6 Populære fordelinger

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "6 Populære fordelinger"

Transkript

1 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder). I dette apitel sal vi se på ogle hyppigt foreoede typer af fordeliger for stoastise variabler. Selvo e stoastis variabel a have e hvile so helst fordelig, så viser det sig, at der er ogle bestete fordeliger, so vi ofte støder på i prasis. Mage af de avedelige fordeliger a a besrive relativt sipelt. I de foregåede apitler har vi til ehver ulig værdi af e stoastis variabel opsrevet e tilhørede sadsylighed. Det har vi typis gjort i tabelfor, hvis der er flere ed to værdier. Me hvis e stoastis variabel a atage age værdier, ræver det e stor uoversuelig tabel at specificere fordelige. I ogle tilfælde a a i stedet specificere fordelige af e stoastis variabel ved hjælp af få paraetre. Når de er besrevet, a a udrege sadsylighede for alle ulige værdier af de stoastise variabel ved blot at idsætte i e forel. De fordeliger, vi støder på i dette apitel, a alle specificeres ved hjælp af e forel og ogle få paraeterværdier. I afsit 6.1 til 6.4 sal vi igge på fire forsellige disrete fordeliger, es vi i afsit 6.5 sal stifte beedtsab ed oralfordelige, so er e fordelig for e otiuert stoastis variabel. Edelig sal vi i afsit 6.6 igge på e siulta fordelig for flere disrete stoastise variabler. 6.1 Beroullifordelige E disret stoastis variabel X siges at følge e Beroullifordelig, hvis: i) der er to ulige udfald, dvs. X a atage to værdier (typis 1 og 0); og ii) sadsylighede for, at de atager de to værdier, er heholdsvis p og 1 p. Vi siger da, at X er Beroullifordelt ed paraetere p. Det srives: X ~ Ber(p), hvor ~ læses so fordelt. Populære fordeliger 1

2 Figur 6.1: Beroullifordelige X p 1 (succes) 1 p 0 (fiaso) Ofte beteger a de to ulige udfald for X so heholdsvis succes (år X 1) og fiaso (år X 0). De to betegelser sal dog ie forstås således, at det ee udfald ødvedigvis er bedre ed det adet. Det er blot e åde, hvorpå a har valgt at beæve udfaldee. Alterativt siger a, at X har egesabe (år X 1) eller ie har egesabe (år X 0). Me det er blot e ade taleåde for det, der grudlæggede er det sae, elig at X a atage to og u to værdier. Der er åse lidt overrasede age populatioer, so leder fre til Beroullifordelte stoastise variabler. Her er tre esepler. Esepel 6.1: Plat og roe del 1 Esepel 6.: Ja eller ej Esepel 6.: Vejret i orge Til esperietet at aste ed e øt er populatioe: roe og plat. Vi a defiere e stoastis variabel, X, således, at de atager værdie 1 i tilfælde af roe (succes) og værdie 0 i tilfælde af plat (fiaso). Hvis plat og roe er lige sadsylige, dvs. hvis øte ie er sæv, så er X Beroullifordelt ed paraetere p ½, dvs. X ~ Ber (½). Hvis vi stopper e tilfældig daser på gade og spørger vedoede, o ha (eller hu) steer ja eller ej til e oede afsteig, og vi atager, at der u er disse to svaruligheder, og at alle potetielle respodeter har taget stillig til spørgsålet, så ige svarer ved ie, så har vi at gøre ed e populatio beståede af ja-sigere og ej-sigere. Vi a derfor defiere e stoastis variabel, X, der tager værdie 1, hvis persoe viser sig at være e ja-siger, og værdie 0, hvis det er e ej-siger. Da er X Beroullifordelt ed paraetere p, hvor p er adele i populatioe, der steer ja. Lad Y være e stoastis variabel, der atager værdie 1, hvis det reger i orge, og værdie 0, hvis det ie gør det. De tilhørede populatio er e superpopulatio ed eleetere reg og ie-reg. Dered er Y Beroullifordelt ed paraetere p, hvor p er sadsylighede for reg i orge (hvorda dee sadsylighed så ed er bestet). 14 Idbli i statisti for safudsvidesab

3 So de oveståede esepler illustrerer, så er Beroullifordelige relevat i situatioer, hvor vi udvælger et eleet fra e populatio ed to typer af eleeter. Det a være fra e virelig populatio ed to eleeter, so i esepel 6. ed de dase befolig, eller e superpopulatio, so i esepel 6. ed regvejret. Populatioer ed u to typer af eleeter aldes også Beroullipopulatioer. E Beroullipopulatio er e virelig populatio eller e superpopulatio, der består af to typer af eleeter: succeser og fiasoer. Vi a også fide besrivede ål for e stoastis variabel, so er Beroullifordelt. Fordi der u er to ulige værdier for e såda stoastis variabel, a a let udrege iddelværdie og variase ved hjælp af de etoder, vi præseterede i apitel 5: E(X) 1 p + 0 ( 1 p) p E(X ) p + 0 (1 p) p V(X) E(X ) [E(X)] p p p (1 p) Lad os opsuere egesabere for e Beroullifordelt stoasti variabel i e bos: Beroullifordelige, X ~ Ber(p) Sadsylighedsfutio: f(1) p og f(0) 1 p Middelværdi og varias: E(X) p og V(X) p (1 p) Fortolig: X agiver udfaldet af e udtræig fra e Beroullipopulatio, hvor X 1 er succes, X 0 er fiaso, og p er sadsylighede for e succes. 6. Bioialfordelige Bioialfordelige freoer, år a udtræer eleeter uafhægigt af hiade fra e Beroullipopulatio. På de åde har hver udtræig sadsylighede p for succes. Dvs. hvis X 1 er de stoastise variabel for udfaldet af de første udtræig, således at X 1 1 agiver e succes, så er X 1 Beroullifordelt ed paraetere p: X 1 ~ Ber(p). Tilsvarede er X ~ Ber(p), hvor X agiver udfaldet af de ade udtræig, osv. op til X. De stoa- Populære fordeliger 15

4 iabel for udfaldet af de første udtræig, stise variabel, således Y, at der agiver atallet af succeser i de udtræiger, siges da e succes, så er X 1 Beroullifordelt at være ed paraetere bioialfordelt ed paraetree og p. Vi sriver det på følgede Tilsvarede er X ~ Ber(p), hvor X åde: agiver udfaldet af Y ~ Bi(, p), hvor er atallet af udtræiger og p er sadsylighede for succes i hver af de udtræiger. ig, osv. op til X. De stoastise variabel, Y, der t af succeser i de udtræiger, siges da at være ed paraetree og p. Vi sriver det på følgede Esepel 6.4: Hvis vi slår plat eller roe fe gage og defierer de stoastise variabel Y (,p), hvor er atallet af udtræiger og p er Plat og roe so atallet af roer i de fe forsøg, så er Y bioialfordelt ed 5 og for succes i hver af de udtræiger. del p ½: Y ~ Bi(5, ½). Hvis vi slår plat eller roe fe gage og defierer de bel Y so atallet af 'roer' i de fe forsøg, så er Y ed 5 og p ½: Y ~ Bi(5, ½). [Esepel slut] ialfordelt ed paraetree og Hvis p, så Y betyder er bioialfordelt det, at ed paraetree og p, så betyder det, at Y a ærdiere 0, 1,,,. Mere specifit, atage så værdiere atager Y 0, 1,,,. Mere specifit, så atager Y værdie 0, hvis ige i af e de succes, udtræiger dvs. resulterer i e succes, dvs. hvis X 1 0, X 0,, ige af de udtræiger resulterer 0,, X 0. Deriod atager X Y værdie 0. Deriod, hvis atager Y værdie, hvis alle de udtrue er succeser: X 1 1, er succeser: X 1 1, X 1,, X 1. 1, Vi, a X derfor 1. Vi a derfor geerelt srive Y so: Y X 1 + X + + X Y so: Y X 1 + X + + X X i 1 i. De værdi, Y atager, er således lig ed atallet af succeser i de udtræiger, dvs. sue af X. De værdi, ledes lig ed atallet af succeser i de udtræiger, i ere. 1 X i ere. 1 Bioialfordelige freoer altså so fordelige af e su af uafhægige af Beroullifordelte e su af stoastise variabler. So vi sal se seere, så er ige freoer altså so fordelige roullifordelte stoastise variabler. de So yderst vi avedelig, sal se år a fx udarbejder eigsåliger for ja/ejvalg (so fx udarbejder fx e EU-afsteig) eller efterspørgselsprogoser for øb/ie- de yderst avedelig, år a er på ja/ej-valg (so fx e EU-afsteig) øb e vare. eller I disse tilfælde udvælger a e stiprøve fra e Beroullipopulatio I disse beståede tilfælde af ete ja- og ej-sigere eller øbere og ie-øbere. rogoser for øb/ie-øb af e vare. e stiprøve fra e Beroullipopulatio Vi agler beståede iidlertid af at fide e forel for sadsylighedsfordelige for -sigere eller øbere og ie-øbere. Y. Næste esepel viser, hvorda dee forel a opbygges. iidlertid at fide e forel for fordelige for Y. Esepel Næste 6.5: esepel Forestil viser, dig, hvorda at vi slår plat eller roe to gage, og lad Y være atallet af roer a opbygges. Plat og roe i de to ast. Da er Y bioialfordelt ed og p ½, dvs. Y ~ Bi(, ½). Lad Forestil dig, at vi slår plat eller roe to gage og lad Y del X i være udfaldet af det i te ast, således at X 1 1, hvis det første ast bliver 'roer' i de to ast. Da er Y bioialfordelt ed og p roe, og X 1 0, hvis det bliver plat, og tilsvarede for X. Da er Y lig ed sue af X 1 og X : Y X 1 + X. Fordi de to ast er uafhægige, så ved vi edvidere fra apitel 4, at deres siultae sadsylighed, f(x 1, x ), er lig ed pro- også, hvorfor det er hesigtsæssigt at ode de to ulige udfald 1 i stedet for fx 1 og 17. dutet af de argiale sadsyligheder, f X1 (x 1 ) og f X (x ), dvs: f(x 1, x ) f X1 (x 1 ) f X (x ). Sadsylighede for at slå to gage roe er lig ed sadsylighede for at slå roe i det første slag gaget ed sadsylighede for roe i det adet slag osv. De forsellige ulige udfald af esperietet ed tilhørede sadsyligheder og værdier a a derfor saefattes i følgede tabel: 1. Dette illustrerer også, hvorfor det er hesigtsæssigt at ode de to ulige udfald for X i so 0 og 1 i stedet for fx 1 og Idbli i statisti for safudsvidesab

5 Tabel 6.1 Sadsyligheder for to gage plat og roe X 1 X Sadsylighed Y p p ½ ½ ¼ p (1 p) ½ ½ ¼ (1 p) p ½ ½ ¼ (1 p) (1 p) ½ ½ ¼ Lad sadsylighedsfutioe for Y være (y). De a da srives so: () ¼ (1) ¼ + ¼ ½ (0) ¼ Sadsylighede for Y 1 er lig ed sue af to sadsyligheder fra tabel 6.1, idet der er to obiatioer af udfald af X 1 og X, der begge giver Y 1, elig hvis a først slår plat og deræst roe eller først roe og deræst plat. Esepel 6.5 illustrerer, at sadsylighedsfordelige for Y afhæger af det atal situatioer, der a lede til det sae atal succeser i udtræiger. Dette aldes også atal obiatioer i statisties verde. Vi a altså sige, at hvis Y ~ Bi(, p), så er (y), hvor y er et helt tal, givet ved: (y) atal obiatioer af værdier af X i ere der giver Y y sadsylighede for e såda obiatio. Esepel 6.6: Faultet! I esepel 6.5 er der to obiatioer af værdier af X 1 og X, so giver Y 1. sadsylighede Sadsylighede for for e såda hver af obiatio. disse obiatioer er (½). Derfor er (1) I Esepel (½) 6.5 ½. er der to obiatioer af værdier af X 1 og X, so giver Y 1. Sadsylighede for hver af disse obiatioer er (½). Mere geerelt a vi fide atallet af obiatioer, der giver succeser i Derfor er f(1) (½) ½. udtræiger, ved hjælp af følgede forel: Mere geerelt a vi fide atallet af obiatioer, der giver succeser i udtræiger, ved hjælp af følgede forel:! Bioialoefficiete: Bioialoefficiete:! (! ( )! hvor! udtales faultet og bereges so:! (-1) (-) 1. hvor! udtales faultet og bereges so:! ( 1) ( ) 1. Esepel 6.6: 4! og! 1 og 0!1. Det sidste er e defiitio. [Esepel slut] 4! og! 1 og 0!1. Det sidste er e defiitio. Esepel 6.7: I esepel 6.5 fadt vi, at der var to åder, hvorpå a ue få é roe ( 1) i to forsøg ( ). Lad os otrollere, at forle også giver os dette:! 1 (!1 )!1 [Esepel slut] Populære fordeliger 17 Esepel 6.8: 4! (! )!

6 Esepel 6.7: Plat og roe del 4 Esepel 6.8: Bioialoefficiete Esepel Esepel 6.6: 6.6: 4! 4! og og!! 1 og og 0!1. Det sidste er er e e defiitio. Esepel defiitio. [Esepel 6.6: [Esepel 4! 4! 4! slut] slut] og og og!!! og og og 0!1. Det sidste er e e e e defiitio. 6.7: [Esepel I slut] Esepel 6.7: I esepel fadt vi, vi, at at der var to åder, hvorpå a ue ue Esepel få få é é roe 6.7: I I ( I ( esepel 1) 1) i i to to 6.5 forsøg fadt ( ( vi, vi, vi, at ). at at der Lad var var os to otrollere, to to åder, hvorpå at forle a ue få få få é é é roe ( ( ( 1) 1) 1) i i to i to to forsøg ( ( ( ). ). ). Lad os os os otrollere, at at at forle I esepel 6.5 fadt vi, at også også der giver giver var os to os åder, dette: hvorpå a ue få é roe ( 1) i to forsøg ( ). også Lad os giver otrollere, os os os dette: at forle også giver os dette:! 1! 1 (!1 )! [Esepel 1 1! ((!1 slut] 1)! )!1 1 1 [Esepel Esepel 6.8: slut] Esepel 6.8: 4 4! !4 4 4! (4(! )! )! 6 Dvs. der der 4(! er er 6 ) 6 åder,! hvorved a a udtræe to succeser i fire udtræiger, Dvs. der er er fx er fx 66 6 åder, gage roe hvorved i i fire a ast a ed udtræe e øt. to to E to succeser åde ue i i i fire udtræiger, være: plat-roe-plat-roe, fx fx fx gage roe e e ade: i i i fire plat-plat-roe-roe. ast ed e e e øt. E Opsriv E E åde selv ue de 6 være: 6 forsellige plat-roe-plat-roe, obiatioer. e [Esepel e ade: slut] plat-plat-roe-roe. Opsriv selv de de d 66 Bioialoefficiete 6 forsellige obiatioer. er vores [Esepel geerelle slut] forel til at berege atallet af Bioialoefficiete af obiatioer i i udtræiger, vores geerelle der giver forel succeser. til til til at at at berege Så agler atallet vi blot af af blot af obiatioer fide fide sadsylighede i i i udtræiger, for hver der af giver disse succeser. obiatioer. Så Så Så agler Da de vi vv eelte blot eelte at at at fide eleeter sadsylighede er er udvalgt uafhægigt, for hver af af så så af disse ved vi, obiatioer. sadsylighede Da de de d for eelte for give give eleeter obiatio er er er udvalgt uafhægigt, X i ere i ere er er så lig så så ved ed vi, vi, vi, produtet at at at sadsylighede af deres argiale for argiale e e e give sadsyligheder. obiatio af af af X i i ere i er er er lig lig ed produtet af af af deres argiale sadsyligheder. Dvs. der er ses åder, hvorpå a a udtræe to succeser i fire udtræiger, fx gage roe i fire ast ed e øt. E åde ue være: plat-roe-plat-roe, e ade: plat-plat-roe-roe. Opsriv selv de ses forsellige obiatioer. Bioialoefficiete er vores geerelle forel til at berege atallet af obiatioer i udtræiger, der giver succeser. Så agler vi blot at fide sadsylighede for hver af disse obiatioer. Da de eelte eleeter er udvalgt uafhægigt, så ved vi, at sadsylighede for e give obiatio af X i ere er lig ed produtet af deres argiale sadsyligheder. Esepel 6.9: Sadsylighede for at slå plat-plat-roe-roe i fire (uafhægige) ast Plat og roe ed e øt er således ½ ½ ½ ½ (½)4. Esepel 6.9: Sadsylighede for at slå plat-plat-roe-roe i fire del 5 (uafhægige) ast ed e øt er Esepel således ½ 6.9: 6.9: ½ ½ Sadsylighede ½ (½)4. [Esepel for for for at at at slå slå slå plat-plat-roe-roe i i fir i slut] (uafhægige) ast ed e e e øt er er er således ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ (½)4. [Esepe Esepel 6.: Hvis vi træer fe uafhægige slut] gage fra e Beroullipopulatio ed p Esepel 6.: Hvis vi træer fe uafhægige gage fra e Kobiatiossadsylighed sidst é succes givet ved: 0, 0, (1-0,) (1-0,) p 0, (0,) så er (1-0,) 5-. 0,, så er sadsylighede for først at få to succeser, deræst to fiasoer og til Beroullipopulatio ed p 0,, så Esepel er sadsylighede 6.: Hvis vi vi for vi først træer at få fe fe to uafhægige gage fra fra frae succeser, deræst to fiasoer og Beroullipopulatio til sidst é succes givet ed p ved: p 0,, så så 0, er er (1- sadsylighede for for for først at at at få fåf 0,) (1-0,) 0, (0,)(1-0,)5- succeser,. [Esepel deræst slut] to to to fiasoer og og og til til til sidst é é é succes givet ved: 0, 0, 0, 0, 0, 0, (1 0,) (1-0,) 0, 0, 0, (0,)(1-0,)5-... [Esepel slut] Geerelt er sadsylighede for e give obiatio af succeser Geerelt er sadsylighede for give obiatio af succeser og og - fiasoer i uafhægige Geerelt udtræiger sadsylighede givet ved forle: e p(1- give obiatio af af af succese fiasoer i uafhægige udtræiger og givet i ved forle: p (1 p), hvor p p)-, hvor p er sadsylighede og og - - for succes fiasoer i hver i uafhægige udtræig. udtræiger Vi a givet ved forle: p(1 p er sadsylighede for succes i hver udtræig. p er Vi a derfor srive i sadsylighede for, at Y er lig ed, so følger: derfor srive sadsylighede p)-, for, at hvor Y er p lig p er er ed sadsylighede so følger: for succes i i hver udtræig. Vi Vi Vi a derfor srive sadsylighede for, at at at er Y er lig er lig lig ed so følger: fy ( ) p (1 p) fyfy( f( Y) () ) p pp(1 (1 p) p) hvor hvor er atallet af obiatioer, der giver succeser, og p er atallet af obiatioer, der giver succeser, og p(1- (1 p) er sadsylighede for hver af disse p)- er sadsylighede for hvor hver er obiatioer. af er er disse atallet obiatioer. af af af Dette obiatioer, sadsylighedsfutioe for e Bi(, p) Dette der der giver succeser, og og og p(1 p sadsylighedsfutioe for stoastis p)- e er er Bi(,p) er variabel, sadsylighede Y. Beær, stoastis for for for variabel, at hver hvis af af af er lig Y. disse ed obiatioer. Dette e Beær, at hvis er lig ed sadsylighedsfutioe fx 0, så a Y atage for 1 for for forsellige e e e Bi(,p) stoastis variabel, Y 18 Idbli i statisti for safudsvidesab værdier, hver ed 1 forsellige Beær, sadsyligheder. at at at hvis er er er lig lig Me ed fx fx vi fx behøver 0, så så så a Y atage 1 forsellig u at ede og p for at bruge værdier, forle hver ovefor ed 1 til forsellige at udrege sadsyligheder. alle Me vi vi vi behøve disse 1 sadsyligheder. u at at at ede og og og p p for p for for at at at bruge forle ovefor til til til at at at udrege all a Vi a også berege besrivede disse ål 1 for sadsyligheder. e bioialfordelt variabel ligeso i apitel 4. Her udytter Vi Vi Vi a vi, også at Y berege e su besrivede af uafhægige ål for for for e e e bioialfordelt variabe ligeso i i i apitel Her udytter vi, vi, vi, at at at Y er er er e e e su af af uafhægig

7 fx 0, så a Y atage 1 forsellige værdier, ed tilhørede 1 forsellige sadsyligheder. Me vi behøver u at ede og p for at bruge forle ovefor til at udrege alle disse 1 sadsyligheder. Vi a også berege besrivede ål for e bioialfordelt variabel ligeso i apitel 5. Her udytter vi, at Y er e su af uafhægige stoastise variabler: Y X X. Dered er iddelværdie a givet ved: E(Y) E(X X ) E(X 1 ) + + E(X ) p + + p p es variase a er: V(Y) V(X X ) V(X 1 ) + + V(X ) p (1 p) + + p (1 p) p (1 p) Variase af X X er her blot lig ed sue af de eelte variaser, idet X i ere er uafhægige og ovariasere dered ul, jf. regereglere i apitel 5. Vi opsuerer bioialfordelige i e bos: Bioialfordelige, Y ~ Bi(, Y ~ ~ p) ~ Bi(, p) p) p) Bioialfordelige, Y ~ Y ~ ~ Bi(, p) p) p) Sadsylighedsfutio: Bioialfordelige, ~ Bi(, p) YfY ( fy ( ) ( ) ) ppp(1 (1 (1 pp) p) ), 0, 1,,, Sadsylighedsfutio: fy f( Yf( Y) (, ), ), 0, p0, 1, 1, p(1 1, p, (, (1, p ) p ) p ) Middelværdi f Y ( ) (1 ), 0, 1,,, og varias: Sadsylighedsfutio: Middelværdi og og og varias: E(Y) E( Y( Y () Y) ) p og p pv(y) pog og og V ( Y( Y( ) p Y) ) (1 p p) p(1 (1 (1 pp) p) ),, 0, 0, 1, 1,,,,, Sadsylighedsfutio: og E( Y) p og, V ( 0, Y) 1,,, p (1 Fortolig: Y agiver Y Middelværdi agiver atal succeser atal og og bladt succeser varias: EE( Y( Y) ) p p og og VV( Y( Y) ) pp (1 p) p) uafhægige bladt udtræiger uafhægige fra e Middelværdi og varias: E( Y) p og V( Y) p(1 p) Beroullipopulatio, udtræiger fra fra hvor Fortolig: e e e der Beroullipopulatio, ostat Y Y sadsylighed agiver hvor atal p der for succeser er er er ostat i hver bladt udtræig. sadsylighed Fortolig: p p for p for udtræiger succes Y agiver i i i hver fra fra udtræig. fra atal e e e succeser Beroullipopulatio, bladt hvor uafhægige der der der er er ostat uafhægige udtræiger sadsylighed fra e p Beroullipopulatio, p for p for for succes i i i hver udtræig. hvor der er ostat Esepel sadsylighed 6.11: Hvad p er er for er sadsylighede succes i hver for udtræig. for for tre tre tre gage roe i i i esepel Esepel 6.11: Hvad 6.4, er hvor sadsylighede Y Y ~ Y ~ ~ Bi(5, ½)? Esepel for tre 6.11: gage Hvad er roe er er sadsylighede i esepel for for 6.4, for tre tre tre hvor gage Y ~ roe i i i esepel Plat og roe Bi(5, ½)? Esepel , 6.4, 6.11: 6.4, hvor hvor Hvad Y Y ~ Y ~ ~ er Bi(5, sadsylighede ½)? ½)? for tre gage roe i esepel 55 5 () () 6.4, hvor 0,5 Y (1 (1~ (1 Bi(5, 0,5) ½)? 0,15 del Middelværdie og 5 og f () Y variase f() Y () af 0,5 af 0,5 a 0,5 Y er (1 Y er (1 er i i (1 0,5) dette i 0,5) tilfælde: 0,15 5 () 0,5 (1 0,5) 0,15 EY ( ( () ) ) ,5,5 og Middelværdie og og VY ( ( () ) ) 5 og 55 og 0,5 og (1 variase (1 (1 0,5) af af Y 1, af 1, Y er 5 1, Y 5 er 5 i er i i dette tilfælde: Middelværdie og variase a er i dette tilfælde: [Esepel Middelværdie slut] og variase a er i dette tilfælde: EY ( EY ()( ) ) 5 50,5 5 0,5 0,5,5,5,5 og og og VY ( VY ()( ) ) ,5 (1(1 (1 0,5) 0,5) 1, 1, 5 1, 5 5 Esepel EY ( ) 6.1: 5 0,5 Forestil,5 dig, at og at at vi vi vi slut] VY har ( et et ) et selsab 50,5 på på (1 på syv 0,5) persoer. 1, 5 Hvad er er er [Esepel slut] sadsylighede for, at at at to to to af af af de de de syv persoer er er er født på på på e e e adag? Hvis de de de [Esepel slut] syv persoers fødselsdage Esepel er er er uafhægige 6.1: Forestil (altså dig, dig, dig, ige at at vi at har tvilliger har har et et et i i selsabet), i på på syv på syv syv persoer. Hvad er er er Esepel 6.1: Forestil så så så a dig, hver Esepel at vi eelt har perso 6.1: et sadsylighede selsab Forestil ses so på dig, e for, e syv for, e for, udtræig at at persoer. to vi at to har af to af de af et de fra syv de fra selsab fra syv e Hvad syv e e Beroullipopulatio persoer på syv sadsylighede født persoer. født på på e på e Hvad e adag? er Hvis Hvis de de de af af af adagsfødte for, at to af sadsylighede de syv persoer syv og og og for, ie-adagsfødte. født at to på af de e syv adag? persoer p p p Hvis er 1/7 1/7 født å å de på syv e da da da persoers adag? være Fødselsdag på syv syv persoers fødselsdage uafhægige (altså ige fødselsdage variabel er uafhægige (altså ige tvilliger i selsabet), så a hver eelt tvilliger Hvis de i i i selsabet), sadsylighede syv persoers for så for så for at a så at a fødselsdage at a træe hver hver eelt adagsfødt er uafhægige perso ses ses (e ses so succes). (altså so e e ige De udtræig tvilliger stoastise fra fra e fra i selsabet), e e Beroullipopulatio e adag så Y, a Y, Y, der hver af agiver af eelt af adagsfødte perso atallet af ses af af adagsbør so og og og e udtræig ie-adagsfødte. i i i selsabet, fra e er Beroullipopulatio p derfor p p 1/7 1/7 1/7 å å å da da da være perso bioialfordelt ses af so adagsfødte e ed udtræig 7 7 og 7 og og p og p fra p 1/7. ie-adagsfødte. e Dered for Beroullipopulatio bliver sadsylighede at e p af 1/7 adagsfød- for, (e å at at at sadsylighede for for at at træe e e adagsfødt (e (e succes). De være De stoastise to to to persoer i i selsabet i er er er født e e e adag givet ved: sadsylighede variabel for Y, at Y, Y, der træe der der agiver e adagsfødt atallet af af (e af adagsbør succes). De i i stoastise i selsabet, er er derfor variabel 7 7 7Y, der bioialfordelt agiver ed atallet ed 7 af 7 og 7 og adagsbør Populære p og p p 1/7. 1/7. fordeliger Dered i selsabet, bliver sadsylighede er 19 derfor for, for, for, at at at 77 7 ( (( bioialfordelt ) ) ) (1/ to (1/ (1/ 7) 7) 7) ed (1 (1(1 1/ 1/ 1/ 7) i 7) 7) og p 0,198 er 1/7. født Dered e bliver sadsylighede ved: for, at to to persoer i i selsabet er er født e e adag givet ved: to persoer i selsabet er født e adag givet ved: Hvad er er er u u u sadsylighede 7for, 7at 7at at idst to to to har fødselsdag e e e adag? 77 7 Dee sadsylighed ( ( 7er ( er er lig ) lig ) lig ) ed 1 1 (1/ 1 ius (1/ 7) (1/ 7) 7) (1sadsylighede (1/ 1/ 7) 1/ 7) 7) for, 0,198 at at at højest é é é 7 har fødselsdag ( ) e e e adag. (1/ 7) Dvs: ( 1/ 7) 0,198 Hvad er er u er u u sadsylighede for, for, for, at at at idst to to har to har har fødselsdag e e e adag? ( (( ) ) Hvad ) er ( ( u ( Dee sadsylighede 1) 1) 1) ( (( 1) 1) 1) for, er er ( lig ( at er ( lig ed idst lig 0) 0) 0) ed 1 1 to 1 har ius fødselsdag sadsylighede e adag? for, for, for, at at at højest é é é

8 EY Middelværdie ( EY ()( ) ) 5 5 og 0,5 5 og og 0,5 og og,5 variase,5 og og af og a a af er ( Y af VY er Y ( er i () Y er i ) dette i er ) i 5 5i 0,5 5 dette 0,5 (1 tilfælde: (1 (1 0,5) 1, 1, 5 1, 5 5 EY ( ( EY )( EY )( ) ( 5) 5 ) 5 [Esepel 0,5 5 50,5 0,5,5 slut],5 slut] og,5 og og og og VY ( ( () VY () ) ( 5) 5 ) 5 0,5 5 0,5 (1 0,5 (1 (1 (1 0,5) (1 0,5) 1, 1, 5 1, 5 1, 5 1, 5 5 [Esepel slut] slut] slut] 6.1: Forestil dig, dig, at at vi at vi har vi har et et et selsab på på på syv syv persoer. Hvad er er er sadsylighede for, for, at at to at to af to af de af de de syv syv persoer er er født født på på på e e e adag? Hvis de de de Esepel 6.1: 6.1: Forestil dig, dig, at dig, at vi at vi at har vi at har vi har vi har et et har et et et selsab på på på på syv på syv syv persoer. Hvad Hvad er er er er er syv syv persoers fødselsdage er er er uafhægige (altså ige tvilliger i i i selsabet), sadsylighede for, for, for, at for, at for, to at to at af to at af to de af to de af de af de syv de syv syv persoer er født er født på født på på e på e på e e e adag? Hvis de Hvis de de de de så så så a a hver eelt perso ses ses so e e e udtræig fra fra fra e e e Beroullipopulatio syv syv syv persoers fødselsdage er er er er er uafhægige (altså (altså ige ige tvilliger i i i i i selsabet), af af af adagsfødte og og og ie-adagsfødte. p p p 1/7 1/7 å å da da da være så så så så a så a hver a hver eelt eelt perso ses ses so ses so e so e e e e udtræig fra fra fra e fra e fra e e e Beroullipopulatio sadsylighede for for for at at at træe e e e adagsfødt (e (e succes). De De stoastise af af af af af adagsfødte og og og og og ie-adagsfødte. p p p p p 1/7 1/7 1/7 1/7 å 1/7 å å å da å da da da da være være variabel Y, Y, Y, der der agiver atallet af af af adagsbør i i i selsabet, er er er derfor sadsylighede for for for at for at for at at at træe e e e e e adagsfødt (e (e (e (e (e succes). De De De stoastise bioialfordelt ed 7 7 og 7 og og p p p 1/7. 1/7. Dered bliver sadsylighede for, for, at at at variabel Y, Y, Y, der Y, der Y, der der der agiver atallet af af af af af adagsbør i i i i i selsabet, er er er derfor derfor bioialfordelt ed ed 7 7 og 7 og 7 og p 7 og p og p p 1/7. p 1/7. 1/7. Dered bliver bliver sadsylighede for, for, for, for, at at for, at at at to to to to to persoer i i i i i selsabet 77 7er er født er er født e født e e e e adag givet givet ved: ved: ved: 77 7 ( (( ) ) ) (1/ (1/ 7) 7) 7) (1 (1 (1 1/ 1/ 1/ 7) 7) 7) 0, ( ( ( ( ) ( ) ) ) (1/ 7) 1/ 7) Hvad ) er 7) (1 1/ 7) er (1/ 7) (1 1/ 7) 0,198 u (1/ u (1/ 7) 7) (1 (1 1/ 1/ 7) 7) 0,198 sadsylighede for, for, at at at idst to to har to har fødselsdag e e e adag? Dee sadsylighed er er er lig lig lig ed 11 1 ius sadsylighede for, for, at at at højest é é é Hvad Hvad er er er u er u u er u u sadsylighede for, for, for, for, at at for, at at at idst to to har to har to har to har har fødselsdag e e e e e adag? har har fødselsdag e e e adag. Dvs: Dee sadsylighed er er er er lig lig er lig ed lig 1 ed 1 1 ius 1 1 ius sadsylighede for, for, for, for, at at for, at at højest at højest é é é é é har har har har har ( fødselsdag (( ) e ) e ) e 1 e 1 e 1 adag. ( (( Dvs: 1) 1) 1) Dvs: ( (( 1) 1) 1) ( (( 0) 0) 0) te og ie-adagsfødte. p 1/7 å da være sadsylighede for at træe e adagsfødt (e succes). De stoastise variabel Y, der agiver atallet af adagsbør i selsabet, er derfor bioialfordelt ed 7 og p 1/7. Dered bliver sadsylighede for, at to persoer i selsabet er født e adag givet ved: to to to persoer i i i selsabet er er født er født e e e adag givet ved: Hvad er u sadsylighede for, at idst to har fødselsdag e adag? Dee sadsylighed er lig ed 1 ius sadsylighede for, at højest é har fødselsdag e adag. Dvs: ( ( ( ( ) ( ) ) ) 1 ) ( 1 7( ( 7 7 ( 1) ( 1) 1) 1) 1 1) ( 1 ( ( ( 1) ( 1) 1) 1) 1) 7( ( 7 7( ( 0) ( 0) 0) 0) 0) 1 1 (1/ (1/ 7) 7) 7) (1 (1 (1 1/ 1/ 1/ 7) 7) 7) (1/ (1/ 7) 7) 7) (1 (1 (1 1/ 1/ 1/ 7) 7) 7) (1/ 7) 7) (1/ 7) 1/ 7) 1 7) (1 7) 0, 40 0, 6 (1/ 7) (1 7) 1 (1/ 7) (1 1/ 7) (1/ 0, (1/ 7) 7) (1 (1 1/ 1/ 7) 7) 0, ,4 0, 0, 6 06 (1/ (1/ 7) (1/ 7) (1 7) (1 (1 1/ 7) 1/ 7) 7) ,, , 40 0, 40 0, ,4 0,4 6 0, 6 0, 6 0, Beær, at hvis Beroulliesperietet foregår ved, at vi træer fra e edelig populatio, fx udvælger e elev fra e lasse, så betyder atagelse o uafhægighed elle de eelte udtræiger, at vi å træe ed tilbagelægig, for at de eelte udtræiger a blive uafhægige. Dvs. år vi har truet de første elev og observeret, o vedoede er e pige (succes) eller e dreg (fiaso), så å vi lægge persoe tilbage i populatioe, før vi træer ige. I pricippet har vi derfor ulighed for at træe de sae perso to gage. Hvad ville der se, hvis vi ie lagde persoe tilbage? Atag, at de første perso, vi udtræer, er e succes (e pige). Hvis ie vi ie lægger hede tilbage, betyder det, at adele af tilbageværede piger i lasse u er blevet idre. Hvis der fx til at starte ed var 5 piger og 5 drege, så er der u u 4 piger tilbage. Det betyder, at sadsylighede for at træe e pige i ade ogag er blevet idre. De er u u 4/9, hvor de før var 5/. Derfor å vi ræve, at der foregår tilbagelægig af de udtrue eleeter, år vi træer fra e edelig populatio, hvis Y sal være bioialfordelt. Hvis ie vi gør det, så eder vi i stedet i de hypergeoetrise fordelig, so vi sal igge på o et øjebli. 6. De hypergeoetrise fordelig De hypergeoetrise fordelig er tæt relateret til bioialfordelige. De freoer, år a udtræer eleeter til e stiprøve fra e virelig Beroullipopulatio ude tilbagelægig. Dvs. det sae eleet i popula- 140 Idbli i statisti for safudsvidesab

9 Esepel 6.1: Kvalitetsotrol tioe a højst blive udvalgt é gag. Sadsylighede for at træe e succes (eller e fiaso) ædrer sig derfor udervejs, fordi atallet af tilbageværede succeser (og fiasoer) i populatioe ædres, efterhåde so eleetere udvælges. Forestil dig, at at at vi vi vi træer gage ude tilbagelægig fra e e Forestil dig, at vi træer populatio gage ed ude N tilbagelægig eleeter, hvoraf fra e M e populatio er er er succeser og N-M er er er ed populatio N eleeter, ed N hvoraf eleeter, M fiasoer. succeser hvoraf Hvis M vi og vi vi lader N succeser M Y er agive fiasoer. og det N-M Hvis salede er vi lader atal Y succeser i i de i de agive fiasoer. det Hvis salede vi lader atal Y succeser udtræiger, agive det i de salede så så udtræiger, så siges atal Y succeser at at at så være siges i de hypergeoetris Y at være hy- fordelt ed pergeoetris udtræiger, fordelt så siges ed Y paraetree at være, hypergeoetris,, M,, M, og og N. N. Vi fordelt Vi sriver ed da, da, at at at at Y Y ~ ~ Hyp(, M, N). Hyp(, paraetree M, N)., M, og N. Sadsylighedsfutioe Vi sriver da, for at Y, Y dvs. ~ for Hyp(, Y, dvs. M, sadsylighede N). for at for at at at træe træe Sadsylighedsfutioe succeser i de forsøg, succeser Y, er dvs. i givet i de i de sadsylighede i forsøg, de følgede er er er givet for i bos: i i de at træe følgede bos: succeser i de forsøg, er givet i de følgede bos: Hypergeoetris fordelig, Y ~ Hyp(, M, N) Hypergeoetris fordelig, fordelig, Y ~ Hyp(, Y ~ Hyp(, M, N) M, N) M N M MN M fy ( ) f Y ( ) f Y ( ) Sadsylighedsfutio: fy ( ), 0, 1,,, N M N Sadsylighedsfutio:,,, 0, 0, 0, 1, 1, 1,,,,, M Sadsylighedsfutio: Middelværdi, 0, 1,,, og M varias: Middelværdi og varias: Middelværdi og varias: ( () ) M ( () ) M N M N E ( Y ) og V ( Y ) M M N M N E( Y ) og V ( Y ) N N N N 1 N N N N 1 Fortolig: Y agiver atal Fortolig: succeser i udtræiger Y agiver ude atal tilbagelægig succeser i i i fra udtræiger e ude Fortolig: virelig Beroullipopulatio Y agiver tilbagelægig atal ed N succeser eleeter, fra i e e heraf virelig udtræiger M ed Beroullipopulatio egesabe ude succes. ed N eleeter, tilbagelægig fra e virelig heraf Beroullipopulatio M ed egesabe ed succes. N eleeter, heraf M ed egesabe succes. Beær, at vi aldrig a træe Beær, ere at at at vi vi vi ed aldrig M succeser a træe (atallet ere ed af succeser M succeser i (atallet af af af populatioe). Beær, vi Derfor aldrig a er succeser sadsylighede træe i ere i i populatioe). ed for M succeser Y Derfor > M lig er (atallet er er ed sadsylighede ul. af Beær for Y>M lig ed succeser i populatioe). Derfor er sadsylighede for Y>M lig ed også, at M/N er adele af ul. succeser Beær i populatioe også, M/N til er er er at adele begyde af af af succeser ed. Hvis i i i populatioe vi til til til at at at ul. Beær også, at M/N er adele af succeser i populatioe til at derfor i stedet havde truet begyde ed tilbagelægig, ed. Hvis vi vi ville derfor Y være i i bioialfordelt i stedet havde truet ed begyde ed. Hvis vi tilbagelægig, derfor i stedet ville Y havde være bioialfordelt truet ed ed p M/N. ed p M/N. tilbagelægig, ville Y være De bioialfordelt hypergeoetrise ed p fordelig M/N. a a bruge i i i forbidelse ed fx fx fx De hypergeoetrise fordelig a a bruge i forbidelse ed fx e De hypergeoetrise fordelig e e valitetsotrol. a a bruge Det i æste forbidelse esepel ed illustrerer fx dette: valitetsotrol. e valitetsotrol. Det Det æste æste esepel esepel illustrerer illustrerer dette: dette: Esepel 6.1: Lad os os os atage, at at at e e virsohed har produceret N Esepel 6.1: Lad os atage, asier, at e hvoraf virsohed M er har er er defete. produceret Virsohede N ved dog ie, at at at tre af af af asiere er er er defete. Da valitetsotrol er er er ostbart, besteer virsohede at at at udvælge tre asier, so de tester for defeter. Lad Y være atallet af af af succeser (her defete asier) i i de i de tre udtræiger. Da udtræige ser ude tilbagelægig (der er er er ige idé i i at i at at udersøge de sae asie to to to gage), så så så er er er Y hypergeoetris fordelt ed E asier, virsohed hvoraf har M produceret defete. N Virsohede asier, ved dog hvoraf ie, M at tre af er defete. Virsohede asiere er ved defete. dog ie, Da valitetsotrol at tre af asiere ostbart, er defete. besteer Da valitetsotrol er ostbart, besteer virsohede at udvælge tre asier, so virsohede at udvælge tre asier, so de tester for defeter. Lad Y være atallet af succeser (her defete asier) i de tre udtræiger. Da de udtræige tester for ser defeter. ude tilbagelægig Lad Y være atallet (der er ige af succeser idé i at udersøge (her defete de asier) i sae de tre udtræiger. asie to gage), Da udtræige så er Y hypergeoetris ser ude tilbagelægig fordelt ed (der er ige idé i at udersøge de sae asie to gage), så er Y hypergeoetris fordelt ed paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er: Populære fordeliger 141

10 14 Idbli i statisti for safudsvidesab paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ieforældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y~Hyp(4,7,19). De forvetede værdi a er da ( ) / 4 7 /19 1, 47 E Y M N. Vi sal u berege P(Y>1). Dee sadsylighed å være lig ed 1-P(Y1)-P(Y0): ! 1! 7! !1! 1! 6! 7! 0! 1 ( 1) ( 0) ! ! 1! 7 7 0,475 Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. Dered er sadsylighede 1 0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ie-forældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y ~ Hyp(4, 7, 19). De forvetede værdi a er da E(Y) M/N 4 7/19 1,47. Vi sal u berege P(Y > 1). Dee sadsylighed å være lig ed 1 P(Y 1) P(Y 0): 1 P(Y 1) P(Y 0) ! 1! 7! 1! ! 1! 9! 0! 8! 4! 1 1 0, ! 19! ! 4! 15! 4! Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ieforældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y~Hyp(4,7,19). De forvetede værdi a er da ( ) / 4 7 /19 1, 47 E Y M N. Vi sal u berege P(Y>1). Dee sadsylighed å være lig ed 1-P(Y1)-P(Y0): ! 1! 7! !1! 1! 6! 7! 0! 1 ( 1) ( 0) ! ! 1! 7 7 0,475 Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ieforældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y~Hyp(4,7,19). De forvetede værdi a er da ( ) / 4 7 /19 1, 47 E Y M N. Vi sal u berege P(Y>1). Dee sadsylighed å være lig ed 1-P(Y1)-P(Y0): ! 1! 7! !1! 1! 6! 7! 0! 1 ( 1) ( 0) ! ! 1! 7 7 0,475 Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ieforældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y~Hyp(4,7,19). De forvetede værdi a er da ( ) / 4 7 /19 1, 47 E Y M N. Vi sal u berege P(Y>1). Dee sadsylighed å være lig ed 1-P(Y1)-P(Y0): ! 1! 7! !1! 1! 6! 7! 0! 1 ( 1) ( 0) ! ! 1! 7 7 0,475 Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ieforældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y~Hyp(4,7,19). De forvetede værdi a er da ( ) / 4 7 /19 1, 47 E Y M N. Vi sal u berege P(Y>1). Dee sadsylighed å være lig ed 1-P(Y1)-P(Y0): ! 1! 7! !1! 1! 6! 7! 0! 1 ( 1) ( 0) ! ! 1! 7 7 0,475 Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ieforældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y~Hyp(4,7,19). De forvetede værdi a er da ( ) / 4 7 /19 1, 47 E Y M N. Vi sal u berege P(Y>1). Dee sadsylighed å være lig ed 1-P(Y1)-P(Y0): ! 1! 7! !1! 1! 6! 7! 0! 1 ( 1) ( 0) ! ! 1! 7 7 0,475 Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ieforældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y~Hyp(4,7,19). De forvetede værdi a er da ( ) / 4 7 /19 1, 47 E Y M N. Vi sal u berege P(Y>1). Dee sadsylighed å være lig ed 1-P(Y1)-P(Y0): ! 1! 7! !1! 1! 6! 7! 0! 1 ( 1) ( 0) ! ! 1! 7 7 0,475 Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ieforældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y~Hyp(4,7,19). De forvetede værdi a er da ( ) / 4 7 /19 1, 47 E Y M N. Vi sal u berege P(Y>1). Dee sadsylighed å være lig ed 1-P(Y1)-P(Y0): ! 1! !1! 1! 6! 1 ( 1) ( 0) ! ,475 Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ieforældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y~Hyp(4,7,19). De forvetede værdi a er da ( ) / 4 7 /19 1, 47 E Y M N. Vi sal u berege P(Y>1). Dee sadsylighed å være lig ed 1-P(Y1)-P(Y0): ! 1! !1! 1! 6! 7! 1 ( 1) ( 0) ! ! 1! 7 7 0,475 Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ieforældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y~Hyp(4,7,19). De forvetede værdi a er da ( ) / 4 7 /19 1, 47 E Y M N. Vi sal u berege P(Y>1). Dee sadsylighed å være lig ed 1-P(Y1)-P(Y0): ! 1! 7! !1! 1! 6! 7! 0! 1 ( 1) ( 0) ! ! 1! 7 7 0,475 Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ieforældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y~Hyp(4,7,19). De forvetede værdi a er da ( ) / 4 7 /19 1, 47 E Y M N. Vi sal u berege P(Y>1). Dee sadsylighed å være lig ed 1-P(Y1)-P(Y0): ! 1! 7! !1! 1! 6! 7! 0! 1 ( 1) ( 0) ! ! 1! 7 7 0,475 Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ieforældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y~Hyp(4,7,19). De forvetede værdi a er da ( ) / 4 7 /19 1, 47 E Y M N. Vi sal u berege P(Y>1). Dee sadsylighed å være lig ed 1-P(Y1)-P(Y0): ! 1! 7! !1! 1! 6! 7! 0! 1 ( 1) ( 0) ! ! 1! 7 7 0,475 Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. På vagt juleafte paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt

11 6.4 Poissofordelige Bioialfordelige og de hypergeoetrise fordelig freoer, år a tager e stiprøve fra e Beroullipopulatio og udersøger sadsylighede for at få et bestet atal successer. Dette ue fx være e situatio, hvor vi spørger ogle eeser på gade, o de steer ja (X i 1) eller ej (X i 0) til e oede afsteig. Det ue også være, at vi spurgte o de steer (X i 1) eller ie steer (X i 0) ved det foreståede valg, eller o de er gift (X i 1) eller ie gift (X i 0). De stoastise variabel, Y, der agiver atallet af ja-steer i et sådat esperiet, Y X 1 + X + + X, er bioialfordelt, hvis udtræigere er uafhægige, og hypergeoetris fordelt, hvis udtræigere er ude tilbagelægig og dered afhægige. Forstil dig u, at vi er iteresserede i at lave e odel for, hvor age uder, der oer id i e buti. Vi observerer derfor e buti i tier og lader de stoastise variabel, X 1, atage værdie 1, hvis der oer uder id i butie i løbet af de første tie, og værdie 0, hvis der ie gør det. Tilsvarede agiver X, o der oer uder id i løbet af de ade tie. Hvis vi lader Y være lig ed X 1 + X + + X, er Y så bioialfordelt? Ja, hvis: i) udtræigere er uafhægige, dvs. hvis der oer uder i e give tie, så påvirer det ie sadsylighede for uder i de efterfølgede tier; og ii) hvis sadsylighede for at observere uder i hver af de tier er de sae. I så fald er Y bioialfordelt ed og p lig ed sadsylighede for, at der oer uder i løbet af e give tie. Det ue åse være ere iteressat at odellere det salede atal uder i løbet af de tier. Probleet ed bioialodelle er, at X 1 atager værdie 1, uaset o der oer 1 eller 0 uder id i butie de første tie. Dette ue a åse løse ved at for orte tidsitervallere. I stedet for at observere, o der oer uder i løbet af e tie, ue vi lave e observatio hvert iut. Hvis tidsitervallet var et iut, og vi stadig betragtede butie i tier, ville vi træe 600 ( 60 ) gage i stedet for gage fra Beroullipopulatioe. Stadig å vi atage, at udtræigere er uafhægige, og at sadsylighede for at observere uder er de sae i alle 600 tidsitervaller. Naturligvis er sadsylighede for at observere uder i et givet tidsiterval u blevet idre, således at der også er idre risio for at observere ere ed é ude pr. tidsiterval. Dered vil værdie a også være tættere på at agive det fatise atal uder, der oer id i forretige. Der er dog stadig e vis risio for, at ere ed é ude oer id i butie ide for et givet tidsiterval. Hvis vi iidlertid fortsætter ed at Populære fordeliger 14

12 tidsiterval. Dered vil vil værdie af a også være tættere på på at at agive det det fatise atal uder, der oer id i i forretige. Der er er dog stadig e e vis vis risio for, at at ere ed é é ude oer id butie ide for for det det give tidsiterval. Hvis vi vi iidlertid fortsætte ed at at idse tidsitervallere, idtil de de bliver uedeligt så, så så viv idse tidsitervallere, idtil dee de risio bliver til til uedeligt sidst forsvide. så, så vil Sadsylighede dee risio til for, at at der oe sidst forsvide. Sadsylighede ere for, ed at é é der ude oer id ere i i butie ed é ude i i løbet id af af i et et uedeligt lille butie i løbet af et uedeligt tidsiterval, lille tidsiterval, bliver ul. bliver Dered ul. Dered bliver Y bliver også lig Y lig ed sue a også lig ed sue af uder uder i løbet i i løbet af de af af de de tier. Fordi tier. tidsitervallere Fordi tidsitervallere er er bleve er blevet uedeligt så, å uedeligt vi have uedeligt så, å å vi age vi have tidsitervaller, uedeligt age dvs. tidsitervaller, vi å dvs. vi vi å træe uedeligt age gage, træe for uedeligt at de sal age dæe gage, de for for tier. at at de de Det sal bliver dæe de de tier. De D derfor eget besværligt (uuligt) bliver at derfor rege på eget Y s sadsylighedsfutio besværligt (uuligt) fra at at rege på på Y s Y bioialfordelige. Heldigvis sadsylighedsfutio viser det sig, at sadsylighedsfutioe, fra fra bioialfordelige. Heldigvis viser de d dvs. sadsylighede for at observere uder i løbet af de tier, u a sig, at at sadsylighedsfutioe, dvs. sadsylighede for for a srives so: observere uder i i løbet af af de de tier, u u a srives so: λλ λ λ PP( Y( Y ) ) e e!! hvor λ λ er er det det forvetede atal uder i i løbet af af de de tier. I I dette hvor λ er det forvetede atal uder i løbet af de tier. I dette tilfælde tilfælde siger a, at at Y er er Poissofordelt ed paraetere λ. λ. E E siger a, at Y er Poissofordelt ed paraetere λ. E Poissofordelt variabel agiver altså atallet af Poissofordelt begiveheder (fx variabel uder) agiver i løbet af altså et tidsiterval atallet af af begiveheder (fx ( (fx tier). uder) i i løbet af af et et tidsiterval (fx (fx tier). Ma a således opfatte Ma e Poissofordelt a således opfatte variabel, e e Y, Poissofordelt so atallet variabel af succeser, hvis a igee e succeser, Y, Y, so atallet a tidsperiode hvis træer a igee otiuerligt e e tidsperiode (uafbrudt) fra træer otiuerlig e Beroullipopulatio og (uafbrudt) til sidst lægger fra fra e e atallet Beroullipopulatio af succeser og (hædelser) og til til sidst lægger atallet a sae. Dette er da værdie succeser a. Alterativt (hædelser) a sae. a opfatte Dette det er er da so da værdie e situatio, hvor a træer a af a. Y. Alterativ é gag a fra opfatte e det superpopulatio det so e e situatio, beståede hvor a af forsellige hædelsesatal. Dvs. a træer fx eleetet uder på ti- træer é é gag fra fra ee er. Y er da lig ed. So det forhåbetlig fregår af det oveståede, så er der ogle uderliggede atagelser, so sal være opfyldt, for at vi a odellere e situatio ved hjælp af Poissofordelige. Disse er følgede: i) atallet af hædelser i ie-overlappede tidsitervaller sal være uafhægige (atallet af uder i de ee tie sal være uafhægigt af atallet af uder i de ade tie osv.). ii) sadsylighedere i to lige lage itervaller sal være es (dvs. sae sadsylighed for at observere uder i hver tie). iii) sadsylighede for ere ed é hædelse i et eget ort tidsiterval sal være ul. Esepel 6.15: E hjeeside E iteretvirsohed ved, at der i geesit er fe hits pr. tie på des hjeeside. I forbidelse ed lacerige af et yt produt øser de at berege sadsylighede for, at de år ud til idst uder via des hjeeside i de første tie. Ka de bruge Poissofordelige til dette? 144 Idbli i statisti for safudsvidesab

13 iii) iii) sadsylighede for for ere ed ed é é hædelse i et i et eget ort tidsiterval sal sal være være ul. ul. Esepel 6.15: 6.15: E E iteretvirsohed ved, ved, at at der der i i geesit er er fire fire hits hit pr. pr. tie tie på på des des hjeeside. I I forbidelse ed ed lacerige af af et et yt yt produt øser de de at at berege sadsylighede for, for, at at de de år år ud ud til til idst 1 uder via via des des hjeeside i i de de første tie. tie. Ka Ka de de bruge Poissofordelige til til dette? Det Det ræver, at at a a ed ed rielighed a atage: i) at i) at atallet af af hits hits i i ie-overlappede tidsitervaller er uafhægige; ii) ii) at at sadsylighedere for for hits hits i to i to lige lige lage tidsitervaller er de de sae; og o iii) iii) sadsylighede for for ere ere ed ed ét ét hit hit i et i et eget ort ort tidsiterval er ul. ul. Det ræver, at a ed rielighed a atage: i) at atallet af hits i ieoverlappede tidsitervaller er uafhægige; ii) at sadsylighedere for hits i to lige lage tidsitervaller er de sae; og iii) sadsylighede for ere ed ét hit i et eget ort tidsiterval er ul. Virsohede vurderer, at dette er rielige atagelser, og at atallet af hits derfor er Poissofordelt. Da det forvetede atal hits pr. tie er 5, er dette værdie af λ. Sadsylighede for præcis hits i løbet af de første tie efter lacerige a da bereges so: Virsohede vurderer, at at dette dette er er rielige atagelser, og og at at atallet af a hits hits derfor er er Poissofordelt. Da Da det det forvetede atal atal hits hits pr. pr. tie tie er er 4, 4, er e dette dette værdie af af λ. λ. Sadsylighede for for præcis hits hits i løbet i løbet af af de de første tie tie efter efter lacerige a a da da bereges so: so: ( ) e 5 ( ) e 0,018!! For For at at få få sadsylighede for for idst uder sal sal vi vi hertil hertil lægge For at få sadsylighede for sadsylighede idst uder for for sal uder, vi hertil sadsylighede lægge sadsylighede for 11 uder, sadsylighede Alterativt a for a 1 uder vi vi osv. Alterativt udrege a P(Y ) so so for for 1 1 uder, osv. osv vi udrege P(Y ) so 1 1 ( P(Y ( 9) 9) ( P(Y ( 8) 8) ( ( P(Y 0) 0) 0). Til sidst i.. Til Til sidst sidst i i apitlet sal sal vi vi se, se apitlet sal vi se, hvorledes hvorledes dee sadsylighed dee sadsylighed hurtigt hurtigt a a udreges a udreges i Ex-cel. slut] i Excel. [Esepel slut] Vi opsuerer Poissofordelige i følgede bos: Vi opsuerer Poissofordelige i følgede bos: Poissofordelige, Y ~ Poi(λ) λ λ Sadsylighedsfutio: P( Y () e e λ, 0, 1,, Sadsylighedsfutio:!, 0, 1,, Middelværdi og og varias: varias: E( YE(Y) ) λ λ og og V(Y) V ( Y ) λ Fortolig: Fortolig: Y agiver Y agiver atal atal hædelser hædelser i e i e tidsperiode, tidsperiode, hvor: hvor: λ er det λ er forvetede det forvetede atal atal hædelser hædelser hædelser hædelser i i ie-overlappede tidsitervaller uafhægige er uafhægige sadsylighedere sadsylighedere i to lige i to lage lige lage itervaller itervaller es er es sadsylighede sadsylighede for ere for ere ed é ed hædelse é hædelse i et eget i et eget ort ort tidsiterval tidsiterval er ul. er ul. Esepel 6.16: Bestillig af pizzaer Esepel 6.16: Et pizzeria får i geesit tre bestilliger pr. varter. Det Et pizzeria får i geesit tre bestilliger pr. varter. Det har lovet udere, til at leverig. pizzae Dette er gratis, vil se, hvis hvis der der går i et ere givet varter ed et oer varter ere fra bestillig til har lovet udere, at pizzae er gratis, hvis der går ere ed et varter fra bestillig ed leverig. fe bestilliger. Dette vil Derfor se, hvis øser der pizzeriaejere i et givet varter at berege oer risioe ere for ed fe bestilliger. Hvis vi Derfor atager, øser at Y agiver pizzeriaejere atallet af pizzabestilliger at berege risioe i et varter, for og dette. Hvis vi dette. at atager, Y følger at Y agiver e Poissofordelig, atallet af pizzabestilliger så vil λ. i et Dered varter, bliver og at Y følger e sadsylighedere heholdsvis 0, 1,,, 4, og 5 bestilliger: Poissofordelig, så er λ. Dered bliver sadsylighedere for heholdsvis 0, 1,,, 4 og 5 bestilliger: 0 ( 0) e 0,050, ( 1) e 0,144, ( ) e 0,4, 0! 1!! 4 5 Populære fordeliger ( ) e 0, 4, ( 4) e 0,168, ( 5) e 0,1, 145! 4! 5! Og sadsylighede for ere ed 6 bestilliger a da bereges so:

14 ed fe bestilliger. Derfor øser pizzeriaejere at at berege risioe for for dette. Hvis vi atager, at at Y Y agiver atallet af af pizzabestilliger i et i i et varter, og og at at Y Y følger e e Poissofordelig, så så vil vil λ λ.. Dered bliver sadsylighedere for for heholdsvis 0, 0, 1, 1,,,,, 4, 4, og og 5 5 bestilliger: ( ( 0) 0) e e 0,050, ( ( 1) 1) e e 0,149, 0,144, ( ( ) ) e e 0,4, 0! 0! 1! 1!!! ( ( ) ) e e 0, 0, 4, ( ( 4) 4) e e 0,168, ( ( 5) 5) e e 0,1,!! 4! 4! 5! 5! Og sadsylighede for ere ed 5 bestilliger a da bereges so: Og Og sadsylighede for for ere ed 6 6 bestilliger a da da bereges so: P(Y 6) 1 P(Y 0) P(Y 1) P(Y ) P(Y ) P(Y 4) ( ( P(Y 6) 6) 1 5) 1 ( ( 1 0) 0,050 0) ( ( 0,149 1) 1) ( 0,4 ( ) ) 0,4 ( ( ) ) 0,168 ( ( 4) 0,1 4) ( ( 0,084 5) 5) 1 1 0,050 0,144 0, 0, 4 0, 0, 4 0,168 0,1 0,089 Der er således 8,4% sadsylighed for, at ejere i et givet varter å aflevere gratis Der er pizza. er således 8,9% sadsylighed for, for, at at ejere i i et i et givet varter å å aflevere idst e e pizza gratis. [Esepel slut] 6.5 Noralfordelige Fordeligere i afsit 6.1 til er alle Noralfordelige disrete fordeliger, hvor de stoastise variabel u a atage et tælleligt Fordeligere atal i i værdier. i i afsit til Noralfordelige, 6.1 til 6.4 til 6.4 til 6.4 er 6.4 er er alle er alle disrete so fordeliger, hvor hvor de ded vi u sal se på, er deriod e fordelig stoastise for variabel e otiuert u u a a stoastis atage et et variabel. et et tælleligt atal atal værdier. Noralfordelige har opået Noralfordelige, si popularitet af so to so vi årsager. vi u vi u vi u sal u For sal se se på, det se på, se på, er første på, er deriod har e e e e fordelig for fo age aturlige størrelser i e e virelige e e otiuert populatioer stoastis e variabel. fordelig, Noralfordelige so liger har har har har opået si si sis oralfordelige, og for det adet, popularitet so af af to af to vi af to sal to årsager. se i For de For det efterfølgede det det det første har har har har apitler, age aturlige størrelser i i er age estiatorer og teststatistier virelige oralfordelte. populatioer e e e e fordelig, so so liger oralfordelige, og og o for for for det for det adet, so so vi vi vi sal vi sal se se i se i se de de i i efterfølgede apitler, er age er estiatorer og og og og teststatistier oralfordelte. Noralfordelige, Y ~ N(µ, σ ) Noralfordelige, YY~ ~ Y YN ~ ( ~ ( N, µσ (,( µσ,),) )) E otiuert stoastis variabel, E E E E Y, otiuert oralfordelt, stoastis hvis variabel de har Y tæthedsfutio: tæthedsfutioe: er Y er er er oralfordelt, hvis hvis de de har har hah f ( f y( ) fy )( f y( ) y) ee ee, πσ π, πσ σ πσ * πσ 11y y µ µ 1 y y µ µ σ σ σ σ hvor hvor µ µ µ µ E(Y) E(Y) er er er er iddelværdie og og σ og σ og σ σ V(Y) V(Y) er er er er variase. hvor µ E(Y) er iddelværdie, og σ V(Y) er variase. Tæthedsfutioe for e oralfordelt Tæthedsfutioe variabel, for for for e for Y, e e er e illustreret oralfordelt i figur variabel 6. Y er Y er illustreret i i for forsellige værdier af µ og Figur σ Figur. 6. Ma for 6. for a se forsellige i figure, værdier at grafe µ µ af og for og µ µ σ og tæthedsfutioe afhæger af både µ grafe og σfor. for Middelværdie for tæthedsfutioe ligger idt afhæger i grafe, både både µ µ µ og µ og og og σσ.. σ σog.. σvi σ Vi.. Vi a Vi a se se i se i se i i figure, at at a hvor tæthedsfutioe atager Middelværdie de største værdi. ligger idt Hvis idt i i iddelværdie, i i grafe, hvor hvor tæthedsfutioe µ, er atager høj, så ligger grafe lægere til de højre. de største Der vil værdi. da Hvis være Hvis større iddelværdie, sadsylighed µ, µ, er µ, er µ, er høj, for er høj, så så så så ligger grafe at få større værdier a. Hvis variase lægere til til til til er højre. høj, Der så Der vil vil har vil vil grafe derfor være tyere være større haler, sadsylighed for for for at for at få at få atf dvs. der er større sadsylighed større for at værdier få værdier af a. a. a. af Hvis Y. Y, Hvis so variase ligger er er lagt er høj, er høj, væ så så har så har fra så har har grafe tyere iddelværdie. haler, dvs. dvs. der der der der er er større sadsylighed for for for at for at få at få at få få værdier af a, a, a, so Y, so s ligger lagt lagt væ væ fra fra fra fra iddelværdie. 146 Idbli i statisti for safudsvidesab Figur Figur Tæthedsfutioer for for oralfordelte variabler [Figur i 5. i IIS, i i IIS, side side 95] 95] Hvorda fider vi vi vi vi sadsyligheder i i i i oralfordelige? Hvis H Y ~ YYN ~ ~ ( N µσ (,( µσ,,), ) så, ), så er så er er sadsylighede for for for at at få at få e få e e værdi af a, a, so Y, so er e Y ~ N ( µσ, ), så er sadsylighede for at få e værdi a, so er

15 Figur 6. Tæthedsfutioer for oralfordelte variabler µ 1, σ 0, 0, 0,1 f(y) µ, σ y Hvorda fider vi sadsyligheder i oralfordelige? Hvis Y ~ N(µ, σ ), så er sadsylighede for at få e værdi a, so er idre ed eller lig ed y, givet ved F(y), hvor F er de uulative sadsylighedsfutio for Y. Grafis set er F(y) lig ed arealet uder tæthedsfutioe til vestre for y so illustreret i figur 6.. Figur 6. Kuulativ sadsylighed i e oralfordelig 0, 0, f(y) µ 1, σ 0,1 F(y 1 ) y 1 y Det er oplagt, at dette areal vil afhæge af størrelsere af µ og σ. Hvis µ er høj, vil arealet være idre. E højere iddelværdi gør det idre sadsyligt at observere e lav værdi a. Arealet, dvs. de uulative sadsylighedsfutio, a udreges ved at itegrere tæthedsfutioe. Dette er desværre uuligt, da der ie esisterer et aalytis udtry for F(y), år Y er Populære fordeliger 147

16 oralfordelt. Ved brug af coputersiulatioer a a dog for give værdier af µ og σ siulere sadsylighede for, at Y vil atage e værdi idre ed y. Det er dog stadig ie e særlig pratis løsig i age situatioer. Heldigvis a a udrege de uulative sadsyligheder for ehver oralfordelig ud fra de oralfordelig, so har iddelværdi µ 0 og varias σ 1. Dee specifie oralfordelig, N(0, 1), aldes stadardoralfordelige. De er så vigtig, at des uulative sadsylighedsfutio har fået et specielt sybol, Φ(z), og tilsvarede har des tæthedsfutio fået betegelse φ(z). De uulative sadsylighedsfutio, Φ(z), er desude tabuleret i tabel 1 bagerst i boge for udvalgte værdier af z. De æste to esepler viser, hvorda a a bruge tabelle til at fide sadsyligheder i stadardoralfordelige. Esepel 6.17: Tabelopslag 1 Tabel 5. Udsit af sadsylighedstabel 1 Lad Z være stadardoralfordelt, dvs Z ~ N(0, 1). Fid sadsylighede for, at Z er idre ed,6. Vi sal altså fide Φ(z), hvor z,6. I tabel 1 bagerst i boge agiver det første tal i hver ræe værdie af z til og ed 1. decial, hvoriod det første tal i hver oloe agiver de. decial af z. Vi sal derfor fide de værdi i tabelle, der står ud for ræe ed,6 og oloe ed. Her fider vi værdie 0,0044. Sadsylighede for e værdi af Z idre ed,6 er derfor 0,0044. z 0,0 0,001 0,001 0,001,9 0,0019 0,0018 0,0018,8 0,006 0,005 0,004,7 0,005 0,004 0,00,6 0,0047 0,0045 0,0044,5 0,006 0,0060 0,0059 Esepel 6.18: Tabelopslag Fid P(Z > 1,06), år Z er stadardoralfordelt. Fra tabel 1 fider vi, at P(Z 1,06) Φ(1,06) 0,8554. Sadsylighede for, at Z er større ed 1,06, er da: P(Z>1,06) 1 Φ(1,06) 1 0,8554 0,1446. Når det u er uligt at fide sadsyligheder for stadardoralfordelige, agler vi blot at etablere saehæge elle stadardoralfordelige og alle de adre oralfordeliger. Dee saehæg fider a ved 148 Idbli i statisti for safudsvidesab

17 P(Z>1,06) 1 - Φ(1, 06) 1 0,8554 0,1446. [Esepel slut] Når det u er uligt at fide sadsyligheder for stad oralfordelige, agler vi blot at etablere saehæ elle stadard-oralfordelige og alle de a stadardiserig. Stadardiserig ædrer oralfordeliger. e stoastis Dee variabel saehæg ed iddelværdi µ og varias σ til e y stoastis stadardiserig. variabel ed Stadardiserig iddelværdi ædrer 0 og vari- e stoastis variabel fider a as 1. Hvis de opridelige stoastise iddelværdi variabel µ er og oralfordelt, varias σ til så e vil y de stoastis variabel ye stoastise variabel også være iddelværdi oralfordelt, 0 og e varias u ed 1. Hvis iddelværdi de opridelige 0 stoastise vari og varias 1: er oralfordelt, så vil de ye stoastise variabel også v oralfordelt, e u ed iddelværdi 0 og varias 1: Stadardiserig af e stoastis variabel Stadardiserig af e stoastis variabel De stoastise variabel, Y, ed iddelværdi De stoastise E(Y) variabel µ og varias Y ed V(Y) iddelværdi σ E(Y) µ og var stadardiseres ved at udrege: V(Y) σ stadardiseres ved at udrege: Y µ Z σ. Z bliver da e stoastis variabel ed iddelværdi E(Z) 0 Z bliver da e stoastis variabel ed iddelværdi E(Z) 0 og varias V(Z) 1. varias V(Z) 1. Specielt for oralfordelige: Hvis Y ~ N(µ, σ ), så er Z ~ N(0, 1). Specielt for oralfordelige: Hvis Y ~ N ( µσ, ), så er Z ~ N(0 Det følgede esepel viser, hvorda Det følgede vi a bruge esepel stadardiserig viser, hvorda til vi at a udrege sadsyligheder for e oralfordelt at udrege sadsyligheder variabel: for e oralfordelt bruge stadardiseri variabel: Esepel 6.19: Lad Y ~ N(, 4). Vi sal fide sadsylighede Esepel P(Y 8). 6.19: Lad Y ~ N(, 4). Vi sal fide sa Esepel 6.19: Lad Dette Y gøres ~ N(, ved hjælp 4). Vi af sal stadardiserig: fide sadsylighede P(Y 8). Dette gøres ved Dette gøres ved hjælp af stadardiserig: Esepel 6.19: Stadardiserig Esepel Lad Y ~ 6.19: N(, hjælp Lad 4). Y af Vi ~ stadardiserig: sal N(, fide 4). sadsylighede Vi sal fide sadsylighede P(Y 8). P(Y 8). Dette gøres ved Dette hjælp gøres af stadardiserig: ved hjælp af stadardiserig: Y 8 Y ( 8) ( 8 ) P P 1 PZ ( 1) Y 8 ( 8) ( 8 ) P Φ ( Y1) 8 Y Y8 Y ( 8) ( ( 8) 8 ( ) P 8 ) P P P1 PZ ( 1) PZ 1) Φ ( hvor vi udytter, at vi gere å træe det sae tal (iddelværdie ) Φ ( 1) Φ ( 1) hvor vi udytter, at vi gere å træe det sae fra og dividere ed det sae tal (stadardafvigelse ) fra på og begge dividere sider ed af det sae tal (stadardafvigelse hvor vi udytter, hvor at vi vi udytter, gere hvor å et at træe ulighedsteg. vi vi gere udytter, det å sae træe Fordi at tal Y vi det er (iddelværdie gere sae oralfordelt å tal træe (iddelværdie ) ed iddelværdi det sae ) et ulighedsteg. tal og (iddelværdie varias Fordi 4, Y er oralfordelt ) ed iddelv fra og dividere fra ed og dividere det sae ed så tal det å (stadardafvigelse sae variable tal (stadardafvigelse Z (Y-)/ ) på begge være sider ) stadard-oralfordelt på af begge sider ifølge bose fra og dividere ed det sae tal (stadardafvigelse så af å ) variable på begge Z sider (Y-)/ af et være stadard-ora et ulighedsteg. et ulighedsteg. Fordi Y er oralfordelt Fordi ovefor. Y er Dered oralfordelt iddelværdi a vi ed slå de iddelværdi og sidste varias sadsylighed 4, og varias op ovefor. 4, i tabel Dered 1. Vi fider a vi slå de sidste sadsylighed så å variable så å Z variable (Y-)/ ulighedsteg. Z være (Y-)/ stadard-oralfordelt således, at ( være Fordi 8) stadard-oralfordelt Φ Y er ( oralfordelt 1) ifølge 0,1587 bose ifølge ed bose iddelværdi og varias 4, så. [Esepel slut] ovefor. Dered ovefor. a vi Dered slå de å a sidste variable vi slå sadsylighed de Z sidste (Y sadsylighed op )/ i tabel være 1. Vi op stadardoralfordelt fider i tabel 1. Vi fider således, at ( 8) Φ ( 1) 0,1587 ifølge bose ovefor. Sadsylighede Dered a for, at stoastise variabel Y atager e værdi. [Esepel s således, at ( således, 8) Φ at ( ( 1) 8) 0,1587 Φ (. 1) [Esepel idre ed a 0,1587 vi slut] slå. [Esepel de sidste slut] sadsylighed Sadsylighede op i tabel 1. Vi for, fider at de såle-stoastisdes, at P(Y 8), er Φ( 1) altså de 0,1587. sae so sadsylighede idre ed for, at de variabel Sadsylighede Sadsylighede for, at de stoastise for, at de variabel stoastise Y atager variabel e Y værdi atager e værdi a, er stadardiserede variabel Z (Y-µ)/σ atager e værdi idre ed ( a altså de sae so sadsy - idre ed idre a, er altså ed de a, er sae altså so de sae sadsylighede so sadsylighede for, at de for, at de stadardiserede variabel Z (Y-µ)/σ atager e v µ)/σ, og dee sadsylighed a fides ved at bruge tabel 1 for stadardiserede stadardiserede variabel Z variabel (Y-µ)/σ Z atager (Y-µ)/σ e værdi atager idre e værdi ed ( idre Sadsylighede stadard-oralfordelige. a - ed ( a µ)/σ, - og dee sadsylighed a fides ved a µ)/σ, og dee sadsylighed for, at de stoastise variabel, stadard-oralfordelige. µ)/σ, og dee Y, atager e værdi idre Lad sadsylighed a os opsuere fides ved a teie at fides bruge ved tabel i e at bos: bruge 1 for tabel 1 for stadard-oralfordelige. ed a, er altså de sae so sadsylighede Lad for, os at opsuere de stadardiserede teie i e bos: stadard-oralfordelige. Sadsyligheder i oralfordelige: Lad os opsuere teie variabel, i e bos: Z (Y µ)/σ, atager e værdi idre Sadsyligheder ed (a µ)/σ, i oralfordelige: Lad os opsuere teie i e og dee bos: sadsylighed For Y ~ N ( µσ, a ) Sadsyligheder i oralfordelige: gælder fides følgede ved at bruge regler: Sadsyligheder i oralfordelige: tabel 1 for stadardoralfordelige. For Y ~ N ( µσ, ) gælder følgede regler: Lad os opsuere teie a i e µ bos: For Y ~ N ( µσ For, ) gælder følgede Y ~ N ( µσ, ) gælder regler: følgede i) regler: ( a) Φ a µ σ i) ( a) Φ a µ a µ σ i) ( a) iφ ) ( a ) Φ a µ σ ii ) σp ( Y a) 1Φ a µ σ Populære fordeliger ii) P( Y a) 149 1Φ a µ a µ σ ii) P( Y a) ii ) 1Φ P( Y a) 1Φ aµ bµ σ iii) P( b σ Y a) Φ Φ aµ b σ σ iii) P( b Y a) Φ Φ ) ( hvor ) a aµ ba µ bµ σ iii P b Y iii ) a PΦ ( b og Y ba er ) Φ Φ ostater og ΦΦ σ (z) fides i tabel 1. σ σ hvor a og b er ostater og Φ (z) fides i tabel 1 hvor a og bhvor er ostater a og b er og ostater Φ Esepel (z) fides og 6.0: i Φ tabel (z) Lad fides 1. de i stoastise tabel 1. variabel X repræsetere afastet på

18 ovefor. Dered a vi slå de sidste sadsylighed op i tabel 1. Vi fider Sadsylighede for, for, at at de stoastise variabel Y atager e e værdi idre således, ed at a ( a 8) Φ ( 1) 0,1587,, er er altså de sae so. [Esepel sadsylighede slut] for, for, at at de Sadsylighede stadardiserede variabel for, at Z Z de (Y-µ)/σ stoastise atager variabel e e værdi Y atager idre ed værdi ( a ( a - - µ)/σ, idre og og ed dee a, er sadsylighed altså de sae a so fides sadsylighede ved at at bruge tabel for, 1 at 1 for de for stadard-oralfordelige. stadardiserede variabel Z (Y-µ)/σ atager e værdi idre ed ( a - Lad µ)/σ, os os i e Sadsyligheder og opsuere dee sadsylighed teie i e i oralfordelige: a bos: fides ved at bruge tabel 1 for Sadsyligheder stadard-oralfordelige. i i oralfordelige: For Y ~ N(µ, σ ) gælder følgede regler: For For Lad YYos ~ ~ N opsuere N ((, µσ, ) ) gælder teie følgede i e bos: regler: Sadsyligheder i oralfordelige: a a µ µ i) i) ( ( a) a ) Φ For Y ~ N ( µσ, ) gælder følgede σσ regler: a a µ µ µ ii ii ))) P P( ( Y( Y a) ) ) Φ 11 Φ σ σ σ aa µ µ bbµ µ iii iii ))) P (( b( Yb Y ay ) a) a1 ) Φ Φ Φ σσ σσ hvor a hvor a og og b a b er og er b ostater ) ostater, ( og og Φ )(z) og (z) Φ(z) fides a fides i µ i tabel i tabel 1. bµ iii P b Y a 1. Φ Φ σ σ hvor Esepel a og b6.0: er ostater Lad Lad de de stoastise og Φ (z) fides variabel i X tabel X repræsetere 1. afastet på på e e atie (i (i roer på på et et år). år). Atag desude, at at X X er er oralfordelt ed Esepel 6.0: Lad de stoastise variabel, X, repræsetere afastet på e atie (i roer på EE( X Esepel ( X ) ) µ µ 0 6.0: 0 Lad V( X) σ 5 og og de Vstoastise ( X) σ variabel 5.. Hvad X repræsetere er er da da afastet risioe på Atieafast et år). Atag desude, at X er oralfordelt ed E(X) µ 0 og V(X) σ (sadsylighede) e atie (i roer for for på et et afast år). på Atag på idre desude, ed ed at X roer oralfordelt i et i et givet år? år? ed Vi Vi løser probleet 5. Hvad på på er sae da risioe åde so (sadsylighede) i i oveståede esepel: for et afast på idre ed 15 E( X ) µ 0 V( X) σ 5 og roer i et givet år? Vi løser probleet. Hvad på sae er da åde risioe so i oveståede (sadsylighede) for et afast på idre ed 15 roer i et givet år? Vi esepel: løser probleet på sae åde so i oveståede esepel: X X 0 P( X 15) P P, 4 Φ(, 4) 0, Der er altså u e sadsylighed på 1,6% for et afast på idre ed 15 roer. [Esepel slut] Der er altså u e sadsylighed på 1,5% for et afast på idre ed 15 roer. Esepel 6.1: E EU-afsteig del Multioialfordelige De Multioialfordelige ultioiale fordelig er e geeraliserig af bioialfordelige. De ultioiale fordelig Me i stedet er e for geeraliserig at træe fra af e bioialfordelige. populatio ed Me u i stedet to forsellige at træe typer fra e af populatio eleeter (e ed Beroullipopulatio), u to forsellige typer så af eleeter a (e Beroullipopulatio), u fra e ed så træer forsellige a u typer. fra e Et populatio eleet ed træer a forsellige derfor atage typer. Et forsellige eleet a værdier. derfor So atage i bioialfordelige forsellige værdier. So i atages bioialfordelige det, at udtræigere atages det, er uafhægige. at udtræigere Det betyder, er uafhægige. at hvis der Det betyder, at hvis fra der e udtræes virelig populatio, fra e virelig så ser populatio, det ed tilbagelægig. så ser det ed tilbage- udtræes lægig. Esepel 6.1: Forestil dig, at vi stopper fe tilfældige eeser på gade og spørger, o de steer i) ja, ii) ej eller iii) blat til e oede EU afsteig. Her er der således tre forsellige typer af eleeter i populatioe (ja, ej, og bla). I pricippet er det ie oget til hider for, at vi oer til at stoppe de sae perso to gage, så derfor er der tale o e træig ed tilbagelægig fra populatioe. [Esepel slut] Forestil dig, at vi stopper fe tilfældige eeser på gade og spørger, o de steer ja, ej eller blat til e oede EU-afsteig. Her er der således tre forsellige typer af eleeter i populatioe (ja, ej, og bla). I 150 I Idbli bioialfordelige i statisti safudsvidesab lod X i være e stoastis variabel, der atog værdie 1, hvis de i te udtræig resulterede i e succes. De stoastise variabel Y (atallet af succeser i de træiger) var da lig ed sue af X i ere. I esepel 6.1 a vi ie øjes ed e eelt variabel. Vi ue lade Y agive atallet af ja-steer, e det er ie tilstræeligt til at fortælle os, hvorda ej-steer og

19 pricippet er der ie oget til hider for, at vi oer til at stoppe de sae perso to gage, så derfor er der tale o e udtræig ed tilbagelægig fra populatioe. I bioialfordelige lod vi X i være e stoastis variabel, der atog værdie 1, hvis de i te udtræig resulterede i e succes. De stoastise variabel, Y (atallet af succeser i de træiger), var da lig ed sue af X i ere. I esepel 6.1 a vi ie øjes ed e eelt variabel. Vi ue lade Y agive atallet af ja-steer, e det er ie tilstræeligt til at fortælle os, hvorda ej-steer og blae steer fordeler sig i stiprøve. Til esperietet i esepel 6.1 har vi brug for tre stoastise variabler. Esepel 6.: E EU-afsteig del Lad de stoastise variabel Y 1 være atallet af ja-sigere i de fe udtræiger fra esepel 6.1, Y atallet af ej-sigere og Y atallet af blae. Det er fordelige af (Y 1, Y, Y ), so siges at være e ultioialfordelig. Atag u, at adele af ja-steer i populatioe er 0,4, adele, der steer ej, er 0,5, og adele, der steer blat (eller ie steer), er 0,1. Hvad er da sadsylighede for, at stiprøve oer til at bestå af fx to ja-sigere (Y 1 ), to ej-sigere (Y ) og e bla (Y 1)? Når vi har at gøre ed e ultioialfordelig, sal vi, so illustreret i esepel 6., berege sadsylighede for tre eller flere stoastise variabler, (Y 1, Y,,Y ). Multioialfordelige er derfor e siulta fordelig. I esepel 6. er der tale o e siulta fordelig for Y 1, Y og Y. Det æste esepel viser, hvorda sadsyligheder i ultioialfordelige freoer: Esepel 6.: Baseret på populatiosadelee fra esepel 6. a vi starte ed at berege sadsylighede for først at øde to ja-sigere, deræst to ej-sigere og E EU-afsteig del til sidst é der steer blat. Dee sadsylighed er givet ved: 0,4 0,4 0,5 0,5 0,1 0,004, fordi de eelte udtræiger er uafhægige. Tilsvarede er sadsylighede 0,004 for at øde de sae obiatio af vælgere i e ade ræefølge, fx 0,1 0,4 0,5 0,5 0,4 0,004. For at fide de salede sadsylighed sal vi gage sadsylighede 0,004 ed det atal obiatioer af udfald, der resulterer i to ja-sigere, to ej-sigere og e bla stee. Dette atal af obiatioer a fides ved hjælp af forle i edeståede bos, so aldes ultioialoefficiete. Dee er e geeraliserig af bioialoefficiete fra afsit 6.. I dette tilfælde giver de: Populære fordeliger 151

20 15 Idbli i statisti for safudsvidesab For at fide de salede sadsylighed sal vi gage sadsylighede 0,004 ed det atal obiatioer af udfald, der resulterer i to ja-sigere, to ej-sigere og e bla stee. Dette atal af obiatioer a fides ved hjælp af forle i edeståede bos, so aldes ultioialoefficiete. Dee er e geeraliserig af bioialoefficiete fra afsit 6.. I dette tilfælde giver de: 0!1!!!5 1,, 5 Dvs. der fides 0 forsellige obiatioer, hvorved a a få to jasigere, to ej-sigere og e bla. De salede sadsylighed for at udtræe to ja-sigere, to ej-sigere og e bla er derfor 0,0040 0,1. [Esepel slut] Multioialoefficiete Atallet af obiatioer, hvorved udfald a resultere i 1 udfald af type 1, udfald af type,, og udfald af type, er givet ved: Dvs. der fides 0 forsellige obiatioer, hvorved a a få to ja-sigere, to ej-sigere og e bla. De salede sadsylighed for at udtræe to ja-sigere, to ej-sigere og e bla er derfor 0, ,1. Sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter er derfor:!!!!, hvor Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere, osv.: (,,..., ),,,,, ! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6 osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere osv.:!!!!, hvor Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere, osv.: (,,..., ),,,,, ! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p Multioialoefficiete Atallet af obiatioer, hvorved udfald a resultere i 1 udfald af type 1, udfald af type,, og udfald af type, er givet ved:!!!!, hvor Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere, osv.: (,,..., ),,,,, ! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p hvor ,,!! 1! 5 5! 0 For at fide de salede sadsylighed sal vi gage sadsylighede 0,004 ed det atal obiatioer af udfald, der resulterer i to ja-sigere, to ej-sigere og e bla stee. Dette atal af obiatioer a fides ved hjælp af forle i edeståede bos, so aldes ultioialoefficiete. Dee er e geeraliserig af bioialoefficiete fra afsit 6.. I dette tilfælde giver de: 0!1!!!5 1,, 5 Dvs. der fides 0 forsellige obiatioer, hvorved a a få to jasigere, to ej-sigere og e bla. De salede sadsylighed for at udtræe to ja-sigere, to ej-sigere og e bla er derfor 0,0040 0,1. [Esepel slut] Multioialoefficiete Atallet af obiatioer, hvorved udfald a resultere i 1 udfald af type 1, udfald af type,, og udfald af type, er givet ved: 1!!! 1,,,!!!!!, hvor Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere, osv.: (,,..., ),,,,, ! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p!!!!, hvor Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere, osv.: (,,..., ),,,,, ! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p Terigast!!!!, hvor Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere, osv.: (,,..., ),,,,, ! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p!!!!, hvor Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere, osv.: (,,..., ),,,,, ! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p!!!!, hvor Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere, osv.: (,,..., ),,,,, ! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p!!!!, hvor Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere, osv.: (,,..., ),,,,, ! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p!!!!, hvor Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere, osv.: (,,..., ),,,,, ! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p!!!!, hvor Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighe for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhæg træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. H er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 ag atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) væ ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betra hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, h sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bl sadsylighede for to eere, to toere, osv.: (,,..., ),,,,, ! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p!!!!, hvor Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere, osv.: (,,..., ),,,,, ! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p!!!!, hvor Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere, osv.: (,,..., ),,,,, ! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p!!!!!! 1!

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen Bilag 5: DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Teoretisk Statistik, 18. november Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi hen? Proportional allokering Optimal allokering

Teoretisk Statistik, 18. november Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi hen? Proportional allokering Optimal allokering Uge 47 I Teoretisk Statistik, 8. oveber 003 Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi he? Proportioal allokerig Optial allokerig Heruder: Saeligig af variaser og ødvedige stikprøvestørrelser for de forskellige

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

Uge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003

Uge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003 Uge 40 Teoretis tatisti, 30. september 003 Esidet variasaalyse Model, otatio, hypotese og hælpehypotese Test af hælpehypotese Opdaterig af variasestimat Test af hypotese om es middelværdier Variasaalysesema

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Generelle lineære modeller

Generelle lineære modeller Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren

Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren Kvateekaik 4 Side 1 af 11 ergi og tid Hailtooperatore Af KM3 fregik det, at ehver observabel er repræseteret ved e operator, f.eks. jf. udtryk (3.1) og (3.). Ispireret af det klassiske udtryk for kietisk

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n. IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset. STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy = f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

3.-årsopgave, matematik Tønder Gymnasium & HF 21.12.01

3.-årsopgave, matematik Tønder Gymnasium & HF 21.12.01 .-årsopgve, teti Tøder Gysiu HF.. Idholdsfortegelse: Idledig / forord s.. Mtricer, geerelt s. -. Nogle egeser for tricer s. -6. Deteriter s. 6-. Deterit-sætiger s. -. Miorer, oftorer og opleeter s. - 6.

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1 Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter

Læs mere

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet) Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik

Læs mere

Vindmøllesekretariatet og Biogassekretariatet

Vindmøllesekretariatet og Biogassekretariatet og Biogass Brugertilfredshedsudersøgelse af og Biogasss sagsbehadlig og ydelser bladt ommuer Tabelrapport, telefoudersøgelse December Projetosuleter Asger H. Nielse Coie F. Larse Alle rettigheder til udersøgelsesmaterialet

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Blisterpakninger i det daglige arbejde

Blisterpakninger i det daglige arbejde Bettia Carlse Marts 2013 Blisterpakiger i det daglige arbejde I paeludersøgelse 35 1 har 1.708 beskæftigede sygeplejersker besvaret e række spørgsmål om (hådterige af) blisterpakiger i det daglige arbejde.

Læs mere

Kombinatorik. 1 Kombinationer. Indhold

Kombinatorik. 1 Kombinationer. Indhold Kombator, marts 04, Krste Roselde Georg Mohr-Kourrece Kombator Kombator går ud på at tælle atallet af ombatoer af et eller adet, og for at ue tælle atallet af ombatoer smart har ma brug for forsellge tællestrateger

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage Dages forelæsig Ige-Arbirage pricippe Claus Muk kap. 4 Nulkupoobligaioer Simpel og geerel boosrappig Forwardreer Obligaiosprisfassæelse Arbirage Værdie af e obligaio Nuidsværdie af obligaioes fremidige

Læs mere

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden. Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Yngre Lægers medlemsundersøgelse om det lægelige arbejdsmarked, 2016

Yngre Lægers medlemsundersøgelse om det lægelige arbejdsmarked, 2016 Ygre Læger, 23. maj 216 Ygre Lægers medlemsudersøgelse om det lægelige arbejdsmarked, 216 - svarfordeliger på ladspla Idholdsfortegelse 1. Idledig... 2 2. Baggrudsvariable... 2 3. Vide om arbejdspladse

Læs mere

Kommunikation over støjfyldte kanaler

Kommunikation over støjfyldte kanaler Istitut for Matematise Fag wwwmathaaud Kommuiatio over støjfyldte aaler MAT2-projetrapport af G3-7 forårssemestret 2008 Istitut for Matematise Fag Fredri Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst Telefo 99 40 88

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff

Oversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff Kursus 02402/02323 Itroducerede Statistik Forelæsig 12: Iferes for adele Klaus K. Aderse og Per Bruu Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataaalyse Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail:

Læs mere

bestemmelse af karakteristiske værdier for materialeparametre og modstandsevner

bestemmelse af karakteristiske værdier for materialeparametre og modstandsevner Statiti arateritie værdier BESTEMMELSE AF KARAKTERISTISKE VÆRDIER beteele af arateritie værdier for aterialearaetre og odtadever etode i ae A i DS 409 (DS 409: Sierhedbeteeler for Kotrtioer, 999) baeret

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sadsylighedsregig E ote om sadsylighedsregig. Via basal sadsylighedsregig gøres læsere klar til forstå biomialfordelige. Herik S. Hase, Sct. Kud Versio 5.0 Opgaver til hæftet ka hetes her. PDF Facit til

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Diskrete fordelinger. Fire vigtige diskrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (diskret) 2. Binomial fordeling. 3. Hyper-geometrisk fordeling

Diskrete fordelinger. Fire vigtige diskrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (diskret) 2. Binomial fordeling. 3. Hyper-geometrisk fordeling Disrete fordelinger Fire vigtige disrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (disret) 2. Binomial fordeling 3. Hyper-geometris fordeling 4. Poisson fordeling 1 Uniform fordeling Definition Esperiment med

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi

Læs mere

Pearsons formel for χ 2 test. Den teoretiske forklaring

Pearsons formel for χ 2 test. Den teoretiske forklaring Pearsos formel for χ test De teoretse forlarg Ole Wtt-Hase 04 Idhold. Normalfordelge og χ.... Pearsos formel for χ test... 3. Forlarg på Pearsos formel....4 Pearsos formel for χ test. Normalfordelge og

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI Edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt I et edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt ( P ) U, ka sadsylighede for e give hædelse H, hvor altså H U, som bekedt bereges

Læs mere

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4

Læs mere

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen TEKST NR 435 2004 Basisstatistik 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Konfidens intervaller

Konfidens intervaller Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af

Læs mere

Hypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Hypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Hypoteetet Hypoteetet og kritike værdier Type og Type fejl Styrke af e tet Sammeligig af to populatioer Kofideiterval for σ tore tikprøver. Hvi X følger e χ -fordelig med frihedgrader, dv. X~χ (), gælder

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler

Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig f regertere - supplerede eksepler Poteser... Rødder... d 0-tls-poteser... e Sesætig f regertere Side Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere