Eksamen i Lineær Algebra

Transkript

1 Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 6. juni, 26. Kl Nærværende eksamenssæt består af nummererede sider med ialt 5 opgaver. Alle opgaver er multiple choice opgaver. Besvarelsen skal afkrydses i nærværende opgavesæt. Tilladte hjælpemidler: Der må gøres brug af bøger, noter mv. Der må ikke benyttes elektroniske hjælpemidler. Husk at skrive dit fulde navn og studienummer på besvarelsen. NAVN: STUDIENUMMMER: HOLDNUMMER: Aalborg Hold 5 (v. Jacob Broe) Aalborg Hold 6 (v. Nikolaj Hess-Nielsen) Esbjerg Dansk hold (v. Ulla Tradsborg) Esbjerg Engelsk hold (v. Johnny Weile) Side af

2 I alle opgaver gælder at der kun er ét korrekt svar til hvert spørgsmål. Opgave (6 %) Lad A = [a a 2 a 3 a 4 ] være en matrix med 3 rækker og lad B = [b b 2 b 3 ] være sådan at C = AB er defineret.. Hvor mange rækker har matricen B? 3 Antal rækker i B kan ikke bestemmes fra det oplyste. 2. Hvor mange rækker har matricen C? 3 Antal rækker i C kan ikke bestemmes fra det oplyste. 3. Hvordan kan anden søjle i C = [c c 2 c 3 ] bestemmes? c2 = Aa 2 c2 = Ba 2 c2 = Ab 2 c2 = Bb 2 Opgave 2 (4 %) Lad A være en 3 n matrix og lad E være elementærmatricen E = 2. Hvordan fremkommer matricen EA fra A? Ved at addere 2 gange række til række 3. Ved at addere 2 gange række 2 til række 3. Ved at addere 2 gange række 3 til række 2. Ved at addere 2 gange søjle til søjle 3. Ved at addere 2 gange søjle 2 til søjle 3. Ved at addere 2 gange søjle 3 til søjle 2. Side 2 af

3 Opgave 3 ( %) 2 Lad A = 2 og b =. Det oplyses at matricen 3 har følgende reducerede række echelon form Besvar følgende opgaver om pivot-søjler i A: Søjle er pivot-søjle. Søjle 2 er pivot-søjle. Søjle 3 er pivot-søjle. Søjle 4 er pivot-søjle. Sand Sand Sand Sand Falsk Falsk Falsk Falsk 2. Hvad er nulliteten af A? 3 3. Lad x være en løsning til Ax = b. Hvad er x 4? 3 x4 er fri variabel. 4. Besvar følgende sand/falsk opgaver: Enhver løsning x til Ax = b opfylder x = x 3. Sand Falsk Løsningsmængden til Ax = b er et underrum af R 4 Sand Falsk Side 3 af

4 Opgave 4 ( %) Lad q = 2, q 2 = 2, q 3 = 2, q 4 = 2, 2 A = 2 2, og lad Q = [q q 2 q 3 q 4 ]. 2 Man kan se at B = {q, q 2, q 3, q 4 } er en ortonormal basis for R 4.. Besvar følgende sand/falsk spørgsmål om matricen Q. Q er en ortogonal matrix. Q er en symmetrisk matrix. Q = Q Q = Q Sand Sand Sand Sand Falsk Falsk Falsk Falsk 2. Determinanten af Q er et af følgende tal. Hvilket? T betegner nu den lineære operator med standardmatrix A. Lad C = [T] B være matrixrepræsentationen af T med hensyn til basen B. Hvad er c? 8 Side 4 af

5 Opgave 5 ( %) Det karakteristiske polynomium af 2 A = er t(t 2)(t + 2)(t 4).. Hvilken af følgende er en egenværdi for A? Hvilken af følgende er en egenvektor for A? Kan A diagonaliseres? Ja Nej 4. Har A en invers matrix? Ja Nej Side 5 af

6 Opgave 6 ( %) Lad v = 2 2, v 2 = 2 2 og lad W = Span {v, v 2 }. Lad u = være ortogonal projektionen af u på W. 3 3 og lad w 3. Er vektorerne v og v 2 ortogonale? Ja Nej 2. Hvad er 2. komponenten af w (dvs. w 2 )? Lad z være ortogonal projektionen af u på W. Hvad er 2. komponenten af z (dvs. z 2 )? Hvad er dimensionen af W? 3 5 Opgave 7 (4 %) [ ] Lad A =. Hvilken af følgende påstande er sand: A = A9 A = A8 A = A27 A = Aθ for en anden vinkel θ A er ikke en rotationsmatrix. Side 6 af

7 Opgave 8 (4 %) Lad A = 2 3 og B = 2. Lad C = AB. Hvad er tallet c 23? Opgave 9 (6 %) Lad A og B være 5 5 matricer med det A = 3 og det B = 2.. Hvad er det( 2A)? Hvad er det AB T? Hvad er det AB? Lad A = Hvad er determinanten af A? Opgave (4 %) Side 7 af

8 Opgave ( %) T : R n R m er en lineær transformation med standardmatrix 2 A = Det oplyses at A med elementære rækkeoperationer kan omskrives til Hvad er værdien af n? Hvad er værdien af m? Hvad er rangen af A? Hvad er dimensionen af nulrummet af T? Er T enentydig (en-til-en, injektiv)? Ja Nej 6. Er T på (surjektiv)? Ja Nej Side 8 af

9 6 7 2 Lad A = og lad b = Opgave 2 (7 %). Er b indeholdt i Col A? 2. Er b indeholdt i Null A? 3. Er b indeholdt i (Row A)? Ja Ja Ja Nej Nej Nej Opgave 3 (5 %) Hvor mange løsninger har ligningssystemet ingen én to uendeligt mange. x + x 2 + x 3 = 3 x x 3 = 2x + 3x 2 + 4x 3 = 9 Side 9 af

10 Opgave 4 (4 %) T : R 5 R 3 er en lineær transformation.. Hvad er den mindst mulige dimension af nulrummet af T? Hvad er den størst mulige dimension af nulrummet af T? 3 5 Opgave 5 (6 %) I MATLABs Command Window er der indtastet følgende matrix:. >> A = [ ; 2; 2 2]; Det oplyses at A har en invers matrix B. Hvilken af følgende kombinationer af MATLAB-kommandoer bestemmer den korrekte inverse til A? C=rref([A eye(3)]); B=C(4:6,:) C=rref([eye(3) A]); B=C(:,:3) C=rref([eye(3) A]); B=C(:3,:) C=rref([A eye(3)]); B=C(:,:3) C=rref([A eye(3)]); B=C(:,4:6) C=rref([eye(3) A]); B=C(:,4:6) Side af