Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith"

Transkript

1 Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000

2 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof. I kapitel 2 formuleres de tre vigtige stadarduligheder AG-ulighede, Cauchy-Schwarz's ulighed og Jeses ulighed. Disse ka betragtes som (miimalt) pesum i uligheder i kokurrecer ud over Georg Mohr. For de, som har lyst til at læse mere om middelværdier, er der i kapitel 3 samlet ogle mere avacerede sætiger, som er geeralisatioer af AG-ulighede. Specielt er Muirheads ulighed værd at lære sig. I håb om at gøre otere mere læsbare er de este af bevisere yttet om i appedix. Jeg vil være meget takemmelig for kommetarer, rettelser, forslag til forbedriger etc. Søre Galatius Smith, Juli 2000

3 Kapitel Grudlæggede metoder. Algebraiske metoder Nogle uligheder ka vises ved algebraiske omskriviger til oplagt sade udsag. Et hyppigt avedt trick er, at der for alle x R gælder x 2 0 med lighed hvis og ku hvis x = 0. Eksempel... Vis at der for alle positive reelle tal gælder x + y 2 med lighed hvis og ku hvis x = y. xy Bevis. Vi har 0 ( x y) 2 = x + y 2 xy x+y 2 xy. Dette er faktisk et specialtilfælde af de såkaldte AG-ulighed, som præseteres seere. Eksempel..2. Vis, at der for alle reelle tal a, b og c gælder a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ac Bevis. Da (a b) 2 = a 2 + b 2 2ab 0, fås for alle a, b R Ligeledes må der jo gælde a 2 + b 2 2ab. b 2 + c 2 2bc og a 2 + c 2 2ac, hvoraf det øskede følger ved additio og divisio med 2.

4 Bemærkig..3. Løsige til det foregåede eksempel ka godt virke lidt grebet ud af lufte. Hvorda i alverde skulle ma de på at betragte (a b) 2? Når ma skal vise e ulighed er det som regel ødvedigt at rege baglæs, altså starte med det ma skal vise. Ma skal selvfølgelig sørge for, at beviset virker de rigtige vej. Ma vil tit komme ud for e implikatio, som ku gælder de ee vej, fx gælder der jo a > c og b > d a + b > c + d (hvilket vi brugte i det sidste skridt i oveståede eksempel), me ikke det omvedte. Hvis ma skriver bevisere i baglæs rækkefølge, ka det være lettere at se, hvorda ma har fudet på beviset, me også lettere at lave forkerte argumeter..2 Aalytiske metoder Som bekedt gælder der for positive tal x y x 2 y 2, ma har lov til at kvadrere på begge sider. Ma ka også overbevise sig om, at ma har lov til at tage kvadratrod på begge sider. Dette er e vigtig egeskab ved fuktioere x x 2 og x x. Hvis f : I R er e fuktio på et iterval I R, siger vi geerelt f er voksede i I, hvis x y f(x) f(y), x, y I f er aftagede i I, hvis x y f(x) f(y), x, y I f er stregt voksede i I, hvis x > y f(x) > f(y), x, y I f er stregt aftagede i I, hvis x > y f(x) < f(y), x, y I Hvis f er stregt voksede, har ma altså lov til at tage f på begge sider af et ulighedsteg; hvis f ku vides at være voksede, skal ma ædre > til og < til. Hvis f er aftagede hhv. stregt aftagede, skal ma vede ulighedsteget. Hvis ma ikke umiddelbart ka se, om e fuktio er voksede, ka ma prøve med Sætig.2. (Mootoisætige). Lad f være dieretiabel på et iterval I. Hvis f (x) 0 for alle x I, er f voksede i I. Hvis f (x) > 0 for alle x I, er f stregt voksede i I. Bemærkig.2.2. Heraf udledes let små modikatioer, som fx at det er ok at f er kotiuert og stykkevist dieretiabel, eller at f (x) > 0 for alle x I udtage edelig mage er tilstrækkeligt til at gøre f stregt voksede. Vi vil ikke i dee ote give et bevis for mootoisætige. 2

5 Mootoisætige ka dels bruges til at retfærdiggøre et (lille) skridt i et bevis, hvor ma har brugt e implikatio som fx x > y e x > e y. I sådae tilfælde betragtes det som regel som velkedt, at de give fuktio (fx ekspoetialfuktioe) er voksede, og ma behøver ikke skrive, at de aedede er positiv. Ma ka imidlertid også forestille sig tilfælde, hvor hele opgave eller e stor del af de ka formuleres som f() f(2) eller ligede, for e passede fuktio f. Så ka det være at det er lettere at vise f (x) 0 for x [; 2], hvorved mootoisætige giver det øskede. Et lidt mere hi-tech redskab er maksimerig. E måde at vise, at der for e dieretiabel fuktio f gælder f(x) 0, er at dieretiere f, de kritiske pukter, og udersøge, om f's globale miimum er 0. I så fald har ma jo vist ulighede. I praksis viser det sig sjældet at være farbar vej; hvorfor skulle det være lettere at løse f (x mi ) = 0 og derefter vise f(x mi ) 0 ed at vise f(x) 0 e gag for alle? Det er trods alt de færreste fuktioer, der bliver pæere af at blive dieretieret. E ade hage ved metode er, at f typisk er e fuktio af ere variable, hvor maksimerig bliver edu mere vaskelig. 3

6 Kapitel 2 Geerelle sætiger 2. Algebraiske metoder Deitio 2... Ved det aritmetiske geemsit (eller middel) af reelle tal x, x 2,..., x forstås tallet A = x + x x. Ved det geometriske geemsit (eller middel) af ikke-egative reelle tal x, x 2,..., x forstås tallet Der gælder u de vigtige G = x x 2... x. Sætig 2..2 (AG-ulighede). For vilkårlige ikke-egative reelle tal x, x 2,..., x gælder A G med lighed hvis og ku hvis x = x 2 = = x. De æste sætig har e ituitiv geometrisk fortolkig Sætig 2..3 (Cauchy-Schwarz). For vilkårlige 2 reelle tal x, y, x 2, y 2,..., x, y gælder x i y i x i 2 Der gælder lighedsteg, hvis og ku hvis der des σ, λ R, ikke begge 0, så σx i = λy i for alle i. 4 y i 2

7 For = 2 og = 3 siger ulighede, at vikle θ mellem to vektorer x og y i R opfylder cos θ. For > 3 er resultatet ødvedigt for overhovedet at kue deere vikler. Cauchy-Schwarz er et specialtilfælde af Sætig 2..4 (Hölders ulighed). Lad p, q R være så p + q =. Lad x i og y i være ikke-egative. For p > (og dermed q > ) gælder ( x i y i x i p ) p ( og hvis p < (og dermed q < ) gælder de omvedte ulighed. Lighedsteg som i sætig I appedix A.3 des e geeralisatio af sætig 2..4 samt et bevis for de geeraliserede versio. y i q ) q 2.2 Aalytiske metoder I kraft af mootoisætige giver forteget af f væsetlig iformatio om f. I dette afsit skal vi udytte oget ligede om forteget for f. Først ogle deitioer: Deitio Lad f : I R være e fuktio på et iterval I R. Hvis der for alle x, y I og alle λ [0; ] gælder siger vi, at f er koveks i I. λf(x) + ( λ)f(y) f(λx + ( λ)y), Hvis der for alle x, y I så x y og alle λ ]0; [ gælder λf(x) + ( λ)f(y) > f(λx + ( λ)y), siger vi, at f er stregt koveks i I. f siges at være (stregt) kokav i I, hvis og ku hvis de omvedte uligheder gælder. Ækvivalet er f (stregt) kokav, hvis og ku hvis f er (stregt) koveks. Sagt med ord er f koveks, hvis sekate geem to pukter på futioes graf ligger over grafe mellem disse to pukter. Det ser jo vældig idviklet ud, me heldigvis er der et lettere kriterium: 5

8 Sætig Lad f være e dieretiabel fuktio på et iterval I. Da er f (stregt) koveks på I hvis og ku hvis f er (stregt) voksede på I. I dee ote vil vi ikke give et bevis for sætig Sætige er specielt yttig, hvis f er to gage dieretiabel. Så ka ma emlig bruge mootoisætige til at afgøre, om f er voksede. Sætter vi.2. og samme, får vi, at e to gage dieretiabel fuktio er koveks hhv. stregt koveks, hvis f 0 hhv. f > 0. (Det er ikke ok, at f er kotiuert og stykkevist to gage dieretiabel med f 0. Prøv fx at tege f(x) = 3 x 2 omkrig x = 0.) Vi ka u formulere Jeses ulighed, opkaldt efter daskere Joha Ludwig William Valdemar Jese [859925]: Sætig (Jeses ulighed). Lad f : I R være e koveks fuktio på et iterval I R. Lad x, x 2,..., x I. Da gælder ( ) f(x ) + f(x 2 ) + + f(x ) x + x x f. Hvis f er stregt koveks, gælder der lighedsteg hvis og ku hvis x = x 2 = = x. Jeses ulighed siger altså, at geemsittet af fuktiosværdiere er større ed eller lig fuktiosværdie af geemsittet. I appedix A.2 giver vi et bevis for Jeses ulighed. Bemærk, at da f koveks f kokav, gælder de omvedte ulighed for kokave fuktioer. Som eksempel på avedelse af Jeses ulighed viser vi u AG-ulighede: Eksempel Da (l) (x) = < 0 for x R x 2 +, er l stregt kokav på R +. Jeses ulighed giver u, at der for alle positive tal x, x 2,..., x gælder l x x 2... x = l(x ) + l(x 2 ) + + l(x ) ( ) x + x x l, med lighed hvis og ku hvis x'ere er es. Da ekspoetialfuktioe er stregt voksede, følger AG-ulighede. 2.3 Opgaver til kapitel 2 Opgave 2.3. (Harmoisk middel). Det harmoiske geemsit af positive tal x, x 2,..., x deeres ved H = x + x x 6

9 Vis, at der for vilkårlige positive tal x, x 2,..., x gælder H G, med lighed hvis og ku hvis x = x 2 = = x. Opgave (Kvadratisk middel). Det kvadratiske geemsit af reelle tal x, x 2,..., x deeres ved x2 + x x 2 Q =. Vis, at der for vilkårlige reelle tal x, x 2,..., x gælder A Q, med lighed hvis og ku hvis x = x 2 = = x. Eksempel (Trekatsulighede i R ). Vis, at der for alle reelle x i og y i gælder (x i + y i ) 2 x 2 i + yi 2. Giv evt. e geometrisk fortolkig af ulighede (oget med sidelægder af e trekat i R ). Dee ulighed er et specialtilfælde af Mikowskis ulighed, som bevises i appedix A.3. Opgave Lad x, x 2,..., x være positive reelle tal så x i =. Vis, at x i x 2 i. Bemærkig Oveståede ulighed er et specialtilfælde af g. resultat: For x i positive, x i = og 0 < r < s gælder x r i x s i. [Vik til de geerelle form: For e passede fuktio f(r) er det ækvivalet at vise, at f er voksede på R. Idet l er voksede på R +, har (x i r ) og (l x i r l ) samme forteg, så (x i r )(l x i r l ) 0, hvoraf x i r l x i l x i for vilkårligt x i > 0. Alterativt ka Hölders ulighed avedes.] 7

10 Kapitel 3 Mere om middelværdier 3. Potesgeemsit I tidligere afsit og øvelser har vi vist, at for vilkårlige positive reelle tal gælder H G A Q, med lighedsteg hvis og ku hvis x = x 2 = = x. Disse 4 geemsit er specialtilfælde af de såkaldte potesgeemsit M r, som vi u vil deere: Deitio 3... Lad x, x 2,..., x være positive reelle tal. Da deeres ( x r) r i for 0 < r <, x i for r = 0, M r = mi x i for r =, max x i for r =. Som ma ka se, er H = M, G = M 0, A = M og Q = M 2. Geerelt gælder Sætig For vilkårlige positive reelle x i er r M r e kotiuert og voksede fuktio på [ ; ] i de forstad, at de er kotiuert og voksede på R og lim r ± M r = M ±. Med midre x = x 2 = = x er de også stregt voksede. E del af beviset for dee sætig er i opgave B Vægtede geemsit Hvis ma vil lave et geemsit af x og y, hvor x er dobbelt så vigtig som y, ka ma bruge 2x + y. Dette kaldes et vægtet geemsit af x og y med 3 3 vægtee 2 og. Alle potesgeemsit ka vægtes: 3 3 8

11 Deitio Lad a, a 2,..., a være positive reelle tal så a i =. Potesgeemsittet af de positive reelle tal x, x 2,..., x med vægtee a i deeres u ved ( M r = mi x i a ix r i ) r for 0 < r <, x i a i for r = 0, for r =, max x i for r =. Ma ka u vise, at sætig 3..2 også gælder for vægtede M r. I appedix A.2 er Jeses ulighed bevist i e udgave om vægtede geemsit (me ku for vægtede aritmetiske geemsit, dvs. det vægtede M ; se eksempel B.0.8 hvis r ). Jeses ulighed ka da skrives på forme i Købehavs Uiversitets Matematiske Istituts logo: ϕ ( aν x ν aν ) aν ϕ(x ν ) aν 3.3 Muirheads sætig I dette afsit skal vi se på edu e geeralisatio af AG-ulighede, idet vi vil deere de såkaldte Muirhead-geemsit, for hvilke der gælder e meget stærk ulighed. Først lidt termiologi Permutatioer Først et par geerelle deitioer: Deitio Lad X og Y være mægder. Lad f : X Y være e fuktio. Vi siger da, at f er surjektiv, hvis der gælder y Y x X : f(x) = y Vi siger, at f er ijektiv, hvis der gælder x, x 2 X : [ f(x ) = f(x 2 ) x = x 2 ] Vi siger, at f er bijektiv, hvis f er både ijektiv og surjektiv. E fuktio f : X Y er altså surjektiv, hvis hvert elemet i Y er billedet af midst et elemet i X; de er ijektiv, hvis hvert elemet i Y er billedet af højst et elemet i X, og bijektiv, hvis hvert elemet i Y er billedet af etop et elemet i X. Hvis (og ku hvis) f : X Y er bijektiv des e etydig fuktio g : Y X så y Y : f g(y) = y og x X : g f(x) = x. De således bestemte fuktio beteges f og kaldes de iverse til f. 9

12 Deitio E permutatio σ af e mægde X er e bijektiv fuktio σ : X X. Mægde af permutatioer på X beteges Σ X. Når X = {, 2,..., } vil vi skrive Σ eller P for Σ X. Σ kaldes også de symmetriske gruppe. Af otatiosmæssige årsager beyttes betegelse P frem for Σ i reste af dee fremstillig. Det er e god idé at tæke sig et elemet σ i P tabuleret således: x 2... σ(x) σ() σ(2)... σ() At σ P skal være bijektiv kommer u ud på, at hvert af tallee, 2,..., optræder etop é gag i ederste liie, således at σ bliver e ombytig af tallee fra til. Ma ser, at atallet af mulige sådae ombytiger, og dermed atal elemeter i P, er! Muirhead-geemsit Vi vil u deere det såkaldte Muirhead-geemsit: Deitio Lad α = (α,..., α ) være e -tupel af ikke-egative reelle tal. Da lader vi Muirhead-geemsittet [α] af tallee x i > 0 være det reelle tal [α] = [α, α 2,..., α ] =! σ P x α σ(i) i =! σ P (x σ(i) ) α i (3.) Altså: Fid produktet x α x α a α, byt på alle mulige måder rudt på ekspoetere, og læg det hele samme og divider til sidst med atallet af led,!. For geerelle ekspoeter ser det ikke særlig hady ud, me i specialtilfældet hvor mage af ekspoetere er es, fås ekle udtryk; i edeståede eksemplere er x,..., x positive reelle tal. Eksempel Altså det kedte geometriske geemsit af x'ere. Eksempel [,..., ] = x... x (3.2) [, 0,..., 0] = (x + + x ) (3.3) Altså det kedte aritmetiske geemsit af x'ere. 0

13 AG-ulighede samme med de to foregåede eksempler viser, at der for alle positive reelle x i gælder [,..., ] [, 0,..., 0]. Hovedresultatet i dette afsit er et geerelt kriterium for, hvorår to Muirhead-geemsit ka sammeliges på dee måde. Først edu e deitio: Deitio Lad α = (α,..., α ) og β = (β,..., β ) være ordede tupler af ikke-egative reelle tal. Vi skriver da α β, såfremt α i 'ere og β i 'ere ka omarrageres så der gælder (i) α + + α = β + + β (ii) α i α i+ og β i β i+ for alle i =,..., (iii) α + + α i β + + β i for alle i =,..., Pukt (ii) er ikke i sig selv e restriktio, da α og β altid ka omarrageres så det bliver opfyldt. Me det gør aturligvis e forskel i (iii), at de skal være arrageret i aftagede rækkefølge. Vi ka u formulere Sætig (Muirhead). Lad [α] og [β] være to Muirhead-geemsit. E ødvedig og tilstrækkelig betigelse for at der for alle positive x i gælder [α] [β] er, at α β. I så fald gælder der lighedsteg hvis og ku hvis x = x 2 = = x eller α i = β i for alle i. I appedix A. er et bevis for Muirheads sætig. Ofte ka ma bruge Muirheads sætig samme med g. korollar af sætig 3..2: Sætig Lad [a] være et Muirhead-geemsit og lad 0 < λ. Da er [λa] [a] λ. hvor λa beteger (λa,..., λa ). Der gælder lighedsteg hvis og ku hvis λ = eller x = x 2 = = x.

14 Appedix A Noge beviser A. Bevis for Muirheads sætig Sætig A.. (Muirhead). Lad [α] og [β] være to Muirhead-geemsit. E ødvedig og tilstrækkelig betigelse for at der for alle positive x i gælder [α] [β] er, at α β. I så fald gælder der lighedsteg hvis og ku hvis x = x 2 = = x eller α i = β i for alle i. Bevis. For at vise, at α β er ødvedigt, atag α og β er ordet i aftagede rækkefølge. Atag [α] [β] for alle positive x i. Vi skal u vise, at (i) og (iii) i deitio må være opfyldt. Lad x = x 2 = = x = x. Da er altså x P α i x P β i. Hvis dette skal gælde for x både større og midre ed, må ekspoetere være es, så krav (i) i deitio er ødvedigt. Sæt deræst x = x 2 = = x i = x og x i+ = = x =. Skrives ulighede [α] [β] u ud fås på vestre side e sum af poteser af x af hvilke de højeste potes er α + + α i (husk, at α var ordet aftagede); på højre side har er de højeste potes β + + β i. Hvis vestreside skal være midre ed højreside for store x, må (iii) i deitio ødvedigvis være opfyldt. Dermed er ødvedighede bevist. Vi viser u tilstrækkelighede. Atag altså at α β. Vi ka atage, at α og β allerede er arrageret i aftagede rækkefølge. Beviset går ud på at de -tupler β (0), β (),..., β (m), så β (0) = β og β (m) = α, og så det er let at se, at [β (i) ] [β (i+) ]. Ka vi det, har vi jo vist det, vi skulle. Lad os kalde atallet af i, så α i β i for diskrepase af β mht. α. Hvis diskrepase er 0, er vi færdige. I modsat fald er oge af dieresere α i β i altså forskellige fra ul, og da (β i α i ) = 0, må der være både positive og egative diereser. Ig. krav (iii) i deitioe af, må de første ikke-ul dieres være positiv. Lad l være midst mulig, så β l α l < 0. Lad k < l 2

15 være størst mulig, så β k α k > 0. Vi har altså situatioe α k < β k, β k+ = α k+,..., α l = β l, α l > β l (A.) Lad u σ være de største af tallee α k β k+β l + σ 2 β k β l. Nu gælder: og α k β k + β l 2 α l β k + β l 2 2 og β k+β l 2 α l, og lad λ = + σ = λβ k + ( λ)β l (A.2) σ = ( λ)β k + λβ l (A.3) Med lighed i midst e af ulighedere. Da β l < α l α k < β k, må 0 < λ <. Vi deerer u β ved λβ k + ( λ)β l β m = for m = k ( λ)β k + λβ l for m = l ellers β m (A.4) Af lighede i (A.2) eller (A.3) ses, at diskrepase af β med hesy til α er eller 2 lavere ed diskrepase af β med hesy til α. β skal u være kadidat til β (). Vi øsker at vise, at α β, samt at [β ] [β]. Vi har u oplagt α i = β i = β i. Mht. om β er aftagede har vi, for k + < l, at β k = β k β k λβ k + ( λ)β l α k α k+ = β k+ = β k+ (A.5) og β l = β l = α l α l ( λ)β k + λβ l β l β l+ = β l+ (A.6) Vi har dermed checket de uligheder, der ivolverer idicere l og k. De adre uligheder er automatisk opfyldt, da β er aftagede. Vi har altså, at β er aftagede. For k = l gælder de samme vurderiger, blot overspriges vurderiger agåede idices k +, thi da er α k = α l. Vi magler u ku at checke, at α + α α m β + β β m for m =, 2,..., For m < k ka vi erstatte β med β på højreside, så der gælder ulighede. Det ka vi også for m l, thi β k + β l = β k + β l. Da α k β k, gælder det også for m = k. Dermed gælder det også for k < m < l, da β og α er es her. 3

16 Vi øsker u at vise, at for vilkårlige x i 'er er [β ] [β]. Til de ede sker der ikke oget ved at omarragere β og β, så k = og l = 2. Vi har u 2!([β] [β ]) = 2! ([β, β 2, β 3,..., β ] [λβ + ( λ)β 2, ( λ)β + λβ 2, β 3,..., β ]) ( = σ P x β 3 σ(3)... xβ σ() x β σ() xβ 2 σ(2) + xβ 2 σ() xβ σ(2) xλβ +( λ)β 2 σ() x ( λ)β +λβ 2 σ(2) x ( λ)β +λβ 2 σ() x λβ +( λ)β 2 σ(2) Paretese ka faktoriseres i ( ) ) ( ) β2 xσ() x σ(2) (x λ(β β 2 ) σ() x λ(β β 2 ) σ(2) x ( λ)(β β 2 ) σ() x ( λ)(β β 2 ) σ(2) der, idet λ > 0 og λ > 0, er ikke-egativ, hvoraf det øskede følger. Med midre x = x 2 = = x, bliver paretese også stregt positiv for et σ P Sammefattede har vi, at α β, og [β ] [β]. Ved at getage procedure ka vi altså lave e følge af β (i) 'er, så for alle positive x i 'er [β] [β () ] [β (2) ] [β (m) ] med lighed hvis og ku hvis x = x 2 = = x. Og α β (m). Imidlertid aftager diskrepase af β (i) 'ere mht. α, så for tilstrækkelig stor m, er β (m) = α, og beviset for Muirheads sætig er fuldført. A.2 Bevis for Jeses ulighed Vi vil bevise Jeses ulighed for vægtede middelværdier i følgede form: Sætig A.2. (Jeses ulighed). Lad I R være et iterval, og lad f : I R være koveks. Lad x,..., x I, og lad a,..., a være positive reelle tal så a i =. Da er ( ) f a i x i a i f(x i ). ) (A.7) Hvis f er stregt koveks gælder lighedsteg hvis og ku hvis alle x i 'ere er es. Bemærkig A.2.2. Det er klart, at a ix i I, da de ligger mellem de største og de midste af x i 'ere. Dermed giver vestreside altid meig. 4

17 Bevis. Lad os idføre lidt otatio. Lad V være mægde af fuktioer I R, og lad G : V R være fuktioe givet ved G(g) = a i g(x i ) (A.7) ka u skrives f (G(id)) G(f) hvor id beteger fuktioe x x. Ligeledes vil vi skrive for fuktioe x. For g, h V vil vi skrive g h hvis x I : g(x) h(x). Bemærk, at G opfylder, at G(g + h) = G(g) + G(h) og G(ag) = ag(g) for g, h V og a R (disse to egeskaber kaldes liearitet af G). G opfylder også at hvis g h er G(g) G(h) (dee egeskab kaldes positivitet), og at G() = (G er ormeret). Beviset bygger på følgede lemma, hvis bevis vi udskyder: Lemma A.2.3. Lad f : I R være koveks og lad y I, så y ikke er et edepukt for I. Da des e støtteliie, dvs. et c R, så at for alle x I: f(x) f(y) + c(x y) Hvis f er stregt koveks vil der gælde skarp ulighed for x y. (A.8) Lemmaet siger blot, at der des e tagetliie, som grafe for fuktioe ligger over. Nu er det gaske let at bevise Jeses ulighed i de agive form: Lad y = G(id). Med midre alle x i 'ere er es og er edepukter i I (i så fald er Jeses ulighed triviel), er y ikke et edepukt i I. Fid c R som i lemmaet. Nu gælder for alle x I f(x) f(y) + c(x y) (A.9) eller, ækvivalet f f(y) + c(id y). Bruges liearitete og positivitete af G fås (A.0) = f(y)g() + c (G(id) yg()) = f(y) + c(y y) = f (G(id)), (A.) G(f) G(f(y) + c(id y)) som viser første del af sætige. Hvis f er stregt koveks, gælder skarp ulighed i (A.9) udtage for x = y. Med midre alle x i 'ere er es er dette tilstrækkeligt til at give skarp ulighed i (A.0). Det er klart, at hvis alle x i 'ere er es, gælder lighedsteg i Jeses ulighed. Dermed er Jeses ulighed bevist. 5

18 Bemærkig A.2.4. De egeskaber ved G, vi brugte i beviset, gælder også for adre slags geemsit. Specielt gælder beviset også hvis I = [a, b] og V er mægde af kotiuerte fuktioer I R og G(g) = g(x)dx, eller b a edu mere geerelt G(g) = b a fuktio så b a v(x)dx =. b a g(x)v(x)dx hvor v : I R er e ikke-egativ Bevis for lemma A.2.3. Vi får brug for følgede egeskab ved de reelle tal: Egeskab A.2.5. Lad A, B R være ikke-tomme og atag at a A, b B : a b. Da des et tal c R, så a A, b B : a c b. Dee egeskab er fudametal for de reelle tal. At bevise de kræver e præcis deitio af R, og de ka i dee sammehæg opfattes som et aksiom. Lad x, z I så x < y < z. Da ka y skrives som y = ( λ)x + λz, 0 < λ <. Vi har u pr. koveksitet: f(y) f(x) y x = På samme måde fås, at Deer u A, B R ved f(( λ)x + λz) f(x) ( λ)x + λz x f(z) f(x) z x λ(f(z) f(x)) λ(z x) f(z) f(y) z y { } f(y) f(x) A = y x x I, x < y { } f(z) f(y) B = z y z I, y < z = f(z) f(x) z x (A.2) (A.3) Da y ikke var et edepukt er A og B ikke-tomme. Nu viser (A.2) og (A.3), at A og B er som i egeskab A.2.5. Tag derfor et c som i A.2.5. Nu er påstade, at dette c ka bruges som c i lemmaet. Vi har emlig for x < y: og for x > y: f(y) f(x) y x c f(x) f(y) c x y I begge tilfælde følger lemmaet ved multiplikatio med x y. For x = y er lemmaet trivielt. Tilfældet hvor f er stregt koveks overlades til læsere [Vik: Idirekte bevis. Vis, at hvis koklusioe ikke holdt, ville f være e ret liie mellem x og y]. 6

19 A.3 Bevis for Hölders og Mikowskis uligheder Sætig 2..4 for p > fås af sætig A.3. ved at sætte m = 2, p = p, p 2 = q, x i = x i og x i2 = y i : Sætig A.3. (Hölders ulighed). Lad p,..., p m være positive reelle tal så p + + p m =. Lad x ij være positive reelle tal for i =,..., og j =,..., m. Da er j= m x ij ( m ) p j p x j ij j= Vi vil bevise sætig A.3. vha. AG-ulighede for vægtede middelværdier (som følger af Jeses ulighed for vægtede middelværdier (Sætig A.2.) på helt samme måde som i eks ). Vi har emlig m j= x ij m j= ( x ij p j ) m = j= p j p j = m j= ( xij p j k= x kj p j ( p xij j ) p j k= x kj p j ) m = j= p j k= x kj p j m p j= j p x j ij = ( p xij j ) k= x kj p j m j= p j = hvor ulighedsteget stammer fra AG-ulighede. Dermed følger det øskede ved multiplikatio med ævere. Tilfældet hvor 0 < p < ka reduceres til tilfældet hvor p > på følgede måde: Vi har p = > og p q = > og + p p q. Nu ka Hölders ulighed bruges på disse tal: b i = b p i (a i b i ) p b p i ( ) p ( ((a i b i ) p ) p Divider dee ulighed med paretes r. 2 på højreside: ( ) p ( a i b i a p i ) ( b q i =. Sæt a i = (a i b i ) p og ) p ( ) b p p i ) p q. Heraf fås det øskede ved at opløfte til. Tilfældet hvor p < 0 fås af tilfældet p 0 < p < ved at bytte om på p og q. Det overlades til læsere at udersøge, hvorår der gælder lighedsteg i Hölders ulighed. Mikowskis ulighed siger: 7

20 Sætig A.3.2 (Mikowskis ulighed). Lad a,..., a og b,..., b være ikkeegative reelle tal, og lad r. Da gælder ( ) ( r (a i + b i ) r a i r ) r For r, r 0 gælder de omvedte ulighed. + ( b i r ) r. For r = 2 siger ulighede at lægde af e side i e trekat er midre ed summe af lægdere af de to adre sider. Bevis. Vi bruger Hölders ulighed: For r > har vi (a i + b i ) r = ( a i r ( = ) a i r a i (a i + b i ) r + b i (a i + b i ) r ( ) r ( r r ((a i + b i ) r ) r r + ) r + ( b i r ) r b i r ( ) (a i + b i ) r ) r r ( ((a i + b i ) r ) r r hvoraf det øskede følger. For r <, r 0 skal ulighedsteget vedes. A.4 Tjebysjevs ulighed Bemærkig A.4.. Ulighede er opkaldt efter Pafuti Lьvoviq Qebyxev (82-894). Følger ma de af Dask Sprogæv abefalede traslitteratio, hedder ha Pafutij Lvovitj Tjebysjev. Følger ma ISO-stadarde, hedder ha Pafutij L'vovi ƒeby²ev. På egelsk skriver ma tit Chebyshev, og geerelt ka avet staves på ere måder ed ma skulle tro. Deitio A.4.2. Lad a, a 2,..., a og b, b 2,..., b være reelle tal. Vi siger, at a og b har samme ordig, hvis (a i a j )(b i b j ) 0 for alle i, j. Vi siger, at a og b er omvedt ordede, hvis der gælder de omvedte ulighed. Bemærk, at hvis b'ere er givet ved e fuktio af a'ere: b i = f(a i ) har de samme ordig hvis f er voksede og omvedt ordig hvis f er aftagede. Sætig A.4.3 (Tjebysjevs ulighed). Lad a og b have samme ordig. Da er (a ) ( ) + a a b + b b 8 a b + a 2 b a b ) r r

21 Hvis a og b er omvedt ordede gælder de omvedte ulighed. Der gælder lighedsteg hvis og ku hvis alle a'ere er es eller alle b'ere er es Bevis. Vi har = = 2 = 2 a i b i j= j= j= a i b i = 2 (a ib i a i b j ) = j= j= a j b j a i 2 (a jb j a j b i ) 2 ((a ib i a i b j ) + (a j b j a j b i )) 2 (a i a j )(b i b j ) 0 Hvis a og b er omvedt ordede gælder de omvedte ulighed. E ade sætig af samme skue: Sætig A.4.4. Lad a, a 2,..., a og b, b 2,..., b være reelle tal. Lad c, c 2,..., c være e permutatio af b'ere. De største værdi af udtrykket a i c i opås hvis a og c har samme ordig, og de midste værdi opås hvis de har omvedt ordig. Bevis. Atag, at der des i, j så (a i a j )(c i c j ) < 0. Da vil a i c i + a j c j < a i c j + a j c i. Dvs. udtrykket bliver større ved at ombytte c i og c j. Dvs. hvis a og c ikke har samme ordig, har udtrykket ikke de størst mulige værdi. Da der ku er edeligt mage permutatioer af b'ere, er der ødvedigvis e permutatio der giver e maksimal værdi, og det må følgelig være e permutatio der giver a og c samme ordig. Ligeledes for midsteværdie. j= b j 9

22 Appedix B Supplerede eksempler & opgaver Eksempel B.0.5. Vis, at for alle x ]0; π [ gælder ta x + cot x 2 2 Eksempel B.0.6. Vis at der for alle x R og y R + gælder e x + x og l y y. Eksempel B.0.7. Vis, at hvis A, B og C er viklere i e trekat, gælder si 2 A + si 2 B + si 2 C 4 Eksempel B.0.8. Vis, at bladt trekater med fast omkreds, har de ligesidede størst areal. Eksempel B.0.9. Vis at der for alle positive reelle a, b og c gælder bc a + ca b + ab c a + b + c. Eksempel B.0.0. Lad x,..., x være positive reelle tal. Vis, at 2 x + x x 2 x + x x x + x 2 x 2 + x 3 x + x 2 Eksempel B.0.. Lad x, y, z være positive reelle tal. Vis, at xy 3 + yz 3 + zx 3 xyz(x + y + z) Eksempel B.0.2. Vis at der for alle positive reelle a, b og c gælder a b + c + b a + c + 20 c a + b 3 2.

23 Eksempel B.0.3 (IMO 995, Toroto). Lad a, b og c være positive reelle tal, så abc =. Vis, at der gælder a 3 (b + c) + b 3 (a + c) + c 3 (a + b) 3 2 Eksempel B.0.4 (IMO 964). Lad a, b, c være sidelægder i e trekat. Vis, at a 2 (b + c a) + b 2 (a + c b) + c 2 (a + b c) 3abc Eksempel B.0.5 (IMO 983). Lad a, b, c være sidere i e trekat. Vis, at a 2 b(a b) + b 2 c(b c) + c 2 a(c a) 0 Eksempel B.0.6. Reg opgavere B.0.9 og B.0.2 vha. Muirheads sætig. [Muirheads sætig er ikke ødvedigvis de smarteste agrebsvikel på disse opgaver, me de illustrerer et par stadardtekikker ma ka bruge til at få uligheder på e form hvor Muirheads sætig ka avedes. Derfor et par hits: Multiplicer med abc i B.0.9 for at få ulighede på e form hvor Muirheads sætig ka avedes. B.0.2 er sværere. Problemet er at der står e sum i ævere. Ma ka ete multiplicere ulighede med alle ævere og gage ud eller ma ka substituere oget passede så summere forsvider.] Eksempel B.0.7. Vis følgede del af 3..2: For 0 < r < s < gælder M r M s, med lighedsteg hvis og ku hvis alle x i 'ere er es. [Vik: Brug Jeses ulighed. Ma ka bruge mootoisætige, me så skal ma have god tid... Hvis du har lyst til at vise reste af 3..2 er her et par vik: Brug l'hospitals regel til at vise at r l(m r ) er kotiuert fra højre i 0. For r ka ma (vise og) bruge vurderige r M M r M. Brug kotiuitete og mootoie på [0; ] til at slutte kotiuitet og mootoi på [ ; 0] og dermed på R.] Eksempel B.0.8. I ord siger Jeses ulighed: Hvis f er koveks er det aritmetiske geemsit af fuktiosværdiere større ed fuktiosværdie af det aritmetiske geemsit. Hvad u, hvis ma gere vil erstatte aritmetisk med fx geometrisk? Vis, at hvis l f er koveks, da er ( ) x + + x f f(x )f(x 2 )... f(x ) 2

24 for alle positive x i. Vis, at hvis f exp er koveks, da er f ( x x 2... x ) f(x ) +... f(x ) Hvad sker der mo, hvis l f exp er koveks? Hvad sker der mo, hvis x f( ), x eller x er koveks? x f(x) f( ) x Eksempel B.0.9. Vis, at der for alle positive, reelle tal a, b og c gælder 3 ( 3 abc+ 3 a b ) 3 c + (a + )(b + )(c + ) a + b + c Prøv så vidt muligt at formulere bevisere så de geeraliserer til ere variable ed 3. Eksempel B Lad a, b, c være positive reelle tal, så abc =. Vis, at Eksempel B a b c (i) x 3 + y 3 + z 3 x 2 y + y 2 z + z 2 x. Højreside er ikke symmetrisk, så Muirhead ka ikke umiddelbart avedes. (ii) a3 +b 3 +c 3 (a2 +b 2 +c 2 )(a+b+c) 3 9 (iii) ( + )( + )( + ) 64 hvis x + y + z = x y z 22

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Supplerende noter II til MM04

Supplerende noter II til MM04 Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t. Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert. Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel og imagiærdel samt i... 8 Subtraktio,

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden. Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen Rettevejledig til HJEMMEOPGAVE Makro, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørese Opgave... Udsaget er forkert. De omtalte skatteomlægig må atages at øge beskæftigelse p.gr.a. e positiv substitutioseffekt

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n. IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2

Sandsynlighedsteori 1.2 Forelæsigsoter til Sadsylighedsteori.2 Sved Erik Graverse Jauar 2006 Istitut for Matematiske Fag Det Naturvideskabelige Fakultet Aarhus Uiversitet. Mometproblemet. I dette afsit beteger X e stokastisk

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Bachelorprojekt for BSc-grade i matematik Mikkel Abrahamse & Sue Precht Reeh Ekstremal grafteori Vejleder:

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af

Læs mere

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi

Læs mere

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset. STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,

Læs mere

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere

Facilitering ITU 15. maj 2012

Facilitering ITU 15. maj 2012 Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Generelle lineære modeller

Generelle lineære modeller Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,

Læs mere

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968)

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968) Algoritmedesig med iteretavedelser ved Keld Helsgau Aalyse af algoritmer Iput Algoritme Output E algoritme er e trivis metode til løsig af et problem i edelig tid 1 2 Algoritmebegrebet D. E. Kuth (1968)

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

Denne kaldes også potensmængden over Ω og betegnes ofte 2 Ω. Notationen beror på, at man via relationen

Denne kaldes også potensmængden over Ω og betegnes ofte 2 Ω. Notationen beror på, at man via relationen Idledig. De modere sadsylighedsteori, hvis aksiomatiske basis blev formuleret af russere A.N. Kolmogorov i 1933 i boge Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitrechug, er bygget op omkrig et tripel ofte beteget

Læs mere

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,...

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,... Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( {} 0, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Team Danmark tilfredshedsundersøgelse 2013

Team Danmark tilfredshedsundersøgelse 2013 Team Damark tilfredshedsudersøgelse 2013 Baggrudsrapport Trygve Buch Laub, Rasmus K. Storm, Lau Tofft-Jørgese & Ulrik Holskov Idrættes Aalyseistitut MIND THE CUSTOMER December 2013 Titel Team Damark tilfredshedsudersøgelse

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger Faculty of Life Scieces Program Esidet variasaalyse Normalfordelige Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Esidet variasaalyse (oe-way ANOVA) Hvilke type data? Hvad er problemstillige? Variatio mellem

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne.

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne. 3y MA, Stee Toft Jørgese side /5 Helsigør Gymasium Vektorregig i 3D Formålet er at skabe overblik over emet. Boge Mat3A af Jes Carstese, kapitel 3 og 4, side 83-5. Defiitioer, formler, sætiger og idee

Læs mere

Den grådige metode 2

Den grådige metode 2 Algoritmedesig 1 De grådige metode De grådige metode Et problem løses ved at foretage e række beslutiger Beslutigere træffes e ad gage i e eller ade rækkefølge Hver beslutig er baseret på et grådighedskriterium

Læs mere

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS Trygve Haave1mo. INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS T E O R I (Fore1æs iger ved Aarhus Uiversitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. le INDHOLD..._..._... Grudlaget for de teoretiske Statistik. Kollektiv og ~a:dsylighed.

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig

Læs mere

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0

Læs mere

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2003 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS Ove Aderse xcalibur@cs.aau.dk Istitut for Datalogi Aalborg Uiversitet Harry Lahrma lahrma@pla.aau.dk Trafikforskigsgruppe Aalborg Uiversitet Kristia Torp torp@cs.aau.dk

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Induktionsbevis og sum af række side 1/7 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,

Læs mere

Konfidens intervaller

Konfidens intervaller Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af

Læs mere