Differentialregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul

Transkript

1 Dierentialregning r gymnasiet g h t s Karsten Juul

2 1. GrundlÄggende typer a pgaver med graer...1. Regel m tilväkster r lineäre sammenhänge.... SÅdan kan vi inde häldningskeicienten ud ra lineär gra Hvad er en tangent? Dierentialkvtient HvrnÅr er en -tilväkst lille? Marginalmkstninger VÄksthastighed Frmel r y Frmel r y' tangenthäldning, väksthastighed Udregne y-krdinat g tangenthäldning. Finde ligning r tangent Frskelle der ikke kan ses på graen Udregne mängde g väksthastighed Dierentialkvtient a n Dierentialkvtient a k g m.m Dierentialkvtient a knstant gange udtryk Dierentialkvtient a udtryk med lere led SkrivemÅden ht, y sv Ngle typer a pgaver med tangenthäldning Ngle typer a pgaver med väksthastighed Kntinuert Vksende g atagende Hvad er mntnirhld? Regel r at inde mntnirhld Typisk pgave med mntnirhld Maksimum g minimum Lkalt maksimum g minimum Typisk pgave med lkale ekstrema GÇr rede r at unktinen har et minimum eller maksimum Flere typer pgaver med maksimum eller minimum Dierentiabel.... GrÄnsevÄrdi...4. Vi kan inde en dierentialkvtient ved at udregne en gränsevärdi Udledning a rmlen r at dierentiere Udledning a rmlen r at dierentiere sum Dierentialkvtient a e k g ln Dierentialkvtient a udtryk gange udtryk Opdeling a en sammensat unktin i en indre g en ydre unktin Metde til at dierentiere en sammensat unktin...8 Nyere häter: 14/ /8-11 Dierentialregning r gymnasiet g h É 010 Karsten Juul Dette häte kan dwnlades ra HÄtet må benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en til kj@mat1.dk sm dels plyser at dette häte benyttes, dels plyser m hld, lärer g skle.

3 1. GrundlÄggende typer a pgaver med graer P I krdinatsystemet er tegnet en del a graen r sammenhängen mellem t variable g y. Type 1.1: Hvad er y når er 9? Metde: Vi går til 9 på vandret akse, går ldret p til gra g vandret ind på ldret akse, g ser at vi er endt ved 10. Knklusin: y er 10 når er 9. Type 1.: Hvad rtäller grapunktet P m sammenhängen mellem g y? Metde: Fra P går vi ldret ned på vandret akse g ser at vi ender ved 44. Fra P går vi vandret indpå ldret akse g ser at vi ender ved. Knklusin: Grapunktet P rtäller at når er 44 så er y lig. Type 1.: Tegn det grapunkt der giver Çlgende plysning: NÅr er 5, er y lig 7. Metde: Vi går til 5 på vandret akse, g går ldret p til vi er vandret ud r 7 på den ldrette akse, g tegner et punkt Q her. Knklusin: Det tegnede punkt Q er det grapunkt der rtäller at når er 5, er y lig 7. Type 1.4: Vi starter med 4 g giver en tilväkst på 1. Hvilken tilväkst År y? Metde: Vi aläser at når er 4 er y lig, g at når er 6 er y lig 9. Vi udregner "sidste y-värdi minus Çrste": 9 7. Knklusin: y År tilväksten 7 når vi starter med 4 g giver en tilväkst på 1. Type 1.5: NÅr vi starter med 5 g giver en tilväkst på 7 så År y tilväksten. Brug dette til at tegne endnu et grapunkt. Metde: NÅr er 5 er y lig 7 se g Fra 60 på vandret akse går vi ldret p til vi er ud r 40 på ldret akse, g her tegner vi punktet R. Knklusin: Det tegnede punkt R er det sçgte grapunkt. Dierentialregning r gymnasiet g h Side Karsten Juul

4 . Regel m tilväkster r lineäre sammenhänge I krdinatsystemet er tegnet graen r en lineär sammenhäng mellem t variable g y. Ved at aläse på graen ser vi: NÅr vi giver tilväksten 1 så År y tilväksten 0,6. 0,6,1 1,5 Se 1.4. HÄldningskeicienten er 0,6 içlge Deinitin.1. NÅr vi giver tilväksten så År y tilväksten 0,6 1,8 Dette ser vi ud ra iguren eller ved at bruge SÄtning. 0,6, 1 1,5 5 NÅr vi giver tilväksten 0,5 så År y tilväksten 0,6 0,5 0, Dette ser vi ud ra iguren eller ved at bruge SÄtning. 0,6 0,5 1 1,,5 8 NÅr vi giver tilväksten h så År y tilväksten 0,6 h I eksemplerne venr er h hhv. g 0,5, 5 0,5 Deinitin.1 Vi ser på en lineär sammenhäng mellem t variable g y hvr y er på den ldrette akse. HÄldningskeicienten a er den tilväkst sm y År når År tilväksten 1. SÄtning. Vi ser på en lineär sammenhäng mellem t variable g y hvr y er på den ldrette akse. HÄldningskeicienten betegner vi med a. Fr enhver -tilväkst er y-tilväkst = a -tilväkst Dierentialregning r gymnasiet g h Side 010 Karsten Juul

5 . SÅdan kan vi inde häldningskeicienten ud ra lineär gra Type.1: Metde: Den lineäre gra viser sammenhängen mellem t variable g y. Hvr mange enheder bliver y stçrre når vi gçr Ñn enhed stçrre? Vi aläser på graen at NÅr 10 er y 6 NÅr 0 er y Vi udregner y-tilväkst = tilväkst = NÅr -tilväksten er 1, må y-tilväksten väre en tyvendedel a 16: Knklusin: y bliver 0, 8 enheder stçrre hver gang vi gçr Ñn enhed stçrre 0,8 dvs. häldningskeicienten er 0, Hvad er en tangent? Deinitin 4.1 NÅr P er et punkt på en gra gälder: Tangenten i P er den rette linje gennem P sm Çlger graen när P. Eksempel 4. l er tangent til graen i P. m er ikke tangenten til graen i Q. Tangenten i Q er den linje gennem Q der Çlger graen när Q. Denne linje er ikke tegnet på iguren. I ethvert punkt på den viste gra kan vi tegne en tangent. l P m Q Dierentialregning r gymnasiet g h Side 010 Karsten Juul

6 5. Dierentialkvtient g P I krdinatsystemet er tegnet graerne r t sammenhänge g g. Ud ra graen inder vi ud a at g-graen har häldningskeicient 0,4. Graen r g er tangent til graen r i punktet P. Vi starter med 00. NÅr vi giver en tilväkst på 100 er r g : y-tilväkst = 0, r : y-tilväkst = Vi starter med 00. NÅr vi giver en tilväkst på 1 er r g : y-tilväkst = 0,400 r : y-tilväkst = 0,99 aläst på en skärm hvr det kan gçres nçjagtigt Vi ser at r er y-tilväksten ca. lig y-tilväksten r g, dvs. ca. 0,4 gange -tilväksten. NÅr 00 gälder r små -tilväkster at r : y-tilväkst 0,4 -tilväkst Vi kalder 0,4 r dierentialkvtienten r i 00. Deinitin 5.1 Vi ser på en sammenhäng mellem t variable g y, g Ved dierentialkvtienten i er en bestemt -värdi. rstår vi häldningskeicienten r tangenten i grapunktet med -krdinat. Dierentialkvtienten betegnes med y sm läses "y-märke ". SÄtning 5. Vi ser på en sammenhäng mellem t variable g y. Hvis NÅr 0 g vi giver en lille tilväkst, er y-tilväkst a -tilväkst y a når 0 gälder: I eksemplet venr gälder: NÅr 00 er y 0, 4 NÅr 00 g vi giver en lille tilväkst, så kan vi udregne y-tilväksten sådan: y-tilväkst 0,4 -tilväkst Dierentialregning r gymnasiet g h Side Karsten Juul

7 6. HvrnÅr er en -tilväkst lille? Den rette linje er tangent til -graen i punktet med -krdinat. Linjens häldningskeicient er 0, så hvis vi starter med g giver en lille tilväkst, kan vi udregne y-tilväksten sådan: * y-tilväkst 0, -tilväkst Denne ligning passer hvis -tilväksten er så lille at vi ikke kmmer uden r den del a -graen sm er nästen sammenaldende med tangenten. PÅ den Çverste igur er -tilväksten 0,1 lille. PÅ den nederste igur er -tilväksten 100 lille. Hvis graerne stammer ra anvendelser hvr nçjagtigheden er lille, vil vi måske bruge ligningen * selv m -tilväksten er väsentlig stçrre. MÅske ville vi bruge * selv m -tilväksten var på Çverste igur g 000 på nederste. 7. Marginalmkstninger Graen viser sammenhängen mellem Çlgende t variable: = antal meter der remstilles y = mkstninger i kr. NÅr 400 er y dvs. hvis vi remstiller 1 meter mere vil mkstningerne blive kr. stçrre. NÅr 600 er y 14 dvs. hvis vi remstiller 1 meter mere vil mkstningerne blive 14 kr. stçrre. Vi sälger hver meter r 1 kr., så hvis vi remstiller 400 meter kan det betale sig at remstille lere, g hvis vi remstiller 600 meter, kan det ikke betale sig. kr. Omkstningerne ved at remstille meter 1 enhed mere kaldes marginalmkstningerne. NÅr vi remstiller 400 meter er marginalmkstningerne kr. NÅr vi remstiller 600 meter er marginalmkstningerne 14 kr. Ovenr argumenterede vi ved hjälp a disse marginalmkstningerne. Dette kaldes marginalbetragtninger. Marginalbetragtninger bruges gså i rbindelse med andet end mkstninger. Dierentialregning r gymnasiet g h Side Karsten Juul

8 8. VÄksthastighed Den krumme kurve er gra r sammenhängen mellem Çlgende t variable: = antal dage eter at vi begyndte at måle y = plantens hçjde i mm Vi ser at når 0 er y 0, 5 Omkring tidspunktet 0 dage vil plantens hçjde altså blive ca. 0,5 mm hçjere på en dag. Vi siger at 0 dage eter at vi begyndte at måle er väksthastigheden lig 0,5 mm pr. dag. mm dage I et lille tidsum på -aksen er graen nästen sammenaldende med den tegnede tangent. Det er i dette tidsrum at väksthastigheden er ca. 0,5 mm pr. dag. Den krumme kurve er gra r sammenhängen mellem Çlgende t variable: = antal måneder eter at vi begyndte at måle y = plantens hçjde i mm Vi ser at så når 1 er y 15 1 måned eter at vi begyndte at måle er väksthastigheden lig 15 mm pr. måned. Dette betyder IKKE at planten i den näste måned vkser 15 mm. PÅ graen ser vi at det kun er en lille del a en måned at väksthastigheden er ca. 15 mm pr. måned. mm måneder Dierentialregning r gymnasiet g h Side Karsten Juul

9 9. Frmel r y Om en sammenhäng mellem g y gälder at hvis vi kender värdien a, så kan vi udregne y sådan: * Divider 4 med värdien a g träk resultatet ra 5. Denne regel kan vi skrive sm Çlgende rmel: y 5 4 * I krdinatsystemet er tegnet graen r denne sammenhäng. PÅ graen aläser vi at når, 6 så er y ca.,45 Ved at bruge reglen * År vi at når, 6 så er y 5 4,6, PÅ graen ser vi: Hvis värdien a er mellem g 4, så er värdien a y stçrre end,5 Hera slutter vi: Hvis vi bruger reglen * på en -värdi mellem g 4, så er resultatet stçrre end,5. Dette er et tiläldigt eksempel på Çlgende: Vi kan bruge vres viden m graen til sige nget m ligningen r sammenhängen. 10. Frmel r y' tangenthäldning, väksthastighed Fr sammenhängen ra ramme 9 gälder at hvis vi kender värdien a, så kan vi udregne y' sådan: ** Gang värdien a med sig selv g divider resultatet p i 4. Denne regel kan vi skrive sm Çlgende rmel: 4 ** y PÅ graen aläser vi at når, 6 så er y ca. 0,60 Ved at bruge reglen ** År vi at når, 6 så er y 4,6 0, Dierentialregning r gymnasiet g h Side Karsten Juul

10 11. Udregne y-krdinat g tangenthäldning Finde ligning r tangent FÇlgende ligning viser en sammenhäng mellem g y : y 1 Opgaverne type drejer sig m graen r denne sammenhäng. Vi År lmmeregneren eller matematikprgrammet til at dierentiere denne sammenhäng mht.. Resultatet er 1 y SÅdan blev der tastet på TI-Nspire CAS: d Symblet må IKKE skrives ved d hjälp a en brçkstreg. Brug i stedet skabelnen. Vi kan välge denne på skabelnpaletten eller Å den rem ved at taste b g välge 4:Calculus 1:Dierentialkvtient. Type 11.1: Hvad er y-krdinaten til grapunktet med -krdinat 1, 5? 1,5 1 Metde: NÅr 1, 5 er y 1 1,5 Knklusin: Grapunktet med -krdinat 1, 5 har y-krdinaten 1 Type 11.: Hvad er tangenthäldningen i grapunktet med -krdinat 1, 5? 1 Metde: NÅr 1, 5 er y 4 1,5 Knklusin: I grapunktet med -krdinat 1, 5 er tangenthäldningen 4 Type 11.: Find ligningen r tangenten til graen i grapunktet med -krdinat 1, 5 Metde: Fra type 11.1 g 11. ved vi at tangenten er en linje sm går gennem punktet 1, y1 1,5, 1 g har häldningskeicienten a 4. Disse tal indsätter vi i rmlen r linjens ligning y g År y a y 1 sm vi mskriver til y 4 5 1, Knklusin: Tangenten til graen i grapunktet med -krdinat 1, 5 har ligningen y 4 5 Dierentialregning r gymnasiet g h Side Karsten Juul

11 1. Frskelle der ikke kan ses på graen I krdinatsystemet er tegnet graen r sammenhängen y 0, Vi dierentierer g År y Ved at bruge denne rmel År vi at når 1 er y 1 når 1, 05 er y 1, 05, 1 Her har vi undet ud a at i grapunktet med -krdinat 1 er tangenthäldningen i grapunktet med -krdinat 1,05 er tangenthäldningen,1 PÅ graen ser det ud sm m tangenthäldningen er den samme i de t punkter, men der er altså en lille rskel. I krdinatsystemet er tegnet graen r sammenhängen y 0, Vi dierentierer g År y Ved at bruge denne rmel År vi at når 0 er y 0 0 når 0, 05 er y 0,05 0, 0075 Her har vi undet ud a at i grapunktet med -krdinat 0 er tangenthäldningen 0 i grapunktet med -krdinat 0,05 er tangenthäldningen 0,0075 PÅ graen ser det ud sm m tangenthäldningen er den samme i de t punkter, men der er altså en lille rskel. Vi udregner y-krdinaterne til de t punkter: når 0 er y 0 0, 0, når 0, 05 er y 0,05 0, 0, 0015 PÅ graen ser det ud sm m de t punkter har samme y-krdinat, men der er altså en lille rskel. Dierentialregning r gymnasiet g h Side Karsten Juul

12 1. Udregne mängde g väksthastighed I et shw er y e 0,1 hvr y er antallet a ramte ballner, g er antal minutter eter shwets start. Type 1.1: Hvr mange ballner er ramt 50 minutter eter shwets start? 500 Metde: NÅr 50 er y 114, 6 0, e Knklusin: 50 minutter eter shwets start er 115 ballner ramt. Type 1.: Metde: Hvr hurtigt vkser antallet a ramte ballner 50 minutter eter shwets start? Vi År lmmeregneren til at udregne värdien a y r 50 g År 8,8446. Knklusin: 50 minutter eter shwets start vkser antallet a ramte ballner med hastigheden 8,8 ballner pr. minut. SÅdan blev der tastet på TI-Nspire CAS: 14. Dierentialkvtient a n Der gälder Çlgende: dierentialkvtienten a er dierentialkvtienten a dierentialkvtienten a sv. 4 5 er er Der gälder altså: dierentialkvtienten a n n n1 Denne regel kan vi skrive n er n n1 Advarsel: Reglen dur ikke når er i ekspnenten: a 1 er IKKE lig a Hvis vi sätter Da n År vi er Reglen r at dierentiere i n 'te Dierentialregning r gymnasiet g h Side Karsten Juul

13 15. Dierentialkvtient a k g m.m. Figuren viser graen r sammenhängen y 1, 0,5 Tangenten til denne gra i punktet P er en ret linje der er sammenaldende med graen. Tangentens häldningskeicient er altså 1, så dierentialkvtienten i er 1,. P Det er klart at der gälder: Dierentialkvtienten r en lineär sammenhäng er lig den lineäre sammenhängs häldningskeicient. Graen r sammenhängen y består a de punkter hvis y-krdinat er. Graen er altså en linje med häldningskeicient 0, så dierentialkvtienten er 0. Det er klart at der gälder: Dierentialkvtienten a en knstant k er 0. Denne regel kan vi skrive k 0 Reglen r at dierentiere en knstant Graen r sammenhängen y består a de punkter hvr -krdinaten er lig y-krdinaten. Graen er altså en linje med häldningskeicient 1, så dierentialkvtienten er 1. Denne regel kan vi skrive 1 Reglen r at dierentiere 16. Dierentialkvtient a knstant gange udtryk Der gälder: udtryk udtryk 4 udtryk 4 udtryk,6 udtryk, 6 udtryk sv. En knstant k gange et udtryk dierentierer vi ved at dierentiere udtrykket g behlde knstanten: k udtryk k udtryk Reglen r at dierentiere knstant gange udtryk Eksempel: Reglen r at dierentiere knstant gange udtryk Reglen r at dierentiere i n 'te Dierentialregning r gymnasiet g h Side Karsten Juul

14 17. Dierentialkvtient a udtryk med lere led Et udtryk der består a lere led dierentierer vi ved at dierentiere hvert led. Det er + g der adskiller led. Udtrykket 6 består a de tre led 6 Reglen r at dierentiere udtryk med lere led Reglen r at dierentiere udtryk med lere led Reglen r at dierentiere knstant Reglen r at dierentiere knstant gange udtryk Reglen r at dierentiere Reglen r at dierentiere i n 'te 18. SkrivemÅden ht, y sv. Vi vil rklare skrivemåden ved hjälp a Çlgende eksempel: h = hçjden a en plante i cm t = antal uger eter udplantningen Hvis h er variablen på den ldrette akse, kan vi bruge Çlgende skrivemåder: h er hçjden eter uger h er y-krdinaten til grapunktet med -krdinat h er hçjdens väksthastighed eter uger h er tangenthäldningen i grapunktet med -krdinat h t 15 t er et tidspunkt hvr hçjden er 15 cm h t 15 t er -krdinaten til et grapunkt hvr y-krdinaten er 15 h t 0,56 t er et tidspunkt hvr hçjdens väksthastighed er 0,56 cm pr. uge h t 0,56 t er -krdinaten til et grapunkt hvr tangenthäldningen er 0,56 Ligning r sammenhängen mellem h g t : h 7, 1, 047 Frskrit r unktinen h : h t 7, 1, 047 t t Denne rskrit kan vi bruge til at udregne hçjden eter uger: h 7, 1,047 8,666 dvs. eter uger er hçjden 8,cm Dierentialregning r gymnasiet g h Side Karsten Juul

15 19. Ngle typer a pgaver med tangenthäldning En unktin har rskriten Vi dierentierer denne rskrit g År 1 Type 19.1: Hvad er häldningskeicienten r tangenten i grapunktet med -krdinat? Metde: 6 Knklusin: HÄldningskeicienten r tangenten i grapunktet med -krdinat er 6 Type 19.: Tangenten i et grapunkt P har häldningskeicient 4. Hvad er -krdinaten til P? Metde: Hvis er -krdinaten til P er 4 dvs. 1 4 så 1, 5 Knklusin: -krdinaten til P er 1, 5 En unktin g har rskriten 1 g Vi dierentierer denne rskrit g År g Type 19.: Er der et punkt på graen så tangenten i dette punkt har häldningskeicienten? Metde: Knklusin: Hvis er -krdinaten til et grapunkt med tangenthäldningen er g dvs. så 1 Dette er ikke pyldt r nget tal da et tal i anden aldrig er negativt. Der er ikke et punkt på graen så tangenten i dette punkt har häldningskeicienten Dierentialregning r gymnasiet g h Side Karsten Juul

16 0. Ngle typer a pgaver med väksthastighed VÄksten a en plante kan beskrives ved M t 1,8 1, 16 t hvr t er tiden angivet i uger, g M t er vägten angivet i gram. SÅdan blev der tastet på TI-Nspire CAS: Lmmeregneren dierentierer denne rskrit g År M t 0, , 16 t Type 0.1: Hvad er vägtens väksthastigheden på tidspunktet 15 uger? Metde: Lmmeregneren udregner M 15 1, 7604 Knklusin: PÅ tidspunktet 15 uger er vägtens väksthastighed 1,76 gram pr. uge Type 0.: Metde: HvrnÅr er vägtens väksthastighed 7 gram pr. uge? NÅr t er et tidspunkt hvr väksthastigheden er 7, så er M t 7 Lmmeregneren lçser denne ligning mht. t g År t 4, 01 Knklusin: VÄgtens väksthastighed er 7 gram pr. uge på tidspunktet 4, uger Type 0.: Udregn M 0 g skriv hvad dette tal rtäller m vägten. Metde: Lmmeregneren udregner M 0, 6971 NÅr er tiden, gälder r en unktin : PÅ tidspunktet er väksthastigheden r lig Knklusin: M 0, 70 dvs. PÅ tidspunktet 0 uger er väksthastigheden r vägten lig,70 gram pr. uge Dierentialregning r gymnasiet g h Side Karsten Juul

17 1. Kntinuert I krdinatsystemet til hçjre er tegnet t a punkterne på graen r en unktin. Hvis graen er en sammenhängende kurve, må den skäre -aksen: Der må väre et tal mellem 7 g 0 så 0. Nedenr er tegnet t eksempler på sammenhängende graer der går gennem de t punkter. Fr unktinen nedenr til hçjre er der ikke nget tal mellem 7 g 0 så 0. Dette er muligt rdi unktinen har et spring det er r lig 1. Deinitin 1.1 En unktin er kntinuert i et tal hvis unktinen ikke har et spring r lig dette tal. SÄtning 1. Hvis y-värdierne a g b har mdsat rtegn g er kntinuert i ethvert tal i intervallet a b så gälder: SÄtning 1.: der er et tal mellem a g b så 0. Funktiner med sädvanlige rskriter er kntinuerte i alle tal hvr de er deineret. Eksempel 1.4: NÅr er 1 negativ, g når er 1 psitiv, men der er ikke en -värdi mellen g så 1 er nul. Dette er ikke i mdstrid med SÄtning 1. da 1 ikke er kntinuert i alle tal mellem g etersm 1 ikke er deineret r lig 0. Eksempel 1.5 a har lçsningerne 1 g 8. b NÅr er 9 8 lig 6. PÅstand: A a g b kan vi slutte at 9 8 er negativ r enhver -värdi mellem 1 g 8. Begrundelse: Hvis 9 8.eks. var psitiv r 4 så måtte der içlge sätningerne 1. g 1. väre en -värdi mellem g 4 hvr 9 8 er 0. Det er der ikke da 9 8 kun er 0 når er 1 eller 8. Dierentialregning r gymnasiet g h Side Karsten Juul

18 . Vksende g atagende Figuren viser en interaktiv igur ra en cmputerskärm. NÅr vi träkker -punktet hen på et tal kan vi aläse unktinsvärdien. PÅ iguren kan vi se: NÅr vi träkker gennem tallene ra til g med 9, vil NÅr vi träkker gennem tallene ra 9 til g med 14, vil hele tiden blive stçrre. hele tiden blive mindre Sm bekendt siger man: er vksende i intervallet 9 er atagende i intervallet 9 14 Er både atagende g vksende i 9? Nej, vi taler ikke m at en unktin er vksende i Ñt tal. Vi taler m at en unktin er vksende i et interval. Der skal väre mindst t y-värdier hvis vi skal kunne tale m at y er blevet stçrre eller mindre. At er vksende i intervallet 9 betyder at hvis 1 g er tal intervallet g er stçrre end 1 så er stçrre end 1 At er atagende i intervallet 9 14 betyder at hvis 1 g er tal intervallet g er stçrre end 1 så er mindre end 1 Dierentialregning r gymnasiet g h Side Karsten Juul

19 . Hvad er mntnirhld? I ngle pgaver står at vi skal bestemme mntnirhldene r en unktin. Det betyder at vi skal skrive i hvilke -intervaller unktinen atager, g i hvilke -intervaller unktinen vkser. PÅ iguren er vist graen r et tredjegradsplynmium. Mntnirhldene kan vi skrive sådan: er vksende i intervallet atagende i intervallet vksende i intervallet P, 4 Q, 1 4. Regel r at inde mntnirhld Hvis ' er psitiv * tangenthäldningen er psitiv r hvert tal i intervallet 1 4. ** er vksende i intervallet 1 4. Hvis man prçver at tegne graen sådan at *, men ikke ** gälder, så bliver man verbevist m at det ikke kan lade sig gçre. Man kan bevise at hvis * gälder, så gälder ** gså. Hvis der er undtagelser ra at ' er psitiv Funktinen på nederste igur er vksende selv m der er Ñt punkt hvri tangenthäldningen er 0. Selv m der er enkelte undtagelser ra *, kan man slutte at ** gälder. SÄtning 4.1 Hvis er psitiv r alle i et interval, evt. med endeligt mange undtagelser, så er vksende i intervallet. Hvis er negativ r alle i et interval, evt. med endeligt mange undtagelser, så er atagende i intervallet. Dierentialregning r gymnasiet g h Side Karsten Juul

20 5. Typisk pgave med mntnirhld Opgave Bestem mntnirhldene r unktinen En besvarelse Lmmeregneren g År dierentierer mht. Denne linje giver en detaljeret beskrivelse a den peratin sm vi År lmmeregneren til at udçre. Lmmeregneren lçser ligningen 0 g År lçsningerne eller 0 mht. Denne linje giver en detaljeret beskrivelse a den peratin sm vi År lmmeregneren til at udçre. Hera Çlger at kun kan skite rtegn i -värdierne g 0 : Da 9 er negativ r Da 1 1 er psitiv r 0 Da 1 er psitiv r 0 A dette Çlger: er atagende i intervallet er vksende i intervallet Se Eksempel 1.5 SÅdan blev der tastet på TI-Nspire CAS: Oversigt: : 0 : 0 0 : Dierentialregning r gymnasiet g h Side Karsten Juul

21 6. Maksimum g minimum g Maksimum r er den stçrste y-krdinat til et punkt på -graen. Vi ser at maksimum r er 11. Minimum r er den mindste y-krdinat til et punkt på -graen. Vi ser at minimum r er. Graen r g er en parabel hvr grenene går uendelig hçjt p. Der er ikke nget punkt på graen der har den stçrste y-krdinat da man altid kan asätte et punkt hçjere ppe på graen, så unktinen g har ikke nget maksimum. NÅr vi skriver hvad maksimum eller minimum er, så skriver vi nrmalt gså hvad punktets -krdinat er: Funktinen har maksimum r 4 g maksimum er y 11 Funktinen har minimum r 1 g minimum er y StÇrstevÄrdi g mindstevärdi r en unktin er det samme sm hhv. maksimum g minimum. Dierentialregning r gymnasiet g h Side Karsten Juul

22 7. Lkalt maksimum g minimum P Figuren viser graen r en unktin. I de t ender rtsätter graen uendelig hçjt p. P er grapunktet med -krdinat 0 g y-krdinat 15. Vi kan välge et stykke a graen mkring P sådan at 15 er mindste y-krdinat på dette stykke. Vi siger derr at har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y er ikke minimum da der andre steder på graen er y-krdinater sm er mindre. Hvis Q, y er et punkt på graen r en unktin, g vi kan välge et stykke a graen mkring Q sådan at y er mindste y-krdinat på dette stykke, så siger vi at unktinen har lkalt minimum r g det lkale minimum er y y Hvis Q, y er et punkt på graen r en unktin, g vi kan välge et stykke a graen mkring Q sådan at y er stçrste y-krdinat på dette stykke, så siger vi at unktinen har lkalt maksimum r g det lkale maksimum er y y Om unktinen ra iguren venr gälder: har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 15. har lkalt maksimum r 40 g det lkale maksimum er y 5. har lkalt minimum r 70 g det lkale minimum er y 5. har minimum r 70 g minimum er y 5. I ngle pgaver står at vi skal bestemme lkale ekstrema. Dette betyder at vi skal inde både de lkale minimummer g de lkale maksimummer. Ordet ekstremum hedder i lertal ekstremummer eller ekstrema. Det er den sidste rm der bruges i eksamenspgaver. Dierentialregning r gymnasiet g h Side Karsten Juul

23 8. Typisk pgave med lkale ekstrema Opgave Bestem de lkale ekstrema r unktinen En besvarelse Fr at kunne agçre i hvilke -värdier der er lkale ekstrema, må vi kende mntnirhldene r. Derr starter vi med at bestemme disse. Lmmeregneren 1 dierentierer g År 18. mht. SÅdan blev der tastet på TI-Nspire CAS: Lmmeregneren lçser ligningen 0 g År lçsningerne 6 g. mht. Hera Çlger at kun kan skite rtegn i -värdierne 6 g : Da 7 10 er psitiv r 6 Da 0 18 er negativ r 6 Da 4 10 er psitiv r Vi kan slutte Çlgende: : 6 : 0 0 : Da 6 0 g 4 År vi har lkalt maksimum r = 6 g det lkale maksimum er y = 0 har lkalt minimum r = g det lkale minimum er y = 4 Dierentialregning r gymnasiet g h Side Karsten Juul

24 9. GÇr rede r at unktinen har et minimum eller maksimum Opgave GÇr rede r at unktinen 9 1, 0 har et minimum Metde Vi bestemmer mntnirhld r Da er med metden ra ramme 5. Hereter skriver vi: atagende i intervallet 0 g vksende i intervallet kan vi slutte at har minimum r. 0. Flere typer pgaver med maksimum eller minimum Fr en bestemt type igurer gälder hvr 9 1, 0 er hçjden g er bredden. Tykkelsen Ås ved at dividere bredden med 1. Type 0.1: Hvad skal bredden väre r at hçjden bliver mindst mulig? Metde: Vi bestemmer sm i ramme 9. Knklusin: Bredden skal väre r at hçjden bliver mindst mulig? Type 0.: Hvad er den mindst mulige hçjde? Metde: Vi bestemmer sm i ramme 9. SÅ udregner vi 1 6 Knklusin: Den mindst mulige hçjde er 1 6 1, Type 0.: Hvad er tykkelsen når hçjden er mindst mulig? Metde: Vi bestemmer Knklusin: Tykkelsen er sm i ramme 9. SÅ udregner vi 1 når hçjden er mindst mulig 1 1 Dierentialregning r gymnasiet g h Side 010 Karsten Juul

25 1. Dierentiabel Graen r har et knäk i punktet med -krdinat. Derr har graen ikke ngen tangent i dette punkt. Tangenten er en linje der Çlger graen gdt när punktet. Funktinen har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens häldningskeicient, g der er ikke ngen tangent. Der gälder altså at ikke eksisterer. Graen r g har en ldret tangent i punktet med -krdinat. En ldret linje har ikke ngen häldningskeicient. Funktinen g har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens häldningskeicient, g tangenten har ikke ngen häldningskeicient. g Der gälder altså at g ikke eksisterer. Deinitin 1.1 Man siger at en unktin er dierentiabel i et tal hvis unktinen har en dierentialkvtient i dvs. hvis eksisterer. Dierentialregning r gymnasiet g h Side 010 Karsten Juul

26 . GrÄnsevÄrdi Udtrykket * 6 kan vi ikke regne ud r da nävneren bliver 0. Vi kan udregne * r värdier a sm er tät på : 1,98 1,999,001,0 * 5,94 5,997 6,00 6,06 Ved at välge värdien a tilsträkkelig tät på kan vi Å värdien a * så tät det skal väre på 6. Vi siger at gränsevärdien r gående md a * er lig 6 Med symbler skriver vi dette sådan: 6 6 Metde.1 Vi kan regne s rem til denne gränsevärdi ved at bruge Çlgende teknik: Vi aktriserer brçkens täller g rkrter brçken. SÅ År vi et udtryk sm vi kan udregne når er : Fr 6 er så g SÄtning. k udtryk k udtryk når k er en knstant SÄtning. udtryk1 udtryk udtryk1 udtryk Dierentialregning r gymnasiet g h Side Karsten Juul

27 . Vi kan inde en dierentialkvtient ved at udregne en gränsevärdi Figuren viser graen r unktinen 1 Linjen t er tangenten i grapunktet med -krdinat 1. t Linjen s skärer graen i punkterne med -krdinaterne 1 g. s HÄldningskeicienten r s er PÅ iguren er, 8 1 4,48,5 NÅr, 8 er 1, 1 1 1,8 dvs. linjen s har häldningskeicienten 1, 1 Frestil dig at du tager at i skäringspunktet med -krdinat g Çrer det langs graen ned md det andet skäringspunkt. SÅ vil s dreje g närme sig mere g mere til t. Vi ser at hvis 1, 01 vil s g t have nästen samme häldning. 1,51995,5 NÅr 1, 01 er 1, ,01 AltsÅ er 1,995 en gd tilnärmelse til 1. Vi ser at vi r at Å 1 helt nçjagtigt skal udregne Fr 1 er så dvs. 1 Den sidste mskrivning kan vi.eks. Å lmmeregneren til at lave. Vi kan gså bruge reglen m at aktrisere et andengradsplynmium g dereter rkrte. Vi kan kntrllere lighedstegnet ved at gange begge sider med g 1. SÄtning.1 Fr en unktin er Dierentialregning r gymnasiet g h Side Karsten Juul

28 Dierentialregning r gymnasiet g h Side Karsten Juul 4. Udledning a rmlen r at dierentiere NÅr er içlge SÄtning.1 içlge en a kvadratsätningerne vi har rkrtet med içlge metde.1 Vi har nu undet rem til Çlgende: SÄtning 4.1: 5. Udledning a rmlen r at dierentiere sum NÅr h g er içlge SÄtning.1 h g h g h h g g h h g g h h g g içlge sätning. h g içlge SÄtning.1 Vi har nu undet rem til Çlgende: SÄtning 5.1: h g h g

29 6. Dierentialkvtient a e k g ln Der gälder Çlgende rmler: k k e k e ln' 1 Hvis vi i den Çrste a disse regler sätter k 1 Reglen r at dierentiere e k Reglen r at dierentiere ln År vi Çlgende regel: e e 4 ln 4 ln ln 4ln e 4 1 e e 1 4 e 1 e 7. Dierentialkvtient a udtryk gange udtryk NÅr m g n er t udtryk, gälder m n ' = m' n + m n' Reglen r at dierentiere udtryk gange udtryk NÅr = 1 e er ' = 1 ' e 1 e' = e 1 e = e ADVARSEL: Man kan ikke dierentiere et udtryk ved at dierentiere hver del a udtrykket brtset ra visse specielle tilälde sm.eks. reglen i ramme 17. e er ikke e g e er ikke e Dierentialregning r gymnasiet g h Side Karsten Juul

30 8. Opdeling a en sammensat unktin i en indre g en ydre unktin NÅr vi kender en värdi a g skal udregne 8 udregner vi Çrst tallet w 8 g så udregner vi w Vi siger at unktinen den indre unktin 8 er sammensat a w 8 g den ydre unktin y w Funktinen ln er sammensat a den indre unktin w g den ydre unktin y lnw Funktinen e 1 er sammensat a den indre unktin w 1 g den ydre unktin y e w 9. Metde til at dierentiere en sammensat unktin Fr at dierentiere en sammensat unktin bruger vi Çlgende metde: ydre dierentieret indre dierentieret FÇlgende eksempel präciserer hvrdan metden skal rstås: Funktinen 8 er sammensat a den indre unktin w 8 g den ydre unktin y w Ydre dierentieret: w w Indre dierentieret: 8 1 ydre dierentieret indre dierentieret w Dierentialregning r gymnasiet g h Side Karsten Juul