Matematik 1 Semesteruge 4 5 (25. september - 6. oktober 2006) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik 1 Semesteruge 4 5 (25. september - 6. oktober 2006) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan"

Transkript

1 Matematik 1 Semesteruge 4 5 (25. september - 6. oktober 2006 side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 4 og 5 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer af selvstudium med opgaveregning og et mini-projekt i grupper af 6 personer. Klassen/databaren er til rådighed på Store Dage fra kl. 12:00 til 17:00, og derudover på Lille Dage fra kl. 8:00 til 12:00 (for skemaerne A og B og fra kl. 13:00 til 17:00 (for skema C. Vi regner med en arbejdsbelastning på 16 timer per uge. En del hjemmearbejde er altså påkrævet. Husk at medbringe lærebogen og opgavebogen i Matematisk Analyse 1, se kursusinformationsskrivelsen. Klasselærerne og hjælpelærerne er til rådighed som konsulenter i fællestimerne, og I er velkomne til at benytte de sædvanlige konsulenttjenester på alle Store Dage, altså både mandage, tirsdage og onsdage, kl.15:30 til 16:30. Alle 15 øvelsesopgaver løses (opgavenumre som fx 401, 402, etc. refererer til opgavebogen i Matematisk Analyse 1. Fire udvalgte og markerede blandt disse opgaver udgør sammen med gruppens miniprojekt-rapport (se nedenfor det andet hjemmeopgavesæt til aflevering til klasselæreren på Lille Dag i semesteruge 5. Hver gruppe vælger efter at have løst øvelses-opgaverne én af de 7 anførte mini-projekt-opgaver, løser denne opgave i fællesskab, udarbejder en fælles projekt-rapport og fremlægger denne på Lille Dag i semesteruge 5. Fremlæggelsen skal vare 10 minutter. Projekt-rapporten afleveres sammen med løsningerne til de 4 øvelses-opgaver før fremlæggelsen af mini-projektet. Afleveringen af dette specielle 2. hjemmeopgavesæt er igen individuel i den forstand, at alle skal aflevere løsningerne til de 4 udvalgte opgaver, mens miniprojekt-rapporten kun afleveres i ét eksemplar pr. gruppe. Grupperne vil modtage en vejledende bedømmelse for den mundtlige fremlæggelse af miniprojektet og naturligvis også få den kommenterede og rettede rapport tilbage. Det er derefter gruppens opgave at kopiere den rettede rapport til alle i gruppen således at den kan indgå i hver enkelt af de individuelle hjemmeopgave-porteføljer. Bemærk, at afleveringen af rapporten skal ske før rapport-fremlæggelsen; der kræves altså en del planlægning i gruppen for at få disse ting organiseret, afleveret og kopieret som ønsket. Det er en del af opgaven. Til orientering: Ved den skriftlige 2-timersprøve i kurset 16. december 2006 stilles mindst én opgave, som omhandler komplekse tal. Øvelsesopgaver Opgave 1 (NB: Brug højst 20 minutter til denne opgave. 1. Læs de 3 første sider i Matematisk Analyse 1, kapitel Giv en kort fremstilling (10 linier af de problemer, som førte til indføring af de komplekse tal.

2 side 2 Semesteruge 4 5 (25. september - 6. oktober 2006 Matematik 1 Opgave 2 1. Læs afsnit Betragt transformationsreglerne mellem et punkt A s retvinklede koordinater (a 1,a 2 og dets polære koordinater r v. Antag, at (a 1,a 2 = ( 1, 1. En studerende beregner da Hvori består den studerendes fejl? r = 2 og tan(v = 1 = 1, dvs. v = π/ Angiv flere procedurer, således at fejlen ovenfor ikke kan opstå, og således at der altid fås korrekte resultater ved omregning fra retvinklede til polære koordinater. Opgave 3 1. Læs side 4.7 og undersøg, om produktets definition i (4.10 stemmer overens med to vektorers skalarprodukt (prikprodukt eller med vektorproduktet (krydsprodukt. 2. Eftervis, at de to definitioner (4.9 og (4.10 er ækvivalente, dvs. de udtrykker det samme. Opgave 4 1. Læs siderne Hvad betyder det geometrisk, at et komplekst tal a bliver multipliceret med i? Hvad betyder multiplikation med i? 3. Hvad er (i 2, (i 3, (i 4, (i 5, ( i 2, ( i 3, ( i 4, ( i 5? 4. Hvad er realdelen og imaginærdelen af 5 i7? 5. Hvad er imaginærdelen af 5 7i? 6. Hvad er realdelen og imaginærdelen af i7 5? 7. Læs siderne 4.13 og Hvilke procedurer kan man benytte (udover Maple til at omskrive a+ib c+id Opgave 5 til x+iy? 1. Læs side 4.15 inklusive eksempel Regn ved hjælp af Maple opgaverne 401, 403, 407, Lav bagefter en håndberegning af 401(b, 403(b, 407(a, 410 og skitsér resultaterne for disse opgaver. 4. Hjemmeopgaver: 406 og 449 med tilføjelsen: Skriv endvidere A på formen a+ib. Opgave 6 Løs opgaverne 414, 418, 422 (a, (b. Opgave 7 1. Læs siderne Hvor mange reelle rødder har et komplekst polynomium af grad n?

3 Matematik 1 Semesteruge 4 5 (25. september - 6. oktober 2006 side 3 3. Hvor mange reelle rødder har et reelt polynomium af grad n? 4. Hvor mange reelle og komplekse rødder tilsammen har et reelt polynomium af grad n? 5. Hvad er meningen med en rods multiplicitet? Opgave 8 1. Læs sætning 4.4 med bevis. 2. Løs z 2 = 4, z 2 = i og z 2 = 1 i. 3. Skitsér løsningerne i den komplekse talplan. Opgave 9 1. Læs resten af side 4.19 samt Løs a z 2 + 2z+5 = 0 og b z 2 2z+17 = 0. Bemærk: Der er kun reelle koefficienter i disse polynomier. Opgave Læs siderne inklusive eksempel Find og bevis formlen for løsningen til ligningen z 3 = a for ethvert givet komplekst tal a. 3. Løs opgave 430. Skitsér løsningerne. 4. Løs opgave 431. Skitsér løsningerne. Opgave Læs sætning 4.7 og beviset. Kontrollér, om sætningens udsagn passer med løsningen af opgave Lad a = a 1 + ia 2 være et komplekst tal. Vis, at (z a(z a er et reelt andengradspolynomium. Hvordan hænger røddernes sum og produkt sammen med polynomiets koefficienter? 3. Givet et polynomium P(z med reelle koefficienter af grad n = 6. Kan P(z have nøjagtig 3 reelle rødder, som alle har multiplicitet 1? Begrund svaret. 4. Hjemmeopgave: 476 med tilføjelsen: (3 Skriv polynomiet x som et produkt af andengradspolynomier med reelle koefficienter. Opgave Læs afsnit 4.4 om e z. 2. Lær formlen (4.33 udenad! 3. Vis, at definitionen af e z, z = x+iy, opfylder følgende regneregler: (a e z = e x, hvis y = 0. (b e z 1e z 2 = e z 1+z 2. (c d dy (ea+iy = ie a+iy og (d Eftervis differentiationerne i (c med Maple. d 2 dy 2(ea+iy = (e a+iy, hvor a og y er reelle tal.

4 side 4 Semesteruge 4 5 (25. september - 6. oktober 2006 Matematik 1 4. Opgave Benyt Eulers formler (4.40 og (4.41 til at eftervise den velkendte formel cos 2 y+sin 2 y = Opgave 440. Opgave Opgave Find desuden en Maple-kommando, som løser opgaven. Opgave 14 Opgave 437 (a, (b. Opgave 15 Hjemmeopgave: 480, skal afleveres som udskrift fra en Maple-session. Quiz: Løs quiz Euge7 om komplekse tal. Mini-projektopgaver Projekt-opgave 1: Kompleks beskrivelse af kurver og områder i planen Mange kurver og områder i planen kan karakteriseres komplekst. Find kurvens eller områdets art og plot hvert af tilfældene med Maple. 1. M 1 = { z C z 1 = 3 }. 2. M 2 = { z C z 1 = z+i }. 3. M 3 = { z C z+2+i < 2 }. 4. M 4 = { z C Im(z = 2Re(z 1 }. 5. M 5 = { z C 1 < z 2 }. 6. M 6 = { z C z 3 < 2 z (3+i < 1 }. 7. M 7 = { z C z+3 + z 3 = 10 }. 8. M 8 = { z C arg(z z 0 = θ, z 0 C, z 0, θ faste }. 9. M 9 = { z C z ia = z Re(z ib, a b, a,b faste relle tal }. 10. M 10 = { z C z z a = c, a R +, c R + {0}, a,c faste tal }. Vis dernæst følgende: (a For c = 0 er M 10 et punkt. (b For c = 1 er M 10 en ret linie. (c For c R + \ {1} er M 10 en cirkel.

5 Matematik 1 Semesteruge 4 5 (25. september - 6. oktober 2006 side 5 Projekt-opgave 2: Balancerede kræfter i planen Lad der for tre faste komplekse tal z 1,z 2 og z 3 gælde: z 1 + z 2 + z 3 = 0 og z 1 = z 2 = z 3 = Vis, at z 1, z 2 og z 3 danner en ligesidet trekant i den komplekse plan. 2. Oversæt resultatet til et udsagn om tre kræfter, som påvirker en partikel. 3. Gælder der noget tilsvarende for fire faste komplekse tal med z 1 + z 2 + z 3 + z 4 = 0 og z i = 1,i = 1,...,4? 4. Illustrér såvel 1. som 3. med Maple. Projekt-opgave 3: Bevis Napoleons sætning Til en helt vilkårlig trekant T (altså ikke bare en retvinklet eller ligebenet eller ligesidet trekant forestiller vi os, at der ud fra T på hver af T s sider oprettes den ligesidede trekant, som har den pågældende side som grundlinie. Nu betragtes midtpunkterne af de tre ligesidede trekanter. Napoleons sætning siger da, at disse tre midtpunkter er hjørner i en ligesidet trekant. Opgaven består i at finde ud af hvordan en ligesidet trekants midtpunkt er defineret, at bevise Napoleons sætning, og i at benytte Maple til geometrisk at eftervise, at Napoleons sætning ser rigtig ud. Benyt for eksempel animation til at illustrere sætningen for forskellige trekanter T. Fås samme konklusion hvis de ligesidede trekanter tegnes ind mod T i stedet for ud fra T? Projekt-opgave 4: Geometrisk løsning af den lineære ligning az = b og af den binome (ikkelineære ligning z 2 = a Lad a, b C, a 0, og antag a = a 1 + ia 2, b = b 1 + ib 2, hvor a k og b k, k = 1,2 er reelle tal. 1. Vis, at løsningen z = (x,y til ligningen az = b kan findes som skæringspunktet mellem følgende to rette linier i (x,y-planen: a 1 x a 2 y = b 1 og a 2 x+a 1 y = b Vis, at de to rette linier er ortogonale og find skæringspunktet. Sammenlign med den direkte komplekse løsning af az = b. 3. Vis, at løsningerne til z 2 = a kan findes som skæringspunkterne mellem de to kurver i (x, y-planen: x 2 y 2 = a 1 (1 2xy = a 2 (2 4. Plot kurverne med Maple for forskellige værdier af a 1 og a 2, angiv deres art og vis at de netop har 2 skæringspunkter for a 0.

6 side 6 Semesteruge 4 5 (25. september - 6. oktober 2006 Matematik 1 5. Løs ligningssystemet (1 + (2 og sammenlign resultatet dels med lærebogens sætning 4.4 formel (4.23 og dels med Maple illustrationerne i spørgsmål 4. Projekt-opgave 5: Kompleks funktion af en kompleks variabel Hvis vi har en afbildning f, som til ethvert komplekst tal z A C tilordner et komplekst tal w C, så kaldes f en kompleks funktion af en kompleks variabel, og vi skriver f : A C eller w = f(z. Vil man skitsere forholdene, må man benytte en z-plan og en w-plan. z-plan: z = x + iy y w-plan: w = u + iv v x u 1. Et eksempel er eksponentialfunktionen w = e z. Denne funktion betragtes nu. Sæt z = x+iy, w = u+iv, x,y,u,v R. (a Angiv ud fra definition (4.32 u og v ved x og y. (b Angiv i en skitse billedet af x-aksen og af alle linjer, der er parallelle med x-aksen. (c Tilsvarende spørgsmål for y-aksen. (d Illustrér med Maple. 2. Lad g være den komplekse funktion givet ved w = g(z = 1, z 0, z C. z (a Vis, at g afbilder enhver ret linje i enten en cirkel eller en ret linje, og at g afbilder enhver cirkel i enten en cirkel eller en ret linje. (b Angiv i en skitse billedet af x-aksen og af alle linjer, der er parallelle med x-aksen. (c Tilsvarende spørgsmål for y-aksen. (d Illustrér med Maple. Projekt-opgave 6: Kompleks beskrivelse af trefasesystem Enhver funktion, hvis tidsvariation er cosinusformet, kan repræsenteres ved en kompleks konstant. En spændingsforskel v(t og en strømstyrke i(t kan således skrives [ v(t = Re V e jωt] (1 [ i(t = Re I e jωt] (2

7 Matematik 1 Semesteruge 4 5 (25. september - 6. oktober 2006 side 7 hvor V og I er de komplekse repræsentanter for spænding og strøm, medens j er den imaginære enhed, altså j 2 = 1. Konstanten ω er vinkelfrekvensen, og der gælder ωt = 2π, hvor T er perioden. I det følgende er V 0 og I 0 ikke-negative konstanter amplituderne medens α og β er reelle konstanter. Lad først V = V 0 e jα og I = I 0 e jβ. 1. Opskriv de ved ligningerne (1 og (2 givne udtryk for øjebliksværdierne v(t og i(t. 2. Udtryk periodemiddelværdien af effekten v(t i(t ved Re ( V I. I det følgende benyttes endvidere den komplekse konstant 3. Find µ 2, 1 µ og 1+µ+ µ2. ( µ= exp j 2π = j 2. (3 I et trefasesystem har man en nulleder og tre faseledere R, S og T. Spændingerne mellem nullederen og de tre faseledere kaldes v R (t,v S (t,v T (t; og de tilhørende komplekse repræsentanter er V R,V S,V T. Generatorspændingen er spændingen mellem to faseledere. Først betragtes tilfældet (V R,V S,V T = ( V 0,µV 0,µ 2 V 0. (4 4. Opskriv de virkelige fasespændinger v R (t,v S (t,v T (t, og vis, at der gælder v R (t+v S (t+v T (t = 0 for alle t. (5 I hvilken tidsrækkefølge antager de tre spændinger maksimalværdien V 0? Et vekselstrømsvoltmeter måler vekselspændingens effektivværdi v eff = v max Vi sætter f = T 1 = 2π ω = 50Hz og v eff = V 0 2 = 230volt. Dvs. ω = 100πs 1, V 0 = 230 2volt ogt = 1 50 s. Afbild graferne for v R (t,v S (t,v T (t i samme koordinatsystem for t [0; 1 50 ]. 6. Opskriv generatorspændingerne v R (t v S (t, v S (t v T (t og v T (t v R (t på formen A cos(ωt ±α og plot dem i samme koordinatsystem for t [0; 50 1 ]. Hvad bliver den effektive spænding A 2 for generatorspændingerne? 7. Gennemfør regninger og afbildninger som i spørgsmålene 4, 5 og 6 for trefasesystemet (V R,V S,V T = ( V 0,µ 2 V 0,µV 0. (6 Det kan også indtræffe, at alle tre fasespændinger er ens, altså at man har (V R,V S,V T = (V 0,V 0,V 0. (7 De hidtil betragtede trefasesystemer udviser symmetri. De ved ligningerne (4, (6 og (7 givne systemer kaldes henholdsvis det synkrone system, det inverse system og nulsystemet.

8 side 8 Semesteruge 4 5 (25. september - 6. oktober 2006 Matematik 1 Et ikke-symmetrisk trefasesystem vil man ofte udtrykke som en overlejring af et synkront system, et inverst system og et nulsystem. Dette kan man gøre ved først at opfatte V = ( V R,V S,V T som V 0 multipliceret med en vektor i C 3 rummet bestående af alle tripler af komplekse tal udstyret med den sædvanlige basis, jf. LA, eks Dernæst bestemmes koordinaterne for den dimensionsløse vektor V /V 0 i en basis bestående af de tre komplekse vektorer a + = ( 1,µ,µ 2, a = ( 1,µ 2,µ, a 0 = (1,1,1. (8 8. Vis, at ( a +,a,a 0 faktisk er en basis for C Opskriv koordinatmatricerne i a-basis for de ved (4, (6 og (7 givne trefasesystemer. 10. Man betragter trefasesystemet V = ( V R,V S,V T = (2, j,1+jv0. Bestem koordinatmatricen for V i a-basis. Det sædvanlige skalarprodukt af to vektorer x = ( x 1,x 2,x 3 og y = ( y1,y 2,y 3 i C 3 defineres ved 11. Hvad er betydningen af Re(V I? x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. Projekt-opgave 7: Ohm s lov på kompleks form Ved en sinusformet vekselspændingskilde forstås en spændingskilde, hvis polspænding v som funktion af tiden t er af typen v(t = v max cos(ωt + φ v, t R, hvor amplituden v max og vinkelfrekvensen ω er positive konstanter og faseforskydningen φ v er reel. Hvis en sinusformet vekselspændingskilde sender en strøm gennem et kredsløb sammensat af modstande, spoler og kondensatorer, vil strømmen også blive sinusformet, men den vil i almindelighed være faseforskudt i forhold til spændingen. Derfor kan strømstyrken i(t angives ved et udtryk af formen i(t = i max cos(ωt + φ i. Amplituden i max er per definition positiv og φ i er reel. For at kunne bibeholde Ohms lov i sin simple form også for vekselstrømskredse, opfatter man den reelle funktion v(t og den reelle funktion i(t som realdele af følgende to komplekse funktioner V(t og I(t af den reelle variable t: V(t = v max e j(ωt+φ v = v max e jφv e jωt, (1 I(t = i max e j(ωt+φ i = i max e jφi e jωt. (2 Bemærk, at vi i overenstemmelse med betegnelserne i elektronik og elektromagnetisme har kaldt den imaginære enhed for " j".

9 Matematik 1 Semesteruge 4 5 (25. september - 6. oktober 2006 side 9 1. Vis, at Re (V(t = v(t og Re (I(t = i(t og angiv de numeriske værdier V(t og I(t. Vi skal nu finde de komplekse "modstande"z R, Z L og Z C, som henholdsvis en modstand med resistans R, en spole med selvinduktans L og en kondensator med kapacitans C giver anledning til. Disse komplekse størrelser Z kaldes impedanser og for hver af dem gælder Ohms lov i sin simple form, men nu for komplekse størrelser: V(t = Z I(t (3 2. Vis, at (1 medfører V(t = Z I(t og Z = Z e j(φ v φ i, hvor Z = v max /i max og φ v φ i er faseforskydningen mellem strøm og spænding. 3. Hvis en resistans R, (R reel, tilsluttes spændingskilden med den reelle spænding v(t, findes den reelle strømstyrke i(t jo ved v(t = R i(t Impedansen Z R bestemmes da ved at løse den komplekse ligning V(t = R I(t og desuden bruge Ohms lov på kompleks form (3. Find Z R på formen Z R = Z R e jφ R. 4. Hvis en spole med selvinduktans L tilsluttes spændingskilden med den reelle spænding v(t, så ved man fra induktionsloven, at den reelle strømstyrke i(t findes ved løsning af differentialligningen v(t = L di(t. dt Impedansen Z L bestemmes da ved at betragte den komplekse differentialligning V(t = L di(t dt og ved brug af Ohms lov på kompleks form (3. Angiv impedansen Z L på såvel formen Z L = a+ jb som på formen Z L = Z L e jφ L. (Vink: Indsæt (1 og (2 i den komplekse differentialligning (4 og sammenlign med (3. Angiv i max udtrykt ved ω,l og v max. 5. Hvis en kondensator med kapacitans C tilsluttes spændingskilden med den reelle spænding v(t, så ved man, at den reelle strømstyrke i(t findes af differentialligningen dv(t dt = 1 C i(t. Impedansen Z C bestemmes da af den komplekse differentialligning dv(t dt = 1 C I(t (4

10 4 H side 10 Semesteruge 4 5 (25. september - 6. oktober 2006 Matematik 1 og ved at bruge Ohms lov på kompleks form (3. Angiv impedansen Z C på såvel formen Z C = a+ jb som på formen Z C = Z C e jφ C. Angiv i max udtrykt ved ω,c og v max. Det skal endelig bemærkes, at den resulterende impedans i et sammensat kredsløb beregnes efter de samme regler som gælder for reelle resistanser. Serieforbindelse : Z = Z 1 + Z 2 Parallelforbindelse : 1 Z = 1 Z Z 2 Et sædvanligt måleinstrument for strøm og spænding måler ikke øjebliksværdien af disse, men derimod disses effektivværdier. Der gælder, at i eff = i max 2 og v eff = v max 2 En vekselstrøms effektivværdi er defineret således, at effekten P der afsættes i en ohmsk modstand kan beregnes af P = R i eff 2. Sammenhængen mellem effektivværdien af spændingsfaldet over en resistans og strømmen gennem den er givet ved Ohms 1. lov v eff = R i eff. Effekten der afsættes i et vekselstrømskredsløb kan beregnes af formlen P = v eff i eff cos(φ, hvor φ = φ v φ i er faseforskellen mellem spænding og strøm. φ kaldes også blot faseforskydningen i kredsen. Når man angiver vekselspændingen i stikkontakterne til 230 V, er der tale om effektivværdien af vekselspændingen. For vekselspændingens maksimalværdi har man v max = v eff 2 = 230V 2 = 325V. LYSSTOFRØRET SOM EKSEMPEL Et lysstofrør er et udladningsrør. Man sender strømmen igennem en luftart bestående af kviksølvdamp, der herved bringes til at lyse. En belægning på indersiden af røret sørger for, at røret afgiver hvidt lys til H I I A I F A C E A H fig.1. Lysstofrør. I ovenstående elektriske diagram (fig.1 symboliseres lysstofrøret af en ohmsk modstand R r (indeks r for rør. Serieforbindelsen af drosselspole og lysstofrøret skal tilsluttes en sinusformet vekselspænding på 230 V (effektiv spænding med frekvensen 50 Hz. Drosselspolen skal begrænse strømstyrken igennem røret. Drosselspolen kaldes også en dæmpespole. Spolen er viklet

11 E E + E = + Matematik 1 Semesteruge 4 5 (25. september - 6. oktober 2006 side 11 på en jernkerne. Drosselspolen kan opfattes som en serieforbindelse af en ren ohmsk modstand og en spole uden modstand. Spolens modstand betegnes med R d og dens selvinduktionskoefficient med L. Serieforbindelsen af lysstofrøret og drosselspolen udgør rørgrenen. Parallelt med rørgrenen skal der ved brug være tilkoblet en kondensator, som udgør kondensatorgrenen. Parallelforbindelsen af rørgrenen og kondensatorgrenen er anbragt i en åben kasse, der kaldes armaturet. E H 4 H = H = J K H fig.2. Lysstofrør i et armatur. Strømmen i r i lysstofrøret kaldes rørstrømmen, strømmen i c i kondensatorgrenen kaldes kondensatorstrømmen og strømmen i a til armaturet kaldes armaturstrømmen (fig.2. K > A fig.3. Ved at sende en jævnstrøm igennem drosselspolen alene, dvs. en serieforbindelse af en modstand R d og en selvinduktion L, måles en jævnstrømsmodstand på 51Ω (fig.3. Sendes en vekselstrøm med frekvensen 50 Hz igennem drosselspolen måles en vekselstrømsmodstand (impedans Z = 439Ω. a. Gør rede for, at R d = 51Ω og L = 1,39H. Ved beregningerne kan selve lysstofrøret behandles som en ohmsk modstand af størrelsen R r = 227Ω. b. Bestem rørgrenens impedans Z r og bestem størrelsen af kondensatorens impedans Z c og tilhørende kapacitet C, således at strømmen i a til armaturet bliver mindst mulig. c. Angiv effektivværdien af i a for det tilfælde hvor man benytter Z c fundet ovenfor. I praksis benyttes en kondensator med kapaciteten 4 µf. Denne værdi skal derfor benyttes i det følgende. De mulige værdier af φ v i udtrykket v(t = v max cos(ωt + φ v for spændingen der tilsluttes armaturet afhænger af tidspunktet, hvor spændingen tilsluttes. d. Bestem en værdi af φ v således at udtrykket v(t = v max cos(ωt +φ v kan skrives på formen v(t = v max sin(ωt. I det følgende benyttes v(t = v max sin(ωt.

12 side 12 Semesteruge 4 5 (25. september - 6. oktober 2006 Matematik 1 e. Find udtrykket for strømmen i r (t i rørgrenen. f. Find udtrykket for strømmen i c (t i kondensatorgrenen. g. Tegn i samme koordinatsystem graferne for i r (t, i c (t og strømmen i a (t = i r (t+i c (t. Hvordan kan det være, at amplituden for i r (t kan være større end amplituden for i a (t? h. Angiv i a (t på formen i a (t = i max sin(ωt φ a. i. Angiv effektivværdierne af strømmene i r (t, i c (t og i a (t, dvs. værdierne for strømstyrkerne, som amperemetre ville vise. j. Hvad kan være grunden til, at kondensatorgrenen er lovpligtig for lysstofrør? Hvad er fordelen ved at bruge en dæmpespole med selvinduktion, frem for en rent ohmsk modstand? Selvstudium. Løs quizzen Euge5 og Euge7. Quiz Hjemmeopgaver til Lille Dag i semesteruge 5: Sæt 2: Sættet består af miniprojekt-rapporten samt de tidligere markerede opgaver: med tilføjelsen: Skriv endvidere A på formen a+ib med tilføjelsen: (3 Skriv polynomiet x 4 +1 som et produkt af andengradspolynomier med reelle koefficienter , skal afleveres som udskrift fra en Maple session. SLUT

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Impedans. I = C du dt (1) og en spole med selvinduktionen L

Impedans. I = C du dt (1) og en spole med selvinduktionen L Impedans I et kredsløb, der består af andre netværkselementer end blot lække (modstande) og kilder vil der ikke i almindelighed være en simpel proportional, tidslig sammenhæng mellem strøm og spænding,

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

IMPEDANSBEGREBET - SPOLEN. Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S. Diagrammer

IMPEDANSBEGREBET - SPOLEN. Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S. Diagrammer AC IMPEDANSBEGREBET - SPOLEN Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S Diagrammer Spolens faseforskydning: En spole består egentlig af en resistiv del (R) og en ideel reaktiv del

Læs mere

Kompendie Slukkespoler og STAT COM anlæg

Kompendie Slukkespoler og STAT COM anlæg Kompendie Slukkespoler og STAT COM anlæg Indhold Slukkespoler... 3 Diagram over 60-10 kv station... 3 Grundlæggene vekselspændingsteori... 4 Jordingsformer...12 Direkte jordet nulpunkt...12 Slukkespolejordet

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

MODUL 5 ELLÆRE: INTRONOTE. 1 Basisbegreber

MODUL 5 ELLÆRE: INTRONOTE. 1 Basisbegreber 1 Basisbegreber ellæren er de mest grundlæggende størrelser strøm, spænding og resistans Strøm er ladningsbevægelse, og som det fremgår af bogen, er strømmens retning modsat de bevægende elektroners retning

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Lektionsantal: Uddannelsesmål: Fredericia Maskinmesterskole Undervisningsplan Side 1 af 11. Underviser: EST/JBS. Efterår 2011

Lektionsantal: Uddannelsesmål: Fredericia Maskinmesterskole Undervisningsplan Side 1 af 11. Underviser: EST/JBS. Efterår 2011 Fredericia Maskinmesterskole Undervisningsplan Side 1 af 11 Lektionsantal: Modulet tilrettelægges med i alt 136 lektioner Uddannelsesmål: Den studerende skal have en elektroteknisk viden inden for områderne

Læs mere

Udarbejdet af: RA/ SLI/KW/

Udarbejdet af: RA/ SLI/KW/ Side 1 af 7 1. Formål. Den studerende skal have en elektroteknisk viden inden for områderne kredsløbsteori og almen elektroteknik i et sådant omfang, at forudsætninger for at udføre afprøvning, fejlfinding

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

IMPEDANSBEGREBET - KONDENSATOREN. Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S. Diagrammer

IMPEDANSBEGREBET - KONDENSATOREN. Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S. Diagrammer AC IMPEDANSBEGREBET - KONDENSATOREN Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S Diagrammer Kondensatorens faseforskydning: En kondensator består alene af ideel reaktiv del (X C ),

Læs mere

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1 f(z)dz = 0 1 I denne uge er det meningen, at I skal blie fortrolige med komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. Vi skal kigge nærmere på, hornår komplekse funktioner er differentiable

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Indre modstand og energiindhold i et batteri

Indre modstand og energiindhold i et batteri Indre modstand og energiindhold i et batteri Side 1 af 10 Indre modstand og energiindhold i et batteri... 1 Formål... 3 Teori... 3 Ohms lov... 3 Forsøgsopstilling... 5 Batteriets indre modstand... 5 Afladning

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Komplekse tal i elektronik

Komplekse tal i elektronik Januar 5 Komplekse tal i elektronik KOMPLEKSE tal er ideelle til beregning på elektriske og elektroniske kredsløb hvori der indgår komponenter, der ved vekselspændinger fase-forskyder strømme og spændinger,

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Prøveeksamen MR1 januar 2008

Prøveeksamen MR1 januar 2008 Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og

Læs mere

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 På hold 3 fortsætter vi med integration i flere variable i uge 47. Man kan med fordel repetere kapitel 13.4 og 13.5 og deri regne sandt/falsk opgaverne

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag:

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Jeg ønsker at gå til eksamen i nedennævnte eksaminationsgrundlag (pensum), som skolen har lavet. Du skal ikke foretage dig yderligere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik A Jesper

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Fredericia Maskinmesterskole Afleverings opgave nr 5

Fredericia Maskinmesterskole Afleverings opgave nr 5 Afleverings opgave nr 5 Tilladte hjælpemidler: Formelsamling,lærebøger(med evt. egne notater), regnemaskine og PC som opslagsværk (dvs. opgaven afleveres håndskrevet) opgave 1: Serieforbindelse af impedanser:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold.

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Formål Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Teori Et batteri opfører sig som en model bestående af en ideel spændingskilde og en indre

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

C R. Figur 1 Figur 2. er eksempler på kredsløbsfunktioner. Derimod er f.eks. indgangsimpedansen

C R. Figur 1 Figur 2. er eksempler på kredsløbsfunktioner. Derimod er f.eks. indgangsimpedansen Kredsløbsfunktioner Lad os i det følgende betragte kredsløb, der er i hvile til t = 0. Det vil sige, at alle selvinduktionsstrømme og alle kondensatorspændinger er nul til t = 0. I de Laplace-transformerede

Læs mere

Komplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015

Komplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Komplekse tal Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Indhold 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner 2 1.1 Radianer................................................ 2 1.2 Cosinus og sinus som

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Reeksamen i Calculus

Reeksamen i Calculus Reeksamen i Calculus Torsdag den 11. august 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2014 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik A Jesper

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik A Jesper

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

8. Jævn- og vekselstrømsmotorer

8. Jævn- og vekselstrømsmotorer Grundlæggende elektroteknisk teori Side 43 8. Jævn- og vekselstrømsmotorer 8.1. Jævnstrømsmotorer 8.1.1. Motorprincippet og generatorprincippet I afsnit 5.2 blev motorprincippet gennemgået, men her repeteres

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg GSK Matematik

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Ohms Lov Ohms lov beskriver sammenhæng mellem spænding, strømstyrke og modstand.

Ohms Lov Ohms lov beskriver sammenhæng mellem spænding, strømstyrke og modstand. Ellære Ohms Lov Ohms lov beskriver sammenhæng mellem spænding, strømstyrke og modstand. Spænding [V] Strømstyrke [A] Modstand [W] kan bruge følgende måde til at huske hvordan i regner de forskellige værdier.

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

DiMS 2010 Uge 7,

DiMS 2010 Uge 7, DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal

Læs mere

Noter til Komplekse tal i elektronik. Højtaler Bas, lavpasled, Mellemtone, Diskant

Noter til Komplekse tal i elektronik. Højtaler Bas, lavpasled, Mellemtone, Diskant Noter til Komplekse tal i elektronik. Eksempler på steder, hvor der bruges kondensatorer og spoler i elektronik: Equalizer Højtaler Bas, lavpasled, Mellemtone, Diskant Selektive forstærkere. Når der er

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 1

Matematik F2 Opgavesæt 1 Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Matematik Aa (et årig enkeltfag)

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2015 Institution Kolding HF og VUC, Kolding Åpark 16, 6000 Kolding Uddannelse Flexhold Matematik

Læs mere

Generelle kommentarer omkring løsning af fysikopgaver

Generelle kommentarer omkring løsning af fysikopgaver Generelle kommentarer omkring løsning af fysikopgaver Det skal tydeligt fremgå af besvarelsen hvilken tankegang, der ligger bag løsningen. Dvs. fyldestgørende og præcis forklaring, men samtidig så kort

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

Abstract. Mikael Westermann, 3x 23 Midtfyns Gymnasium Studieretningsprojekt 2010 Fysik A, Matematik A

Abstract. Mikael Westermann, 3x 23 Midtfyns Gymnasium Studieretningsprojekt 2010 Fysik A, Matematik A Abstract This paper describes waves in electrical AC-circuits, and how the voltage drop over reactive components varies with the frequency of the waves. The voltage drops over capacitors, inductors and

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Fasedrejning. Fasedrejning i en kondensator og betragtninger vedrørende RC-led.

Fasedrejning. Fasedrejning i en kondensator og betragtninger vedrørende RC-led. Fasedrejning Fasedrejning i en kondensator og betragtninger vedrørende RC-led. Følgende er nogle betragtninger, der gerne skulle føre frem til en forståelse af forholdene omkring kondensatorers og spolers

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Modellering af elektroniske komponenter

Modellering af elektroniske komponenter Modellering af elektroniske komponenter Formålet er at give studerende indblik i hvordan matematik som fag kan bruges i forbindelse med at modellere fysiske fænomener. Herunder anvendelse af Grafregner(TI-89)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Jan.-jun. 2010 Institution Grenaa Tekniske Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Michael

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

til undervisning eller kommercielt brug er Kopiering samt anvendelse af prøvetryk

til undervisning eller kommercielt brug er Kopiering samt anvendelse af prøvetryk Frembringelse af vekselstrøm Når en ledersløjfe drejes i et homogent (ensartet) magnetfelt, opstår der i ledersløjfen en sinusformet vekselspænding. Denne ændrer under drejningen ikke kun sin størrelse,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2017 Marie

Læs mere

Eulers equidimensionale differentialligning

Eulers equidimensionale differentialligning Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående

Læs mere

Fysik rapport. Elektricitet. Emil, Tim, Lasse og Kim

Fysik rapport. Elektricitet. Emil, Tim, Lasse og Kim Fysik rapport Elektricitet Emil, Tim, Lasse og Kim Indhold Fysikøvelse: Ohms lov... 2 Opgave 1... 2 Opgave 2... 2 Opgave 3... 2 Opgave 4... 3 Opgave 5... 3 Opgave 6... 3 Opgave 7... 4 Opgave 8... 4 Opgave

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere