Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede?

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede?"

Transkript

1 Er det e aturlov at amiosyrer er vestredrejede? Aja C. Aderse, Axel Bradeburg og Tuomas Multamäki (NORDITA) Stort set samtlige amiosyrer fides i to udgaver (eatiomere) e vestre og e højredrejet (se figur ) der er hiades spejlbilleder. De amiosyrer som idgår i opbygige af levede orgaismer er alle vestredrejede, dette fæome går uder betegelse homochiralitet. Umiddelbart er der ikke oget der idikerer at livet ikke lige så godt kue bestå af højredrejede amiosyrer, derfor rejser spørgsmålet sig om det er et tilfælde, at det ku er halvdele af de tilgægelige amiosyrer, der beyttes af de levede orgaismer vi keder til, eller om der er oget særligt der gør, at ku vestredrejede ka bruges i opbygige af liv. Er det at alle levede væseer beytter samme slags, e idikatio for at det er de eeste mulighed eller betyder det at levede orgaismer på Jorde alle har samme opridelse? Det var de fraske kemiker og mikrobiolog ouis Pasteur, der i midte af 800-tallet opdagede fæomeet chiralitet. Pasteur lavede krystallografiske udersøgelser af e yopdaget visyre (druesyre), der havde samme kemiske opbygig og struktur som almidelig visyre. Imidlertid havde de tyske kemiker Eilhardt Mitscherlich vist, at mes almidelig visyre afbøjede plapolariseret lys, havde druesyre ikke e såda effekt. Pasteur opdagede, at salte, som udkrystalliseredes fra druesyre, bestod af to typer af krystaller, som var spejlbilleder af hiade. Og år disse krystaller blev sorteret, og der blev sedt plapolariseret lys igeem, afbøjede de to krystaltyper lyset i hver si retig. Druesyre bestod altså af e bladig af to forbidelser, der var spejlbilleder af hiade. Det viste sig seere, at almidelig visyre i virkelighede var idetisk med de ee af de to spejlbilledformer af druesyre. På baggrud af Pasteurs opdagelser klassificeres chirale forbidelser efter, hvilke vej de drejer plapolariseret lys. Forbidelser, der drejer lyset vestre om beteges (afledt af lati; laevus (=vestre)) mes forbidelser der drejser lyset til højre får betegelse D (fra lati dexter (=højre)). Forskelle på -amiosyrer og D-amiosyrer er at H- atomet og amiogruppe på kulstofatom r. 2 (se figur ) har byttet plads. Fig. : E 2-amiosyre ka have to stereoisomere former. Amiosyrer der idgår i levede orgaismer er alle -amiosyrer, hvis rumlige struktur ses til højre. R beteger e sidekæde, der varierer gaske meget fra amiosyre til amiosyre og ka for eksempel være H, CH 3 eller CH 2 OH.. Amiogruppe er -NH 2 og carboxylsyregruppe er COOH.

2 Fakta boks: Amiosyrer: Amiosyrer er orgaiske forbidelser der er karakteriseret ved at ideholde både e amiogruppe og e carboxylsyregruppe. Når amiosyrer bides samme sker det uder daelse af e såkaldt peptidbidig, hvor syregruppe fra de ee amiosyre reagerer med amiogruppe fra de ade amiosyre uder fraspaltig af vad. (http://www.biosite.dk/staabi/aa.htm) D-form: D står for dexter dvs. højre og agiver at molekylet vil dreje polariseret lys højre om. Eatiomere: Spejlbilleder af samme molekylære struktur. Homochiral: Vestrehådede (-form) amiosyrer. Chiral: Et chiralt molekyle ka ikke briges til at dække dets spejlbillede således at alle es grupper dækker hiade. Ordet chiral kommer af cheiros, der på græsk betyder håd. Et stof er chiralt, år det rumligt er forskelligt fra sit spejlbillede. Chiralitet i kemie opstår typisk, år et kulstof atom i et molekyle er budet til fire forskellige grupper. Et sådat kulstofatom kaldes asymmetrisk. -form: står for laevo dvs. vestre - og agiver at molekylere drejer polariseret lys vestre om. Peptider: Korte kæder af amiosyrer. Polymeriseres: Kemisk reaktio mellem umættede midre molekyler, hvorved der daes større molekyleforbidelser. Proteier: ægere kæder af amiosyrer der er viklet om sig selv så de har e 3 dimesioel struktur. Kædere består typisk af fra ca. 50 op til over 000 amiosyrer. Det er sammesætige af amiosyrer i kæde, som bestemmer proteiets form og fuktio. Et eksempel på et protei er hæmoglobi, der trasporterer ilt rudt i kroppe. Racemisk: E bladig der består af - og D-forme. E racematbladig består af e bladig af flere eatiomere former af et chiralt molekyle. Stereoisomere: Isomere molekyler er kedeteget ved at bestå af de samme atomer, at have de samme grupper og æste de samme kemiske egeskaber. Biologisk spiller de e stor rolle idet ezymer, membratrasportsystemer og receptorer har forskellig eve til at bide de forskellige isomere molekylformer, hvorved de har forskellig biologisk effekt. Millers forsøg med amiosyrer I 953 udførte Staley. Miller et forsøg på Uiversity of Chicago, hvor det eksperimetelt lykkedes at påvise, at spota daelse af visse orgaiske forbidelser ka fide sted, uder de forhold og med de reaktater, som evolutioister meer eksisterede på Jorde for ca. 3,5 mia. år side. Miller kostruerede et lukket system (se figur 2), hvor der tilførtes e bladig af luftartere meta, hydroge og ammoiak samt vaddamp og to elektroder tilførte eergi (simulerede ly ). Bladige i systemet fik lov at stå og cirkulere uberørt e uge, hvorefter de blev udersøgt. Udersøgelsere viste, at der var blevet daet orgaiske forbidelser, så som aldehyder, carboxylsyrer og forskellige amiosyrer. Forsøget illustrerer, at det i Jordes daværede atmosfære formetlig har været forholdsvis ekelt at dae orgaiske forbidelser, som ma ka forestille sig er

3 blevet opkocetreret i oceaere og dermed udgjort e slags ursuppe for livets opridelse. Uder atagelse at livet er opstået på overflade i kotakt med atmosfære. Argumetet er, at de række af amiosyrer der opstod spotat uder Millers forsøg er grudbyggesteee i proteier og proteier betragtes som de vigtigste forudsætig for liv, da disse idgår i celler, ezymer og hormoer. Nye videsbyrd har skabt tvivl om bestaddelee af Millers atmosfære, me has teori om de opridelige suppe, som forklarer, hvorda livets igredieser blev daet i e varm dam eller et varmt hav på plaetes overflade, har stadig mage tilhægere. Nogle forskere har for ylig flyttet suppe til havbude, hvor de forestiller sig, at mudrede mieralskyer, der blev spyet ud af varme kilder, kue have daet molekylere til livets forstadier. Me e voksede gruppe adre forskere ser på e helt ade kilde til livgivede molekyler: rummet. Omkrig 70 amiosyre ud af 59 mulige er blevet fudet i de type af meteoritter der kaldes kulkodritter (se evt. artikle om astrobiologi i Kvat r. 4, december 2004 af David Field), me ku otte af de 20 amiosyre som avedes i levede orgaismer er id til videre blevet idetificeret med sikkerhed i meteorittere. Det er et stort arbejde med sikkerhed at idetificerer amiosyrere fordi det med sikkerhed skal kue godt gøres at der ikke er tale om jordisk forureig. Det er dog lykkedes Pizzarello (2004) at godt gøre at meteoritter ideholder e overvægt på 2-9% af -forme af amiosyre, hvilket idikere at homochiralitet også vil være orme udefor Jorde. Fig. 2: Millers forsøg bestod af et lukket system, hvori ma forsøgte at geskabe de forhold, der metes at have været gældede ved livets spotae opståe på Jorde.

4 Vigtighede af chiralitet Amiosyrere i Millers forsøg forekom med 50% af D-forme og 50% af -forme. Me for alle proteier gælder - (med ogle yderst sjælde udtagelser), - at de ku ka fugere, år de udelukkede er opbygget af é type af amiosyrer. De to typer af amiosyrer reagerer omtret lige let med hiade som med si ege type. For e give såda reaktio mellem to tilfældige amiosyrer er der altså e sadsylighed på :2 = 0,5 for, at to amiosyrer af samme form fider samme. Da et geemsitligt protei ideholder omtret 40 amiosyrer, alle af samme form, giver dette u e sadsylighed på :2 40 :0 23, svarede til at slå kroe 40 gage i træk med e møt. Det vil sige at hvis ma 0 23 gage getager e proces, hvor 40 vilkårlige amiosyrer - f.eks. fra e stor ursuppe - fider samme, vil der i ét af tilfældee daes e kæde, udelukkede beståede af amiosyrer på -forme. Proteiere består typisk af amiosyrer, mes DNA består af mage millioer ukleotider. Både amiosyrer og ukleotider er chirale. I amiosyrer er årsage til chiralitete at fide ved det asymmetriske kulstof. Dette kulstof er budet til fire forskellige grupper: til vestre e ami, til højre e syre, bagved et hydrogeatom og fora e kort kæde af atomer, der giver amiosyrere deres forskellighed (se figur ). I DNAs ukleotider fides chiralitete i sukkerehede 2- deoxyribose, som er på D-forme (se evt. artikle om DNA i Kvat r. 4, dec af Olav Steisvoll). Hvorfor livet på Jorde lige består af D-form sukre og -form amiosyrer er formetlig e tilfældighed. Hvis det er e tilfældighed ka ma forestille sig at der på de tidlige Jord har eksisteret liv af begge former, dvs. D- forme og -forme. Hvilket rejser det oplagte spørgsmål: hvor læge vil to sådae livsformer kue sameksistere før de ee får overtaget? Frak (953) var de første der kostrueret e ekel matematisk model der kue bruges til at beskrive hvorda ma ka opbygge polymerer af - og D-forme år polymerere ku består af de ee slags. Det vil sige at e polymer som uder opbygige får koblet e amiosyre på af de ade form vil blive hæmmet i si videre vækst (se figur 3). Polymerisatios modelle (Sadars 2003; Bradeburg et al. 2005) beskriver e mægde af to forskellige slags moomerer ( og D ) og hvorda de ka dae lage kæder beståede af -moomerer ud fra følgede sæt af reaktiosligiger: + D + + D 2kS!!" 2kI!!" D + D +, ks!!" D, + D, ki!!" D D, hvor k s og k I er reaktioskoefficietere for moomer til polymer af de samme og modsatte slags. For alle fire ligiger gælder der at D. Det faktum at kæder ikke

5 lægere ka vokse år de bliver blokeret af de ade slags moomer betyder at D 2 D og D ikke har oge vækstmuligheder. Fig. 3: Illustratio af polymerisatiosprocesse. Tilstede er et substrat (S) hvorfra moomerer af - og D-type (det ka f.eks. være amiosyrer eller sukre) bliver frigivet. og D moomerere fider samme og daer moomerer. Så læge e moomer består af idetiske former ka de fortsat vokse, mes vækste hæmmes lige så sart é af edere blokeres af e moomer af modsatte type. Når begge eder af polymere er blokeret vil vækste stoppe helt. Således ka polymerer farvet blå eller rosa fortsat vokse mes de lilla polymer er ude videre mulighed for vækst. Reaktio for vestre håds () moomerer (tilsvarede for højrehåds (D)) er! + 2kS ""# d = 2kS! dt hvor er kocetratioe af. Et kostat bidrag (Q ) af ye moomerer fra substratet er ødvedigt og kommer fra de polymerer der ude videre mulighed for vækst, ryger tilbage til substratet. øsige til de sidste ligig er e ståede bølge (se Fig. 4) der bevæger sig mod lægere polymerer med hastighede 2k s.

6 For Q =0 bliver Fig. 4: Bølgeløsige. De opridelige profil er gaussisk. Tidsforskelle mellem de forskellige kurver er 20/(k s Q) /2. De første og sidste gag er vist som heholdsvis e fuldt optrukke liie og e stiplet liie. ( )! = " " = " = " N S S k Q dt d k dt d 2 2 cost =! = N

7 Fig. 5: Et stemmegaffeldiagram af løsige for k I /k S =. Bemærk at bladige går fra at være racemisk til homochiral. Grade af homochiralitet måles i værdier af. Hvor ED! E " = E = E + E! ED =! D D E (respektivt E D ) er et mål for det totale atal af vestre (heholdsvis højre) hådede byggeste. Selvom sadsylighede er lille tyder det altså på at det er aturligt at der med tide vil opstå polymerer som er af ete de ee eller ade type og at år først de ee domierer vil de være tilbøjelig til at fremme yderligere polymerer af samme type. Det er derfor sadsyligt at der på de tidlige jord har været e situatio hvor de to former har eksisteret side om side. Hvorda de to former har udfyldt deres råderum og sameksisteret afhæger i høj grad af hvor meget turbules der har været i ursuppe. Bradeburg & Multimaki (2004) har set på to mulige måder som råderummet af to forskellige livsformer kue forløbe. Ude kovektio vil udbredelse ske meget lagsomt (med hastigheder der ligger uder de for klassiske epidemier så som pest) og det vil tage 0 7 s før at homochiralitet ville være udbredt på Jorde, hvilket er sammeligeligt med Uiversets alder. I de lokale områder hvor é form domierer, sker der dog e hurtig (med e tidsskala på timer til dage) udbredelse af hele råderummet, så ma eder med e situatio hvor de to former sidder i hver deres områder med e forholdsvis stabil frot imellem sig (se figur 6 hvor de fire billeder til vestre, illustrerer dee situatio for forskellige valg af parametre). I tilfælde af

8 turbules ser situatioe helt aderledes ud (figur 6 de fire billeder til højre) her vil situatioe hurtigt bevæge sig mod e homochiral tilstad. Der er selvfølgelig mage ubekedte i forbidelse med at defiere mulig turbules i ursuppe, da ige ved hvorda havstrømmee var degag. Vore dages havstrømme er domieret af tilstedeværelse og beliggehede af kotietere og det er derfor umuligt at sige oget præcist om grade af turbules. Me det ligger dog fast at hvis der har været opbladig i ursuppe er det sadsyligt at - og D-forme ka have sameksisteret i e kortere periode (af størrelsesordee < år) ide de homochirale tilstad vi fider i dag opstod. Fig. 6: Figurere viser udbredelse af - (hvid) og D-forme (mørk) uder forskellige atagelser. De fire billeder til højre viser hvorda turbules er med til at bløde frotere op mellem de to former på e såda måde, at de ee form i løbet af ogle hudrede år får overtaget og fortræger de ade form. Ude tilstedeværelse af turbules (de fire billeder til vestre) vil de to former kue sameksistere på tidsskalaer lægere ed Jordes levetid. De 2-dimesioale simuleriger er bereget ved brug af Pecil-Kode (http://www.ordita.dk/data/bradeb/pecil-code/). Homochiralitet e uiversel egeskab? Der er meget der tyder på, at der meget vel ka være liv på Mars i dag. Der er emlig rejst tvivl om hvorvidt NASAs metoder til steriliserig af rumfartøjer er tilstrækkelig effektiv. Uder steriliserige varmebehadles rumfartøjere hvorved kodesvad tørrer id til små perler af brit-syre forbidelser, hvilket efterlader e oget ær ideel kuvøse for mikrobielle livsformer. Når bakterier og vira tørrer ud, krystalliserer de hvorved de ka overleve edog meget barske omgivelser. Selvom sadsylighede for at jordiske livsformer på dee måde skulle have seget sig med som blide passagerer til Mars og at mulighede for at de ville kue overleve på Mars er ærmest forsvidede så vil det for altid efterlade tvivl hvis vi fider levede orgaismer på Mars. Det eeste der vil kue overbevise os, er hvis mulige Mars orgaismer besidder de modsatte chiralitet af jordiske. Hvis chiralitet er e spota proces som er opstået ved e tilfældighed er sadsylighede for at Mars skulle have samme type 50%. MEN hvis chiralitet er et resultat af e form for symmetribrud så

9 levede orgaismer alle steder i Uiverset altid vil være homochirale, vil vi for altid stå med dilemmaet om hvorvidt vi blot har opdaget os selv. Hvis mulige orgaismer fra Mars er homochirale så ka det skyldes flere tig: () måske er homochiralitet uiversalt og al levede vil altid besidde de egeskab, (2) måske stammer livet på Jorde fra Mars, (3) måske har vi fudet e jordisk forureig på Mars, (4) måske stammer kime til liv fra et adet sted i uiverset og Mars og Jorde er begge blevet sået af mikroorgaismer eller biokemisk materiale fra et adet sted. De sidste mulighed går uder betegelse paspermia og de er forholdsvis populær MEN de flytter blot problemet med livets opridelse til et adet sted i Uiverset ude at bidrage yderligere til e løsig af hvorvidt homochiralitet er e uiversel egeskab eller e tilfældighed. Referecer Bradeburg A., Aderse A.C., Höfer S., Nilsso M., 2005, Homochiral growth through eatiomeric cross-ihibitio, Origi of ife ad Evolutio of the Biosphere (i press). Preprit på: Bradeburg A., Multamäki T., 2004, How log ca left ad right haded life forms coexist? Iteratioal Joural of Astrobiology 3, Frak, F., 953, O spotaeous asymmetric sythesis, Biochim. Biophys. Acta, Pizzarello, S., 2004, Chemical evolutio ad meteorites: A update, Origi of ife ad Evolutio of the Biosphere 34, Sadars P.G.H., 2003, A toy model for the geeratio of homochirality durig polymerizatio, Origi of ife ad Evolutio of the Biosphere 33,

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste Plejebrochure Gør dit bassi til det bedste Er du god til at vedligeholde dit svømmebassi? Hvis ikke, så lad os hjælpe dig. Med dee brochure vil du hurtigt blive e ekspert. Ethvert svømmebassi ka opå krystalklart

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Brændstof. til krop og hjerne

Brændstof. til krop og hjerne Brædstof til krop og hjere Idhold 3 6 8 10 11 12 14 15 17 22 24 26 27 28 29 30 Kaloriebomber og eergibudter Døget rudt skal di krop og hjere bruge eergi Morgemad Med morgemad er du sikker på, det går godt

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

MAG SYSTEM. Gulvrengøring

MAG SYSTEM. Gulvrengøring DK MAG SYSTEM Gulvregørig Mag system Kocept E fremfører for alt. Det er helt yt: Ved Mag-systemet passer e fremfører til alle moptyper. Således ka de optimale arbejdsbredde, tekstilkvalitet og regørigsmetode

Læs mere

Den Store Sekretærdag

Den Store Sekretærdag De Store Sekretærdag Tilmeld dig ide 1. oktober og få 300 kr. i rabat! De 25. ovember 2008 Tekologisk Istitut Taastrup De 8. december 2008 Mukebjerg Hotel Vejle Nia Siegefeldt, chefsekretær Camilla Miehe-Reard,

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG

Læs mere

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n))

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n)) DM19 1. Iformatio-theoretic lower bouds kap. 8 + oter. Ma ka begræse de teoretiske græse for atallet af sammeligiger der er påkrævet for at sortere e liste af tal. Dette gøres ved at repræsetere sorterig-algoritme

Læs mere

Matematisk trafikmodellering

Matematisk trafikmodellering - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Trekantsområdets kystlejrpladser

Trekantsområdets kystlejrpladser Gl.Å bo v Selum Stederup Søderskov De østyske forde,, og forde, byder på uikke atur ser lags kyste. Alle e. Favetræspladse Jorde er god, og skove er derfor frodig og varieret. De markerede rute, der går

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det Hvad vi gør for jer og hvorda vi gør det Vi skaber resultater der er sylige på di budliie... Strategi Orgaisatio Produktio Økoomi [ Ide du læser videre ] [ Om FastResults ] [ Hvorfor os? ] I foråret 2009

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svestrup Tilstede: Hae Veggerby, formad( Hveg), Ae sofie Gothe, æstformad (Asgr), Mette Nødskov sekretær ( Met),

Læs mere

Administartive oplysninger.

Administartive oplysninger. DGU r. Stamoplysiger LOOP Nr. Lokal betegelse Matrikkel Nr.: X koordiat Y Koordiat Z kote. 98.853 3.21.03.01 G1-1 6a/7c, Tåig by 552020,95 6207170,19 66,58 T Admiistartive oplysiger. koordiat oplysiger

Læs mere

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk Små og store varmepumper Bjarke Paaske Tekologisk Istitut Telefo: +45 7220 2037 E-mail: bjarke.paaske@tekologisk.dk Ree stoffers tre tilstadsformer (faser) Fast stof (solid) Eksempel: is ved H 2 0 Væske

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO Rapport fra Videskoferece på Christiasborg 22. jauar 2013 1 Bradbekæmpelse og kræftrisiko bygger på idlæg og diskussioer på koferece, afholdt på Christiasborg 22. jauar 2013.

Læs mere

Affaldshåndbog. Batteriindsamling. Genbrugsstationer. Storskrald. Konkurrence

Affaldshåndbog. Batteriindsamling. Genbrugsstationer. Storskrald. Konkurrence Affaldshådbog 2008 Batteriidsamlig Gebrugsstatioer Storskrald Kokurrece Idhold Hilse fra direktøre 3 Nyheder i 2008 4 Geerelt 5 Hjælp di skraldemad 5 ORDNINGER Restaffald 6 Papiridsamlig 8 Batterier på

Læs mere

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed Nr. 135. Jui 2015. 23. årgag DIÆTISTEN FOKUS Erærigsidsats ka spare milliarder - Vi har spurgt politikere, hvorda de ser på erærigsrelaterede problemer som overvægt og udererærig Besparelser i Regio Midt

Læs mere

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce Projektstyrigsmetode PRINCE2 som grudlag for opfyldelse af modehedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Govermet Commerce som beskrevet i Modehed i it-baserede forretigsprojekter, Modeller til

Læs mere

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse F O A f a g o g a r b e j d e Vold på arbejdspladse Forebyggelse Idhold Et godt forebyggede arbejde Trivsel Faglighed Ledelse Brugeriddragelse Fællesskab Tekiske og fysiske forhold E løbede proces E positiv

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit!

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit! Vaebryderdage 2009 Vaes magt eller magt over vae? Valget er dit! Osdag de 4. marts 2009 taastr u p Vaebrydere Torbe Wiese Meditatiosgurue Heig Davere Hjereforskere Milea Pekowa COACHEN Chris MacDoald Ulrik

Læs mere

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.

Læs mere

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia ^ ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN Huseftersy Tilstadsrapport for ejedomme Sælger: Kirste Hammerum dresse 6.Jullvej93 Postr. By 7000 Fredericia ato Udløbsdato 3-07-200 3-0-20 HE r. Lb. r. Kommuer/Ejedomsr.

Læs mere

Kvalitetsmål til On-line algoritmer

Kvalitetsmål til On-line algoritmer Istitut for Matematik og Datalogi Bachelorprojekt Kvalitetsmål til O-lie algoritmer Forfatter: Christia Kuahl Vejleer: Joa Boyar Jauary 1, 2011 Cotets 1 Ileig 3 2 Problemet 3 3 Algoritmer og variater 4

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 6. Matematik og økoomi 20% 40% 60% 40% Hvor udbredt er vaskepulveret af type A? 6. Matematik og økoomi Idhold 6.1 Procettal 2 6.2 Vejet geemsit

Læs mere

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD)

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) Uderøgele af forældre brugerilfredhed med dagilbud i kommue Sep. 2013 SPØRGESKEMA TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) De er valgfri for kommue, om de pørgmål,

Læs mere

LAMINATGULV KOLLEKTION 2012 2013....det brugervenlige gulv

LAMINATGULV KOLLEKTION 2012 2013....det brugervenlige gulv LAMINATGULV KOLLEKTION 2012 2013...det brugervelige gulv Smart på mage......forskellige måder Lami art Black & Hype Der fides æppe oget gulv, der sætter brugere mere i fokus ed lamiatgulve fra Tarkett.

Læs mere

RV Unique mop-guide. til alle overflader

RV Unique mop-guide. til alle overflader til alle overflader RV Uique mopguide - ét sortimet til alle gulvoverflader I dee brochure fider du et bredt sortimet af mopper til regørig af alle former for gulvoverfalder. Vi har sammesat et sortimet

Læs mere

Her svigtes de ældre mest. Fokus. Dokumentation: Ældre patienter behandles meget forskelligt alt efter, hvor i landet de bor. De

Her svigtes de ældre mest. Fokus. Dokumentation: Ældre patienter behandles meget forskelligt alt efter, hvor i landet de bor. De 50+ sygdomme Nyhedsmagasi om forebyggelse og behadlig magasiet Overaktiv blære er e tabubelagt sygdom Side 8 Geidlæggelser for dehydrerig Regio Hovedstade 26,2% Nyt middel mod forhøjet blodtryk Omkrig

Læs mere

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for

Læs mere

Liv i Universet. Anja C. Andersen, Nordisk Institut for Teoretisk Fysik (NORDITA)

Liv i Universet. Anja C. Andersen, Nordisk Institut for Teoretisk Fysik (NORDITA) Liv i Universet Anja C. Andersen, Nordisk Institut for Teoretisk Fysik (NORDITA) Er der liv andre steder i universet end her på Jorden? Det er et af de store spørgsmål, som menneskeheden har stillet sig

Læs mere

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag ISBN 978-87-766-494-3 4. Fagligt samarbejde matematik og samfudsfag Idholdsfortegelse Idledig Samfudsfag sat på formler II... 2 Tema : Multiplikatorvirkige... 3. Hvad er e multiplikatoreffekt?... 3 2.

Læs mere

Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsons og Villeneuves strategier. Matematisk modellering af et af verdenshistoriens store slag.

Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsons og Villeneuves strategier. Matematisk modellering af et af verdenshistoriens store slag. Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsos og Villeeuves strategier. Matematisk modellerig af et af verdeshistories store slag. Om de matematiske metode Vi vil illustrere de matematiske metode, ved at vise

Læs mere

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller Kommues styrigssystemer og offetlige leders krydspres eller hvorda får du forebyggelse sat på kommues dagsorde 1 Dispositio: Præsetatio og itroduktio til emet Ledergruppes styrigsmæssige dagsorde Begreber

Læs mere

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder FY0 Oblgatorsk laboratoreøvelse O p t k Hold E: Hold: D Jacob Chrstase Alevergsdato: 3. aprl 003 Morte Olese Adreas Lyder Idholdsortegelse Idholdsortegelse Forål...3 Måleresultater...4. Salelser...4. Spredelse...5.3

Læs mere

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder De servicemidede økoomi- og regskabsmedarbejder 25. og 26. marts 2009 Tekologisk Istitut Taastrup 16. og 17. april 2009 Tekologisk Istitut Århus Få idsigt og redskaber, der styrker service og rådgivig

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Med serien Super let PS kan børn allerede fra 6 år få succes med deres første

Med serien Super let PS kan børn allerede fra 6 år få succes med deres første Superbør er super lette bøger til legelæsig og læsetræig allerede fra 5 år, det vil sige til det sidste år i børehave og til bh.kl. 1. klasse. Børee får her et tilbud på gode oplevelser, mage samtaleemer

Læs mere

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag Hvidbog omhadlede de idkome idsigelser, bemærkiger og kommetarer til forslag til Kommuepla 2009 Udgave A: Rækkefølge som forslag 4. jauar 2010 Idhold Idledig. 3 Proces og behadlig m.v 3 Hvidboges opbygig..

Læs mere

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed Nr. 135. Jui 2015. 23. årgag DIÆTISTEN FOKUS Erærigsidsats ka spare milliarder - Vi har spurgt politikere, hvorda de ser på erærigsrelaterede problemer som overvægt og udererærig Besparelser i Regio Midt

Læs mere

Intelligent Drivesystems, Worldwide Services. Aluminiumsgear og -motorer. Fås med Sealed Surface Conversion System

Intelligent Drivesystems, Worldwide Services. Aluminiumsgear og -motorer. Fås med Sealed Surface Conversion System Itelliget Drivesystems, Worldwide Services DK Alumiiumsgear og -motorer Fås med Sealed Surface Coversio System NORD Itelliget Drivesystems, Worldwide Services Fordele ved alumiiumsgear Korrosiosbestadigt

Læs mere

Pcounter effektiv styring af omkostningerne. Pcounter-programmer

Pcounter effektiv styring af omkostningerne. Pcounter-programmer Pcouter effektiv styrig af omkostigere Pcouter-programmer Pcouter, Itro De cetrale udskrivigsstrategi Pcouter er software til registrerig og kotostyrig af prit, og som sætter virksomheder i stad til at

Læs mere

Til dig, der er lærerstuderende Kender du VIA CFU Center for Undervisningsmidler?

Til dig, der er lærerstuderende Kender du VIA CFU Center for Undervisningsmidler? Ti dig, der er ærerstuderede Keder du VIA CFU Ceter for Udervisigsmider? - for dig og di udervisig VIA CFU - tæt på di og skoes praksis Når det kommer ti æremider, er VIA Ceter for Udervisigsmider eer

Læs mere

Kommunikation over støjfyldte kanaler

Kommunikation over støjfyldte kanaler Istitut for Matematise Fag wwwmathaaud Kommuiatio over støjfyldte aaler MAT2-projetrapport af G3-7 forårssemestret 2008 Istitut for Matematise Fag Fredri Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst Telefo 99 40 88

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

af det hele Randi Laubek Frederikshavn

af det hele Randi Laubek Frederikshavn Frederikshav af det hele Radi Laubek Natures skøhed har haft stor betydig for mi musik, fortæller sagere, sagskrivere og musikere Radi Laubek, der er vokset op i det ordjyske. Side 14 15 Morgefruer med

Læs mere

Kabe - bladet. 29. årgang nr. 1 forår 2014

Kabe - bladet. 29. årgang nr. 1 forår 2014 Kabe - bladet 29. årgag r. 1 forår 2014 INTERCAMP og KABE fortæller i e pressemeddelelse, at de fra 1. jauar 2014 idleder et flerårigt samarbejde med de professioelle campist Peer Neslei fra CAMPINGFERIE.Dk

Læs mere

2. Hverdagen på danske arbejdspladser

2. Hverdagen på danske arbejdspladser 2. Hverage på aske arbejsplaser 2.1 Sammefatig 69 2.2 Daske mearbejere veres mest tilfrese 71 2.3 Daske virksomheer ivesterer i mearbejere 77 2.4 De ekeltes valg og rammere for arbejet 8 2.1 Sammefatig

Læs mere

Naturen. i kommunerne

Naturen. i kommunerne Nature i kommuere Side 2007 har Damarks kommuer sørget for at pleje og beskytte ature. Med dee udgivelse vil KTC vise eksempler på, hvorda kommuere værer om ature, og får borgere med ud i det grøe Nature

Læs mere

Fra viden til handling. Få flere unge, især med anden etnisk baggrund end dansk, til at begynde på og gennemføre en erhvervsfaglig uddannelse

Fra viden til handling. Få flere unge, især med anden etnisk baggrund end dansk, til at begynde på og gennemføre en erhvervsfaglig uddannelse 2013 Fra vide til hadlig Få flere uge, især med ade etisk baggrud ed dask, til at begyde på og geemføre e erhvervsfaglig uddaelse Tekst/forfatter LG Isight Udgivet af Fastholdelseskaravae/- Miisteriet

Læs mere

Cityringen Udredning af metro til Ny Ellebjerg via Sydhavnen

Cityringen Udredning af metro til Ny Ellebjerg via Sydhavnen Jui 2013 Resumé Cityrige Udredig af metro til via Sydhave Metroselskabet Trasportmiisteriet Købehavs Kommue Frederiksberg Kommue Tekst Metroselskabet I/S Metrovej 5 2300 Købehav S Telefo +45 3311 1700

Læs mere

Grundlæggende Lederuddannelse

Grundlæggende Lederuddannelse Grudlæggede Lederuddaelse Grudlæggede Lederuddaelse God ledelse er vigtig for både dig og di virksomhed. Det er vigtigt for di ege persolige udviklig, for die medarbejderes motivatio og dermed i sidste

Læs mere

Mere og mere sprøjtegift i vores vand

Mere og mere sprøjtegift i vores vand fødevarer Amerikak topchef fra SPX kalder Damark fødevaretekologie Silico Valley. SIDE byggeri Dyamike facader halverer bygiger eergiforbrug. Dakere tår bag det ye kocept. tema ide - produktprie Nyudviklet

Læs mere

Nuance ecopy ShareScan. Dokumentbehandling i den digitale verden. Document capture & distribution Nuance ecopy

Nuance ecopy ShareScan. Dokumentbehandling i den digitale verden. Document capture & distribution Nuance ecopy Nuace ecopy ShareSca Dokumetbehadlig i de digitale verde Documet capture & distributio Nuace ecopy Nuace ecopy, documet capture & distributio Itegratio af papirdokumeter i digitale arbejdsgage Med Nuace

Læs mere

Rette behandling gjorde aktivt liv muligt

Rette behandling gjorde aktivt liv muligt Smerter, gigt og kogler Nyhedsmagasi om forebyggelse og behadlig magasiet Damarks mest effektive sygehuse bruger de dyreste smertemedici I de to midtjyske byer Give og Brædstrup fider ma ladets mest effektive

Læs mere

1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2

1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2 Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel Pojekt.3 Lieæe Iteatiospocesse Idhold 1. Idledig... 1 2. Lieæ iteatio... 2 2.1 Lieæ vækst... 2 2.2 Ekspoetiel vækst... 2 2.3 Foskudt ekspoetiel

Læs mere

Citation for published version (APA): Lewis Brooks, A.. T. (2010). Leg dig fra smerten. Fokus magasinet, (2), 16-17.

Citation for published version (APA): Lewis Brooks, A.. T. (2010). Leg dig fra smerten. Fokus magasinet, (2), 16-17. Aalborg Uiversitet Leg dig fra smerte Brooks, Toy Published i: magasiet Publicatio date: 2010 Documet Versio Forlagets edelige versio (ofte forlagets pdf) Lik to publicatio from Aalborg Uiversity Citatio

Læs mere

H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE

H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER I MATEMATISK ANALYSE Kursus ma1;.ematik 1 f'or f rste ars studerede uder..k behavs Ui versi teta..jll8. tema ti skatucvideskabelige f'akultet~ samt ~or aktuarog stat~t~studerede.

Læs mere

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011)

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011) Formelsamlig til statistik-el af metoekursus, 4. semester, lægevieskab Versio 3 (6/9-011) Kære læser Dee formelsamlig er lavet me ugagspukt i Meical Statistics, seco eitio af Betty R. Kirkwoo og A. C.

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Fra Støv til Liv. Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet

Fra Støv til Liv. Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Fra Støv til Liv Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Observationer af universet peger på, at det er i konstant forandring. Alle galakserne fjerner

Læs mere

Vejledning til brug ved ansøgning om patent

Vejledning til brug ved ansøgning om patent Vejledig til brug ved asøgig om patet Idhold: Hvad ka pateteres hvorår og hvorda? 1 Såda søger De patet i Damark 3 Et praktisk eksempel 5 Hvorda behadles asøgige? 12 Patetbeskyttelse i flere lade 14 Biblioteks-liste

Læs mere

Helende miljø en udfordring for patientsikkkerhed? Workshop Patientsikkerhed og syge børn fredag den 15. oktober 2010

Helende miljø en udfordring for patientsikkkerhed? Workshop Patientsikkerhed og syge børn fredag den 15. oktober 2010 Helede miljø e udfordrig for patietsikkkerhed? Workshop Patietsikkerhed og syge bør fredag de 15. oktober 2010 Elisabeth Brøgger Jese mag.art. kultursociolog elisabeth.broegger.jese@regioh.dk. Pricipper

Læs mere