Bilag A. Dexia-obligationen (2002/2007 Basis)

Transkript

1 Bilag A Dexia-obligationen (2002/2007 Basis) Også kaldet A.P. Møller aktieindekseret obligation (A/S 1912 B). Dette værdipapir som i teorien handles på Københavns Fondsbørs (omend med meget lille omsætning) er konstrueret som følger: Køber betaler 105 til tid 0. Køber betaler årlige provisioner, hvilket der ses bort fra i det følgende af nemheds hensyn. Køber modtager 100 til tid 5 år. Køber modtager tillige 73% af den gennemsnitlige APM kursstigning, beregnet aritmetetisk med 5 støttepunkter med et års mellemrum, startende fra tid 1. Det ses, at produktet i virkeligheden er en asiatisk option med følgende egenskaber: køber betaler straks 5 køber udlåner 100 i 5 år uden forrentning køber modtager 73% af en asiatisk option med følgende parametre: So=100, X=100, r=6%, vol=30%, T=5, A=5 Idet rente og volatilitet er skønnede værdier, herunder at der naturligvis skal anvendes dels den ved udstedelsen gældende rentestruktur og volatiliteten formodentlig skal beregnes ud fra APM aktiens historiske volatilitet. Både rente og volatilitet er med vilje skønnet højt. Ved de senere beregninger kan prisen for 1 stk. option sættes til: ( 5 + nutidsværdien af 5 års renter af 100 ) / 73% = ( /1,06^5 ) / 73% = 41,47 (regnet før skat og uden inflation). 1 stk asiatisk option, pris 41,47 Som kuriosum nævnes, at det fra bankrådgiveren med speciale i aktieindekserede obligationer i den lokale Lån&Spar (formidler produktet) udtales, at produktet har været en overvældende succes ved salg til private investorer, og at der ikke længere er noget udbud af produktet, angiveligt fordi købere er meget tilfredse med stigningerne i APM aktien.

2 Bilag C Varians ved Antithetic-metoden Ved Antithetic-metoden udtrækkes først en ordinære række af fx M tilfældige tal fra normalfordelingen, X1... Xm. Dernæst anvendes en sekundær række, som ikke længere er tilfældige, men findes ved at skifte fortegn: -X1... Xm. Denne talrække er også et udtræk fra normalfordelingen, da normalfordelingen er symmetrisk omkring 0. De to talrækker benævnes i det følgende med vektorerne:r(x) og R(-X). På baggrund af disse to vektorer simuleres to aktiekurser, og på baggrund heraf beregnes to optionsværdier, benævnt hhv. f [ R(X) ] og f [ R (-X) ]. Når der bruges M tal i hver vektor, svarer det til at der foretages M tidsskridt i Monte Carlo-simulering. Endelig simuleres N gange, hvorved det empiriske gennemsnit bliver en estimator for optionsprisens middelværdi: middelværdi = 1/(2N) * [ f(r(x)_ f(r(x)_n + f(r(-x)_ f(r(-x)_n] Interessen samler sig imidlertid om variansen for denne middelværdi, som jo samtidig er udtryk for præcisionen i Monte Carlo-simuleringen. Imidlertid er denne varians ikke triviel, eftersom de de simulerede værdier ved brug af hhv. vektorerne R(X) og R(-X) er partvist afhængige, hvorfor hyppigt benyttede regneregler for uafhængige stokastiske variable ikke finder anvendelse. I stedet må variansen V regnes helt fra begyndelsen, med følgende simplificering i notation X = f(r(x)), -X = f(r(-x)): V( middelværdien ) = V [ 1/(2N) * ( X_ X_n + -X_ X_n ) ] = 1/(4N^2) * V [ X_ X_n + -X_ X_n ] = 1/(4N^2) * N * V [ X_1 + -X_1 ] = 1/(4N) * V [ X_1 + -X_1 ] = 1/(4N) * [ V(X_1) + V(-X_1) + 2 * Cov (X ; -X) ] = 1/(2N) * V(X_1) + 1/(2N) * Cov (X ; -X) Det ses heraf, at denne varians vil konvergere imod 1/(2N) V(X), såfremt covariansen på de to afhængige optionspriser er tilpas lille i forhold til 1/(2N).

3 Eftersom variansen på en middelværdi beregnet uden brug af Antithetic-metoden er givet ved: 1/N * V (X) ses det, at forholdet i varians ved brug af Antithetic-metoden hhv. uden brug heraf er givet ved: = [ 1/(2N) * V(X) + 1/(2N) * Cov (X ; -X) ] / [ 1/N * V(X) ] = 1/2 + 1/2 * Cov (X;-X) / VX Det ses heraf, at brug af Antithetic-metoden vil give anledning til en reduktion i varians som nøje afhænger af covariansen mellem de to simulerede optionspriser. Eftersom aktiekursen vil bevæge sig i hver sin retning ved Antithetic metoden, vil optionspriserne have negativ covarians, hvorved andet led bliver negativt og det samlede resultat bliver mellem 0 og 50%. Der vil altså ske en reduktion i varians på mellem 50% og 100%. Ønsker man at vurdere effektiviteten ved Antithetic-metoden kan dette altså gøres ved at estimere covariansen for de to vektorer af tilfældige tal, ved brug af den sædvanlige definition for covarians: 1 Cov( X; Y) n n X i X Y i Y i 1 Den estimerede covarians indsættes da i udtrykket ovenfor ( 1/2 + 1/2*Cov(X;-X) ) / VX. Når der ønskes at finde konfidensintervallet for optionspriserne fundet ved Antithetic-metoden tager der udgangspunkt i, at gennemsnittet af to optionspriser, f(r(x)) + f(r(-x)) kan betragtes som en ny og nu uafhængig og identisk fordelt stokastisk variabel (engelsk: idd) hvorfor der ved den centrale middelværdi sætning vil gælde at variablens gennemsnit ved mange simuleringer vil blive assumptotisk normalfordelt. Der kan nu opstilles konfidensintervallet på samme måde, som ved blot at simulere uden brug af Antitheticmetoden, blot bruges altså det empiriske hhv. den empiriske standardafvigelse fra de enkelte simuleringer af optionspriserne gived ved: 1/ 2 * ( f(r(x) + f(r(-x) ), benævnt E og Std: 95% konfidensinterval = E +/- 1,96 * Std/Sqr(Std).

4 Bilag D Indstilling af tidsskridt i model B Simtid = simuleringstid i sek. E = middelværdi i simuleringen Std = standardafvigelse på simuleringerne Cf_low hhv. Cf_high = konfidensintervallet på 98% testniveau L = bredden af konfidensintervallet Tid = optionens varighed Kald = antal simulationer A = antal støttepunkter ved beregning af optionens gennemsnitskurs Step = antal tidsskridt i simulationen AsiaMCa = middelværdi af optionspris ved simuleringer i model A. E 7,43 7,71 7,66 7,93 7,91 7,83 7,81 6,87 7,12 7,08 7,11 7,22 7,11 6,69 Std 8,65 9,02 8,90 8,94 8,84 8,96 9,37 7,74 8,02 8,03 8,02 8,14 7,96 7,74 Cf_low 7,29 7,50 7,37 7,52 7,38 7,17 6,83 6,74 6,94 6,81 6,74 6,72 6,53 5,89 Cf_high 7,57 7,92 7,95 8,35 8,44 8,49 8,78 7,00 7,31 7,34 7,49 7,71 7,70 7,50 L 0,28 0,42 0,59 0,83 1,06 1,32 1,95 0,25 0,37 0,53 0,75 0,98 1,17 1,61 Tid 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 AsiaMCa 7,71 7,71 7,71 7,71 7,71 7,71 7,71 7,17 7,17 7,17 7,17 7,17 7,17 7,17 E 8,77 9,11 9,25 9,47 8,51 9,77 8,79 7,98 8,20 8,72 8,33 8,69 7,98 8,61 Std 11,01 11,36 11,42 11,35 11,01 11,56 11,06 9,88 10,02 10,37 10,10 10,17 9,95 10,30 Cf_low 8,59 8,84 8,87 8,95 7,84 8,92 7,64 7,81 7,96 8,38 7,86 8,08 7,25 7,54 Cf_high 8,95 9,37 9,62 10,00 9,17 10,62 9,94 8,14 8,43 9,06 8,80 9,30 8,72 9,69 L 0,36 0,53 0,75 1,06 1,33 1,70 2,30 0,33 0,47 0,68 0,94 1,22 1,46 2,14 Tid 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 AsiaMCa 9,19 9,19 9,19 9,19 9,19 9,19 9,19 8,40 8,40 8,40 8,40 8,40 8,40 8,40

5 E 10,42 11,03 11,00 10,86 11,18 10,36 10,66 9,42 9,81 9,53 9,57 9,51 9,57 10,52 Std 13,77 14,46 14,29 14,20 14,26 13,35 14,18 12,52 12,66 12,46 12,13 12,68 12,32 12,88 Cf_low 10,20 10,70 10,53 10,20 10,32 9,38 9,19 9,21 9,52 9,12 9,01 8,75 8,67 9,18 Cf_high 10,65 11,37 11,47 11,52 12,04 11,34 12,14 9,62 10,11 9,94 10,14 10,27 10,48 11,86 L 0,45 0,67 0,94 1,32 1,72 1,96 2,95 0,41 0,59 0,82 1,13 1,53 1,81 2,68 Tid AsiaMCa 10,93 10,93 10,93 10,93 10,93 10,93 10,93 9,91 9,91 9,91 9,91 9,91 9,91 9,91 E 12,75 13,40 13,58 13,42 12,56 14,76 13,33 11,66 11,76 11,85 11,90 12,14 11,46 12,38 Std 18,99 19,04 18,98 18,40 17,82 19,37 18,62 17,13 16,75 16,82 16,73 16,66 16,41 17,00 Cf_low 12,44 12,95 12,96 12,57 11,49 13,34 11,39 11,38 11,37 11,30 11,12 11,14 10,26 10,61 Cf_high 13,06 13,84 14,21 14,28 13,63 16,19 15,26 11,94 12,15 12,40 12,68 13,14 12,67 14,15 L 0,62 0,89 1,25 1,71 2,15 2,85 3,87 0,56 0,78 1,11 1,56 2,01 2,41 3,54 Tid AsiaMCa 13,46 13,46 13,46 13,46 13,46 13,46 13,46 11,80 11,80 11,80 11,80 11,80 11,80 11,80 De skraverede celler er der, hvor konfidensintervallerne ikke overlapper, hvilket indikerer for få tidsskridt i simulationen.