Facitliste til nyere eksamensopgaver
|
|
- Poul Ludvigsen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Facitliste Facitliste til nyere eksamensopgaver Listen indeholder facit (eller vink) til eksamensopgaverne (i MatAL, Alg og ) fra sommeren 003 og fremefter. Bemærk, at de facitter, der står på listen, næsten aldrig er tilstrækkeligt svar på opgaven. Sommer σ = (0 )( )(7 8 9), type = 3 5, orden = 30 og fortegn = Cykeltyperne: 4, og 3. Antallet = = Ja, σ = ( )(3 4) eller ( 4)( 3); ja, σ = ( 3) eller ( 4); og nej. 6. C 8 C C 5 og C 4 C 4 C Fx fire af følgende: Q 8 C 5 (), D 4 C 5 (5), A 4 C 0 eller D 3 C 0 (7), S 4 C 5 (9), D 5 C (), D C 5 (3), D 6 C 0 (5), D 0 C 3 (), D 0 C 6 eller A 4 D 5 (3), S 5 (5), A 5 C eller D 5 C 4 (3), D 6 D 5 = D 0 D 3 (47), D 60 (6), D 30 C (63), En Sylow-7-undergruppe er normal; ikke tilsvarende for Sylow-9-undergrupperne. 9. Homomorfien kan angives som z z 3, idet elementerne i C 5 og C 0 er komplekse tal; eller som ζ5 i i ζ0 (kan alternativt angives additivt: i (mod 5) i (mod 0)); eller som (x, y) (x, ) under identifikationen C 5 = C 5 C 3 og C 0 = C 5 C ); eller som C 5 C 5 / C 3 = C 5 C 0 under de naturlige inklusioner C 3 C 5 og C 5 C (p) ( p + (p ) + p (p+)/).. 00 = i( + i) 7 (3 + i)(3 i) og 003 er et primelement. Antallene er 9 (eller 48 bortset fra associering) og 8 (eller bortset fra associering).. i R, 00 i C, 00 i F 003 og 4 i F f er reducibel i R[X]. 4. f er irreducibel i Q[X]. 5. f = (X 44)(X + 44) er reducibel i F 003 [X]. Vinter 003/ (0)( 4 8)(3 6 9)(5 0)(7 4 3 ). Type 4 3. Orden 4. Fortegn. 4. 6, 3 6, 3, 3, Benyt, at γ og γ er konjugerede, fordi de har samme cykeltype, C C 3 C 7 og C C 9 C Fx fire af: A 5, A 4 C 5, D 30 = D 5 C, D 0 C 3, D 6 C 5 = D 3 C 0, D 3 D Benyt Sylow s sætninger, /local/notes/alg/ex/facit.tex :04:04
2 Facitliste 0. Ordenen af billedet er. Med sign: S 4 C er S 4 C C 0 et eksempel.. ( )/8 = = (+i)( i), 5+i = (+i)(3 i), 5+i = primelement, 5+3i = (+i)(4 i). 3. f er reducibel i R[X]. 4. f er irreducibel i Q[X]. 5. f = X 6 + i F 3 [X], og f er reducibel, idet fx er rod. Sommer ( )( 4)(5 7); 7 ; orden 4, sign =. 3. ( 4 5 3), ( 4 3 5), ( 4)( 5)(3), ( 5)( 4 3), ( 5 3)( 4), ( 5 4)(3). De første tre er de lige af dem Der er 6 abelske grupper af orden 7, med 56, 4, 4, 8, 6, og elementer af orden ϕ(6) = 8, så (Z/6) = 8, svarende til restklasserne af, 3, 5, 7, 9,, 3, 5. Kvadraterne er, 9, 9,,, 9, 9,, specielt 3 elementer af orden. Det udelukker C 8 og C C C, tilbage bliver muligheden (Z/6) = C 4 C. 7. S S 3 S 5, bestående af de permutationer, der stabiliserer {, } og {3, 4, 5}; den har orden. Banen består af alle -element-delmængder {a, b}. 8. #Syl 7 =, da, 3 og 3 er udelukket. Tilsvarende: #Syl =, #Syl 3 =. Derfor er G produktet af sine Sylow-undergrupper, og dermed G = C 7 C C 3 = C Sæt H := {σ i τ j }. Brug στ = τσ: Først, da σ i τ j σ k τ l = σ i+k τ j+l, er H stabil. Videre er e = σ 0 τ 0 H. Og for h = σ i τ j er h = σ i τ j H. Tilsvarende udgør produkter af potenser af 3 disjunkte 5-cykler en undergruppe af orden 5 3 = 5, isomorf med C 5 C 5 C 5. Tallet 5 forekommer 3 gange i primopløsningen af 5!, så undergruppen er en Sylow-5-undergruppe af S 5. Da Sylow-5- undergrupperne parvis er konjugerede, er de specielt alle isomorfe med den fundne. 0. G = 3 5 giver mulighederne, 4, 0; der er i C 60, og 4 i C 5 A 4, og 0 i A ( ) = (53 )/(3 ) = 3, og (3 )/(4 ) =, så (53 ) = (4 ) ( ) [også = (7 + ) (3 4 ) ]. 3. Nej. 4. Ja, anvend Eisenstein på f (X + ) = X 4 + 4X 3 + 8X + 8X + med p =. 5. (X a)(x+a)(x 3/a)(X+3/a) = (X a )(X 9/a ) = X 4 (a +9/a )X +9, og altså = f (X) netop når a + 9/a =, dvs netop når f (a) = 0. Vinter ; ( 3)( )(7 9); 5 ; 0; ; ( ) , 4.
3 Facitliste C 5 C 3, C 5 C 5 C 3, C 5 C 5 C 5 C f er reducibel i R[X].. f er irreducibel i Q[X].. #rødder = = Juni = 98. Største orden = 90. C(σ) består af de 8 permutationer ( ) i ( ) j for i = 0, og j = 0,,, For S 6 er ordenerne: 4 = 6, 3 = 9 og 5; for A 6 er de: 3 = 8, 3 = 9 og Fx fordi Sylow-40-undergruppen er normal [Kræver begrundelse]. 6. Der er fem, nemlig: C C C C 0, C C C 0, C 4 C 0, C C 40, C 80. Alternativ, som produkt af cykliske grupper af primtalsordener: C C C C C 5, C C C 4 C 5, C 4 C 4 C 5, C C 8 C 5, C 6 C ( )/8. 8. Restklasserne modulo af 0,, 3, 4, 6, 8, 9, 0. Fx fordi de ikke udgør en undergruppe, da antallet af nuldelere, 8, ikke er divisor i [Eller: da + 3 = 5 ikke er en nuldeler.] 9. Restklasserne modulo 9 af 0, 3 og f er reducibel.. f er irreducibel (Eisenstein med p = 5).. g = (X + )(X X + )(X + X + ) og g = (X + )(X i 3)(X + i 3)(X + i 3)(X + + i 3). 3. g = (X [])(X [3])(X [4])(X [5])(X [6]). 4. {±}. 5. Fx 7 = ( + 3)( 3). Juni = Normale: D og undergrupper heri er normale (sammen med D, S og D, DS er det faktisk samtlige ægte normale). Unormal: Fx S C(σ) = σ. 4. kommutativ. Ikke-kommutative: Fx D 003, C 7 D 59, C 59 D
4 Facitliste = d =,, 4. (Z/6) C 4 C. Ja (N 0 + 5N 6 + 6N 5 + 4N + 4N) (= 78 for N = ). 0. Restklasserne a = [0], [6], [] og [8].. N( + 5) =, enhed; N( + 5) = 9, irreducibel; N(9 4 5) =, enhed; N( 5) = 5, irreducibel = ( i) ( + i) (4 + i)(4 i) Reducibel. 4. Irreducibel. 5.. Juni 007. C 9 C 3 = C 007 og C 3 C 3 C 3. og 8.. [(Z/385) = (Z/5) (Z/7) (Z/) = C 4 C 6 C 0 =] C C C 4 C 3 C {± id} = {id, D 3 }. 5. På tabelform: ( 3 4 5) ( 5 3 4, ) ( 5 3 4, ) ( 5 3 4, ). 6. 7, 3 3, ( ). 9.. a = [±] Fx 0, 4, 8.. [0], [], [5], [6]. 3. Reducibelt (har en rod). 4. Irreducibelt (ingen rødder og grad ). 5. Reducibelt (da [5] er rod). Juni 008. σ = 60. For σ 008 : type = (eller blot 3 5 ), orden Fx σ = ( ). 3. ; Med D 4 S 4 og C 5 S 5 er D 4 C 5 S [ Fordi 6(x + y) = 6x + 6y ]; kernen = {[0], [0]}. 5. C 8 C 5, C C 4 C 5, C C C C 5 ; hhv, 3 og 7 elementer af orden. 6. (Z/008) = (Z/8) (Z/5) = C C C 50 = C C C C Henholdsvis C 359 [orden = p], C 36 og C 9 C 9 [orden = p ], C 36 = C C 8 og D 8 [orden = p], og C 365 = C 5 C 73 [orden = 5p, hvor p (mod 5)]
5 Facitliste ( [antallet af Sylow-7-undergrupper må være 8] ).. [f (β) = 0 β k = a β k = α k β k α k = (βα ) k = ] rødder [de er forskellige ifølge spm ]. Der er reelle rødder [iflg spm ]. 4. [ Med a := [] er (ifølge Fermat): a 008 = (a 5 ) 8 = a 8 = [ 8 ] = [56] = [5]. ] 5. rødder [iflg spm, spm 4, og vinket]. Juni 009. σ = ( )().. FEJL I OPGAVEN. Korrigeret opgave: Type 5, σ = ( )( )() σ 4 = ( )( )() µ kan aflæses; på cykelform fx: µ = ()()()( )( ). 3. #0-cykler er 9!, så C(σ ) =!/( 9!) = Hvis n er ordenen af g, så er g n =, hvoraf ϕ(g) n =, hvoraf k n. 5. Ordenen er 6, da 3 og 3 3. (Z/49) = ϕ(49) = 6 7 = 4. Ordenen af 3 modulo 49 er divisor i 7 6, og ifølge foregående opgave et multiplum af 6. Den er ikke 6, idet 3 6 = 8 3 ( 7) Altså er den (Z/009) = (Z/49) (Z/4). Orden: ϕ(009) = ϕ(49) ϕ(4) = 4 40 =.680. (Z/49) er cyklisk af orden 4 (forrige opgave) og (Z/4) er cyklisk af orden 40 (ifølge...), så maksimale elementorden er mindste fælles multiplum af 4 og 40, dvs = 840. Modulo 4 er 3 4 = 8, så 3 har orden 8. Modulo 49 har 3 orden 4. Modulo 009 er ordenen af 3 det mindste fælles multiplum af 8 og 4, dvs = = Antallet er, nemlig C 49 C 4 og C 7 C 7 C (Z/49) og (Z/4) er cykliske (tidligere opgave), så (Z/009) = (Z/49) (Z/4) = C 4 C 40. Videre (Kinesisk...) er C 4 = C C 3 C 7 og C 40 = C 8 C 5. Derfor er fremstillingen C C 8 C 3 C 5 C Isotropigruppen består at permutationer, der permuterer, og 3, 4, 5. Antal =! 3! =. Længden af banen: = 5!/ = 0 lig med antal 5-sæt med koord = og 3 koord. = Polya: ( )/0 = Hvis G = 009, er der én Sylow-7-undergruppe S (af orden 49 og én Sylow-4- undergruppet (af orden 4). Derfor erg S T. Grupper af orden 4 er kommutatitive (nemlig cykliske), og grupper af orden 49 = 7 er kommutative ifølge... Derfor er G kommutativ. 3. Restklasser a modulo 009 svarer til par af restklasser (a, a ) modulo henholdsvis 49 og 4. Der er to involutoriske muligheder for a (da (Z/49) er cyklisk) og to muligheder for a (da (Z/4) er cyklisk). Altså = 4 involutoriske muligheder for a rødder i C. Ingen rødder i R. Reducibelt, da graden er > (side...). 5. Polynomiet har en rod, fx fordi 8 er divisor i F4 eller fordi 3 er rod. Der er derfor 4 rødder, fordi der er 4 rødder i X 4. Reducibelt, da der er en rod.
Facitliste 1 MAT 2AL. 5. f (x) er irreducibel i Z 5 [X].
Facitliste 1 Facitliste til eksamensopgaver Facit til de første 14 opgavesæt er blevet til paa basis af Jonas B. Rasmusssens facitliste. Han regnede størstedelen af opgaverne, medens han fulgte kurset,
Læs mereMatematik 2AL, vinteren
EO 1 Matematik 2AL, vinteren 2002 03 Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder, så længe skriften er læselig, og udviskninger foretages grundigt. Overstregning trækker ikke ned og anbefales
Læs mereAlgebra2 Obligatorisk opgave
Algebra2 Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen, 070183 Eksamensnummer 45 23. maj 2005 Opgave 1 Vi har: σ = σ 6 5 = (σ 3 ) 2 (σ 5 ) 1 = (1 3 5 2 4)(8 7 6). b) Ordnen af en p-cykel er (jfr. 2.18)
Læs mere2. Gruppen af primiske restklasser.
Primiske restklasser 2.1 2. Gruppen af primiske restklasser. (2.1) Setup. I det følgende betegner n et naturligt tal større end 1. Den additive gruppe af restklasser modulo n betegnes Z/n, og den multiplikative
Læs mereMM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007
MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar 2007 1 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik
Læs mereMinilex Mat 2AL. .. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. Mangler 3.10-3.16
Minilex Mat 2AL.. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ.. Mangler 3.10-3.16 Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert graverende
Læs mereOversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger
Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger (G, ) kaldesengruppe, når følgende aksiomer er opfyldt: 0) (G, ) er en organiseret (stabil) mængde: a, b G a b G 1) Den associative lov gælder, dvs.
Læs merePolynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen
Artikel 17 Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Reduceres koefficienterne i et normeret heltalspolynomium modulo et primtal, opstår et nyt polynomium over restklasseringen. Både
Læs mereHyperelliptisk kurve kryptografi
Christian Robenhagen Ravnshøj NKS November 2007 Elliptiske kurver Gruppelov på elliptisk kurve R P Q P Q R = 0. Elliptiske kurver Elliptisk kurve kryptografi Gruppelov giver krypto baseret på elliptisk
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mere1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle
1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet
Læs mereEn algebra opsamling INDLEDNING. Indhold. Jens Kusk Block Jacobsen 13. januar 2008
En algebra osamling Jens Kusk Block Jacobsen 13. januar 2008 INDLEDNING Her har jeg samlet forskellige ting, der relaterer til algebra. Dokumentet er en osamling til Concrete Abstract Algebra (1) af Niels
Læs mereKommutativ algebra, 2005
Kommutativ algebra, 2005 Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Kommutativ algebra, 2005 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereDis1 2008-09 Ugeopgave 1
Dis1 2008-09 Ugeopgave 1 Rasmus Sylvester Bryder 20. februar 2009 1 F08 opgave 1 (i) Der skal gøres rede for at [2] er en primisk restklasse i Z/49, og den inverse dertil skal ndes. Altså skal gælde, at
Læs mereMATEMATIK 3 AL. Klassisk Algebra. Christian U. Jensen. Typeset by AMS-TEX
MATEMATIK 3 AL Klassisk Algebra Christian U. Jensen 2004 Typeset by AMS-TEX Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c 2004 Matematisk Afdeling FORORD TIL 1998-UDGAVEN At lære og at tilegne
Læs mereUniversity of Copenhagen Faculty of Science Written Exam April Algebra 3
University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 16. April 2010 Algebra This exam contains 5 exercises which are to be solved in hours. The exercises are posed in an English and in a Danish version.
Læs mereAnders Thorup. Elementær talteori. Algebra og talteori, F2001
Anders Thorup Elementær talteori Algebra og talteori, F2001 1. Primtallene... 1 2. Gruppen af primiske restklasser... 15 3. Cirkeldelingspolynomier. Endelige legemer... 21 4. Reciprocitetssætningen...
Læs mereF.1. Mat 2AL. n Z n a Z n = gcd = ±gcd = lcm = ±lcm d l sinα)+(cosβ sinα)(cosβ N N {id}
F. Fejl i bogen. F.1 Herunder flger en liste over nogen af de mere meningsforstyrrende fejl i [J]. 18 2 partition equivalence class 18 3 class relation 18 4 partition equivalence class 28 8 r t [Erstat
Læs mereUniversity of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 3. April Algebra 3
University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 3. April 2009 Algebra 3 This exam contains 5 exercises which are to be solved in 3 hours. The exercises are posed in an English and in a Danish
Læs mere6. RSA, og andre public key systemer.
RSA 6.1 6. RSA, og andre public key systemer. (6.1). A skal sende en meddelelse til B. Denne situation forekommer naturligvis utallige gange i vores dagligdag: vi kommunikerer, vi signalerer, vi meddeler
Læs mere10. Nogle diofantiske ligninger.
Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne
Læs mereMATEMATIK 4AL. Christian U. Jensen. Matematisk Afdeling Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet 2001
MATEMATIK 4AL 1 MATEMATIK 4AL Christian U Jensen Indhold Matematisk Afdeling Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet 001 1 Symmetriske polynomier Aut (S n ) 3 Homomorfien ρ 4 Orbit 5 Warings
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereTalteori: Euklids algoritmer, modulær aritmetik
Talteori: r, modulær aritmetik Videregående algoritmik Cormen et al. 31.1 31.4 Tirsdag den 6. januar 2009 1 1 2 Restklasseringene modulo n Grupper og undergrupper Modulær division Divisorer De hele tal
Læs mere4. Semidirekte produkter - teori og eksempler G version
4. Semidirekte produkter - teori og eksempler G4-2004-version Lad G være en gruppe, og A en undergruppe af automorfigruppen Aut(G). Vi danner en ny gruppe kaldet G A, (detsemidirekte produkt af G med A).
Læs mere6. Fokale undergrupper, Grün s sætninger, Z grupper G version
6. Fokale undergrupper, Grün s sætninger, Z grupper G6-2004-version Vi starter med et par generelle bemærkninger. Som sædvanligt betegner G =[G, G] kommutatorundergruppen i gruppen G. (6A) Lemma: Lad H
Læs mereer et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.
Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereA L G E B R A I S K T A L T E O R I Forår 1998 Forelæsninger ved Asmus L. Schmidt
A L G E B R A I S K T A L T E O R I Forår 1998 Forelæsninger ved Asmus L. Schmidt KØBENHAVNS UNIVERSITET MATEMATISK AFDELING Januar 1998 Asmus Schmidt, Algebraisk talteori, 2. oplag, marts 2004. Indhold
Læs mereVi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.
0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.
Læs mereHomotopiteori for pomængden af p-undergrupper i en endelig gruppe
D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Kandidatprojekt i matematik Sune Precht Reeh Homotopiteori for pomængden af p-undergrupper i en endelig
Læs mereUniversity of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 8. April 2008. Algebra 3
University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 8. April 2008 Algebra 3 This exam contains 5 exercises which are to be solved in 3 hours. The exercises are posed in an English and in a Danish
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereMordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003
Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske
Læs mereKlassiske Grupper. Noter af Jørn B. Olsson
Klassiske Grupper Noter af Jørn B. Olsson 1 INDHOLD: 1. Den generelle lineære gruppe 2. Endelige lineære grupper 3. Ortogonal og symplektisk geometri 4. Symplektiske grupper 5. Ortogonale grupper 6. Unitære
Læs mereRinge og Primfaktorisering
Ringe og Primfaktorisering Michael Knudsen 16. marts 2005 1 Ringe Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. På Z har to regneoperationer, + (plus) og (gange), der til to hele tal
Læs mereMatematik 3AG Forår Algebraisk Geometri KURVER OG MODULER. Hans Bjørn Foxby
Matematik 3AG Forår 2003 Algebraisk Geometri KURVER OG MODULER Hans Bjørn Foxby 0 (A/hA) mp (A/ghA) mp (A/gA) mp 0 2 Mat 3AG I&S 1 Indhold & Stikord Indhold I&S PAK 0. PAK 1. PAK 2. PAK 3. PAK 4. PAK 5.
Læs mereGruppeteori Abstrakt gruppeteori Noter ved Jørn B. Olsson Version 2009
Gruppeteori Abstrakt gruppeteori Noter ved Jørn B. Olsson Version 2009.. what wealth, what a grandeur of thought may spring from what slight beginnings. (H.F. Baker on gruppebegrebet) 1 INDHOLD: 1. Lidt
Læs mereNoter til Matematik 3AG Algebra og geometri
Pakke Mat 3AG 1994 Noter til Matematik 3AG Algebra og geometri Anders Thorup 1 Noter til Matematik 3AG, 1994 Om ringe og moduler. 1. Nogle grundbegreber, s. 1 8 2. Kerne og kokerne. Exakte følger, s. 1
Læs mereTapetmønstre. Symmetri i 2 dimensioner. 4. Semester - MAT4 Aalborg Universitet
Tapetmønstre Symmetri i 2 dimensioner 4. Semester - MAT4 Aalborg Universitet G3-112 16. maj 2012 Institut for Matematiske Fag Matematik Fredrik Bajers Vej 7G Telefon 99 40 99 40 http://www.math.aau.dk
Læs mereFermat s sidste sætning: En oversigt. Ian Kiming 14 Oktober,
Fermat s sidste sætning: En oversigt. Ian Kiming 14 Oktober, 1999 http://www.math.ku.dk/~kiming/ kiming@math.ku.dk Contents 1. Optakt: Et klassisk problem. 2 1.1. Algebraisk-talteoretisk fortolkning. 3
Læs mereDEN ØVRE GRÆNSE SÆTNING FOR SIMPLICIALE SFÆRER. n 2 v 1. n 1. v 2. n 1 3(n 0 2) n 2 2(n 0 2)
DEN ØVRE GRÆNSE SÆTNING FOR SIMPLICIALE SFÆRER ISABELLE LAUDE = {, n 0 {}}{ {v 0 },..., n 1 {}}{ {v 1, v 1},..., n 2 {}}{ {v 2, v 2, v 2 },..., } v 1 v 2 v 2 v 0 v 1 v 2 = S 1 = = n 1 n 0 = S 2 = =. n
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereReed-Solomon og N T P-koder
Reed-Solomon og N T P-koder - deres egenskaber og dekodning af Maria Sondrup Iversen Jane Gravgård Knudsen Juni 2004 INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG Aalborg Universitet Fredrik Bajers vej 7G 9220 Aalborg
Læs mereNote om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Læs mereDiMS 2010 Uge 7,
DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs merePå nedenstående billede skal du finde den figur som optræder nøjagtig 3 gange.
Navn: Klasse: Materiale ID: PIC.33.1.1.da Lærer: Dato: Klasse: Materiale ID: PIC.33.1.1.da Navn: Klasse: Materiale ID: PIC.33.2.1.da Lærer: Dato: Klasse: Materiale ID: PIC.33.2.1.da Navn: Klasse: Materiale
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereEuler-karakteristik for fusionskategorier
Euler-karakteristik for fusionskategorier Martin Wedel Jacobsen 17. april 2010 Indledning Der findes mange forskellige metoder til delvis klassifikation af endelige grupper. En af de mest velkendte er
Læs mereBachelorprojekt Banach-Tarski Paradokset
Bachelorprojekt Banach-Tarski Paradokset Adam P. W. Sørensen (00885) Vejleder: Mikael Rørdam 3. maj 2007 Abstract The project is about paradoxical decompositions. First, free groups of rank two are shown
Læs mereStatistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).)
Statistisk hypotese Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) En statistisk hypotese er en delmængde P 0 P.. p.1/23 Statistisk hypotese PSfrag replacements
Læs mere3. Hall undergrupper og komplementer G version
1 3. Hall undergrupper og komplementer G3-2004-version I dette kapitel betragtes kun endelige grupper. Lad altså G være en endelig gruppe. Definition: En undergruppe H i G kaldes en Hall undergruppe, hvisder
Læs mereDOK-facitliste DOK. DOK-facitliste 1
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereGRUPPE TEORI. Flemming P. Pedersen. Afskrift af forelæsningsnoter ved Jens Jensen. (Ørsted Laboratoriet, NBIfAFG, april 2003)
GRUPPE TEORI Flemming P. Pedersen Afskrift af forelæsningsnoter ved Jens Jensen (Ørsted Laboratoriet, NBIfAFG, april 2003) Indholdsfortegnelse 1. Indledning 1 2. Gruppebegrebet 1 3. Den symmetriske gruppe
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereKomplekse tal og polynomier
Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med
Læs mereSvar på opgave 336 (Januar 2017)
Svar på opgave 6 (Januar 07) Opgave: De komplekse tal a, b og c opfylder ligningssystemet Vis, at a, b og c er reelle. (a + b)(a + c) = b (b + c)(b + a) = c (c + a)(c + b) = a. Besvarelse:. metode Lad
Læs mereProjekt 3.5 faktorisering af polynomier
Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan
Læs mereJeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som
Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til
Læs mereHuseftersynsordningen plus, minus ti år -
Huseftersynsordningen plus, minus ti år - ! # # # % & # ( ( #! # ) # ( & # # # # +! #!# %, # # #! %.# / # # 0#( # # # # # # %, # # # 1 # # % 2 # & # # 0#( # # # # # 2 # #! 2 ( # # 3 ( & # # # (#! #, #
Læs mereStatistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).)
Statistisk hypotese Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) En statistisk hypotese er en delmængde P 0 P.. p.1/26 PSfrag replacements Statistisk
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereDiofantiske ligninger
Anders Thorup Diofantiske ligninger Algebra og talteori, 999 Kvadratiske ligninger KVADR 0. Den lineære ligning Udkast. Pell s ligning 2. Ækvivalens af løsninger 3. Klassetallet 4. Kædebrøksmetoden 5.
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereFørste konstruktion af Cantor mængden
DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er
Læs mereOutline. Chapter 6: (cont d) Qijin Chen. November 21, 2013 NH = =6 CH = 15 4
Chapter 6: Qjn Chen Department of Physcs, Zhejang Unversty November 1, 013 Copyrght c 013 by Qjn Chen; all rghts reserved. ω 3 4 1. (cont d) 1 3 n3n3n 3n (x 1, y 1, z 1 )(x, y, z ) (x 1 x ) + (y 1 y )
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?
Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se
Læs mereProgram. Flersidet variansanalyse og hierarkiske modeller. Eksempel: iltoptag for krabber. Eksempel: iltoptag for krabber.
Program Flersidet variansanalyse og hierarkiske modeller Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk StatBK (Uge 50, mandag) Flersidet ANOVA 1 / 19 StatBK (Uge 50, mandag) Flersidet ANOVA 2 / 19 Eksempel:
Læs mereKommutativ algebra II, 2005
Kommutativ algebra II, 2005 Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Kommutativ algebra II, 2005 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København
Læs mereEn gruppeteoretisk undersøgelse af Rubik s Cube en
Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereMÅLESTOKSFORHOLD HFB 2012 / 13. Målestoksforhold OP SL AG. Byggecentrum
MÅLESTOKSFORHOLD Målestoksforhold 340 MÅLEENHEDER Måleenheder Omsætning: Gl. dansk mål metermål gl. engelsk mål (= amerikansk mål). Se også: Målesystemer og enheder. Gl. dansk mål Metermål Gl. engelsk
Læs mereF O RG R E N I N G S G RU P P E R A RT I N F Ø R E R E N
KÅRE SCHOU GJADBÆK HØJERE F O RG R E N I N G S G RU P P E R OG A RT I N F Ø R E R E N VEJEDER: IAN KIMING S P E C I A E F O R C A N D. S C I E N T G R A D E N I M AT E M AT I K I N S T I T U T F O R M
Læs mereBesvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012
Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:
Læs mere83 - Karakterisation af intervaller
83 - Karakterisation af intervaller I denne opgave skal du bevise, at hvis A er en delmængde af R med følgende egenskab: x, y, z R : x, y A og x < z < y z A (1) så er A enten et interval eller en mængde
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/36 Estimation af varians/spredning Antag X 1,...,X n stokastiske
Læs mereMatematik og Statistik. Rubiks terning. Symmetri. Gruppe G3-106 23. Maj 2014
Matematik og Statistik Rubiks terning Symmetri Gruppe G3-106 23. Maj 2014 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Tfl. 99409940 Institut for Matematiske Fag
Læs mereTermodynamik. Esben Mølgaard. 5. april N! (N t)!t! Når to systemer sættes sammen bliver fordelingsfunktionen for det samlede system
Termodynamik Esben Mølgaard 5. april 2006 1 Statistik Hvis man har N elementer hvoraf t er defekte, eller N elementer i to grupper hvor forskydningen fra 50/50 (spin excess) er 2s, vil antallet af mulige
Læs mereEulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem
Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Johan P. Hansen 18. april 2013 Indhold 1 Indbyrdes primiske hele tal 1 2 Regning med rester 3 3 Kryptering
Læs mereFagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 21. årgang, nr. 3, marts 2012
FAMØS Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 21. årgang, nr. 3, marts 2012 Mit lemma står med prikker:...... Redaktion Bo Maling Malling Christensen, Frederik Möllerström Lauridsen, Jens
Læs mereMAT YY. Elementær Talteori. Søren Jøndrup
1 MAT YY Elementær Talteori Søren Jøndrup Kapitel 1 Gruppeteori. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger til disse. Man kender måske allerede ligningen
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 21. September, 2007 Lidt om binomialkoefficienter n størrelsen af en mængde/population. Vi ønsker at udtage en sub population af størrelse r. To sub populationer
Læs mereAlgebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet
Algebra Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Algebra, 3. udgave Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø ISBN 87-91180-28-7
Læs mereEkstra ugeopgaver UO 1. MAT 2AL 24. april 2006
UO 1 Eksta ugeopgave 1. [GRP2: 16 *Lad k k(σ) væe tallet defineet i GRP(2.18.1), altså som summen k (p 1)m p (σ ) n m(σ ). Som nævnt kan σ skives som podukt af k tanspositione. Vis, at σ ikke kan skives
Læs mereElmTal Primtallene 1.1
Primtallene.. Primtallene. (.) Setup. Et tal p kaldes som bekendt et primtal, hvis p 2 og p kun har trivielle divisorer, dvs hvis de eneste (positive) divisorer i p er og p. De første primtal er tallene
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 6
Opgave 4: Udtryk funktionen f(θ) = sin θ ved hjælp af Legendre-polynomierne på formen P l (cos θ). Dvs. find koefficienterne a l i ekspansionen f(θ) = a l P l (cos θ) l= Svar: Bemærk, at funktionen er
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på
Læs mereTrin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereFysik 2, Foreslåede løsninger til prøveeksamenssæt, januar 2007
Fysik 2 Foresåede øsninger ti prøveeksamenssæt januar 2007 Opgave a) Størresen af kraften i cirkebevægesen er Totaenergien er da F = m r 2 v = E = m r = m v2 r r + 2 mv2 = m 2r b) umskibets totaenergi
Læs mereOpgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007
Opgaver Kapitel 1 fra Bogen Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Dette kapitel indeholder opgaver af ret varierende sværhedsgrad. De letteste ligger i forlængelse af, hvad der
Læs mereTonelli light. Eksistensbeviset for µ ν gav målet. for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition:
Tonelli light Eksistensbeviset for µ ν gav målet ( ) λ(g) = G (x, y)dν(y) dµ(x) for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition: ( ) λ(g) = G (x, y)dµ(x) dν(y). Som λ(a B) = µ(a)ν(b) gælder λ(a
Læs mereRettevejledning til eksamensopgave i Makroøkonomi, 2. årsprøve: Økonomien på kort sigt Eksamenstermin vinter 2005/2006
Rettevejledning til eksamensopgave i Makroøkonomi, 2. årsprøve: Økonomien på kort sigt Eksamenstermin vinter 2005/2006 Ad spørgsmål 1: Indsættelse af ligning (1) i ligning (2) giver følgende udtryk for
Læs mereForside. Matematik og Statistik. Symmetri. Tapetmønstre. Gruppe G maj 2014
Forside Matematik og Statistik Symmetri Tapetmønstre Gruppe G3-110 23. maj 2014 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Tfl. 99409940 Institut for Matematiske
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereNTP-koder. - deres egenskaber og dekodning. INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG Aalborg Universitet Fredrik Bajers vej 7G 9220 Aalborg Øst
NTP-koder - deres egenskaber og dekodning af Elisabeth Kuhr Rasmussen Marts 2005 INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG Aalborg Universitet Fredrik Bajers vej 7G 9220 Aalborg Øst Institut for Matematiske Fag Aalborg
Læs mere