Matematik naturvidenskaben om Mange Formel-regning med formelregner TI-82
|
|
- Ella Johannsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 C Matematik naturvidenskaen om Mange Formel-regning med formelregner TI-82 Algera Geometri?+3 = 15?*3 = 15?^3 = 125 3^? = 243 A + B = 90 B c^2 = a^2 + ^2 x+3 = 15 x*3 = 15 sin A = a c x = 15 x^3 = 125 3^x = 243 x = x = 3 log 243 c a x = 125 log 3 A C cos A = c + * / eksp rod gr.tal log tan A = a Kompendium - vejen til effektiv læring Læring formidler viden til hjerner. Et menneske har tre hjerner: en til rutiner, en til følelser og en til mening. Som naturvidenska om mange får matematik mening. Og mening giver den lærende lyst til at lære faget ved selv at opygge rutiner gennem træning. Matematik forudsiger tals ændring med formler, og estår af to hovedområder: Geometri måler trekanters længder, vinkler og arealer. Algera genforener tal med de 2x4 regningsarter Opsamling: +, *, ^ og Opdeling:, /, & log og d/dx Kompendiet medtager matematikkens historie og fagets etydning som et forudsigelses-sprog, der skate grundlaget for, at et moderne samfund kan opygges på aggrund af naturvidenska om stof i rum og tiden. Ko mpendiet indeholder en introduktion til matematikmodeller, den kvantitative litteratur. I kompendiet oplever den lærende hele tiden matematik som forudsigelse, der kan testes ved afprøvning. Kompendiet anvender formelregneren TI-82. Kompendier til A, B og C samt projektforslag findes på Mellemskolen.net. PLUSvækst GANGEvækst + a*n = y = * a^n Teori, opgaver og projekt +a *a +a *a +a *a Matematik forudsiger... 1 Regningsarter opsamler og opdeler... 2 Formler og ligninger... 3 Konstant vækst... 4 Rette trekanter... 5 Ikke-rette trekanter... 6 Statistik... 7 Polynom-kurver... 8 Trekantsopgaver... 9 Statistikopgaver Hjemmeregning Allan.Tarp@MATHeCADEMY.net Version C2011.1
2 Matematik forudsiger Matematik Algera Opdeler og genforener tal Geometri Opmåler jord-former Statistik Reducerer mange tal til to Matematik estår af to hovedområder: algera og geometri samt statistik Algera (regning) forudsiger optælling, enten slut- eller enkelt-tallene. Geometri (jordmåling) opmåler plane figurer eller rumlige former. Statistik (tælling) eskriver talmængders midte og spredning. Algera etyder genforening på araisk. Algera kan oversættes til regning. Algera giver svaret på spørgsmålene: Hvordan forenes enkelt-tal til en total? Hvordan opdeles en total i enkelt-tal? Geometri etyder jordmåling på græsk. Algera og geometri opstod som svar på de to grundlæggende spørgsmål: Hvordan deler vi jorden og det den producerer? Oprindeligt rødfødte mennesker sig som andre dyr, som jægere og samlere. Det første kulturskift sker med indførelse af agerrugskultur i varme floddale, hvor alt kunne produceres, specielt peer og silke. Højlandsfolket havde ingen varer at ytte med, kun jergenes ædelmetaller, især sølv. Sølvminerne uden for Athen finansierede den græske kultur og det græske demokrati. Sølvminerne i Spanien finansierede det romerske imperium, som rød sammen, da minerne eroredes først af vandaler siden araere. Sølvets forsvinden hensætter Europa i mørk middelalder. Indtil der findes en sølv -dal i Harzens jerge (dollar = thaler). Handelsvejene genopstår og financierer italiensk renæssance og tyske fyrstendømmer. Italiens rigdom udlånes gennem anker, hvilket fører til rentesregning. Handelen formidles igen af araere, som udvikler den græske geometri til trigonometri, indfører en ny regnekunst, algera. Og erstatter romertal med araertal, som kan udganges: XXVII*LXIV = 27*64 = (20+7)*(60+4) = = 1728 = MDCCXXIII. Den græske geometri opstod da Pythagoras opdagede formler, som kunne ruges til at forudsige lyde og former. For at skae vellyd skal strengens længde have estemte tal-forhold. I retvinklede trekanter er to sider frie, men den tredie kan forudsiges af Pythagoras læresætning: a^2 + ^2 = c^2. Pythagoras overfortolkede sin succes ved at hævde: Alt er tal. I Athen lev filosoffen Platon inspireret af Pythagoras til at oprette et akademi, som yggede på den tro, at alt fysisk er eksempler på metafysiske former, som f.eks. geometrien, der kunne udledes som eksempler på metafysiske aksiomer. Kom kun ind hvis du kender geometri skrev Platon over akademiets indgang. Platon fandt ikke flere formler. Og hans akademi lev omdannet til kirkens klostre, der senere lev omdannet til vore dages universiteter, stadig med lange gange med celler, hvor kommentatorer kommenterer hinandens kommentarer. Den næste formel lev fundet i Italien af Galilei, som målte strækning s og tid t for et skråt fald på et skråplan og fandt at s=½*g*t^2. Italien gik dog fallit, fordi prisen for peer faldt til 1/3 i Lissaon, da portugiserne opdagede den anden vej til Indien rundt om Afrika, og herved kunne springe de araiske mellemhandlere over. Spanien forsøgte at finde en tredje vej til Indien: Ved at sejle mod vest opdager de Vestindien, hvor der hverken er peer eller silke, men til gengæld rigeligt med sølv, argentum, f.eks. i sølvlandet Argentina. Englænderne stjæler de spanske sølvflåder og forsøger at finde en fjerde vej til Indien, over havet uden landkending. Her skal man sejle efter månen, og man spurgte derfor: Hvordan evæger månen sig? Kirken sagde: Mellem stjernerne. Newton sagde: NEJ. Månen falder mod jorden ligesom ælet. Hvorfor falder ælet til jorden? Kirken sagde: Det er en metafysisk vilje, som sker i himlen som på jorden. Og Herrens vilje er ueregnelig, så alt hvad du kan gøre er at tro, gå i kirke og lære at ede. Newton sagde: NEJ. Det er en fysisk vilje, som sker overalt. Men denne vilje, tyngdekraften, er eregnelig, da den kan sættes på formel. Så alt hvad du skal gøre er at vide, gå i skole og lære at regne. Antikkens fysik sagde: Men kraft skaer evægelse, og månen har jo ikke ramt jorden? Newton sagde: NEJ, en kraft skaer evægelsesændring, så derfor er jeg nødt til at udvikle -regning, som viser, at månen falder så skævt, at jorden er krummet væk inden den rammer, hvorfor månen udfører et evigt fald rundt om jorden. Brahe rugte sit liv på at måle planetpositioner. Kepler fortolkede Brahes data korrekt, men kunne ikke validere sine tre love uden at opsende nye planeter. Newton kunne derimod validere sin tyngdekraft med faldende ting og penduler. Newtons succes førte til oplysningstiden, hvor man indså, at med formler ehøver man ikke mere formynderi fra de to herrer, Herremanden og Vorherre. I stedet kan oplyste mennesker opygge et demokrati og en industrikultur aseret på formlernes evne til at forudsige naturens adfærd. Og på den vareaserede trekantshandel, der kom med englændernes opdagelsen af, at der var flere penge at tjene på omuld end på silke, og derfor plantede omuldsplantager i USA. I den moderne skole findes groft sagt tre typer fag: NAT-fag som forud-siger naturen med formler, SAM-fag som agud-siger samfundet med taeller, og HUM-fag, som (stadig) fortolker i liotekets tekster. Matematik naturvidenskaen om Mange 1 Allan.Tarp@MATHeCADEMY.net
3 Regningsarter opsamler og opdeler Regningsarter ruges til at forudsige totalen T. Der er 2*4 regningsarter til opsamling af/opdeling i forskellige typer tal: Opsamling af Opdeling i Styktal Kr,kg,s Pertal Kr/kg, kr/100kr, % Uens Plus + Minus - Integration Differentiation Ens Gange * Division / Potens ^ Logaritme & rod a kr og n kr er totalt T kr: a kr n gange er totalt T kr: a+n = T n*a = T r % n gange er totalt T%: (1+r)^n = 1+T a1 kg á p1 kr/kg + a2 kg á p2 kr/kg er totalt T kr: p1*a1+ p2*a2 = T: p*a = T Algera etyder at samle eller genforene på araisk. Algera kan oversættes til regning, forudsigelse. Algera giver svaret på spørgsmålet: Hvordan kan vi forudsige optællingen af enkelttal til en samlet total? Der er f ire måder at opsamle enkelttal på: plus (+), gange (*), potens (^) og integration ( ). Plus + ruges til at forudsige opsamling af uens enkelttal: 2kr og 3 kr og 4 kr er totalt T kr: = T Gange * ruges til at forudsige opsamling af ens enkelttal: 2kr + 2kr + 2kr + 2kr + 2kr = 5 gange 2kr = T, 5*2 = T Jo Optæl Forudsig 32kr og 63 kr 2kr 36 gange 20% 5 gange 1,2,,95 2,4,,72 120, T = T=72*2 T=120%^5 Potens ^ ruges til at forudsige opsamling af ens procenttal: 5 gange 2% er totalt T%, 102%^5 = 1+T Integration eller ruges ved opsamling af forskellige per-tal: 2kg á 7kr/kg + 3kg á 8kr/kg er totalt T kr: 7*2 + 8*3 = T, kr/kg * kg = T, p*dx = T Omvendte regningsarter findes til alle regningsarter, og ruges til at opdele en total i enkelttal. x+3 = 15 Spørgsmål: Hvad er det tal, som plusset med 3 giver 15? x = 15-3 Forudsigelse: 15-3 er det tal, som plusset med 3 giver 15. Test: 3+(15-3) = 15 Regel Plus-tal overflyttes som minus-tal, og omvendt x*3 = 15 Spørgsmål: Hvad er det tal, som ganget med 3 giver 15? x = 15 3 Forudsigelse: 15 3 er det tal, som ganget med 3 giver 15. Test: 3*15 3 = 15 Regel Gange-tal overflyttes som divisions-tal, og omvendt x^3 = 125 Spørgsmål: Hvad er det tal, som opløftet i 3de giver 15? x = Forudsigelse: er det tal, som opløftet i 3de giver 15. Test: ^3= 125 Regel Eks ponent overflyttes som rod og omvendt 3^x = 243 Spørgsmål: Hvad er det antal gange, der skal ganges med 3 for at få 243? x = log243 Forudsigelse: log243 log243 er det antal gange, der skal ganges med 3 for at få 243. Test: 3 ^ = 243 log3 log3 log3 Regel Grund-tal overflyttes som logaritme, og omvendt Et landet regnestykke indeholder flere regnestykker, men kan reduceres til et enkelt regnestykke ved at sætte en skjult parentes om det stærkeste regnestykke: T = 2+3*4 = 2+(3*4), T = 2+3^4 = 2+(3^4), T = 2*3^4 = 2*(3^4) Prioritet: 1. (), 2.^, 3. *, 4. + Formel-formular (lignings-skema) kan ruges til dokumentation af ligningsløsning Her skrives det ukendte tal c =? T = a+*c Her skrives formlen Her skrives de kendte tal a = 2 14 = 2+(3*c) = 3 (14-2) T = 14 3 = c 4 = c Løsningen eregnes Her udføres test Test 14 = 2+3*4 14 = 14 Opgaver Find det ukendte tal. Lav flere opgaver med randm (3,1) 1. T = a+*c 2. T = a+/c 3. T = a*^c 4. T = a+^c 5. T = a-*c 6. T = a-/c 7. T = a/^c 8. T = a-^c Fra doelt til enkelt regnestykke med skjult parentes + over flyttes som det modsatte, - og * som det modsatte, / Parentes om det regnestykke, der var i forvejen MATHSolver 0 = Y1-Y2, Y1=14, Y2= 2+3*x giver x = 4 Grafisk kontrol ved CALC Intersection Y1 = Y2. T a c I II III Matematik naturvidenskaen om Mange 2 Allan.Tarp@MATHeCADEMY.net
4 Formler og ligninger En formel estår af et regnestykke og et tal der udregnes, f(x) = y En ligning er en formel med 1 uekendt. En ligning kan løses. En funktion er en formel med 2 uekendte y 0 f(x). En funktion kan taellægges og grafes som scenarier: Hvis x = a så er y = f(a) osv. Indkøs-formlen : kr + x kg á a kr/kg er totalt y kr: + x * a = y Udytte-formlen: kr.+a kr delt mellem x personer er totalt y kr: + a / x = y En formel estår af et regnestykke og et tal der udregnes, y = f(x,z,t). En formel kan indeholde 1, 2, 3 eller flere variale (uekendte). Erstattes varialer med faste tal forvandles formlen til en ligning eller en funktion. En ligning er en formel med 1 uekendt: y = *3, eller 16 = + 2*3, eller 16 = 10 + a*3, eller 16 = *x. En ligning løses manuelt eller ved at ruge formelregnerens MATHSolver Y1-Y2 = 0, hvor venstre side indtastes som Y1 og højre side som Y2 på Y-listen. Løsningen testes ved at indsætte alle kendte tal: 16 = *3 gives 16 = 16 En funktion er en formel med 2 uekendte: y = + 2*3, eller y = *x, eller 16 = + 2*x, eller 16 = 10 + a*x I en funktion isoleres en af de uekendte, hvis formel indtastes på y-listen: x^2-y+3 = 0 gir y = x^2-3 = Y1. Formler indtastes på Y-listen Begynd altid med Standard Zoom Vælg Graph for at grafe Vælg Trace for scenarier Calc Value giver præcise værdier Og ruges til x-kendt/y-ukendt x-ukendt/y-kendt klares på y-listen De skærende kurver markeres Cursor anringes tæt på løsningen Proceduren gentages VARS giver adgang til Y-erne Det kendte x skrives efter Y MATHSolver finder y erne Indtastes kun én gang, genruges Indtast et x-gæt og tryk SOLVE Løsningen tættest på gættet vises Indtast et nyt gæt og tryk SOLVE Løsningen tættest på gættet vises Fra tael til formel med STAT Indtast taellen som liste Vælg formeltype (regression) Tilføj Y1 sender formlen til y-list Plot giver visuel kontrol Tilpas vinduet før der grafes Opgaver: Find svarene på 3 måder: med formel-skema, grafisk og med lommeregner x y = 3+2*x x y = 3-2*x x y = x^2-4 x y = -x^ ? -3.7? -3.7? -3.7? -2.4? -2.4? -2.4? -2.4? 3.1? 3.1? 3.1? 3.1? 4.5? 4.5? 4.5? 4.5?? -3.7? -3.6? -3.8? -3.2? -2.4? -2.5? -2.2? -2.6? 3.1? 3.2? 3.7? 3.3? 4.5? 4.6? 4.7? 4.3 Matematik naturvidenskaen om Mange 3 Allan.Tarp@MATHeCADEMY.net
5 Konstant vækst Tael x y ?? 190 Vækstformer Lineær ++ vækst Eksponentiel +* vækst Potentiel ** vækst y = +a*x y = *a^x y = *x^a x: +1 dag y: +a kr (hældning) x: +1 dag y: +r % (vækstprocent) x: +1 % y: +a % (elasticitet)) Tallene a og kan findes ved regression på en formelregner I en taelopgave skal vi opstille en formel ud fra en tael. Vi kan regne os til formlen eller ruge regression. Ved regression vælges først STAT EDIT. Herefter indtastes taellen. Nu vælges STAT CALC og f.eks. ExpReg. Under VARS Y-VARS tilføjes Y1, så regressionsligningen anringes direkte på y-listen. På Y-listen tilføjes Y2 = 190, og PLOT1 tændes til visuel kontrol af om kurven går gennem taellens punktpar. De stillede spørgsmål kan nu esvares med hhv. TRACE 25 og CALC INTERSECTION. De stillede spørgsmål kan også esvares med formelskemaer: y =? y = 60+4 x x = 25 y = y = 160 x =? y = 60+(4 x) y = 180 y 60 = 4 x y-60 4 = x = x 30 = x y =? y = ^x x = 25 y = ^25 y = x =? y = (1.037^x) y = 180 y = 1.037^x log ( ) = x log (1.037) = x Test 180 = 69.44*1.037^ = y =? y = x^0.450 x = 25 y = ^0.450 y = x =? y = x^0.450 y = 180 y = x^ = x = x Test 180 = 35.48*36.92^ = Opgaver Svar: a Forskrift y x T 1 x lin 2 10 y = 10+2*x y exp 1, y = 18*1,052^x 83,33 29,2 13,6 pot 0,737 5,5 y = 5,5*x^0,737 67,41 37,84 2 x lin 6 40 y = 40+6*x ,33 y exp 1,054 59,17 y = 59,17*1,054^x 219,7 21,2 13,2 pot 0,647 22,54 y = 22,54*x^0, ,92 24,8 3 x lin y = 80+-2*x y exp 0,96 90 y = 90*0,96^x 21,77 54,19-17,1 pot -0, ,74 y = 230,74*x^-0,585 28,83 213,92 4 x lin y = *x y exp 0, ,86 y = 142,86*0,965^x 34,3 74,56-19,4 pot -0, ,02 y = 327,02*x^-0, ,72 Matematik naturvidenskaen om Mange 4 Allan.Tarp@MATHeCADEMY.net
6 Rette trekanter B1 Pythagoras C = 90 Forstørring B a k c1 a1 c a vækstfaktor A c B A C A1 1 C1 x cosa = x = c y cosb = y a = a c Ved forstørring af en trekant forstørres siderne. Vinklerne forliver uændret. 2 = x c a 2 = y c Trekanterne kaldes derfor ensvinklede. a = y c + x c a1 a1=k a 1=k c1=k c a = 1 = c1 c = k a2 + 2 = (y + x) c = c c= c 2 a1 =? a=10 =12 a1 a = 1 a1 = a 1 a1 = a1 a =? a = 1 k =? 1 = k a1=10 a1 = a 1 1=15 1 = k =12 a1 1 = a = = k 1=15 a1= = = k = a % = k 8 = a Trigonometri I trekantsregning eregnes trekantens 3 ukendte stykker (vinkler, sider) ud fra de 3 kendte stykker. Grækerne: B Ligninger diagonal (hypotenuse) A+B = 90 A+B+C=180 c højde-katete a a = c 2 Pythagoras redde-katete A C Grækernes regneprolem: Ligningerne indeholder to uekendte Araerne: Inde i hver stor trekant er en lille standardtrekant med diagonallængde 1, som navngives og taellægges. SinA synes fra A. CosA er hos A. B sin A = a c = mod = cos B hyp c c cos A = c = hos = sin B hyp a=c sina 1 tan A = a = mod = sina hos cosa = a/c /c sina tana A C cosa =c cosa En højde opdeler en ikke-retvinklet trekant i to retvinklede B=? B=? c=? a=? c=? a=3 kender vinkler kender sider finder sider finder vinkler A=40 =5 C=90 A=? =5 C=90 a =? tana = a c =? cosa = c A =? tana = a c =? a = c 2 A = 40 tana = a A = 40 c cosa = a = 3 A = tan-1 a a = 3 (a ) = c = 5 5 tan40 = a = 5 = 5 c = A = tan-1 3 = 5 cosa 5 ( ) = c = a c = A = = 34 = c Matematik naturvidenskaen om Mange 5 Allan.Tarp@MATHeCADEMY.net
7 Ikke-rette trekanter Ethvert jordstykke kan opdeles i trekanter Enhver trekant kan opdeles i 2 retvinklede trekanter To Græske formler: A+B+C = 180 a^2 + ^2 = c^2 Tre Araiske formler: sina = a cosa = tana = a c c For at kunne tegne en trekant skal man kende 3 stykker (vinkler eller sider), og de sidste 3 stykker kan så forudsiges ved hjælp af 3 formler. Grækerne udviklede kun to formler, hvorfor trekantregning først kunne egynde da araerne kom med yderligere tre formler. (diagonal) c (højde) a A (redde) C B Græske formler: A+B+C = 180 og a^2 + ^2 = c^2 (Pyhtagoras) Araiske formler: sina = a c (højde i % af diagonal) cosa = c (redde i % af diagonal) tana= a (højde i % af redde) For at kunne regne på en ikke retvinklet trekant, opdeles den i to retvinklede trekanter ved hjælp af en højde h: C h a A x c-x B Hvis C er 90 gælder cos A = x = c-x og cos B = = a c a c dvs. ^2 = xc og a^2 = c^2-xc dvs. a^2 +^2 = c^2 (Pythagoras) De fire trekantstilfælde: VSV: Vinkel Side Vinkel A=32 B =8 c a C=71 A C SVS: Side Vinkel Side c=7 B A=41 c a =9 A C SSS: Side Side Side a=5 B =8 c a c=6 A C VSS: Vinkel Side Side A=28 B =11 c a a=9 A C Sinus-relationer: Af venstre og højre trekant fås: sina = h og sinb = h a *sina = h og a*sinb = h *sina = a*sinb eller ved overflytning a sina = sinb = c sinc Sidste del fra anden højde. Y1 = 32+B+71, Y2 = 180 B = 77 Y1 = a^2 Y2 = 9^2+7^2 2*9*7* cos41 a = Y1 = 5^2 Y2 = 8^2+6^2 2*8*6* cosa A = 38.6 Y1 = 11 sinb, Y2 = 8 sin77 B = 35.0 og B = Cosinus-relationer: ^2 = h^2+x^2, dvs. h^2 = ^2-x^2 a^2 = h^2+(c-x)^2, dvs. h^2 = a^2-(c-x)^2 solve(a^2-(c-x)^2 = a^2-x^2,x) giver x = -a^2+^2+c^2 eller 2*c*x = -a^2+^2+c^2 2*c cosa = x, dvs. *cosa = x, som indsat giver a^2 = ^2+c^2 2**c*cosA. Tilsvarende fås ^2 = a^2+c^2 2*a*c*cosB og c^2 = ^2+a^2 2**a*cosC a Y1 = sin32, Y2 = 8 sin77 a = Y1 = 9^2 Y2 =5.9^2+7^2-2*5.9 *7*cosB B = 88.0 Y1 = 8^2 Y2 = 5^2+6^2 2*5*6 *cosb B = 92.9 Y1 = C=180, Y2 = 180 C = 117 Y1 = C=180, Y2 =180 C = 7 c Y1 = sin71, Y2 = 8 sin77 c = Y1 = C, Y2 = 180 C = 51 Y1 = C, Y2 = 180 C = 48.5 c Y1 = sin117, Y2 = 9 sin28 c = c Y1 = sin7, Y2 = 9 sin28 c = Opgaver: Brug formel-formular og husk at teste løsningen. Brug randmat(1,3) til at fremringe 3 tal til flere opgaver. 1. Beregn de tomme felter A B C a c Hvordan flyttes en ting hurtigst fra et punkt i et område til et punkt i et andet område, når vi evæger sig med forskellig hastighed i de to områder? 3. Bestem højden af en høj ting (en flagstang) på to forskellige måder: Den lette, hvor vi kan komme helt hen til tingen, og den svære, hvor vi ikke kan. 4. Tip en plade 30 grader og indtegn en vej op, der højst må stige 20 grader (en hårnåle -vej). Gentag øvelsen med andre gradtal. Hvor meget øges tyngdens træk i en il, når vejens stigning øges med 10 grader? Matematik naturvidenskaen om Mange 6 Allan.Tarp@MATHeCADEMY.net
8 95% sandsynlighed Statistik Nogle tal er forudsigelige, andre uforudsigelige. Uforudsigelige tal kaldes tilfældige tal, random-tal eller stokastiske tal. Stokastiske tal kan dog som regel agud-siges ved at opstille en statistik over deres hidtidige adfærd. I taellen opstilles de oserverede tal samt hvor hyppigt de enkelte tal er forekommet. Ordnes oservationerne i voksende rækkefølge vil Median = den midterste oservation, 1. (3.) kvartil = den midterste oservation i 1. (2.) halvdel. Et histogram viser de enkelte oservationers hyppigheder eller frekvenser. En sumkurve viser den kumulerede frekvens, hvoraf median og kvartiler kan aflæses.? +2*spr. Middel 1. Oservationer x: 10, 12, 22, 12, 15,... Statistik Bagud-sige: Middeltal, spredning -2*spr. Sandsynlighed Forud-sige x = Middeltal ± 2 spredning 2. Grupper og optalte hyppigheder Oservationer Hyppighed Frekvens Sum. frek. Sumkurve x h p p Sum, frek /40= % % % 1. kvartil % Os. Total Et Boksplot indeholder median og kvartiler samt mindste og s tørste oservation. 3. kvartil median 3. Middeltal eller gennemsnit M: Hvis alle oservationer var ens... men de afviger Oservationer Hyppighed Frekvens Summ. frek. Middeltal Histogram x h p p m = x p 10% /40= = Total Varians, s predning S: Hvis alle afvigelser var ens... Oservationer Hyppighed Frekvens Summ. frek. Middeltal Afvigelse Varians V = S^2 x h p p m = x p x - m v = (x-m)^2 p /40= = = ^ = Total S^2 = Spredning S = = Forudsigelse: x = Middeltal ± 2 spredning =m ± 2 s = 23.1 ± 19.6 Konfidens-interval = [3.5 ; 42.7] 6. På grafisk lommeregner indtastes intervalmidtpunkter under STAT. Frekvens = hyp/sum(hyp). KumFrek = cumsum(frek). Os. Hyp. Frek. KumFrek. Man kan nu eregne forskellige tal ved hjælp af 1-var statistik: Middeltal, gennemsnit, m = Spredning, s = Konfidens-interval = m ± 2*s = [0.2;5.4] kvartil = Median = kvartil = 4 Middeltal, gennemsnitstal, forventningstal: Hvis alle oservationer var ens. Det er de ikke, de er spredt. Spredning: Hvis alle spredninger var ens (i forhold til middeltallet). Konfidens-interval: Omfatter ca. 95% af oservationerne, kan ruges til at forudsige nye oservationer med. Matematik naturvidenskaen om Mange 7 Allan.Tarp@MATHeCADEMY.net
9 Polynom-kurver 1. grads polynomium fastlægger højde 2. grads polynomium fastlægger højde + stigning 3. grads polynomium højde + stigning + krumning 4. grads polynomium fastlæger højde + stigning + krumning + modkrumning Krumme polynom-kurver med højere grad end 1 har en række interessante punkter: Vendepunkter, enten top-punkt (maximum) eller und-punkt (minimum). Skæringspunkter med x-akse (nulpunkter), med y-akse (start-punkt), og med andre kurver. Skæringspunkter med vandrette linier (ligningsløsning), og med lodrette linier (værdier). Krumningsskift, hvor krumningen skifter fortegn. y = 5 y = 5 + 2*x y = 5 + 2*x + 0.3*x^2 y = 5 + 2*x + 0.7*x^2 0.2*x^3 Tangent-punkt. En tangent er en ret linie, der er praktisk taget sammenfaldende med kurven omkring røringspunktet. En tangent viser hvordan kurven vil se ud hvis stigningen i punktet forliver uændret. Hvis kurven er en pertals-kurve aflæses totalen som arealet under kurven, dvs. ved integration Hvis kurven er en total-kurve, aflæses pertallet som stigningen på kurven, dvs. ved differentiation. Krumningen fås ved at differentiere to gange. Ved positiv krumning krummes opad, ved negativ nedad. Alle disse ting kan aflæses i formelregnerens grafiske vindue og forudsiges ved formelregning Eksempel: y = 0.5x^3 3x^2 + 2x + 3 Skæringspunkt Med y-akse CALC value Med x-akse CALC zero Med y = 2 CALC intersection Toppunkt CALC Maximum Bundpunkt CALC Minimum Stigning i x = 4 CALC dy/dx Aflæst grafisk y = 3 x = x = x = x = x = x = x = y = x = y = Forudsagt ved formel y1(0) Solve(0=Y1) Solve(0=Y1-2) MATH fmax(y1,x,0,7) MATH fmin(y1,x,0,7) 2 MATH nderiv(y1,x,4) Areal fra 3 til 4 CALC Sf(x)dx Tangent i x = 1 DRAW tangent x = MATH fnint(y1,x,3,4) y=-2.5x+5 Opgaver 1. Gentag ovenstående aflæsninger og forudsigelser med polynomiet y = 0.7x^3 4x^2 + 3x Gentag ovenstående aflæsninger og forudsigelser med polynomiet y = -0.4x^3 + 2x^2 0.5x Fremstil selv polynom-formler ved rug af randm(4,1) under Matrix, Math. Eller ved taeller og regression. 4. Vis forskellige måder at vokse fra (0,0) til (1,1) ved hjælp af polynomier af 1. grad, 2. grad og 3. grad. 5. Dimensioner illigste kasse uden låg indeholdende 1liter 6. Dimensioner illigste rør uden låg indeholdende 1liter 7. Dimensioner illigste kasse uden låg el. und indeh. 1 l. 8. Dimensioner illigste rør uden låg el. und indeh. 1 l. 9. Dimensioner illigste kasse indeholdende 1liter, hvor lågets materiale er doelt så dyrt som resten. 10. Som 9, nu lot rør. 11. y1 er et polynomium af grad 0. Hvis y1 er en Totalkurve, hvordan ser pertals-kurven da ud? Hvis y1 er en pertals-kurve, hvordan ser Totalkurven da ud? 12. Som 5 men med polynomium af grad Som 5 men med polynomium af grad Som 5 men med polynomium af grad 3. Matematik naturvidenskaen om Mange 8 Allan.Tarp@MATHeCADEMY.net
10 Trekantsopgaver Forstørrelse (ens vinklede trekanter) svar a c a' ' c' a c a' ' c' 1 12,340 19,744 23,693 29,616 14,808 18, ,148 22,212 14,135 17,164 17,276 20, ,744 24,680 28,206 33,494 17,276 23, ,212 27,148 18,795 21,927 32,084 25, ,382 29,616 32,907 37,843 22,212 24, ,850 32,084 23,528 26,737 37,020 27, ,148 29,616 33,318 34,552 37,693 42, ,956 32,084 35,786 37,020 28,309 31, ,084 34,552 38,254 42,526 39,488 47, ,892 37,020 40,722 33,123 41,956 36, ,020 39,488 43,190 51,828 44,424 47, ,828 41,956 45,658 41,310 46,892 37,960 Retvinklede trekanter svar a c A B C a c A B C 13 3,917 33,3 90 2,149 3,275 56,7 14 6,520 42,5 90 4,401 4,810 47,5 15 8,423 62,5 90 7,471 3,889 27,5 16 8,597 51,0 90 6,959 11,061 39,0 17 9,620 65,9 90 4,298 10,537 24,1 18 3,787 21,5 90 9,620 10,339 68,5 19 2,661 4, ,787 35,1 54,9 20 3,889 6, ,913 38,4 51,6 21 2,763 7, ,448 23,2 66,8 22 3,480 6, ,147 29,1 60,9 23 2,866 8, ,062 18,4 71,6 24 8,597 8, ,802 46,8 43,2 25 7,471 6,959 43, ,210 47,0 26 6,652 3,991 31,0 90 7,758 59,0 27 4,503 30,7 90 7,574 8,811 59,3 28 5,527 32,7 90 8,597 10,220 57,3 29 8,864 58,7 90 4,606 7,574 31,3 30 9,560 52,4 90 5,834 7,574 37,6 Ikke retvinklede trekanter svar a c A B C a c A B C 31 1,075 33,3 122,8 0,794 1,646 23,9 32 2,212 42,5 133,1 0,252 2,392 4,4 33 3,736 62,5 88,2 2,060 4,209 29,3 34 4,372 51,0 76,8 4,298 5,383 52,2 35 1,437 65,9 98,2 4,810 5,214 15,8 36 4,903 21,5 87,0 1,893 5,162 71,5 37 2,154 35,1 68,6 1,330 2,249 76,3 38 2,256 38,4 46,1 1,945 3,118 95,6 39 2,568 23,2 47,1 1,382 3, ,7 40 1,740 3,541 68,6 3,327 29,1 82,3 41 1,433 4,346 88,0 4,528 18,4 73,6 42 4,298 5,724 57,3 4,966 46,8 75,9 43 5,092 3,738 47,0 3,736 85,9 47,1 44 2,552 3,818 59,0 3,326 41,1 79,8 45 3,940 3,708 59,3 3,787 63,4 57,3 46 4,298 5,030 42,9 3,479 57,3 79,8 47 4,861 4,437 81,9 6,100 52,1 46,1 48 2,917 4,835 77,3 5,067 34,2 68,6 Matematik naturvidenskaen om Mange 9 Allan.Tarp@MATHeCADEMY.net
11 Statistikopgaver MID SPR KVT svar: MID SPR KVT 1 x h p p x p x-m (x-m)^2 p p p x p x-m (x-m)^2 p ,130 0,130 2,6 23,0 69, ,217 0,348 7,6 8,0 14,1 35, ,391 0,739 17,6 2,0 1,5 43, ,174 0,913 9,6 12,0 24,9 50, ,087 1,000 5,7 22,0 41,9 1,000 43,0 151,6 MID±2 SPR: 18,4 67,7 12,3 MID SPR KVT MID SPR KVT 2 x h p p x p x-m (x-m)^2 p p p x p x-m (x-m)^2 p ,077 0,077 0,4 21,5 35, ,231 0,308 3,5 11,5 30,7 17, ,308 0,615 7,7 1,5 0,7 26, ,282 0,897 9,9 8,5 20,2 34, ,103 1,000 5,1 23,5 56,5 1,000 26,5 143,8 MID±2 SPR: 2,6 50,5 12,0 MID SPR KVT MID SPR KVT 3 x h p p x p x-m (x-m)^2 p p p x p x-m (x-m)^2 p ,203 0,203 7,1 10,8 23, ,237 0,441 10,1 3,3 2,6 41, ,271 0,712 12,9 1,7 0,8 46, ,169 0,881 8,9 6,7 7,6 51, ,119 1,000 6,8 11,7 16,2 1,000 45,8 50,9 MID±2 SPR: 31,5 60,1 7,1 MID SPR KVT MID SPR KVT 4 x h p p x p x-m (x-m)^2 p p p x p x-m (x-m)^2 p ,091 0,091 1,9 4,4 1, ,182 0,273 4,2 2,4 1,1 23, ,364 0,636 9,1 0,4 0,1 25, ,227 0,864 6,1 1,6 0,6 27, ,136 1,000 4,1 4,6 2,9 1,000 25,4 6,3 MID±2 SPR: 20,4 30,4 2,5 MID SPR KVT MID SPR KVT 5 x h p p x p x-m (x-m)^2 p p p x p x-m (x-m)^2 p ,114 0,114 0,1 3,8 1, ,250 0,364 0,8 1,8 0,8 3, ,341 0,705 1,7 0,2 0,0 4, ,227 0,932 1,6 2,2 1,1 6, ,068 1,000 0,6 4,2 1,2 1,000 4,8 4,8 MID±2 SPR: 0,4 9,1 2,2 MID SPR KVT MID SPR KVT 6 x h p p x p x-m (x-m)^2 p p p x p x-m (x-m)^2 p ,143 0,143 1,4 31,4 141, ,314 0,457 9,4 11,4 41,0 26, ,429 0,886 21,4 8,6 31,5 42, ,114 1,000 9,1 38,6 170,0 12,5 1,000 41,4 383,7 MID±2 SPR: 2,3 80,6 19,6 Matematik naturvidenskaen om Mange 10 Allan.Tarp@MATHeCADEMY.net
12 Hjemmeregning 1. I trekant ABC er C=90, A=42, c=5. Find resten. 2. I trekant ABC er C=90, A=34, a=6. Find resten. 3. I trekant ABC er C=90, A=28, =7. Find resten. 4. I trekant ABC er C=90, a=5, c=7. Find resten. 5. I trekant ABC er C=90, =4, c=7. Find resten. 6. I trekant ABC er C=90, a=4, =5. Find resten. 7. I trekant ABC er A=32.6, =4.6, c=5.2. Find resten. 8. I trekant ABC er A=34.8, =5.6, a=7.2. Find resten. 8. I trekant ABC er A=42.6, B=74.6, c=6.2. Find resten. 10. I trekant ABC er A=34.8, C=54.6, a=5.2. Find resten. 11. (alle lin., exp. & pot.) x y x y x y x y x y x y ? 9? 9? 30? 25? 20?? 30? 28? 80? 30? 24? I 1993 var der 420 kr. I 1998 var der 630 kr. I 2005 var der? kr. I? var der 950 kr. Lin., eksp. & pot. vækst. 18. I 1994 var der 520 kr. I 1998 var der 630 kr. I 2004 var der? kr. I? var der 1250 kr. Lin., eksp. & pot. vækst. 19. I 1992 var der 920 kr. I 1996 var der 730 kr. I 2005 var der? kr. I? var der 450 kr. Lin., eksp. & pot. vækst. 20. I 1994 var der 720 kr. I 1998 var der 630 kr. I 2004 var der? kr. I? var der 250 kr. Lin., eksp. & pot. vækst. 21. En kapital på 753 kr. voksede med 20% 4 gange og lev til? kr. Hvad er den tilsvarende fordolingstid? 22. En kapital på 956 kr. mindskedes med 25% 5 gange og lev til? kr. Hvad er den tilsvarende halveringstid? 23. En kapital på 486 kr. voksede med 30%? gange og lev til kr. Hvad er den tilsvarende fordolingstid? 24. En kapital på 324 kr. mindskedes med 35%? gange og lev til kr. Hvad er den tilsvarende halveringstid? 25. En kapital på 743 kr. voksede med?% 4 gange og lev til kr. Hvad er den tilsvarende fordolingstid? 26. En kapital på 896 kr. mindskedes med?% 5 gange og lev til kr. Hvad er den tilsvarende halveringstid? 27. En kapital på? kr. voksede med 50% 6 gange og lev til kr. Hvad er den tilsvarende fordolingstid? 28. En kapital på? kr. mindskedes med 55% 7 gange og lev til 2.45 kr. Hvad er den tilsvarende halveringstid? x y x y x y x y x y x y ? 9? 9? ? 30? 28? 10 50? 30? 20?? vend? vend? vend? 80? 34? 10? vend? vend? vend 41. (Mid.tal sumk. & oksplot) Os. Hyp. Os. Hyp. Os. Hyp. Os. Hyp. Os. Hyp. Os. Hyp Løs ligningen (1+x)^4 = Løs ligningen (1+x)^6 = Løs ligningen 40 3 (1-x)^4 = Løs ligningen 50 4 (1-x)^5 = Omskriv ligningerne T= d e, T = d e f, T = d e-f g 56. Omskriv ligningerne T = d e, T = d d-e f, T = g e f Matematik naturvidenskaen om Mange 11 Allan.Tarp@MATHeCADEMY.net
Matematik forudsiger. Formelregning uden formelregner Formler kan forudsige og spå, især om fremtiden
Matematik forudsiger C Formelregning uden formelregner Formler kan forudsige og spå, især om fremtiden Et kompendium til matematik C version 1.0 af Allan.Tarp@MATHeCADEMY.net Fra MATEMATIK-undervisning
Læs mereMatematik c - eksamen
Eksamensnummer: 101364 - Fjernkursist side 1 af 13 Matematik c - eksamen Opgave 1) a) Jeg får af vide, at et par har vundet i Lotto og ønsker at sætte 100.000 kr. ind på en opsparingskonto. I Bank A kan
Læs mereMed CAS kan alle bestå matematik C Allan Tarp, VUC Aarhus Saving Dropout Ryan with a TI-82 hed et bidrag til matematikkongressen ICME 12.
Med CAS kan alle bestå matematik C Allan Tarp, VUC Aarhus Saving Dropout Ryan with a TI-82 hed et bidrag til matematikkongressen ICME 12. Det er min rapport om, hvordan en formelregner kan postmodernisere
Læs mereBesvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af
Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien
Læs mereLøsningsforslag Mat B August 2012
Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave
Læs mereSide 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg
Læs mereMatematik naturvidenskaben om Mange -regning med formelregner
B Matematik naturvidenskaben om Mange -regning med formelregner Algebra Geometri y = 0 y = b A + B = 90 y B ^2 = a^2 + b^2 = a y = b + a*x x y/y a sin A = a y = k = a y = b * a^x x y/y os A = b x/x = a
Læs mereEksamensspørgsmål 4emacff1
Eksamensspørgsmål 4emacff1 1. Funktioner, Lineære funktioner Gør rede for den lineære funktion y ax b. Forklar herunder betydningen af a og b, og kom ind på det grafiske forløb af en lineær funktion. Kom
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 4x 1 17 5x 4x 5x 17 1 9x 18 x Opgave : N betegner antallet af brugere af app en målt i tusinder. t angiver
Læs mereMatematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri
Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11
Læs mereMatematik naturvidenskaben om Mange -regning med formelregner
A Matematik naturvidenskaben om Mange -regning med formelregner FORmler FORudsiger Algebra Geometri y = 0 y = b AB = ( x y ) B y = a y = b + a*x r^2 = x^2 + y^2 x r y y/y y = a = a y = b * a^x A sin A
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mereH Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E
H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler
Læs mereFormelsamling Matematik C
Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden
Læs mereGraph brugermanual til matematik C
Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes
Læs mereSpørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2
Spørgsmål Nr. 1 TITEL: Statistik Definition af beskrivende statistik Opdeling af beskrivende statistik i grupperede observationer og ikke grupperede observationer Deskriptorerne typetal og middelværdi
Læs mereMed per-tal består alle matematik B Allan Tarp, VUC Aarhus, indsendt til LMFK-bladet nr. 3 2013, men afvist. Verden skriger på ingeniører, og
Med per-tal består alle matematik B Allan Tarp, VUC Aarhus, indsendt til LMFK-bladet nr. 3 2013, men afvist. Verden skriger på ingeniører, og alligevel har adgangsvejen, matematik B, rekordhøj dumpeprocent.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 VUC
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereVejledende besvarelse
Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin Juni 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Hf Matematik C Lærer(e) Manisha de Montgomery Nørgård (MAN) og Daniel Christensen (DC) - barselsvikar.
Læs mereUser s guide til cosinus og sinusrelationen
User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for
Læs mereTrigonometri at beregne Trekanter
Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )
Læs mere1q + 1qs Ikast-Brande Gymnasium maj 2015. 1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det.
Emne: procent og rente: 1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. Gør rede for begrebet
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum
Læs mereAng. skriftlig matematik B på hf
Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det
Læs mereGeometri, (E-opgaver 9d)
Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige
Læs mereStudentereksamen i Matematik B 2012
Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December-januar 15/16 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C
Læs mereMatematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver
Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januar-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus
Læs mereLouise F Jensen MATEMATIK. VUC Roskilde
Louise F Jensen VUC Roskilde 1 INDHOLD Potensregneregler... 2 Kvadratrod... 3 Algebra... 3 Ligninger... 3 Ulighedstegn i ligning... 4 Brøker... 4 Procent... 5 Indextal... 6 Rentesregning... 6 Geometri...
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereMatematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1
Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme
Læs mereUndervisningsbeskrivelse & Oversigt over rapporter
Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over rapporter Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2016 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat
Læs mereMatematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1
Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereVejledning i brug af Gym-pakken til Maple
Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Gym-pakken vil automatisk være installeret på din pc eller mac, hvis du benytter cd'en Maple 16 - Til danske Gymnasier eller en af de tilsvarende installere. Det
Læs mere1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014
1. Procent og rente Vis, hvordan man beregner gennemsnitlig procentændring 2. Procent og rente Vis hvordan man beregner indekstal. 3. Procent og rente Vis, hvordan man kan beregne forskellige størrelser
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det
Læs mereMatematik C Noter For S15B. Af Cristina Sissee Jensen
Matematik C Noter For S15B Af Cristina Sissee Jensen Indholds fortegnelse Statistik s.4-6 o Forklaring på ikke og grupperede statistik s.4 o Ikke grupperede s.4 o Grupperede s.6 Tal- og bogstavregning
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2019 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold GSK Matematik B Sami Hassan Al-beik
Læs mereOpgave 1 - Rentesregning. Opgave a)
Matematik C, HF 7. december 2016 Løses af www.matematikhfsvar.page.tl NB: Når du læser løsningerne, så satser vi på du selv sidder med sættet. Figurer mv. bliver ikke indsat. Løsningerne nedenfor er løst
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Mundtlig eksamen Maj-Juni 2014 Institution VUF Uddannelse Fag og niveau stx (Studenterkursus) Matematik C
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleåret 13/14 Institution Herning HF oh VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hf Matematik
Læs mereDeskriptiv statistik for hf-matc
Deskriptiv statistik for hf-matc 75 50 25 2018 Karsten Juul Deskriptiv statistik for hf-matc Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse for 1ama
Undervisningsbeskrivelse for 2016-2017 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Horsens HF og VUC HF2 Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik B Angela
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2013 Institution VUC Vest Esbjerg Afdeling, Eksamens nr. 582 / Skolenummer 561 248 Uddannelse Fag
Læs mereProjekter til HF Matematik C
Projekter til HF Matematik C Med brug af formelregner TI-82 Allan.Tarp@MATHeCADEMY.net 2009 Indholdsfortegnelse 1. Projekt Prognoser... 1 2. Projekt Befolkningsvækst og Fødevarevækst... 2 3. Projekt Afstandsbestemmelse...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj Juni 2011 Roskilde
Læs mereDa der er tale om ét indskud og renten er fast, benytter vi kapitalfremskrivningsformlerne til beregningen, hvor
Opgave 1 Da trekant ABC er retvinklet, kan sætningen mk = hyp*sin(v) benyttes. De kendte tal indsættes: BC = 6,4 sin(37) = 3,85 BC = 3,9 Tilsvarende gælder for den hosliggende katete: hk = hyp*os(v) og
Læs mereStx matematik B maj 2009
Ib Michelsen Svar stxb maj 2009 1 Stx matematik B maj 2009 Opgave 1 Bestem f ' ( x), idet f (x )=2 x 3 +4 x 2 f ' ( x)=(2 x 3 +4 x 2 )'=(2 x 3 )'+(4 x 2 )'=2 ( x 3 )' +4 ( x 2 )'=2 3 x 3 1 +4 2 x 2 1 =6
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2018 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe MATEMATIK B Lene Kærgaard Jensen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold 2015 Sommer VUC Lyngby HF Matematik B Christian Møller
Læs mereStx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler
Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem
Læs mereBemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik
Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne
Læs mereMAT B GSK december 2009 delprøven uden hjælpemidler
MAT B GSK december 009 delprøven uden hjælpemidler Opg Sumkurven for alderen i måneder på en HHX-klasses mobiltelefoner. 90%-fraktilen er 0, måneder a) Giv en fortolkning af 90%-fraktilen og bestem kvartilsættet..
Læs mereMatematik B1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet
Læs mereFormelsamling. Ib Michelsen
Formelsamling T = log(2) 2 log(a) Ikast 2016 Ib Michelsen Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede, har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Vestegnen, Albertslund Gymnasievej 10, 2620
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold hf Matematik C Dorte Christoffersen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Handelsskolen Silkeborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Frede
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2018 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe / GSK MATEMATIK B Lene Kærgaard
Læs mereTrigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist
Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereForklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra.
1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor. Vis,
Læs mereGør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.
Eksamensspørgsmål i ma til 1p sommeren 2009 (revideret) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar formlen til kapitalfremskrivning
Læs mereOpgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter
Alle beregninger er, hvis ikke andet angivet, udført med WordMat. Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter Jeg vil nu finde ud af hvor stort et beløb der står på kontoen efter 1 år med en starts
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2014 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Dorthe Jørgensen
Læs mereEksamensspørgsma l Mat B
Eksamensspørgsma l Mat B 1. Lineære funktioner og tangentligningen Gør rede for de lineære funktioner og deres grafiske billeder, herunder betydning og bestemmelse af de konstanter, som indgår i regneforskriften.
Læs mereMatematik A August 2016 Delprøve 1
Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse for: 1p mac
Undervisningsbeskrivelse for: 1p mac Fag: Matematik C, 2HF Niveau: C Institution: Thisted Gymnasium og HF-Kursus (787023) Hold: 1p Termin: Uddannelse: HF Lærer(e): Betina Nyborg Thomsen (BN) Vis lektier:
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs merefor gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul
for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen
Læs merefor gymnasiet og hf 2017 Karsten Juul
for gymnasiet og hf 75 50 5 017 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf 017 Karsten Juul 5/11-017 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm Hæftet må benyttes i undervisningen
Læs mereStatistik (deskriptiv)
Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken
Læs mereLigningsløsning som det at løse gåder
Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,
Læs mereÅrsprøve i matematik 1y juni 2007
Opgave 1 Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Figuren viser to ensvinklede trekanter PQR og P 1 Q 1 R 1 a) Bestem længden af siden P 1 Q 1 Skalafaktoren beregnes : k = 30/24 P 1 Q 1 = 20 30/24 P 1 Q 1 = 25
Læs mereAnvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2016 Institution VUC Vest - Esbjerg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hf2 Matematik C Willy Højgård
Læs mereDeskriptiv statistik for matc i stx og hf
Deskriptiv statistik for matc i stx og hf 75 50 25 2019 Karsten Juul Deskriptiv statistik for matc i stx og hf Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2015 Institution VUC Vest Esbjerg Afdeling, Eksamens nr. 582 / Skolenummer 561 248 Uddannelse Fag
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014/15
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereMatematik naturvidenskaben om Mange -regning med formelregner
A Matematik naturvidenskaben om Mange -regning med formelregner FORmler FORudsiger Algebra Geometri y = 0 y = b AB = ( x y ) B y = a y = b + a*x r^2 = x^2 + y^2 x r y y/y y = a = a y = b * a^x A sin A
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 13/14 Institution VUC Albertslund Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Enkeltfag Mat C Kofi Danquah Mensah
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018-19 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Frederiksberg Hf-kursus 2hf Matematik C, hf
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Lyngby Hf Matematik C Ashuak Jakob France
Læs mere