Introduktion til grafer. Philip Bille

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Introduktion til grafer. Philip Bille"

Transkript

1 Introduktion til grafer Philip Bille

2 Plan Uorienterede grafer Anvendelse og modellering med grafer Søgning i grafer Dybdeførst søgning Sammenhængskomponenter Breddeførst søgning Korteste vej Todelte grafer

3 Uorienterede grafer

4 Uorienterede grafer (Uorienterede) grafer består af knuder forbundet med kanter. Hvorfor studere grafer? Modellerer naturligt mange problemer i mange forskellige områder. Tusindvis af praktiske anvendelser. Hundredevis af kendte grafalgoritmer.

5

6 "Visualizing friendships", Paul Butler

7 A B C D E F Chesham Amersham Uxbridge Special fares apply Watford Junction 9 Chalfont & Latimer West Ruislip Chorleywood Ruislip Gardens South Ruislip Rickmansworth Perivale Hanger Lane Stepney Green Ealing Broadway St. Paul s Aldgate West North Holland Queensway Marble Tottenham Holborn East Whitechapel Acton Acton Park Arch Court Road Bank Wood Lane Covent Garden Aldgate High Street Green Park Shadwell Acton Central Kensington Leicester Square Shepherd s Bush Hounslow West Hatton Cross Heathrow Terminals 1, 2, 3 Hillingdon Ickenham Heathrow Terminal 4 Heathrow Terminal 5 Northolt Greenford Rayners Lane 5 Watford Croxley South Harrow Sudbury Hill Sudbury Town Alperton Park Royal North Ealing Ealing Common Northfields Boston Manor Osterley Ruislip South Ealing Hounslow East Hounslow Central Moor Park Ruislip Manor Northwood Northwood Hills Eastcote Pinner South Acton Acton Town Chiswick Park West Harrow 4 North Harrow Turnham Green Gunnersbury Kew Gardens Richmond Watford High Street 3 Bushey Carpenders Park Hatch End Headstone Lane Harrow & Wealdstone Northwick Park South Kenton North Wembley Wembley Central Stonebridge Park Harlesden Willesden Junction East Acton Kilburn Park Market Goldhawk Road Kenton Maida Vale Warwick Avenue Hammersmith Stamford Ravenscourt Brook Park Preston Road Wembley Park Kensal Rise Kensal Green Queen s Park Royal Oak Westbourne Park White City Kensington (Olympia) West Kensington 2 West Brompton Fulham Broadway Parsons Green Putney Bridge East Putney Southfields Wimbledon Park Wimbledon Stanmore Canons Park Queensbury Kingsbury Neasden Brondesbury Park Dollis Hill Brondesbury Kilburn High Road Paddington Ladbroke Grove Latimer Road Shepherd s Bush Barons Court Earl s Court Edgware Burnt Oak Willesden Green Imperial Wharf Kilburn South Hampstead Edgware Road Bayswater Notting Hill Gate Gloucester Road Edgware Road Colindale Hendon Central West Hampstead Marylebone Lancaster Gate Finchley Road Hyde Park Corner Knightsbridge South Kensington Clapham Junction Brent Cross Golders Green Swiss Cottage Pimlico Vauxhall Hampstead Finchley Road & Frognal St. John s Wood Bond Street Sloane Square Victoria Wandsworth Road Baker Street Belsize Park 2 Regent s Park Oxford Circus St. James s Park Clapham High Street Clapham North Clapham Common Clapham South Balham Tooting Bec Tooting Broadway Colliers Wood South Wimbledon Great Portland Street Hampstead Heath Chalk Farm Warren Street Piccadilly Circus Westminster Transport for London Morden Camden Town Mornington Crescent Euston Goodge Street Charing Cross Waterloo Oval Stockwell Mill Hill East Gospel Oak Kentish Town West Euston Square Russell Square Lambeth North Kennington Brixton Camden Road Embankment Southwark King s Cross St. Pancras High Barnet Totteridge & Whetstone Woodside Park West Finchley Finchley Central East Finchley Highgate Archway Tufnell Park Kentish Town Farringdon Chancery Lane Borough Elephant & Castle Denmark Hill Crouch Hill Caledonian Road Barbican Mansion House Temple Angel Cannon Street Blackfriars Upper Holloway Holloway Road Peckham Rye Southgate Arnos Grove Bounds Green Wood Green Turnpike Lane Manor House Arsenal Caledonian Road & Barnsbury Old Street Moorgate Crystal Palace Highbury & Islington Monument Tower Hill Fenchurch Street London Bridge Queens Road Peckham Liverpool Street River Thames Cockfosters Oakwood Harringay Green Lanes Finsbury Park Canonbury New Cross Gate Brockley Forest Hill Sydenham Anerley Seven Sisters Dalston Kingsland Dalston Junction Bermondsey Haggerston Hoxton Shoreditch High Street Tower Gateway Rotherhithe Surrey Quays Honor Oak Park Penge West Canada Water Norwood Junction West Croydon Tottenham Hale Hackney Central 2 Bethnal Green 5 South Tottenham Blackhorse Road Walthamstow Queen s Road Homerton Limehouse Wapping New Cross 3 Hackney Wick Mile End Bow Church Westferry Canary Wharf Heron Quays South Quay Crossharbour Mudchute Island Gardens Walthamstow Central Leyton Midland Road Stratford International Devons Road Langdon Park All Saints Blackwall Poplar East India West India Quay 2 Greenwich Deptford Bridge Elverson Road Epping Theydon Bois Debden Loughton Buckhurst Hill Woodford South Woodford Bow Road Snaresbrook Leytonstone Leyton Pudding Mill Lane Harrowon-the-Hill Bromleyby-Bow North Greenwich Cutty Sark for Maritime Greenwich Lewisham Roding Valley 4 Emirates Greenwich Peninsula Wanstead Chigwell Hainault Leytonstone High Road Wanstead Park Stratford Woodgrange Park West Ham Canning Town 3 Fairlop Barkingside Newbury Park Redbridge Stratford High Street Abbey Road Star Lane Plaistow Grange Hill Gants Hill Royal Victoria 5 3 Emirates Royal Docks Pontoon Dock Barking East Ham Upton Park West Silvertown London City Airport 6 Dagenham East Upney King George V Becontree Custom House for ExCeL 4 Dagenham Heathway Prince Regent Upminster Upminster Bridge Hornchurch Elm Park Royal Albert 4 Beckton Park Gallions Reach Cyprus Beckton Woolwich Arsenal This diagram is an evolution of the original design conceived in 1931 by Harry Beck Correct at time of going to print, December 2013 A B C D E F Che Bank Waterl Waterl Saturda Camde Sunday exit on Canary Step-fr Canary at stree Cannon Open u Saturda Embank Bakerlo this sta Novem Emirate Emirate Special Fridays and 080 extend 2014 an Please Heron Step-fr Canary Hounsl Step-fr Kilburn No ste mid Ma Stanmo Step-fr Turnha Served to Satu evening Waterl Waterl Waterl Saturda No step late Ju West In Not se Lewish Key to MAYOR OF LONDON London metro, London Transport

8 Protein-protein interaktionsnetværk, Jeong et al, Nature Review Genetics

9 graf knuder kanter kommunikation computer kabel transport vejkryds vej transport lufthavn fly spil position lovligt træk neuralt netværk neuron synapse finansnetværk valuta, aktier transaktioner kredsløb logiske porte forbindelse fødekæde dyrearter rovdyr-byttedyr molekyle atom bindinger

10 V = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} E = {(1,2), (1,4), (1,6), (2,5), (2,3), (5,3), (3,4), (7,8), (9,10), (10, 11)} n = 11 m = Uorienteret graf G = (V,E): V = Mængde af knuder (vertices/nodes). E = kanter (edges) mellem par af knuder. n = V og m = E Sti/vej (path): sekvenser af knuder forbundet af kanter. Kreds (cycle): sti hvis start- og slutknude er ens. deg(v) = grad af knude v = #naboer af v = #kanter incidente med v.

11 V = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} E = {(1,2), (1,4), (1,6), (2,5), (2,3), (5,3), (3,4), (7,8), (9,10), (10, 11)} n = 11 m = Lemma: v V deg(v) = 2m. Bevis: Hvor mange gange tælles en kant med i sum?

12 Vej: findes der en sti mellem s og t? Korteste vej: hvad er den korteste vej mellem s og t? Længste vej: hvad er den længste vej mellem s og t?! Kreds: er der en kreds i grafen? Eulertur: er der en kreds, der benytter hver kant netop en gang? Hamiltontur: er der en kreds, der benytter hver knude netop en gang?! Sammenhæng: er det muligt at forbinde alle knuder med en sti? Mindste udspændende træ: hvad er den bedste måde at forbinde alle knuder på? Tosammenhæng: er der en knude hvis fjernelse gør grafen usammenhængende?! Planaritet: er det muligt at tegne grafen i planen uden kanter der krydser? Grafisomorfi: repræsentere to mængde af knuder og kanter samme graf?

13 Repræsentation af grafer

14 Repræsentationer Hvordan kan man repræsentere en graf? Incidensmatrix Incidensliste

15 null 2 3 null 1 null 6 null 3 null 4 null

16 Analyse Incidensmatrix: O(n 2 ) plads. O(1) tid for at afgøre om par af knuder u og v er naboer. Incidensliste: O(n+m) plads. O(deg(u)) = O(n) tid for at afgøre om par af knuder u og v er naboer.

17 Søgning i grafer

18 Søgning i grafer Hvordan kan vi udfra en knude s systematisk udforske (besøge alle knuder og kanter) i en graf? Dybdeførst søgning (depth-first search) Breddeførst søgning (breadth-first search)

19 Dybdeførst søgning

20 Dybdeførst søgning (DFS) Ide: Udforsk ud fra s i en retning indtil vi når en "blindgyde". Gå tilbage til sidste knude hvor der var flere uudforskede kanter og fortsæt på samme måde. Algoritme: Til at starte med er alle knuder umarkerede. Besøg knude s. Når vi besøger knude v Marker v Besøg alle umarkerede naboer af v rekursivt.

21 Analyse Hvor hurtigt kører DFS (på incidenslisterepræsentationen)? Markering af knuder? O(1) tid pr knude. Hvor mange gange besøger DFS en knude v? Højst en gang. Hvor meget tid bruger DFS på v? O(deg(v)) tid. For alle knuder deg(v) = 2m = O(m) tid. Total køretid: O(n + m)

22 Dybdeførst søgning Vi kan udforske en graf med dybdeførst søgning i O(n + m) tid.

23 Sammenhængskomponenter

24 Givet knude s, hvordan kan finde alle knuder i sammenhængskomponenten K(s) for s? Sammenhængskomponent for s = alle knuder der har en sti til s.

25 Farveudfyldning (flood fill). Skift farve til blå på sammenhængende område af grønne pixels Knude = pixel Kant = nabopixel med samme farve Sammenhængende område = sammenhængskomponent af grønne pixel.

26 Farveudfyldning (flood fill). Skift farve til blå på sammenhængende område af grønne pixels Knude = pixel Kant = nabopixel med samme farve Sammenhængende område = sammenhængskomponent af grønne pixel.

27 Vi kan bruge DFS fra s til at finde K(s). DFS fra s: Markerer alle de knuder der har en sti til s = alle knuder i K(s). Køretid: O(ns + ms) (ns = #antal knuder i K(s), ms = #antal kanter i K(s))!

28 Givet to knuder s og t er der en sti mellem s og t? Køretid: O(ns + ms). G er sammenhængende? Køretid: O(n + m). Find alle sammenhængskomponenter af G. Køretid: O(n + m).

29 Breddeførst søgning

30 Breddeførst søgning (BFS) Ide: Udforsk udfra s i alle mulige retninger, et lag knuder ad gangen. Algoritme: Vedligehold en kø og markering af knuder + afstand til s. Start med Enqueue(s) i kø. Gentag indtil kø er tom: Dequeue knude v fra kø. For alle umarkede naboer u til v: Marker u og sæt afstand. Enqueue(u).

31 Korteste veje Hvorfor beregner BFS længden af den korteste vej fra s til alle andre knuder? Intuition: Kig på lagene. L0 = {s} L1 = alle naboer til L0. L2 = alle naboer til L1 der ikke er naboer til L0 L3 = alle naboer til L2 der ikke er naboer til L0 og L1. Li = alle naboer til Li-1 der ikke er naboer til Lj for j < i-1 = alle knuder med afstand i til s.

32 Analyse Hvor hurtigt kører BFS? Enqueue, Dequeue, marker en knude? O(1) tid. Hvor mange gange besøger BFS en knude v? Højst en gang. Hvor meget tid bruger BFS på v? O(deg(v)) tid. For alle knuder deg(v) = 2m = O(m) tid. Total køretid: O(n + m)

33 Breddeførst søgning Vi kan udforske en graf med breddeførst søgning i O(n + m) tid.

34 Todelte grafer

35 En graf G er todelt (bipartite) hvis og kun hvis alle knuder kan farves røde eller blå således at alle kanter har et rødt og et blåt endepunkt. Alternativt: En graf G er todelt hvis og kun hvis knuder kan deles i to mængder V1 og V2 så alle kanter går mellem V1 og V2. Anvendelser i kodning, skedulering, matching, Mange grafproblemer er nemmere på todelte grafer.

36 Er grafen todelt?

37 Lemma: En graf er todelt hvis og kun hvis den ikke indeholder kredse af ulige længde. Hvis todelt så starter og slutter alle kredse i samme side. Hvis der er kreds af ulige længde kan vi ikke farve den.

38 Tilfælde 1 Tilfælde 2 Lemma: Lad G være graf med lag L0, L1,, Lk produceret af BFS. Præcis en af følgende holder: 1. Ingen kant forbinder 2 knuder i samme lag G er todelt. 2. En kant forbinder 2 knuder i samme lag G indeholder en ulige kreds G er ikke todelt.

39 Todelte grafer Vi kan afgøre om en graf er todelt i O(n + m) tid.

40 Opsummering Uorienterede grafer Anvendelse og modellering med grafer Søgning i grafer Dybdeførst søgning Sammenhængskomponenter Breddeførst søgning Korteste vej Todelte grafer

Introduktion til grafer

Introduktion til grafer Introduktion til grafer Uorienterede grafer Repræsentation Dybdeførst søgning Sammenhængskomponenter Breddeførst søgning Todelte grafer Philip Bille Introduktion til grafer Uorienterede grafer Repræsentation

Læs mere

Introduktion til grafer. Introduktion til grafer. Uorienterede grafer. Visualisering af internettet. Uorienterede grafer Repræsentation

Introduktion til grafer. Introduktion til grafer. Uorienterede grafer. Visualisering af internettet. Uorienterede grafer Repræsentation Dybdeført øgning Dybdeført øgning Philip Bille Uorienterede grafer Viualiering af internettet Uorienteret graf (undirected graph). Mængde af knuder (vertice) forbundet parvi med kanter (edge). knude kant

Læs mere

Plan. Introduktion. Eks: Max i tabel. Algoritmer og datastrukturer. Algoritmer og datastrukturer. Toppunkter. Algoritme 1. Algoritme 2.

Plan. Introduktion. Eks: Max i tabel. Algoritmer og datastrukturer. Algoritmer og datastrukturer. Toppunkter. Algoritme 1. Algoritme 2. Plan Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Introduktion Philip Bille Algoritme Algoritme Algoritme Algoritmer og datastrukturer Eks: Max i tabel Hvad er det? Algoritmisk problem: præcist defineret relation

Læs mere

Inspiration - London. Herunder inspiration til nogle af Londons mest spændende og lærerige seværdigheder.

Inspiration - London. Herunder inspiration til nogle af Londons mest spændende og lærerige seværdigheder. Inspiration - London. Herunder inspiration til nogle af Londons mest spændende og lærerige seværdigheder. Seværdigheder. Tower Bridge & Tower of London Tate museum of Modern Art British Museum Big Ben

Læs mere

TUREN GÅR TIL LONDON GUNHILD RISKE 24. UDGAVE

TUREN GÅR TIL LONDON GUNHILD RISKE 24. UDGAVE TUREN GÅR TIL LONDON GUNHILD RISKE 24. UDGAVE Hampstead Heath Holloway Road Hackney Marshes High Road Finchley Road Road CAMDEN Camden Westway NOTTING HILL Holland Avenue Earls Court KENSINGTON Fulham

Læs mere

Inspiration - London. Herunder inspiration til nogle af Londons mest spændende og lærerige seværdigheder.

Inspiration - London. Herunder inspiration til nogle af Londons mest spændende og lærerige seværdigheder. Inspiration - London. Herunder inspiration til nogle af Londons mest spændende og lærerige seværdigheder. Seværdigheder. Tower Bridge & Tower of London Tate museum of Modern Art British Museum Big Ben

Læs mere

Orienterede grafer. Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer.

Orienterede grafer. Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer. Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer Philip Bille Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk

Læs mere

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer Philip Bille Orienteret graf. Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. deg + (7) =, deg - (7) = Lemma. v V deg - (v) = v V deg + (v) = m. Bevis. Hver kant har netop en startknude og slutknude.

Læs mere

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk Philip Bille Orienteret graf (directed graph). Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. Vejnetværk Knude = vejkryds, kant = ensrettet vej. deg + (6) =, deg - (6) = sti fra til 6 8 7 9

Læs mere

Dagsorden: 1: Præsentation af program 2: Praktiske oplysninger 3: Metrogrupper: 4: Økonomi 5: Regler Evt:

Dagsorden: 1: Præsentation af program 2: Praktiske oplysninger 3: Metrogrupper: 4: Økonomi 5: Regler Evt: London 2015 Dagsorden: 1: Præsentation af program 2: Praktiske oplysninger 3: Metrogrupper: 4: Økonomi 5: Regler Evt: Program London 2015: Dolphin Hotel 32-34, Norfolk Square London W2 +44 020 7402 4943

Læs mere

Turen til London. Big Ben. Vestlige del af Parlamentet. Midterdel af Parlamentet. 3. Juli 2000 15. Juli 2000

Turen til London. Big Ben. Vestlige del af Parlamentet. Midterdel af Parlamentet. 3. Juli 2000 15. Juli 2000 Turen til London 3. Juli 2000 15. Juli 2000 Big Ben Themsen fra Big Ben (vestlig retning) Themsen fra Big Ben (østlig retning) Vestlige del af Parlamentet Midterdel af Parlamentet 1 Indgangspartiet til

Læs mere

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af

Læs mere

Mindste udspændende træ

Mindste udspændende træ Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation

Læs mere

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af

Læs mere

Førsteårsprojekt F2008. Nogle algoritmer på grafer

Førsteårsprojekt F2008. Nogle algoritmer på grafer Førsteårsprojekt F2008 Nogle algoritmer på grafer Peter Sestoft 2008-02-19 Oversigt for i dag Definition: graf og orienteret graf Repræsentation ved kantlister Bredde-først gennemløb Dybde-først gennemløb

Læs mere

Sammenhængskomponenter i grafer

Sammenhængskomponenter i grafer Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv

Læs mere

Herefter vil vi indkvartere os på The Kensington Close Hotel & Spa, som ligger centralt i Kensington tæt på shoppinggaden Kensington High Street.

Herefter vil vi indkvartere os på The Kensington Close Hotel & Spa, som ligger centralt i Kensington tæt på shoppinggaden Kensington High Street. London 24. 26. april 2012 Tirsdag d. 24. april 2012 Kl. 6.50 Kl. 7.50 Kl. 9.00 Check-in i Københavns Lufthavn terminal 3 skal være overstået. Afrejse Københavns Lufthavn med British Airways BA 811 til

Læs mere

Når du rejser med Ungdomsskolen...

Når du rejser med Ungdomsskolen... en ungdomsskole-rejse! 22 elever + 3 lærere pt. tilmeldt 19 elever, 13 piger og 6 drenge så plads til endnu 3 elever! afrejse: lørdag d. 24/3 hjemkomst: torsdag d. 29/3 arrangør: Ringkøbing-Skjern Ungdomsskole

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

TLF. 7070 8065 SPORT@REJSEGALLERIET.DK WWW.REJSEGALLERIET.DK

TLF. 7070 8065 SPORT@REJSEGALLERIET.DK WWW.REJSEGALLERIET.DK ARSENAL Fodboldrejser 2008/2009 TLF. 7070 8065 SPORT@REJSEGALLERIET.DK WWW.REJSEGALLERIET.DK Praktiske oplysninger NÅR DU VÆLGER REJSEGALLERIET Har du at gøre med rutinerede kræfter, for vi har sendt fodboldglade

Læs mere

UGEDAG FORMIDDAG EFTERMIDDAG AFTEN

UGEDAG FORMIDDAG EFTERMIDDAG AFTEN Studietur 2.a 2013 London Musik (PE) og Engelsk (LE) UGEDAG FORMIDDAG EFTERMIDDAG AFTEN Fredag den 15 3 13 AT (opgave på rejsen). 12:00 Mødetid vi mødes under uret på Århus H 12:27 Afgang fra Århus H.

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK

TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK CHELSEA Fodboldrejser 2008/2009 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK Praktiske oplysninger NÅR DU VÆLGER PLATINUM SPORT Har du at gøre med rutinerede kræfter, for vi har sendt

Læs mere

Din egen personlige folder med: Vigtige oplysninger ift. Turen Kort Program AT6 opgaven: Fra imperialisme til multikultur Oversigt over

Din egen personlige folder med: Vigtige oplysninger ift. Turen Kort Program AT6 opgaven: Fra imperialisme til multikultur Oversigt over Din egen personlige folder med: Vigtige oplysninger ift. Turen Kort Program AT6 opgaven: Fra imperialisme til multikultur Oversigt over kvartersanalyse m.m. Rejseoplysninger: Afrejse: Lørdag den 17. marts

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

ARSENAL. Fodboldrejser 2011/2012 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK

ARSENAL. Fodboldrejser 2011/2012 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK ARSENAL Fodboldrejser 2011/2012 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK PRAKTISK INFORMATION NÅR DU VÆLGER VIA TRAVEL PLATINUM Har du at gøre med rutinerede kræfter, for vi har

Læs mere

Mary Murphy Slide Collection

Mary Murphy Slide Collection Europe Denmark, east Tour B Approaching Copenhagen (Copenhagen 896 Aug. 1, 1995 B-301 missing. nautical miles or 4717 km). Europe Denmark, Frederiksborg: Fredensborg Tour Fredensborg Palace, built in 1722.

Læs mere

Program for Finansudvalgets besøg i London den 15.-17. juni 2008

Program for Finansudvalgets besøg i London den 15.-17. juni 2008 Finansudvalget (2. samling) FIU alm. del - Bilag 102 Offentligt Program for Finansudvalgets besøg i London den 15.-17. juni 2008 NB: Programpunkter med fed er for hele udvalget med kursiv er for enkeltmedlemmer.

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

STUDIETURSPROGRAM I LONDON 2m. 21.-28. marts 2014

STUDIETURSPROGRAM I LONDON 2m. 21.-28. marts 2014 STUDIETURSPROGRAM I LONDON 2m 21.-28. marts 2014 STUDIETURSPROGRAM LONDON 2m 21.-27. marts 2014 Dato Fredag 21/3 Aktivitet 5.15 Mødetid i ventesalen på Århus Hovedbanegård. 5.40: Afgang med tog mod København.

Læs mere

London 2015. Skal og kan aktiviteter på turen. Vi skal bo på:

London 2015. Skal og kan aktiviteter på turen. Vi skal bo på: London 2015 Skal og kan aktiviteter på turen. Vi skal bo på: Royal Bayswater Hostel 121 Bayswater Road, London W2 3JH, Storbritannien Telefon:+44 20 7229 8888 Mere information: http://www.globalkeyuk.com/royalbayswater-hotel

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DTLOGI, RHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSEN lgoritmer og Datastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 11 (elleve) Eksamensdag: Torsdag den 1. juni 01,

Læs mere

ARSENAL. Fodboldrejser 2010/2011 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK

ARSENAL. Fodboldrejser 2010/2011 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK ARSENAL Fodboldrejser 2010/2011 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK PRAKTISK INFORMATION NÅR DU VÆLGER VIA TRAVEL PLATINUM Har du at gøre med rutinerede kræfter, for vi har

Læs mere

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 24. juni 2011, kl.

Læs mere

guide MARTS 2011 London sider Gå på pub

guide MARTS 2011 London sider Gå på pub guide MARTS 2011 London 28 sider Gå på pub TEa-time shop amok Oplevelser ved themsen Plus-guide: London Følg med på rejseliv.dk London calling En kosmopol en pulserende storby med både gammeldags charme

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag:

Læs mere

CHELSEA. Fodboldrejser 2011/2012 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK

CHELSEA. Fodboldrejser 2011/2012 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK CHELSEA Fodboldrejser 2011/2012 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK PRAKTISK INFORMATION NÅR DU VÆLGER VIA TRAVEL PLATINUM Har du at gøre med rutinerede kræfter, for vi har

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DTOI, RUS UNIVERSITET Science and Technology ESEN lgoritmer og Datastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. juni 0, kl. 9.00-.00

Læs mere

TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK

TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK CHELSEA Fodboldrejser 2009/2010 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK Praktiske oplysninger NÅR DU VÆLGER VIA TRAVEL PLATINUM Har du at gøre med rutinerede kræfter, for vi

Læs mere

TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK

TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK ARSENAL Fodboldrejser 2009/2010 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK Praktiske oplysninger NÅR DU VÆLGER VIA TRAVEL PLATINUM Har du at gøre med rutinerede kræfter, for vi

Læs mere

Beskrivelse: Booking nummer er 1192510 Alamo Prisen for din billeje er 2090 DKK ogden er bekræftet.

Beskrivelse: Booking nummer er 1192510 Alamo Prisen for din billeje er 2090 DKK ogden er bekræftet. ons. 7. apr. 2010 tor. 8. apr. 2010 fre. 9. apr. 2010 lør. 10. apr. 2010 11:25 Fly København - Atlanta Fra København 1125 ank Atlanta 1525. Confirmation nr. PE4NF0 16:30 Hente bil Atlanta Booking nummer

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).

Læs mere

CHELSEA. Fodboldrejser 2010/2011 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK

CHELSEA. Fodboldrejser 2010/2011 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK CHELSEA Fodboldrejser 2010/2011 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK PRAKTISK INFORMATION NÅR DU VÆLGER VIA TRAVEL PLATINUM Har du at gøre med rutinerede kræfter, for vi har

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DTLOGI, RHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSMEN ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Mandag den. august 07, kl. 9.00-.00 Tilladte medbragte hjælpemidler:

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed:

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 25. juni 200, kl. 9.00-.00

Læs mere

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste

Læs mere

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af

Læs mere

(OBS: Manden på billedet er altså ikke én af os )

(OBS: Manden på billedet er altså ikke én af os ) Fredag d. 8. marts Afrejse med Norwegians tidlige forbindelse, DY 3510 kl. 07:20 fra Københavns Lufthavn med destination London Gatwick. Der opstod en mindre forsinkelse pga. vejret. Ankomst Gatwick, nonstop

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave

Læs mere

Minimum udspændende Træer (MST)

Minimum udspændende Træer (MST) Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen kreds af kanter. Træer

Læs mere

Sviptur til London for at se spændende ny arkitektur??

Sviptur til London for at se spændende ny arkitektur?? Sviptur til London for at se spændende ny arkitektur?? Har du lyst til en sviptur til London den 3. 6. juni 2007 og se på spændende ny arkitektur. Pris Kr. 998,- plus rejse og ophold. Prisen dækker en

Læs mere

London studietur. Institut for Samfundsudvikling og Planlægning

London studietur. Institut for Samfundsudvikling og Planlægning London studietur Hver enkelt bør købe et 7-dages kort til Transport for London. 1-2 zoner er nok til vort program. Hvis I skal uden for zone 1-2 kan I købe tillægsbillet. Jeg ved ikke, om I kan få studenterrabat,

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer

Læs mere

Min tur. til. London

Min tur. til. London Min tur til London 3. 15. juli 2000 Indholdsfortegnelse Punkt... Emne... Side 1 Dagbog... 3 1.1 Mandag den 3. juli 2000... 3 1.2 Tirsdag den 4. juli 2000... 5 1.3 Onsdag den 5. juli 2000... 7 1.4 Torsdag

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:

Læs mere

London. Ella Bellas eventyr. Sara Helena Kangas

London. Ella Bellas eventyr. Sara Helena Kangas London Ella Bellas eventyr Sara Helena Kangas Ella Bellas eventyr London, e-bog Skrevet af Sara Helena Kangas, arkitekt MAA Copyright 2016 Sara Helena Kangas og Forlaget Ella Bella, Aarhus Alle rettigheder

Læs mere

Min rejse. til. London

Min rejse. til. London Min rejse til London 4. april 2003 14. april 2003 Punkt...Side Fredag den 4. april... 3 Lørdag den 5. april... 4 Søndag den 6. april... 5 Mandag den 7. april... 6 Tirsdag den 8. april... 8 Onsdag den 9.

Læs mere

Lørdag d. 31. marts lørdag d. 7. april 2012 Ringkøbing-Skjern Ungdomsskole

Lørdag d. 31. marts lørdag d. 7. april 2012 Ringkøbing-Skjern Ungdomsskole Lørdag d. 31. marts lørdag d. 7. april 2012 Ringkøbing-Skjern Ungdomsskole LONDON CALLING Ringkøbing-Skjern Ungdomsskole tilbyder dig hermed en forrygende storbyoplevelse i påskeferien, hvor vi afvikler

Læs mere

Mindste udspændende træ

Mindste udspændende træ Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation

Læs mere

Prioritetskøer. Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering. Philip Bille

Prioritetskøer. Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering. Philip Bille Prioritetskøer Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering Philip Bille Prioritetskøer Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer

Læs mere

den er v vide susanne madsen

den er v vide susanne madsen vide verden susanne madsen Efter en bachelor i litteraturvidenskab fra Københavns Universitet ville jeg gerne kombinere min interesse for mode med mine studier i moderne kultur og flyttede til London i

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET NSTTUT OR TO, RUS UNVRSTT Science and Technology SN lgoritmer og atastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 11 (elleve) ksamensdag: redag den 1. august 015, kl. 9.00-.00 Tilladte

Læs mere

PROGRAM FOR NEW YORK 2012 Dag: Programpunkt: Transport: Evt. webside: Lørdag d. 31. marts Mødes kl. 09.00 i CPH ved Starbucks.

PROGRAM FOR NEW YORK 2012 Dag: Programpunkt: Transport: Evt. webside: Lørdag d. 31. marts Mødes kl. 09.00 i CPH ved Starbucks. PROGRAM FOR NEW YORK 2012 Dag: Programpunkt: Transport: Evt. webside: Lørdag d. 31. marts Mødes kl. 09.00 i CPH ved Starbucks. Med SAS, flynr. SK 909 fra København (CPH) Afgang kl. 12.25 med SK 909. Ankomst

Læs mere

Inden I rejser til London

Inden I rejser til London Elevaktivite ter 1 Elevaktiviteter til Hi London med klassen på tur Peter Bejder & Turbine 2013 Fotos: Peter Bejder Inden I rejser til London Her er en række aktiviteter til bogen Hi London med klassen

Læs mere

guideapril 2014 London - tea-time - shop amok - her skal du bo og spise sider Se flere guider på bt.dk/plus og b.dk/plus

guideapril 2014 London - tea-time - shop amok - her skal du bo og spise sider Se flere guider på bt.dk/plus og b.dk/plus guideapril 2014 London - tea-time - shop amok - her skal du bo og spise 28 sider Se flere guider på bt.dk/plus og b.dk/plus London ca 2 Guide til London - England En kosmopol en pulserende storby med både

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET STTUT R T, RUS UVRSTT Science and Technology S lgoritmer og atastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) ksamensdag: Tirsdag den. august 0, kl. 9.00-.00 Tilladte medbragte

Læs mere

RINGKØBING-SKJERN UNGDOMSSKOLE

RINGKØBING-SKJERN UNGDOMSSKOLE RINGKØBING-SKJERN UNGDOMSSKOLE LØRDAG D. 24. TORSDAG D. 29. MARTS 2018 London 2017-holdet ved Tower Bridge LONDON CALLING Ringkøbing-Skjern Ungdomsskole byder dig velkommen på London-holdet, der får sig

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Definition (Pseudo-graf): En pseudo-graf G = (V, E) består af V, en ikke-tom mængde hvis elementer kaldes punkter, en mængde E samt en funktion f : E

Definition (Pseudo-graf): En pseudo-graf G = (V, E) består af V, en ikke-tom mængde hvis elementer kaldes punkter, en mængde E samt en funktion f : E Grafteori Definition (Simpel graf): En simpel graf G = (V, E) består af V, en mængde hvis elementer kaldes punkter, og E, en mængde af uordnede par af forskellige elementer fra V. Et element fra E kaldes

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DTLOS NSTTUT, RUS UNVERSTET Det Naturvidenskabelige akultet ESMEN rundkurser i Datalogi ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 7 (syv) Eksamensdag: Torsdag den 14. juni 007, kl. 9.00-1.00 Eksamenslokale:

Læs mere

Minimum udspændende Træer (MST)

Minimum udspændende Træer (MST) Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen lukket kreds af kanter

Læs mere

guide OPDATERET JUNI 2012 London sider GÅ PÅ PUB TEA-TIME SHOP AMOK OPLEVELSER VED THEMSEN

guide OPDATERET JUNI 2012 London sider GÅ PÅ PUB TEA-TIME SHOP AMOK OPLEVELSER VED THEMSEN guide OPDATERET JNI 2012 London 28 sider GÅ PÅ PB TEA-TIME SHOP AMOK OPLEVELSER VED THEMSEN 2 Plus-guide: London Følg med på rejseliv.dk 3 London calling En kosmopol en pulserende storby med både gammeldags

Læs mere

Program for. Skatteudvalgets besøg i London den 18.-20. juni 2008

Program for. Skatteudvalgets besøg i London den 18.-20. juni 2008 Skatteudvalget (2. samling) SAU alm. del - Bilag 189 Offentligt Program for Skatteudvalgets besøg i London den 18.-20. juni 2008 NB: Punkter der er markeret med fed er for hele udvalget, punkter markeret

Læs mere

museer & gallerier Churchill War Rooms British Mueum er en spektakulær bygning med mange spændende udstillinger

museer & gallerier Churchill War Rooms British Mueum er en spektakulær bygning med mange spændende udstillinger rejseguide london museer & gallerier British Museum Churchill War Rooms British Mueum er en spektakulær bygning med mange spændende udstillinger - især den egyptiske afdeling er meget populær. I Churchill

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, F side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 9. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F0 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 00. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)}

.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)} Procedure Dijkstra(G = (V, E): vægtet sh. graf,. a, z: punkter) { Det antages at w(e) > 0 for alle e E} For alle v V : L(v) := L(a) := 0, S := while z / S begin. u := punkt ikke i S, så L(u) er mindst

Læs mere

Grafteori. 1 Terminologi. Grafteori, Kirsten Rosenkilde, august fra V. (Engelsk: subgraph, spanning subgraph, the subgraph

Grafteori. 1 Terminologi. Grafteori, Kirsten Rosenkilde, august fra V. (Engelsk: subgraph, spanning subgraph, the subgraph Grafteori, Kirsten Rosenkilde, august 2010 1 Grafteori Dette er en introduktion til de vigtigste begreber i grafteori, udvalgt teori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet med fokus på den type

Læs mere

Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Datastrukturer

Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Datastrukturer Introduktion til datastrukturer Introduktion til datastrukturer Philip Bille Datastrukturer Datastruktur. Metode til at organise data så det kan søges i/tilgås/manipuleres effektivt. Mål. Hurtig Kompakt

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR ATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Algoritmer og atastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. august 0,

Læs mere

Korteste veje. Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs. Philip Bille

Korteste veje. Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs. Philip Bille Korteste veje Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs Philip Bille Korteste veje Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 02105, F14 side 1 af 14 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 2014. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer 1 Kursusnummer: 02105 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 22. juni 2012, kl. 9.00-13.00 Eksamenslokale: Finlandsgade

Læs mere

Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Datastrukturer

Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Datastrukturer Introduktion til datastrukturer Introduktion til datastrukturer Philip Bille Datastrukturer Datastruktur. Metode til at organise data så det kan søges i/tilgås/manipuleres effektivt. Mål. Hurtig Kompakt

Læs mere

Afgang: Flyselskab: British Airways Dato Klokkeslæt Hvad Hvor torsdag 8.10.09 05:15 mødes Herning Kirke. Hjemrejse

Afgang: Flyselskab: British Airways Dato Klokkeslæt Hvad Hvor torsdag 8.10.09 05:15 mødes Herning Kirke. Hjemrejse Afgang: Flyselskab: British Airways Dato Klokkeslæt Hvad Hvor torsdag 8.10.09 05:15 mødes Herning Kirke torsdag 81009 8.10.09 06:00 00 Afgang Herning Fra Herning Kirke torsdag 8.10.09 11:50 Check in færdig

Læs mere

Minimum udspændende Træer (MST)

Minimum udspændende Træer (MST) Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen kreds af kanter. Træ

Læs mere

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter.

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter. Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter Philip Bille Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening

Læs mere

Førsteårsprojekt F2008 Flere grafalgoritmer, og visualisering SØGES

Førsteårsprojekt F2008 Flere grafalgoritmer, og visualisering SØGES Førsteårsprojekt F2008 Flere grafalgoritmer, og visualisering Peter Sestoft 2008-03-11* SØGES 1-2 studerende til Åbent Hus torsdag 10. april kl 1700-1800 Skal kunne fortælle 5-10 minutter om hvad hvordan

Læs mere

50 års jubilæum 6 dages fodsporsrejse med dansk 007 agent 28. september 2012

50 års jubilæum 6 dages fodsporsrejse med dansk 007 agent 28. september 2012 James Bond 50 års jubilæum 6 dages fodsporsrejse med dansk 007 agent 28. september 2012 2 James Bond 007 28. september: (F / Cocktail) I flyver fra København til London, hvor I bliver hentet i bus. Første

Læs mere

Grafteori. 1 Terminologi. Indhold

Grafteori. 1 Terminologi. Indhold Grafteori Dette er en introduktion til de vigtigste begreber i grafteori, udvalgt teori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet med fokus på de opgavetyper der typisk er til internationale matematikkonkurrencer.

Læs mere

The Two Capital Tour. London og Berlin turen

The Two Capital Tour. London og Berlin turen The Two Capital Tour London og Berlin turen 19. marts 2009 28. marts 2009 Punkt... Side Torsdag den 19. marts 2009...3 Fredag den 20. marts 2009...4 Lørdag den 21. marts 2009...6 Søndag den 22. marts 2009...7

Læs mere

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter.

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter. Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter Philip Bille Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 2. maj 200. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:

Læs mere

Introduktion til datastrukturer

Introduktion til datastrukturer Introduktion til datastrukturer Datastrukturer Stakke og køer Hægtede lister Dynamiske tabeller Philip Bille Introduktion til datastrukturer Datastrukturer Stakke og køer Hægtede lister Dynamiske tabeller

Læs mere

GRATIS REJSEBØGER LONDON STIG ALBECK GRATIS REJSEBØGER WWW.BOOKBOON.COM

GRATIS REJSEBØGER LONDON STIG ALBECK GRATIS REJSEBØGER WWW.BOOKBOON.COM GRATIS REJSEBØGER LONDON STIG ALBECK GRATIS REJSEBØGER WWW.BOOKBOON.COM 2008 Stig Albeck og Ventus Publishing ApS Alle rettigheder forbeholdes. Ingen del af denne bog må gengives uden skriftlig tilladelse

Læs mere

den er v vide kasper holten

den er v vide kasper holten vide verden kasper holten Jeg troede, jeg skulle være freelanceinstruktør og nyde det frie liv lidt da jeg stoppede som operachef på Det Kongelige Teater i sommeren 2011. Jeg havde lovet mig selv at takke

Læs mere