Reeksamen i Calculus

Transkript

1 Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 9. august 6 Dette eksamenssæt består af nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver. For hvert spørgsmål er der angivet et antal point. Hele opgavesættet indeholder point i alt. Der må gøres brug af bøger, noter mv. Der må ikke benyttes elektroniske hjælpemidler. Dine svar skal afkrydses i nærværende opgavesæt. Karaktergivningen baserer sig udelukkende på disse afkrydsninger. Husk at angive dit fulde navn og studienummer herunder. Held og lykke! NAVN: STUDIENUMMMER: Side af

2 Opgave (6 point) En kurve i rummet er givet ved x = cos(t), y = sin(t), z = ln(t), hvor parameteren t gennemløber de positive reelle tal. Markér det korrekte udtryk for buelængden af kurven fra t = til t =. (sin(t) + cos(t) + t ) dt (cos(t) sin(t) + t ) dt + t dt 4( + t ) dt + t dt 4 + t dt Opgave (8 point) En plan kurve er givet ved x = t + t +, y = t + t, hvor parameteren t gennemløber de reelle tal. (a) ( point). Hvilket punkt på kurven svarer til parameterværdien t =? (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (b) (7 point). Hvad er krumningen af kurven for t =? 4 Side af

3 Opgave (7 point) En funktion er defineret ved f (x) = x x +. (a) ( point). Hvad giver den dobbelt afledede f (x)? 6 (x+) 4 x (x+) x (x+) (x+) (x+) 4 (b) (4 point). Hvilket af nedenstående polynomier er. ordens Taylor polynomiet for f (x) med udviklingspunkt x =? x + x x x + x + x x x + x x + x x x x + x + x + x Opgave 4 (5 point) Angiv værdien af integralet + 9t dt. π4 π Side af

4 Opgave 5 (5 point) Betragt differentialligningen y + 6y + 9y =. Herunder er angivet en række funktionsudtryk, hvori der indgår to arbitrære konstanter c og c. Markér det udtryk, som udgør den fuldstændige løsning til differentialligningen. y(t) = c e t cos(t) + c e t sin(t) y(t) = c e 6t + c e 9t y(t) = c e t + c te t y(t) = c e t + c e 4t y(t) = c e t cos(4t) + c e t sin(4t) y(t) = c e t + c te t y(t) = c e t cos(t) + c e t sin(t) y(t) = c e t + c e t y(t) = c e 4t cos(t) + c e 4t sin(t) y(t) = c e t + c te t Side 4 af

5 Opgave 6 (8 point) Betragt den inhomogene differentialligning y + y y = 6e t 9e t. (a) ( point). Hvilken af følgende funktioner y p (t) kan, for passende valg af konstanterne A og B, blive en partikulrær løsning til differentialligningen? yp (t) = At + B yp (t) = A sin(t) + B cos(t) yp (t) = Ae t + Be t yp (t) = Ae t + Be t (b) (5 point). Hvad skal konstanterne A og B være, for at man får en partikulær løsning? A =, B = A =, B = A =, B = A =, B = Opgave 7 (9 point) En funktion er givet ved f (x, y) = y + x y. Afkryds den rigtige mulighed i hvert delspørgsmål herunder. (a) (4 point). Definitionsmængden for f består af samtlige punkter (x, y), der opfylder x y y x x y x og y y = x y (b) (5 point). Den partielle afledede f x (x, y) er lig + x y x y x y + 4x +y x y Side 5 af

6 Opgave 8 ( point) En funktion er defineret ved f (x, y) = x + y + xy + x y +. (a) ( point). Hvad er funktionsværdien f (, )? 4 (b) (4 point). Hvilket af følgende punkter er et kritisk punkt for f? (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (c) (4 point). Grafen for f har en tangentplan i punktet P = (,, f (, )). Markér en ligning for denne tangentplan herunder. x + y z = 5 4x + y z = 5x + y + z = x y + z = 4 x z = 4x + y z = Opgave 9 (8 point) En funktion er defineret ved f (x, y) = e x + y. (a) (4 point). Hvad giver den retningsafledede D u f (P) i punktet P = (, ) og retningen bestemt ved enhedsvektoren u = i j = (, )? 9 (b) (4 point). Hvad er den maksimale værdi af den retningsafledede D u f (P) i punktet P = (, ) når u gennemløber samtlige enhedsvektorer? Side 6 af

7 Opgave ( point) Et område R i planen består af de punkter (x, y), som opfylder ulighederne Markér værdien af planintegralet x + y, x, y. R ( + x + y ) da. π4 π π π4 5π π8 Opgave (5 point) To komplekse tal er givet ved z = + 8i + i + i, z = e + π 4 i e + π 4 i. (a) ( point). Hvad giver z skrevet på standard form? + 7i i 7 5 i + i (b) ( point). Hvad giver z skrevet på standard form? e e + e i e + i e i i Side 7 af

8 Bemærkning. I opgave evalueres der efter følgende princip: Hver forkert afkrydsning ophæver én rigtig afkrydsning. Opgave (6 point) Lad T være området i rummet bestående af de punkter (x, y, z), som opfylder ulighederne x 4, y x, y z y. Et legeme med massetætheden (densiteten) δ(x, y, z) = y + dækker netop området T. Legemets rumfang (volumen) betegnes V, og legemets masse betegnes m. Markér samtlige korrekte udtryk nedenfor. m = 4 m = m = 4 x y 4 y y y y x y (y + ) dzdxdy. (y + ) dzdxdy. y (y + ) dzdydx. V = V = 4 y y y x y y dzdxdy. dzdydx. Side 8 af

9 Opgave (8 point). Besvar følgende 4 sand/falsk opgaver: (a) ( point). For det komplekse tal z = + i gælder der z 4 = 4. Sand Falsk (b) ( point). Lad D være området i planen bestående af de punkter (x, y), som opfylder ulighederne x og y <. Lad f være funktionen med forskrift f (x, y) = + x + x y og definitionsmængde D. Da antager f globalt maksimum på D. Sand Falsk (c) ( point). For ethvert reelt tal x gælder der følgende relation: sin(4x) = 4 sin(x). Sand Falsk (d) ( point). Punktet med polære koordinater (r, θ) = (5, π ) har rektangulære koordinater (x, y) = (, 5). Sand Falsk Side 9 af

10 Opgave 4 (5 point) Figuren nedenfor viser grafen for funktionen r = f (θ), θ π afbildet i polære koordinater. Hvilken af nedenstående forskrifter for f svarer til figuren? f (θ) = cos(θ) f (θ) = + sin(θ) f (θ) = cos(θ) f (θ) = + cos(θ) f (θ) = + sin(θ) f (θ) = cos(θ) Side af