Meditation over Midterbinomialkoefficienten

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Meditation over Midterbinomialkoefficienten"

Transkript

1 18 Juleeventyr Meditation over Midterbinomialkoefficienten En rusrejse fra en fjern juletid Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen Ved juletid for ikke så længe siden faldt tre russer over et åbent problem. Formodning 1 Midterbinomialkoefficienten ( 2n n ) er altid delelig med 4 eller 9 for n 4 bortset fra n = 64 og n = 256. I deres rusnaivitet så det ud til at være et sødt lille problem, som man hurtigt kunne løse. Et lille krydderi til julestemningen. Snart kunne de dog konstatere at dette ikke var tilfældet, men undervejs i arbejdet med formodningen dukkede sjov matematik frem. Dette er historien om deres rejse. Rejsen indebærer flere hyggelige vandringer i talteoriens og kombinatorikkens snedækkede landskaber, som efter forfatternes anbefaling bør nydes foran en åben pejs. Indledende julekagebagning Notation 2 For a, p N og p > 1 skriver vi 4 p k a, hvis k er det største heltal således at p k a. Notation 3 Lad a, b N være givet med b > 1. Da betegner (a) b tallet a skrevet i base b, og a b betegne at a er skrevet i base b. I det følgende vil vi lege lidt med menter. Disse skal opfattes, som man lærte det, da man var en lille pebernødsgnaskende folkeskoleelev. Eksempelvis vil der komme to menter, når man lægger 1 til Hvor N naturligvis ikke indeholder 0.

2 Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen 19 Sætning 4 (Kummers sætning) Der gælder p k ( m+n) m, hvis og kun hvis der er netop k menter i additionen (n) p + (m) p = (n + m) p. Bevis. Beviset og matematikken bag er rigtig fin, og kan for eksempel findes i [1]. Alternativt kan den entusiastiske læser se sætningen som en opbyggelig opgave. Eksempel 5 Hvis vi betragter ( 16 8 ), så er 8 skrevet i base 3 givet ved 22 3 = (8) 3, og i additionen (8) 3 + (8) 3 = = = (16) 3 sker der 2 menter. Det vil sige at 3 2 ( 16 8 ). Russerne så, at Kummers sætning straks indskrænker det oprindelige problem til et spørgsmål om at vise, at der ikke findes k > 2 så 9 ( 2 k+1 ) 2 bortset fra k = 6, 8. Dette overlades ligeledes k til læseren som en (noget nemmere) opgave. På trods af reduktionen af problemet var det dog stadig for hård en julenød for de unge russer, der i stedet betragtede følgende funktion: Definition 6 For alle a N defineres { ( )} 2 k+1 T 9 (a) = # 0 k < a 9 2 k. Denne nye funktion kunne altså tælle antallet af modeksempler til Formodning 1 mindre end 2 a. Et øvre estimat af funktionen blev derfor vore heltes mål. Ved hjælp af Kummers sætning kan en gæv rus benytte fordelingen af cifre i (2 k ) 3 for et generelt k til at sige noget om antallet af gange 3 deler ( 2 k+1 ) 2. Det vil da vise sig at de sidste t cifre af k (2 k ) 3 er periodiske med hensyn til k med periode 2 3 t 1. Da hver 24. årgang, nr. 1

3 20 Meditation over Midterbinomialkoefficienten periode desuden kommer til at indeholde alle mulige kombinationer af t cifre i base 3, hvor det sidste ciffer enten er 1 eller 2, fås et stærkt redskab. Dette var det første russerne satte sig ud for at vise. Definition 7 Eulers phi-funktion ϕ : N N er defineret som ϕ(n) = #{1 a < n gcd(a, n) = 1}. Sætning 8 (Euler-Fermat) For alle indbyrdes primiske tal a, b N gælder a ϕ(b) 1 (mod b). Bevis. Se [1, s. 133]. Lemma 9 For k 0 gælder 3 k k 1. Bevis. Beviset føres ved induktion. For k = 0 og k = 1 får vi henholdsvis = 3 og = 63, hvilket er sandt. Antag nu at 3 k k 1. for et vilkårligt k > 0. Benyt nu følgende faktorisering: ( ) ( ( 2 2 3k+1 1 = 2 2 3k k) ) k + 1. Vi bemærker nu, at 2 3k ( 2 3) 3 k 1 ( 1) 3k 1 1 (mod 9),

4 Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen 21 hvorved vi har ( 2 2 3k) k + 1 ( 1) 4 + ( 1) (mod 9). Dermed gælder 3 får vi 3 k+2 ( 2 2 3k) k + 1, og da 3 k k 1, så ( ) ( ( 2 2 3k k) ) k + 1 = 2 2 3k+1 1. Definition 10 Lad a, b 1 være indbyrdes primiske positive heltal. Da defineres ordenen ord a (b) til at være det mindste positive heltal t så b t 1 (mod a). I julelys og måneskin kan det ses, at b r 1 (mod a) hvis og kun hvis ord a (b) r. Lemma 11 Lad k 0 og 0 < s < 2 3 k. Da gælder 2 s 1 (mod 3 k+1 ). Bevis. Lad t := ord 3 k+1(2). Vi viser nu, at t = 2 3 k. Vi har allerede t 2 3 k, idet t ϕ(3 k+1 ) = 2 3 k jævnfør Sætning 8. Antag nu for modstrid, at t < 2 3 k. Da må der enten gælde t 3 k eller t 2 3 k 1. Da vi har 2 3k 2 (mod 3), så er den første mulighed udelukket. Yderligere følger det af Lemma 9, at 3 k 2 2 3k 1 1, og derfor må der gælde 2 2 3k 1 1 (mod 3 k+1 ), 24. årgang, nr. 1

5 22 Meditation over Midterbinomialkoefficienten så t 2 3 k 1. Dette er i modstrid med antagelsen, og derfor gælder ord 3 k+1(2) = 2 3 k. Denne appetitvækkende julegodte viser altså, at 2 3 k 1 er den minimale periode for de k sidste cifre af (2 k ) 3 : Sætning 12 Lad k, l være givet, så 0 k < l < 2 3 t. Da gælder 2 k 2 l (mod 3 t+1 ). Det vil sige, at de t + 1 sidste cifre af (2 k ) 3 og (2 l ) 3 er forskellige. Bevis. Antag for modstrid at 2 k 2 l (mod 3 t+1 ). Så gælder 3 t+1 2 l 2 k = 2 k (2 l k 1), men dette er i modstrid med Lemma 11, da det medfører 3 t+1 2 k l 1 for 0 < l k < 2 3 t. Sætning 13 For vilkårligt k N 0 får man samtlige følger af k +1 cifre med 1 eller 2 på den sidste plads og 0, 1 eller 2 på de andre, når man betragter de sidste k + 1 cifre af (2 n ) 3 for n så 0 n < 2 3 k. Bevis. De mulige følger på ovenstående form kan vælges på 2 3 k måder. Videre ses det, at da det sidste ciffer af (2 n ) 3 altid vil være enten 1 eller 2, så er de sidste k + 1 cifre altid på denne form. Til sidst følger det af Sætning 12 at alle disse sekvenser af de første k + 1 cifre af (2 n ) 3 er forskellige, og da der er 2 3 k af disse, følger sætningen. Densitet af trinære julegodter Med juletræet forsvarligt pyntet med en præcis beskrivelse af opførelsen af de sidste cifre i (2 k ) 3 og med en passende mængde

6 Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen 23 småkager ved hånden, begyndte udpakningen af julegaverne; et estimat af funktionen T 9 var indenfor rækkevidde. Sætning 14 Lad t 0. Da gælder T 9 (2 3 t ) 2 t 1 (t + 4) Bevis. Det følger af Kummers sætning, at 9 ikke deler ( 2 k+1 ) 2 hvis k og kun hvis additionen (2 k ) 3 + (2 k ) 3 = (2 k+1 ) 3 indebærer færre end to menter. For hvert eneste 2-tal i (2 k ) 3 forekommer der en mente i additionen, og altså vil 9 dele ( 2 k+1 ) 2 hvis der er to eller k flere 2-taller i (2 k ) 3. 5 Ved Sætning 13 vil de sidste t + 1 cifre af (2 k ) 3 antage alle kombinationer, hvor det sidste ciffer er 1 eller 2 og de andre er 0, 1 eller 2, når 0 k < 2 3 t. Vi vil tælle, hvor mange af disse kombinationer som indeholder færre end to 2-taller. Der er to tilfælde: Ingen 2-taller: Der er 2 t kombinationer af de sidste t + 1 cifre, så de ikke indeholder nogen 2-taller, da det sidste ciffer må være 1 og de andre enten er 0 eller 1. Netop ét 2-tal: Antallet af måder, hvorpå de sidste t+1 cifre kan indeholde præcis ét 2-tal kan findes på følgende måde. Hvis det sidste ciffer er et 2-tal, så er der 2 t forskellige måder de resterende cifre kan fordeles. Hvis det sidste ciffer er 1, så må et af de t cifre være et 2-tal, og de resterende kan antage værdierne 0 eller 1 på 2 t 1 måder. Dermed er der 2 t +t2 t 1 kombinationer, som opfylder dette. 5 Læseren, der endnu ikke er påvirket af juleøl, vil her bemærke, at man kan opnå bedre resultater ved også at kigge på menter fra et-taller. Det vil vi i denne fremstilling afholde os fra. 24. årgang, nr. 1

7 24 Meditation over Midterbinomialkoefficienten Det vil sige, at der ialt maksimalt er 2 t +2 t +t2 t 1 = 2 t 1 (t+4) tal 0 k < 2 3 t således at (2 k ) 3 giver mindre end to menter, når den lægges til sig selv i base 3. Dermed fås det ønskede estimat. Med denne gave godt udpakket kan vi nu få et generelt estimat: Sætning 15 For et vilkårligt a N gælder T 9 (a) a log 3 (2) (log 3 (a) + 5). Bevis. Lad t være givet, så 2 3 t a < 2 3 t+1. Da har vi t log 3 (a) log 3 (2). Da T 9 oplagt er en voksende funktion, så kan vi vurdere 6 T 9 (a) ved Sætning 14: ( T 9 (a) T t+1) 2 t (t + 5) 2 log 3 (a) log 3 (2) (log 3 (a) log 3 (2) + 5) 2 log 3 (a) (log 3 (a) + 5) = a log 3 (2) (log 3 (a) + 5). Russerne kunne nu bruge dette estimat til at sige noget om, hvor ofte Formodning 1 fejler. Eller med andre ord: densiteten af de bløde pakker blandt midterbinomialkoefficienterne. 6 Igen vil den opmærksomme læser bemærke, at vi for overskuelighedens skyld smider mere væk end julemanden i Bamses Julerejse.

8 Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen 25 Definition 16 Densiteten af en mængde A N defineres som grænsen #(A {1, 2,, a}) ρ(a) = lim. a a Korollar 17 Lad R N være mængden af naturlige tal k, som opfylder 9 ( 2 k+1 2 k ). Da er ρ(r) = 0. Bevis. Vi ser at T 9(a) a er ρ(r) def = lim a T 9 (a) a = 0. log 3 (a)+5 a 1 log 3 (2), og da log lim 3 (a) + 5 a a 1 log 3 (2) = 0, Juletræets grønne top Nu kunne den pejsedøsige læser fristes til at tro at juleeventyret slutter her, men russerne fortsatte ufortrødent. Definition 18 For ulige m N lader vi: { T m (a) = # 0 s < a m ( )} 2 s+1 Denne funktion var lidt sværere at knække, men efter lang tids terningekasten skaffede russerne sig følgende julegave i matematikkens store pakkeleg: Sætning 19 Lad m > 1 være ulige og lad p være det største primtal, der deler m. Da gælder T m (a) = o (a log p ( p+1 )+ɛ) 2 for ethvert ɛ > 0. 2 s 24. årgang, nr. 1

9 26 Meditation over Midterbinomialkoefficienten Denne sætning blev vist, da juletiden var ved at gå på hæld og russerne lå og lavede sneengle på de salige idrætsstuderendes tilsneede spydkastmark. Her åbenbarede Herrens (eller Erdős eller læserens yndlingsmatematikers) engle sig for dem, og de så, at man for vilkårligt α N og primtal p kunne udvælge indekser i cifrene af (α k ) p så samtlige mulige følger af cifre fremkommer ved disse indekser. 7 Dette kunne russerne bruge. De styrtede ind til den nærmeste tavle og med samme teknik som i tilfældet α = 2 lykkedes det dem at sikre resultatet. Glade og tilfredse løb de ned til kagesøster og varm kakao. Det var nu blevet en rigtig jul. Litteratur [1] R. L. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. Concrete Mathematics. Addison-Wesley, Interesserede læsere er meget velkomne til at kontakte forfatterne.

10 Blokkens præmieopgave 27 Hvad viser klokken? præmieopgave, 24. årgang nr. 2 Så er præmieopgaven tilbage igen! Som sædvanlig lyder præmien på et gavekort på 100 kr til GAMES. Betragt et ur, hvor vi ser bort fra mekanikken og antager, at time og minutviser går på kontinuert vis. Hvor mange forskellige klokkeslæt findes der, hvor man kan ombytte time og minutviser og stadig vise noget gyldigt? For eksempel får vi ikke et gyldigt klokkeslæt, når vi ombytter time- og minutviser kl. 05 : 00, da timeviseren ikke kan stå på præcist 12, når klokken er 25 over. Vinderen udtrækkes fra mængden af de besvarelser, som er mere eller mindre overbevisningsdygtige. Farvel til ekstraopgaven Mange tak til de flittige korrespondenter (særligt shoutout til Sune og Thor), der var med til at besvare Blokkens Ekstraopgave. Takket være jeres færdigtexede besvarelser havde vi en artikel at se frem til i hver blok. Dog er vores portrættegner optaget, og ingen af de resterende redaktionsmedlemmer har mod på at tegne Sune de første to potrætter var så flotte, at tredje gang kun kan blive en skuffelse. Vi siger derfor farvel til ekstraopgaven for denne gang årgang, nr. 1

11 FAMØS Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik ved Københavns Universitet Illustrationer: Jing (Question Marc) Deadline for næste nummer: 1. marts 2015 Indlæg modtages gerne og bedes sendt til gerne i L A TEX og gerne baseret på skabelonen som kan hentes på hjemmesiden. Famøs er et internt fagblad. Eftertryk tilladt med kildeangivelse. Fagbladet Famøs c/o Institut for Matematiske Fag Matematisk Afdeling Universitetsparken København Ø Oplag: 300 stk. Tryk: Frydenberg A/S ISSN: årgang, nr. 1, Dec 2014

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

December 2010 7. årgang, nr. 11

December 2010 7. årgang, nr. 11 Der er kommet nye billeder i nogle af vores fotomapper på reolen. Indtil videre kan man nu nyde og evt. genopleve de gode minder fra: December 2010 7. årgang, nr. 11 Fristedet Valby Søndergade 2 2630 Taastrup.

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

IMADAs Fagråd. Evalueringsrapport. Matematik & Datalogi. 2. juni 2011. Kontaktpersoner

IMADAs Fagråd. Evalueringsrapport. Matematik & Datalogi. 2. juni 2011. Kontaktpersoner Evalueringsrapport Matematik & Datalogi 2. juni 2011 Kontaktpersoner Christian Kudahl - chkud08@student.sdu.dk Maria Buhl Hansen - marih09@student.sdu.dk Indhold Indhold 2 1 Indledning 4 1.1 Matematik-økonomi.......................

Læs mere

Introduktion til Kryptologi. Mikkel Kamstrup Erlandsen

Introduktion til Kryptologi. Mikkel Kamstrup Erlandsen Introduktion til Kryptologi Mikkel Kamstrup Erlandsen Indhold 1 Introduktion 2 1.1 Om Kryptologi.......................... 2 1.2 Grundlæggende koncepter.................... 2 1.3 Bogstaver som tal........................

Læs mere

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Sandsynlighedsbaserede metoder

Sandsynlighedsbaserede metoder Metodeartikel 29 Sandsynlighedsbaserede metoder Monte Carlo-metoden Daniel Kjær I sidste udgave af Famøs kunne læseren finde første halvdel af en todelt artikelserie om sandsynlighedsbaserede metoder under

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Indhold. Model for en dag vol. 2. Julegaveværksted. Det Blå Marked. Juledekorationer. Madbix med gæstekok. Nissebowling. Lucia.

Indhold. Model for en dag vol. 2. Julegaveværksted. Det Blå Marked. Juledekorationer. Madbix med gæstekok. Nissebowling. Lucia. Dag Dato Aktivitet Personale Tirs 4. nov Model for en dag vol. 2 To, Ki, Ja, Tr, Ti Tors 6. nov Butterflymøde Ki, Ja, Ca, Tirs Tors 11. nov 13. nov Svanesang Julegaveværksted Drengerøvsaften FIFA på PlayStation

Læs mere

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning

Læs mere

Gæt et tal Søren Eilers

Gæt et tal Søren Eilers 22 Gæt et tal Søren Eilers Et gæt En aften midt i oktober faldt jeg på nettet over en konkurrence afholdt af radioprogrammet Detektor på P om at gætte det tal mellem 0 og 00, der var halvdelen af gennemsnittet

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

OM BEVISER. Poul Printz

OM BEVISER. Poul Printz OM BEVISER Poul Printz Enhver, der har stiftet bekendtskab med matematik selv å et relativt beskedent niveau, er klar over, at matematiske beviser udgør et meget væsentligt element af matematikken. De

Læs mere

Martin Geisler Mersenne primtal. Marin Mersenne

Martin Geisler Mersenne primtal. Marin Mersenne Martin Geisler Mersenne primtal Marin Mersenne 3. årsopgave Aalborghus Gymnasium 22. 29. januar 2001 Forord Denne opgave skal handle om Mersenne primtal, men kommer også ind på meget andet. Da de forskellige

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM526 Rolf Fagerberg, 2009 Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, kommatal) Bogstaver Computerinstruktion (program)

Læs mere

Årsplan for matematik i 1.-2. kl.

Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Lærer Martin Jensen Mål for undervisningen Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig matematiske kompetencer og arbejdsmetoder jævnfør Fælles Mål. Eleverne

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Rustur, campusuge og frafald Søren Wengel Mogensen

Rustur, campusuge og frafald Søren Wengel Mogensen 4 Analyse Rustur, campusuge og frafald Søren Wengel Mogensen Den seneste tid har budt på studiestart, og først og fremmest skal der lyde et stort velkommen til de nye studerende. Det er ikke sikkert, at

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Komrapporten Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisningen

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).

Læs mere

Kønsproportion og familiemønstre.

Kønsproportion og familiemønstre. Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,

Læs mere

Nr.10,5 december/januar 2011/2012! 11.årgang! OK-Hjemmet Thea! Protektor Hendes Kongelige Højhed Prinsesse Benedikte

Nr.10,5 december/januar 2011/2012! 11.årgang! OK-Hjemmet Thea! Protektor Hendes Kongelige Højhed Prinsesse Benedikte EKSTRA JUL Nr.10,5 december/januar 2011/2012! 11.årgang! OK-Hjemmet Thea! Protektor Hendes Kongelige Højhed Prinsesse Benedikte Sætternissen har været på spil!! Ninas fine artikel om Psykiatrien s Dag

Læs mere

Evaluering af matematik 0. klasse

Evaluering af matematik 0. klasse Evaluering af matematik 0. klasse Undervisningsplan Emne: Af jord er du kommet Tema: Hedens dyr og planter Opstart: August 2013 Lyngen er et pragtfuld tæppe skrev H. C. Andersen efter han i 1860 var på

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Februar 2010. En lille reminder - Byen i skolen - Dukkeværksted Mobiltelefoner

Februar 2010. En lille reminder - Byen i skolen - Dukkeværksted Mobiltelefoner Februar 2010 Indhold: Sidste nyt: Info: Konkurrence: Opslagstavlen: Redaktion: Poul En lille reminder - Byen i skolen - Dukkeværksted Mobiltelefoner Deadline for næste avis Indlæg kan sendes på kridthundst@sol.dk,

Læs mere

Nyhedsbrevet. December

Nyhedsbrevet. December Nyhedsbrevet December Indhold: Leder.... Side 3 Nyt fra Holme.... Side 5 Nyt fra Absalonsgade. Side 6 Nyt fra Boenheden.. Side 7 Nyt fra KopITryk. Side 8 KopITryks julearrangement... Side 10 Tanker om..

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Indholdsfortegnelse. 0. og 1. klasse har lavet selvportrætter

Indholdsfortegnelse. 0. og 1. klasse har lavet selvportrætter 0. og 1. klasse har lavet selvportrætter Indholdsfortegnelse Side 2: Skolelederen har ordet Side 4: Kalenderen Side 5: Nyt fra Klubben Side 6: Så er der fest i indskolingen Side 7: Rundt på skolen Side

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hh141-mat/b-23052014 Fredag den 23. maj 2014 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

ErhvervsKvindeNyt Herning December 2012

ErhvervsKvindeNyt Herning December 2012 ErhvervsKvindeNyt Herning December 2012 Sne, sjap, kulde og bilen vil ikke starte. eller sne, smukke landskaber, hygge indendøre, glögg. Begge dele er jo vinter, men mediernes fokus og måske vores eget?

Læs mere

Samuelsgården. Skolevænget 19 6840 Oksbøl

Samuelsgården. Skolevænget 19 6840 Oksbøl Årgang 24. År 2011 Samuelsgården. Skolevænget 19 6840 Oksbøl Telefon: 79 94 73 44 3 kl. besked/telefonsvare 79 94 73 43 Fax nummer: 79 94 73 36 Hjemmeside: www.samuelsgaarden.dk E-mail: Samuelsgaarden@varde.dk

Læs mere

F-dag - 0.c på naturhistorisk museum

F-dag - 0.c på naturhistorisk museum Februar F-dag - 0.c på naturhistorisk museum På årets første fordybelsesdag skulle 0.c på Naturhistorisk museum. Vi startede dagen med at snakke og lave opgaver om danske og afrikanske dyr. Vi arbejdede

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Eksempel 2: Forløb med inddragelse af argumentation

Eksempel 2: Forløb med inddragelse af argumentation Eksempel 2: Forløb med inddragelse af Læringsmål i forhold til Analyse af (dansk, engelsk, kult) 1. Hvad er (evt. udgangspunkt i model) 2. Argumenter kommer i bølger 3. Evt. argumenttyper 4. God Kobling:

Læs mere

Skrive-/fototeam. SKRIVE & FOTO // KLF, Kirke & Medier

Skrive-/fototeam. SKRIVE & FOTO // KLF, Kirke & Medier Skrive-/fototeam Fortæl hele KLF, Kirke & Medier, hvad vi laver. Tag med til arrangementer eller følg med i debatter, og lav en artikel til hjemmesiden og nyhedsbrevet. Hvorfor har KLF et skrive/foto-team

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Stenlille Handels- Håndværker og Borgerforening REFERAT FRA ORDINÆR GENERALFORSAMLING

Stenlille Handels- Håndværker og Borgerforening REFERAT FRA ORDINÆR GENERALFORSAMLING Stenlille Handels- Håndværker og Borgerforening REFERAT FRA ORDINÆR GENERALFORSAMLING AFHOLDT I STENLILLE HALLENS SELSKABSLOKALE ONSDAG DEN 20. FEBRUAR 2008 Klokken 19.00 bød formand Carl-Henrik Nielsen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik niveau

Læs mere

JULEKALENDERE FIRMA OG FIRMAJULEGAVER

JULEKALENDERE FIRMA OG FIRMAJULEGAVER JULEKALENDERE FIRMA OG FIRMAJULEGAVER Spar mange penge på firma Julegaverne Nye gevinst systemer Introduktion Bogtrykkergården er specialist i fremstilling og produktion af julekalendere, med indbyggede

Læs mere

Geom2-dispositioner (reeksamen)

Geom2-dispositioner (reeksamen) Geom2-dispositioner (reeksamen) Rasmus Sylvester Bryder 20. april 2012 1 Mangfoldigheder i R n 1. Introducér begreberne parametriseret mangfoldighed, regularitet, indlejret parametriseret mangfoldighed

Læs mere

Godt Nytår Farvel til 2011 og velkommen til 2012

Godt Nytår Farvel til 2011 og velkommen til 2012 Den korte udgave: Godt Nytår Farvel til 2011 og velkommen til 2012 Vi blev gift 24 nov. 2011 Vi holdt ferie i feb. 2011 (for første gang i rigtig mange år for Morten) hvor vi tog en uge til Tenerife -

Læs mere

Matematik, der afgør spil

Matematik, der afgør spil Artikeltype 47 Matematik, der afgør spil Sandsynlighedsregning vinder ofte. Kombinatorisk spilteori sejrer hver gang Mads Thrane Hvis du er træt af at tabe opvasketjansen i Sten Saks Papir eller Terning,

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

På forhånd tak. Personalet. Der er intet så stille i verden som sne.indtil børnene kommer ud og leger i den.

På forhånd tak. Personalet. Der er intet så stille i verden som sne.indtil børnene kommer ud og leger i den. SAMUELSGÅRDEN, MINIKLUBBEN, TORPSALLÉ 4, 6840 OKSBØL TLF. 79947295. Hjemmeside: www.samuelsgaarden.dk De store opfindelsers tid er ikke forbi. Da den dybe tallerken var fundet, har Thomas Møller i stedet

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Regneark hvorfor nu det?

Regneark hvorfor nu det? Regneark hvorfor nu det? Af seminarielektor, cand. pæd. Arne Mogensen Et åbent program et værktøj... 2 Sådan ser det ud... 3 Type 1 Beregning... 3 Type 2 Præsentation... 4 Type 3 Gæt... 5 Type 4 Eksperiment...

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

Bofællesskabet Stenlille

Bofællesskabet Stenlille Bofællesskabet Stenlille Nyhedsbrev vinter 2014 Vinteren går på hæld og vi begynder at glæde os over de små forårstegn. Heldigvis har vinteren ikke været slem i år. Der har kun været få dage, hvor det

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

VEJLEDNING. Sådan kan vi rekruttere mangfoldigt til Ungdommens Røde Kors

VEJLEDNING. Sådan kan vi rekruttere mangfoldigt til Ungdommens Røde Kors VEJLEDNING Sådan kan vi rekruttere mangfoldigt til Ungdommens Røde Kors Velkommen I denne vejledning kan du se, hvad du skal gøre for at undervise i Sådan kan vi rekruttere mangfoldigt til Ungdommens Røde

Læs mere

KONTAKT 12/13 nr. Indhold: A P R I L

KONTAKT 12/13 nr. Indhold: A P R I L KONTAKT 12/13 nr. A P R I L Indhold: Aktuelt i april s. 2 Fritternyt s. 3 4.a syr slanger s. 3 Besøg af Vejen Musiksko le s. 4 8.årgang i Odense s. 4 A-dage i E 3 s. 5 Foredrag med forfatter s. 6 Skolefest

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Nyhedsbrev NYHEDSBREV. Uge 38 2015 18. september 2015

Nyhedsbrev NYHEDSBREV. Uge 38 2015 18. september 2015 Nyhedsbrev NYHEDSBREV Uge 38 2015 18. september 2015 1. Ærgerlig omtale 2. Samtale i skoleåret 2015-16 om trivsel, tid og opgaver 3. AT 4. SRP 5. Skriftligt fravær og skriveværksted 6. Faaborg Rotary Klub

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Trine Eliasen

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

SJOVE TING TIL JUL En male/klippe/klistrebog for hele familien

SJOVE TING TIL JUL En male/klippe/klistrebog for hele familien Gratis prøveversion Agnes Ingersen SJOVE TING TIL JUL En male/klippe/klistrebog for hele familien Foto Claus Eliasen Forlaget Ingersen Sjove Ting Til Jul Copyright: 2007 Agnes Ingersen 1. udgave, 1. oplag.

Læs mere

Ved hjælp af kortet kan I se, hvor I kan finde svarene.

Ved hjælp af kortet kan I se, hvor I kan finde svarene. Hjerl Hede er fyldt med spændende oplevelser. Imens I nyder husene, værkstederne og levendegørelsen, kan I også udfordre hinanden i, hvem der kan finde svarene til de 9 spørgsmål i hæftet. Ved hjælp af

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Lærer på et handelsgymnasium Kristian Peter Poulsen

Lærer på et handelsgymnasium Kristian Peter Poulsen Jobopslag og tanker om jobbet 13 Lærer på et handelsgymnasium Kristian Peter Poulsen Når sommerferien står får døren, kan jeg se tilbage på et ualmindeligt lærerigt år som gymnasielærer. Et år, hvor jeg

Læs mere

Mafia-bryllup på Natteravnen. December 2011 44. årgang

Mafia-bryllup på Natteravnen. December 2011 44. årgang December 2011 44. årgang Mafia-bryllup på Natteravnen Vores nye hjemmeside er LIVE Side 1+9 Manglende kontingent indbetalinger Side 2 Tak til hjemmesideholdet Side 7 klan-konkurrence Side 7 Lederne i Gruppelederne:

Læs mere

Naturen i byen Overlade Skole. Et tværfagligt projekt for 5. + 6. klasse. For fagene: Dansk, Matematik, Billedkunst, Sløjd, Musik & Natur/Teknik.

Naturen i byen Overlade Skole. Et tværfagligt projekt for 5. + 6. klasse. For fagene: Dansk, Matematik, Billedkunst, Sløjd, Musik & Natur/Teknik. Et tværfagligt projekt for 5. + 6. klasse For fagene: Dansk, Matematik, Billedkunst, Sløjd, Musik & Natur/Teknik. Et MEGA godt emne det har været sjovt! Patrick Stistrup 6. klasse Indhold - Hvad har vi

Læs mere

UGEBREV nr. 58 uge 02

UGEBREV nr. 58 uge 02 UGEBREV nr. 58 uge 02 Årgang 5 Kære alle børn og forældre! Det var rigtig rart at se alle børn og voksne igen efter en god lang juleferie. Alle er mødt op med godt humør, så vi har haft en fin første uge

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

OBS!! Nyt i Bakkenyt: fælles kalender nederst i nyhedsbrevet

OBS!! Nyt i Bakkenyt: fælles kalender nederst i nyhedsbrevet OBS!! Nyt i Bakkenyt: fælles kalender nederst i nyhedsbrevet Hørning d. 1.2.2012 Kære Forældre Vinterferie I uge 7 er der pasning på Højbo SFO. Der er ingen tilmelding, åbningstiderne er som vanligt fra

Læs mere

UGEBREV nr. 79 uge 26

UGEBREV nr. 79 uge 26 UGEBREV nr. 79 uge 26 Årgang 5 Sommerferie Efter et langt og godt skoleår kan alle nu holde en velfortjent sommerferie. Alle børnene har fået et brev med hjem til hver familie med et sommerbrev, skemaer,

Læs mere

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen.

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen. Fag: Matematik Hold: 21 Lærer: ASH 33-34 35-36 lære at læse og forstå en lønseddel samt vide hvordan deres skat bliver beregnet. Se i øvrigt fælles mål Arbejde med regnehieraki og regneregler. 36-38 Elevere

Læs mere

Nyt fra 0. årgang. Nyhedsbrev Fritterhøjen uge 46+47 2010. Så kan det godt blive december 0. årgang er klar!

Nyt fra 0. årgang. Nyhedsbrev Fritterhøjen uge 46+47 2010. Så kan det godt blive december 0. årgang er klar! Nyt fra 0. årgang Så kan det godt blive december 0. årgang er klar! Aktiviteter: I denne uge har flere børn været forbi 0.B. hvor man kunne være med til at synge, danse og lege en masse dejlige julesange.

Læs mere

Cykel Score når chips sætter gang i cyklisterne

Cykel Score når chips sætter gang i cyklisterne Artikel til Vejforum 2011 Cykel Score når chips sætter gang i cyklisterne Civilingeniør Troels Andersen, Fredericia Kommune, troels.andersen@fredericia.dk CykelScore er et helt nyt kampagnekoncept til

Læs mere

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er Ugens emner FA minimering [.-.] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er En karakteristik af de regulære sprog Et sprog L er regulært hvis og kun hvis L beskrives af et regulært udtryk

Læs mere

Brugsanvisning Chronograph serie 300, 600 Diver, 650, Ocean Master

Brugsanvisning Chronograph serie 300, 600 Diver, 650, Ocean Master Brugsanvisning Chronograph serie 300, 600 Diver, 650, Ocean Master CHRONOGRAPH 1/10-sek. DANSK Vi takker for den tillid du har vist os ved at vælge et ur af mærket SECTOR. For at sikre at du får mest og

Læs mere

Møde i Aalborg HK s bestyrelse tirsdag d. 16. august 2011 kl. 19.00 i Idrætshallens cafeteria

Møde i Aalborg HK s bestyrelse tirsdag d. 16. august 2011 kl. 19.00 i Idrætshallens cafeteria Møde i Aalborg HK s bestyrelse tirsdag d. 16. august 2011 kl. 19.00 i Idrætshallens cafeteria Dagsorden: 1) Godkendelse af referat 1.1 Er godkendt og lagt på nettet 2) Indlæg fra bestyrelsesmedlemmerne

Læs mere