Program. 1. Flersidet variansanalyse 1/11

Transkript

1 Program 1. Flersidet variansanalyse 1/11

2 To-sidet variansanalyse Eksempel: (opgave 14.2 side 587) vitamin indhold i frossen juice målt for ialt 9 kombinationer af mærke (Rich food, Sealed-sweet, Minute Maid) og tid i fryser (0, 3, 7 dage) - 4 gentagelser per kombination af de 2 faktorer Richfood Sealed-sweet... Minute Maid... Hovedeffekt A: Hvilket mærke er bedst mht. vitamin? Hovedeffekt B: Ændrer frysetid på vitamin indholdet? Vekselvirkning (AB): Ændrer de forskellige mærker sig forskelligt med tiden? 2/11

3 To-sidet variansanalyse Model: Y ijk = µ ij + ǫ ijk = µ + α i + β j + (αβ) ij + ǫ ijk Niveauer i faktor A: i = 1,...,a Niveauer i faktor B: j = 1,...,b Gentagelser i hver kombination: k = 1,...,n Fejlled: ǫ ijk N(0, σ 2 ), uafhængige Parametre for hovedeffekter: α i og β j Paremetre for vekselvirkning: (αβ) ij 3/11

4 Hypoteser og ANOVA-tabel Hypoteser: H A 0 H B 0 : Ingen hovedeffekt fra faktor A : Ingen hovedeffekt fra faktor B H (AB) 0 : Ingen vekselvirkning mellem A og B ANOVA-tabel: Model SS df MS f A SSA a 1 MSA = SSA a 1 B SSB b 1 MSB = SSB b 1 AB SS(AB) (a 1)(b 1) MS(AB) = SS(AB) (a 1)(b 1) Error SSE ab(n 1) MSE = SSE k(n 1) Total SST abn 1 Hvis p > α kan den pågældende hovedeffekt/vekselvirkning udelades. Bemærk: formler for SS på side 579. f A = MSA MSE f B = MSB MSE f (AB) = MS(AB) MSE 4/11

5 Hierarkisk princip Hvis to faktorer A og B har en signifikant vekselvirkning AB så ved vi at A har en effekt som dog afhænger af B og omvendt! I dette tilfælde tester man ikke om A og B hver især har en effekt. Hierarkisk princip: Først testes vekselvirkning, og hvis denne ikke er signifikant, testet hovedeffekterne - ellers beholdes hovedeffekterne automatisk. 5/11

6 Fortolkning af parametre i SPSS Referencecelle: I SPSS er et niveau i hver faktor α a og β b sat lig 0 (istedet for at summen af alle niveauer er sat lig 0). Vekselvirkningerne (αβ) aj og (αβ) ib (i = 1,...,a og j = 1,...,b) er også sat til 0. (αβ) 11 (αβ) 12 0 α = (α 1,...,α a 1, 0) (αβ) 21 (αβ) 22 0 (αβ) =. β = (β 1,...,β b 1, 0) Dvs. de andre α i angiver altså effekten på y ij af at skifte niveau fra i = a til et andet i (tilsvarende for β j og (αβ) ij ). Eksempel med a = 2 og b = 4: ŷ 2,4 = ˆµ ŷ 1,4 = ˆµ + ˆα 1 ŷ 1,3 = ˆµ + ˆα 1 + ˆβ 3 + (αβ) 1,3 6/11

7 Modelkontrol Varianshomogenitet: Levene s test og plots af residualer vs. prediktioner. Normalitet: QQ-plots eller histogrammer af residualer 7/11

8 Tresidet variansanalyse Eksempel: løn vs. køn, race og stillingstype (fuld tid/deltid). Model: Y ijkl = µ+α i +β j +γ k +(αβ) ij +(αγ) ik +(βγ) jk +(αβγ) ijk +ǫ ijkl Intet nyt, bortset fra at vi nu har et 3. ordens interaktionsled. Fortolkning af signifikant 3. ordens interaktionsled: De forskellige niveauer i C ændrer hvordan de forskellige niveauer i B ændrer på effekten af A. Man kan selvfølgelig også lave firesidet, femsidet osv. variansanalyse, men parametrene bliver ret obskurte at fortolke, og den nødvendige størrelse af datasættet vokser eksponentielt for at dække alle kombinationer - overvej at indskrænke jeres forsøg istedet for at lave så komplicerede modeller! 8/11

9 Tilbage til blocking Ensidet variansanalyse med blocking Y ijk = µ + α i + β j + ǫ ijk er egentlig blot en tosidet variansanalyse uden vekselvirkning, hvor man kun er intereseret i den ene faktor. Man bør i princippet også inkludere vekselsvirkningen. 9/11

10 Tosidet variansanalyse med tilfældig faktorer Tosidet variansanalyse: Alternativ: tilfældig blok effekter: Y ijk = µ + α i + β j + (αβ) ij + ǫ ijk Y ijk = µ + α i + B j + (αb) ij + ǫ ijk hvor B j N(0, σ 2 B ), (αb) ij N(0, σ 2 αb ) og ǫ ijk N(0, σ 2 ). VarY ijk = σ 2 B + σ2 αb + σ2. I flersidet variansanalyse kan man kombinere fast og tilfældige faktorer på mange måder, men der er forskel på udregningerne til at teste faktorer/vekselvirkning væk! (det klarer SPSS heldigvis) Bemærk: hvis bare en af faktorerne i en vekselsvirkning er tilfældig, så bliver vekselvirkningen også tilfældig. 10/11

11 Variansanalyse: en opskrift Ting at gøre Hvordan SPSS Undersøg data Scatterplot/boxplots af data GC, Scatterplot/Boxplot Interaktionsplots AGU, Plots Lav model Inkl. alle faktorer AGU (faste/tilfældige) Tilpas model Fjern ikke signifikante faktorer AGU, Model (Check Sig.) (hierarkisk princip) Modelkontrol Histogram, QQ-plot og AGU, Plots/Save andre residual-plots samt Levene s test AGU, Options, Homo. tests Parametre Estimater, konfidensint. AGU, Options, Parameter est. Tukey s test (faste faktorer) AGU, Post Hoc, Prediktion Estimater AGU, Save GC = Graph Chart builder AGU = Analyze General Linear Models Univariate 11/11