Introduktion til grafer. Philip Bille

Transkript

1 Introduktion til grafer Philip Bille

2 Plan Uorienterede grafer Anvendelse og modellering med grafer Søgning i grafer Dybdeførst søgning Sammenhængskomponenter Breddeførst søgning Korteste vej Todelte grafer

3 Uorienterede grafer

4 Uorienterede grafer (Uorienterede) grafer består af knuder forbundet med kanter. Hvorfor studere grafer? Modellerer naturligt mange problemer i mange forskellige områder. Tusindvis af praktiske anvendelser. Hundredevis af kendte grafalgoritmer.

5

6 "Visualizing friendships", Paul Butler

7 A B C D E F Chesham Amersham Uxbridge Special fares apply Watford Junction 9 Chalfont & Latimer West Ruislip Chorleywood Ruislip Gardens South Ruislip Rickmansworth Perivale Hanger Lane Stepney Green Ealing Broadway St. Paul s Aldgate West North Holland Queensway Marble Tottenham Holborn East Whitechapel Acton Acton Park Arch Court Road Bank Wood Lane Covent Garden Aldgate High Street Green Park Shadwell Acton Central Kensington Leicester Square Shepherd s Bush Hounslow West Hatton Cross Heathrow Terminals 1, 2, 3 Hillingdon Ickenham Heathrow Terminal 4 Heathrow Terminal 5 Northolt Greenford Rayners Lane 5 Watford Croxley South Harrow Sudbury Hill Sudbury Town Alperton Park Royal North Ealing Ealing Common Northfields Boston Manor Osterley Ruislip South Ealing Hounslow East Hounslow Central Moor Park Ruislip Manor Northwood Northwood Hills Eastcote Pinner South Acton Acton Town Chiswick Park West Harrow 4 North Harrow Turnham Green Gunnersbury Kew Gardens Richmond Watford High Street 3 Bushey Carpenders Park Hatch End Headstone Lane Harrow & Wealdstone Northwick Park South Kenton North Wembley Wembley Central Stonebridge Park Harlesden Willesden Junction East Acton Kilburn Park Market Goldhawk Road Kenton Maida Vale Warwick Avenue Hammersmith Stamford Ravenscourt Brook Park Preston Road Wembley Park Kensal Rise Kensal Green Queen s Park Royal Oak Westbourne Park White City Kensington (Olympia) West Kensington 2 West Brompton Fulham Broadway Parsons Green Putney Bridge East Putney Southfields Wimbledon Park Wimbledon Stanmore Canons Park Queensbury Kingsbury Neasden Brondesbury Park Dollis Hill Brondesbury Kilburn High Road Paddington Ladbroke Grove Latimer Road Shepherd s Bush Barons Court Earl s Court Edgware Burnt Oak Willesden Green Imperial Wharf Kilburn South Hampstead Edgware Road Bayswater Notting Hill Gate Gloucester Road Edgware Road Colindale Hendon Central West Hampstead Marylebone Lancaster Gate Finchley Road Hyde Park Corner Knightsbridge South Kensington Clapham Junction Brent Cross Golders Green Swiss Cottage Pimlico Vauxhall Hampstead Finchley Road & Frognal St. John s Wood Bond Street Sloane Square Victoria Wandsworth Road Baker Street Belsize Park 2 Regent s Park Oxford Circus St. James s Park Clapham High Street Clapham North Clapham Common Clapham South Balham Tooting Bec Tooting Broadway Colliers Wood South Wimbledon Great Portland Street Hampstead Heath Chalk Farm Warren Street Piccadilly Circus Westminster Transport for London Morden Camden Town Mornington Crescent Euston Goodge Street Charing Cross Waterloo Oval Stockwell Mill Hill East Gospel Oak Kentish Town West Euston Square Russell Square Lambeth North Kennington Brixton Camden Road Embankment Southwark King s Cross St. Pancras High Barnet Totteridge & Whetstone Woodside Park West Finchley Finchley Central East Finchley Highgate Archway Tufnell Park Kentish Town Farringdon Chancery Lane Borough Elephant & Castle Denmark Hill Crouch Hill Caledonian Road Barbican Mansion House Temple Angel Cannon Street Blackfriars Upper Holloway Holloway Road Peckham Rye Southgate Arnos Grove Bounds Green Wood Green Turnpike Lane Manor House Arsenal Caledonian Road & Barnsbury Old Street Moorgate Crystal Palace Highbury & Islington Monument Tower Hill Fenchurch Street London Bridge Queens Road Peckham Liverpool Street River Thames Cockfosters Oakwood Harringay Green Lanes Finsbury Park Canonbury New Cross Gate Brockley Forest Hill Sydenham Anerley Seven Sisters Dalston Kingsland Dalston Junction Bermondsey Haggerston Hoxton Shoreditch High Street Tower Gateway Rotherhithe Surrey Quays Honor Oak Park Penge West Canada Water Norwood Junction West Croydon Tottenham Hale Hackney Central 2 Bethnal Green 5 South Tottenham Blackhorse Road Walthamstow Queen s Road Homerton Limehouse Wapping New Cross 3 Hackney Wick Mile End Bow Church Westferry Canary Wharf Heron Quays South Quay Crossharbour Mudchute Island Gardens Walthamstow Central Leyton Midland Road Stratford International Devons Road Langdon Park All Saints Blackwall Poplar East India West India Quay 2 Greenwich Deptford Bridge Elverson Road Epping Theydon Bois Debden Loughton Buckhurst Hill Woodford South Woodford Bow Road Snaresbrook Leytonstone Leyton Pudding Mill Lane Harrowon-the-Hill Bromleyby-Bow North Greenwich Cutty Sark for Maritime Greenwich Lewisham Roding Valley 4 Emirates Greenwich Peninsula Wanstead Chigwell Hainault Leytonstone High Road Wanstead Park Stratford Woodgrange Park West Ham Canning Town 3 Fairlop Barkingside Newbury Park Redbridge Stratford High Street Abbey Road Star Lane Plaistow Grange Hill Gants Hill Royal Victoria 5 3 Emirates Royal Docks Pontoon Dock Barking East Ham Upton Park West Silvertown London City Airport 6 Dagenham East Upney King George V Becontree Custom House for ExCeL 4 Dagenham Heathway Prince Regent Upminster Upminster Bridge Hornchurch Elm Park Royal Albert 4 Beckton Park Gallions Reach Cyprus Beckton Woolwich Arsenal This diagram is an evolution of the original design conceived in 1931 by Harry Beck Correct at time of going to print, December 2013 A B C D E F Che Bank Waterl Waterl Saturda Camde Sunday exit on Canary Step-fr Canary at stree Cannon Open u Saturda Embank Bakerlo this sta Novem Emirate Emirate Special Fridays and 080 extend 2014 an Please Heron Step-fr Canary Hounsl Step-fr Kilburn No ste mid Ma Stanmo Step-fr Turnha Served to Satu evening Waterl Waterl Waterl Saturda No step late Ju West In Not se Lewish Key to MAYOR OF LONDON London metro, London Transport

8 Protein-protein interaktionsnetværk, Jeong et al, Nature Review Genetics

9 graf knuder kanter kommunikation computer kabel transport vejkryds vej transport lufthavn fly spil position lovligt træk neuralt netværk neuron synapse finansnetværk valuta, aktier transaktioner kredsløb logiske porte forbindelse fødekæde dyrearter rovdyr-byttedyr molekyle atom bindinger

10 V = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} E = {(1,2), (1,4), (1,6), (2,5), (2,3), (5,3), (3,4), (7,8), (9,10), (10, 11)} n = 11 m = Uorienteret graf G = (V,E): V = Mængde af knuder (vertices/nodes). E = kanter (edges) mellem par af knuder. n = V og m = E Sti/vej (path): sekvenser af knuder forbundet af kanter. Kreds (cycle): sti hvis start- og slutknude er ens. deg(v) = grad af knude v = #naboer af v = #kanter incidente med v.

11 V = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} E = {(1,2), (1,4), (1,6), (2,5), (2,3), (5,3), (3,4), (7,8), (9,10), (10, 11)} n = 11 m = Lemma: v V deg(v) = 2m. Bevis: Hvor mange gange tælles en kant med i sum?

12 Vej: findes der en sti mellem s og t? Korteste vej: hvad er den korteste vej mellem s og t? Længste vej: hvad er den længste vej mellem s og t?! Kreds: er der en kreds i grafen? Eulertur: er der en kreds, der benytter hver kant netop en gang? Hamiltontur: er der en kreds, der benytter hver knude netop en gang?! Sammenhæng: er det muligt at forbinde alle knuder med en sti? Mindste udspændende træ: hvad er den bedste måde at forbinde alle knuder på? Tosammenhæng: er der en knude hvis fjernelse gør grafen usammenhængende?! Planaritet: er det muligt at tegne grafen i planen uden kanter der krydser? Grafisomorfi: repræsentere to mængde af knuder og kanter samme graf?

13 Repræsentation af grafer

14 Repræsentationer Hvordan kan man repræsentere en graf? Incidensmatrix Incidensliste

15 null 2 3 null 1 null 6 null 3 null 4 null

16 Analyse Incidensmatrix: O(n 2 ) plads. O(1) tid for at afgøre om par af knuder u og v er naboer. Incidensliste: O(n+m) plads. O(deg(u)) = O(n) tid for at afgøre om par af knuder u og v er naboer.

17 Søgning i grafer

18 Søgning i grafer Hvordan kan vi udfra en knude s systematisk udforske (besøge alle knuder og kanter) i en graf? Dybdeførst søgning (depth-first search) Breddeførst søgning (breadth-first search)

19 Dybdeførst søgning

20 Dybdeførst søgning (DFS) Ide: Udforsk ud fra s i en retning indtil vi når en "blindgyde". Gå tilbage til sidste knude hvor der var flere uudforskede kanter og fortsæt på samme måde. Algoritme: Til at starte med er alle knuder umarkerede. Besøg knude s. Når vi besøger knude v Marker v Besøg alle umarkerede naboer af v rekursivt.

21 Analyse Hvor hurtigt kører DFS (på incidenslisterepræsentationen)? Markering af knuder? O(1) tid pr knude. Hvor mange gange besøger DFS en knude v? Højst en gang. Hvor meget tid bruger DFS på v? O(deg(v)) tid. For alle knuder deg(v) = 2m = O(m) tid. Total køretid: O(n + m)

22 Dybdeførst søgning Vi kan udforske en graf med dybdeførst søgning i O(n + m) tid.

23 Sammenhængskomponenter

24 Givet knude s, hvordan kan finde alle knuder i sammenhængskomponenten K(s) for s? Sammenhængskomponent for s = alle knuder der har en sti til s.

25 Farveudfyldning (flood fill). Skift farve til blå på sammenhængende område af grønne pixels Knude = pixel Kant = nabopixel med samme farve Sammenhængende område = sammenhængskomponent af grønne pixel.

26 Farveudfyldning (flood fill). Skift farve til blå på sammenhængende område af grønne pixels Knude = pixel Kant = nabopixel med samme farve Sammenhængende område = sammenhængskomponent af grønne pixel.

27 Vi kan bruge DFS fra s til at finde K(s). DFS fra s: Markerer alle de knuder der har en sti til s = alle knuder i K(s). Køretid: O(ns + ms) (ns = #antal knuder i K(s), ms = #antal kanter i K(s))!

28 Givet to knuder s og t er der en sti mellem s og t? Køretid: O(ns + ms). G er sammenhængende? Køretid: O(n + m). Find alle sammenhængskomponenter af G. Køretid: O(n + m).

29 Breddeførst søgning

30 Breddeførst søgning (BFS) Ide: Udforsk udfra s i alle mulige retninger, et lag knuder ad gangen. Algoritme: Vedligehold en kø og markering af knuder + afstand til s. Start med Enqueue(s) i kø. Gentag indtil kø er tom: Dequeue knude v fra kø. For alle umarkede naboer u til v: Marker u og sæt afstand. Enqueue(u).

31 Korteste veje Hvorfor beregner BFS længden af den korteste vej fra s til alle andre knuder? Intuition: Kig på lagene. L0 = {s} L1 = alle naboer til L0. L2 = alle naboer til L1 der ikke er naboer til L0 L3 = alle naboer til L2 der ikke er naboer til L0 og L1. Li = alle naboer til Li-1 der ikke er naboer til Lj for j < i-1 = alle knuder med afstand i til s.

32 Analyse Hvor hurtigt kører BFS? Enqueue, Dequeue, marker en knude? O(1) tid. Hvor mange gange besøger BFS en knude v? Højst en gang. Hvor meget tid bruger BFS på v? O(deg(v)) tid. For alle knuder deg(v) = 2m = O(m) tid. Total køretid: O(n + m)

33 Breddeførst søgning Vi kan udforske en graf med breddeførst søgning i O(n + m) tid.

34 Todelte grafer

35 En graf G er todelt (bipartite) hvis og kun hvis alle knuder kan farves røde eller blå således at alle kanter har et rødt og et blåt endepunkt. Alternativt: En graf G er todelt hvis og kun hvis knuder kan deles i to mængder V1 og V2 så alle kanter går mellem V1 og V2. Anvendelser i kodning, skedulering, matching, Mange grafproblemer er nemmere på todelte grafer.

36 Er grafen todelt?

37 Lemma: En graf er todelt hvis og kun hvis den ikke indeholder kredse af ulige længde. Hvis todelt så starter og slutter alle kredse i samme side. Hvis der er kreds af ulige længde kan vi ikke farve den.

38 Tilfælde 1 Tilfælde 2 Lemma: Lad G være graf med lag L0, L1,, Lk produceret af BFS. Præcis en af følgende holder: 1. Ingen kant forbinder 2 knuder i samme lag G er todelt. 2. En kant forbinder 2 knuder i samme lag G indeholder en ulige kreds G er ikke todelt.

39 Todelte grafer Vi kan afgøre om en graf er todelt i O(n + m) tid.

40 Opsummering Uorienterede grafer Anvendelse og modellering med grafer Søgning i grafer Dybdeførst søgning Sammenhængskomponenter Breddeførst søgning Korteste vej Todelte grafer