Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet"

Transkript

1 Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13

2 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvanlige uddannelsestid til, at eleverne kan arbejde med forberedelsesmaterialet forud for den skriftlige prøve 3-5 delspørgsmål i delprøve af den skriftlige prøve tager udgangspunkt i det materiale, der findes i dette oplæg De øvrige spørgsmål omhandler emner fra kernestoffet Oplægget indeholder teori, eksempler og øvelser i tilkntning til et emne, der ligger umiddelbart i forlængelse af et kernestofemne Resultaterne af arbejdet med dette forberedelsesmateriale bør medbringes til den skriftlige prøve Alle hjælpemidler er tilladt, og det er tilladt at modtage vejledning

3 Indhold Indledning 1 Funktioner af en variabel Funktioner af to variable 3 Partiel differentiation 6 Gradient 7 Tangentplaner 9 Ekstrema for funktioner af en variabel 11 Ekstrema for funktioner af to variable 13 Dobbeltafledede og blandede afledede 15

4 Indledning Emnet for dette forberedelsesmateriale er funktioner af to variable Med udgangspunkt i din viden om differentialregning for funktioner af én variabel skal du arbejde med differentialregning for funktioner af to variable Bemærk, at der ikke stilles skriftlige eksamensopgaver omhandlende snit- og niveaukurver Disse er dog nødvendige for at belse emnet teoretisk På nettet findes mange ressourcer med animationer i relation til dette emne se f Animated Demonstrations for Multivariable Calculus, af John F Putz, Mathematics and Computer Science Department, Alma College, Michigan: Forberedelsesmaterialet er inspireret af MATEMATIK OG DATABEHANDLING: NOTER OM MATEMATIK, KVL, 6, Henrik Laurberg Pedersen og Thomas Vils Pedersen 1

5 Funktioner af en variabel Når vi tegner grafen for en funktion f, så vælger vi at tegne et udsnit af grafen forstået på den måde, at vi vælger et grafvindue, så vi får et relevant indtrk af grafens forløb Vi kan vælge at fokusere på sammenhængen mellem bestemte -værdier og -værdier på grafen for f Eksempel 1: Lodret og vandret snit Andengradspolnomiet f( ) = er et eksempel på en funktion af én variabel her er den uafhængige variabel, og = f( ) er den afhængige variabel Hvis vi vælger grafvinduet, hvor -værdierne ligger i intervallet [-5;5] og -værdierne i intervallet [ 1;3] -, så får vi følgende grafiske billede: Vi skriver, at vi har valgt grafvinduet [- 5;5] [- 1;3] Vælger vi en bestemt -værdi f =, så får vi en bestemt funktionsværdi = f( ) Dette kan vi illustrere grafisk ved at bestemme skæringspunktet mellem parablen og den lodrette linje = Dette kalder vi et lodret snit af parablen Vælger vi omvendt en bestemt funktionsværdi =, kan vi grafisk illustrere de tilhørende -værdier ved at bestemme skæringspunkterne mellem parablen og en vandret linje = Dette kalder vi et vandret snit af parablen = Øvelse 1 6 En funktion f er givet ved f( ) = + 3 a) Tegn grafen for f i et relevant grafvindue = b) Tegn i samme grafvindue det lodrette snit mellem grafen for f og linjen med ligningen = c) Tegn i samme grafvindue det vandrette snit mellem grafen for f og linjen med ligningen = 1

6 Funktioner af to variable Vi vil nu udvide funktionsbegrebet til at omfatte funktioner af to variable, dvs funktioner, hvor der er to uafhængige variable og en afhængig variabel Grafen for en funktion af to variable er en tredimensional figur Givet en funktion af to variable f(, ) får vi for hvert par af -værdier og -værdier en z-værdi z= f(, ) Eksempel : Grafen for en funktion af to variable Funktionen f(, ) = + er et eksempel på en funktion af to variable, hvor og er de uafhængige variable, og z= f(, ) er den afhængige variabel Grafen for f kan tegnes i et (,, z)-koordinatsstem, og hvis vi vælger grafvinduet [- 3,3] [- 3,3] [-,5], så får vi: Øvelse Tegn den tilsvarende graf for f(, ) = + i dit værktøjsprogram Vælg selv et grafvindue, så du får et relevant udsnit af grafen for f Definition 1: Funktion af to variable Grafen for en funktion af to variable z= f(, ) består af punkterne ( z,, ) = ( f,, (, )), hvor og gennemløber de reelle tal, medmindre andet er angivet Lodret snit og punkt Betragter vi nu funktioner af to variable, så kan vi vælge at holde en af de to uafhængige variable fast, dvs = eller =, eller holde begge de uafhængige variable fast, dvs = og = De tre forskellige situationer kan beskrives som følger: 3

7 = og variabel variabel og = = og = Hvis vi vælger = 1, får vi en funktion af én variabel, nemlig variablen : f(1, ) = 1+ Grafen for denne funktion er en parabelformet rende, som vist på figuren Funktionen kaldes en snitfunktion i, og grafen kaldes en snitgraf for f Hvis vi vælger = 1, får vi en funktion af én variabel, nemlig variablen : f(,1) = + 1 Grafen for denne funktion er en parabelformet rende, som vist på figuren Funktionen kaldes en snitfunktion i, og grafen kaldes en snitgraf for f Hvis vi vælger = 1 og = 1, får vi et punkt på grafen fordi z-koordinaten er givet, idet z = f(, ) Punktets koordinater bliver: (,, z ) = (1,1, f(1,1)) = (1,1, ) Definition : Snitfunktion og snitkurve En snitfunktion for en funktion f af to variable er defineret ved g ( ) = f(, ), hvor holdes fast eller g( ) = f(, ), hvor holdes fast Graferne for g ( ) og g( ) kaldes for snitkurver for f i henholdsvis og Øvelse 3 Der er givet en funktion af to variable f(, ) = + a) Bestem en forskrift for snitfunktionen for f i, når = b) Bestem en forskrift for snitfunktionen for f i, når = c) Bestem punktet på grafen for f, når = og = Eksempel 3: Niveaukurve For funktionen f(, ) = + kan vi også vælge en fast værdi for den afhængige variabel f z = 4 Således er: f(, ) = 4 dvs + = 4 4

8 Den kurve, der fremkommer ved dette vandrette snit parallelt med -planen kaldes en niveaukurve, og er i dette tilfælde en cirkel På nedenstående figurer ses niveaukurven fra forskellige vinkler Definition 3: Niveaukurve En niveaukurve for en funktion f af to variable er den skæringskurve, der fremkommer, når grafen for f skæres af en vandret plan (dvs en plan parallel med -planen) med ligningen z= k, hvor k er en konstant Niveaukurven kan således beskrives ved ligningen: f(, ) = k Øvelse 4 Bestem ligningen for niveaukurven for funktionen f(, ) = +, når k = 81 For hvilke værdier af k findes der ingen niveaukurve for f? Øvelse 5 To funktioner f og g af to variable er givet ved f(, ) 6 = og g (, ) + + a) Tegn grafen for hver af funktionerne f og g 3 = b) Tegn grafen for snitfunktionen for f og g i, når = c) Tegn grafen for snitfunktionen for f og g i, når =- d) Tegn niveaukurven for f og g, når k = 1 Øvelse 6 Tegn graferne for f(, ) 6 = og g (, ) = , og sammenlign de grafiske forløb under inddragelse af snitfunktioner samt niveaukurver for f og g 5

9 Øvelse 7 Volumenet af en clinder er givet ved V = π r h, hvor r er radius og h er højden i clinderen a) Hvordan kan udtrkket for clinderens volumen skrives som en funktion af to variable? b) Tegn grafen for funktionen af to variable, og undersøg denne grafisk med henblik på snitkurver og niveaukurver Partiel differentiation Differentiation er et centralt begreb i forbindelse med funktioner af én variabel, da differentialkvotienten i et givet punkt bestemmer tangentens hældningskoefficient i punktet og dermed fortæller, hvorledes grafen for funktioner af én variabel forløber Øvelse 8 Repetér regneregler for differentiation af funktioner af en variabel Når vi skal differentiere funktioner af to variable, ser vi på én variabel ad gangen Vi betragter altså de to snitfunktioner, hvor vi opfatter henholdsvis og som en konstant, og differentierer snitfunktionerne jf de regneregler, der gælder for funktioner af en variabel Dette kaldes partiel differentiation, og vi får to afledede funktioner, der kaldes de partielt afledede Definition 4: Partielt afledede Den partielt afledede f (, ) af f (, ) mht til bestemmes ved at differentiere snitfunktionen g( ) = f(, ), når fastholdes Der gælder altså f (, ) = g ( ) På samme måde bestemmes den partielt afledede f (, ) af f (, ) mht ved at differentiere snitfunktionen g( ) = f(, ), når fastholdes Der gælder altså f (, ) = g ( ) De partielt afledede af f (, ) mht og betegnes også f (, ) hhv f (, ) Eksempel 4: Partielt afledede De partielt afledede af funktionen f (, ) = + bestemmes ved at differentiere de to snitfunktioner g( ) = +, hvor først holdes konstant og dernæst holdes konstant: f = g = + = + = (, ) ( ) ( ) ( ) Tilsvarende fås: f (, ) = g ( ) = ( ) + ( ) = + = Øvelse 9 Bestem de partielt afledede af funktionen f (, ) = + vha dit værktøjsprogram 6

10 Eksempel 5: Partielt afledede 6 Vi bestemmer de partielt afledede af funktionen f(, ) = Først bestemmer vi den afledede mht, hvor vi anvender kædereglen for differentiation af sammensat æ 6 ö -6-1 funktion: f (, ) = g ( ) = = = ç è ø ( + + 4) ( + + 4) Derefter bestemmer vi den afledede mht, hvor vi anvender produktreglen og kædereglen: æ 6 ö æ 1 ö f (, ) = g ( ) = = 6 ç ç è ø è ø - - = 6 + = ( + + 4) ( + + 4) De ovenstående partielt afledede kan også bestemmes vha et værktøjsprogram Øvelse 1 6 Bestem vha dit værktøjsprogram de partielt afledede for funktionen f(, ) = Øvelse 11 Bestem vha dit værktøjsprogram de partielt afledede af følgende funktioner: a) f (, ) = +, ¹ b) f 3 (, ) = ( + ) + 4 c) (, ) e + f = En funktion af to variable siges at være differentiabel, hvis de partielt afledede findes og er kontinuerte Dette vil vi ikke gå i nærmere detalje med her, men blot oplse, at de funktioner af to variable, der omtales i det følgende, alle er differentiable Gradient For en funktion f af en variabel gælder, at den afledede funktion f ( ) angiver hældningskoefficienten for tangenten til grafen for f i punktet (, ) = (, f( )) Tilsvarende gælder der for en funktion f af to variable, at den partielt afledede f (, ) beskriver hældningskoefficienten for tangenten i punktet (,, z) = (,, f(, )) på snitgrafen for snitfunktionen g(), og f (, ) angiver hældningskoefficienten for tangenten i punktet (,, z ) = (,, f(, )) på grafen for snitfunktionen g() De to partielt afledede er henholdsvis første- og andenkoordinat for en vektor, der kaldes gradienten for f 7

11 Definition 5: Gradient For en funktion f ( med, ) partielt afledede f (, ) og f (, ) defineres gradienten for f som æf (, ) ö grad( f)(, ) = ç çèf (, ) ø Gradienten har den egenskab, at den peger i den retning, hvor funktionsværdien har den største positive ændring Det betder med andre ord, at hvis vi står i et punkt på grafen for f, så vil gradienten, tænkt som en vektor i -planen, angive den retning, hvor grafen er stejlest Omvendt vil funktionsværdien have den største negative ændring i den modsatte retning af, hvor gradienten peger hen På det websted, der er nævnt i indledningen, er der adgang til en animation (nr 1), der viser forskellige tangenter til grafen for en funktion i et bestemt punkt (direkte link: Man kan se, at tangenten i punktet er stejlest, når den peger i retning af gradienten, som er angivet ved en grøn streg nederst i -planen Eksempel 6: Grafens stejlhed i et bestemt punkt på grafen Gradienten af funktionen f (, ) = + er som nævnt ovenfor: æö grad( f)(, ) =ç ç ç çè ø Gradienten i punktet P(1, 3, f(1,3)) er derfor: æ1 ö æö grad( f )(1,3) = = çè3 ø çè6 ø Det betder, at i punktet P(1,3, f(1,3)) er grafen for f stejlest i positiv henseende langs gradientens retning, dvs hen ad -aksen og 6 ud ad -aksen Grafen for funktionen f er stejlest i negativ henseende langs æ ö vektoren - ç ç- è 6 ø Eksempel 7: Grafens stejlhed langs koordinatakserne 6 Gradienten for funktionen f(, ) = + + er æ 1 ö - æf (, ) ö ( ) + + grad( f)(, ) = = ç f (, ) è ø 6( - + ) ç ( ) è + + ø Gradienten i punktet O (,,) er derfor: æö grad( f )(,) = ç çè3 ø Det betder, at i O (,,) er grafen stejlest i positiv henseende, når man bevæger sig langs -aksen Øvelse 1 Bestem vha dit værktøjsprogram gradienterne i de to foregående eksempler 8

12 Øvelse 13 To funktioner f og g er givet ved + f(, ) = og + g(, ) 16 = - - a) Bestem gradienten for f i punktet (1,1, f (1,1)) b) I hvilken retning er ændringen i funktionsværdien for f stejlest i henholdsvis positiv og negativ henseende? c) Bestem gradienten for g i (1,,g(1,)) d) I hvilken retning er ændringen i funktionsværdien for g stejlest i henholdsvis positiv og negativ henseende? Tangentplaner En graf for en funktion af to variable har uendelig mange tangenter i ethvert punkt Gradienten er en retningsvektor for den stejleste af tangenterne i et punkt Tangenterne til grafen for f i et punkt udspænder tilsammen en plan Denne plan kaldes tangentplanen for f Nedenstående sætning angiver, hvordan vi kan bestemme en ligning for en tangentplan til grafen for f i et givet punkt, men først repeteres kort teorien om planer i rummet Ligningen for en plan kan bestemmes ud fra en normalvektor æaö n b =ç ç samt et fast punkt i planen P(,, z ) Normalvektoren n står som bekendt ç çèc ø vinkelret på planen, og dermed også vinkelret på alle vektorer i planen For et vilkårligt punkt Qz (,, ) i planen, må derfor gælde, at vektoren PQ står vinkelret på n Da prikproduktet mellem to vektorer, der står vinkelret på hinanden, er, får vi æa ö æ- ö n PQ = b - = ç èc ø èç z- z ø Og når vi udregner prikprodukt, får vi ligningen for tangentplanen a ( - ) + b ( - ) + c ( z- z ) = Sætning 1: Tangentplan Lad f (, ) være en funktion af to variable, og lad P(,, z ) være et punkt på grafen for f, dvs z = f(, ) De partielt afledede af f i punktet P betegnes p = f (, ) og q= f (, ) Tangentplanen for f (, ) i punktet P(,, z ) er da givet ved: z= z + p ( - ) + q ( - ) 9

13 Bevis Først bestemmes en normalvektor til tangentplanen p er hældningskoefficienten for tangenten til snitgrafen for snitfunktionen g(), der ligger parallelt med z-planen, da jo holdes konstant En retningsvektor for denne tangent er givet ved: æ1 ö r =ç ç ç çèp ø Tilsvarende er q hældningskoefficienten for tangenten til snitgrafen for snitfunktionen g(), der ligger parallelt med z-planen En retningsvektor for denne tangent er givet ved: æö r 1 =ç ç ç çèq ø Vi ved fra rumgeometrien, at en normalvektor for en plan er bestemt ved krdsproduktet mellem to ikkeparallelle vektorer i planen Normalvektoren n for tangentplanen kan derfor bestemmes ved krdsproduktet mellem de to retningsvektorer r og r, som er: æ1 ö æö æ- pö n= r r = 1 q = - çp çq ç 1 è ø è ø è ø Således er planen bestemt ved ligningen: p ( - ) + q ( -) -1 ( z- z) = p ( - ) + q ( -) - z+ z = z= z + p ( - ) + q ( - ) Hvilket netop var det udtrk, vi søgte Eksempel 8: Tangentplaner Vi vil bestemme tangentplanen for funktionen f(, ) = + i 1, -1, f (1,- 1) Dvs = 1, =- 1 og z = f(1, - 1) = punktet ( ) Vi indsætter punktets -og -koordinater i de partielt afledede, som vi fandt i eksempel 4, og vi får p= f (1,- 1) = og q= f (1, - 1) =- Vi indsætter nu i tangentens ligning fra sætningen ovenfor og får: z= z + p ( - ) + q ( -) z= + ( -1) - ( + 1) z= z= -- 1

14 Øvelse 14 En funktion f har forskriften 6 f(, ) = + + a) Bestem en ligning for tangentplanen til f i punktet (,1, f (,1)) b) Tegn grafen for f sammen med tangentplanen i dit værktøjsprogram Øvelse 15 En funktion f er givet ved f (, ) 9 = - - a) Bestem de partielt afledede for f b) Bestem en ligning for tangentplanen til f i punktet (,, f (,)) c) Tegn grafen for f sammen med tangentplanen i dit værktøjsprogram Ekstrema for funktioner af en variabel Grafer for funktioner af to variable er langt sværere at undersøge grafisk end grafer for funktioner af én variabel Analogt til funktioner af én variabel vil vi inddrage differentialregning i vores undersøgelse af grafer for funktioner af to variable Øvelse 16 6 Betragt funktionen f( ) = + 3 Bestem f ( ), og bestem de lokale ekstremumssteder og de tilhørende ekstremumsværdier Arten (tpen) af et lokalt ekstremumspunkt, dvs om der er tale om et lokalt minimum eller et lokalt maksimum, kan vi afgøre ud fra fortegnet for f ( ) Denne afgørelse kan også baseres på den dobbeltafledede f ( ), så vi i en vis forstand undersøger, om f ( ) er voksende eller aftagende 11

15 Eksempel 9: Den anden afledede afgør arten af ekstremumspunkter 6 For funktionen f( ) = gælder det, at f ( ) = =-3 = 3 (tjek selv!) Bestemmer vi f ( ) finder vi, at f (- 3) =, dvs f ( ) er voksende er omkring det lokale 9 1 ekstremumspunkt, og dermed er det et lokalt minimum Tilsvarende finder vi, at f (3) =-, dvs f ( ) er 9 aftagende omkring det lokale ekstremumspunkt, og dermed er det et lokalt maksimum Øvelse 17 En funktion f er givet ved 1 5 = f( ) 4 4 a) Bestem f ( ), f ( ) og løs f ( ) = b) Bestem i de -værdier, hvor f ( ) =, fortegnet for f ( ) c) Bent fortegnet for f ( ) og grafen for f til at afgøre arten af de lokale ekstrema, dvs om der er tale om lokalt minimum eller lokalt maksimum Øvelse 18 Vi ser på en funktion f, hvorom det i et punkt (, f( )) gælder, at både f ( ) = og f ( ) = Hvordan kan grafen for f se ud omkring (, f( ))? På baggrund af ovenstående generaliserer vi til følgende sætning: Sætning : Arten af ekstremumspunkterne ud fra den dobbeltafledede Lad P (, f( )) være et punkt på grafen for en funktion f, hvor f ( ) = Da gælder der, at 1) Hvis f ( ) >, så er et lokalt minimumssted ) Hvis f ( ) <, så er et lokalt maksimumssted 3) Hvis f ( ) =, så kan der være en vandret vendetangent for Øvelse 19 Et andengradspolnomium er givet ved f ( ) a b c = + + a) Bestem f ( ) og f ( ) b) Løs ligningen f ( ) =, og bestem fortegnet for f ( ) i den fundne -værdi c) Hvad fortæller resultaterne i b) om forløbet af grafen for f? 1

16 Øvelse Nedenfor er angivet to traditionelle eksamensopgaver, der omhandler monotoni for funktioner af én variabel Løs disse opgaver ved i hvert tilfælde at undersøge fortegnene for den dobbelt afledede f ( ) Eksamen st B august 1: En funktion f er givet ved f( ) = e Bestem f ( ), og gør rede for, at funktionen f har et minimum Eksamen st A december 1: To funktioner f og g er bestemt ved f ( ) = g ( ) = 3 e Bestem den værdi af, hvor den lodrette afstand mellem grafen for f og grafen for g er mindst mulig Ekstrema for funktioner af to variable Ekstremumsbegrebet for funktioner af én variabel kan udvides til funktioner af to variable således, at: et lokalt maksimum er en funktionsværdi, der er større end alle andre funktionsværdier i nærheden af det lokale maksimum et lokalt minimum er en funktionsværdi, der er mindre end alle andre funktionsværdier i nærheden af det lokale minimum et globalt maksimum er en funktionsværdi, der er større end alle andre funktionsværdier (i definitionsmængden) et globalt minimum er en funktionsværdi, der er mindre end alle andre funktionsværdier (i definitionsmængden) et lokalt/globalt ekstremum er enten et lokalt/globalt maksimum eller minimum For funktioner af én variabel gælder, at hvis en funktion f ( ) har et lokalt ekstremum i så er f ( ) = Noget tilsvarende gælder for funktioner af to variable Sætning 3 Antag, at f (, ) har lokalt ekstremum i punktet P(,, z ) Så gælder der, at f (, ) = og f (, ) = Bevis Hvis f (, ) har et lokalt maksimum i P(,, z) = P(,, f(, )), så vil snitfunktionen ( ) g( ) f, = have et lokalt maksimum i Da g( ) f (, ) =, og derfor er g ( ) = =, så er g ( ) = f (, ) og dermed er f (, ) = 13

17 På helt samme måde vises, at hvis f (, ) har et lokalt maksimum i P (,, z) = P (,, f(, )), så er g ( ) = f (, ) = Beviset er det samme, hvis funktionen har et lokalt minimum Således er sætningen bevist Bemærk: Den omvendte sætning gælder ikke nødvendigvis hverken for funktioner af én variabel eller funktioner af to variable For funktioner af en variabel gælder der, at hvis f ( ) =, så har funktionen f en vandret tangent i Den vandrette tangent kan give anledning til et maksimum, minimum eller den kan være en vendetangent For funktioner af to variable gælder, at hvis f (, ) = og f (, ) =, så er tangentplanen i P (,, z) vandret, og vi får: z= z + ( - ) + ( - ), dvs z= z Punkter med vandrette tangentplaner kaldes stationære punkter Stationære punkter er ikke nødvendigvis maksimumpunkter eller minimumpunkter De kan også være såkaldte saddelpunkter Definition 6: Stationære punkter Et punkt P(,, z ), hvor z = f(, ) kaldes et stationært punkt for en funktion f (, ) hvis f (, ) = og f (, ) = af to variable, Definition 7: Saddelpunkt Et saddelpunkt er et stationært punkt, der hverken er et lokalt maksimumpunkt eller et lokalt minimumpunkt Eksempel 1: Saddelpunkt Funktionen f (, ) = -, hvis graf ses på figuren til højre, viser tdeligt et saddelpunkt i (,,) Øvelse 1 Tegn grafen for f (, ) = - i et værktøjsprogram 14

18 Eksempel 11: Bestemmelse af arten af stationære punkter Vi vil bestemme eventuelle stationære punkter for funktionen f med forskriften: 6 f(, ) = De partielt afledede bestemmes til (ved differentiation af sammensat funktion eller ved brug af et værktøjsprogram): -1 f (, ) = ( + + 4) og 6( - + 4) f (, ) = ( + + 4) Vi finder nu eventuelle stationære punkter ved at løse f (, ) = og f (, ) = I et værktøjsprogram bestemmes eventuelle stationære punkter ved at løse to ligninger med to ubekendte ved brug af en solvekommando f: Vi får altså de to stationære punkter: S1(, -, f(, - )) = S1(, -,-15) og S (,, f(,)) = S (,,15) Af grafen fremgår det, at der er et lokalt minimum i S 1 og lokalt maksimum i S Dobbeltafledede og blandede afledede Det kan indimellem være svært at afgøre om de enkelte stationære punkter er maksimumspunkter, minimumspunkter eller saddelpunkter De dobbeltafledede kan ligesom for funktioner af en variabel være med til at afgøre dette I afsnittet Ekstrema for funktioner af en variabel arbejdede vi med den dobbeltafledede af funktioner af én variabel På samme vis kan vi bestemme dobbeltafledede af funktioner af to variable 15

19 Eksempel 1: Dobbelt afledede funktioner En funktion f er givet ved 6 f(, ) = I eksempel 5 bestemte vi de partielt afledede f (, ) og f (, ) for denne funktion til at være: f (, ) = og f (, ) = + ( + + 4) ( + + 4) Vi differentierer disse to funktioner en gang til og får de dobbelt afledede, hvor vi differentierer mht samme variabel to gange, eller først mht den ene variabel og derefter mht den anden variabel: Vi differentierer f (, ) mht Vi differentierer f (, ) mht f (, ) = 3 ( + + 4) 1(3 - -4) f (, ) = 3 ( + + 4) 1(3 - -4) Vi differentierer f (, ) mht Vi differentierer f (, ) mht f (, ) = 3 ( + + 4) 1(3 - -4) f (, ) = ( + + 4) 1 ( -3-1) 3 Øvelse Hvad fortæller eksemplet om de blandede afledede f (, ) og f (, )? Definition 8: De dobbelt afledede og blandede afledede funktioner Betragt en funktion f af to variable De dobbelt afledede er defineret ved: (, ) = ( (, )) og (, ) = ( (, )) f f f f De blandede afledede er defineret ved: (, ) = ( (, )) og (, ) = ( (, )) f f f f Øvelse 3 Bestem de dobbelt afledede og de blandede afledede fra eksempel 1 ved hjælp af dit værktøjsprogram Øvelse 4 En funktion f har forskriften 6 f(, ) = Bestem de dobbelt afledede og de blandede afledede 16

20 I de ovenstående eksempler er de blandede afledede er ens Det fremgår af nedenstående sætning, at dette resultat gælder i de fleste tilfælde Sætning 4 Hvis de dobbelt afledede og de blandede afledede af f er kontinuerte, så er f (, ) = f (, ) Denne funktion betegnes normalt f, og den kaldes den blandede afledede af f Følgende sætning (som vi ikke beviser) kan benttes, når vi skal afgøre, om et stationært punkt er et lokalt maksimum, lokalt minimum eller et saddelpunkt Sætning 5 Lad P(,, z ) være et stationært punkt for funktionen f (,, ) og lad r= f (, ) s= f (, ) t= f (, ) så gælder der, at når rt - s > og r >, har f et lokalt minimum i P(,, z ) når rt - s > og r <, har f et lokalt maksimum i P(,, z ) når rt - s <, har f et saddelpunkt i P(,, z ) når rt - s =, kan vi ikke slutte noget Eksempel 13: Arten af stationære punkter Vi fandt i eksempel 1, at funktionen 6 f(, ) = har et lokalt minimum i S 1 (, -, - 15), og et lokalt maksimum i S (,,15) Vi finder r, s og t for at undersøge, om dette stemmer overens med sætning 5-1 1(3 - -4) f (, ) = f (, ) = 3 ( + + 4) ( + + 4) -1 1(3 - -4) f (, ) = f (, ) = 3 ( + + 4) ( + + 4) 6( - + 4) 1 ( -3-1) 3 f (, ) = f (, ) = ( + + 4) ( + + 4) De stationære punkters - og -koordinater indsættes: Dvs 3 8 = (,) =-, s= f (,) =, t f (,) r f rt s æ 3ö æ 3ö 9 8 8, altså er çè ø çè ø 64 - = = > 3 = =- 8 3 r =- < 8 Heraf kan vi konkludere, at det stationære punkt S (,,15) er et lokalt maksimum 17

21 Funktionsværdierne for de dobbelt afledede og den blandede afledede i det andet stationære punkt bestemmes vha et værktøjsprogram Dvs 3 8 = (, - ) =, s= f (, - ) =, t f (, ) r f rt æ3ö æ3ö 9 8 8, altså er çè ø çè ø 64 - s = - = > 3 = - = 8 æ3ö r = ç > çè8 ø Heraf kan vi konkludere, at det stationære punkt S1 (,-,-15) er et lokalt minimum Øvelse 5 To funktioner f og g er givet ved ( ) f (, ) = og 3 g(, ) 5 = + + a) Bestem de stationære punkter for hver af de to funktioner f og g b) Bestem arten af de stationære punkter, og tegn graferne for hver af de to funktioner Øvelse 6 Funktionen f er givet ved f(, ) = a) Tegn grafen for funktionen f b) Bestem de stationære punkter for funktionen f c) Bestem arten af de stationære punkter 18

22

23

24

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Differentialregning 2

Differentialregning 2 Differentialregning Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 Udregn monotoniintervallerne for funktionerne f 1 () = + 4, f () = 4 3 f 3 () = 3 6 + 9 +, f 4 ()

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Største- og mindsteværdi Uge 11

Største- og mindsteværdi Uge 11 Uge 11 : Definitioner Efterår 2009 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. : Definitioner : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n )

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009 MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 4. juni 2012. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 4. juni 2012. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh121-mat/a-04062012 Mandag den 4. juni 2012 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

M A T E M A T I K B 2

M A T E M A T I K B 2 M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Ekstremum for funktion af flere variable

Ekstremum for funktion af flere variable Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable

Læs mere

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1) Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Reducering Reducér følgende udtryk: Vi ganger dividerer med i både nævner og begge led i tælleren:

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin august 2015 maj 2016 Institution Rybners Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HTX A Steffen Podlech Hold 2.E Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel 2 Titel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50.

Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50. Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Partielle afledede og retningsafledede

Partielle afledede og retningsafledede Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Funktioner af flere variable

Funktioner af flere variable Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

Differentialregning ( 16-22)

Differentialregning ( 16-22) Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / Juni 2016 Institution Den Jyske Håndværkerskole Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold EUX - Tømre Matematik

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2016/17 Institution Viden Djurs - VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Valghold Matematik

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11:

Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Opgave a) Ligningen for tangenten bestemmes. Dog defineres funktionen. Tangent-formlen er pr. definition. (1) Altså

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx141-MATn/A-27052014 Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016

Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016 Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 216 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

DTU. License to Thrill

DTU. License to Thrill XM @ DTU License to Thrill Den bedste rette linje S. Markvorsen & P. G. Hjorth Institut for Matematik, Bgning 303S, DTU DK-800 Kgs. Lngb 1 Den bedste rette linje Hvordan findes den "bedste"rette linje

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas UVB Skoleår: 2013-2014 Institution: Fag og niveau: Lærer(e): Hold: Teknisk Gymnasium Skive Matematik A Claus Vestergaard og Franka Gallas 3. A Titel 1: Rep af 1. og 2. år + Gocart Titel 2: Vektorer i rummet

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

2. Funktioner af to variable

2. Funktioner af to variable . Funktioner af to variable Opgave 1 Grafisk udformning af de to funktioner,, Opgave f (, y) = z = 5 y N(0) = z = 0 0 = 5 y + y = 5 C = ( ; y) = (0;0) r = 5 Dette medfører som vist en cirkel, med centrum

Læs mere