K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Tal- og symbolbehandling - Funktioner

Transkript

1 K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Matematik F Tal- og symbolbehandling - Funktioner

2 Matematik F Tal- og symbolbehandling - Funktioner Forord Redaktør Hagen Jørgensen År 200 Best. nr. Erhvervsskolernes Forlag Munkehatten Odense SØ Telefon Telefax 6 7 ef@ef.dk Internet Copyright Enhver mangfoldiggørelse af tekst eller illustrationer er forbudt i henhold til Lov om ophavsret. Forbudet gælder alle former for mangfoldiggørelse ved trykning, fotografering og elektronisk databehandling. Kontakt os! For at kunne forbedre kommende udgaver vil vi meget gerne modtage kommentarer til bogen. Denne opfordring gælder alle brugere, lærere såvel som elever. Undervisningsbanken Denne bog er produceret ved hjælp af Erhvervsskolernes Forlags Undervisningsbank som findes på Internettet I denne vidensdatabase ligger mere end kapitler som kan sammensættes helt frit til bøger. Således kan en lærer nu blive redaktør og danne sit eget målrettede undervisningsmateriale. æøåæøå æøåæøå æøåæøå

3 Indhold Hele tal og decimaltal Brøker 7 Procent Ligninger 2 Massefylde Kalkulation Koordinatsystemet 9 Ret linie To ligninger med to ubekendte 7 Emneopgave Facitliste æøåæøå æøåæøå æøåæøå

4

5 Hele tal og decimaltal Hele tal og decimaltal 2 6 6, Millioner Hundrede tusinder Ti tusinder Tusinder Hundreder Tiere Enere Tiendedele Hundrededele Tusindedele Titusindedele Hundredetusindedele Milliontedele Sammenlægning og fratrækning Når tal lægges sammen eller trækkes fra hinanden, stilles de under hinanden. Enere stilles under enere, og tiere under tiere osv. Decimaltal stilles op med kommaerne under hinanden. Eksempel 29 26, , , 22 Opgaver. Udregn følgende: a b c d e f..0 6 g h i. 0,67 +, j. 9,876 2,976 k ,7 l. 6,78 67,89 2. En smed har følgende udgifter: Materialer 2.782,0 kr. Kørsel 966,00 kr. Arbejdsløn 2.086,0 kr. a. Beregn smedens udgifter i alt. Ovenstående indbringer 8.90,00 kr. ved salg. b. Beregn smedens fortjeneste. Industriens Forlag mx09.fm

6 Hele tal og decimaltal Gange og division Når tal ganges eller divideres med andre tal stilles de op efter hinanden. Eksempel a. 7 = 28 d. 2 : = b. 7 = 28 e., : =, c. 2 = f. 68 : = Opgaver. Udregn følgende: a. 6 8 b. 2 6 c. 6 2 d. 6 e. 6 : 2 f. 69 : g : 6 h : i..8 : j k. 990 : l..28 : 6. En smed får 8,00 kr. i timen. Hvor meget tjener han på 7 timer?. En smedelærling får udbetalt 992,00 kr. for 6 timers arbejde. Hvor stor er hans timeløn? 6. En elev betaler 8.00,00 kr. i husleje om året. Han får udbetalt 6.808,00 kr. pr. måned. a. Hvad er hans månedlige husleje? b. Hvor stort et beløb har han til de øvrige udgifter pr. måned, når han har betalt husleje? 2 Industriens Forlag - mx09.fm

7 Hele tal og decimaltal Decimaltal Gange med decimaltal. Hvis et tal med 2 decimaler ganges med et tal med decimal, får facit decimaler osv. 2 decimaler decimal 8,7 6, ,26 decimaler Opgaver 7. Udregn følgende: a. 2,2, b.,7 2,2 c. 7,2, d. 2, 6,7 e. 2,02, f.,, Dividere med decimaltal. 9 : 2 =,2 8 : = går et helt antal gange 2 går ikke et helt antal gange op i 8, så facit bliver et op i 9, så facit bliver et helt tal. decimaltal. 8. Udregn følgende: a. : 2 b. 07,7 : c. 2,86 : 7 d. 7,8 : 7 e. 2 : f. 9 : 6 g.,9 : h. 60 :, i. 2,62 :,2 9.,6 m 2 plade koster,00 kr. Hvad koster m 2? 0. Et rør på 6 m skal deles i 8 lige store stykker. Hvor stort bliver hvert stykke? Industriens Forlag mx09.fm

8 Hele tal og decimaltal Afrunding Afrunding med decimaltal. Eksempel Eksempel 2,672 afrundes til 2 decimaler,676 afrundes til 2 decimaler Hvis. decimal er eller mindre Hvis. decimal er eller mere rundes der ikke op. rundes der op. Svar:,67 Svar:,68 Opgaver. Afrund følgende decimaltal (2 decimaler): a. 2, b. 2, c.,887 d., e. 26,779 f. 0,2 g. 9,88 h. 22,22 i. 9, Afrund følgende decimaltal ( decimaler): a.,6728 b. 6, c. 66, d. 0,0000 e. 0,88888 f. 99,9999. Længden af stk. rundstål måles med skydelære. Stykke måler,8 mm Stykke 2 måler 22,9 mm Stykke måler,2 mm a. Hvor lange er stykkerne tilsammen ( decimal)? b. Hvor lange er stykkerne tilsammen (2 decimal)? c. Hvor lange er stykkerne tilsammen ( decimal)? Stykke deles i lige store stykker. Ved hver deling går mm til spilde. d. Hvor lange bliver de enkelte stykker efter delingen (2 decimaler)? Industriens Forlag - mx09.fm

9 Hele tal og decimaltal Regneregler Sammensætning af de regnearter. Regel : Parenteser udregnes først. Eksempel (2 + 9) 2 = 2 = 22 Eksempel 2 ( + 2) (2 9) = 6 = 8 Regel 2: Gange og division udføres, før der lægges sammen og trækkes fra. Eksempel = = 20 Eksempel = + 2 = Opgaver. Udregn følgende: a. (2 + 8) b. ( 2) + 8 c. 2 9 : 2 + d. (2 9) : (2 + ) e. 2 (9 : 2) + f. 7 + : 2 g. (7 + ) : 2 h. (2 : 8) : 2 i. ( + ) 2 j. ( ) + ( 2) k. (( ) + ) 2 l. ( + ( 2)). Udregn følgende: (( : 2) 8) + (, ) (( 2 0,) ) (0 (0 : 00)) + : 6. Udregn følgende: a. 2 6 : 7 + 9,9 : : b ( ) ,66 :, c. ( ) 6 d. ( ) : (0.62, :,) e. 68 : (.078,8 : 6,6) Industriens Forlag mx09.fm

10 Hele tal og decimaltal Paranteser + Parenteser kan fjernes, uden at der sker ændringer. Eksempel 6 + (8 2) = = 2 Parenteser kan fjernes, når man ændrer alle fortegn i parentesen. Eksempel 8 (6 + 8) = = Parenteser kan fjernes, når man ganger alle led i parentesen med tallet udenfor. Eksempel (6 + 8) = = Man kan også udregne parentesen først og gange bagefter. Eksempel (6 + 8) = = 2 Opgaver 7. Udregn følgende: a. 6 + ( ) b. + (2 ) c (8 ) 60 d. 7 ( ) e. (7 + ) f. 7 ( ) g. 7 (9 7 + ) h. + 7 ( + 72) i. 76 ( ) j. ( 2) 8. Udregn følgende: a. ( + 7) b. 7 + (6 : 2) (6 : 2) c. 9 (8 : ) d. 7 ( 7) + (7 9) 8 e. 2 (9 7) 8 (70 : 7) f. ( ) 6 Industriens Forlag - mx09.fm

11 Brøker Brøker Ægte og uægte brøker samt blandede tal Brøktal, eksempelvis, udtrykker ligesom decimaltal (0,2) en vis del af en helhed. Kendskabet til brøktal og principperne for regning med disse er en forudsætning for forståelse af regning med procenttal samt visse opgavetyper i matematik. Huskeregel - Tæller = Nævner Tæller tæller - Nævner nederst Ægte brøker En ægte brøk er en brøk, hvor nævneren er større end tælleren. Eksempel Se brøken, nævneren angiver brøkens navn (fjerdedele), og tælleren angiver antallet af brøkdele (), vi skal medtage. Uægte brøk En uægte brøk er en brøk, hvor tælleren er lige så stor eller større end nævneren. Eksempel Se brøken 7 7 = + Industriens Forlag mx00.fm

12 Brøker Blandet tal Et blandet tal består af et helt tal og en brøk. Eksempel Når uægte brøker laves om til blandet tal, udføres den division, brøkstregen angiver. Eksempel 7 = + = Blandet tal kan skrives som uægte brøker. Eksempel 7 = + = Opgaver. Omskriv til blandet tal a. - b. - c. - d e. - f. - g. h Omskriv blandet tal til uægte brøk. a. b. c. d e. - f. 2 g. h Industriens Forlag - mx00.fm

13 Brøker Decimalbrøk/tal - 0 = 0, , = - da første tal efter komma er tiendedele. 0,0 = - da andet tal efter komma er hundrededele. Opgaver. Omsæt decimaltallene til brøker. a. 0,2 b. 0,07 c. 0,7 d., e. 2,2. Omsæt brøktallene til decimaltal a. - b. c. d. - e Se de 2 foregående opgaver. Hvilke opgaver kan skrives som uægte brøk? At forlænge og forkorte brøker Mange brøktal har samme værdi. 6 2 = = = = = 2 Forskellen på de brøker er, at tæller og nævner er delt eller ganget med det samme tal. Dette ændrer ikke brøkens værdi. Industriens Forlag mx00.fm

14 Brøker At dele tæller og nævner med samme tal kaldes at forkorte brøker : 2 8 : 2 Eksempel = = At gange tæller og nævner med samme tal kaldes at forlænge brøker. 2 2 Eksempel = = Opgaver 6. Forkort følgende brøker med a. - b. - c. - d Forlæng følgende brøker med a. b. - c. d Forkort følgende brøker mest muligt. 0 6 a. - b. - c. - d Forlæng følgende brøker, så de får nævneren a. b. - c. d Forkort følgende brøker mest muligt, og omsæt dem derefter til blandede tal a. - b. - c. - d Forlæng følgende brøker, således at de opnår samme nævner. 2 a. b. c. - d. 7 0 Industriens Forlag - mx00.fm

15 Brøker Primtal og primfaktoropløsning Primtal er de hele positive tal større end, som kun er delelige med sig selv og med tallet. Der findes endnu ikke en regel, hvorefter man kan afgøre, om et vilkårligt tal er et primtal eller ej. Et helt tal, som ikke er et primtal, kaldes et sammensat tal. Som eksempel på sammensatte tal kan nævnes:, 6, 9, 0. Primtallene under 0 er: 2,,, 7,,, 7, 9, 2, 29,, 7,,, 7. (Se desuden tabellen bag i bogen). Det hidtil største kendte primtal er (et tal med 687 cifre). Primfaktorer At opløse et helt positivt tal i primfaktorer vil sige at skrive det som et produkt af primtal. Eksempel 8 opløses i 2 Nedenstående opstilling kan bruges, når et tal skal opløses i primfaktorer. Man dividerer om muligt først med 2, derefter,, 7... osv. gennem rækken af primtal til divisionen er sluttet Opløsning i primfaktorer kan bruges til at forkorte brøker og finde fællesnævner. Opgaver 2. Opløs i primfaktorer. a. 20 b. 0 c. 8 d. 72 e. 6 f. 26 g. 62 h. 627 Industriens Forlag mx00.fm

16 Brøker Brug af primfaktorer til forkortning af brøker Eksempel - = =. Forkort følgende brøker mest muligt a. - b. c. - d Omskriv til blandet tal, og forkort dernæst mest muligt a. - b. - c. - d Addition (plus) og subtraktion (minus) Addition og subtraktion med brøker kan kun ske, når brøkerne er ensbenævnte. 2 Eksempel + = + = = 2 Opgaver. Addér (sammentræk) følgende brøker a. b. c. 8 6 d. + + e f Addér (sammentræk) følgende blandede tal. a. 2 b c. d Subtraher følgende brøker. 7 a. b. 7 - c d. - - e. 2 f. 0, 2, Industriens Forlag - mx00.fm

17 Brøker Multiplikation (gange) Man ganger en brøk med en anden brøk ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner. 2 2 Eksempel = = Opgaver 8. Gang følgende brøker med hinanden a. b. c d. - e. - f Gang følgende brøker med det hele tal, og skriv det hele tal som brøk. 0 9 a. 7 b. c Udregn og reducer følgende brøkstykker. 2 2 a. b. c. - 6 d. e. f. 7-2, , 8 2 -, 6 Industriens Forlag mx00.fm

18 Brøker Multiplikation (gange) Man dividerer en brøk med en anden brøk ved at gange med den omvendte. Man vender altså den bageste brøk om. 2 Eksempel : = = = = Opgaver 2. Divider følgende brøker, og forkort mest muligt a. : b. - : - c. - : d. - : e. 7 : f. : Gang følgende brøker med det hele tal, og skriv det hele tal som brøk a b. + c d. - + (- ) e : f. - g. ( 22 - ) ( ) h : i ( ) Industriens Forlag - mx00.fm

19 Procent Procent Procent betyder»pr. hundrede«eller»hundrededele« Eksempel 60% = - = 0,60 Procent til decimaltal Procent til decimaltal. Eksempel 20% = 0,20 og % = 0,0 og 2% =,2 Opgaver. Omskriv følgende procenter til decimaltal: % 99% % 2% 00% 2% 00% 2% %,2% 26,78%,67% 22,7%.000% Procentdel Udregning af procentdelen: 8 00 Eksempel 8% af 00 kr. = 00 kr. - = 00 kr. 0,8 = 72 kr. 2. Udregn følgende: 2% af 200 kr. 0% af 0 kr. 7% af 0 kr. 0,2% af 0 kr. 7% af 880 kr. 2,2% af 88 kr.. Af en løn på 6.00,00 kr. skal betales 8% i skat. Hvor mange kroner skal der betales i skat? Hvor stort et beløb er tilbage, når skatten er betalt?. På en maskine til,00 kr. skal der betales 2% moms. Hvor stort bliver momsbeløbet? Industriens Forlag mx0.fm

20 Procent Procentforhøjelse Hvad skal man gange et tal med, for at det bliver 2% større? Selve tallet svarer til: 00% = - =, Forhøjelsen: 2% = - = 0, Tallet + forhøjelsen: 2% = - =,2 Hvis et tal ganges med,2, gøres tallet 2% større. Opgaver. Hvad skal der ganges med, hvis der skal forhøjes med: 2% % % 0% 00%,% 7%,% 0,%.000% 90% 0% 6. En maskine koster 2.06,00 kr. Hvad kommer maskinen til at koste efter en prisforhøjelse på 7% 7. På grund af valutasvingninger kommer en vare til at stige gange på et år. Varens oprindelige pris var 8.8,00 kr. Første stigning er på %, den anden % og den tredje,%. a. Hvad bliver varens pris efter. prisstigning? b. Efter 2. stigning? c. Efter. stigning? 8. Følgende priser er uden afgift: a. 22,00 kr. b..67,00 kr. c.,6 kr. d. 6.67,0 kr. e. 7,8 kr. f. 0,7 kr. g ,00 kr. h., kr. Udregn priserne efter en afgiftsforhøjelse på 2%. 9. Ved en overenskomstforhandling aftales følgende: Efter år stiger timelønnen med,2% og efter yderligere et år med 2,%. Den oprindelige timeløn var 8,60 kr. a. Hvad bliver timelønnen efter. forhøjelse? b. Hvad bliver timelønnen efter 2. forhøjelse? c. Hvis du tager den oprindelige timeløn og forhøjer den med,7% (,2% + 2,%), kommer du så frem til samme tal som i spørgsmål»b«? Hvorfor/hvorfor ikke? 6 Industriens Forlag - mx0.fm

21 Procent Procentformindskelse Hvad skal man gange et tal med, for at det bliver 2% mindre? Selve tallet svarer til: 00% = - =, Formindskelsen: 2% = - = 0, Tallet + Formindskelsen: 2% = - = 0,7 Hvis et tal ganges med 0,7, gøres tallet 2% mindre. Opgaver 0. Hvad skal der ganges med, hvis der skal formindskes med: 2% % % 0% 2,6% 7%,% 0,% 0,2% 0,2%. I forbindelse med et ophørsudsalg i et byggemarked nedsættes alle priser med %. Her er en liste over de oprindelige priser på enkelte varer: Boremaskine: 990,00 kr. Borsæt: 8,00 kr. Skiftenøgle: 20,00 kr. Lille el-svejseværk:.0,00 kr. Vinkelsliber:.0,00 kr. a. Udregn priserne på de enkelte varer efter prisnedsættelsen. b. Hvad bliver den samlede pris for ovenstående varer på udsalg? 2. Fra 98 til 98 faldt antallet af arbejdsløse med 2,7%. I 98 var antallet af arbejdsløse Hvor stort var antallet af arbejdsløse i 98?. I 99 var 70. mænd medlem af en fagforening under LO. Fra 99 til 992 faldt antallet af medlemmer med,29%. Hvor mange mænd var i 992 medlem af en fagforening under LO?. I 99 importerede Danmark varer for ,00 kr. Fra 99 til 992 faldt importen med,8%. Hvor mange kr. importerede Danmark varer for i 992? Industriens Forlag mx0.fm

22 Procent Beregning af helheden Hvis en procentdel af et tal kendes, kan hele tallet findes. Eksempel 2% af et parti varer udgør 60 stk. Hvor stort er hele varepartiet? 2% udgør: = 60 stk. % udgør: 60 stk. : 2 = 20 stk. 00% udgør: 20 stk. 00 = stk. Opgaver. Find hele beløbet (00%), hvis, a. % = 0,00 kr. b. 2% =.880,00 kr. c. 98% = 88,00 kr. d. 0,% = 00,00 kr. e. 0,02% = 20,00 kr. f. 0% =.000,00 kr. 6. En lærling får udbetalt 6% af sin løn (efter skat). Beløbet udgør.,00 kr. Beregn lærlingens bruttoløn. 7. 2% af en sending metal til genbrug består af kobber. Kobberets masse udgør 66 kg. Hvor stor masse havde hele sendingen? 8. En smedevirksomhed brugte et år 2 pakker svejseelektroder. De brugte pakker udgjorde 0% af lageret. Hvor mange pakker lå på lager ved årets start? 9. Af en virksomheds årsregnskab fremgår det, at 8% af virksomhedens samlede udgifter går til el. Elregningen lyder på ,00 kr. Hvor stor er virksomhedens samlede udgifter det år? 20. En smedelærning fremstiller på en uge 2 beslag. De 2 beslag udgør 80% af en ordre. Hvor mange beslag mangler lærlingen at fremstille? 2. På en virksomhed er 2,% (27 personer) af alle ansatte deltidsbeskæftigede. Hvor mange personer på virksomheden er fuldtidsbeskæftigede? 8 Industriens Forlag - mx0.fm

23 Procent Beregning af procenttal Eksempel Hvor stor en procentdel udgør af 8? = 0,0 = - = 0% Opgaver 22. Hvor stor en procentdel udgør: a. af 6 b. 8 af 60 c. 8 af 2 d. af 28 e. 2 af 8 f. af.00 g. 0,6 af 2 h. 0,02 af 8 2. Af en plade på, m 2 går de 0,9 m 2 til spilde. Udregn spildprocenten. 2. Af en regning på.680,00 kr. giver en smed 20,00 kr. i rabat. Hvor mange procent udgør rabatten? 2. Af en løn på 7.00,00 betaler en smedelærling.702,00 kr. i afbetaling på et billån. Hvor mange procent udgør afbetalingen af lønnen? 26. En lærling skal fremstille 20 emner. På en uge når han at fremstille. Hvor stor en procentdel gjorde han færdig på denne uge? 27. En smedevirksomhed fremstiller 20 varmevekslere. De overholder ikke standarden og må kasseres. Hvor mange procent kasseres? 28. På en stålkonstruktion til salgsprisen 6.098,00 kr. tjener fabrikken.829,0 kr. Hvor stor en procentdel udgør fortjenesten af salgsprisen? 29. På en virksomhed med 8 ansatte er de 29 en dag sygemeldte. Hvor stor en procentdel af de ansatte er denne dag på arbejde? Industriens Forlag mx0.fm

24 Procent Indekstal Indekstal kan hjælpe os med at sammenligne priser fra én tidsperiode til en anden. Det årstal, man tager som udgangspunkt, kaldes basis, og her sættes indekstallet til 00. Eksempel på prisudvikling Årstal Indekstal En vare kostede i ,00 kr. Hvor meget vil varen koste i 99? Indekstal for 986: 22 Indekstal for 99: 79 Stigning: 7 point Procentvis stigning: 7-00 = 6,72% Varen i 99-pris: 22 90,00 kr. + 6,72% = 86,6 kr Indekstal for maskiner og værktøj. (980 = 00) Årstal Indekstal Kilde: Statistisk tiårsoversigt 99 Opgaver 0. En maskine kostede i ,00 kr. Hvor meget ville maskinen koste i: a. 987? b. 992?. Hvor mange point ændrede prisen sig fra 99 til 992? 2. Et værktøj kostede i ,00 kr. Hvad var prisen for værktøjet i 992?. Indekstal for maskiner og værktøj. a. Beregn den procentuelle stigning fra år til år ( ). b. Mellem hvilke 2 årstal forekommer den største procentuelle stigning? 20 Industriens Forlag - mx0.fm

25 Procent Indekstal for maskiner og værktøj. (968 = 00) Årstal Indekstal for materialer Indekstal for arbejdsløn Kilde: Statistisk tiårsoversigt 99. Byggeomkostningsindeks. a. Hvor mange point steg materialeomkostningerne fra 986 til 989? b. Hvad svarer denne pointstigning til i procent? c. Hvor stor var den procentvise stigning i arbejdslønnen i den samme periode?. I 986 var opgjort følgende for et hus: Materialer: ,00 kr. Arbejdsløn:.000,00 kr. Hvor stor ville den samlede udgift til materialer og arbejdsløn være i 989? 6. I 98 udgjorde arbejdslønnen på et hus ,00 kr. Hvor meget ville arbejdslønnen være i 989? 7. Se indekstallene for materialer for perioden 98 til 989. a. Mellem hvilke 2 årstal var pointstigningen størst? b. Mellem hvilke 2 årstal var den procentvise stigning størst? 8. I 968 tjente en faglært 2.000,00 kr. på et år. Hvad må vi regne med, at hans årsløn er steget til efter 20 år? 9. Et parti byggematerialer kostede i ,00 kr. Hvad ville de samme materialer koste i 989? Industriens Forlag mx0.fm

26 Procent 22 Industriens Forlag - mx0.fm

27 Ligninger Ligninger 0 kg 6 kg kg 0 kg kg kg mx02-0.cdr Et ligningssystem kan sammenlignes med en skålvægt i ligevægt. Vægten af lodderne på den ene vægtskål skal være lig med vægten af lodderne på den anden vægtskål. + og Du kan lægge det samme tal til eller trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet. Eksempel Eksempel 2 0 = = = = 6 + = 6 = 6 Du kan flytte et led i en ligning fra den ene side af lighedstegnet til den anden ved at ændre leddets fortegn. Eksempel Eksempel 0 = = 8 0 = 6 0 = = 6 0 = 0 Industriens Forlag mx02.fm

28 Ligninger og : Du kan gange eller dividere med det samme tal ( 0) på begge sider af lighedstegnet. Eksempel Eksempel 6 0 = = = (6 + ) 0 : = (6 + ) : 0 = 0 2, = 2, Du kan flytte et led i en ligning fra den ene side af lighedstegnet til den anden ved at ændre leddets fortegn. Eksempel 7 Eksempel 8 0 = 0, : =,7 0 = 0 :, =,7 0 = 0, =, Opgaver Find x i følgende opgaver (få x til at stå på den ene side af lighedstegnet og tallene på den anden).. x = x = 0. x =,8. x = 2.,9 x =,2 6. 0, x =, 7. 0, x = 0,9 8. 0,02 x = 2 x = x Du behøver ikke skrive gangetegnet mellem tallet og x. Find x. 9. 6x = 0. 6,7x = 2,. 7,7x = ,6x = 22.28,2 2 Industriens Forlag - mx02.fm

29 Ligninger Ohms lov U = I R U = Spændingsforskel (Volt, V) I = Strømstyrke (Ampere, A) R = Modstand (Ohm, Ω) Ved hjælp af ligningen U = I R skal du finde de ubekendte (U, I eller R):. U = A Ω. U = 2, A Ω. 220 V = I 0 Ω 6. 2 V = I 2 Ω 7. 2 V = 0, A R V = 0, A R 9. Find U, når a. I = 2 A og R = 9,7 Ω b. R = 0 Ω og I = 0, A 20. Find I, når a. U = 2 V og R = 8 Ω b. R = 806,67 Ω og U = 220 V 2. Find R, når a. U = 0 V og I = 2, A b. I =, A og U = 220 V Vejstrækning og fart v = S t v = Fart (m/s) S = Strækning (m) t = Tid (s) 22. Find farten (v) ved hjælp af fartformlen. a. Strækning = 20 meter og tid = sekunder b. t = 0, sekunder og S = 20 meter 2. Lyd bevæger sig ca. 0 m/s. En dag ser du en rambuk banke bundgarnspæle i. Fra rambukken rammer pælen, og til lyden når dig, går der, sekunder. Hvor langt er du fra rambukken? 2. Lys bevæger sig ca m/s. Lys er 8, minutter om at nå solen til jorden. Hvor langt er solen fra jorden? Industriens Forlag mx02.fm

30 Ligninger Cirkel og areal En cirkels omkreds (O): O = 2 π r En cirkels areal (A): A = π r 2 2. En cirkel har omkredsen (O) =,8 m. Beregn cirklens radius (r). 26. En cirkel har arealet (A) = 0,8 m 2. Beregn cirklens radius (r). 27. Et smedefirma skal fremstille et parti målehjul. Hjulets omkreds skal være.000 mm. Beregn hjulets radius (2 decimaler). 28. Verdens tykkeste træ (en mexikansk cypres-art) har en omkreds på,8 m. Hvor stor er træets radius? Hvor stort et areal dækker træstubben, hvis træet fældes? 29. Verdens højeste træ (Sequoia) er 0,96 gange højere end træets radius. Hvor højt er træet, når dets omkreds er 2 m? 0. Jordens omkreds ved ækvator er m. Beregn jordens radius (r).. I forbindelse med fremstillingen af en mønt-sorteringsmaskine skal mønternes radier (r) bestemmes. Fra Nationalbanken oplyses følgende omkredse (O): kr.: 89, mm 0 kr.: 7,26 mm 2 kr.: 76,78 mm kr.: 6,8 mm Beregn mønternes radier (r) med 2 decimaler. (Kontrol: Mål efter med skydelære eller mikrometerskrue). 2. Et smedeværksted skal fremstille en del plader, som vist på tegningen. Længden af buestykket fra A til B er 2.6,20 mm. Beregn radius (r) med 2 decimaler. A r B 26 Industriens Forlag - mx02.fm

31 Ligninger Almene ligninger Find x i følgende ligninger (få x til at stå alene på den ene side af lighedstegnet): x Eksempel =, Forklaring betyder x : x x =, x =, x = 7, : flyttes over på højre side og bliver til x 7 x x 8,7 x 0,02 x.000. =,. - = 2,. - = 0, 6. - = 7 7. = 2, 8. - =,2 9. = 2 0. = 7. = 0,00 2. = 7 Find tallet for x i følgende ligninger:. 2 + x = 2. 0, + x = 2,. x 7 = 6. x 29 = x = 08,8 8. 2x + = 8 9.,7x 20 = 0,7 0.,7x 7 =,. 7,x +,2 = 96, 2. 2,x + 7,8 = 29.9, x 2 x 0,9 x 2 x,2 x π 2x 6 Eksempel 2 = 2 x 6. = 2 2x 6 2x 6 = = 2x = 6 x = 2 x = 2 7x., = 2 2,x 7. = 2 2,2x 0, = 2 7,x 0, = 82,2 Industriens Forlag mx02.fm

32 Ligninger Skærehastigheder Til beregning af skærehastigheder bruges denne ligning: d π n.000 v = π =,927 v = Skærehastighed (m/min) d = Værktøjets diameter (mm) n = Omdrejningstal for værktøjet (omdr./min).000 : omregner mm til m (se skærehastighed) 8. Find skærehastigheden, når a. d = 0 mm og n = 800 omdr./min b. d = mm og n = 600 omdr./min c. d = 7 mm og n = 20 omdr./min 9. Kan du omskrive skærehastighedsligningen, så n kommer til at stå alene? 60. Find omdrejningstallet for værktøjet, når a. v = 8 m/min og d =, mm b. v = 0 m/min og d = 7,7 mm c. v = 06 m/min og d = 8 mm 6. Til nogle boreopgaver får du at vide, at borenes periferihastigheder skal være 20 m/min, uanset hvilke bortykkelser du bruger. Beregn nu boremaskinens omdrejningstal for følgende bortykkelser: a. 0 mm b. mm c. 2 mm d. 6 mm e. 8 mm f. 20 mm V = 20 m/min 62. Beregn omdrejningstallet for spindlen i en boremaskine, når du bruger et mm bor, og skærehastigheden skal være 6 m/min. 28 Industriens Forlag - mx02.fm

33 Ligninger Øvelser i løsning af ligninger 6. (2x + ) = (7x ) = ,2(x 6) = 2, (x 2,) = 6, ,7(x,9) = 8, (2x 97,7) =.0, 22x ( + 2) 7x ( ) 69. = = 9, ( x,),2,7( 2, + x) 6 7. = 72,2 72. =.26,878 x ( ),2( 2x 7) 8 7. = 7. 7 = 8 7( x ) 22 2( x +,) = = 77. 0,06x 7,7 =, 78. 0,00x 7 = 0, x + 0 = (2x + 77) 80. 6(6x + ) = (2x + 0) 8. 6(x ) (x + 8) = (x + 6) x (x ) = + 2(x 2) 8. (2 + 6) + x = 7(6x ) + 2(x + ) 8. (0,2x 0,7) = 0,8(0,x +,) (0,78x 0,9) 8. 0,8(0,x +,) = (0,78x 0,9) + (0,2x 0,7) ( x+ ) ( x+ 6) = Industriens Forlag mx02.fm

34 Ligninger 0 Industriens Forlag - mx02.fm

35 Massefylde Massefylde Massefylde af et stof er det antal gram, som cm af stoffet vejer. Eksempel Jerns massefylde er 7,86 cm har massen 7,86 gram dm har massen 7,86 kilogram m har massen 7,86 ton Vand har massefylden, og stoffer tungere end vand har massefylde >, mens stoffer lettere end vand har massefylde <. Massefyldetabel for stoffer: Jern 7,86 Kobber 8,92 Aluminium 2,7 Bly, Guld 9, Opgaver. Fælgende emner er fremstillet i jern. Hvor meget er massen for hvert emne i kilogram? a., dm b. dm c. m d. cm e. 2, liter f. 280 liter g. 2,2 dm h. 2, m 2. En støbeform kan rumme 2.00 cm. Støbeformen skal ophænges i en krog, der maksimalt kan tåle en belastning på 28 kg. Støbeformen vejer kg. Hvilke af de i tabellen nævnte materialer, kan emnet fremstilles i?. Beregn massen på nedenstående emner (svar i kg). a. 7, liter kobber b. 7, liter aluminium c., cm jern d., cm aluminium e. m bly f. m aluminium. En kugle af jern har massen 0,6 kg. Hvilken massen får kuglen, hvis den fremstilles af bly? Industriens Forlag mx07.fm

36 Massefylde. En terning fremstilles i guld. Terningen fylder 8 cm. a. Hvilken masse har terningen? b. Hvis terningen skal holde samme masse, men i stedet fremstilles i kobber, hvor meget kommer kobberterningen så til at fylde? 6. Et emne fylder 2 dm og har massen 0,8968 ton. Hvilket materiale er emnet fremstillet af? 7. Kloakdæksler støbes i forme. En form indeholder 8, liter. Hvilken masse har et jerndæksel? 8. En spand, der har et rumindhold på liter, er påfyldt maling. Malingen har massen gram. Beregn malingens massefylde. Facit angives som kg/liter med decimal. 9. Når man fryser vand til is, udvider vandet sig. Fryser man liter vand, fås, liter is. Beregn isens massefylde, når det oplyses, at vand har massefylden kg/dm. 0. Kølevæske til en væskekølet motor er fremstillet af en blanding af sprit og vand i blandingsforholdet 2:. Sprit har massefylden 0,7. Beregn kølevæskens massefylde. 2 Industriens Forlag - mx07.fm

37 Kalkulation Kalkulation Når der indkøbes varer til smedevirksomheder, varierer priserne afhængigt af den købte mængde. Materialer indkøbes efter type, og prisen afregnes efter vægt. Der er priser: A-pris = 0 til 99 kg B-pris = 00 til 99 kg C-pris = 200 kg og mere. Kalkulationsskema Emne Type (mål) mm Vægt (kg) A, B, C pris Pris/00 kg Pris/m Samlet pris Opgaver. Indkøb til lager. Vi er udgået for følgende materialer og indkøber derfor: T-stål, ligesidet, rundkantet kg kg U-stål, små profiler kg kg Fladstål kg kg kg kg kg Rundstål 8 0 kg 0 0 kg 2 0 kg Hvad bliver indkøbsprisen (brug efterfølgende prislister)? Industriens Forlag mx08.fm

38 Kalkulation 2. Der skal fremstilles en beholder i pladestål. Der skal bruges forskellige størrelser plade: 6 stk stk stk Beregn materialeprisen. Taget i hallen skal repareres. Gennemsyn viser, at der skal skiftes bjælker og vinkelstål. Der skal bruges: I-stål IPE-profiler IPE 20 0 meter Vinkelstål, ligesidet, rundkantet meter Beregn omkostningerne til de nye materialer inkl. moms.. En kunde bestiller en trappe hos den lokale smed. Kunden vil gerne have den endelige pris oplyst. Smeden kan ud fra sin arbejdstegning se, at følgende materialer skal bruges: Rør 70 2, Rundstål Firkantstål Fladstål Arbejdstiden sættes til 60 timer á 9,00 kr. pr. time. a. Udregn materialeprisen. b. Udregn materialeprisen + moms (2%). c. Udregn omkostninger til arbejdsløn. d. Udregn samlet pris på trappen. Industriens Forlag - mx08.fm

39 Kalkulation Prisliste Alle priser er pris/00 kg og ekskl. moms. Stangstål og båndstål Fladstål mm ca. kg pr. m A B C 6 8 (,0) 68,00 60,00, (,26) 609,00 0,00 60, (,7) 620,00,00 7, (,88) 92,00 7,00 2, (,78) 86,00 2,00 6, (,7) 6,00,00 67, (8,79) 666,00 9,00 2, (,88) 62,00 7,00 68, (2,7) 62,00 7,00 68, (,70) 86,00 09,00 7, (9,2) 62,00,00 6, (,2) 67,00 9,00 2, (,7) 67,00 86,00 08, (2,8) 62,00,00 6, (22,6) 67,00 60,00 2,00 Rundstål 8 (0,) 7,00 66,00 6,00 0 (0,6) 69,00 76,00 08,00 2 (0,90) 660,00 77,00,00 20 (2,) 8,00 7,00 0,00 00 (62,) 6,00 7,00 9,00 Firkantstål 6 (2,0) 72,00 6,00 9,00 20 (,) 72,00 6,00 9,00 0 (7,07) 76,00 68,00 6,00 0 (9,6) 782,00 7,00 62,00 7 (,2) 80,00 72,00 66,00 Industriens Forlag mx08.fm

40 Kalkulation Prisliste Alle priser er pris/00 kg og ekskl. moms. Stangstål og båndstål Vinkelstål, ligesidet, rundkantet mm ca. kg pr. m A B C (0,90) 677,00 62,00 2, (,2) 68,00 6,00, (,80) 68,00 6,00, (2,2) 69,00 7,00 98, (2,) 6,00,00 80, (,) 6,00,00 80, (,82) 627,00,00 7,00 T-stål, ligesidet, rundkantet (0,90) 768,00 69,00 62, (,80) 667,00 88,00 20, (2,97) 6,00 76,00 0, (,) 62,00 7,00 8,00 U-stål, små profiler 0 (,7) 708,00 6,00 62, (2,90) 6,00 76,00 97, (,08) 629,00,00 77,00 Stålbjælker I-stål, IPE-profiler IPE 80 (6,00) 678,00 602,00 2,00 IPE 20 (0,) 678,00 602,00 2,00 IPE 20 (0,7) 68,00 6,00 92,00 IPE 60 (7,2) 62,00 78,00 99,00 IPE 00 (66,) 62,00 78,00 99,00 IPE 00 (90,8) 68,00 6,00,00 6 Industriens Forlag - mx08.fm