*1-theta)*c_b.ba etunu-c_b.ba/ * 1-A/A_B.ba)^-gamma)) + A/A_B.ba)^-gamma) * 1-alpha)*A_B.ba)) f_diff3 <- functionc_b.ba) U <- U_B.ba[3] A_B.ba <- beta*1-theta)*c_b.ba etunu-c_b.ba/ * 1-A/A_B.ba)^-gamma)) + A/A_B.ba)^-gamma) * 1-alpha)*A_B.ba)) A_BCalc <- c_b.bacalc <- lambda[-4] foj in 1:3) c_b.bacalc1 <- uniootf_diff1, c0,5))$oot c_b.bacalc2 <- uniootf_diff2, c0,5))$oot c_b.bacalc3 <- uniootf_diff3, c0,5))$oot c_b.bacalc <- cc_b.bacalc1, c_b.bacalc2, c_b.bacalc3)*1 # To get as vecto A_BCalc[j] <- beta*1-theta)*c_b.bacalc[j] W.fn <- functionsigma, lambda, A_BCalc, c_b.bacalc, CoCo)

144 136 BILAG C. TIL KAPITEL 3 gamma <- --mu+sigma^2/2)/sigma^2 - sqtmu-sigma^2/2)^2+2*sigma^2*)) /sigma^2)) W.B <- c_b.bacalc*1-theta)/ * 1-A/A_BCalc)^-gamma)) + A_BCalc*A/A_BCalc)^ -gamma) W.C <- c_c*1-theta)/ * 1-A/A_C)^-gamma)) + lambda*c_c/*a/a_c)^-gamma) W.fn <- A - W.B - W.C*CoCo etunw.fn) W.fn.gaf <- matix0,4,lengthsigma)) CoCo <- c1,1,1,0) c_b.bacalc <- cepc_b.bacalc,length=3), c_b) A_BCalc <- cepa_bcalc,length=3), A_B.Sta) foj in 1:4) foi in 1:lengthsigma)) W.fn.gaf[j,i] <- W.fnsigma[i], lambda[j], A_BCalc[j], c_b.bacalc[j], CoCo[j]) # plot fig 7.1 dev.newwidth=5.9, height=4.5) plotsigma, W.fn.gaf[1,], type= l, xlim=cminsigma),maxsigma)), ylim=cminw.fn.gaf), maxw.fn.gaf)), ylab="", xlab=expession"ex-post " * sigma)) foj in 2:4) linessigma, W.fn.gaf[j,], col=j) legend"bottomight", cexpessionlambda * "=1"), expessionlambda * "=0.65"), expessionlambda * "=0"), "Ingen CoCo"), lty=1, col=1:4) titleexpessionw)) # til fig 7.2 dx1 <- sigma[1:lengthsigma)-1] dx2 <- sigma[2:lengthsigma)] dx <- dx2-dx1 df1 <- df2 <- df <- matix0,4,lengthsigma)-1) foj in 1:4) df1[j,] <- W.fn.gaf[j,1:lengthsigma)-1] df2[j,] <- W.fn.gaf[j,2:lengthsigma)]

145 C.8. SYSTEMISK VIGTIG BANK. β-restriktion 137 df[j,] <- df2[j,]-df1[j,])/dx # plot fig 7.2 dev.newwidth=5.9, height=4.5) plotsigma[-lengthsigma)], df[1,], type= l, ylab="", ylim=cmindf),maxdf)+7), xlab=expession"ex-post " * sigma)) linessigma[-lengthsigma)], df[2,], col=2, lty=1) linessigma[-lengthsigma)], df[3,], col=3, lty=1) linessigma[-lengthsigma)], df[4,], col=4) legend"topight", cexpessionlambda * "=1"), expessionlambda * "=0.65"), expessionlambda * "=0"), "Ingen CoCo"), lty=c1,1,1,1), col=1:4) titleexpessionfacpatialdiff * W, patialdiff * sigma))) ### # til fig 7.3 WminusW15 <- matix0,4,lengthsigma)) foj in 1:4) WminusW15[j,] <- W.fn.gaf[j,]-W.fn0.15, lambda[j], A_BCalc[j], c_b.bacalc[j], CoCo[j]))/W.fn0.15, lambda[j], A_BCalc[j], c_b.bacalc[j], CoCo[j]) # plot fig 7.3 dev.newwidth=5.9, height=4.5) plotsigma, WminusW15[1,], type= l, ylab="", ylim=cminwminusw15), maxwminusw15)), xlab=expession"ex-post " * sigma)) linessigma, WminusW15[2,], col=2, lty=1) linessigma, WminusW15[3,], col=3, lty=1) linessigma, WminusW15[4,], col=4, lty=1) legend"topleft", cexpessionlambda * "=1"), expessionlambda * "=0.65"), expessionlambda * "=0"), "Ingen CoCo"), lty=c1,1,1,1), col=1:4) titleexpessionfacwsigma[ex-post])- Wsigma=0.15),Wsigma=0.15)))) C.8 Systemisk vigtig bank. β-estiktion Hvis det antages, at = 0.05, σ = 0.15, A t = 100 og µ = 0.1 C.69)

146 138 BILAG C. TIL KAPITEL 3 da vil γ og β væe givet ved henholdsvis γ µ σ2 2 σ 2 + ) 2 µ σ σ 2 σ 2 = og β γ 1 θ)γ = , C.70) hvofo man umiddelbat ville væe fistet til at konkludee, at SA t ; c b, c c ) ikke e en voksende funktion i c b. Men det e den nu. Vi ha følgende føsteodens afledte givet ved ) SA t ; c b, c c ) β cb 1 θ) γ ) β cb 1 θ) γ = βγ1 θ) β1 θ) C.71) c b A t A t ) β cb 1 θ) γ ) β cb 1 θ) γ + γ + C.72) A t A t Defo vil SAt; c b,c c) c b > 0 fode, at ) β cb 1 θ) γ ) β cb 1 θ) γ ) β cb 1 θ) γ ) β cb 1 θ) γ γ + > βγ1 θ) + β1 θ) C.73) A t A t A t γ + 1 > βγ1 θ) + β1 θ) γ + 1 > β1 θ)γ + 1) A t C.74) C.75) 1 > β1 θ) C.76) 1 β < 1 θ) C.77) γ 1 + γ) < 1 1 θ) C.78) γ 1 + γ < 1 1 θ. C.79) Og det e sandt, da γ e positiv og θ [0, 1[. Vi huske på, at γ blev beskevet som væende den negative potens. Hvofo betingelsen om at β < 1 e oveflødig. Det e den i øvigt ikke. Med de paamete, de blev listet ovenfo e β = , C.80) hvilket tydeligvis e højee end en, men lavee end 1 = C.81) 1 θ)

147 C.9. TO LIGEVÆGTSKURSER 139 C.9 To ligevægtskuse Manipulation af CoCo-obligationsholdee t t + A t kendes ikke A t e p u p d A H AL Figu C.3: CoCo-manipulation C.10 Sundaesan & Wang: Flee ligevægtskuse He pæsentees dele af modellen pæsenteedet i [Sundaesan 2010)] heefte: Sundaesan-Wang). De findes geneelt te type af tiggee: en aktiekus-, aktivvædi- og kapitalfoholdsafhængig tigge. Aktiekustigge e nem at fostå men upaktiske at buge. Ved situationen med aktivsafhængighed slippe man fo at beegne vædien af egenkapitalen simultant med vædien af CoCo-obligationene, idet de anvendes en eksogent bestemt pispoces fo egenkapitalen. [Albul et. al 2010)] og [Pennacchi 2010)] benytte aktivsafhængig tigge. I [McDonald 2009)] e foeslået en aktiekus-tigge. I denne model e det vigtigste buskab, at nå tiggeen fo en obligatoisk konveteing e bestemt diekte ud fa aktiekusen, da skal man sike, at konveteingen ikke føe til en oveføsel af vædi mellem ejee og CoCo-obligationsholdee. Eftesom aktie e en foding på bankens egenkapital, skal CoCo-obligationene pisfastsættes sammen med aktiene. Og hvis den samlede vædi af banken e uændet, skal en stigning i CoCo-obligationsvædi esultee i et tilsvaende fald fo ejene. Elles e de vædioveføsel, hvilket give agente incitament til at manipulee kusen. Defo e vædioveføsel ved konveteing ikke tilladt. Illustation af vædifastsættelsespoblemet Det antages, at bankens kapitalstuktu e givet og indeholde CoCo-obligatione, obligatione og aktie, de henholdvis notees C t, B t og S t. Banken holde også en potefølje af aktive, A t. CoCo-obligationen konvetee til aktie) ved en bestemt aktiekustigge. De gælde, at aktiekustiggeen e K t, og ved tiggebegivenhed konvetees til m t aktie m t e konveteingsfoholdet. Tiggeen og konveteingsfoholdet e enten faste og konstante elle pæspecificeede funktione af obsevebae vaiable. Dette fastsættes i den individuelle CoCo-obligationskontakt he notees det ligeledes, om de e funktione af makeds- elle egnskabsfohold fx aktiekus elle RVA). Den simpleste fom fo CoCo-obligatione ha konstant konveteingsfohold og benytte en obseveba tigge aktiekus). I [Flanney 2002)] e tiggeen og konveteingsfoholdet henholdsvis givet som

148 140 BILAG C. TIL KAPITEL 3 K t = z RVA t n og m t = C K t, C.82) hvo z e en given konstant og RVA fastsættes hvet kvatal. Hvis de ikke blev konveteet sidste kvatal, e z RV A konstant. Ego kan opsætningen i [Flanney 2002)] betagtes som simpel. Tiggeen kan benyttes til at konstuee CoCo-obligatione med egenskabe som stemmeløse elle nomale aktie. Hvis tiggeen e givet ved K t = 0 fo alle t < T, konvetee den aldig, men tvinge helle aldig banken til at gå fallit. He fungee de som stemmeløse aktie. Omvendt, hvis K t = + og konveteingsfoholdet e m, ske konveteingen pompte, og fohenvæende) CoCo-obligationsholdee modtage m aktie de fungee således som nomale aktie. Fo at sike, at CoCo-obligationene ej tage ovenstående fome pålægges det, at K t R + \0 C.83) Fo lavt konveteingsfohold Budskabet ved nedenstående eksempel e, at hvis man ønske en unik ligevægtspis, kan tiggeen og konveteingsfoholdet ikke vælges abitæt. Det antages, at aktivenes initialvædi A 0 ) e høj nok til ingen konveteing, at obligation indfies til kus B = 80 og udløbe i mogen ved t = 1, at pålydende vædi af CoCo-obligation e C = 10, at aktiekustiggeen e K = 5, og endelig e konveteingsfoholdet m = 1. Hvis vædien af aktivene til tidspunkt t = 1 vise sig at væe A 1 = 95, e den tilsvaende aktiekus afhængig af, om investoene to på konveteing C) elle ej N C). S NC = = 5 og S C = = 15 2 = 7.5. Poblemet e altså, at nå ingen ha tilto til konveteing, da e ligevægtskusen 5 konveteing), men nå investoe to på konveteing, e ligevægtskusen 7.5 ingen konveteing). Dette ske til tods fo, at de bae e ændet på foventningsdannelsen vedøende udfaldet om konveteing. Kilden e et fo lavt konveteingsfohold, de skabe vædioveføsel fa CoCo-obligationsholdene til ejene ved konveteing. Fo højt konveteingsfohold Det antages, at Aktivenes initialvædi e A 0 = høj nok til ingen konveteing, Obligation indfies til kus B = 80 og udløbe i mogen ved t = 1, Pålydende vædi af CoCo-obligation e C = 10, Aktiekus-tiggeen e K = 5, og

149 C.10. SUNDARESAN & WANG: FLERE LIGEVÆGTSKURSER 141 endelig e konveteingsfoholdet m = 3. Hvis vædien af aktivene til tidspunkt t = 1 vise sig at væe A 1 = 100, da e den tilsvaende aktiekus afhængig af, om investoene to på konveteing elle ej. Ved ingen to på konveteing e S NC = og ved foventning om konveteing e = 10, C.84) S C = = 20 4 = 5, C.85) som e lig tiggeen, hvofo de e obligatoisk) konveteing. Poblemet e altså, at nå ingen ha tilto til en konveteing, da e ligevægtskusen 10, men nå investoe to på konveteing, så ænde ligevægtskusen sig til 5. Således e de to mulige ligevægtskuse, nå A 1 = 100. Dette komme sig af, at konveteingsfoholdet e fo høj. Det gø, at de oveføes vædi fa egenkapitalen til CoCo-obligationsholdee. Hvis m = 2, e S NC = = 10, C.86) og ved to på konveteing blive S C = = 20 3 = C.87) Selvom pisene ikke e lig hinanden hvilket ikke kan foventes, nå foventningen til femtiden ikke e lig hinanden så udløse ingen af tilfældene konveteing. Valg af konveteingsfohold Fo en unik ligevægtskus skal konveteingsfoholdet sættes nøjagtig, så de ingen oveføsel af vædi mellem ejee og CoCo-obligationsholdee e, hvilket i ovenstående eksempel betyde, at m = Vædi af ej-konveteet CoCo-obligation Aktiekus-tigge = 10 5 = 2. Med dette konveteingsfohold foanledes de ingen tvetydighed vedøende konveteing elle ej. S NC = = 5 og S C = = 15 3 = 5.

150 142 BILAG C. TIL KAPITEL 3 I begge tilfælde fodes de konveteing. Ved udløb oveføes de ikke vædi mellem eje og CoCoobligationsholde, nå konveteingsfoholdet e som foeslået i [Flanney 2002)], m = C K. Hvis aktiekusen fode konveteing ved udløb, modtage CoCo-obligationsholdene ms T, og da S T = K, e ms T = mk = C, som e lig vædien CoCo-obligationsholde ville modtage, hvis de ikke va konveteing ved udløb. Poblemet e, at dette konveteingsfohold undevejs kan give anledning til ligevægte på hve sin side af tiggeen. Nedenfo gennemgås en en-peiode tinomialmodel, hvo m = 2. Det antages, at aktivenes vædi antage vædien A u 1 = 110 med 30% sandsynlighed, Am 1 = 95 med 40% sandsynlighed og Ad 1 = 70 med 30% sandsynlighed den næste dag, altså t = 1. Investoe agee isikoneutalt, og enten sættes fo nemheds skyld til nul. Med disse betingelse og oplysninge e vædien af aktivene i dag, A 0, givet ved P A u 1 = 110) = 30% A 0 = 0.3 Au Am Ad = =92. Det e tydeligt, at banken ikke kan imødekomme sine fodinge ved noden A d 1, men både ved den midteste og øveste, henholdvis A m 1 og A u 1, kan banken tilbagebetale obligationen se figu C.4). Defo e vædien af obligationen i dag, givet ved A 0 = 92 P A m 1 = 95) = 40% P A d 1 = 70) = 30% 80, ingen fallit B = 77 80, ingen fallit 70, fallit Figu C.4: Aktiv- og obligationsvædi B 0 = 0.3 minau 1, B) minam 1, B) minad 1, B) 1 + Hvis makedet ikke fovente konveteing, e pisfastsættelsen ved de foskellige node som følge: øveste node give 80 til obligationsholdene, 10 til CoCo-obligationsholdene, mens egenkapitalen beholde esidualen på 20. Ved den midteste node få obligationsholdene det, de skal have, men nå CoCo-obligationsholdene tage 10, e de bae 5 tilbage til ejene konveteing), hvofo CoCo-obligationsholdene modtage m K aktie, altså 2 aktie til kus 5. Ved nedeste node gå banken fallit, hvofo CoCo-obligationsholdene og ejene ingenting modtage. Ved bug af sandsynlighedene fa figu C.4 e nutidsvædien fo CoCoobligation og aktie således C 0 = 7 S = 8 = , ingen konveteing = , konveteing til to aktie 0, fallit 20 = = , fallit Figu C.5: CoCo-obligationsvædi og aktiekus uden to på konveteing

151 C.10. SUNDARESAN & WANG: FLERE LIGEVÆGTSKURSER 143 C 0 = = 7 og S 0 = = 8. Bemæk, at den foventede aktiekus e konsistent med den faktiske, da S = = 8. 1 Defo stemme det oveens med ingen konveteing i dag. Hvis konveteing e foventet, e pisfastsættelsen ved de foskellige node som følge: øveste node give 80 til obligationsholdene, CoCo-obligationsholdene fovente konveteing, hvofo de skal dele esidualen med den eksisteende egenkapital. Da m = 2 modtage de to aktie, og få således 2 3 af esidualen, hvilket e 20. Ejene modtage den sidste tedjedel. Ved den midteste node tage CoCo-holdene igen to tedjedele af esidualen, hvilket e 10. Som fø få egenkapitalen esten. Bemæk, at de he e konveteing. Ved den nedeste node e de ingen C 0 = 10 esidual, da obligationsholdene tage det hele. Beegninge til figu C.6 e givet he og femgå til dels også af figuene. og C 0 = S 0 = = 5 = 10. S 0 = 5 20 = , ingen konv. 10 = , konv. to aktie 0, fallit 10 = = , fallit Figu C.6: CoCo-obligationsvædi og aktiekus med to på konveteing. Demed en ny ligevægt. Aktiekusen i dag e 5, hvofo de konvetees. Og eftesom S = = 5, e denne kus ligeledes både den foventede og den faktiske. Konveteing i dag e således konsistent med tiggeen og ationel foventning til ligevægten e C = 10 og S = 5. Med to foskellige ligevægte, må pisen på CoCo-obligationen foblive ubestemt i noden fø udløb, altså i dag. Men hvofo opstå de to ligevægte på denne node? Konveteingsfoholdet ved noden fø udløb vise sig at væe fo høj, hvilket give vædioveføsel fa eje til CoCo-obligationsholde. Fo at sike, de ikke e vædioveføsel skal konveteingsfoholdet ved føste node ændes til mk = C 0 m = C 0 K = 7 5 = 1.4. Poblemet med denne metode e, at man til hve node skal kende vædien af CoCo-obligationen, hvilket i en en-peiode tinomialmodel e en ovekommelig opgave, men ikke implementéba i sto skala navnligt siden CoCo-obligatione e helt nye på makedet. 1 Den e iøvigt indsneget en slåfejl i oignalatiklen [Sundaesan 2010)].

152

153 Bilag D Til kapitel 4 D.1 R-kode: Rentekalibeing I dette afsnit af bilaget gennemgås R-koden, de e anvendt til at finde paamete til CIR-ente simulationen, de e bugt ved case study af Cedit Suisses offentlig udstedte CoCo-obligatione BCN). Pogammet buge i al sin enkelthed infomationene fa [Pennacchi 2010)] om, hvodan en isikofi entestuktu tage sig ud på CIR-fom. I pogammet anvendes en indbygget R-funktion, kaldet optim. Denne anvende en Nelde-Meadalgoitme til at optimee. Denne algotime beskives i af R som obust, men langsom. Elles anvendes de blot funktione, de laves i pogammet. Føst gennemgås hele pogammet, hvo de ingen speciel vægtning e lavet. Heefte følge den del af pogammet, de afvige, nå de laves en vægtning af den kote ende, og heefte den lange ende. Opeatione og tanke e beskevet i pogamkoden. Kommentae femgå med # foan. 1 Sidste afsnit af denne del af bilaget inkludee nogle tilfældige eksemple på, hvodan entekalibeingen kan se ud. Idéen e he at vise, at de findes te kategoie, nå man tilpasse en entekuve: God kuve, Dålig kuve og endelig Gim kuve. Den gode kuve e selvsagt givet ved de tilpasninge stiplede kuve), de følge den givne entekuve pænt. Den dålige kuve følge nogensteds den fuldoptukne, sote kuve, men afvige typisk makant i en af endene. Og slutteligt, den gimme kuve he e tilpasningen helt skæv, og fittet synes ingensteds at ligne et fosøg på at amme ente-kuven. Ingen vægtning # CaseStudyFitCIRNomW # Dette pogam fitte en CIR-kuve til en given entestuktu. # Nedenstående funktion om danne en vaiabel på dato fomat til en numeic/eelt-tal. YYYYMMDDtoReal <- functionz) 1 Data og kode e venligst udlånt af pofesso ved Københavns univesitet Rolf Poulsen. 145

154 146 BILAG D. TIL KAPITEL 4 etunz%/% /12)*z%%10000)%/%100-1)+1/365)*z%%100-1)-1)) # Nedenstående funktion buge de oplysninge, # som Pennacchi give på s om Default-Fee Tem Stuctue. # Dette give NKO-pisen, nå enten følge en CIR-poces. # Altså, ZCBCIR =Zeo Coupon Bond CIR). # ZCBCIR buge 5 paamete: # = _0, statvædien af enten # tau = TTM, tid til udløb. # Qpaam = cthe, kap, sig), ligevægtsniveau, speed-of-adjustment, ente-vol en # Funktionen buge de 5 paamete og etunee NKO-pisen. ZCBCIR <- function,tau,qpaam) the <- Qpaam[1] kap <- Qpaam[2] sig <- Qpaam[3] gam <- sqtkap^2+2*sig^2) Btau <- 2*expgam*tau)-1) /gam+kap)*expgam*tau)-1)+2*gam) Atau <- 2*gam*expgam+kap)/2)/ gam+kap)*expgam*tau))-1)+2*gam))^2*kap*the/sig^2) ZCBCIR <- exp-*btau)*atau # Woking diectoy sættes. #setwd"/uses/jensnielsen/dopbox/skole/afhandling/r Kode") # Nedenfo indlæses nogle NKO-entekuve. # Disse e danske. Rates <- tmatixscan"nyk_2010updated.txt"),ncol=121,byow=t)) # Antallet af enteobsevatione og løbetide bestemmes. NoDates <- ncolrates)-1 NoMats <- nowrates)-1 # Fomattet på Dates og Mats og Rates ændes via funktionen YYYYMMDDtoReal Dates <- Rates[1,NoDates+1):2] RealDates <- YYYYMMDDtoRealDates) Mats <- Rates[2:NoMats+1),1] Rates <- Rates[2:NoMats+1),NoDates+1):2] # don t use matuity 0 fom this set

155 D.1. R-KODE: RENTEKALIBRERING 147 # Nedenfo følge et fit a en CIR-ente fo en given dag. Date <- 1 # Sæt dato, elle bug unif-funktion fo tilfældig dato. Cuve <- Rates[,Date] # Den valgte kuve gemmes. # Nu definees en kiteie-funktion. # Denne tage ligeledes 5 paamete. # De 5 paamete buges i funktionens føste linje, # hvo funktionen ZCBCIR kaldes. # Vædien heaf gemmes i ZCB, # og den tilsvaende ef.-ente gemmes i yield. # Funktionen cit etunee den absolutte foskel mellem # den valgte kuve Cuve og den fittede yield. cit <- functionpaam) ZCB <- ZCBCIRpaam[1],Mats,paam[2:4]) yield <- -logzcb)/mats etunsumabsyield-cuve))) # Nedenstående funktion benytte den optim til at # finde vædie af _0), the_ba), kapkappa) og sigsigma_). # Som statvædie benyttes: # = Cuve[1] statvædi fo den valgte kuve), # the = Cuve[lengthCuve)] slutvædi fo den valgte kuve), # kap = 0.25 og # sig = 0.1 tstnomw <- optimpa=ccuve[1],cuve[lengthcuve)], 0.25,0.1),fn=cit) # De fundne paamete benyttes til at finde # CIR-entekuve tilpasningen. yieldnomw <- -logzcbcirtstnomw$pa[1],mats,tstnomw$pa[2:4]))/mats Vægtning af den kote ende... # Foskel: He e esultatet ganget med 1/Mats. # Dette lægge effektivt vægt på vædiene i den kote ende. cit <- functionpaam) ZCB <- ZCBCIRpaam[1],Mats,paam[2:4]) yield <- -logzcb)/mats

156 148 BILAG D. TIL KAPITEL 4 etunsumabsyield-cuve)/mats)) tstshotw <- optimpa=ccuve[1],cuve[lengthcuve)], 0.25,0.1),fn=cit) yieldshotw <- -logzcbcirtstshotw$pa[1],mats,tstshotw$pa[2:4]))/mats Vægtning af den lange ende... # Foskel: He e esultatet ganget med Mats. # Dette lægge effektivt vægt på vædiene i den lange ende. cit <- functionpaam) ZCB <- ZCBCIRpaam[1],Mats,paam[2:4]) yield <- -logzcb)/mats etunsummats*absyield-cuve))) tstlongw <- optimpa=ccuve[1],cuve[lengthcuve)], 0.25,0.1),fn=cit) yieldlongw <- -logzcbcirtstlongw$pa[1],mats,tstlongw$pa[2:4]))/mats Eksemple: tilfældige CIR-entekuve tilpasninge Figu D.1: Rentekuve med CIR-entekuve tilspasninge.

157 D.2. RESULTATER MED LAVERE EGENKAPITALSTRIGGER, Ē 149 D.2 Resultate med lavee egenkapitalstigge, ē Figu D.2: Case study. Lavee egenkapitalstigge. λ/σ Figu D.3: Case study. Lavee egenkapitalstigge. λ/µ

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år.

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år. 16. septembe 8 Afdagsfie lån og pisstigninge på boligmakedet Den stigende populaitet af de afdagsfie lån ha ad flee omgange fået skylden fo de kaftigt stigende boligpise de senee å. Set ove en længee peiode

Læs mere

TDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud

TDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud TC A/S Nøegade 21 0900 København C Afgøelse om fastsættelse af WACC i fobindelse med omkostningsdokumentation af pisene i TC s standadtilbud Sagsfemstilling en 29. juni 2006 modtog TC s notat om den beegningsmæssige

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal 1 Opspaing og lån Mike Auebach Odense 2010 Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen. På

Læs mere

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen Ehvevs- og Selskabsstyelsen Måling af viksomhedenes administative byde ved afegning af moms, enegiafgifte og udvalgte miljøafgifte Novembe 2004 Rambøll Management Nøegade 7A DK-1165 København K Danmak

Læs mere

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen Rentesegning: Lektion A1 Foentningsfakto, Diskonteingsfakto, og Pete Ove Chistensen Foå 2012 1 / 49 Oveodnede spøgsmål i Rentesegning Hvoledes kan betalinge sammenlignes, nå betalingene e tidsmæssigt adskilte?

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige

Læs mere

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Thomas Jensen og Moten Ovegåd Nielsen Annuitetslån I bogens del 2 kan du læse om Pocent og ente (s. 41-66). Vi vil i mateialet he gå lidt videe til mee kompliceede entebeegninge i fobindelse med annuitetslån.

Læs mere

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017 Pivatøkonomi og kvotientække KLADDE Thomas Heide-Jøgensen, Rosbog Gymnasium & HF, 2017 Indhold 1 Endelige kvotientække 3 1.1 Hvad e en ække?............................ 3 1.2 Kvotientække..............................

Læs mere

Praksis om miljøvurdering

Praksis om miljøvurdering Paksis om miljøvudeing Miljøvudeingsdage 2015 Nyee paksis på miljøvudeingsomådet Flemming Elbæk Flemming Elbæk, advokat, HD(Ø) Ansættelse: Advokatfuldmægtig, 2006-2008 Juist, Miljøministeiet, 2008-2012

Læs mere

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016 Regional Udvikling, Miljø og Råstoffe Jodfouening - Offentlig høing Foslag til nye foueningsundesøgelse og opensninge 2016 Decembe 2015 Food En jodfouening kan skade voes fælles gundvand, voes sundhed

Læs mere

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet Pension og Tilbagetækning - Ikke-paametisk Estimation af Heteogenitet Søen Anbeg De Økonomiske Råds Sekataiat, DØRS Pete Stephensen Danish Rational Economic Agents Model, DREAM DREAM Abedspapi 23:2 foeløbig

Læs mere

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber.

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber. - 4 - Kap. : Logaitme-, eksponential- og potensfunktione. Gundlæggende egenskabe... Logaitmefunktione. Definition... Ved en logaitmefunktion fostå vi en funktion f, som opfylde følgende te kav: ) Dm(f)

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal Mike Auebach Odense, 2010 1 OPSPARING OG LÅN Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen.

Læs mere

Etiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis

Etiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis side 06 fysioteapeuten n. 06 apil 2008 AF: FYSIOTERAPEUT, PH.D.-STUDERENDE JEANETTE PRÆSTEGAARD j.paestegaad@oncable.dk Foto: GITTE SKOV fafo.fysio.dk Etiske dilemmae i fysioteapeutisk paksis Hvis vi ikke

Læs mere

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007 Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse 2006-2007 - 1 - Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det

Læs mere

Trivselsundersøgelse 2010

Trivselsundersøgelse 2010 Tivselsundesøgelse, byggeteknike, kot-og landmålingseknike, psteknolog og bygni (Intenatal) Pinsesse Chalottes Gade 8 København N T: Indhold Indledning... Metode... Tivselsanalyse fo bygni... Styke og

Læs mere

Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009

Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Dimittendundesøgelse 2008-2009 Afspændingspædagoguddannelsen Dimittendundesøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Opsummeing af undesøgelse foetaget blandt dimittende fa Afspændingspædagoguddannelsen Datagundlag

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme og pimiske tal BETEGNELSER. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige hele

Læs mere

Projekt 1.8 Design en optimal flaske

Projekt 1.8 Design en optimal flaske ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Pojekt.8 Design en optimal flaske Fimaet PatyKids ønske at elancee dees enegidik Enegize. Den skal ave et nyt navn

Læs mere

Ønskekøbing Kommune - netværksanalyse i den administrative organisation

Ønskekøbing Kommune - netværksanalyse i den administrative organisation Ønskekøbing Kommune - netvæksanalyse i den administative oganisation Hvodan vike det i paksis? Elektonisk spøgeskemaundesøgelse Svaene fa undesøgelsen kombinees med alleede eksisteende stamdata i minde

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

p o drama vesterdal idræt musik kunst design

p o drama vesterdal idræt musik kunst design musik dama kunst design filmedie idæt pojektpocespobieenpos itpoblempovokationpodu kt p on to p ot estpobablypogessivpodu ktionpovinspomotionp otesepologpoevefipofil Vestedal Efteskole // Gl. Assensvej

Læs mere

VI SEJREDE! Vi kom, vi så,

VI SEJREDE! Vi kom, vi så, Vi kom, vi så, VI SEJREDE! Pojekt JCI Julehjælp Svendbog Hjælp os med at hjælpe ande 2011 afsluttede indsamlingen til tængte bønefamilie i Svendbog med sto succes! Søndag d. 18. dec. va sidste indsamlingsdag

Læs mere

VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE

VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE Modul 0: Speciale 0. semeste, cand.oecon Aalbog Univesitet Afleveet d. 30. maj 202 VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE Vejlede: Finn Olesen Skevet af Henik Hanghøj

Læs mere

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt.

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt. VORDINGBORG KOMMUNE N VOLDGADE ALGADE BAISSTRÆDE LOKALPLAN NR. C-16.1 Centeomåde mellem Algade og Voldgade, Vodingbog Vodingbog juni 2006 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om Byådets

Læs mere

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt.

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt. VORDINGBORG KOMMUNE NÆSTVEDVEJ N ALGADE MARIENBERGVEJ LOKALPLAN NR. C-2.2 Banegådsomådet, Vodingbog By Vodingbog august 2006 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om Byådets et og pligt

Læs mere

Gravitationsfeltet. r i

Gravitationsfeltet. r i Gavitationsfeltet Den stoe bitiske fysike Isaac Newton opdagede i 600-tallet massetiltækningsloven, som sige, at to masse m og i den indbydes afstand påvike hinanden med en kaft af følgende støelse, hvo

Læs mere

VORDINGBORG KOMMUNE. Butiksområde ved Bryggervangen LOKALPLAN NR. C-15.2. 20 kr. BØDKERVÆNGET BRYGGERVANGEN VÆVERGANGEN VALDEMARSGADE

VORDINGBORG KOMMUNE. Butiksområde ved Bryggervangen LOKALPLAN NR. C-15.2. 20 kr. BØDKERVÆNGET BRYGGERVANGEN VÆVERGANGEN VALDEMARSGADE VORDINGBORG KOMMUNE N BØDKERVÆNGET VÆVERGANGEN BRYGGERVANGEN VALDEMARSGADE LOKALPLAN NR. C-15.2 Butiksomåde ved Byggevangen Vodingbog apil 2005 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer Beeninspocedue fo de eneimæssie fohold fo fosatsvindue Nævæende dokument beskive en pocedue til bestemmelse, af de eneimæssie fohold fo fosatsvindue. Det skal notees, at beeninen e baseet på en foeløbi

Læs mere

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser.

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser. Betonø ha den støste vandføingskapacitet Et afløbssystems opgave e at lede vand samt uenhede til ensningsanlæg elle ecipient. Evnen til at gøe dette afhænge af systemets hydauliske egenskabe næmee betegnet

Læs mere

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende

Læs mere

Frivillige dyrkningsaftaler i indsatsområder

Frivillige dyrkningsaftaler i indsatsområder Miljøpojekt N. 812 2003 Fivillige dykningsaftale i indsatsomåde Gundlag og mulighede belyst ud fa kvælstofpoblematikken Egon Noe og Andes Højlund Nielsen Danmaks JodbugsFoskning Helene Simoni Thoup og

Læs mere

Forløb om annuitetslån

Forløb om annuitetslån Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 1 af 7 Foløb om annuitetslån Dette mateiale fokusee på den tpe lån de betegnes annuitetslån. Emnet kan buges som en del af det suppleende stof, og mateialet kan anvendes

Læs mere

PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING

PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING - E N M E T O D E, D E R V I R K E R I P R A K S I S HVAD ER PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING? Pædagogisk Kvalitetsevalueing gø det attaktivt fo ledelse og pesonale at gå pædagogikken

Læs mere

Helikopterprojekt Vejprospektering mellem Sisimiut og Sønderstrømfjord

Helikopterprojekt Vejprospektering mellem Sisimiut og Sønderstrømfjord Helikoptepojekt Vejpospekteing mellem Sisimiut og Søndestømfjod 7.-. august 006 Hold Emil Stüup-Toft, s060480 Vivi Pedesen, s06048 János Hethey, s03793 Moten Bille Adeldam, s00334 Rettelsesblad til tykt

Læs mere

LOKALPLAN 14-027 CENTER- OG BOLIGOMRÅDE VED JØRGEN STEINS VEJ, VESTBJERG

LOKALPLAN 14-027 CENTER- OG BOLIGOMRÅDE VED JØRGEN STEINS VEJ, VESTBJERG LOKALPLAN 14-027 CENTER- OG BOLIGOMRÅDE VED JØRGEN STEINS VEJ, VESTBJERG AALBORG KOMMUNE TEKNISK FORVALTNING JUNI 2001 Vejledning En lokalplan fastlægge bestemmelse fo, hvodan aeale, nye bygninge, beplantning,

Læs mere

VORDINGBORG KOMMUNE. Boligområde ved Kalvøvej LOKALPLAN NR. B-24.2. 20 kr. Færgegårdsvej Bogøvej. Kalvøvej

VORDINGBORG KOMMUNE. Boligområde ved Kalvøvej LOKALPLAN NR. B-24.2. 20 kr. Færgegårdsvej Bogøvej. Kalvøvej VORDINGBORG KOMMUNE N Fægegådsvej Bogøvej Kalvøvej LOKALPLAN NR. B-24.2 Boligomåde ved Kalvøvej Vodingbog apil 2005 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om Byådets et og pligt til at

Læs mere

Magnetisk dipolmoment

Magnetisk dipolmoment Kvantemekanik 9 Side 1 af 8 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π og

Læs mere

Magnetisk dipolmoment

Magnetisk dipolmoment Kvantemekanik 9 Side 1 af 9 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π I

Læs mere

Psykisk arbejdsmiljø (kort) udarbejdet af NFA (AMI)

Psykisk arbejdsmiljø (kort) udarbejdet af NFA (AMI) Psykisk abejdsmiljø (kot) udabejdet af NFA (AMI) Navn, dato, å Hvilken afdeling abejde du i? Afdelingens navn De følgende spøgsmål handle om dit psykiske abejdsmiljø. Sæt et kyds ud fo hvet spøgsmål ved

Læs mere

diagnostik Skulder fysioterapeuten nr. 05 marts 2009

diagnostik Skulder fysioterapeuten nr. 05 marts 2009 side 08 fysioteapeuten n. 05 mats 2009 diagnostik Skulde Mogens Dam e oplægsholde på fagfestivalen d. 26.-28. mats 2009. Fysioteapeut Mogens Dam ha udvalgt en ække gængse diagnostiske test fo skuldepobleme.

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Fagstudieordning for tilvalgsuddannelsen i Erhvervsøkonomi (2012-ordning)

Fagstudieordning for tilvalgsuddannelsen i Erhvervsøkonomi (2012-ordning) Fagstudieodning fo tilvalgsuddannelsen i Ehvevsøkonomi (2012-odning) 1 Indledning Til denne uddannelsesspecifikke fagstudieodning knytte sig også Rammestudieodning fo Det Samfundsvidenskabelige Fakultet,

Læs mere

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00 1 Fomål 1. At bestemme acceleationen fo et legeme med et kendt inetimoment, nå det ulle ned ad et skåplan - i teoi og paksis.. I teoi og paksis at bestemme acceleationen fo et legeme med kendt inetimoment,

Læs mere

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better A change fo the bette Intoduktion Wea&Cae e en smat løsning, de give mulighed fo at følge fugtniveauet i bleen, så den kan skiftes efte behov. Infomationen gå fa en sende på bleen til modtageens smatphone

Læs mere

Fra udsat til ansat. Medieinfo. Socialrådgiveren. job til udsatte unge. dgmedia.dk. ds advarer mod at spare i psykiatrien

Fra udsat til ansat. Medieinfo. Socialrådgiveren. job til udsatte unge. dgmedia.dk. ds advarer mod at spare i psykiatrien Socialådgiveen Medieinfo 2015 socialådgiveen 11/14 Læs mee om voes mange ande medie på Fa udsat til ansat viksomhedspaktik skaffe job til udsatte unge dgmedia.dk ds advae mod at spae i psykiatien Kommunalt

Læs mere

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen,

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen, ekommandation ovespændingsafledee til højspændingsnet Udabejdet af: Enst Boye Nielsen & Pete Mathiasen, DESITEK A/S Denne publikation e en ekommandation fo valg af ovespændingsafledee til højspændingsnet

Læs mere

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store?

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store? TEORETISK OPGAVE 3 Hvofo e stjene så stoe? En stjene e en kuglefomet samling vam gas De fleste stjene skinne pga fusion af hydogen til helium i dees entale omåde I denne opgave skal vi anvende klassisk

Læs mere

Sabatiers princip (elevvejledning)

Sabatiers princip (elevvejledning) Sabaties pincip (elevvejledning) Væ på toppen af vulkanen Sammenligning af katalysatoe Fomål I skal måle hvo godt foskellige stoffe vike som katalysato fo udvikling af oxygen fa hydogenpeoxid. I skal sammenligne

Læs mere

En forhandlingsmodel for løndannelsen

En forhandlingsmodel for løndannelsen MODELGRUPPEN Moten Wene Danmaks Statistik Abejdspapi 30. janua 2003[Udkast] En foandlingsmodel fo løndannelsen Resumé: Afløse foige papi af samme navn. [Koektulæsning og gennemskivning udestå] mo Nøgleod:

Læs mere

VORDINGBORG KOMMUNE. Boligområde "Falunparken" LOKALPLAN NR. B-25.2. 20 kr. FALUNVEJ PRINS JØRGENS ALLÈ KØBENHAVNSVEJ

VORDINGBORG KOMMUNE. Boligområde Falunparken LOKALPLAN NR. B-25.2. 20 kr. FALUNVEJ PRINS JØRGENS ALLÈ KØBENHAVNSVEJ VORDINGBORG KOMMUNE N PRINS JØRGENS ALLÈ FALUNVEJ KØBENHAVNSVEJ LOKALPLAN NR. B-25.2 Boligomåde "Falunpaken" Vodingbog mats 2005 20 k. Rettelsesblad til Lokalplan B-25.2 Lokalplan C.17.24.01 Vaehus ved

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple multinomialfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple multinomialfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple multinomialfodelingsmodelle Jøgen Lasen IMFUFA Roskilde Univesitetscente Febua 1999 IMFUFA, Roskilde Univesitetscente, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jøgen Lasen: STATISTIKNOTER:

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

SUPERLEDNING af Michael Brix Pedersen

SUPERLEDNING af Michael Brix Pedersen UPERLEDNING af Mihael Bix Pedesen Indledning I denne note foudsættes kendskab til de eleentæe egenskabe ved hödingeligningen (se fx Refeene [] elle [3], lidt eleentæe egenskabe ved koplekse tal og Eules

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Hidsig debat om fleksjobreform Sygemeldte følges tæt i Jammerbugt Når stress ødelægger helbredet

Hidsig debat om fleksjobreform Sygemeldte følges tæt i Jammerbugt Når stress ødelægger helbredet magasin om det ummelige abejdsmaked N. 14 decembe 2010 4. ågang lige mulighede fo alle altid Hidsig debat om fleksjobefom Sygemeldte følges tæt i Jammebugt Nå stess ødelægge helbedet Indhold Fleksicuity

Læs mere

Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale

Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale ...when motos must be contolled Om Gea fa Technoinganaggi Riduttoi Tilføjelse til TR s katalogmateiale ISO 9 cetificeing: Technoinganaggi Riduttoi følge ISO 9 pincippene i dees kvalitetsstying. Alle dele

Læs mere

LOKALPLAN NR. 360 HENRIETTELUND

LOKALPLAN NR. 360 HENRIETTELUND 1 LOKALPLAN NR. 360 HENRIETTELUND EN KORTFATTET BESKRIVELSE Beliggenhed Langs Kægade i Vop Lokalplanen omfatte et ca. 4,13 ha stot omåde fodelt på 4 pivate ejendomme beliggende fo foden af Tebbestp Bakke

Læs mere

Stillings- og personprofil. Trafik og vejchef

Stillings- og personprofil. Trafik og vejchef Teknik- og Miljøfovaltningens seketaiat Middelfat Kommune Østegade 21 80 Nøe Aaby www.middelfat.dk Stillings- og pesonpofil Tafik- og vejchef Middelfat Kommune Mats 2008 Opdagsgive Adesse Stilling Refeee

Læs mere

3.0 Rørberegninger. VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallationer Varme Fordelingssystem 3.0 Rørberegning. 3.1 Rørberegningers forudsætninger

3.0 Rørberegninger. VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallationer Varme Fordelingssystem 3.0 Rørberegning. 3.1 Rørberegningers forudsætninger VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallatione Vae Fodelingssyste 3.0 Røbeegning 3.0 Røbeegninge 3.1 Røbeegningens foudsætninge 3. Tyktabsbeegning geneelt 3.3 Paktiske hjælpeidle 3.4 Beegningspincip fo tostengsanlæg

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen HTX Næstved Matematik A 8 2 Indholdsfotegnelse Indholdsfotegnelse... 2 Indledning... 3 Poblemstilling... 4 Teoi... 5 Vektoe i planet... 5 Vektobestemmelse... 5 Vinkel mellem to vektoe... 6 Vektokoodinate...

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Elektrostatisk energi

Elektrostatisk energi Elektomagnetisme ide 1 af 8 Elektostatik Elektostatisk enegi Fo et legeme, de bevæge sig fa et punkt til et andet, e tilvæksten i potentiel enegi høende til en konsevativ 1 kaft F givet ved minus det abejde,

Læs mere

Notat. 18. oktober 2011. Social & Arbejdsmarked

Notat. 18. oktober 2011. Social & Arbejdsmarked Notat Fovaltning: Social & Abejdsmaked Dato: J.n.: B.n.: 18. oktobe Udf diget af: mbf Vedłende: Fłtidspension Notatet sendes/sendt til: Abejdsmakedsudvalget Fłtidspension De ha i de seneste v et en tendens

Læs mere

Boligkontoret Danmark En innovativ vej til effektiv drift. Forsøgsbeskrivelse. Boligselskabet Nordkysten

Boligkontoret Danmark En innovativ vej til effektiv drift. Forsøgsbeskrivelse. Boligselskabet Nordkysten Bligkntet Danmak En innvativ vej til effektiv dift Fsøgsbeskivelse Bligselskabet Ndkysten idp 23-05-2014 Baggund f udabejdelse af fsøgsbeskivelse Fsøgsbeskivelsen skal fungee sm et styingsedskab i fsøgspeiden,

Læs mere

Wor King Papers. Management Working Papers. Mere egenkapital i de store nordiske banker hvad koster det for banken?

Wor King Papers. Management Working Papers. Mere egenkapital i de store nordiske banker hvad koster det for banken? Wo King Papes Management Woking Papes 2017-08 Mee egenkapal i de stoe nodiske banke hvad koste det fo banken? Johannes Raaballe, mil Snede Andesen og Jacob Kjæ Bahlke Mee egenkapal i de stoe nodiske banke

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK fa C- til A- niveau. udgave FORORD Denne bog e beegnet fo studeende, som ha behov fo at epetee elle opgadee dees matematiske viden fa C elle B- niveau til A-niveau Bogen

Læs mere

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.

Læs mere

De dynamiske stjerner

De dynamiske stjerner De dynamiske stjene Suppleende note Kuglesymmetiske gasmasse Figu 1 Betelgeuse (Alfa Oionis) e en ød kæmpestjene i stjenebilledet Oion. Den e så sto, at den anbagt i voes solsystem ville nå næsten ud til

Læs mere

KICK- START STANDE FORÅRETS SALG ENTRÉ GRATIS. Endnu ledige FOR JERES MESSEGÆSTER. - mød over 20.000 købedygtige nordjyder!

KICK- START STANDE FORÅRETS SALG ENTRÉ GRATIS. Endnu ledige FOR JERES MESSEGÆSTER. - mød over 20.000 købedygtige nordjyder! DET NYE KICK- START FORÅRETS SALG - mød ove 20.000 købedygtige nodjyde! Eksklusive moms Nodjysk Ivæksætte Netvæk indbyde igen til Se side 4 GRATIS ENTRÉ FOR JERES MESSEGÆSTER Endnu ledige STANDE - SE STANDPLAN

Læs mere

Honeywell Hometronic

Honeywell Hometronic Honeywell Hometonic Komfot + Spa enegi Gulvvame Lysstying Lys Sikkehed Sikkehed Andet Andet Radiato Insight Building Automation 1 MANAGER Hometonic Manageen HCM200d e familiens oveodnede buge-inteface.

Læs mere

Diskussionsoplæg. Politisk vision for omstilling til vedvarende energi i hovedstadsregionen. Ballerup Kommune d.3/3-2015

Diskussionsoplæg. Politisk vision for omstilling til vedvarende energi i hovedstadsregionen. Ballerup Kommune d.3/3-2015 Diskussionsoplæg Politisk vision fo omstilling til vedvaende enegi i hovedstadsegionen Balleup Kommune d.3/3-2015 Enegi på Tvæs skal Finde sva på, hvodan egionen bedst muligt kan bane vejen fo en omstilling

Læs mere

MuligHeden. www.ikast-brande.dk September 2015. Robuste idéer

MuligHeden. www.ikast-brande.dk September 2015. Robuste idéer www.ikast-bande.dk Septembe 2015 Robuste idée Fitid, oplevelse og en håndsækning til kultuen En en mandeguppe ha sat sig på opgaven som scenemeste og lysfolk i Bakkehuset Skulle Ikasts kultuhus, Bakkehuset,

Læs mere

Juraen bag miljøgodkendelser

Juraen bag miljøgodkendelser Juaen bag miljøgodkendelse Juaen bag miljøgodkendelse 23. maj 2017 Haugaad Nielsen Advokatfima, Flemming Elbæk Pogam fo eftemiddagen Velkomst, pæsentation af Flemming Elbæk og pæsentation af Haugaad Nielsen

Læs mere

Kvantemekanik 10 Side 1 af 9 Brintatomet I. Sfærisk harmoniske ( ) ( ) ( ) ( )

Kvantemekanik 10 Side 1 af 9 Brintatomet I. Sfærisk harmoniske ( ) ( ) ( ) ( ) Kvantemekanik 0 Side af 9 Bintatomet I Sfæisk hamoniske Ifølge udtyk (9.7) e Lˆ Lˆ og de eksistee således et fuldstændigt sæt af = 0 samtidige egenfunktione fo ˆL og L ˆ de som antydet i udtyk (9.8) kan

Læs mere

Uddannelsesordning for uddannelsen til Gastronom

Uddannelsesordning for uddannelsen til Gastronom Uddannelsesodning fo uddannelsen til Gastonom Udstedelsesdato: 9. juni 2011 Udstedt af Det faglige Udvalg fo Gastonomuddannelsen i henhold til bekendtgøelse n. 329 af 28. apil 2009 om uddannelsene i den

Læs mere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere Appendiks B: Koosion og esleveid fo ådbindee I de følgende omales koosionspocessene fo ådbindee og hvodan man beegne esleveiden fo en koodee ådbinde. Tådbindee ha i idens løb væe udfø af: messing (en legeing

Læs mere

Julestjerner af karton Design Beregning Konstruktion

Julestjerner af karton Design Beregning Konstruktion Julestjene af katon Julestjene af katon Design Beegning Konstuktion Et vilkåligt antal takke En vilkålig afstand fa entum ud til spidsene En vilkålig afstand fa entum ud til toppunktene i "indakkene" En

Læs mere

Cisgene bygplanter. planteforskning.dk Bioteknologi

Cisgene bygplanter. planteforskning.dk Bioteknologi plantefoskning.dk Cisgene bygplante Nyttige egenskabe kan tilføes til femtidens afgøde ved hjælp af genetisk modifikation uden indsættelse af atsfemmede gene. Den nye stategi anvendes bl.a. til udvikling

Læs mere

AKTUEL ANALYSE. Nye tider på boligmarkedet 24. januar 2007

AKTUEL ANALYSE. Nye tider på boligmarkedet 24. januar 2007 AKTUEL ANALYSE Nye tie på boligmakeet 24. janua 2007 De høje pisstigningstakte på boligmakeet e løjet af, og meget tale fo en fotsat afæmpning i en kommene ti. Sien boligmakeet vente i 1993, e pisene vokset

Læs mere

Kontakt: - en anden tid et andet tempo! A13 Hobro. Løgstør. Skive. Bjerregrav Hjarbæk Fjord. Skals A13. Hobro/Randers Viborg. Kulturarvsforbindelsen

Kontakt: - en anden tid et andet tempo! A13 Hobro. Løgstør. Skive. Bjerregrav Hjarbæk Fjord. Skals A13. Hobro/Randers Viborg. Kulturarvsforbindelsen Hvolis Jenaldelandsby og Kultuavsfobindelsen, Skive Heedsvejen 135 Veste Bjeegav 9632 Møldup www.jenaldelandsby.dk hvolis@vibog.dk A13 Hobo Løgstø Bjeegav Hjabæk Fjod Skals OL Kontakt: - en anden tid et

Læs mere

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt.

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt. VORDINGBORG KOMMUNE CHR RICHARDTSVEJ N KØBENHAVNSVEJ LOKALPLAN NR. B-16.2 Boligomåde vest fo Solbakkevej, Vodingbog By Vodingbog septembe 2006 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om

Læs mere

Detaljeret information om cookies

Detaljeret information om cookies Detaljeet infomation om cookies Website: http://mbbl.dk/ Kontoldato: 2015-11-07 Kontolleet af: Cookie Repots Limited http://www.cookieepots.com/ Dette dokument e udabejdet så "Ministeiet fo By, Bolig og

Læs mere

CO 2. -regnskab For virksomheden Jammerbugt Kommune

CO 2. -regnskab For virksomheden Jammerbugt Kommune -egnskab Fo viksomheden Jammebugt Kommune Fosidebilledet vise Ryå, de gå ove sine bedde -egnskab fo Jammebugt Kommune Jammebugt Kommune indgik d. 9. oktobe 2009 en klimakommuneaftale med Danmaks Natufedningsfoening.

Læs mere

11: Det skjulte univers

11: Det skjulte univers : Det skjulte unives Jeg nævnte tilbage i kapitel 2, at de e en foklaing på, at univeset ha den oveodnede stuktu, som det ha. Men dengang manglede vi foudsætningene fo at fostå foklaingene. Siden ha elativitetsteoien

Læs mere

Impulsbevarelse ved stød

Impulsbevarelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Indhold Iulsbevaelse ved stød.... Centalt stød.... Elastisk stød... 3. Uelastisk stød... 4. Iulsbevaelse ved stød...3 5. Centalt elastisk stød...4 6. Centalt

Læs mere

Tilfredshedsmåling SKP 2015 AARHUS TECH. 1. Har du været i praktik i en virksomhed i løbet af den seneste praktikperiode? 2. Køn. 3.

Tilfredshedsmåling SKP 2015 AARHUS TECH. 1. Har du været i praktik i en virksomhed i løbet af den seneste praktikperiode? 2. Køn. 3. Tilfedshedsmåling SKP 2015 AARHUS TECH 1. Ha du væet i paktik i en viksomhed i løbet af den seneste paktikpeiode? 2. Køn 3. Alde 4. Hvo langt e du i uddannelsen? 5. Hvo meget ha du sammenlagt væet i paktik

Læs mere

150-året for. medarbejdermagasin. Nyheder fra det årlige møde i det Europæiske Samarbejdsudvalg

150-året for. medarbejdermagasin. Nyheder fra det årlige møde i det Europæiske Samarbejdsudvalg Help goup human elations and copoate cultue medabejdemagasin Sophus Falck blev født fo 150 å siden, og hele Falcks Goup Management va samlet fo at besøge hans gav. Hvofo? Koncenchefen svae på næste side.

Læs mere

Hverdagsliv før og nu. fortalt gennem Børnenes Arbejdermuseum. Arbejdsbog

Hverdagsliv før og nu. fortalt gennem Børnenes Arbejdermuseum. Arbejdsbog Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Bønenes Abejdemuseum Abejdsbog Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Bønenes Abejdemuseum Denne bog tilhøe Navn: Klasse: 1 Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Abejdemuseets

Læs mere

Nr Atom nummer nul Fag: Fysik A Udarbejdet af: Michael Bjerring Christiansen, Århus Statsgymnasium, august 2009

Nr Atom nummer nul Fag: Fysik A Udarbejdet af: Michael Bjerring Christiansen, Århus Statsgymnasium, august 2009 N. -9 Atom numme nul Fag: Fysik A Udabejdet af: Michael Bjeing Chistiansen, Åhus Statsgymnasium, august 9 Spøgsmål til atiklen 1. Hvofo vil det væe inteessant, hvis man fo eksempel finde antikulstof i

Læs mere

Danske Regioner Økonomi Vejledning 2013 Udsendt september 2013

Danske Regioner Økonomi Vejledning 2013 Udsendt september 2013 Danske Økonomi Vejledning 2013 Udsendt septembe 2013 Pis- og lønudviklingen 2012-2014 Denne vejledning indeholde en endelig opgøelse af pis- og løn udviklingen (PL) i 2012 samt et nyt skøn fo 2013 og skøn

Læs mere

Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for ovenlys

Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for ovenlys Metode til beenin af vametansmissionskoefficient (U-vædi) fo oven Nævæende notat beskive en metode til beenin af vametansmissionskoefficienten fo oven. Pincippet i beeninspoceduen tae udanspunkt i beeninsmetoden

Læs mere

( ) ( ) ( ) Størrelsesorden for funktionerne a x, x a og ln(x) (opgaveforløb v/ Bjørn Grøn og John Schächter) > ( )

( ) ( ) ( ) Størrelsesorden for funktionerne a x, x a og ln(x) (opgaveforløb v/ Bjørn Grøn og John Schächter) > ( ) Støelsesoden fo funktionene, og ln() Side f 5 Støelsesoden fo funktionene, og ln() (opgvefoløb v/ Bjøn Gøn og John Schächte) Intoduktion I dette foløb vil vi dels få et edskb til t smmenligne, hvo hutigt

Læs mere

Ejendomsværdibeskatning i Danmark

Ejendomsværdibeskatning i Danmark DET SAMFUNDSVIDENSABEIGE FAUTET Økonomisk Insiu ØBENAVNS UNIVERSITET andidaspeciale aine Gønbæk von Fühen Ringsed Ejendomsvædibeskaning i Danmak Analysee i en anvend geneel ligevægsmodel Vejlede: oul Schou

Læs mere

Arealet af en sfærisk trekant m.m.

Arealet af en sfærisk trekant m.m. ealet af en sfæisk tekant m.m. Tillæg til side 103 104 i Matematik højniveau 1 fa TRI, af Eik Vestegaad. Sfæisk tokant Givet en kugle. En plan, de passee igennem kuglens centum, skæe kuglen i en såkaldt

Læs mere

ELVISK. It-supporter, Datatekniker infrastruktur. & Datatekniker programmering. Brug e r. er v. jl f. ve r løs. af Ne. Elev Virksomhed Skole.

ELVISK. It-supporter, Datatekniker infrastruktur. & Datatekniker programmering. Brug e r. er v. jl f. ve r løs. af Ne. Elev Virksomhed Skole. Po amu dvik lin Desin up k c Ba ed Sikkeh S e v el øs nin af Ne t m Poam væ k Da ta e e i n se ba Bu e s e vi ce Se m Poam ve løs nin e Fe e i n n di jl f in Softwae ae Hadw D at aba se Si k he d ERHVERVSUDDANNELSER

Læs mere

LØSNINGER FRA OMSNØRINGSMASKINER LIMPISTOLER STRÆKFILMSOMVIKLERE KRYMPEPISTOLER PAPIRFYLDNINGSMASKINER PAL-CUT MASKINER

LØSNINGER FRA OMSNØRINGSMASKINER LIMPISTOLER STRÆKFILMSOMVIKLERE KRYMPEPISTOLER PAPIRFYLDNINGSMASKINER PAL-CUT MASKINER MASKIN- LØSNINGER FRA He finde du voes sotiment f mskine OMSNØRINGSMASKINER LIMPISTOLER STRÆKFILMSOMVIKLERE KRYMPEPISTOLER PAPIRFYLDNINGSMASKINER PAL-CUT MASKINER 94 Omsnøingsmskine og stækfilmsomviklee

Læs mere

Delegationsplan for Helsingør Kommune

Delegationsplan for Helsingør Kommune Delegasplan fo Helsingø Kommune Fomålet med at udabejde delegasplanen fo Helsingø Kommune e at skabe klahed ove hvo i oganisaen, de tæffes beslutning i fohold til opgave og sage, de ifølge lovgivningen

Læs mere

Haugaard Nielsen Advokatfirma

Haugaard Nielsen Advokatfirma Haugaad Nielsen Advokatfima Danske Havne 14. juni 2016 Compliance på miljø- og planomådet Flemming Elbæk Flemming Elbæk, advokat, HD(Ø) Ansættelse mv.: Advokatfuldmægtig, 2006-2008 Juist, Miljøministeiet,

Læs mere