Kurver og flader i geometri, arkitektur og design 23. lektion

Transkript

1 Kurver og flader i geometri, arkitektur og design 23. lektion Department of Mathematical Sciences Aalborg University Denmark

2 Normal- og hovedkrumninger i et fladepunkt Normalkrumningen k = k n (a, b) i tangentretningen t = ar u + br v beregnes som k = ea2 + 2fab + gb 2 Ea 2 + 2Fab + Gb2. (1) Hvilke værdier kan k antage for varierende tangentretninger t? (1) ((ke e)a + (kf f)b) 2 + ((kg g)(ke e) (kf f) 2 )b 2 = 0 har løsning k (kg g)(ke e) (kf f) 2 0 k 2 eg+ge 2fF k + eg f 2 0 EG F 2 EG F 2 k 2 2Hk + K 0

3 Gauss - og middelkrumning Gauss: K = eg f 2 EG F 2 middel: H = eg + ge 2fF 2(EG F 2 ) k 2 2Hk + K Hovedkrumninger k 1, k 2 = største/mindste normalkrumning = rødder i polynomiet k 2 2Hk + K = 0 k 1 = H + H 2 K k 2 = H H 2 K Bemærk: H k k 2 k 1 K = k 1 k 2 H = k 1 + k 2 2 K H 2

4 Klassifikation af punkter Et punkt P på en flade S kaldes elliptisk hvis K(P)>0. k 1 (P), k 2 (P) har samme fortegn; alle normalsnit krummer i sammen retning af normalen; T P (S) ligger på én side af fladen tæt på S. hyperbolsk hvis K(P)<0. k 1 (P), k 2 (P) har forskelligt fortegn; der findes en (asymptotisk) retning med normalkrumning 0; T P (S) skærer fladen i en kurve tæt på S. parabolsk hvis K(P)=0 og ikke både k 1 (P) = k 2 (P) = 0. Normalkrumninger mellem 0 og en maksimal (eller minimal) hovedkrumning. Alle normalsnit (undtagen evt. en) på samme side af tangentplan T P (S). planpunkt hvis K(P) = k 1 (P) = k 2 (P)= 0. Alle normalkrumninger er 0. Fladen krummer næsten ikke i P.

5 Hovedretninger og Eulers formel Hovedretninger: t i = a i r u + b i r v, i=1,2. Løs en af ligningerne (k i E e)a i + (k i F f)b i = 0 (k i F f)a i + (k i G g)b i = 0 for de beregnede hovedkrumniger k 1, k 2 Der er en hel "linie" bestående af løsninger! En løsning [a i, b i ] indsættes i t i = a i r u + b i r v. Eulers formel: beregner alle normalkrumninger ud fra hovedkrumningerne k 1, k 2. Hovedretninger: t 1 t 2. For tangentvektor t θ med vinkel θ fra t 1 til t θ : k n (t θ ) = (cos θ) 2 k 1 + (sin θ) 2 k 2. t 2 θ t t 1

6 Grafen af en funktion specielt tilfælde 1 z = f(x, y) parameterfremstilling r(u, v) = [u, v, f(u, v)]. r u (u, v) = [1, 0, f u (u, v)], r v (u, v) = [0, 1, f v (u, v)], E(u, v) = 1 + (f u (u, v)) 2 ; F(u, v) = f u (u, v)f v (u, v); G(u, v) = 1 + (f v (u, v)) 2. Normalvektor ν(u, v) = [ f u(u,v), f v (u,v),1] 1+(fu (u,v)) 2 +(f v (u,v)) 2, r uu (u, v) = [0, 0, f uu (u, v)]; r uv (u, v) = [0, 0, f uv (u, v)]; r vv (u, v) = [0, 0, f vv (u, v)]; f e(u, v) = uu (u,v) 1+(fu (u,v)) 2 +(f v (u,v)) 2; f(u, v) = f uv(u,v) ; g(u, v) = f vv(u,v). Gausskrumning K(u, v) = (f uuf vv (f uv ) 2 )(u,v) (1+fu 2 +fv 2 ) 2 (u,v) ; Middelkrumning H(u, v) = ((1+f u 2 )f vv 2f u f v f uv +(1+fv 2 )f uu )(u,v). 2(1+f 2 u +f 2 v ) 3 2 (u,v)

7 Omdrejningsflader 1 Frembringerkurve rotationssymmetri Frembringerkurve med parameterfremstilling x(v) = [x(v), 0, z(v)], x(v) > 0 drejes om Z -aksen. Z meridian parallel Omdrejningsflade med parameterfremstilling r(u, v) = [x(v) cos u, x(v) sin u, z(v)] Parameterkurver: Parallelcirkler vandret Meridianer frembringer roteret Y X

8 Omdrejningsflader 2 Fundamentalformer og krumninger I. E(u, v) = x(v) 2, F(u, v) = 0, G(u, v) = x (v) 2 + z (v) 2. Meridian parallelcirkel xz II. e(u, v) = x (v) 2 +z (v) 2, f(u, v) = 0, g(u, v) = x (v)z (v) x (v)z (v). x (v) 2 +z (v) 2 f = F = 0 hovedkrumningsretninger = parameterkurvernes tangentretninger. {k 1, k 2 } = { e E, g z G } = { x x 2 +z 2, x z x z } x 2 +z 23 K = eg EG, H = eg+ge 2EG. Hvis frembringerkurven er parametriseret ved buelængde: x x K =, {k 1, k 2 } = { z z }. Fortegnet for x afgør om punktet er hyperbolsk, elliptisk, parabolsk. x, x

9 Retlinede flader (ruled surfaces) specielt tilfælde 3 sammensat af rette linier, kan alligevel være krumme. Parameterfremstilling: r(u, v) = p(u) + vq(u), u, v R p(u): centralkurve q(u): retningsvektor for linie gennem P u med OP u = p(u). Eksempler: Kegleflade Cylinderflade Tangentflade (til kurve) Hyperbolsk paraboloide p(u) konstant q(u) konstant q(u) = p (u) p(u) = [u, 0, 0], q(u) = [0, 1, cu] Gausskrumning K(P) 0 i alle punkter P. Hvorfor? Langs linie gennem P er normalkrumningen 0. Eulers formel: k 1, k 2 kan ikke have samme fortegn: K = k 1 k 2 0. Udfoldelige flader: K =0, kan bukkes ud af plane områder.