g(n) = g R (n) + jg I (n). (6.2) Analogt med begreberne, som benyttes ved det komplekse spektrum, kan man også notere komplekse signaler på formerne

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "g(n) = g R (n) + jg I (n). (6.2) Analogt med begreberne, som benyttes ved det komplekse spektrum, kan man også notere komplekse signaler på formerne"

Transkript

1 KAPITEL SEKS Komplekse signaler I forbindelse med en række signalbehandlingsopgaver er de hensigsmæssig a benye komplekse signaler, f.eks. ved karakerisering af den diskree fourier ransformaion (se kapiel 7) og ved måling af blodes hasighed (se afsni.). E kompleks signal g er e signalpar {g R, g I }, hvor g R og g I er sædvanlige reelle signaler, således a g = g R + jg I. (6.) For e kompleks digial signal gælder ilsvarende g(n) = g R (n) + jg I (n). (6.) Analog med begreberne, som benyes ved de komplekse spekrum, kan man også noere komplekse signaler på formerne g = a g exp(jψ g ) og g(n) = a g (n) exp(jψ g (n)), (6.3) hvor a g = gr + g I, a g (n) = gr (n) + g I (n), ( ) gi ψ g = arcan, (6.4) g R ( ) gi (n) ψ g (n) = arcan. g R (n) a g og a g (n) benævnes underiden indhyllingskurven for g henholdsvis g(n). Sådanne komplekse signaler er ofe nyige i praksis, ide visse signalbegreber og visse former for signalmanipulaion leere kan overskues, når dee hjælpemiddel bringes i anvendelse. Bland de komplekse signaler spiller de analyiske en fremrædende rolle, hvorfor denne delmængde omales nærmere i kap Spekrum af e kompleks signal Spekre af e kompleks signal findes ved anvendelse af de sædvanlige udryk for fourierransformaionspar, se kapilerne, 3, 4 og 5. 7

2 En følge af, a g eller g(n) er kompleks, er, a de sædvanlige lige-ulige egenskaber ved realdelen og imaginærdelen (sam ved ampliudedelen og fasedelen) af spekre går ab. For komplekse signaler haves g G ( f) og g (n) G ( f), (6.5) som de le kan vises. Udrykkes de komplekse analoge signal g på formen g = g + jg, (6.6) hvor g og g er relle signaler og g G (f) og g G (f), fås og g = (g + g ) G (f) = (G(f) + G ( f)) (6.7) g = j (g g ) G (f) = j (G(f) G ( f)). (6.8) Bruger man index R som beegnelse for realdelen af og index I for imaginærdelen af, giver nogle enkle regninger udrykkene G R (f) = G R (f) G I (f) G I (f) = G I (f) + G R (f). (6.9) Tilsvarende relaioner kan selvfølgelig opskrives for komplekse digiale signaler. 6.. Regneregler for komplekse signaler De grundlæggende sæ af regneregler for fourierransformaionspar gælder naurligvis også for komplekse signaler. I abel 6. ses en kor oversig over regnereglerne for de analoge signaler og i abel 6. ilsvarende regler for de digiale signaler. Af abel 6. ses de speciel, a man nu får en mere vidgående symmeri mellem e kompleks analog signal og des spekrum. 6.. Lineær bearbejdning af komplekse signaler Såfrem e kompleks signal skal underkases en lineær bearbejdning, f.eks. en filrering med e idsinvarian lineær sysem, modsvarer dee naurligvis en filrering af signales real- og imaginærdel med de pågældende filer. Er filres impulssvar reel, bliver der alså ale om o filreringer, hvorimod man med kompleks impulssvar må udføre fire reelle filreringer, se figur 6.. Som eksempel på e ofe anvend filer med kompleks impulssvar kan nævnes h m (n) = Filres overføringsfunkion, som le findes il H m (f) = N N ejm π N n n N ellers. (6.6) sin π(fn T m) sin π(f T m/n) e jπ(n )(f T m/n), (6.7) er en funkion af parameeren m. Den ses afbilde på figur 6. illige med filres impulssvar. Jf. den diskree fourierransformaion, se kap Kapiel 6. Komplekse signaler

3 Regneregler for komplekse analoge signaler g G(f); g G (f); g G (f). Lineariesreglen ag + bg ag (f) + bg (f), a og b konsaner (6.). Symmerireglen 3. Tidsransformaionsreglen G g( f) (6.) 4. Reglen om skif af idsaksens rening 5. Reglen om forskydning af idsaksens nulpunk 6. Reglen om forskydning af frekvensaksens nulpunk 7. Differeniaionsreglen 8. Foldningsreglen g(k) k G(f ), k en posiiv, reel konsan (6.) k g( ) G( f) (6.3) g( + ) G(f)e jπf, en reel konsan (6.4) ge jπf G(f + f ), f en reel konsan (6.5) d p g d p (jπf) p G(f), ( jπ) p g dp G(f) df p, p er e hel al (6.6) g g G (f)g (f); g g G (f) G (f) (6.7) Parseval: g g d = G (f)g (f)df (6.8) Tabel 6.: Regneregler for komplekse analoge signaler 6.. Spekrum af e kompleks signal 9

4 Regneregler for komplekse digiale signaler g(n) T G(f); g (n) T G (f); g (n) T G (f). Lineariesreglen. Symmerireglen er ikke relevan ag (n) + bg (n) T ag (f) + bg (f), a og b konsaner (6.9) 3. Tidsransformaionsreglen er ikke relevan. 4. Reglen om skif af idsaksens rening 5. Reglen om forskydning af idsaksens nulpunk 6. Reglen om forskydning af frekvensaksens nulpunk 7. Differeniaionsreglen g( n) T G( f) (6.) g(n + n ) T G(f)e jπfn T, n e hel al (6.) g(n)e jπf n T T G(f + f ), f en reel konsan (6.) 8. Foldningsreglen (jπn T ) p g(n) T dp G(f) df p, p e hel al (6.3) g (n) g (n) T G (f)g (f); g (n)g (n) T G (f) G (f) (6.4) Parseval: n= g (n)g(n) = fg G (f)g f (f)df (6.5) g f g Tabel 6.: Regneregler for komplekse digiale signaler Kapiel 6. Komplekse signaler

5 Figur 6.: Filrering af komplekse signaler. Realdel Imaginaerdel h R (n) h I (n) n 5 5 n N = 6.8 H (f), N= f/f s arg H (f) f/f s Figur 6.: Impulssvar og overføringsfunkion for kompleks filer il diskre fourierransformaion. 6.. Spekrum af e kompleks signal

6 6. Analyiske signaler E analyisk signal er e signal, hvis spekrum er ensidig. Dee beyder for analoge signaler, a des spekrum for f > eller f <, hvorimod de for digiale signaler, hvis spekre er periodiske, indebærer, a spekre enen er for f g < f < og i de heril svarende dele af de periodiske spekrum, eller for < f < f g sam i de il dee område svarende dele af spekre. Den ovenfor anføre beingelse på e analyisk signals spekrum giver e bånd mellem realdelen og imaginærdelen af de komplekse signal. 6.. Analyiske analoge signaler Tager man udgangspunk i e reel signal g med spekre G(f), vil der om de il g svarende analyiske signal z g gælde, a G(f) for f > z g Z g (f) = G() for f = (6.8) for f <. Af dee udryk ses de umiddelbar, a Z g (f) = [ + sgn(f)]g(f). (6.9) Da j π sgn(f), er dee ensbeydende med z g = (δ + j ) g. (6.3) π Indføres her g H = g π, (6.3) som benævnes den hilberransformerede af g, ses de, a z g = g + jg H. (6.3) Bemærk, a zg også er analyisk med spekre for f > Zg ( f) = G() for f = G(f) for f <, (6.33) og a man følgelig har, a g = (z g + z g). (6.34) Skriver man z g på formen vil z g = a z exp(jψ z ) (6.35) g = a z cos(ψ z ) og g H = a z sin(ψ z ). (6.36) Såfrem e analyisk signal z g filreres med e filer med reel impulssvar h, vil udgangssignale y fra filre være give ved y = h z g = h g + jh g H. (6.37) sgn(f) angiver foregnsfunkionen, som giver + for f >, for f < og for f =. Kapiel 6. Komplekse signaler

7 Beegnes den hilberransformerede af h med h H, får man umiddelbar, a y = g (h + jh H ) = g z h. (6.38) Denne relaion er underiden nyig a anvende, når man ønsker a arbejde med analyiske signaler, og der blo foreligger e reel signal som sargrundlag. Bemærk, a h H normal er akausal. Anvender man symmerireglen på de analyiske signaler, kan man konsaere, a realdelen og imaginærdelen af e kausal signals spekrum er hinandens hilberransformerede. Denne og en række andre egenskaber for hilberransformaionen kan finde i abel 6.3. I abellen angiver H hilberransformaion og g = H{g}. 6.. Analyiske digiale signaler Benyes i dee ilfælde e reel digial signal g(n) G(f) som udgangspunk, vil spekre af de heril svarende analyiske signal 3 z g (n) være give ved hvor p er e hel al. Til spekre G(f) for pf g < f < (p + )f g z g (n) Z g (f) = G(f) for f = pf g ellers, (6.49) for pf g < f < (p + )f g for f = pf g (6.5) for +(p )f g < f < pf g svarer signale hvorfor man sraks får j nπ sin (n π ), (6.5) z g (n) = (δ(n) + j nπ sin (n π )) g(n). (6.5) I analogi med forholdene i kap. 6.. benævnes den hilberransformerede af g(n), og man har da g H (n) = g(n) nπ sin (n π ) (6.53) z g (n) = g(n) + jg H (n). (6.54) For digiale filre med reel impulssvar h(n) gælder på lignende vis som anfør i kap. 6.. a hvor z h (n) = h(n) + jh H (n) = h(n) + jh(n) nπ sin (n π ). h(n) z g (n) = g(n) z h (n), (6.55) 3 Formel se kommer man i maemaiske vanskeligheder, når man overfører begrebe analyisk signal il de digiale signaler. En sor del af disse problemer kan imidlerid omgås, såfrem man på passende vis anvender, a der il e digial signal svarer e ækvivalen analog signal. 6.. Analyiske signaler 3

8 Egenskaber for hilberransformaionen. Linearie H{ag + bg } = a g + b g, a og b konsaner (6.39). Forskydning af idsaksens nulpunk H{g( + )} = g( + ), en reel konsan (6.4) 3. Hilberransformere af hilberransformere H{H{g}} = g, (6.4) 4. Invers hilberransformaion x = H g {g} = du = g π( u) π (6.4) 5. Lige/ulige egenskab g lige g ulige g ulige g lige (6.43) 6. Energibevarelse 7. Orogonalie 8. Modulaion hvis 9. Foldning. Spekrum g d = g d (6.44) g gd = (6.45) H{g cos(πf )} = g sin(πf ) (6.46) G(f) = { G(f) f F, f > F ellers H{g h} = g h = g h (6.47) H{G R (f)} = G I (f), H{G I (f)} = G R (f) (6.48) hvor g G(f) = G R (f) + jg I (f) og g er reel og kausal. Tabel 6.3: Egenskaber for hilberransformaionen. 4 Kapiel 6. Komplekse signaler

9 G(f). Z (f)..5 f g f.5 f.5 f Figur 6.3: Konsrukion af analyisk signal. 6.3 Øjebliksampliude og øjebliksfrekvens For e båndbegrænse reel signal g med øvre grænsefrekvens f g gælder der de særlige, a man ved anvendelse af reglen om forskydning af f-aksens nulpunk får e analyisk signal, når forskydningen f > f g, se eksemple på figur 6.3. Man finder alså, a de komplekse signal z = ge jπf er analyisk ( f > f g ). Med z = g + jg H, (6.56) hvor g H er den hilberransformerede af de reelle signal g, fås da umiddelbar g = g cos(πf ) og g H = g sin(πf ). (6.57) Anager man nu, a g, ses de sraks, a a z = g og ψ z = πf. (6.58) Øjebliksampliuden af z er da g, og sørrelsen ψ z/π kan siges a være signales øjebliksfrekvens, se eksemple på figur 6.4. Opgives beingelsen på g således, a g kan være både posiiv og negaiv, bliver øjebliksampliuden a z = g, og fasedelen af de analyiske signal ψ z vil få spring på ±π il de idspunker, hvor g skifer foregn. De vil dog sadig være således, a ψ z vil være proporional med øjebliksfrekvensen, når der ses bor fra diskoninuiespunkerne (se figur 6.5). Begreberne øjebliksampliude og øjebliksfrekvens kan formel overføres il de almindelige ilfælde, hvor de analyiske signal z er give på formen a z exp(jψ z ). På figur 6.6 ses e eksempel, hvor ψ z har en ikke-lineær variaion med iden. Også ved ikke-analyiske signaler finder disse begreber anvendelse, ligesom de er mulig a definere ilsvarende sørrelser for digiale signaler (jf. kap. 6..). Da ψ = arcan g H g (6.59) fås de ved differeniaion, a øjebliksfrekvensen også kan udrykkes på formen ψ π = π gg H g Hg g + g H. (6.6) 6.3. Øjebliksampliude og øjebliksfrekvens 5

10 .5.8 g a z g H ψ z Figur 6.4: Øjebliksampliude og -fase for analyisk signal..5.8 g a z g H ψ z Figur 6.5: Øjebliksampliude og -fase for analyisk signal med diskoninuiepunk. 6 Kapiel 6. Komplekse signaler

11 .5.8 g R a z g I ψ z Figur 6.6: Øjebliksampliude og -fase for analyisk signal med ikke-lineær variaion for ψ z Lineær FM-signal De komplekse signal exp(jπr ), hvor r er en konsan, har visse ineressane egenskaber. Af udrykke for signale ses de sraks, a ampliudedelen af signale er, og a signales fasedel er give ved På figur 6.7 ses signale afbilde. Signales spekrum findes formel af G F M (f) = e jπr e jπf d = e jπf /r ψ = πr. (6.6) e jπr( f/r) d = j r e jπf /r. (6.6) Signales ampliudespekrum er alså konsan (uafhængig af frekvensen), og des fasespekrum varierer kvadraisk med frekvensen. Bemærk ligheden mellem signal og spekrum. Signales øjebliksfrekvens f i kan findes il 4 f i = ψ /π = r. (6.63) f i vokser alså lineær med iden, således som man også kan se på figur 6.7, og dee er grunden il, a signale beegnes e lineær frekvensmodulere signal. De ses umiddelbar, a dee signal ikke ilhører mængden af signaler med endelig energi. De gør derimod signale g = a exp(jπr ), (6.64) hvor a er e passende valg reel signal. Dee signals spekrum G(f) kan fås af udrykke G(f) = e jπf /r ae jπr(f/r ) d. (6.65) 4 Heraf ses de, a konsanen r angiver, hvor hurig frekvensen af signale ændrer sig med iden (f.eks. i Hz/sek) Øjebliksampliude og øjebliksfrekvens 7

12 .5 ( r).5 g R r.5 g I g I.5.5 g R Figur 6.7: Kompleks FM-signal g F M = exp(jπr ). 8 Kapiel 6. Komplekse signaler

13 Formen af G(f) er alså besem af en foldning af de o funkioner a(f) og exp(jπrf ). Medens resulae af denne foldning ikke alid lader sig direke beregne, kan man for mege sore værdier af parameeren r benye sig af følgende bekvemme ilnærmelse. Om signale p = p j exp(jπp ) (6.66) gælder de, a p δ, når p. Følgelig vil man for sore værdier af produke rt, hvor T er varigheden af a, have, a G(f) a( f r ) j r e jπf /r (6.67) såfrem a(f) er koninuer. G(f) har under disse beingelser omren samme form som a (dog passende skalere). Af fourierransformaionsparre a exp(jπr ) G a (f) j r exp( jπf /r), (6.68) hvor a G a (f), kan man med lignende beragninger som ovenfor sam ved anvendelse af symmerireglen få, a signale a exp(jπr ) vil have en indhyllingskurve af formen G a (f) passende skalere og forskud, når produke rt er lille. Figur 6.8 ses eksempler på foldningsresulaer for e firkansignal, hvis varighed ændres. Bemærk, a man, såfrem a er idsbegrænse, d.v.s. sarer il = og sluer il =, får e FMsignal med sarfrekvensen r og slufrekvensen r. Dee kan naurligvis også opnås ved passende anvendelse af reglen om forskydning af frekvensaksens nulpunk Øjebliksampliude og øjebliksfrekvens 9

14 g R cos(π r ) ( r).5 g I sin(π r ) r g g * exp(jπ r ) x 3 g g * exp(jπ r ) x g 3 g 3 * exp(jπ r ) Figur 6.8: Midle kompleks FM-signal. Kapiel 6. Komplekse signaler

Digitale periodiske signaler

Digitale periodiske signaler KAPITEL FEM Digitale periodiske signaler For digitale signaler, som er periodiske, gælder det, at for alle n vil hvor det hele tal er perioden. g(n + ) = g(n), (5.) Af udtrykkene ses det, at periodiske

Læs mere

Skriftlig prøve Kredsløbsteori Onsdag 3. Juni 2009 kl (2 timer) Løsningsforslag

Skriftlig prøve Kredsløbsteori Onsdag 3. Juni 2009 kl (2 timer) Løsningsforslag Skriflig prøve Kredsløbseori Onsdag 3. Juni 29 kl. 2.3 4.3 (2 imer) øsningsforslag Opgave : (35 poin) En overføringsfunkion, H(s), har formen: Besem hvilke poler og nulpunker der er indehold i H(s) Tegn

Læs mere

Anvendelse af den diskrete fouriertransformation

Anvendelse af den diskrete fouriertransformation KAPITEL SYV Anvendelse af den diskrete fouriertransformation En meget anvendt beregningsprocedure inden for digital signalbehandling er den diskrete fouriertransformation (i det følgende forkortet til

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock July 27, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C nivea uden en præcis definiion. Funkionerne

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock April 7, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C niveau, men dengang havde vi ikke

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014 Maemaik A Sudenereksamen Forberedelsesmaeriale il de digiale eksamensopgaver med adgang il inernee sx141-matn/a-0505014 Mandag den 5. maj 014 Forberedelsesmaeriale il sx A ne MATEMATIK Der skal afsæes

Læs mere

Projekt 6.3 Løsning af differentialligningen y

Projekt 6.3 Løsning af differentialligningen y Projek 6.3 Løsning af differenialligningen + c y 0 Ved a ygge videre på de løsningsmeoder, vi havde succes med ved løsning af ligningerne uden ledde y med den enkelafledede, er vi nu i sand il a løse den

Læs mere

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og EPDEMER DYAMK AF Kasper Larsen, Bjarke Vilser Hansen Henriee Elgaard issen, Louise Legaard og Charloe Plesher-Frankild 1. Miniprojek idefagssupplering, RUC Deember 2007 DLEDG Maemaisk modellering kan anvendes

Læs mere

GRAFISK INTRODUKTION TIL FOURIER-RÆKKE TRANSFORMATIONEN

GRAFISK INTRODUKTION TIL FOURIER-RÆKKE TRANSFORMATIONEN GRAFISK INTRODUKTION TIL FOURIER-RÆKKE TRANSFORMATIONEN UNDERVISNINGSELEMENT # E3 UNDERVISNING I MÅLETEKNIK UNDERVISNINGSELEMENT # E3 GRAFISK INTRODUKTION TIL FOURIER-RÆKKE TRANSFORMATIONEN Knud A. Balsen

Læs mere

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk Oversig Mes repeiion med fokus på de sværese emner Modul 3: Differenialligninger af. orden Maemaik og modeller 29 Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk 3 simple yper differenialligninger

Læs mere

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004 DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies

Læs mere

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente N O T A T Bankernes rener forklares af ande end Naionalbankens udlånsrene 20. maj 2009 Kor resumé I forbindelse med de senese renesænkninger fra Naionalbanken er bankerne bleve beskyld for ikke a sænke

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET MATEMATISK FINANSIERINGSTEORI

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET MATEMATISK FINANSIERINGSTEORI NAURVIDENSKABELIG KANDIDAEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSIE MAEMAISK FINANSIERINGSEORI 4 imers skriflig eksamen, 9-3 orsdag 3/ 2. Alle sædvanlige hjælpemidler illad. Anal sider i sæe: 5. Opgave Spg..a [

Læs mere

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver Newons afkølingslov løs ved hjælp af linjeelemener og inegralkurver Vi så idligere på e eksempel, hvor en kop kakao med emperauren sar afkøles i e lokale med emperauren slu. Vi fik, a emperaurfalde var

Læs mere

i(t) = 1 L v( τ)dτ + i(0)

i(t) = 1 L v( τ)dτ + i(0) EE Basis - 2010 2/22/10/JHM PE-Kursus: Kredsløbseori (KRT): ECTS: 5 TID: Mandag d. 22/2 LØSNINGSFORSLAG: Opgave 1: Vi ser sraks, a der er ale om en enkel spole, hvor vi direke pårykker en kend spænding.

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4 Insiu for Maemaiske Fag Maemaisk Modellering 1 Aarhus Universie Eva B. Vedel Jensen 12. februar 2008 UGESEDDEL 4 OBS! Øvelseslokale for hold MM4 (Jonas Bæklunds hold) er ændre il Koll. G3 på IMF. Ændringen

Læs mere

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen Fysikrappor: Vejr og klima Maila Walmod, 13 HTX, Rosklide I gruppe med Ann-Sofie N Schou og Camilla Jensen Afleveringsdao: 30 november 2007 1 I dagens deba høres orde global opvarmning ofe Men hvad vil

Læs mere

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72.

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72. Bioeknologi 2, Tema 4 5 Kineik Kineik er sudier af reakionshasigheden hvor man eksperimenel undersøger de fakorer, der påvirker reakionshasigheden, og hvor resulaerne afslører reakionens mekanisme og ransiion

Læs mere

Lidt om trigonometriske funktioner

Lidt om trigonometriske funktioner DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK TRIGNMETRISKE FUNKTINER EFTERÅRET 000 Lid m rignmeriske funkiner Funkinerne cs g sin De rignmeriske funkiner defines i den elemenære maemaik ved

Læs mere

Undervisningsmaterialie

Undervisningsmaterialie The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan Alexis ielsen, Syddansk Universie Odense, Denmark Undervisningsmaerialie Ark il suderende og opgaver The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan

Læs mere

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003 RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Eferårssemesre 2003 Generelle bemærkninger Opgaven er den redje i en ny ordning, hvorefer eksamen efer førse semeser af makro på 2.år

Læs mere

Projekt 7.5 Ellipser brændpunkter, brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser

Projekt 7.5 Ellipser brændpunkter, brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser Hvad er maemaik? Projeker: fra kapiel 7 Projek 75 Ellipser brændpunker, brændsråler og prakisk anvendelse i en nyresensknuser Projek 75 Ellipser brændpunker, brændsråler og prakisk anvendelse i en nyresensknuser

Læs mere

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE?

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? Af Torben A. Knudsen, Sud. Poly. & Claus Rehfeld, Forskningsadjunk Cener for Trafik og Transporforskning (CTT) Danmarks Tekniske Uniersie Bygning 115, 800

Læs mere

Estimation af markup i det danske erhvervsliv

Estimation af markup i det danske erhvervsliv d. 16.11.2005 JH Esimaion af markup i de danske erhvervsliv Baggrundsnoa vedrørende Dansk Økonomi, eferår 2005, kapiel II Noae præsenerer esimaioner af markup i forskellige danske erhverv. I esimaionerne

Læs mere

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh. augus 007 Funkionel form for effekiviesindeks i de nye forbrugssysem Resumé: Der findes o måder a opskrive effekiviesudvidede CES-funkioner med o

Læs mere

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel Kemiske reakionshasigheder 1 Simpel epidemimodel I en populaion af N individer er I() inficerede og resen

Læs mere

Hvad er en diskret tidsmodel? Diskrete Tidsmodeller. Den generelle formel for eksponentiel vækst. Populationsfordobling

Hvad er en diskret tidsmodel? Diskrete Tidsmodeller. Den generelle formel for eksponentiel vækst. Populationsfordobling Hvad er en diskre idsmodel? Diskree Tidsmodeller Jeppe Revall Frisvad En funkion fra mængden af naurlige al il mængden af reelle al: f : R f (n) = 1 n + 1 n Okober 29 1 8 f(n) = 1/(n + 1) f(n) 6 4 2 1

Læs mere

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst Oversig Eksempler på hvordan maemaik indgår i undervisningen på LIFE Gymnasielærerdag Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk Sofskife og kropsvæg hos paedyr Vægforhold mellem

Læs mere

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl.

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl. Skriflig Eksamen Daasrukurer og lgorimer (DM0) Insiu for Maemaik og Daalogi Odense Universie Torsdag den. januar 199, kl. 9{1 lle sdvanlige hjlpemidler (lrebger, noaer, ec.) sam brug af lommeregner er

Læs mere

Noter til Anvendt signalbehandling

Noter til Anvendt signalbehandling Noter til 36 Anvendt signalbehandling Simon Boel Pedersen (tidligere Elektronisk Institut), Jørgen Arendt Jensen, Birthe Guldbrandsen og Kaj-Åge Henneberg Februar 7, 6 Ørsted DTU, Build. 348, Technical

Læs mere

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST ENDOGEN VÆKST MAKRO 2 2. årsprøve Forelæsning 7 Kapiel 8 Hans Jørgen Whia-Jacobsen econ.ku.dk/okojacob/makro-2-f09/makro I modeller med endogen væks er den langsigede væksrae i oupu pr. mand endogen besem.

Læs mere

Dommedag nu? T. Døssing, A. D. Jackson og B. Lautrup Niels Bohr Institutet. 23. oktober 1998

Dommedag nu? T. Døssing, A. D. Jackson og B. Lautrup Niels Bohr Institutet. 23. oktober 1998 Dommedag nu? T. Døssing, A. D. Jackson og B. Laurup Niels Bohr Insiue 3. okober 1998 Der har alid være fanaikere, som har men, a dommedag var nær, og for en del år siden kom nogle naurvidenskabelige forskere

Læs mere

Pensionsformodel - DMP

Pensionsformodel - DMP Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Marin Junge og Tony Krisensen 19. sepember 2003 Pensionsformodel - DMP Resumé: Vi konsruerer ind- og udbealings profiler for pensionsformuerne. I dee ilfælde kigger

Læs mere

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation.

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation. comfor forrængningsarmaurer Lindab Comdif 0 Lindab Comdif Ved forrængningsvenilaion ilføres lufen direke i opholds-zonen ved gulvniveau - med lav hasighed og underemperaur. Lufen udbreder sig over hele

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sædvanlige Differenialligninger a b. udgave 004 FORORD Dee noa giver en indføring i eorien for sædvanlige differenialligninger. Der lægges især væg på løsningen af lineære differenialligninger

Læs mere

Modellering af benzin- og bilforbruget med bilstocken bestemt på baggrund af samlet forbrug

Modellering af benzin- og bilforbruget med bilstocken bestemt på baggrund af samlet forbrug Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* 13. maj 2005 Modellering af benzin- og bilforbruge med bilsocken besem på baggrund af samle forbrug Resumé: Dee redje papir om en ny model for biler og benzin

Læs mere

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Fredag den 5. januar 1996, kl.

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Fredag den 5. januar 1996, kl. Skriflig Eksamen aasrukurer og Algorimer (M0) Insiu for Maemaik og aalogi Odense Universie Fredag den 5. januar 1996, kl. 9{1 Alle sdvanlige hjlpemidler (lrebger, noaer, ec.) sam brug af lommeregner er

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer Dagens forelæsning Ingen-Arbirage princippe Claus Munk kap. 4 Nulkuponobligaioner Simpel og generel boosrapping Nulkuponrenesrukuren Forwardrener 2 Obligaionsprisfassæelse Arbirage Værdien af en obligaion

Læs mere

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie!

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie! FARVEAVL myer og facs Eller: Sådan får man en blomsre collie! Da en opdræer for nylig parrede en blue merle æve med en zobel han, blev der en del snak bland colliefolk. De gør man bare ikke man ved aldrig

Læs mere

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk Vejdirekorae Side 1 Forsøg med modulvognog Slurappor Bilag 1E: Toalvæge og ryk Bilag 1E: Toalvæge og ryk Dee bilag er opdel i følgende dele: 1. En inrodukion il bilage 2. Resulaer fra de forskellige målesaioner,

Læs mere

Efterspørgslen efter læger 2012-2035

Efterspørgslen efter læger 2012-2035 2013 5746 PS/HM Eferspørgslen efer læger 2012-2035 50000 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 Anal eferspurge læger i sundhedsudgifalernaive Anal eferspurge læger i finanskrisealernaive

Læs mere

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Kemiske reakionshasigheder Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel 1 Reakionshasigheder Den generelle løsning il den separable differenialligning

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Newton, Einstein og Universets ekspansion

Newton, Einstein og Universets ekspansion Newon, Einsein og Universes ekspansion Bernhard Lind Shisad, Viborg Tekniske ymnasium Friedmann ligningerne beskriver sammenhængen mellem idsudviklingen af Universes udvidelse og densieen af sof og energi.

Læs mere

En model til fremskrivning af det danske uddannelsessystem

En model til fremskrivning af det danske uddannelsessystem En model il fremskrivning af de danske uddannelsessysem Peer Sephensen og Jonas Zangenberg Hansen December 27 Side 2 af 22 1. Indledning De er regeringens mål a øge befolkningens uddannelsesniveau. Befolkningens

Læs mere

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni DET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Øger Transarens Konkurrencen? - Teoreisk modellering og anvendelse å markede for mobilelefoni Bjørn Kyed Olsen Nr. 97/004 Projek- & Karrierevejledningen

Læs mere

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Grane Høegh. augus 006 Dynamik i effekiviesudvidede CES-nyefunkioner Resumé: I dee papir benyes effekiviesudvidede CES-nyefunkioner il a finde de relaive forbrug

Læs mere

Øresund en region på vej

Øresund en region på vej OKTOBER 2008 BAG OM NYHEDERNE Øresund en region på vej af chefkonsulen Ole Schmid Sore forvenninger il Øresundsregionen Der var ingen ende på, hvor god de hele ville blive når broen blev åbne, og Øresundsregionen

Læs mere

Signal processering i digitalt vejesystem

Signal processering i digitalt vejesystem Thomas Emil Juul Eilersen Signal processering i digial vejesysem Eksamensprojek, Kgs. Lyngby, november 27 Danmarks Tekniske Universie Vejledere: Ole Ravn Niels Kjølsad Poulsen Absrac Dynamic weighing

Læs mere

FitzHugh Nagumo modellen

FitzHugh Nagumo modellen FizHugh Nagumo modellen maemaisk modellering af signaler i nerve- og muskelceller Torsen Tranum Rømer, Frederikserg Gymnasium Fagene maemaik og idræ supplerer hinanden god inden for en lang række emner.

Læs mere

Produktionspotentialet i dansk økonomi

Produktionspotentialet i dansk økonomi 51 Produkionspoeniale i dansk økonomi Af Asger Lau Andersen og Moren Hedegaard Rasmussen, Økonomisk Afdeling 1 1. INDLEDNING OG SAMMENFATNING Den økonomiske udvikling er i Danmark såvel som i alle andre

Læs mere

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Jakob Nielsen 27. november 2003 Claus Færch-Jensen Udkas pr. 27/11-2003 il: Equiy Premium Puzzle - den danske brik Resumé: Papire beskriver udviklingen på de danske

Læs mere

Vækst på kort og langt sigt

Vækst på kort og langt sigt 12 SAMFUNDSØKONOMEN NR. 1 MARTS 2014 VÆKST PÅ KORT OG LANG SIGT Væks på kor og lang sig Efer re års silsand i dansk økonomi er de naurlig, a ineressen for a skabe økonomisk væks er beydelig. Ariklen gennemgår

Læs mere

Retfærdig fordeling af nytte mellem nulevende og fremtidige personer

Retfærdig fordeling af nytte mellem nulevende og fremtidige personer Refærdig fordeling af nye mellem nulevende og fremidige personer Flemming Møller, Aarhus Universie, Danmarks Miljøundersøgelser (e-mail: syfm@dmu.dk) 1. De generelle fordelingsproblem De fundamenale grundlag

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

DesignMat Komplekse tal

DesignMat Komplekse tal DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....

Læs mere

CS Klimateknik ApS Tlf.: +45 38 88 70 70 DATA OG FAKTA. Luftbehandlingsenhed MultiMAXX New Generation. ... God luft til erhverv og industri

CS Klimateknik ApS Tlf.: +45 38 88 70 70 DATA OG FAKTA. Luftbehandlingsenhed MultiMAXX New Generation. ... God luft til erhverv og industri CS Klimaeknik ApS Tlf.: +45 38 88 7 7 DATA OG FAKTA Lufbehandlingsenhed MuliMAXX New Generaion... God luf il erhverv og indusri Enhedsbeskrivelse MuliMAXX Om dee kaalog Til vore kunder Med dee kaalog ønsker

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Raket fysik i gymnasieundervisningen

Raket fysik i gymnasieundervisningen Rake fysik i gynasieundervisningen Ole Wi-Hansen Køge Gynasiu Indhold. Rakeligningen.... Kineaiske forhold ved rakeosendelse fra jorden.... Gasryk-rakeen (Vandrakeen).... Ligherrakeen.... Trykforhold for

Læs mere

Formler for spoler. An English resume is offered on page 5.

Formler for spoler. An English resume is offered on page 5. An English resume is offered on page 5. Ledere En leder har ved lave frekvenser en inern selvindukion L 1 som følge af fele inde i lederen, men srømmen løber kun i de yderse,5 mm ved khz og,1 mm ved 1

Læs mere

Computer- og El-teknik Formelsamling

Computer- og El-teknik Formelsamling ompuer- og El-eknik ormelsamling E E E + + E + Holsebro HTX ompuer- og El-eknik 5. og 6. semeser HJA/BA Version. ndholdsforegnelse.. orkorelser inden for srøm..... Modsande ved D..... Ohms ov..... Effek

Læs mere

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +

Læs mere

Bilag 7 - Industriel overfladebehandling Bilag til Arbejdstilsynets bekendtgørelse nr. 302 af 13. maj 1993 om arbejde med kodenummererede produkter

Bilag 7 - Industriel overfladebehandling Bilag til Arbejdstilsynets bekendtgørelse nr. 302 af 13. maj 1993 om arbejde med kodenummererede produkter Bilag 7 - Indusriel ovfladebehandling Bilag il Arbejdsilsynes bekendgørelse nr. 302 af 13. maj 1993 om arbejde kodenume produk 7.1. Bilages område a. Påføring af maling og lak på emn på fase arbejdsplads

Læs mere

OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKTER I MATEMATIK-KEMI OM REAKTIONSKINETIK OG DIFFERENTIALLIGNINGER. Indledning

OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKTER I MATEMATIK-KEMI OM REAKTIONSKINETIK OG DIFFERENTIALLIGNINGER. Indledning KONSTELLATIONER (TVÆRMAT) REAKTIONSKINETIK OG DIFFERENTIALLIGNINGER DEN 4. MARTS 7 OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKTER I MATEMATIK-KEMI OM REAKTIONSKINETIK OG DIFFERENTIALLIGNINGER Inlening Reakionskineik

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere Appendiks B: Koosion og esleveid fo ådbindee I de følgende omales koosionspocessene fo ådbindee og hvodan man beegne esleveiden fo en koodee ådbinde. Tådbindee ha i idens løb væe udfø af: messing (en legeing

Læs mere

Kovarians forecasting med GARCH(1,1) -et overblik

Kovarians forecasting med GARCH(1,1) -et overblik Kovarians forecasing med GARCH(1,1) -e overblik Hvorfor volailies-forecase? Risikosyring Dela-normal Value-a-Risk Mone Carlo Value-a-Risk Prisfassæelse Opionsproduker Realkrediobligaioner Mone Carlo simulaion

Læs mere

Lavkulstof, titanstabiliseret og normalt, rustfrit stål

Lavkulstof, titanstabiliseret og normalt, rustfrit stål Lavk ul s of, i ans abi l i s er e og nor mal, r us f r i s ål My erogs andheder oghv aderegen l i gf or s k el l en? Lavkulsof, iansabilisere og normal, rusfri sål Myer og sandheder og hvad er egenlig

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 29 Marianne Frank Hansen og Mahilde Louise Baringon Augus 29 Indholdsforegnelse Danmarks fremidige befolkning... 1 Befolkningsfremskrivning 29...

Læs mere

Arbejdspapir nr. 17/2005. Titel: Beregning af den strukturelle offentlige saldo 1. Forfatter: Michael Skaarup (msk@fm.dk)

Arbejdspapir nr. 17/2005. Titel: Beregning af den strukturelle offentlige saldo 1. Forfatter: Michael Skaarup (msk@fm.dk) Arbejdspapir nr. 17/5 Tiel: Beregning af den srukurelle offenlige saldo 1 Forfaer: Michael Skaarup (msk@fm.dk) Henvendelse: Michael Lund Nielsen (mln@fm.dk) Resumé: I arbejdspapire redegøres for den meode

Læs mere

3 Overføringsfunktion

3 Overføringsfunktion 1 3 Overføringsfunktion 3.1 Overføringsfunktion For et system som vist på figur 3.1 er overføringsfunktionen givet ved: Y (s) =H(s) X(s) [;] (3.1) Y (s) X(s) = H(s) [;] (3.2) Y (s) er den Laplacetransformerede

Læs mere

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil?

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Hvor mege er de værd a kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Bjarke Jensen Rolf Poulsen 1 Indledning For den almindelig fordrukne og forgældede danske boligejer var 1. okober 2003 en god dag: Billigere

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 1 Eventuelle besvarelser laves i grupper af - 3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere

MAKRO 2 KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER. - uundværlig i frembringelsen af aggregeret output og. 2.

MAKRO 2 KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER. - uundværlig i frembringelsen af aggregeret output og. 2. KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER MAKRO 2 2. årsprøve Klassisk syn: JORDEN/NATUREN er en produkionsfakor, som er - uundværlig i frembringelsen af aggregere oupu og Forelæsning

Læs mere

LONGEVITY CHRESTEN DENGSØE OG JENS VESTERGAARD ATP'S AKTUARIAT

LONGEVITY CHRESTEN DENGSØE OG JENS VESTERGAARD ATP'S AKTUARIAT LONGEVITY CHRESTEN DENGSØE OG JENS VESTERGRD TP'S KTURIT S:\KTU\Longevi\Rappor.doc /37 Indholdsforegnelse. Indledning 4. Rapporens indhold 4 3. Daamaeriale 4 4. Lexis diagrammer 5 5. Beskrivelse af daamaeriale

Læs mere

Dynamiske identiteter med kædeindeks

Dynamiske identiteter med kædeindeks Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 2. mars 2007 Dynamiske idenieer med kædeindeks Resumé: den nye modelversion er vi gåe fra fasbase over il kædeprissørrelser. De beyder a de gamle

Læs mere

Beregninger på digitale signaler

Beregninger på digitale signaler KAPITEL NI Beregninger på digitale signaler Et digitalt signals værdier kunne repræsenteres ved tal med et endeligt antal cifre (med endelig præcision ). Dette krav er en naturlig følge af, at digital

Læs mere

PRISFASTSÆTTELSE AF OBLIGATIONER I KONTINUERT TID

PRISFASTSÆTTELSE AF OBLIGATIONER I KONTINUERT TID PRISFASTSÆTTELSE AF OBLIGATIONER I KONTINUERT TID Claus Madsen version eferåre 1992 revidere 11. januar 1994 revidere 31. augus 1994 revidere 30. okober 1995 e-mail: cam@fineanalyics.com 1 Prisfassæelse

Læs mere

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud En-dimensionel model af Sprce dworm dbrd Kenneh Hagde Mandr p Niel sen o g K asper j er ing Søby Jensen, ph.d-sderende ved oskilde Universie i hhv. maemaisk modellering og maemaikkens didakik. Maemaisk

Læs mere

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer?

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer? Hvor bliver pick-up e af på realkrediobligaioner? Kvanmøde 2, Finansanalyikerforeningen 20. April 2004 Jesper Lund Quaniaive Research Plan for dee indlæg Realkredi OAS som mål for relaiv værdi Herunder:

Læs mere

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement Hovedopgave i finansiering, Insiu for Regnskab, Finansiering og Logisik Forfaer: Troels Lorenzen Vejleder: Tom Engsed Prisdannelsen i de danske boligmarked diagnosicering af bobleelemen Esimering af dynamisk

Læs mere

8.14 Teknisk grundlag for PFA Plus: Bilag 9-15 Indholdsforegnelse 9 Bilag: Indbealingssikring... 3 1 Bilag: Udbealingssikring... 4 1.1 Gradvis ilknyning af udbealingssikring... 4 11 Bilag: Omkosninger...

Læs mere

Impedans. I = C du dt (1) og en spole med selvinduktionen L

Impedans. I = C du dt (1) og en spole med selvinduktionen L Impedans I et kredsløb, der består af andre netværkselementer end blot lække (modstande) og kilder vil der ikke i almindelighed være en simpel proportional, tidslig sammenhæng mellem strøm og spænding,

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 0. okober 204 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: I e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og

Læs mere

Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder

Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder Opimal poreføljevalg i en model med inern habi nyefunkion og sokasiske inveseringsmuligheder Thomas Hemming Larsen cand.merc.(ma.) sudie Insiu for Finansiering Copenhagen Business School Vejleder: Carsen

Læs mere

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter...

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter... Gener el l ebe i ngel s erf orl ever i ngogdr i f af L ok al Tel ef onens j enes er Ver s i on1. 0-Febr uar2013 L ok al Tel ef onena/ S-Pos bok s201-8310tr anbj er gj-k on ak @l ok al el ef onen. dk www.

Læs mere

Udlånsvækst drives af efterspørgslen

Udlånsvækst drives af efterspørgslen N O T A T Udlånsvæks drives af eferspørgslen 12. januar 211 Kor resumé Der har den senese id være megen fokus på bankers og realkrediinsiuers udlån il virksomheder og husholdninger. Især er bankerne fra

Læs mere

1. Raketligningen. 1.1 Kinematiske forhold ved raketopsendelse fra jorden. Raketfysik

1. Raketligningen. 1.1 Kinematiske forhold ved raketopsendelse fra jorden. Raketfysik Rakefysik. Rakeligningen Rakeligningen kan udlede ud fra iulssæningen. Vi anager a vi har en rake ed asse (), Rakeen drives fre ved a der udslynges en konsan asse µ r. idsenhed µ -d/d ed hasigheden u i

Læs mere

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst d. 02.11.2011 Esben Anon Schulz Baggrundsnoa: Esimaion af elasicie af skaepligig arbejdsindkoms Dee baggrundsnoa beskriver kor meode og resulaer vedrørende esimaionen af elasicieen af skaepligig arbejdsindkoms.

Læs mere

A B C D E Hjemmeværnmuseet's arkiv/depot Søgaard Distrikter - LMD. Reol/hylde Region/distrikt/m.m. Kasse nr. Indhold 2C3 Flyverhjemmeværne 1

A B C D E Hjemmeværnmuseet's arkiv/depot Søgaard Distrikter - LMD. Reol/hylde Region/distrikt/m.m. Kasse nr. Indhold 2C3 Flyverhjemmeværne 1 0 A B C D E Hjemmeværnmuseet's arkiv/depot Søgaard LMK Distrikter - LMD. Reol/hylde Region/distrikt/m.m. Kasse nr. Indhold C Flyverhjemmeværne Flyverhjemmeværnet LMD Odense Nyt fra stabseskadrillen -.

Læs mere

Opdatering af tilstande i afløbssystemer ved brug af on-line målinger.

Opdatering af tilstande i afløbssystemer ved brug af on-line målinger. Opdaering af ilsande i afløbssysemer ved brug af on-line målinger. Juni 1999 Karsen Arnbjerg-Nielsen Insiu for Miljøeknologi Danmarks Tekniske Universie Dee er en nepublikaion, der kan downloades fra hp://www.im.du.dk/publicaions/fullex/1999/im1999-052.pdf

Læs mere

Fulde navn: NAVIGATION II

Fulde navn: NAVIGATION II SØFARTSSTYRELSEN Eks.nr. Eksaminaionssed (by) Fulde navn: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachskippereksamen af 1. grad. Y1NAV2-1/02

Læs mere

Ny ligning for usercost

Ny ligning for usercost Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 8. okober 2008 Ny ligning for usercos Resumé: Usercos er bleve ændre frem og ilbage i srukur og vil i den nye modelversion have noge der minder om

Læs mere

Prisfastsættelse og hedging af optioner under stokastisk volatilitet

Prisfastsættelse og hedging af optioner under stokastisk volatilitet Erhvervsøkonomisk insiu Afhandling Vejleder: Peer Løche Jørgensen Forfaere: Kasper Korgaard Anders Weihrauch Prisfassæelse og hedging af opioner under sokasisk volailie Suppose we use he sandard deviaion

Læs mere

Bilbeholdningen i ADAM på NR-tal

Bilbeholdningen i ADAM på NR-tal Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 4. april 2008 Bilbeholdningen i ADAM på NR-al Resumé: Dee papir foreslår a lade bilbeholdningen i ADAM være lig den officielle bilbeholdning fra Naionalregnskabe.

Læs mere

Dokumentation for regelgrundskyldspromillen

Dokumentation for regelgrundskyldspromillen Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Marcus Mølbak Inghol 17. okober 2012 Dokumenaion for regelgrundskyldspromillen Resumé: I dee modelgruppepapir dokumeneres konsrukionen af en idsrække for regelgrundskyldspromillen

Læs mere

Mat 1. 2-timersprøve den 10. december 2017.

Mat 1. 2-timersprøve den 10. december 2017. Ma. -imersprøve den. december 7. JE 8..7 Opgave resar;wih(linearalgebra): Give de inhomogene lineære ligningssysem lign:=x-*x+3*x3=a^+*a-3; lign d x K x C3 x3 = a C a K3 lign:=x+*x-*x3=a^+3; lign d x C

Læs mere

BLIV KLOG PÅ NATURSTEN

BLIV KLOG PÅ NATURSTEN BLIV KLOG PÅ NATURSTEN - OG UNDGÅ MISFARVNINGER ARDEX NATURSTENS- SYSTEM E hurig og komple sysem, der sikrer farveæge naursensbelægninger www.ardex.dk Produkoversig Fugfølsomme naursen Fugbesandige naursen

Læs mere

Beregningsgrundlag til opgørelse af livsforsikringshensættelser til markedsværdi Alm. Brand Liv og Pension

Beregningsgrundlag til opgørelse af livsforsikringshensættelser til markedsværdi Alm. Brand Liv og Pension eregningsgrundlag il opgørelse af livsforsiringshensæelser il maredsværdi lm. rand Liv og Pension 1. eregningsgrundlagene G82, G82*, 01UNI, 01ULI, UL2, UL3, 01ILI, IL2, IL3, U74, U66 og L66 I henhold il

Læs mere