Differentialregning. Ib Michelsen

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Differentialregning. Ib Michelsen"

Transkript

1 Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012

2 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 ( ) Denne side er (~ 2)

3 Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af differentialkvotient og tangent...6 Tangenthældninger...7 Den afledte funktion...7 Beregning af differentialkvotienter...8 Den konstante funktion...8 Bevis...8 Den lineære funktion...8 Bevis...8 Andengradspolynomiet...9 Sætning...9 Bevis...9 Tredjegradspolynomium...10 Funktionen f(x) = 1/x...10 Bevis...10 Kvadratrodsfunktionen...10 Bevis...10 Andre polynomier...11 Regnereglerne...12 Øvelse...12 Tangenter...12 Type 1: kendt x-værdi...12 Type 2: kendt y-værdi...13 Type 3: kendt tangenthældning...14 Øvelser...16

4 Differentiering 4

5 Differentiering 5 Introduktion Differentialregning handler bl.a. om at undersøge, hvorledes funktioner vokser. Hvis der er tale om en lineær funktion, kan væksten beskrives med Δ y=a Δ x hvor det græske bogstav store delta betyder en differens (i hhv. y- og x-værdier). Åbn linket og eksperimenter med skyderne: Kontroller, at når Δ x vokser og a > 0, vokser Δ y også Hvad kaldes sammenhængen mellem de to variable: Δ x og Δ y? Hvilken betydning har a for væksten? Hvor stor er Δ y, hvis Δ x=1? Hvor stor er Δ y, hvis Δ x=0? Hvorfor giver det mening at kalde a væksthastigheden Hvis du både kender Δ x og Δ y, er du så i stand til at beregne a? Vis hvordan i et eksempel! Gælder det i alle tænkelige eksempler? Forestil dig at du kører med konstant hastighed ud ad en uendelig lang landevej, at tiden måles med variablen x, at den kørte afstand svarer til f(x). Hvad fortæller parameteren a om køreturen? Det er vigtigt at erkende, at hver gang vi taler om at en bil NU kører med en bestemt hastighed som fx 75 km/time, skal vi benytte to målinger: en afstandsmåling og en tidsmåling. Det kunne i eksemplet være afstanden 75 km og tiden 1 time. Vi taler dog også om at køre med den hastighed, selvom der ikke er tale om at køre en hel time, men fx at køre 25 km på 20 minutter. Men hvis vil vil måle hastigheden i et NU, bliver begge målinger 0, og hastigheden lader sig ikke bestemme umiddelbart: enhver hastighed passer ind i ligningen: Δ y=a Δ x. Men når vi for alle afstande på hele køreturen måler den samme hastighed, vil vi tillade os at sige, at NU kører vi også med 75 km/time. For en lineær funktion gælder det, at for enhver x-værdi (i definitionsmængden) er væksthastigheden = a Men biler kører ikke altid med samme hastighed og der findes mange andre funktionstyper end de lineære.

6 Differentiering 6 Den følgende graf viser en ikke lineær vækst (og bemærk: Δ y kan være negativ). Vi vil gerne beskrive væksthastigheden, når x = 0, men det kunne lige så godt være for enhver anden x-værdi. Vi kunne som her tegne en sekant, for derefter at beregne væksthastigheden for denne; i sekantens endepunkter er der jo sammenfald med grafen og funktionens vækst og sekantens vækst er identiske. Sekanthældningen er en slags gennemsnitsvæksthastighed for funktionen. Følg linket her for at lave nedenstående øvelser: Peg med musen på et af sekantens endepunkter og træk det langs med grafen Bemærk, hvorledes sekanthældningen ændres Modsat hvad der gælder for den lineære funktion, får vi her mange forskellige væksthastigheder. Men lad os undersøge, hvad der sker, hvis begge endepunkters x- værdier ligger i intervallet [- 0,4 ; +0,4]. Noter 10 forskellige hældningskoefficienter for sekanter, hvor endepunkterne opfylder ovenstående betingelse. Gentag eksperimentet, men vælg i stedet for intervallet [-0,2 ; +0,2]. Kan du lave intervallet så lille, at alle hældninger for sekanter med endepunkter over dette interval højst afviger 0,005 fra 1,5? Du svarer forhåbentlig ja! og kan finde intervaller, der er små nok. Så er situationen næsten den samme som for den lineære funktion: For alle afstande (der er tilstrækkelig små) har vi (næsten) den samme væksthastighed. Og jo mindre intervallet bliver, jo mere nærmer vi os et bestemt tal. Dette tal er grænseværdien og kaldes differentialkvotienten i 0. Vi ville få det samme resultat, selv om vi nøjedes med at se på sekanter, der havde det ene endepunkt i A. Definition af differentialkvotient og tangent Lad P=(x 0 ; f (x 0 )) og Q=(x 0 +h ; f ( x 0 +h)) Differentialkvotienten for f i x 0 er grænseværdien for sekanthældninger, når h 0 Det skrives: f ' ( x 0 )=lim f (x +h) f (x ) 0 0 =lim f (x +h) f ( x ) 0 0 (x 0 +h) ( x 0 ) h Linjen gennem P med fældningen f ' ( x 0 ) kaldes tangenten i P.

7 Differentiering 7 Tangenthældninger Prøv at følge linket herunder under og eksperimenter med konstruktionen som beskrevet i øvelsen her 1 : Peg med musen på punktet X, der er bundet til x-aksen Flyt punktet frem og tilbage Bemærk, at punktet A flytter sig samtidigt og altid har samme x-værdi som X, men altid ligger på grafen for funktionen f. I A er der tegnet en tangent til grafen, som flytter sig sammen med A. I algebravinduet kan du finde sammenhørende værdier af x-værdien i A og hældningskoefficienten for tangenten i netop dette punkt. Lav en tabel med disse tal i regnearket for x = -2, -1, 0,, 7, 8 i 1. kolonne og hældningerne i 2. kolonne. Lav en liste af punkter baseret på tabellen. Overvej: vi har defineret en ny funktion der fortæller om f-funktionens tangenters hældninger. Kan du genkende grafens type? Du skal finde funktionen og tegne grafen gennem de nye punkter med kommandoen: g(x)=fitpoly[liste1,2] forudsat at du ikke har lavet flere lister. Giv den nye graf en speciel farve, fx lilla. Beregn en funktionsværdi med kommandoen g_9=g(9) Flyt punktet X til x-værdien 9 og aflæs tangentens hældning; sammenlign med resultatet g(9). Link: Den afledte funktion Lad f (x) være en funktion, hvor vi for enhver x-værdi kan finde differentialkvotienten. Så betegner vi med f ' ( x) den funktion, der for en givet x-værdi har differentialkvotienten som y-værdi. f ' ( x) kaldes den afledte funktion. Funktionen f siges at være differentiabel. Du kan sikkert nemt se, at en nødvendig betingelse for at en funktion har en afledt funktion er, at den er kontinuert (dvs. sammenhængende.) Ligeledes skal den være glat: grafen må ikke have spidser. Fx vil f (x) = x ikke være differentiabel, fordi hældningerne på sekanterne i nærheden af (0,0) ikke nærmer sig et bestemt tal uanset hvor lille intervallet bliver. 1 Konstruktionen forudsætter, at Java er installeret på din PC

8 Differentiering 8 Beregning af differentialkvotienter Den konstante funktion Funktionen f er givet ved: f ( x)=k Den afledte funktion er da: f ' ( x)=0 Bevis En konstant funktion vokser ikke; derfor bliver enhver sekanthældning = 0. Den lineære funktion f ' ( x)=0. Man kan også se det af, at Funktionen f er givet ved: f ( x)=ax +b Den afledte funktion er da: Bevis Vi vil introducere en bevisteknik, der kaldes tre-trins metoden. Udgangspunktet er P=( x ; f (x)) samt et nabopunkt: Q=(x+h; f ( x+h)). I II f ' ( x)=a Først findes Δ y med formlens forskrift og reduceres så vidt muligt) Dernæst findes sekantens hældningskoefficient: omskrives Δ y Δ x III Endelig findes grænseværdien (kaldet limes) når h nærmer sig 0 I II III, som også reduceres / Δ y= f (x+h) f (x)=a (x+h)+b (ax+b)=a x+a h+b ax b=a h Δ y Δ x = a h h =a lim Δ y Δ x = lim a h 0 =a h 0 At differentialkvotienten altid er lig med grafens hældningskoefficient, skulle ikke være nogen overraskelse. Tangenten i ethvert punkt på grafen vil også være sammenfaldende med grafen!

9 Differentiering 9 Andengradspolynomiet Lad os starte med et taleksempel: vi vil finde differentialkvotienten for x=4. Funktionen vi undersøger er f (x)=x 2 Trin I Δ y= f (4+h) f (4)=(4+h) =(16+h h) 16=16+h 2 +8h 16=h 2 +8h Trin II Δ y Δ x = h2 +8 h =h+8 h Trin III lim Δ y Δ x = lim h+8 h 0 =8 h 0 f ' (4)=8 På helt tilsvarende måde kan differentialkvotienten findes for en vilkårlig x-værdi. Dermed findes også forskriften for den afledte funktion. Sætning Funktionen f er givet ved: f (x)=x 2 Den afledte funktion er da: f ' ( x)=2 x Bevis Trin I Δ y= f (x+h) f (x)=( x+h) 2 x 2 =(x 2 +h 2 +2 x h) x 2 =x 2 +h 2 +2 x h x 2 =h 2 +2 x h Trin II Δ y Δ x = h2 +2 x h =h+2 x h Trin III lim Δ y Δ x = lim h+2 x =2 x h 0 h 0

10 Differentiering 10 Tredjegradspolynomium Find på nøjagtigt samme måde en forskrift for den afledte funktion i dette tilfælde Funktionen f(x) = 1/x Funktionen f er givet ved: f (x)= 1 x Den afledte funktion er da: f ' ( x)= 1 x 2 Bevis Trin I Δ y= f (x+h) f (x )= 1 ( x+h) 1 x = x x (x +h) (x+h) x ( x+h) = x ( x+h) x ( x+h) = x x h x (x+h) = h x (x+h) Trin II Δ y Δ x = Trin III lim Δ y Δ x = h 0 h x (x+h) = h lim 1 1 x ( x+h) = 1 1 x ( x+h) x ( x+h) h 0 = 1 x 2 Kvadratrodsfunktionen Funktionen f er givet ved: f ( x)= ( x) Den afledte funktion er da: f ' ( x)= 1 2 ( x) Bevis Trin I Δ y= f (x+h) f (x)= ( x+h) (x) Trin II Δ y Δ x x+h) x) =( ( = h ( ( x+h) x) ( (x+h)+ x) = (x+h) x h ( ( x+h)+ x) h ( (x+h)+ x) = ( x+h) x h ( ( x+h)+ x)

11 Differentiering 11 Trin II fortsat... Δ y Δ x = h h ( ( x+h)+ x) = 1 (x+h)+ x Trin III lim Δ y Δ x = lim 1 h 0 Andre polynomier Funktionen f er givet ved: Den afledte funktion er da: f ' ( x)=n x n 1 (x+h)+ x h 0 = 1 2 ( x) f (x)=x n

12 Differentiering 12 Regnereglerne Lad der være givet 2 differentiable funktioner f og g og et reelt tal k. Vi kan nu danne nogle nye differentiable funktioner, med afledede funktioner som det fremgår af nedenstående tabel. Mht. skrivemåde bruges betegnelserne for funktionen h(x) i flæng; enten h(x) = (f+g)(x) eller h(x)= f(x) + g(x). Tilsvarende gælder for differens af funktioner, produkt og kvotient. (Mht. den sidste definition gælder det, at definitionsmængden ikke indeholder nævnerens nulpunkter, hvilket tit antages uden at det nævnes eksplicit.) Regel nr. Funktion Afledt funktion Huskeregel 1 ( f ±g)( x) ( f ' ±g ')( x) I flerleddede størrelser differentieres hvert led for sig1 2 (k f )(x) (k f ')( x) I et produkt af et tal og en funktion differentieres funktionen og konstanten bevares 3 ( f g)(x) ( f ' g)( x)+( f g ' )(x) Et produkt af to funktioner differentieres ved at differentiere første faktor og gange med den anden samt differentiere anden faktor og gange med den første og endelig addere produkterne 4 ( f f ' g f g ' )(x) ( )( x) g g 2 5 f (g ( x)) f ' ( g(x)) g' ( x) Øvelse Bevis de to første regler med tretrinsreglen Tangenter Vi vil i eksemplet her finde tangenter til parablen på forskellige måder. Vi vil både benytte forskellige teknikker (lommeregner eller GeoGebra) og se forskellige opgavetyper. Hver gang benyttes samme funktion: Type 1: kendt x-værdi g ( x)= x2 4 2x 3. Vi vil finde tangentens ligning for den givne funktion, hvor tangenten har røringspunktet A med x-værdien 6.

13 Differentiering 13 Besvarelse y-værdien for A beregnes som: g(6)= =9 12 3= 6 Dernæst findes g ' (x)= 2 x 4 2 (jævnfør Regler og tidligere resultater) og tangenthældningen a kan beregnes som: a=g ' (6)= =1 Tangentligningens anden parameter b findes med den sædvanlige formel for rette linjer: b= y 1 a x 1, hvori indsættes de kendte tal: b= 6 1 6= 12 Tangentens ligning er: y=1 x 12 Normalt skrives hældningskoefficienten ikke, når den er 1; her er den medtaget for at tydeliggøre beregning og resultat. Alternativ besvarelse Grafen tegnes i GeoGebra; linjen x=6 tegnes. Skæringspunktet mellem disse findes: det er røringspunktet A. Tangentværktøjet vælges: klik på graf og røringspunkt og tangenten tegnes. I algebravinduet eller på tegningen kan tangentligningen aflæses. Tangentens ligning: y = x - 12 Type 2: kendt y-værdi Vi vil finde parablens tangenter i røringspunkterne B og C med y-værdien 2. Besvarelse x-værdierne for B og C beregnes ved at løse ligningen: g(x)=2 x 2 4 2x 3=2 x 2 4 2x 3 2=2 2 x 2 4 2x 5=0

14 Differentiering 14 Det er en sædvanlig andengradsligning med a= 1 4, b= 2,c= 5 d = ( 5)=9 x= ( 2)± (9) 2 1 = 2± Løsningerne er x 1 = 2 og x 2 =10 De tilsvarende y-værdier er begge +2 (iflg. opgaven): y 1 =2 og y 2 =2 Dernæst findes med g ' (x)= 2 x 4 2 de respektive tangenthældninger: a 1 = 2 ( 2) 2= 3og a 4 2 = =3 Tangentligningens anden parameter b findes med den sædvanlige formel for rette linjer: b= y 1 a x 1, hvori indsættes de kendte tal: b 1 =2 ( 3) ( 2)= 4 b 2 =2 3 10= 28 Tangent 1: Tangent 2: y= 3x 4 y= 3x 28 Tangentligningerne bliver så: Type 3: kendt tangenthældning Vi vil nu finde parablens tangent i punktet D, hvor tangenthældningen = -1. Besvarelse x-værdierne for D beregnes ved at løse ligningen: g' ( x)= 1 2 x 4 2= 1 2 x 4 2+2= x 4 =1

15 Differentiering 15 2 x 4 =1 2 x 4 4=1 4 2 x=4 2 x 2 = 4 2 x=2 y-værdien i D fås som: y=g(2)= = 6 Tangenthældningen a = -1 ifølge opgaven; b beregnes som tidligere med b= y 1 a x 1 : b= 6 ( 1) 2= 4 Tangentligningen bliver så: Tangent: y= x 4

16 Differentiering 16 Øvelser 1. Find 3 differentailkvotienter for funktionen f (x)=2 x 2 med tretrinsmetoden. Benyt x-værdierne 3, -1 og Find differentialkvotienten for en tilfældig valgt værdi: x for funktionen f (x)=2 x 2 3x Lad f (x)=x og g ( x)= x 2. Benyt produktreglen til at finde den afledte funktion for h(x)=x 3, idet du ved, at f ' ( x)=1 og g ' (x)=2x 4. Benyt divisionsreglen til at finde den afledte funktion for k ( x)=1/ x 5. Find tangenter til funktionen m(x) 1. hvor røringspunktet har x-værdien hvor røringspunktet har y-værdien 2 3. hvor tangenthældningen er tangenten går gennem punktet (8;-2) 6. Find lokale ekstrema for den viste funktion 7. Find den afledte funktion (for m(x) 8. Hvilken sammenhæng er der mellem m(x) og m'(x)?

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010 Matematikprojekt om Differentialregning Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 4 Oktober 2010 Indhold I Del 1................................ 3 I Differentialregningens

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

M A T E M A T I K B 2

M A T E M A T I K B 2 M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1) Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 side Der undervises efter: AB Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik AB ( Forlaget HAX) B2 Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik B2 ( Forlaget HAX) EKS Knud

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

1 Differentialkvotient

1 Differentialkvotient gudmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Vejledning til WordMat på Mac

Vejledning til WordMat på Mac Installation: WordMat på MAC Vejledning til WordMat på Mac Hent WordMat for MAC på www.eduap.com Installationen er først slut når du har gjort følgende 1. Åben Word 2. I menuen vælges: Word > Indstillinger

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B (hf-enkeltfag)

Læs mere

UNDERVISNINGSBESKRIVELSE

UNDERVISNINGSBESKRIVELSE UNDERVISNINGSBESKRIVELSE Termin Maj-juni 2014-2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF2 Matematik B Ineta Sokolowski mab2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Line Dorthe

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket: Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Løsningsforslag 27. januar 2011

Løsningsforslag 27. januar 2011 Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Contents. Introduktion 2

Contents. Introduktion 2 Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere

Differentialregning 2

Differentialregning 2 Differentialregning Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 Udregn monotoniintervallerne for funktionerne f 1 () = + 4, f () = 4 3 f 3 () = 3 6 + 9 +, f 4 ()

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleår 13/14 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Reducering Reducér følgende udtryk: Vi ganger dividerer med i både nævner og begge led i tælleren:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf Matematik C-B Pia Hald ph@kvuc.dk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2014 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 7Bma1S14

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Parallelle linjer En linje l går gennem punktet og er parallel med linjen m der er givet ved:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Mat C-B Henrik Jessen

Læs mere

Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf.

Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf. Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer 2010. Nakskov Gymnasium & Hf. Eksaminator: Ulla Juul Franck Der er 20 spørgsmål i alt, og bilag til spørgsmål 14 og 15. 1. Andengradspolynomier og parabler.

Læs mere

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da: 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler

Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler Freyja Hreinsdóttir University of Iceland 1 Indledning I mange lærebøger om differentiering er der øvelser af den slags, hvor den

Læs mere

Eksperimentel Matematik

Eksperimentel Matematik Eksperimentel Matematik 4 bidrag Ib Michelsen 2007 Trekanter - der ligner hinanden Ib Michelsen VUC Skive-Viborg ib.michelsen@mimimi.dk Geometri C 2 6 timer Faglige mål Ensvinklede og ligedannede trekanter

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 1 Introduktion... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 4 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side

Læs mere