Matematiske kompetencer - Facitliste

Transkript

1 Matematiske kompetencer - Facitliste En del opgaver, undersøgelser og aktiviteter er formuleret, så der er flere mulige facit, da resultatet på forskellig måde afhænger af elevernes valg. I de tilfælde anføres eksempelvis Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer, men de er mange steder fulgt op af eksempler på eller forslag til elevbesvarelser. Til de opgaver, hvortil der er nogle generelle kommentarer, vil de være skrevet afslutningsvis i opgaven. FCIT SIDE 6-7 Opgave 1 Elevernes egne begrundelser. Elevernes egne argumenter. FCIT SIDE 8-9 Opgave 2 Elevernes egne mindmaps. Elevernes egne forklaringer, som afhænger af deres kendskab til kompetencerne. Opgave 3 C Elevernes egne forklaringer af problemet. Elevernes egne beskrivelser af, hvordan de kan undersøge problemet. Eleverne gennemfører deres undersøgelse. Her angives en algebraisk løsning: Hvis a og b betegner sidelængderne i et rektangel, der opfylder de stillede betingelser, gælder altså: a, b er naturlige tal. 2(a + b) = ab f ligningen kan a eller b isoleres. Her isolerer vi b: bb = 2aa aa 2 Heraf kan ses, at når b skal være et helt tal, skal a være et lige tal 4. Vi kan så prøve efter enten i hånden eller fx i et regneark: D De eneste rektangler, der opfylder de stillede betingelser, er altså et kvadrat med sidelængden 4 og et rektangel med sidelængderne 3 og 6. eskrivelse af andre løsningsmetoder. 1

2 KTIVITET: SORTÉR PROLEMER DEL 1 - Sortering af kort fra 1.1 og 1.2 i opgaver og problemer. Sorteringen afhænger af elevernes viden og færdigheder. C To opgaver og to problemer udvælges og løses. Herunder er der bemærkninger og løsningsforslag til indholdet af 1.1, 1.2 og 1.3. I teksten er der bud på, hvilke kort der indeholder opgaver, og hvilke der indeholder problemer. Valg af opgave eller problem er bygget på en viden om, hvordan elever i 9. klasse oftest vil opfatte de stillede spørgsmål. Der kan imidlertid sagtens være elever, der fx opfatter det, der i denne fremstilling kaldes en opgave som et problem og så er det et problem for den pågældende elev, og elevens handlinger og fremgangsmåde skal ses i lyset af denne forudsætning. GENNEMSNITSHØJDE Oplysningerne fra opgaven er: 1. Gennemsnittet af fem elevers højde er 168 cm. 2. Der er 18 cm højdeforskel på den højeste og den laveste af de fem elever. 3. Der er tre elever, som er højere end 172 cm. 4. lle elevernes højder er et helt antal cm. 5. Der er ikke to elever, der har den samme højde. Hvis vi tager de mindst mulige højder for de tre højeste elever, får vi (punkt 3, 4 og 5): 173, 174, 175 cm Så får vi, at den laveste elev er = 157 cm (punkt 2). Hvis vi betegner den sidste elevs højde med x, giver punkt 1 ligningen: 157+xx = 168 x = 161 cm. Der er én løsning mere: 158, 159, 173, 174,

3 HØJDE I CYLINDER Dette må karakteriseres som en opgave. Grundfladeradius r, højde h og rumfang V af en cylinder er forbundet med formlen V = π r 2 h Opgaven kan løses på (mindst) to måder: 1. Vi indsætter de kendte værdier (r = 5 cm og V = 2,5 L = 2500 cm 3 ) i formlen og isolerer h: h = VV = 2500 π rr 2 25π 31,8 cm. Heraf fås altså, at højden er større end grundfladeradius. 2. Vi kan også bruge, at der i opgaven ikke spørges om, hvor stor h er men blot om, hvor stor h er i forhold til grundfladeradius (mindre end, lige så stor som, større end). Hvis vi udregner rumfanget af en cylinder med grundfladeradius 5 og højde 5 vil resultatet være mindre end 2500 cm 3, hvis h > r, det vil være lig med 2500 cm 3, hvis h = r og det vil være større end 2500, hvis h < r. Dette rumfang er: π = 392,7 cm 3 Det er mindre end 2500 cm 3 altså må den virkelige højde h være større end r. OPSPRINGSKONTO Hvis man har kendskab til renteformlen, er dette i princippet en opgave. Hvis vi kalder den gennemsnitlige rentefod r giver renteformlen, at (*) (1 + r) 5 = ,53 Heraf kan rentefoden r isoleres: 5 rr = ,53 1 = 0, ltså har den gennemsnitlige rente været 4 % pa. Hvis man ikke har kendskab til renteformlen, eller hvis man må give op over for ligningen (*), udgør opgaven et problem. En mulighed er at eksperimentere i et regneark som vist herunder. 3

4 Her er benyttet trinvis fremskrivning af beløbet i cellen lige over med den procent der angives i celle 2. tastes i celle 2. Her er brugt renteformlen med den rente, der ind- I begge regneark indtaster man sit gæt på renten i den gule celle og sammenligner beløbet på kontoen efter 5 år (celle 10 hhv. 4) med den ønskede værdi. Hvis det beregnede beløb er mindre end den ønskede værdi som i regnearket til venstre, er gættet for lavt. Hvis det beregnede beløb er større end den ønskede værdi som i regnearket til højre, er gættet for højt. ISHS TIMELØN Selv om der ikke er en på forhånd given metode til løsning af opgaver som denne, er problemet så gennemskueligt, at mange elever nok vil karakterisere det som en opgave. isha kan sagtens tjene mere og samtidig arbejde mindre. Hun skal blot veksle et antal hverdagstimer til et mindre antal søndagstimer. For hver gang hun arbejder fx 3 søndagstimer mere og 4 hverdagstimer mindre tjener hun 3 90, ,01 = 10,89 kr. mere, og arbejder én time mindre. TRE PÅ HINNDEN FØLGENDE TL Spørgsmål er en opgave, men spørgsmål må karakteriseres som et problem, da vejen til et egentligt bevis ikke ligger lige for. Eleverne finder tre eksempler på summen af tre på hinanden følgende hele tal (fx = 864, = 0 eller ( 8) + ( 7) + ( 6) = 21) og opdager, at i hvert tilfælde er summen delelig med 3. Et tal, der er deleligt med 3, kan skrives på formen 3 n, hvor n er et helt tal. Hvis vi kalder det midterste af tre på hinanden følgende hele tal for n, bliver summen (n 1) + n + (n + 1) = 3n Heraf kan man se, at summen af tre på hinanden følgende hele tal altid vil være et tal i 3-tabellen. GMER SKÆRM Dette er en opgave. Den består blot i at trække 70 % fra 4.900,00 eller med andre ord at finde 30 % af 4.900,00. Udsalgsprisen er 4.900,00 0,3 = kr. 4

5 PLDSER I KLSSEN Dette er afgjort et problem. Da det her kun drejer sig om seks elever, er det forhåbentligt et overskueligt problem. Det kan være en god idé at arbejde med problemet geometrisk og lade de seks elever (betegnet 1, 2,, 6) repræsentere af vinkelspidserne i en sekskant, som det er tilfældet på billedet til højre. Man kan så lade et par sidekammerater repræsentere af en forbindelseslinje mellem to punkter (elever), som på billedet til højre, der viser en periode, hvor 1 sidder ved siden af 2, 3 sidder ved siden af 4 og 5 sidder ved siden af 6. Det drejer sig så om at finde alle de forskellige måder, hvorpå der kan dannes sidekammeratpar blandt de seks elever. Der er kun 5 måder, som fremgår af diagrammerne herunder. Hvis alle 6 elever skal sidde ved siden af hver af de andre fem i lige lang tid, skal skoleåret deles i 5 lige lange perioder og det kan jo sagtens lade sig gøre. 5

6 REGULÆR FEMKNT Der er ingen geometriske sætninger eller kendte geometriske procedurer, der hjælper her, så vi må karakterisere spørgsmålet som et problem. I en regulær polygon er alle sider lige lange og alle vinkler lige store. Hvis vi skal finde en ikke-regulær femkant, hvor alle sider har længden 5, må det være vinklerne, vi skal ændre på. Vi skal altså undersøge, om der findes en femkant, hvor alle sidelængder er 5, hvor arealet er ca. 43, men hvor vinklerne ikke alle har den samme størrelse. Det er virkeligheden ikke så vanskeligt, hvis man ved, at den eneste polygontype, der er entydigt fastlagt ved sidelængderne, er trekanten. lle andre polygoner kan (hvis vi forestiller os, at der er hængsler i vinkelspidserne) skubbes og rokkes, selv om sidelængderne bevares. Hvis vi skubber den regulære femkant CDE til venstre i punkterne og D, fremkommer en ikke-regulær femkant C D E som vist til højre. Den vil have et areal, der er mindre end den regulære femkants areal, idet den regulære femkant er den største femkant med omkredsen 25. realet af en regulær n-kant med sidelængden s kan beregnes ved formlen nn ss2 = 4 tan 90nn 180 nn For den regulære femkant med sidelængden s = 5 giver det = 5 52 tan(54 ) 43, Man kan naturligvis diskutere, hvad der skal forstås ved, at arealet af den ikke-regulære femkant er ca. 43. Hvor meget 4 må den nye femkants areal være mindre end den regulæres areal? Pointen her er imidlertid, at den regulære femkant kan skubbes" så lidt, man ønsker det. Det betyder, at forskellen på de to arealer kan blive så lille, man ønsker det. Det er altså muligt at tegne en ikke-regulær femkant med sidelængden 5 og et areal, der er ca. 43, så Olivia har ikke ret i sin påstand. TILUD PÅ SODVND Dette må karakteriseres som en opgave. Hvilket tilbud på sodavand kan bedst betale sig vil blive oversat til Hvilket tilbud på sodavand har den billigste literpris, og det lader sig let beregne. I tilbud 1 (det grønne skilt) er literprisen 49,50 = 4,95 kr. pr. liter. 5 2 I tilbud 2 (det orange skilt) er literprisen 40 = 8,89 kr. pr. liter. 3 1,5 Som man næsten kan fornemme uden at regne, er det tilbud 1, der bedst kan betale sig. 6

7 SKT OG FRITIDSJO Dette må betragtes som en opgave. Løsningen ligger i at opstille og løse uligheden 68,7x x 502,18 Hvis svaret skal være et helt antal timer, kan Valdemar altså højst arbejde 502 timer, hvis han vil undgå at betale skat. FIGURER Heller ikke her hjælper kendte geometriske sætninger eller kendte geometriske procedurer, så spørgsmålet må kategoriseres som et problem. Mindst mulig omkreds: Hvis omkredsen af den nye figur skal være mindst mulig, skal vi sørge for, at så mange som muligt (dvs. 2) af de tilføjede kvadraters sider ligger op ad to allerede eksisterende sider. På den måde bidrager de nye kvadrater ikke til omkredsforøgelsen. Det kunne fx være således, hvor omkredsen er 14 både før og efter tilføjelsen af de nye kvadrater: Størst mulig omkreds: Hvis omkredsen af den nye figur skal være størst mulig, skal vi sørge for, at så få som muligt (dvs. 1) af de tilføjede kvadraters sider ligger op ad en allerede eksisterende side. På den måde bidrager hver de nye kvadrater med 2 til omkredsforøgelsen. Det kunne fx være således, hvor omkredsen før tilføjelsen er 14, men efter tilføjelsen er 18: RDIUS I EN KUGLE Dette er udpræget en opgave. Der eksisterer en kendt formel for kuglens rumfang udtrykt ved radius r: V = 4 3 π rr3 3 Heraf skal r isoleres: rr = 3 V 4 π 6,2 cm. t isolere r vil for nogle elever udgøre et problem, som må løses fx ved gæt-og-prøv-efter-metoder, ved hjælp af en lommeregner eller evt. et regneark. DEL 2 -C Samarbejde med en anden gruppe. Karakterisering af opgaver kontra problemer. 7

8 Opgave 4 - Cirklen og de to kvadrater er her konstrueret i GeoGebra. Sammenhængen består i, at der er et bestemt forhold mellem arealet af de to kvadrater. Cirklen er tegnet med diameter = 1, men forholdet mellem de to arealer er uafhængigt af cirklens radius/diameter. Som det ses, er arealet af det omskrevne kvadrat dobbelt så stort som arealet af det indskrevne. Længdeforholdet mellem det ind- og det omskrevne er 2, hvorfor arealforholdet er 2 2 = 2. C En tilsvarende sammenhæng (et bestemt forhold) består også mellem to ligedannede, regulære ind- og omskrevne polygoner, men det er forskellige forhold for hver figurtype. Derimod er forholdene som allerede bemærket ikke afhængige af cirklens størrelse. Her er forholdene for regulære trekanter og regulære femkanter beregnet. I GeoGebra-filen realforhold mellem ind- og omskrevne regulære n-kanter, der er tilgængelig på MULTIs hjemmeside, kan man danne det omtalte forhold for ind- og omskrevne, regulære n-kanter for n = 3, 4, 5,, 24. Forskellen på de to arealer går naturligvis mod 0, når n vokser, og forholdet mellem arealerne går mod 1. realerne nærmer sig mere og mere arealet af en cirkel med diameter 1 (dvs. π ). 4 8

9 Opgave 5 På normalpizza-slicen betegner vi centervinklen med v og radius med r. realet af en normalslice er så vv 360 π rr2. Fordobling af centervinklen: realet bliver nu 2vv π 360 rr2 = 2 Fordobling af radius: realet bliver nu vv π 360 (2rr)2 = 4 vv 360 π rr2, dvs. der sker en fordobling af arealet. vv 360 π rr2, dvs. der sker en firedobling af arealet. Tilbuddet om fordobling af radius giver således mest pizza for pengene. Det vil være en tilfredsstillende besvarelse, hvis en elev vælger at undersøge problemet ved at forestille sig og regne på en bestemt pizza-slice, fx med radius 15 cm og centervinklen 60. Opgave 6 Opgave 7 Her er uendeligt mange muligheder. Det nemmeste er selvfølgelig tre lineære funktioner, hvoraf den ene er en konstant funktion. For eksempel: f(x) = x + 3 g(x) = 5 h(x) = x + 7 Eleverne kontrollere hinandens forskrifter. Elevernes egne beskrivelser af beregningsmetode til rumfanget af den udsavede træstav. For eksempel: Rumfanget kan findes som rumfanget af en cylinder med højde 3 cm og grundfladeradius 4 cm plus halvdelen af rumfanget af en cylinder med højde 7 cm og grundfladeradius 4 cm. På billedet ses den udskårne træstav fra siden. V = π π 4 2 3,5 = 104π 326,73 cm 3 9

10 FCIT SIDE KTIVITET: VURDERING OG MODELLERING DEL 1-3 Elevernes egne svar. Opgave 8 Vi skal fremstille en matematisk model for fjernelsen af fliserne fra haven. Det spørgsmål, Noah og hans far gerne vil have svar på, lyder Hvor lang tid tager det at fjerne alle fliserne?. Og med fjerne menes flytte fliserne fra haven og aflevere dem på genbrugspladsen. For at være sikker på at få det hele med vil vi forestille os arbejdsgangen fra fliserne ligger på terrassen til de er afleveret på genbrugsstationen. Fliserne skal 1. brydes op fra terrassen 2. læsses på sækkevognen 3. køres ud til traileren 4. læsses på traileren 5. køres til genbrugsstationen 6. læsses af traileren 7. - og sluttelig skal bilen køres hjem til huset igen. Vi må derefter gøre os klart, hvilke tal og variable der har betydning. Her er nogle bud. Tal (konstanter) Nogle værdier ligger fast er konstante, og er eksplicit eller implicit angivet i opgaveteksten. De er: ntallet af fliser. Hver flise dækker et område på 0,4 0,4 = 0,16 m 2. Da der i alt er ca. 60 m 2 terrasse er der i alt 60 : 0,16 = 375 fliser. ntal gange der skal køres med sækkevognen. Da der er 375 fliser, da der højst kan køres med 4 ad gangen i sækkevognen, og da 375 : 4 = 93,75, skal der køres 94 gange frem og tilbage med sækkevognen, dvs. i alt 2 94 = 188 ture. På 2 93 = 186 ture er der 4 fliser på vognen, og på 2 1 = 2 ture er der 3 fliser på vognen. ntal gange der skal køres til og fra genbrugsstationen. Traileren må højst læsses med 640 kg, og hver flise vejer ca. 19 kg. Da 640 : 19 = 33,68, kan der højst køres med 33 fliser (627 kg) i traileren ad gangen. Da 375 : 33 = 11,36, skal der køres i alt 12 gange med traileren (11 gange med 33 fliser og 1 gang med = 12 fliser). 10

11 Tid til trailerkørsel. Da der er 10 km fra Noahs hus til genbrugsstationen, og da der skal køres 12 gange, skal der køres = 240 km med traileren. Da gennemsnitsfarten er opgivet til 40 km/t begge veje vil kørslen med trailer i alt tage 240:40 = 6 timer. Variable Nogle af de tal, der har betydning for tidsforbruget, er ikke kendt. Vi kan da enten fastsætte en værdi, vi mener lyder sandsynlig, eller vi kan opfatte tallet som en variabel og evt. fastsætte et interval, som vi mener variablens værdier holder sig indenfor. Man kan påstå, at hvis der ikke er variable inde i sagen, vil det være vanskeligt at begrunde betegnelsen matematisk model. Man vil forvente, at en model vil være egnet til at besvare en række hvad-nu-hvis -spørgsmål, som netop kan undersøges ved at eksperimentere med værdierne af de variable. De variable størrelser kan fx være: Tid til at bryde fliserne op fra terrassen. Tid til at læsse og losse sækkevognen. Tid til kørsel på sækkevognen. Tid til at læsse og losse traileren. Tid til pauser. 11

12 FCIT SIDE KTIVITET: DEFINITIONER, HYPOTESER OG SÆTNINGER DEL 1 Elevernes egne svar. Opgave 9 C D E Et kvadrat er en firkant, hvor alle fire sider er lige lange alle vinkler er rette. Hvis CD er et kvadrat er = C, så trekant C er ligebenet. Hvis CD er et kvadrat er = 90, så trekant C er en ligebenet, retvinklet trekant. Vinkelsummen i en 6-kant er = 720. Den enkelte vinkel i en regulær 6-kant er derfor = 120. Den markerede vinkel er så = Omskrivning 1 er den rigtige. Man kan selvfølgelig se, hvad der er forkert i hver af de to øvrige omskrivninger, men det er ikke til at vide, hvordan fejlene er opstået. Vi navngiver trekanten C som på figuren så er det lettere at tale om. Vinkel C er lig med 49, da den er topvinkel til en vinkel på 49 og da topvinkler er lige store. Vinkel er = 65, da den er nabovinkel til en vinkel på 115 og da nabovinkler tilsammen måler 180. Da vinkelsummen i en trekant er 180 er vinkel lig med 180 ( ) = 66. Så vinkel v er altså 66. Opgave 10 Elevernes egne hypoteser. Når der i opgaven tales om sammenhængen mellem rektanglets længde l og rektanglets areal siges der ikke noget om, hvilken af de to variable der skal optræde som uafhængig variabel. Man kan derfor forestille sig sammenhængen udtrykt på flere forskellige måder: 1. = 2l 2. l = = 2 ll 12

13 C-D Elevernes egne skitser af grafen. f betegnelserne på figurens akser fremgår, at det er sammenhæng 1, der er tænkt på. Grafen bliver derfor en ret halvlinje gennem (0, 0) i 1. kvadrant med hældningstallet 2. Eleverne afprøver og be- eller afkræfter deres hypoteser. E Sammenhængen er = s 2 eller ss =. Grafen for (s) = s 2 er halvdelen af en parabel med toppunkt i (0, 0), som kan tegnes for s > 0. 13

14 FCIT SIDE KTIVITET: REPRÆSENTTIONER PÅ FLERE MÅDER DEL 1 Elevernes egne svar. DEL 2 Samarbejde med en anden gruppe om DEL 1. Opgave 11 Den procentvise ændring er Slutprisen er 449 0,85 = 381,65 kr. 100 % 10 %. C Hvis man skriver p som et decimaltal og isolerer slutværdien s, får man s = b (1 + p) Hvis der er tale om en procentvis stigning, er p positiv. Ved et procentvis fald er p negativ. Opgave 12 Hyppighederne af de forskellige karakterer kan aflæses af pindediagrammet (og kun af pindediagrammet). Sædvanligvis vil man i en hyppighedstabel over karakterer medtage alle de mulige karakterer også de, der ikke er givet i den bestemte klasse. Gør vi det, ser hyppighedstabellen således ud: Karakter x Hyppighed h(x) C De søgte deskriptorer kan beregnes ved hjælp af såvel cirkeldiagram som pindediagram, men de kan direkte aflæses af boksplottet: Størsteværdi: 12. Mindsteværdi: 00. Variationsbredde: 12. Median: 7. Elevernes egne opfattelse af forskelle på de tre repræsentationer. 14

15 Opgave M = K: Der er lige mange mænd og kvinder. 2. M = 1 K: ntallet mænd er en tredjedel af antallet kvinder eller der er tre gange så 3 mange kvinder som mænd. 3. M = 2K: Der er dobbelt så mange mænd som kvinder eller der er halvt så mange kvinder som mænd. M = K + 4 eller K = M 4 C M = 1 K eller K = 2M 2 D Elevernes egne udtryk, som de bytter og forklarer. 15

16 FCIT SIDE KTIVITET: ET GODT SVR PÅ EN UNDERSØGELSE DEL 1 Undersøgelse 1 Hvis Frigga sætter 1 kr. på summen 8 og vinder, får hun 8 kr. udbetalt. Men da hun har betalt 1 kr. for at være med, er hendes reelle gevinst kun 7 kr. Ved at satse på summen 8 er hendes sandsynlighed for at vinde et enkelt spil lig med 5, dvs. hendes gennemsnitlige gevinst pr. 36 spil ved indsatsen 1 kr. er ( 1) = 4 = 1 kr Frigga skal derfor med 10 spil i gennemsnit forvente at vinde 10 = 1,11 kr. P.S.: t Frigga skal forvente at vinde 1,11 kr. betyder blot, at en gevinst på 1,11 kr. i 10 spil er den gevinst, hun har størst sandsynlighed for at vinde. Det er ingen garanti for, at hun overhovedet vinder noget i de 10 spil og på den anden side kan hun også vinde mere end 1,11 kr. 9 Undersøgelse 2 Vi går ud fra, at de 299 kr., det koster at bliver medlem, skal betales uanset medlemsskabets art. De kan derfor lades ude af betragtning og i øvrigt er både sta og Olivia jo medlemmer i forvejen. Ved to almindelige medlemsskaber skal sta og Olivia betale = 498 kr. om måneden. Ved et makkermedlemsskab skal de tilsammen betale = 419 kr. om måneden plus 20 kr. gange det antal gange, makkeren vil træne alene. Idet = 79 = betyder det, at hvis makkeren træner alene mere end 3 gange om måneden, kan et makkermedlemsskab ikke betale sig. En anden mulighed er selvfølgelig, at det altid er den ene af dem fx sta der træner alene. Er det tilfældet, kan man lade sta være almindeligt medlem, mens Olivia er makkeren. I så fald kan makkermedlemsskabet betale sig og vil være 79 kr. billigere om måneden end to almindelige medlemsskaber. 16

17 Undersøgelse 3 Det er muligt. Den angivne trekant med sidelængder 16, 10 og 10 ser således ud: Hvis vi klipper denne trekant over langs den tegnede højde og sammensætter de to dele som på illustrationen, får vi en ny trekant med sidelængder 12, 10 og 10, men med samme areal. Foruden denne oplagte løsning er der uendeligt mange andre. Vi skal blot sørge for, at h og g vælges sådan, at 1 hgg bliver 2 48, dvs. så hg = 96. Hvis vi fx vælger g frit, skal h være lig med 96. På et linjestykke, gg der er g langt, tegnes midtnormalen, og stykket 96 afsættes op ad denne, hvorefter gg de to lige lange sider kan tegnes. Herunder er to af de heltallige løsninger skitseret. Vi søger en ligebenet trekant 2 2C 2 med samme areal og omkreds som C, dvs. en ligebenet trekant med areal = 48 og omkreds O = 36. Længden af hver af de lige lange sider betegnes s og længden af den sidste side betegnes g. Højden på g betegnes h som på figuren til højre. Der er tre ubekendte størrelser h, s og g. Vi søger derfor nogle sammenhænge, som disse tre størrelser indgår i. 17

18 Med betegnelser fra figuren kan vi opstille disse tre ligninger: 1) 1 hgg = 48 2 ( = 48) 2) 2s + g = 36 (O = 36) 3) ss 2 = 1 2 gg 2 + h 2 (Pythagoras) f ligning 2 fås ss = gg ss2 = gg2 18gg Denne værdi af s 2 indsættes i ligning 3 3*) h 2 = g gg2 18gg = 1 2 gg 2 + h 2, hvoraf vi får Fra ligning 1 kan vi isolere g 1 2 hgg = 48 gg = 96 h Indsættes dette i ligning 3* fås h 2 = h h 3 = 324h h 3 324h = 0 Vi søger altså (positive) løsninger til ligningen xx 3 324xx = 0 Tilnærmet løsning. Eleverne vil kunne finde løsninger ved hjælp af fx GeoGebra: Heraf ses, at der (foruden den allerede kendte løsning h = 6 fra punkt ) også er løsningen h 14,23. 18

19 Det giver en ligebenet trekant med grundlinjen g 6,75 og længen af benene s 14,63. Med disse værdier får man arealet til 48,03 og omkredsen O til 36,01, hvor afvigelserne fra 48 og 36 skyldes afrundinger på g og s. Eksakt løsning. De eksakte værdier af h, s og g er irrationale tal. De kan bestemmes, men er naturligvis uden for elevernes rækkefølge, med mindre de anvender et passende CS-værktøj. Når et tal α er rod i et polynomium, vil x α gå op i polynomiet (polynomiers division). Da vi ved, at 6 er rod i polynomiet xx 3 324xx , vil x 6 gå op, og ved polynomiers division kan vi derfor faktorisere polynomiet således: xx 3 324xx = (xx 6) (xx 2 + 6xx 288) Rødderne i polynomiet xx 3 324xx er derfor x = 6 samt rødderne i andengradspolynomiet xx 2 + 6xx 288. Ligningen xx 2 + 6xx 288 = 0 har de to løsninger xx = og xx = Heraf kan vi bruge den positive rod, så den eksakte værdi af h er altså h = (= 14, ) Dette giver værdierne g = ss = (= 6, ) (= 14, ) Undersøgelse 4 Den største firkant med en given omkreds er altid et kvadrat. Det størst mulige areal, romben kan få, er derfor 9 2 = 81. Opgave 14 Påstanden er i virkeligheden blot ligningsregnereglen Man må trække samme tal fra på begge sider af lighedstegnet, så påstanden gælder. Elevernes egne forklaringer. C Elevernes egne eksempler. 19

20 Opgave 15 Trekant er retvinklet. Trekant er stumpvinklet. Trekant C er stumpvinklet og ligebenet. Trekant D er ligesidet (og derfor spidsvinklet). Trekant E er retvinklet og ligebenet. Trekant F er spidsvinklet og ligebenet. Trekant G er spidsvinklet og ligebenet. Trekant H er retvinklet og ligebenet. Trekant I er stumpvinklet. Ligebenet kan knyttes til spidsvinklet, retvinklet og stumpvinklet. Ligesidet er da alle vinkler så er 60 automatisk knyttet til spidsvinklet. Opgave 16 -C Elevernes egne svar. lt afhænger af, hvad eleverne finder på internettet. Man skal for det første være opmærksom på, at median er et flertydigt begreb i matematik. Det har én betydning i geometri (Et linjestykke i en trekant, der går fra en vinkelspids til midtpunktet af den modstående side) og en anden betydning i statistik. Og det er som det fremgår af opgaveteksten den sidste betydning, vi er interesseret i her. Medianen (eller 2. kvartil eller 50 %-fraktilen) er et af de matematiske begreber, hvor det er muligt at finde forskellige definitioner. Fælles for dem alle er dog, at medianen er et tal med den egenskab, at det deler observationssættet i to halvdele. Medianen er et tal, der er større end eller lig med alle elementerne i halvdelen af observationerne og mindre end eller lig med alle elementerne i den anden halvdel af observationerne. I skolesammenhæng arbejder vi ofte med at skrive alle observationer op efter størrelse med det mindste først. For et observationssæt med følgende hyppighedstabel Observation x Hyppighed h(x) vil det se således ud: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6 Her er der et ulige antal observationer (9), og der er så enighed om, at medianen er den midterste observation her observation nr. 5, tallet 4. 20

21 Hvis vi fra observationssættet fjerner det ene 5-tal, ser hyppighedstabellen således ud Observation x Hyppighed h(x) Og når vi stiller observationerne op efter størrelse, vil det så således ud: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6 Der er ikke længere noget midterste element. Midten er mellemrummet mellem observationerne 3 og 4. Hvilket tal skal så være medianen? Her er der flere bud. Nogle siger Tallet til venstre for midten (tallet 3), nogle siger Tallet til højre for midten (tallet 4), andre siger Middeltallet mellem de to tal omkring midten (tallet 3,5), og atter andre mener, at Ethvert tal i intervallet [3; 4] kan bruges som median. Der er altså uenighed, men fælles for alle forslagene er, at det tal, der udnævnes til median, deler observationssættet i de to halvdele, der angives i indledningen. Når der herover tales om i skolesammenhæng er det fordi, at denne metode til bestemmelse af medianen kun er anvendelig, når der er tale om et beskedent antal observationer og i det vi kalder det virkelige liv, vil der oftest være mange tusinde observationer. Det forhindrer selvfølgelig ikke, at man kan forestille sig observationerne skrevet op i rækkefølge, så definitionen af medianen kan godt være den samme, selv om metoden til at bestemme den i praksis må være en anden. Eleverne kan støde på definitioner som fx Medianen for et observationssæt med summeret frekvens F(x) er den mindste x-værdi for hvilken F(x) 0,5. Medianen vil så kunne aflæses grafisk af grafen for F(x) som antydet på figurerne herunder. flæsning af median på trappediagrammer for ikke-grupperede observationer. Median = 6 Median = 7 21

22 flæsning af median på sumkurver for grupperede observationer. Median = 12,65 Median = 13 Opgave 17 Mathildes svar er ikke uddybende. Selv om to af regneudtrykkene giver samme resultat, så er der ingen garanti for, at det netop er et af de regneudtryk, der er det rigtige. Det kan også være et af de to forskellige regneudtryk, der er det rigtige. 22

23 FCIT SIDE KTIVITET: DET EDSTE VÆRKTØJ TIL OPGVEN DEL 1 -D Elevernes egne svar. DEL 2 - Elevernes egne opgaver. DEL 3 Samarbejde med en anden gruppe om DEL 2. Opgave 18 2a + 2(a 2) = 4a 4 4(a + 1) 4 = 4a C (a + 1) 2 4 = a 2 + 2a 3 D a 2 (a 2) 2 = 4a 4 E (a 1)(a + 1) + a 2 4 = 2a 2 5 F 2(2a 2) = 4a 4 Som det ses, har udtrykkene, D og F samme værdi. Opgave 19 Der er frit valg mht. hvilke tre regulære polygoner med omkreds 10, eleverne vil tegne. Tegner man i hånden, vil den ligesidede trekant (sidelængde 3,3), kvadratet (sidelængde 2,5) og den regulære sekskant (sidelængde 1,7) nok være de nemmeste. ruger man et geometriprogram, vil tre-, fir- og femkanten måske være det oplagte valg. Herunder er brugt GeoGebra, og tre-, fir-, fem- og sekskanten er vist: illederne stammer fra GeoGebra-filen Polygonarealer, som er tilgængelig på MULTIs hjemmeside. Der kan tegnes n-kanter og udregnes areal for n = 3, 4, 5,, 100. Den af de tegnede polygoner, der har det største areal, er den, der har det største antal sider. 23

24 C Tegning af cirkel med omkreds 10. Radius i cirklen kan findes af ligningen 2πr = 10 til r = 5 π 1,59. D Eleverne udregner, hvor mange procent de tegnede polygoners areal dækker af cirklens areal. For de fire polygoner, der er tegnet herover, drejer det sig om: Trekanten: 60,5 % Kvadratet: 78,5 % Femkanten: 86,5 % Sekskanten: 90,7 % Som man kan iagttage ved hjælp af GeoGebra-filen, vil arealet af den regulære polygon nærme sig cirklens areal, som er 25 7,95775, når antal kanter n vokser. π Opgave 20 - De samlede udgifter (uden ekstra entrebilletter) fremgår af celle 10 i regnearket. Der er kun 40 kr. til ekstra entrebilletter, så klassen må nok nøjes med dem, der allerede er købt. Opgave 21 - Se skærmbillede til højre. Man kan godt forsvare en lineær sammenhæng. C Ifølge tendenslinjen vil der i 2022 gå ca. 371, = dvs. ca elever på efterskolerne. D-E Eleverne finder opdaterede tal. 24

25 Opgave 22 Der er (uendeligt) mange rigtige løsninger til denne opgave, så løsningen herunder er blot et eksempel på en gyldig løsning. Her er en løsning tegnet isometrisk. Kasse Pyramide Højde h: 1 cm Grundfladeareal G: 1 cm 2 Rumfang V: 1 cm 3 Højde h: 1 cm Grundfladeareal G: 3 cm 2 Rumfang V: = 1 cm3 De 2 sidste løsninger fås ved i begge figurer at øge højden til 2 og dernæst 3 (eller to hvilke som helst andre forskellige tal), mens grundfladerne holdes uforandret. Udfoldningerne af de to figurer herover kan fx se således ud: Højderne i de to trekanter i udfoldningen af pyramiden kan vha. Pythagoras beregnes til: 25

26 h 1 = = ,8 cm 2 h 2 = = 1 5 1,1 cm 2 Overfladearealet af terningen er 6 cm 2. Overfladearealet af pyramiden er: h h 2 3 = 3 + h 1 + 3h 2 8,16 cm 2. 26