Projekt 5.3 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Transkript

1 Projet 53 De reelle tal og 2 hovedsætning om ontinuitet Mens den 1 hovedsætning om ontinuerte funtioner om forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2 hovedsætning betydeligt vanseligere at bevise Sætningen siger: 2 Hovedsætning om ontinuerte funtioner Hvis en funtion f er ontinuert på det luede og begrænsede interval, så er værdimængden også et luet og begrænset interval: = α;β Specielt har f et masimum og et minimum i intervallet Vi er nødt til at gå en lille omvej om de reelle tal for at saffe os det nødvendige værtøj De reelle tals egensaber Opbygningen af de reelle tal ser med anvendelse af asiomet: Asiom for onstrution af de reelle tal: Intervalruser Hvis en uendelig følge af intervaller I 1, I 2, I 3, I 4,, In, opfylder følgende: 1 I 1 I 2 I 3 I 4 I n, hvor betyder indeholdt i 2 Intervalbredden nærmer sig 0, når så vil denne intervalruse bestemme et reelt tal n Begreberne og argumentationen i det følgende er ret abstrate, og det ræver en del arbejde at tilegne sig dette Men det er umagen værd Dels får vi her et af de stæreste redsaber overhovedet indenfor den matematise analyse, og dels rummer argumentationen stor matematis sønhed I dette afsnit vil M betegne en mængde af reelle tal M er ie nødvendigvis et interval, det eneste vi forudsætter, er, at M ie er tom! Definition: Overtal og undertal Et tal K aldes et overtal for M, hvis K er større end eller lig med alle tal i M Et tal aldes et undertal for M, hvis er mindre end eller lig med alle tal i M Hovedsætning om de reelle tal 1 Hvis M er opadtil begrænset, så har M et mindste overtal 2 Hvis M er nedadtil begrænset, så har M et største undertal Situationen vedrørende punt 1 unne være: M ligger inden for dette M unne fes være alle reelle tal, der opfylder 2 x 2 Her bliver = 2 2 Men hvad hvis M er alle rationale tal, der opfylder x 2? Der findes ie et rationalt tal,»lige til højre for 2 «derimod an vi finde en følge r n af rationale tal, der nærmer sig 2 Alle disse er overtal for M Derfor ser vi stras, at der ie an være et mindste rationalt overtal Sætningen gælder altså ie indenfor de rationale tal

2 Bevis: Lad M være opadtil begrænset Vi vil først onstruere en intervalruse, der giver os tallet, og dernæst vise, at dette tal er det mindste overtal 1 trin: Vælg et overtal K 1, og et tal 1, der ie er et overtal I = ; K Sæt trin: Kald midtpuntet af intervallet I 1 for m 1 Hvis m 1 er et overtal, sætter vi: Hvis m 1 ie er et overtal, sætter vi: I2 = m1 ; K1 Under alle omstændigheder er I 2 af formen I = ; m ; K trin: Kald midtpuntet af I 2 for m 2 osv Proceduren fra 2 trin gentages, og vi får i:, hvor K n er et overtal, og n ie er et overtal I = ; K n trin: n n n På denne måde får vi onstrueret en intervalruse: I1 I2 I3 I4 I5 I6 In idet længden af intervallerne ifølge onstrutionen vil gå mod 0, hvor K 2 er et overtal, og 2 ie er et overtal Asiomet om de reelle tal giver os da: Påstand: er et mindste overtal for M I n bestemmer et reelt tal Påstanden indeholder to ting: 1 er et overtal: Antag nemlig, at der findes et m M, således at m: K n m Af onstrutionen følger: Kn når n Overvej dette! Fra et vist trin vil K n derfor ligge til venstre for m Men det er jo i modstrid med, at K n er et overtal for M Altså: er et overtal 2 er det mindste overtal Antag nemlig at der findes et g, så g er et overtal: M g m Af onstrutionen følger: n når n Overvej dette! Fra et vist trin, fes m, vil m derfor ligge til højre for g: g m Men da m ie er et overtal, findes der tal fra M til højre for m og disse må da også ligge til højre for g Altså an g ie være et overtal Altså: er det mindste overtal Praxis: Betegnelse for mindste overtal og største undertal Et mindste overtal for M aldes et supremum for M Vi sriver: = supm Tilsvarende aldes et største undertal g for et infimum for M Vi sriver: g M = inf M

3 Øvelse 1 Bevis punt 2 i hovedsætningen om de reelle tal (Bemær: Du an enten gennemføre en argumentation efter samme idé som i ovenstående bevis, eller være mere elegant og udnytte, at sætningen, vi har vist, gælder for alle mængder, der er opadtil begrænset Hvis vi nu starter med en mængde N, der er nedadtil begrænset, betragt da mængden M = x x Udnyt sætningen for mængden M og overbevis dig om, at det fundne supremum for M er et infimum for N) Kontinuerte funtioner Vi har nu værtøjet til at unne bevise: 2 Hovedsætning om ontinuerte funtioner (Sætningen om masimum og minimum) Hvis en funtion f er ontinuert på det luede og begrænsede interval, så er værdimængden også et luet og begrænset interval: = α;β Beviset er stort og opdeles for oversuelighedens syld i tre dele De tre punter er hver for sig en lille sætning, hvorfor vi omformulerer hovedsætningen til følgende version: 2 Hovedsætning om ontinuerte funtioner (2 Version) Vm f også et interval 1 Hvis f er ontinuert i et interval I, så er ( ) 2 Hvis f er ontinuert i, så er begrænset 3 Hvis f er ontinuert i, så er et luet interval I det følgende er un givet en disposition til de tre beviser Du sal selv gennemarbejde beviserne og udfylde alle detaljer Sine steder er det ie helt let; men arbejdet med de enelte punter vil give god indsigt i moderne matematis teori og argumentation Punt 1: f er en ontinuert funtion, og vi vil vise, at ( ) Vm f er et interval Vi an slippe nemt om ved dette punt, for hvad er egentlig definitionen på et interval? Det må være følgende: En delmængde I af de reelle tal aldes et interval, såfremt der gælder: når a, b I, og a c b, så vil der gælde, at også c I Men af denne definition ser vi, at sætningen om mellemliggende værdier (første hovedsætning) giver os, at f I er et interval Overvej dette! ( ) Imidlertid ønser vi at henføre f( I ) til et interval på en af de endte former Derfor gør vi følgende: a) Opdel i fire tilfælde, afhængig af om er begrænset eller ej: 1 er begrænset både opad og nedad 2 er begrænset opad, men ie nedad 3 er begrænset nedad, men ie opad 4 er hveren begrænset opad eller nedad Se på et af tilfældene, fes nr 3: er begrænset nedad, ie opad b) Der findes et største undertal g Marer på tallinje Vm f g; Så er ( ) c) Påstand: Enten er g; = eller g; =

4 d) Argument: Vælg et y g Argumenter for, der findes y 1 og y 2 fra y y y 1 2 Marer på tallinjen e) Benyt sætningen om mellemliggende værdier, der siger, at hvis y 1 og y 2 er med i y med f) Konludér Før vi viser punt 2, vises følgende:, så:, så er også Hjælpesætning Hvis x1, x2, x3,, x n er en vosende følge af reelle tal, der er opad begrænset (eller en aftagende følge, der er ned begrænset), så findes et x 0, så xn når n Bevis: Sæt M = x1, x2, x3,, xn M er opad begrænset, og har derfor et supremum (mindste overtal), x 0 Påstand: xn når n Læg et lille interval om x 0: x ε; x + ε : 0 0 x0 x0 x N x 0 + Da x 0 er et overtal for M, vil xn x Da x 0 er mindste overtal, findes et 0 for alle n x N i dette lille interval Men følgen er vosende, så alle xn, xn+ 1, xn+ 2, er med i intervallet Intervallet om x 0 an imidlertid vælges vilårligt lille Det betyder, at følgen nærmer sig vilårligt tæt til x 0 Altså den ønsede onlusion: xn når n Nu an vi så vise: Punt 2: Vi sal vise, at f er begrænset, dvs f voser ie mod Vi gennemfører dette som et indirete bevis: Antag f ie er begrænset M = x a; b f x, for = 1,2,3 a) Definer mængderne ( ) Sæt x = inf M Overvej at dette er muligt, dvs x findes b) Argumenter for at: M1 M2 M3 Mn c) Argumenter for at så er x1 x2 x3 xn d) Anvend nu hjælpesætningen på denne monotone følge: Der findes et x 0 så xn når n e) Udnyt ontinuiteten af f samt punt d) til at drage en onlusion om grænseværdien af ( ) n n f x når f) Udnyt onstrutionen af x erne til at drage en anden onlusion om grænseværdien af ( ) n n g) Konludér ud fra modstriden mellem e) og f) f x når

5 Punt 3: Vi sal endelig vise, at a) Vi ved, er luet: er et begrænset interval, dvs, af typen:,,, eller b) Se på det ene af dem: Antag c; d dvs ( ) for alle x, eller d f ( x) 0 f x d c) Se nu på funtionen: 1 g( x) = d f x ( ) Vi sal udelue de sidste tre = for alle x Argumenter for at g er ontinuert Deraf følger: g er begrænset g x K for alle x Altså findes et tal K, så: ( ) d) Omsriv og vis at så gælder: 1 f ( x) d, for alle x K e) Men så an f) Konludér ie være, dvs vi har en modstrid Hermed er vi nået til vejs ende: Ud fra den dybere forståelse af, hvad de reelle tal er, har vi vist de to hovedsætninger om ontinuerte funtioner Med disse som grundlag bevises monotonisætningen og begrundes den teni, vi anvender ved undersøgelser af fortegn og monotoniforhold