Statistiske modeller

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Statistiske modeller"

Transkript

1 Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder Mængden af sandsynligheder omtales som variablenes fordeling 1

2 Data fra de europæiske værdiundersøgelser 1999 V234 = Holdning til abort (1 = kan aldrig accepteres, 10 = kan altid accepteres To typer af variable Design-variable (land) (varierer ikke tilfældigt) Stokastiske variable (ser ud til at variere tilfældigt: Køn, Holdning til abort) 2

3 Den statistiske model indeholder sandsynligheder for hændelser defineret ved Køn (K) og Holdning til abort (H): Simultan sandsynlighed: P(H=7, K=mand) Marginal sandsynlighed: P(H=8-10) Betinget sandsynlighed: P(H<5 K = Kvinde) Den statistiske model forenkler modelen ved at påstå nogle ting om disse sandsynligheder. F.eks.: Køn og Holdning er uafhængige P(H,K)=P(H)P(K) Holdningen til abort er normalfordelt, med middelværdi og varians, der afhænger af køn Holdningen til abort er normalfordelt, med middelværdi og varians, der ikke afhænger af køn Modelproblemet: Disse påstande kan være forkerte. 3

4 Stokastisk uafhængige variable Stokastisk uafhængige begivenheder P(A,B) = P(A)P(B) Stokastisk uafhængige variable To variable, X og Y, siges at være stokastisk uafhængige, hvis enhver hændelse defineret ved variablen, X, er stokastisk uafhængig af enhver hændelse defineret ved variablen Y. To variable X og Y er stokastisk uafhængige hvis, P(Y=y X=x) = P(Y=y) P(X=x,Y=y) = P(X=x)P(Y=y) for alle mulige værdier af de to variable 4

5 Stokastisk uafhængige identisk fordelte individer Stokastisk uafhængige individer To individer er stokastisk uafhængige, hvis samtlige hændelser defineret ved variablene for det ene individ er uafhængige af samtlige hændelser defineret ved variablene for det andet individ. Identisk fordelte individer Person nr. a og b er identisk fordelte hvis P(X ai =x) = P(X bi =x) Det er en forudsætning for alle de statistiske metoder, der vil blive omtalt på dette kursus, at der er tale om identisk fordelte stokastisk uafhængige individer P( X = x,..., X = x ) = P( X = x,... X = x ) nk nk 1 i1 k ik i 5

6 Reference mellem empiriske og teoretiske begreber Karakterer i statistik for 10 tilfældigt udvalgte studerende: Middelværdi = ( )/10 = 7.4 = ( )/10 = 7.4 Den empiriske middelværdi 1 1 nx x = xn = x = xh n n n i x x i= 1,.., n x= 0,..,13 x= 0,..,13 x= 0,..,13 Den relative hyppighed, h x, er tal mellem 0 og 1. Sandsynlighedsregningen er konstrueret således at der er en høj grad af korrespondance mellem sandsynligheder og relative frekvenser. 6

7 Empiriside n observationer: x 1,,x n Den absolutte fordeling: n x = antal personer med værdien x Den relative fordeling: h x = n x /n Den kumulerede fordeling: x x 1 ni = hx n i= 1 i= 1 Percentiler defineret ud fra den kumulerede fordeling Empirisk middelværdi: M X = x xh Empirisk varians: n VAR( X ) = hx ( x M X ) n 1 x x 2 Modelside Én stokastisk variabel, X Det forventede antal med en bestemt værdi: e x = np x Sandsynligheden for at X=x: p x = P(X=x) Fordelingsfunktionen: x F( x) = p = P( X x) i= 1 i Percentiler defineret ud fra fordelingsfunktionen Teoretisk middelværdi: (forventet værdi) E( X ) = xp x Teoretisk varians: 2 σ X = p x x E X 2 x x ( ( )) Variablens fordeling = mængden af sandsynligheder, der kan defineres for de hændelser, der kan defineres ud fra variables forskellige mulige værdier. 7

8 Nogle tatistiske standardfordelinger 1) Bernoullifordelingen sandsynligheden svarende til en enkelt binær variabel. 2) Binomialfordelingen sandsynlighederne for antallet af positive udfald på et vist antal Bernoullifordelte variable. 3) Polynomialfordelingen sandsynligheder for antallet af forekomne værdier af kategorivariable med mere end to forskellige udfald. 4) Normalfordelingen en symmetrisk fordeling af en ubegrænset kontinuert intervalskalavariabel. Er entydigt fastlagt af middelværdi og varians. 5) Den standardiserede normalfordeling. En normalfordeling med middelværdi lig med 0 og varians lig med 1. 6) Chi-i-anden fordelingen. En fordeling på den positive talakse. kan defineres som summen af et vist antal standardiserede normalfordelinger. 8

9 Bernoulli fordelingen: En fordeling af en variabel, X, med to forskellige udfald: X = 0 X = 1 En bestemt begivenhed forekommer ikke E bestemt begivenhed forekommer Fordelingen indeholder én sandsynlighed: p = P(X=1) Sandsynligheden for at begivenheden ikke forekommer er lig med P(X=0) = 1-p 9

10 Fordelingsindikatorer for Bernoullifordelingen E(X) = Σ x (xp x )= 0 (1-p) + 1 p = p σ 2 (X) = Σ x [(x-e(x)) 2 p x ] = (0-p)²(1-p) + (1-p)²p = p²(1-p) + (1-p)²p = p(1-p)(p+1-p) = p(1-p) 10

11 Fordelingsindikatorer efter omkodning Samme regneregler som for empiriske fordelingsindikatorer med én nyttig forskel S = X + Y E(S) = E(X) + E(Y) σ 2 (S) = Σ s p s (s-e(s))² =Σ xy p xy (x+y-e(x)-e(y))² = Σ xy p xy ((x-e(x))+(y-e(y)))² = Σ xy p xy ((x-e(x))²+(y-e(y))²+2(x-e(x))(y-e(y))) = Σ xy p xy (x-e(x))² + Σ xy p xy (y-e(y))² + 2Σ xy p xy (x-e(x))(y-e(y)) = σ 2 (X) + σ 2 (Y) + 2σ 2 (X,Y) Hvis X og Y er stokastisk uafhængige, er den kovarians, σ 2 (X,Y) lig med nul σ 2 (X+Y) = σ 2 (X) + σ 2 (Y) 11

12 Binomialfordelingen Y er binomialfordelt, Y ~ Bin(n,p), hvis den er lig med summen af n indbyrdes uafhængige identisk fordelte Bernoulli fordelte variable med sandsynligheden p: Dvs. Y = i=1..n X i Hvor X i er en Bernoulli-fordelt variabel med sandsynlighed p. Teoretisk middelværdi = E(Y) = n p Teoretisk varians = σ 2 (Y) = n p (1-p) Teoretisk standardafvigelse = σ(y) = n p (1-p) 12

13 Standardiserede variable Variable, der er omkodet, således at middelværdien er lig nul og variansen er lig med 1 Z = X E( X ) σ ( X ) hvor σ(x) er variablens standardafvigelse Z E( X ) 1 = + ix σ ( X ) σ ( X ) E( X ) σ ( X ) og 1 σ ( X ) er konstanter. I flg. regnereglerne for middelværdier og varianser er E(Z) = 0 og σ 2 (Z) = 1. 13

14 Hvor stor usikkerhed er der på en middelværdiberegning? Teoretisk middelværdi og varians for den empiriske middelværdi E(M x ) = E(X) σ 2 (M x ) = σ 2 (X)/n σ ( M ) σ ( X ) n x = Fordelingsindikatorer for binomialfordelingen E(S) = np σ 2 (S) = np(1-p) E S = p σ 2 S p( 1 p) = n n n 14

15 Fordelingsindikatorer for politisk opinionsundersøgelse i september Undersøgelsen antages at omfatte 900 personer. S = Absolut fordeling E(S) Relativ fordeling σ 2 (S) E(S/900) σ 2 (S/900) Ej stemt+ugyldig A. Socialdemokratiet B. Radikale C. Konservative D. Centrum demokrater F. Socialistisk folkeparti Q. Kristeligt folkeparti V. Venstre Z. Fremskridtspartiet Ø. Enhedslisten * Udenfor parti

16 Om tætheder for kontinuerte variable Et histogram over tiden til en hændelse målt i femårsgrupper 600 Frequency Mean =4,90 Std. Dev. =5,025 N = ,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 COMPUTE x5 = RV.EXP(0.2) Søjlens højde/1000 er et estimat af en sandsynlighed 16

17 Frequency Mean =4,90 Std. Dev. =5,025 N = ,00 10,00 20,00 30,00 40,00 COMPUTE x5 = RV.EXP(0.2) To-års alders intervaller Højden af søjlen/1000 er et estimat af sandsynligheden Søjlerne er mindre, fordi sandsynlighederne er mindre, fordi intervallerne er mindre 17

18 Frequency Mean =4,90 Std. Dev. =5,025 N = ,00 10,00 20,00 30,00 40,00 COMPUTE x5 = RV.EXP(0.2) 1-års intervaller Søjlerne er ca. halvt så høje som for to-års intervallerne fordi sandsynlighederne er ca. halvt så store 18

19 Frequency Mean =4,90 Std. Dev. =5,025 N = ,00 10,00 20,00 30,00 40,00 COMPUTE x5 = RV.EXP(0.2) ½ års intervaller 19

20 Når intervalbredden nærmer sig nul kommer toppen af histogrammet til at ligne en kontinuert kurve, der omtales som fordelingens tæthed 0,20 0,15 density 0,10 0,05 0,00 0,00 10,00 20,00 X 30,00 40,00 I dette tilfælde f(x) = λ e λx hvor λ = 0.2 Eksponential fordelingen 20

21 Sandsynligheder og tætheder Hvis er et meget lille tal vil sandsynligheden næsten være lig med P(x - < X x + ) 2 f(x) P(x < X x + ) f(x+ /2) f(x) Samme regneregler for tætheder som for sandsynligheder, men summation skal erstattes af integration P (x1 < X x 2 ) = f(x) dx x 2 x 1 21

22 Tætheder, fordelingsfunktioner og overlevelsesfunktioner Fordelingsfunktionen F (x) = P(X f (x) = x) d dx = x F(x) f(x)dx 22

23 Normalfordelingen Figur 4.3 Tre normalfordelinger 0 5 Standardiseret normalfordeling P(Z < -1.96) = P(Z > +1.96) = P( Z >1.96) = % af værdierne af en normalt fordelt variabel med middelværdi,ξ, og standardafvigelse,σ, vil ligge inden for intervallet ξ ± 1.96σ 23

24 Udvalgte sandynligheder fra den standardiserede normalfordeling: Tabel 4.3 Udvalgte sandsynligheder defineret ved en standardiseret normalfordelt variabel, Z Udfald Sandsynlighed Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

25 Er variable nogensinde normalfordelte? Venstre-højre position Tilfredshed med livet 25

26 Middelværdisætningen Antag, at X 1,..,X n er n identisk fordelte uafhængige variable med middelværdi, E(X), og varians, σ X2, og at M X 1 er den empiriske middelværdi. = X n i i Lad endvidere ε være et vilkårlig positivt tal. Når antallet af observationer forøges, vil sandsynligheden for at forskellen på den empiriske og teoretiske middelværdi er mindre end ε nærme sig 1, P( M E( X ) < ε) 1 når n X 26

27 De store tals lov Antag, at X 1,..,X n er n identisk Bernoullifordelte uafhængige variable med sandsynlighed, p, for et positivt udfald. Lad endvidere h X være den relative hyppighed af positive udfald, mens ε er et vilkårlig positivt tal. Når antallet af observationer forøges vil sandsynligheden for at forskellen på sandsynligheden og den relative hyppighed er mindre end ε nærme sig 1, P( h p < ε) X 1 når n 27

28 Den centrale grænseværdisætning Antag, at X 1,..,X n er n identisk fordelte uafhængige variable med middelværdi, E(X), og varians, σ X 2. Under denne forudsætning vil den empiriske middelværdi, M X 1 i, altid være approksimativt normalt i = X n fordelt med middelværdi, E(X), og varians, σ X 2 /n. Approksimationen vil blive bedre og bedre, jo flere observationer, der indsamles. 28

29 Figur 4.5 Fordeling af svarene på spørgsmålet om den generelle tilfredshed med livet. Kurven svarer til en normalfordeling med samme middelværdi og spredning som i fordelingen af tilfredsheden. Figur 4.6 Fordeling af den gennemsnitlige tilfredshed med livet i 220 tilfældigt udvalgte grupper på 10 personer. Kurven svarer til en normalfordeling med samme middelværdi og samme varians som fordelingen af gennemsnitsværdierne. 29

30 Figur 4.7 Fordeling af den gennemsnitlige tilfredshed med tilværelsen i 88 tilfældigt sammensatte grupper med 25 personer. Kurven svarer til en normalfordeling med samme middelværdi og samme spredning som i fordelingen af gennemsnitsværdierne Figur 4.8 Fordeling af den gennemsnitlige tilfredshed med tilværelsen i 44 tilfældigt sammensatte grupper med 50 personer. Kurven svarer til en normalfordeling med samme middelværdi og samme spredning som i fordelingen af gennemsnitsværdierne 30

31 Sandsynlighed Figur 4.9 Eksakt og approksimativ fordeling af antallet af socialdemokrater i en Gallup undersøgelse omfattende 900 personer. Trappefunktionen angiver de eksakte sandsynligheder Figur 4.10 Fordelingen af tilslutningen til Socialdemokratiet blandt alle gyldige stemmer i 1994 i 200 simulerede opinionsundersøgelser, der hver omfattede 900 personer. 31

32 Regnereglen for normalfordelinger: En hvilken som helst lineær funktion af k normalfordelte variable, (X 1,..,X k ) er selv normalfordelt: Y = a 0 + a 1 X a k X k er normalfordelt Y s middelværdien og variansen skal beregnes ud fra de sædvanlige regneregler for middelværdier og varianser. 32

33 χ 2 fordelingen Antag, at Z er en variabel med en standardiseret normalfordeling. X = Z 2 er en variabel, der kun kan have positive værdier. Fordelingen af X kan beregnes og kortlægges. Denne fordeling omtales som en χ 2 fordelingen med 1 frihedsgrad. χ 2 fordelingen optræder i en lang række forskellige situationer og har en række bekvemme egenskaber. Bl.a. gælder, at fordelingen af summen af k uafhængige χ 2 fordelte variable kan beregnes. Den omtales som en χ 2 fordeling med k frihedsgrader (df = k). 33

34 df=1 df=5 df=10 Tæthedsfunktionen for tre forskellige χ 2 fordelinger 34

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:

Læs mere

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition

Læs mere

Estimation og usikkerhed

Estimation og usikkerhed Estimation og usikkerhed = estimat af en eller anden ukendt størrelse, τ. ypiske ukendte størrelser Sandsynligheder eoretisk middelværdi eoretisk varians Parametre i statistiske modeller 1 Krav til gode

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en

Læs mere

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt

Læs mere

Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6

Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6 Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer

Læs mere

StatDataN: Middelværdi og varians

StatDataN: Middelværdi og varians StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,

Læs mere

Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher

Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk

Læs mere

Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved

Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 1 Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved { 1 hvis x {1, 2, 3}, p X (x) = 3 0 ellers,

Læs mere

4 Oversigt over kapitel 4

4 Oversigt over kapitel 4 IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer

Læs mere

Hvorfor er normalfordelingen så normal?

Hvorfor er normalfordelingen så normal? Hvorfor er normalfordelingen så normal? Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet October 24, 2018 normalfordelingen så normal? October 24, 2018 1 / 13 Højde af kvinder Histogram

Læs mere

Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede

Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces

Læs mere

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte

Læs mere

Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/

Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/ Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial

Læs mere

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse

Læs mere

Sandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala

Sandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala 3 5% 5% 5% 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Statistik for biologer 005-6, modul 5: Normalfordelingen opstår når mange forskellige faktorer uafhængigt af hinanden bidrager med additiv variation til. F.eks. Højde af rekrutter

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse

Læs mere

Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.3 (og 6.4 Betingede

Læs mere

Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)

Læs mere

enote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions

enote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere

Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede) fordelingsfunktion

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. maj 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret

Læs mere

Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)

Læs mere

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet

Læs mere

Definition. Definitioner

Definition. Definitioner Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler

Læs mere

3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable

3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable 3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable Punktsandsnligheden benævnes P(x) = P(X = x). {x, P(x)} er en sandsnlighedsfordeling for den stokastiske variabel, X, hvis 1) P(x) $ 0 for alle værdier af x.

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder

Læs mere

Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger

Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3

Landmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3 Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april

Læs mere

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 Torsdag den 21. januar Opgavesættet består af 5 opgaver, med i alt 13 delspørgsmål, som vægtes ligeligt.

Læs mere

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004 1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt

Læs mere

Program. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18

Program. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger

Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen

Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen χ 2 Test Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen Institut for Matematisk Fag Aarhus Universitet Egå Gymnasium, December 2010 Program 8.15-10.00 Forelæsning 10.15-12.00 Statlab: I arbejder, vi cirkler rundt

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 29. maj 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 29. maj 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. maj 05 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:

Læs mere

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +

Læs mere

Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 3.5 og 4.1 Poissonfordelingen

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte

Læs mere

Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable:

Læs mere

hvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre

hvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

MM501/MM503 forelæsningsslides

MM501/MM503 forelæsningsslides MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder

Læs mere

Naturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1

Naturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1 Matematisk Modellering 1 Side 1 I nærværende opgavesæt er der 16 spørgsmål fordelt på 4 opgaver. Ved bedømmelsen af besvarelsen vægtes alle spørgsmål lige. Endvidere lægges der vægt på, at det af besvarelsen

Læs mere

Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable: udfald

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Rettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 2. januar 2007

Rettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 2. januar 2007 Rettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1,. årsprøve. januar 007 I rettevejledningen henvises der til Berry and Lindgren "Statistics Theory and methods"(b&l) hvis ikke andet er nævnt. Opgave

Læs mere

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population

Læs mere

Løsning eksamen d. 15. december 2008

Løsning eksamen d. 15. december 2008 Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling

Læs mere

I dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd

I dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

Opgaver i sandsynlighedsregning

Opgaver i sandsynlighedsregning Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition 1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske

Læs mere

Hvad er danskernes gennemsnitshøjde? N = 10. X 1 = 169 cm. X 2 = 183 cm. X 3 = 171 cm. X 4 = 113 cm. X 5 = 174 cm

Hvad er danskernes gennemsnitshøjde? N = 10. X 1 = 169 cm. X 2 = 183 cm. X 3 = 171 cm. X 4 = 113 cm. X 5 = 174 cm Kon densintervaller og vurdering af estimaters usikkerhed Claus Thorn Ekstrøm KU Biostatistik ekstrom@sund.ku.dk Marts 18, 2019 Slides @ biostatistics.dk/talks/ 1 Population og stikprøve 2 Stikprøvevariation

Læs mere

Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen

Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,

Læs mere

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m. 1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer

Læs mere

Motivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser

Motivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren

Læs mere

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900. 2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske

Læs mere

Højde af kvinder 2 / 18

Højde af kvinder 2 / 18 Hvorfor er normalfordelingen så normal? og er den nu også det? Søren Højsgaard (updated: 2019-03-17) 1 / 18 Højde af kvinder 2 / 18 Inddeler man i mindre grupper kan man forestille sig at histogrammet

Læs mere

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Nanostatistik: Opgavebesvarelser

Nanostatistik: Opgavebesvarelser Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,

Læs mere

Statistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22

Statistik. Hjemmeside:  kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22 Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk

Læs mere