PeterSørensen.dk : Differentiation

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "PeterSørensen.dk : Differentiation"

Transkript

1 PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3 Differentiation ved hjælp af CAS-værktøj...4 RegneRobot...4 TI-interactive...4 TI-89 og Voyage Tangent...4 Ligningen for tangenten...4 Beregning af differentialkvotienter...5 Tretrinsreglen...5 Eksempel 1 f(x) ax +b...5 Eksempel 2 f(x) x²...5 Plusreglen ( f(x)+g(x) ) f (x) + g (x), bevis...6 Differentiation af udtryk...6 Formlen (x n )' n x n-1, n...6 Maksimum og minimum...7 Monotoni...7 Lokalt maksimum...8 Lokal minimum...8 Monotoni-interval for en funktion...8 Voksende...8 Aftagende...8 At redegøre for monotoniforhold...8 Fortegnsvariation...9 Optimering...9 Funktioner... 1 Tallet e... 1 Den naturlige eksponentialfunktion Den naturlige logaritme Eksponentielle funktioner Differentialkvotient af eksponentielle funktioner Se også link: Differentialkvotient af Ln og stamfunktion til 1 / x, dx Væksthastighed PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf side 1 / 12

2 Ikke alle grafpunkter har en hældning Til højre ses to grafer, der ikke overalt har en hældning. Den blå graf her ingen hældning i punkterne (3, 2) og (7, 2.) Den røde graf har ingen hældning i Grafpunktet (2,4). De to tilsvarende funktioner er ikke differentiable i hele deres definitionsmængder. Betydningen af ordet differentialkvotient Her ser vi grafen for en funktion f, hvor grafen har en hældning overalt.. Vi er interesseret i grafens hældning i punktet (x o, y o ) og beragter et punkt (x, y) tæt på ( x o, y o ). Linjestykket fra punktet ( x o, y o ) til ( x, y ) er næsten sammenfaldende med grafen. Sekant Et linjestykke, der forbinder 2 punkter på en graf kaldes en sekant. Jo tættere x er på x, jo bede vil sekanten flugte grafen, Sekanten har hældningen: a (Se lektion 11 i Grønt hæfte) Lidt løst sagt defineres f (x ) eller grafens hældning i x således: Hvis nærmer sig en bestemt værdi, når x nærmer sig x, så er f (x ) lig denne værdi. Denne værdi kaldes i øvrigt grænseværdien for udtrykket når x går mod x o og betegnes f (x o ). Hvad det helt eksakt vil sige at ikke uddybe her. nærmer sig en bestemt værdi, når x nærmer sig x, vil vi Det skrives således: går mod f (x o ) når x går mod x o. Det kan også skrives sålees: f (x o ) når x x o. eller således: Ordet lim er i slægt med det engelske ord limit, der betyder grænse. Ordet grænseværdi benyttes ikke blot ved bestemmelse af grafers hældninger. Generelt kan man tale om, at et udtryk, hvor dets værdi afhænger af en variabel, kan have en grænseværdi, når denne variabel nærmer sig et bestemt tal. PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf side 2 / 12

3 f (x o ) kaldes også differentialkvotienten af f i x o eller blot differentialkvotienten i x o. Ordet differentialkvotient har noget at gøre med, at er en kvotient af differenser. Kvotient betyder resultatet af en division, og differens betyder resultatet af et minus-stykke. kaldes ofte differens-kvotienten. I gamle dage kaldte man differenserne for differentialer, hvis differenserne var ekstremt små, og derved opstod navnet differential-kvotient. Vi benytter ofte forkortelsen f for f(x) f(x ) og x eller h for (x x ) Med disse forkortelser kan vi skrive: f f er differentiabel i x o hvis x eller f er differentiabel i x o hvis f h har en grænseværdi for x x o har en grænseværdi for h Differentiable funktioner Hvis en funktion f er differentiabel for alle x, siger vi at funktionen er differentiabel, og den funktion, der til hvert x o knytter f (x o ) betegnes f. f kaldes differentialkvotienten af f eller den afledede af f. Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning Hvis man kender regneforskriften for en funktion f, er det ofte muligt at finde regneforskriften for den afledede funktion f. Her benyttes CAS-værktøj og forskellige regler. Vi vil senere bevise nogle af disse regler, men først vil vi nøjes med at se nogle af reglerne. Regneregler: ( k )' Eksempel: f(x)7 Grafen er vandret og f '(x) ( k x )' k Eksempel: f(x)3x Grafen har overalt hældningen 3 og f '(x)3 (x n ) n x n-1, n Eksempler: (x 3 ) 3 x x 2 og (x 2 ) 2 x 2-1 2x (k f(x))' k (f(x))' k f (x) Eksempel: (2x 3 ) 2 3 x 2 2 6x 2 (k x n ) k n x n-1, n 1 Eksempel: (2x 3 ) 2 3 x 2 6x 2 (f(x)+g(x)) f (x) + g (x). Eksempel: (x³ + x²)' 3x 2 + 2x Plusreglen (f(x)-g(x)) f (x) - g (x). Eksempel: (x³ - x²)' 3x 2-2x Minusreglen Når man anvender de 2 sidste regler kaldes det ledvis differentiation. Når der i et udtryk er 2 eller flere led, vil man typisk anvende ledvis differentiation. Der er flere regler i formelsamlingen. PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf side 3 / 12

4 Differentiation ved hjælp af CAS-værktøj RegneRobot Her differentieres ved at vælge "Guide & CAS" og derefter "Differential- og integralregning". Se eventuelt Vejledning til RegneRobot TI-interactive Her klikkes i d/dx og d(, hvorefter man skriver: 3x^2,x) og taster Enter. Se eventuelt link: TI-Interactive og det sidste af videoen cas TI-89 og Voyage 2 Her kan man finde differentialkvotienten til en funktion, fx f(x) 3x², ved at taste F3 og vælge d( Derefter skrives 3x^2,x), så der kommer til at stå: d(3x^2,x) (x til sidst betyder, at den uafhængige variable er x). F6 Enter Enter F3 1 3 x ^ 2, x ) Enter Der er mere om cas-væktøj i lektion19, 23 og 25 Tangent En linje, der går gennem et grafpunkt og har samme hældning som grafen i punktet, kaldes tangent til grafen. Ligningen for tangenten gennem grafpunkt (x o, y o ) er: (y y o ) f (x o ) (x x o ) Hvis x x o, kan ligningen også skrives: Til højre er tegnet funktionen f(x) -2x² + 8x 1 og en tangent. Man kan se af tegningen, at hældningen er -4. Hældningen kan også beregnes: f (x) -4x + 8 f (3) Af tegningen ses, at tangentens røringspunkt er (3, 5) Tangentens ligning bliver: (y 5) 4(x 3) PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf side 4 / 12

5 Beregning af differentialkvotienter Hvis man kender en funktion og ønsker at finde dens afledede er det ofte bekvemt at benytte den såkaldte tretrinsregel. Tretrinsreglen 1. Opskriv eller Husk h x (x-x o ) og x x +h 2. Omskriv f. Måske kan der forkortes med x eller h 3. Bestem grænseværdien. Eksempel 1 f(x) ax +b f x y y h (ax b) (ax h b) a Da a gælder også a for x x o Altså: f (x o ) a. Da det gælder for ethvert x o kan vi skrive f (x) a eller (ax+b) a Eksempel 2 f(x) x² Vi bemærker at x x o + h, og vi får: f x y y h x (x h) h 2 2 x h 2hx x h h 2x 2x 2 2 h 2hx h for x x o h 2x Altså: f (x o ) 2x o eller f (x) 2x eller (x²) 2x PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf side 5 / 12

6 Plusreglen ( f(x)+g(x) ) f (x) + g (x), bevis ( f g) x (f(x) g(x) ) - ( (f(x x x ) g(x ) ) f(x) - f(x ) g(x) x x - g(x ) f ( x ) f ( x x x ) + g ( x ) g ( x x x ) f '(x ) + g '(x ) for x x Hvilket beviser ( f(x)+g(x) ) f '(x) + g'(x) Differentiation af udtryk skives ved at tilføje en apostrof og ofte en parentes, fx (x² + 2x) 2x + 2. Nogen gange sættes apostroffen anderledes, fx Log x, som betyder (Log x). Formlen (x n )' n x n-1, n vil vi ikke bevise, men uddybe. (x ) (1) (x + 1). Det sidste fremgår af eksempel 1, hvor a og b1. Altså (x ) (x 1 ) (x) (1x + ) 1. Det sidste fremgår af eksempel 1, hvor a1 og b. Altså (x 1 ) 1 x (x²) (x x) 1 x + x 1 2x (i overensstemmelse med den tidligere beregning.) (x 3 ) (x² x) 2x x + x² 1 3x² (x 4 ) 4x 3,5 ) x ',5x,5 2 1 x (Se eventuelt lektion 3 i matematik interaktivt for hf) PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf side 6 / 12

7 Maksimum og minimum Hvis en funktion har en sammenhængende graf på et lukket interval, har den både et maksimum og et minimum. Dette vil vi ikke bevise, men anskueliggøre med nogle tegninger: Bemærk: Maksimum og minimum er y-værdier. De tilsvarende x-værdier kaldes henholdsvis maksimumpunkt og minimumspunkt. Monotoni Hvis en funktion f er differentiabel i et interval gælder: f er voksende i intervallet hvis f (x) er positiv eller punktvis nul. f er aftagende i intervallet f er konstant i intervallet hvis f (x) er negativ eller punktvis nul. hvis f (x) overalt i intervallet. I intervallet I 1 er f (x) og kun punktvis lig nul. (2 steder) f er voksende i intervallet I 1 PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf side 7 / 12

8 I intervallet I 2 er f (x) og kun punktvis lig nul. (2 steder) f er aftagende i intervallet I 2. I intervallet I 3 er f (x) og kun punktvis lig nul. (1 sted) f er voksende i intervallet I 3 Bemærk: I 1 og I 2 har 1 punkt fælles. Det gælder også I 2 og I 3. Lokalt maksimum er en funktionsværdi, hvor grafpunktet ligger på en bølgetop eller på et vandret stykke af grafen. Det lokale maksimum er større end eller lig y-værdien for de nærmeste punkter på grafen. Lokal minimum er en funktionsværdi, hvor grafpunktet ligger i en bølgedal eller på et vandret stykke af grafen. Det lokale minimum er mindre end eller lig y-værdien for de nærmeste punkter på grafen. Begge dele kaldes: Lokalt ekstremum. I flertal: Lokale ekstrema. Ved ekstremum er differentialkvotienten nul; men differentialkvotienten kan også være nul andre steder. Monotoni-interval for en funktion er et interval hvor funktionen er monoton, dvs voksende, aftagende eller eventuelt konstant. Om den afbillede funktion gælder: Voksende i ] - ; -3 ] og [ 1; [ Aftagende i [ -3; 1 ] Lokalt maksimum i -3 med y-værdi 34 Lokalt minimum i 1 med y-værdi 2 Bemærk: Begge tal -3 og 1 er med i både et voksende og i et aftagende interval. Bemærk også: Grafen er sammenhængende. Derfor kan man ikke gå langs med grafen fra et punkt under x-aksen til et punkt over x-aksen uden at passere x-aksen. Et graf-punkt på x-aksen har y-værdien nul. En funktion med en sammenhængende graf, kaldes kontinuert. At redegøre for monotoniforhold vil sige at oplyse monotoniintervaller og anføre hvor voksende, hvor aftagende og hvor konstant. PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf side 8 / 12

9 Man kan illustrere en fortegnsvariation over differentialkvotienten og se både monotoniforhold og ekstrema. Eks. f(x) x 3 + 3x 2-9x + 7 f (x) 3x 2 + 6x - 9 For at finde ud af fortegnet for f vil vi finde nulpunkter for f : Dvs vi skal løse ligningen: 3x 2 + 6x 9 d (-9) 144 Rødder: dvs. -3 og 1 Grafen for f er glad og derfor negativ mellem rødderne. Fortegnsvariation f er voksende i ] - ; -3 ] og [ 1 ; [ f er aftagende i [-3 ; 1 ] Der hvor f skifter fra voksende til aftagende har f lokalt maksimum, altså ved x-værdien -3. Selve maksimumsværdien er f(-3) 34 Tilsvarende bliver minimum 2 der antages for x 1 Ofte har man brug for at finde størsteværdi eller mindsteværdi for en funktion. Optimering Det at finde maksimum for en funktion kaldes optimering. Eks. Vi betragter igen firmaet, som sælger en vare og gerne vil optimere sin fortjeneste. x er reklameinvesteringen i mio kr. Den samlede fortjeneste ved salg af varen afhænger af reklameinvesteringen. f(x) er den samlede fortjeneste i mio kr ved salg af varen. PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf side 9 / 12

10 For den pågældende vare gælder: f(x) -2x² + 8x - 1, Dm(f) [ ; 5]. Dvs der kan højst investeres 5 mio i reklamer Det handler om af få maksimum fortjeneste. f (x) -4x + 8 f (x) -4x + 8 x 2 f () 8 (positivt) f (3) -4 (negativt) På grundlag heraf fås Fortegnsvariation: Resultat: Der er maksimum fortjeneste ved en reklameinvesering på 2 mio. Maksimumfortjenesten er f(2) mio 7 mio kr. Vi kan også finde minimumfortjenesten ved at vurdere f() og f(5) f() -1 mio f(5) -11 mio Altså minimumsfortjenesten er -11 mio, hvilket er et tab på 11 mio. Bemærk, vi har stiltiende udnyttet at f er kontinuert. Derfor kunne vi konkludere, at når f () er positiv, så er f (x) positv overalt til venstre for 2. Tilsvarende kunne vi konkludere, at når f (3) er negativ, så er f (x) negativ overalt til højre for 2. Funktioner Fra Matematik C interaktivt for hf (grønt og blåt hæfte) kan du læse om: Sammenhæng mellem variable og funktion Proportionalitet Lineær funktion Eksponerntiel Funktion Logaitmefunktion (1-talslogaritmen) Potensfunktion Tallet e Vi skal møde et helt specielt tal, som spiller en ganske stor rolle i matematikken. Tallet kaldes e og er lig ca. 2,718. Tallet kan ikke skrives som en endelig decimalbrøk. Det er et irrationalt tal, altså et ikke rationalt tal, hvilket vil sige, det ikke kan skrives som en brøk med helt tal for oven og helt tal for neden. PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf side 1 / 12

11 Den naturlige eksponentialfunktion Tallet er især interessant når det optræder i den eksponentialfunktion, som har regneforskriften: f(x) e x Denne funktion kaldes den naturlige eksponentialfunktion og er karakteristisk ved at have sig selv som differentialkvotient. Dvs f (x) e x eller (e x ) e x e kan benyttes i RegneRobot og i TI-interactve. I TI-interactive skrives dog #e Den naturlige logaritme Den naturlige logaritmefunktion betegnes Ln, og er bestemt ved: Den naturlige logaritme til et positivt tal er den eksponent, man skal sætte på e for at få tallet. Eksempler: Ln(e 3 ) 3 Ln(e 7 ) 7 Ln(e x ) x Ln(e a ) a DVS. e Ln(x) x. Logaritmeregler Ln(a b) Ln(1) fordi e 1 Ln(e) 1 fordi e 1 e Ln(a) + Ln(b) Ln( ) Ln(a) - Ln(b) Ln(a x ) x Ln(a) Disse regler er magen til reglerne for 1-talslogaritmen. Nogen gange betegnes den naturlige logaritme med lille l således: ln Fx: ln(1) Eksponentielle funktioner Vi vil nu omskrive b a x, så e indgår. Her får vi brug for en regel om eksponenter: (a p ) q a p q, fx (5 3 ) Vi har tidligere set at x e ln(x), idet ln(x) er den eksponent, man skal putte på e for at få x. Ved at skrive a i stedet for x fås: og og b a x b e ln(a) x a e ln(a) a x (e ln(a) ) x e ln(a) x Derfor kan en eksponentiel funktion skrives på følgende form: f(x) b e ln(a) x PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf side 11 / 12

12 Differentialkvotient af eksponentielle funktioner Der gælder: (b a x ) ln(a) b a x (Det vil vi ikke bevise) Specielt gælder: (a x ) ln(a) a x Vi lægger mærke til, at differentialkvotienten af en eksponentiel funktion er proportional med funktionsværdien. Endvidere gælder: (b e nx ) b n e nx og (b a nx ) ln(a) n b a nx Det vil vi heller ikke bevise. Eksempler: (2 3 x ) ln(3) 2 3 x og (3 x ) ln(3) 3 x På en lommeregner Texas TI 89 og Voyage 2 kan (2 3 x ) findes ved at taste: F3 1 2 * 3 ^ x, x ) Enter I TI-interactive klikkes i d/dx og d(, hvorefter man skriver: 2*3^x,x) og taster Enter. Se også link: Regler for differentiation Bemærk især: (e nx ) ne nx Differentialkvotient af Ln og stamfunktion til 1 / x, dx Der gælder: (ln(x) ), x >. (Det vil vi ikke bevise.) Tilsvarende: dx ln(x) +k, x >. k er en abitrær konstant, dvs et vilkårligt tal. For x< : dx ln(-x) +k, x <. (De 2 sidste formler vil vi heller ikke bevise.) De 2 sidste formler kan under ét skrives dx ln( x ) +k, x (x forskellig fra nul), idet x betyder x hvis x< og ellers x. Fx: -7 7 og 7 7. (Bemærk, vi bruger også den lodrette streg i geometri. Afstanden mellem fx punkterne A og B betegnes: AB ) Se videoen: CAS eller Vejledning til RegneRobot. Se også fomelsamlingen Naturlig logaritme & eksponentialfunktion Væksthastighed Væksthastighed betyder det samme som differentialkvotient. Pakistans befolkning var i 2 på 147 mio. og er siden vokset med en væksthastighed på 1,71% pr. år. Dvs: Væksthastigheden,171 befolkningens størrelse. Væksthastigheden er således proportional med befolkningens størrelse og proportionalitetsfaktoren er,171. Det kan skrives: f (x),171 f(x), hvor x er antal år efter år 2 og f(x) er befolkningstallet, mens f (x) er væksthastigheden. PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf side 12 / 12

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

M A T E M A T I K B 2

M A T E M A T I K B 2 M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1) Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

1 Differentialkvotient

1 Differentialkvotient gudmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010 Matematikprojekt om Differentialregning Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 4 Oktober 2010 Indhold I Del 1................................ 3 I Differentialregningens

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 side Der undervises efter: AB Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik AB ( Forlaget HAX) B2 Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik B2 ( Forlaget HAX) EKS Knud

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Differentialregning ( 16-22)

Differentialregning ( 16-22) Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 10-juni 11 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B2 Klavs Skjold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Eksamensspørgsmål. Spørgsmål 1: Funktioner

Eksamensspørgsmål. Spørgsmål 1: Funktioner . Spørgsmål 1: Funktioner Gør rede for sætninger vedrørende andengradsfunktioner. Du skal herunder redegøre for differentiation af en andengradsfunktion, samt formlen til at beregne nulpunkterne for en

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleår 13/14 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

Eksamensspørgsmål. Spørgsmål 1: Funktioner

Eksamensspørgsmål. Spørgsmål 1: Funktioner . Spørgsmål 1: Funktioner Gør rede for udvalgte sætninger vedrørende andengradsfunktioner. Du skal herunder redegøre for differentiation af en andengradsfunktion, samt formlen til at beregne nulpunkterne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over rapporter

Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over rapporter Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over rapporter Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2016 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Differentialregning 2

Differentialregning 2 Differentialregning Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 Udregn monotoniintervallerne for funktionerne f 1 () = + 4, f () = 4 3 f 3 () = 3 6 + 9 +, f 4 ()

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C PEJE (Pernille

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2014 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 7Bma1S14

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2015-2016 Institution Vestegnen HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HF: E-learning Matematik

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Mat C-B Henrik Jessen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Lektion 6 Logaritmefunktioner

Lektion 6 Logaritmefunktioner Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi

Læs mere

Contents. Introduktion 2

Contents. Introduktion 2 Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Vestegnen HF & Vuc Uddannelse Fag og niveau Lærer Hf-enkeltfag Matematik B Gert

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

MATEMATIK ( 3 h ) DATO : 8. juni 2009

MATEMATIK ( 3 h ) DATO : 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 3 h ) DATO : 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 3 timer (180 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER: Europaskolernes formelsamling ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C MIHY (Michael

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold 2015 Sommer VUC Lyngby HF Matematik B Christian Møller

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2016 Institution HF & VUC Nordsjælland Helsingør-afdelingen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution VUC Vest, Stormgade 47, 6700 Esbjerg Uddannelse HF net-undervisning, HFe Fag og niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf Matematik C-B Pia Hald ph@kvuc.dk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014-2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF-E Matematik B Kenneth

Læs mere

Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier.

Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier. Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister 1. Polynomier. Redegør for andengradspolynomiets graf og udled en formel for koordinatsættet til parablens toppunkt. 2.

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal.

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal. Eksponentielle funktioner Indhold Definition:... 1 Om a og b... 2 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 3 Enkeltlogaritmisk koordinatsstem... 4 Logaritmisk skala... 5 Fordoblings- og halveringskonstant...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B Ashuak Jakob France

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i 1 af 41 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende ØVELSE 2 f aftagende i f aftagende i f aftagende i f aftagende i ØVELSE 3 Hældningen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 2014/15, eksamen maj-juni 2015 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Vejledning til WordMat på Mac

Vejledning til WordMat på Mac Installation: WordMat på MAC Vejledning til WordMat på Mac Hent WordMat for MAC på www.eduap.com Installationen er først slut når du har gjort følgende 1. Åben Word 2. I menuen vælges: Word > Indstillinger

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2016/Januar 2017 Institution HF & VUC Nordsjælland Helsingør-afdelingen Uddannelse Fag og niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B (hf-enkeltfag)

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Eksamensspørgsmål mabe, sommer Spørgsmål 1: Lineære funktioner

Eksamensspørgsmål mabe, sommer Spørgsmål 1: Lineære funktioner Eksamensspørgsmål mabe, sommer 03 Spørgsmål : Lineære funktioner Gør rede for sætninger vedrørende lineære funktioner. Du skal herunder behandle betydningen af a og b samt formlen til at beregne a ud fra

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

UNDERVISNINGSBESKRIVELSE

UNDERVISNINGSBESKRIVELSE UNDERVISNINGSBESKRIVELSE Termin Maj-juni 2014-2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF2 Matematik B Ineta Sokolowski mab2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2016 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) SIPE

Læs mere

Eksamensspørgsmål mabe, sommer Spørgsmål 1: Funktioner

Eksamensspørgsmål mabe, sommer Spørgsmål 1: Funktioner Eksamensspørgsmål mabe, sommer 014 Spørgsmål 1: Funktioner Gør rede for sætninger vedrørende lineære funktioner. Du skal herunder behandle betydningen af a og b samt formlen til at beregne a ud fra to

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2012 Institution Vejle Handelsskole Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik B Lærer(e) LSP ( Liselotte

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 15/16 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Mette

Læs mere

Eksamensspørgsmål net B, vinter 2012-sommer Spørgsmål 1: Lineære funktioner

Eksamensspørgsmål net B, vinter 2012-sommer Spørgsmål 1: Lineære funktioner Eksamensspørgsmål net B, vinter 0-sommer 03 Spørgsmål : Lineære funktioner Gør rede for sætninger vedrørende lineære funktioner. Du skal herunder behandle betydningen af a og b samt formlen til at beregne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik A Jesper

Læs mere