Plot af B j + ǫ ij (Y ij µ α i )): σ 2 : within blocks variance. σb 2 : between blocks variance

Transkript

1 Plot af B j + ǫ ij (Y ij µ α i )): Program: res B1 B2 B3 B4 B5 1. vi starter med at gennemgå opgave 3 side nyt: to-sidet variansanalyse block σ 2 : within blocks variance σb 2 : between blocks variance Kan bruge værdier af σ 2 og σb 2 i forsøgsplanlægning: hvor mange blokke? hvor mange gentagelser pr. blok? 1 3 Modeller med tilfældige effekter Eksempel: 4 treatments, 5 blocks (opgave 3 side 513). Ensidet variansanalyse med blocking: Y ij = µ + α i + β j + ǫ ij Som oftest er vi dog ikke interesseret i de individuelle blok-effekter β j men snarere variationen mellem blok effekter. Da er model med tilfældige blok effekter mere relevant: Y ij = µ + α i + B j + ǫ ij Implementation i R > fit=lm(y~factor(treatment)+factor(block)) > anova(fit) Response: y factor(treatment) factor(block) * Residuals hvor B j N(0,σ 2 B ), ǫ ij N(0,σ 2 ) og uafhængige. Dekomposition af varians: V ary ij = σ 2 B + σ2. 2 Test for treatment giver p-værdi Estimat af σ 2 og σb 2 ( )/4 = (se WMMY). 4 er og

2 Vha. lme(): > library(nlme) > fit=lme(y~factor(treatment),random=~1 block) > summary(fit)... Random effects: Formula: ~1 block (Intercept) Residual StdDev: Fixed effects: y ~ factor(treatment) Value Std.Error DF t-value p-value (Intercept) factor(treatment) > anova(fit) numdf dendf F-value p-value (Intercept) <.0001 factor(treatment) Spørgsmål: hvilket mærke er bedst mht. vitamin? afhænger svaret af foregående spørgsmål af opbevaringstid i fryser? Interaktions plot: plot af ȳ ij mod enten i eller j: mean of Ascorbic.Acid M R S Brand factor(time) mean of Ascorbic.Acid factor(time) Bruger interaction.plot(brand,factor(time),ascorbic.acid) i R. 7 Brand M R S To-sidet variansanalyse Model: Y ijk = µ ij + ǫ ijk = µ + α i + β j + (αβ) ij + ǫ ijk Eksempel: (opgave 2 side 533) vitamin indhold i frossen juice målt for ialt 9 kombinationer af mærke (Rich food, Sealed-sweet, Minute Maid) og tid i fryser (0, 3, 7 dage) Richfood i: rækker, j: søjler, k : gentagelser. ǫ ijk N(0,σ 2 ), uafhængige. Forskel mellem middelværdi mellem række i og i indenfor jte søjle: µ ij µ i j = µ+α i +β j +(αβ) ij (µ+α i +β j +(αβ) i j) = α i α i +(αβ) ij (αβ) i j Sealed-sweet... Minute Maid... 4 gentagelser pr. kombination af de 2 faktorer. Bemærk: hvis (αβ) ij = 0 er forskel mellem rækker den samme α i α i søjler. Dvs. ingen vekselvirkning/interaktion. (αβ) ij : vekselvirkningsparameter. Vekselvirkning i vitamin data? for alle 6 8

3 Test for ingen vekselvirkning: > dyt=lm(ascorbic.acid~brand*factor(time))#brand*factor(time)) #det samme som A+B+A:B > anova(dyt) Response: Ascorbic.Acid Brand factor(time) *** Brand:factor(Time) Residuals Vekselvirkning Brand:factor(Time) ikke signifikant. Hierarkisk princip Hvis to faktorer A og B har en signifikant vekselvirkning A : B så ved vi at A har en effekt som dog afhænger af B og omvendt! I dette tilfælde giver det ikke mening at teste om A og B hver især har en effekt. Hierarkisk princip: det giver ikke mening at teste ( hoved )-effekten af en faktor som vekselvirker med en anden faktor. F.eks. kan en ikke signifikant main effect skyldes at vekselvirkning skifter fortegn... Bog nævner problemstilling s. 522 uden dog at lægge meget vægt på det hierarkiske princip Tilpasser model uden vekselvirkning: > dyt.2=lm(ascorbic.acid~brand+factor(time)) > anova(dyt.2) Eksempel (opgave 6 side 534): målinger af klæbrighed af gummi produkter produceret med/uden et bestemt stof og ved 4 forskellige temperaturer. Ialt 8 kombinationer med 4 gentagelser pr. kombination. Interaktionsplot: Response: Ascorbic.Acid Brand factor(time) e-05 *** Residuals Brand ikke signifikant, men Time er. mean of Adhesiveness Additive 1 0 mean of Adhesiveness Temp Temp Additive 10 12

4 Test for interaktion: > baat=lm(adhesiveness~factor(temp)*factor(additive)) > anova(baat) Response: Adhesiveness factor(temp) * factor(additive) e-05 *** factor(temp):factor(additive) *** Residuals Meget signifikant interaktion. Modelkontrol Varianshomogenitet: Bartlett-test og plots. Normalitet: residualer ordnet efter forventet, qqnorm indenfor grupper eller baseret på alle de studentiserede residualer. resid. ordnet efter forventet værdi studenter[order(fitted(dyt.2))] qq-plot af studentiserede residualer: Sample Quantiles Normal Q Q Plot Går derfor ikke videre med test for main effects af Temp og Additive Index Theoretical Quantiles Fortolkning af parametre > bartlett.test(ascorbic.acid~groups) > summary(baat)... Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 *** factor(temp) ** factor(temp) e-05 *** factor(temp) factor(additive) e-06 *** factor(temp)60:factor(additive) ** factor(temp)70:factor(additive) *** factor(temp)80:factor(additive) *... Reference celle er Temp=50 og Additive 0. factor(temp)80:factor(additive)1 er ændring i forskel mellem Additive 0 og Additive 1 når Temp== Bartlett test of homogeneity of variances data: Ascorbic.Acid by groups Bartlett s K-squared = , df = 8, p-value = Boxplot og plot af gruppe empiriske varianser vs. empiriske middelværdier (vitamin data): empvars empmeans

5 Tresidet variansanalyse Eksempel: (log) løn vs. køn, race og stillingstype (fuld tid/deltid). > sal.fit=lm(log(earnings)~gender*race*type) > anova(sal.fit) Response: log(earnings) gender race < 2e-16 *** type < 2e-16 *** gender:race * gender:type * race:type gender:race:type * Residuals Vender tilbage til blocking Den ensidige variansanalyse med blocking Y ijk = µ + α i + β j + ǫ ij er egentlig blot en to-sidet variansanalyse uden vekselvirkning. Dvs. når man bruger blocking bør man checke for vekselvirkning mellem blokke og behandlinger! (se side // 543 i WMMY) Signifikant tredieordens interaktion Tovejs variansanalyse med tilfældig vekselvirkning Interaktionsplot delt op efter stillingstype: mean of logearn[ft == "FT"] F Fuld tid gender[ft == "FT"] M race[ft == "FT"] White Black Other mean of logearn[ft == "PT"] F Deltid gender[ft == "PT"] M race[ft == "PT"] Karakter af tovejs-interaktion race*gender afhænger af stillingstype! Dvs. 3 vejs-interaktion. Black White Other Afprøvning af 2 slags gødninger: marken inddeles i 3 blokke så hver blok har homogen fertilitet. Hver blok inddeles i 2 delplot og indenfor hver blok tildeles de 2 gødninger tilfældigt til hver delplot (4 gentagelser for hvert delplot): Block 1 f1 f2 Block 2 f2 f1 Block 3 f1 f2 Tosidet variansanalyse: Y ijk = µ + α i + β j + (αβ) ij + ǫ ijk Alternativ: tilfældig blok og delplot effekter: Y ijk = µ + α i + B j + C ij + ǫ ijk hvor B j N(0,σ 2 B ), C ij N(0,σ 2 P ) og ǫ ijk N(0,σ 2 ). 18 V ary ijk = σ 2 B + σ2 P + σ. 20

6 Vha. anova (WMMY Table s. 545 // Table s ) Alm. to-sidet variansanalyse > anova(lm(yield~factor(block)*factor(goedn))) Response: yield factor(block) < 2.2e-16 *** factor(goedn) < 2.2e-16 *** factor(block):factor(goedn) < 2.2e-16 *** Residuals Signifikant block*gødning vekselvirkning men svarer blot til delplot-specifikke effekter. 21 > anova(lm(yield~factor(block)*factor(goedn))) Response: yield factor(block) < 2.2e-16 *** factor(goedn) < 2.2e-16 *** factor(block):factor(goedn) < 2.2e-16 *** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * > ( )/4 [1] 2.02 > ( )/(2*4) [1] Analyse vha model med tilfældig block og plot virkninger: >fit=lme(yield~factor(goedn),random=~1 block/plot) > summary(fit)... Random effects: Formula: ~1 block (Intercept) StdDev: Formula: ~1 plot %in% block (Intercept) Residual StdDev: Fixed effects: yield ~ factor(goedn) Value Std.Error DF t-value p-value (Intercept) factor(goedn) Varianskomponenter (block), (plot) og (residual). Gødning signifikant. 22