Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september Spilstrategier

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier"

Transkript

1 Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september Spilstrategier Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, der gælder samme regler for hvordan A og B må trække, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der er desuden kun et endeligt antal træk, dvs. spillet kan ikke ende uafgjort, og en af de to spillere må derfor have en vindende strategi. (Hvorfor det? Overvej.) I det første eksempel og de første opgaver vi skal se på, er strategien at dele alle startpositioner i to grupper: Dem hvor første spiller har en vindende strategi, og dem hvor hun ikke har, dvs. dem hvor spiller nummer to har en vindende strategi. 1.1 Eksempel I et spil ligger der n sten på et bord, og de to spillere A og B må i hvert træk fjerne 1, 2,..., k 1 eller k sten fra bordet. Den spiller der tager de sidste sten, har vundet. Spørgsmålet er nu for hvilke værdier af n den første spiller A har en vindende strategi. Dette kan man finde ud af ved at prøve sig frem med små tal. Det er for eksempel indlysende at for n {1, 2,..., k} har spiller A en vindende strategi, mens for n = k + 1 har hun ikke. Dvs. A har en vindende strategi, hvis hun efter første træk kan efterlade k + 1 sten på bordet, og det kan hun netop for n {k + 2, k + 3,..., 2k + 1}. På denne måde ser man induktivt at A har en vindende strategi, netop når n ikke er et multiplum af k + 1. Hvis n ikke er et multiplum af k + 1, kan A nemlig efter hvert træk efterlade et bord med et multiplum af k + 1 sten, mens hvis der fra starten er et multiplum af k + 1 sten, vil B efter hvert træk have mulighed for at efterlade et multiplum af k + 1 sten på bordet. (Engel) 1.2 Vindermængde og tabermængde Af eksemplet fremgår det hvordan man deler startmulighederne op i to mængder som vi kalder tabermængden, og som vi kalder for vindermængden. T = {n N n = m(k + 1) for m N} V = {n N n m(k + 1) for m N} Med et udgangspunkt fra vindermængden skal der findes et træk så man lander i tabermængden, og med udgangspunkt i tabermængden skal man efter et vilkårligt lovligt træk lande i vindermængden. 1.3 Opgave I et spil ligger der n sten på et bord, og de to spillere A og B må i hvert træk fjerne 1, 2, 4, 8,... (altså alle potenser af 2) sten fra bordet. Den spiller der tager de sidste sten, har vundet. Bestem de værdier af n for hvilke spiller A har en vindende strategi. (Engel)

2 Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september Opgave Fire bunker med henholdsvis 38, 45, 61 og 70 tændstikker ligger på et bord. To spillere skiftes til at udvælge to bunker og fjerne et antal tændstikker fra hver. (De skal altså fjerne mindst en fra hver bunke, men behøver ikke at fjerne lige mange fra hver.) Den spiller som først ikke kan trække, taber. Hvilken af de to spillere har en vindende strategi? (Baltic Way 1996) 1.5 Opgave I et spil ligger der n sten på et bord, og de to spillere A og B må i hvert træk fjerne p m sten fra bordet, hvor p er et primtal og m et ikke-negativt helt tal. Primtallet p og tallet m må gerne variere fra træk til træk. Den spiller der tager de sidste sten, har vundet. Bestem tabermængden. (Engel) 1.6 Uendelig tabermængde I de foregående eksempler og opgaver har vi eksplicit bestemt tabermængden og vindermængden, men det er ikke altid så let. I dette eksempel skal vi se på et spil hvor der ligger to bunker med sten på bordet. Hvert træk består i at fjerne et antal sten fra den ene bunke eller fjerne samme antal sten fra begge bunker. Den spiller der fjerner den sidste sten, har vundet. En udgangsposition med a sten i den ene bunke og b i den anden betegner vi med (a, b). Dette eksempel går ud på at vise at der findes uendeligt mange udgangspositioner så spiller B har en vindende strategi, men altså ikke bestemme dem. Dette svarer til at vise at tabermængden er uendelig. Man kan godt pusle sig frem til de første elementer i tabermængden og finde en algoritme for hvordan det næste element fremkommer og derved vise at den er uendelig, men i dette eksempel skal I se et andet trick hvor man overhovedet ikke behøver at bestemme et eneste element i tabermængden. Vi viser det i stedet indirekte ved at antage at tabermængden er endelig. Da findes et største element i tabermængden (n, m), n m, således at ingen andre elementer i tabermængden indeholder en bunke med flere end n sten. Dermed må udgangspositionen (n + 1, 2n + 2) ligge i vindermængden, og der skal altså findes et træk så man fra denne position ender i tabermængden, men det gør der ikke. Dermed har vi en modstrid, og tabermængden er dermed uendelig. Samme trick skal du benytte i næste opgave. 1.7 Opgave To personer spiller følgende spil. Der ligger til at starte med n sten på bordet, og hver spiller skiftes til at tage m 2 sten fra bordet hvor m er et naturligt tal. Den spiller der tager de sidste sten, har vundet. Vis at der findes uendeligt mange værdier af n for hvilke spiller nummer to har en vindende strategi. (Baltic Way 1995) Nu skal vi se på nogle spil som nemt bliver så uoverskuelige at det er umuligt at bestemme taber- og vindermængden. Når man er på jagt efter en vindende strategi, kan man ikke få overblik over alle de situationer der kan opstå i spillet, men man kan ved hjælp af en

3 Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september strategi der bygger på symmetri, sørge for at man kun kommer ud i et overskueligt udvalg af alle disse muligheder. 1.8 Parring ved hjælp af symmetri På et skakbræt skiftes spiller A og B til at placere en springer. Spiller A placerer hvide springere og B sorte. De må kun placere springerne på tomme felter som ikke er truet af en springer af modsat farve. Den spiller som først ikke kan placere en springer, har tabt. Vi skal nu undersøge hvem af A og B der har en vindende strategi, når spiller A starter. Det er let at se at det bliver fuldstændigt uoverskueligt at opdele samtlige mulige situationer i en vinder- og tabermængde, men hvis vi blot kan finde en vindende strategi for en af spillerne, er det også godt nok. I dette tilfælde har spiller B en vindende strategi. Hvis hun udnytter den vandrette (eller lodrette) symmetriakse midt gennem brættet der parrer felterne to og to, og hver gang at spiller A har placeret en springer, placerer en springer på det felt der er parret med det felt hvor spiller A placerede, vil hun altid have mulighed for at trække. Her udnytter man altså at felterne kan parres to og to så man hele tiden har mulighed for at kopiere modspillerens træk og dermed sikre sig at han først står i en situation hvor han ikke kan trække. 1.9 Opgave På et skakbræt skiftes spiller A og B til at placere en løber. Spiller A placerer hvide løbere og B sorte. De må kun placere løberne på tomme felter som ikke er truet af en løber af modsat farve. Den spiller som først ikke kan placere en løber, har tabt. Afgør hvilken af de to spillere der har en vindende strategi. (Engel) 1.10 Opgave På et 5 5 skakbræt spiller to spillere følgende spil. Den første spiller placerer en springer på brættet hvorefter spillerne på skift startende med den anden spiller flytter springeren til et felt som ikke før har været besøgt. Den første spiller som ikke kan flytte springeren, har tabt. Hvilken af de to spillere har en vindende strategi? (Baltic Way 1997) 1.11 Opgave Georg og hans mor spiller et spil hvor der til at starte med er n bunker med lige mange mønter i hver. De har tur på skift, og i hver tur må de fjerne en eller flere mønter fra samme bunke. Den spiller der tager den sidste mønt, har vundet. Georg starter altid. Bestem de værdier af n for hvilke Georg har en vindende strategi Opgave Astrid og Malte spiller følgende spil på et n 1001 skakbræt, hvor n På skift farver de for et naturligt tal k alle de k 2 felter i et k k kvadrat røde. Tallet k må gerne variere fra træk til træk, men det er ikke tilladt at kvadratet indeholder felter som allerede er farvede. Den spiller der først ikke kan trække, har tabt. Bestem samtlige værdier af n for hvilke Astrid har en vindende strategi når hun er den der trækker først.

4 Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september Opgave På et uendeligt skakbræt skiftes to spillere til at markere et tomt felt. Den ene spiller markerer med kryds og den anden med bolle. Den der først har udfyldt fire felter som danner et 2 2 kvadrat med sit symbol, har vundet. Har den spiller der starter, altid en vindende strategi? (Baltic Way 1996) (Bemærk at dette spil afviger fra de andre vi har set på, da det kan fortsætte i det uendelige.)

5 Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september Løsningsskitser Opgave 1.3 Da 3 2 n for alle n = 0, 1, 2,..., vil tabermængden bestå af alle multipla af 3. Hvis udgangspunktet ikke er et multiplum af 3, kan man nemlig ved at fjerne en eller to sten efterlade et multiplum af 3 sten til modstanderen, mens modstanderen ved et udgangspunkt med et multiplum af 3 sten på bordet altid vil efterlade et antal sten på bordet som ikke er et multiplum af 3. Opgave 1.4 Bemærk først at tabermængden består af alle udgangspositioner med henholdsvis a, a, a og b, hvor b a, tændstikker i de fire bunker. Fra alle andre udgangspositioner kan man nemlig i et træk komme til en sådan position (overvej), mens man fra en udgangsposition med a, a, a og b tændstikker i de fire bunker efter endt træk aldrig kan ende i en tilsvarende. Dermed har den spiller som starter en vindende strategi. Opgave 1.5 Igen starter vi med at bestemme tabermængden. Det mindste tal i tabermængden må være n = 6 da det ikke er en primtalspotens. Da ingen primtalspotenser er delelige med 6, vil man fra en udgangsposition med et multiplum af 6 sten på bordet altid efter endt træk ende med et antal sten som ikke er et multiplum af 6. Desuden kan man fra enhver udgangsposition der ikke er delelig med 6, efter endt træk ende med et multiplum af 6 sten på bordet da man kan trække 1,2,3,4 eller 5 sten. Dermed består tabermængden af samtlige multipla af 6. Opgave 1.7 Vi skal med andre ord vise at tabermængden er uendelig, og vi viser som i eksempel 1.6 dette indirekte ved at antage at tabermængden er endelig. Lad a være det største tal i tabermængden. Betragt nu udgangspositionen med a 2 +a+1 sten. Da (a+1) 2 > a 2 +a+1, kan første spiller efter et træk ikke ende i tabermængden, hvilket er en modstrid. Opgave 1.9 Spiller nummer to har en vindende stretegi på samme måde som i eksempel 1.8 Opgave 1.10 Den første spiller har en vindende strategi. Lad ham nemlig placerer en springer i et af hjørnerne til at starte med. Da kan man parre de resterende 24 felter således at hvert par består af to felter hvor man fra det ene kan flytte en springer til det andet og selvfølgelig omvendt. Spiller et kan nu hele tiden flytte springeren til feltet som er parret med det felt springeren står på. Opgave 1.11 Georg har en vindende strategi for ulige n. I første træk skal Georg fjerne en hel bunke. Derefter er der et lige antal bunker med lige mange mønter i hver. Hver gang Georgs mor fjerner x mønter fra en bunke med y mønter, skal Georg gøre det samme. På den måde vil der efter Georgs tur altid være et lige antal bunker der kan sættes sammen i par således at to bunker der danner par, indeholder lige mange mønter. Derfor kan Georg altid udføre det beskrevne træk, og Georgs mor kan aldrig vinde. Da der er endelig mange mønter, vil

6 Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september Georg til sidst vinde. Hvis n er lige, kan Georgs mor vinde ved at følge samme strategi. Opgave 1.12 Astrid har en vindende strategi for samtlige værdier af n. Hvis n er ulige, farvelægger Astrid et kvadrat i midten af brættet i første træk. Nu har hun delt brættet i to symmetriske halvdele, og hun kan nu hver gang kopiere Maltes træk symmetrisk på den modsatte side. Hvis n er lige, starter hun blot med at farvelægge et kvadrat i midten med en række af små kvadrater forneden. Brættet er endnu engang delt i to symmetriske halvdele hvor man ikke kan tegne et kvadrat der lapper ind over begge, og hun kan nu igen følge samme strategi som før. Opgave 1.13 Den første spiller har ikke en vindende strategi. Inddel brættet i vandrette 2 1 brikker således at brikkerne i hver række ligger forskudt i forhold til hinanden. Spiller nummer to markerer hele tiden det andet felt i den brik som første spiller netop har markeret i. Dermed kan spillet fortsætte i det uendelige uden at nogen af spillerne vinder.

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4 Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende

Læs mere

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.

Læs mere

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik. Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

LÆrerVeJLednIng til Skak I SkoLen det SkaL VÆre SJoVt at blive klogere! brug Låget på brættet materialer: Sådan kommer I I gang

LÆrerVeJLednIng til Skak I SkoLen det SkaL VÆre SJoVt at blive klogere! brug Låget på brættet materialer: Sådan kommer I I gang løber 3 point SKOLESKAK SKOLESKAK LÆRERVEJLEDNING til skak i skolen Det skal være sjovt at blive klogere! Dansk Skoleskak og Skolemælk har i samarbejde udviklet dette materiale for at skabe mere leg, læring

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen

Invarianter. 1 Paritet. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen

Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen Matematik og dam hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) March 200 Indledning Det klassiske spil dam spilles på et almindeligt skakbræt.

Læs mere

Før-skoleskak Undervisningsbog

Før-skoleskak Undervisningsbog Før-skoleskak Undervisningsbog Dansk Skoleskak - leg og læring Før-skoleskak - undervisningsbog Dansk Skoleskak 1. udgave, 1. oplag 2013 ISBN: 978-87-87800-88-4 Udgiver Dansk Skoleskak - Skoleskak.dk Før-skoleskak

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Skak-regler. Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne. Flyttning af hver enkel brik

Skak-regler. Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne. Flyttning af hver enkel brik 1 / 5 29.7.2008 10:54 Skak regler Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne Flyttning af hver enkel brik - Kongen - Dronningen - Tårnet - Løberen - Springeren - Bonden Spillet Skakmat

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

http://192.168.1.217/www.nelostuote.fi/tanska/discoveryregler.html

http://192.168.1.217/www.nelostuote.fi/tanska/discoveryregler.html 1 / 10 25.6.2008 9:03 2 / 10 25.6.2008 9:03 Indhold 2 kort (spilleplader), 2 plastikfolier (benyttes til at lægge over kortet), 1 tjekometer, 28 tjekometer kort, 18 udrustningskort, 210 terræn brikker,

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Tråden kan med lidt god vilje ses som et S (rødt) - og på den anden tegning et Z (rødt)

Tråden kan med lidt god vilje ses som et S (rødt) - og på den anden tegning et Z (rødt) Der findes nogle få, fundamentale regler, som jeg vil prøve at redegøre for. Som regel består den af en plade (af meget varierende størrelse, men den for mig bedste størrelse er ca. 5 x 5 cm). Den kan

Læs mere

JEANNETTE STEEN CAMILLA SIMONSEN BRUG LÅGET. i matematik. Taktile materialer

JEANNETTE STEEN CAMILLA SIMONSEN BRUG LÅGET. i matematik. Taktile materialer JEANNETTE STEEN CAMILLA SIMONSEN BRUG LÅGET i matematik Taktile materialer Jeannette Steen og Camilla Simonsen BRUG LÅGET i matematik Taktile materialer Jeannette Steen og Camilla Simonsen Brug låget i

Læs mere

Skak. Regler og strategi. Version 1.0. 1. september 2015. Copyright

Skak. Regler og strategi. Version 1.0. 1. september 2015. Copyright Skak Regler og strategi Version 1.0 1. september 2015 Copyright Forord At lære at spille skak er ikke svært. Det tager få minutter. At blive dygtig tager som regel årevis. Om man er dygtig eller ej, er

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

POWER GRID SPILLEREGLER

POWER GRID SPILLEREGLER POWER GRID SPILLEREGLER FORMÅL Hver spiller repræsenterer et energiselskab som leverer elektricitet til et antal byer. I løbet af spillet køber hver spiller et antal kraftværker i konkurrence med andre

Læs mere

3.2. Grundlæggende Spilleregler

3.2. Grundlæggende Spilleregler 3.2. Grundlæggende Spilleregler 3.2.1. 1 Skakspillets natur og mål 1.1 Et parti skak er et spil mellem to modstandere som skiftevis flytter deres brikker på et kvadratisk bræt, kaldet et "skakbræt". Spilleren

Læs mere

Language: English / Danish

Language: English / Danish Rules of Coerceo by Coerceo Company Danish translation by Peter Brichs dansk Language: English / Danish Copyright Ingel dele af dette dokument må blive reproduceret, kopieret eller overført I nogen form

Læs mere

Hop videre med. Udforskning af opgaverne for 6. og 7. klassetrin i Danmark. 1 a) Tegn alle de mulige symmetriakser på vejskiltene.

Hop videre med. Udforskning af opgaverne for 6. og 7. klassetrin i Danmark. 1 a) Tegn alle de mulige symmetriakser på vejskiltene. Hop videre med Udforskning af opgaverne ne bygger videre på opgaver fra Kænguruen og lægger op til, at klassen sammen kan diskutere og udforske problemstillingerne. Opgavenumrene henviser til de opgaver,

Læs mere

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster?

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Oplæg I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Hvordan ser I mulighederne i at stimulere elevernes tænkning og udvikle deres arbejdsmåde, når de

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man

Læs mere

Side 1 af 8. Vejledning

Side 1 af 8. Vejledning Side 1 af 8 Vejledning Art. nr. 2079006 Pedalo - Stort spillebræt - spilsamling Læs og opbevar venligst vejledningen De efterfølgende sider indeholder spilanvisning til disse spil: Generel Information:

Læs mere

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen.

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen. Abacus Dette program er en elektronisk udgave af en kugleramme. Man kan flytte en kugle eller en gruppe af kugler ved at klikke på en af kuglerne. Hvis man klikker på Nulstil, vender alle kuglerne tilbage

Læs mere

Lær skak træk for træk

Lær skak træk for træk Lær skak træk for træk 1 Forlaget Bedre til skak Indhold Velkommen til Skak for sjov!... 6 Kapitel 1: Bondeskak.. 9 Kapitel 2: Tapre riddere 11 Kapitel 3: Tårnskak 13 Kapitel 4: Listige løbere. 15 Kapitel

Læs mere

TURNERINGSFORMER. Leg & læring via skoleskak! Skoleskak.dk 1

TURNERINGSFORMER. Leg & læring via skoleskak! Skoleskak.dk 1 TURNERINGSFORMER Leg & læring via skoleskak! Skoleskak.dk 1 Indholdsfortegnelse Forord 2 Bondeskak 3 Arm & hjerne skak 3 Lynskak 4 Nedtrapning 4 De tapre riddere 5 Alle-mod-alle turnering 5 Handicapturnering

Læs mere

Hive. Målet med spillet. Placering af nye brikker

Hive. Målet med spillet. Placering af nye brikker Hive Hive betyder sværm. Hive er et strategisk spil for to spillere. Hive spilles uden et egentligt spillebræt; de sekskantede spillebrikker udgør selv spillebrættet efterhånden som de bliver placeret.

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Kombinatoriske Spil. Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft

Kombinatoriske Spil. Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft Kombinatoriske Spil Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft 1 Forord Disse noter er i stor grad baseret på bogen Lessons in Play af Michael H. Albert, Richard J. Nowakowski og David Wolfe (fra nu af

Læs mere

Undo Jo flere jo bedre! 1/9

Undo Jo flere jo bedre! 1/9 Undo Jo flere jo bedre! + 1/9 Indholdsfortegnelse Målgruppen.... Side 3 Redegørelse for spillet...side 4 Produktionen..Side 6 Dokumentation for spiltest....side 7 Spilvejledning......Side 8 Regelhæfte.....Side

Læs mere

Der er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken.

Der er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken. SJOV MED SKAK OG TAL Af Rasmus Jørgensen Når man en sjælden gang kører træt i taktiske opgaver og åbningsvarianter, kan det være gavnligt at adsprede hjernen med noget andet, fx talsjov, og heldigvis byder

Læs mere

1, Kd7 2.Kb5 2.Kc5 Kc7 2, Kc7 3.Kc5, Kd7 4.Kb6 1, Kf7 2.Kc5, Kg6 3.Kc6! 3.Kd6 Kf5 3, Kg5 4.Kd7, Kf5 5.Kd6

1, Kd7 2.Kb5 2.Kc5 Kc7 2, Kc7 3.Kc5, Kd7 4.Kb6 1, Kf7 2.Kc5, Kg6 3.Kc6! 3.Kd6 Kf5 3, Kg5 4.Kd7, Kf5 5.Kd6 A) 1, Kd7 2.Kb5, der truer med at besætte nabofeltet b6 (du så vel, at 2.Kc5 besvares med Kc7 og remis). Sort må nu spille 2, Kc7. Hvid svarer med 3.Kc5, Kd7 4.Kb6 og vinder. B) 1, Kf7 2.Kc5, Kg6 Pas på!

Læs mere

Go, go, go Søren Wengel Mogensen

Go, go, go Søren Wengel Mogensen 4 Blokkens spil Go, go, go Søren Wengel Mogensen Du har set Russell Crowe gøre det i A Beautiful Mind. Nu skal du gøre det i Famøs. Der er selvfølgelig tale om at spille go. Go er meget kort navn for et

Læs mere

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen.

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen. Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen. Basisblokke - decimaltal Programmet viser enere, 10-bunker, 100-

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Her følger en række opmærksomhedsfelter i relation til undervisningens form og elevens læring:

Her følger en række opmærksomhedsfelter i relation til undervisningens form og elevens læring: BRØK 1 Vejledning Udvidelsen af talområdet til også at omfatte brøker er en kvalitativt anderledes udvidelse end at lære om stadigt større tal. Det handler ikke længere bare om nye tal af samme type, som

Læs mere

1 mod 1 - træningsøvelser

1 mod 1 - træningsøvelser 1 mod 1 - træningsøvelser 1 mod 1 - Frontalt med to mål Beskrivelse / formål: Blå spiller afleverer bolden til Rød spiller. Blå spiller bliver derefter forsvarsspiller, mens Rød spiller bliver angriber.

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Satellit af BKO Charlottenlund Fort. Aktivitetshæfte Samarbejdslege for børnehavebørn

Satellit af BKO Charlottenlund Fort. Aktivitetshæfte Samarbejdslege for børnehavebørn Satellit af BKO Charlottenlund Fort Aktivitetshæfte Samarbejdslege for børnehavebørn Udarbejdet af MOtivaTION ApS for Gentofte Kommune, Gentoftegade, Ordrup, Dyssegård og Vangede Bibliotek 02-03-2015 Billedlotteri

Læs mere

KÆNGURUEN 2015. International matematikkonkurrence. Del 1. 3 point pr. opgave. 2. Erik har 10 ens metalstænger.

KÆNGURUEN 2015. International matematikkonkurrence. Del 1. 3 point pr. opgave. 2. Erik har 10 ens metalstænger. 2015 60 minutter Navn og klasse Del 1 3 point pr. opgave 1. A 6 B 7 C 8 D 10 E 15 2. Erik har 10 ens metalstænger. Han skruer dem sammen to og to og får fem metalstænger. Hvilken stang er længst? A A B

Læs mere

Læs selv om UENDELIGHED. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana

Læs selv om UENDELIGHED. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana Læs selv om UENDELIGHED Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana Læs selv om UENDELIGHED Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana 2 Uendelighed - et matematisk symbol Der kan være uendeligt lang

Læs mere

Læs selv om KORTTRICKS. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana

Læs selv om KORTTRICKS. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana Læs selv om KORTTRICKS Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana Læs selv om KORTTRICKS Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana Korttricks 3 Magi eller matematik? Findes magi? Kan en tryllekunstner

Læs mere

Nordisk Matematikkonkurrence Danmarks Matematiklærerforening Skoleåret 2010-2011 Opgaver ved semifinalen

Nordisk Matematikkonkurrence Danmarks Matematiklærerforening Skoleåret 2010-2011 Opgaver ved semifinalen Opgave 1 Sum af produkter i en trekant Antag at der i et koordinatsystem er en trekant hvis vinkelspidser ligger i punkterne ( 2, 1), (3, 3) og (4, 3). Find alle de punkter inden i trekanten hvis koordinater

Læs mere

Matematik, der afgør spil

Matematik, der afgør spil Artikeltype 47 Matematik, der afgør spil Sandsynlighedsregning vinder ofte. Kombinatorisk spilteori sejrer hver gang Mads Thrane Hvis du er træt af at tabe opvasketjansen i Sten Saks Papir eller Terning,

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

F I N N H. K R I S T I A N S E N TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING F I N N H. K R I S T I A N S E N RÆSONNEMENT & 1BEVIS 4 2 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L 5 LANDMÅLING SIMULATIONER Faglige mål: Gennemføre simple matematiske ræsonnementer. Håndtere simple

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

International matematikkonkurrence

International matematikkonkurrence 60 minutter Navn og klasse 3 point pr. opgave Hjælpemidler: papir og blyant 1 Hvilket trafikskilt har flest symmetriakser? D 2 På Lisas køleskab holdes nogle postkort fast af 8 stærke magneter. magnet

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Lille Georgs julekalender 06. 1. december

Lille Georgs julekalender 06. 1. december 1. december Hvad skal der stå på den tomme plads? 11001-10101 - 10011 10111-11011 - 11101 11000-10100 - Svar: 10010 Forklaring: Ydercifrene forbliver de samme. Ciffer nr. rykker mød højre ved først at

Læs mere

Spillet om verdensherredømmet

Spillet om verdensherredømmet Spillet om verdensherredømmet 2004 Hasbro. Alle rettigheder forbeholdt. Distributed in the Nordic region by Hasbro Nordic, Ejby Industrivej 40, DK-2600 Glostrup, Denmark. www.hasbro.dk 040414538108 K O

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

1 byggeplads denne viser 4 felter med plads til bygningsbrikker. Hvert felt hører til en bestemt type valuta.

1 byggeplads denne viser 4 felter med plads til bygningsbrikker. Hvert felt hører til en bestemt type valuta. Alhambra Et spil af Dirk Henn for 2-6 spillere. De bedste bygmestre fra Europa og den arabiske verden vil bevise deres kunstfærdige arkitektur. Du har fået stillet deres bygningsarbejdere til rådighed

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

om skudøvelser Skud mod mål kan være for enten spillere eller for målmanden eller for både spillere og målmand.

om skudøvelser Skud mod mål kan være for enten spillere eller for målmanden eller for både spillere og målmand. skudøvelser om skudøvelser Skud mod mål kan være for enten spillere eller for målmanden eller for både spillere og målmand. I dette tilfælde koncentrerer vi os om skud, der skal dygtiggøre målmanden i

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Oversættelse af LibreOffice. Adressen er https://translations.documentfoundation.org/da/

Oversættelse af LibreOffice. Adressen er https://translations.documentfoundation.org/da/ Oversættelse af LibreOffice Adressen er https://translations.documentfoundation.org/da/ Wiki Vi har en wikiside, hvor du kan finde flere oplysninger om Pootle: http://wiki.documentfoundation.org/da/pootle

Læs mere

Bumser og Drager. Antal spillere: 3-5 Alder: 16+ Spilletid: 40min+

Bumser og Drager. Antal spillere: 3-5 Alder: 16+ Spilletid: 40min+ Bumser og Drager Antal spillere: 3-5 Alder: 16+ Spilletid: 40min+ Spillet indeholder: 1 Spilplade (T-shirt) 1 Figur 8 Røde terninger 60 Dårlig Ide kort 6 Karakterplader 6 Vinder emblemer 12 Eventyrkort

Læs mere

Faglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere simple mo

Faglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere simple mo C A R S T E N C R A M O N PASCALS TREKANT G Y L D E N D A L Faglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere

Læs mere

Tegn fra prik til prik 1 ELEVBOG 2A SIDE 1

Tegn fra prik til prik 1 ELEVBOG 2A SIDE 1 Tegn fra prik til prik 1 ELEVBOG 2A SIDE 1 arbejdsark 1 280 290 270 310 300 320 390 400 460 250 260 140 330 410 450 470 240 220 230 200 150 130 340 380 210 190 180 170 100 160 90 70 110 120 350 360 370

Læs mere

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at

Læs mere

Vi har hørt, at alt det der er sort igen kan blive hvidt. Det er kun Jesus som kan gøre det. I biblen læser vi, at alt igen kan blive hvidt som sne.

Vi har hørt, at alt det der er sort igen kan blive hvidt. Det er kun Jesus som kan gøre det. I biblen læser vi, at alt igen kan blive hvidt som sne. Post 1 Guld er meget værdifuldt. I Guds øjne er vi noget fantastisk værdifuldt. Vi er faktisk meget mere værd for ham end guld! I bibelen står der:.du er dyrebar i mine øjne, højt agtet, og jeg elsker

Læs mere

Idrætsdagsmappe 2015

Idrætsdagsmappe 2015 Idrætsdagsmappe 2015 I denne idrætsdagsmappe får I udleveret: Vejledning til dagen. Beskrivelse af samtlige discipliner med regler, antal deltagere osv. Vejledning til idrætsdag d.11.9 2015 Dagen nærmer

Læs mere

Spillebeskrivelse. Rev. Spillehallen.dk. Compu-Game A/S, Randersvej 36, DK 6700 Esbjerg Tlf.: 76 10 98 00 Fax: 76 10 98 98

Spillebeskrivelse. Rev. Spillehallen.dk. Compu-Game A/S, Randersvej 36, DK 6700 Esbjerg Tlf.: 76 10 98 00 Fax: 76 10 98 98 Spillebeskrivelse Rev. Spillehallen.dk Compu-Game A/S, Randersvej 36, DK 6700 Esbjerg Tlf.: 76 10 98 00 Fax: 76 10 98 98 INDHOLDSFORTEGNELSE: 1. GENERELT OM THORS HAMMER 3 2. GEVINSTTAVLEN 4 3. VALGFRIT

Læs mere

Lærervejledning. Beskriv ideen med spillet i plenum, herunder dets funktion og de tre vigtigste pointer med spillet:

Lærervejledning. Beskriv ideen med spillet i plenum, herunder dets funktion og de tre vigtigste pointer med spillet: Lærervejledning Få ord på trafikken! Har jeres skole en trafikpolitik? Hvis ikke, kan et spil TrafikPanik være det første skridt. Her kan du læse om spillet, og hvordan du bruger det i trafikundervisningen.

Læs mere

Usædvanlige opgaver Lærervejledning

Usædvanlige opgaver Lærervejledning Mette Hjelmborg Usædvanlige opgaver Lærervejledning Gyldendal Usædvanlige opgaver, lærervejledning af Mette Hjelmborg 008 Gyldendalske boghandel, Nordisk Forlag A/S, København Forlagsredaktion: Stine Kock,

Læs mere

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Julehjerter med motiver

Julehjerter med motiver Julehjerter med motiver Torben Mogensen 18. december 2012 Resumé Jeg har i mange år moret mig med at lave julehjerter med motiver, og er blevet spurgt om, hvordan man gør. Så det vil jeg forsøge at forklare

Læs mere

2. juni Solitaire spilles med pinde, der pa gurerne er angivet som sorte pletter. Der

2. juni Solitaire spilles med pinde, der pa gurerne er angivet som sorte pletter. Der SOLITAIRE 2. juni 2003 Mogens Esrom Larsen Indledning. Solitaire spilles med pinde, der pa gurerne er angivet som sorte pletter. Der kan sta en eller ingen pind i et felt, som pa guren er angivet som et

Læs mere

KAPITEL 3. Spejling og figurer. Er det symmetrisk? Er det spejlet? Er der figurer i figurerne?

KAPITEL 3. Spejling og figurer. Er det symmetrisk? Er det spejlet? Er der figurer i figurerne? KAPITEL 3 Spejling og figurer Er det symmetrisk? Er det spejlet? Er der figurer i figurerne? Tegn symmetriakser ELEVBOG 2A SIDE 42-45 arbejdsark 102 117 K F I Tegn 4. Spejling symmetriakser ELEVBOG 2A

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Filtmåtter med de 120 hyppige ord

Filtmåtter med de 120 hyppige ord VEJLEDNING TIL Fodspor Filtmåtter med de 120 hyppige ord Med bogen På sporet af ordet fang tyven, opgaveæsken og app en På sporet af ordet, Turbo-ord, sækkekort, Læs Lydret bøgerne, gulvtæppet og filtmåtterne

Læs mere

QIANBALL DOUBLE REGLER REGLER FOR QIANBALL DOUBLE KAMPE. KFUMs Idrætsforbund.

QIANBALL DOUBLE REGLER REGLER FOR QIANBALL DOUBLE KAMPE. KFUMs Idrætsforbund. KFUMs IDRÆTSFORBUND PRÆSENTERER REGLER FOR QIANBALL DOUBLE KAMPE Sidste års medalje vindere. Udarbejdet af KFUMs Idrætsforbund. KFUMs IDRÆTSFORBUND Revideret januar 2008. Danske double spilleregler for

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen.

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen. Basisblokke addition bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen. Basisblokke - decimaltal bunker osv. Det kan desuden vise decimaler og dermed give eleven visuel støtte

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Beerpongliga.dk præsenterer

Beerpongliga.dk præsenterer Beerpongliga.dk præsenterer College Table regler Beer pong... 2 Flip Cup... 4 Pyramide... 5 Derby... 7 Beer pong 1) Opstilling/udstyr 1.1) Der spilles 2 mod 2. 1.2) Der spilles med 10 kopper i pyramideform.

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Mattip om. Brøker 1. Tilhørende kopi: Brøker 1. Du skal lære at: En brøk består af en tæller og en nævner

Mattip om. Brøker 1. Tilhørende kopi: Brøker 1. Du skal lære at: En brøk består af en tæller og en nævner Mattip om Brøker Du skal lære at: En brøk består af en tæller og en nævner Kan ikke Kan næsten Kan Det samme tal kan skrives både som brøk og decimaltal I en uægte brøk er tælleren større end nævneren

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Brøk Laboratorium. Varenummer 72 2459

Brøk Laboratorium. Varenummer 72 2459 Brøk Laboratorium Varenummer 72 2459 Leg og Lær om brøker Brøkbrikkerne i holderen giver brugeren mulighed for at sammenligne forskellige brøker. Brøkerne er illustreret af cirkelstykker som sammenlagt

Læs mere

Collegetable.dk præsenterer. College Table rød

Collegetable.dk præsenterer. College Table rød Collegetable.dk præsenterer College Table rød Beer pong 1) Opstilling/udstyr 1.1) Der spilles 2 mod 2. 1.2) Der spilles med 10 kopper i pyramideform. 4 bagerst. 3 næst bagerst. Så 2 og én cup forrest.

Læs mere

10 + SPILLET OM VERDENSHERREDØMMET 2-4. www.hasbro.dk

10 + SPILLET OM VERDENSHERREDØMMET 2-4. www.hasbro.dk SPILLET OM VERDENSHERREDØMMET 2006 Hasbro. Alle rettigheder forbeholdt. Distributed in the Nordic region by Hasbro Nordic, Ejby Industrivej 40, 2600 Glostrup. www.hasbro.dk Made in Ireland 120614575108

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant. FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet

Læs mere

Billede af trendbord med stokkene. Afstanden mellem stokkene på den lange led er 90 cm - på tværs 45 cm. Så ydermålene må være nær 100 x 50 cm.

Billede af trendbord med stokkene. Afstanden mellem stokkene på den lange led er 90 cm - på tværs 45 cm. Så ydermålene må være nær 100 x 50 cm. Billede af trendbord med stokkene. Afstanden mellem stokkene på den lange led er 90 cm - på tværs 45 cm. Så ydermålene må være nær 100 x 50 cm. Det første man skal tænke på, er at man kan trende brikkerne

Læs mere

KOPIARK. Format 2.klasse Kopiside

KOPIARK.  Format 2.klasse Kopiside KOPIARK Format 2.klasse Kopiside nr. 1 Stranden Strimler til at skrive navne i. A4 A3 Format 3. klasse Kopiark Elevbog side 5 Format bh. kl. Alinea Kopiark Elevbog side 7 Stranden nr. 2 Søjler til registrering

Læs mere

Proposition I Hvis jeg har samme chance for at få a eller b, er det for mig lige så meget værd som a + b

Proposition I Hvis jeg har samme chance for at få a eller b, er det for mig lige så meget værd som a + b vil have samme chance for at få eller 7 skilling i et retmæssigt spil, som det senere vil blive vist. Proposition I Hvis jeg har samme chance for at få a eller b, er det for mig lige så meget værd som

Læs mere

Sjov med pizza-stykker

Sjov med pizza-stykker Sjov med pizza-stykker Første gang eleverne får materialet i hånden, bør de have tid til selv at undersøge det, så de bliver fortrolige med de forskellige dele. Det kan også være en god idé at lade eleverne

Læs mere

Spillebeskrivelse Produceret af For Spillehallen.dk

Spillebeskrivelse Produceret af For Spillehallen.dk Spillebeskrivelse Produceret af For Spillehallen.dk INDHOLDSFORTEGNELSE: 1. GENERELT OM HOT STUFF 3 2. GEVINSTTAVLEN 4 3. VALGFRIT SPIL 5 4. INFERNO 5 5. HOT SHOT 6 6. FIREBALL 7 7. GAMEFLASH 8 7.1. Nudge

Læs mere