Implementering og Kalibrering af Libor Market Model

Transkript

1 Kanddatafhandlng Insttut for Fnanserng Forfattere Denns Møller Jesper Herrld Damker Veleder Svend Jakobsen Implementerng og Kalbrerng af Lbor Market Model - med henblk på prsfastsættelse af Constant Maturty Swap floors Handelshøskolen Århus Jul 2004

2 Executve Summary Outlne of subect In recent decades the market for nterest rate dervatves has grown at a rapd speed. Plan vanlla dervatves are traded n bllons each day and the focus on exotc optons has ncreased due to ndvdual needs to hedge specfc postons. The need to accurately prce exotc optons has become one of the most emprcally debated topcs n fnancal lterature focusng on dfferent nterest rate models and ther shortcomngs. In recent years the Dansh Insurance & Penson companes have been under heavy pressure to fulfll ther oblgatons to ther clents manly caused by the smultaneous stock market downfall and the overall declne n nterest rates. Ths stuaton has forced many companes to hedge ther postons by acqurng nterest rate dervatves especally CMS floors and swaptons whch protects the companes aganst declnng nterest rates. The thess s thus motvated by the problems the companes face and try to explore ) What knd of nterest rate dervatves that are sutable for hedgng aganst declnng nterest rates 2) How to value exotc (less lqud) optons such as CMS floors 3) How to mplement a Lbor Market Model to be used n the prcng of CMS floors. Maor fndngs The Insurance & Penson companes face two rsks: ) Economc rsk and 2) Accountng rsk. The economc rsk refers to the rsk that the companes can not generate an adequate return on ther portfolo to honor ther oblgatons. The accountng rsk arses because of the msmatch n duraton between labltes and assets. Statstcs from Fnanstlsynet shows that CMS floors are wdely used among Insurance & Penson companes and s by far the most popular nterest rate dervatve. One of the reasons to ths s that the CMS floor both (partally) hedges the economc rsk and the accountng rsk. The accurate prcng of exotc optons should only be done wth an nterest rate model whch s calbrated to sutable nstruments. The analyss shows that CMS floors can be approxmated by swaptons and t s therefore a natural choce to calbrate the Lbor Market Model to swaptons. The paper only consders CMS floors wth the sum of I

3 maturtes and tenors not exceedng 30 years. In order to mplement the model and prce the CMS floor one therefore needs to fnd the correct calbrated forward rate volatltes. The analyss shows how to lnk forward rate volatltes to swap rate volatltes and thereby to swaptons. It s chosen to model year forward rates. Calbraton of the Lbor Market Model can be done n 2 separate steps motvated by the fndngs of Rebonato (999a). The thess shows how to frst determne an exogenous correlaton matrx usng a parametrc form. Usng a parametrc form for correlatons reduces the number of parameters and gets rd of undesrable propertes some tmes seen n a hstorcally estmated correlaton matrx. Specfcally two dfferent parametrc forms proposed by Schoenmaker & Coffey and Rebonato were tested. Both proved to be useful and satsfyng. A pvot verson of Schoenmaker & Coffey was also ntroduced and preferred to the other approaches. The second step of the calbraton process s to determne a sutable volatlty structure and to lnk the exogenously determned correlaton matrx so that the model matches the swaptons data. More specfcally the calbraton s all about fndng the year forward rate volatltes that matches the swaptons data. The thess focuses on two dfferent approaches to specfy the volatltes. Rebonato proposes to determne the forward rate volatltes by means of a parametrc form wth few parameters. By mnmzng the dscrepances between the swaptons data and the model mpled swaptonvolatltes the optmal parameters are found. Brgo on the other hand proposes to use a cascade calbraton methodology that s very fast and allows you to calculate the forward rate volatltes one by one. In prncpal no optmzng routne s carred out usng ths methodology. However the thess shows that Brgo s methodology s very senstve to the propertes of the swaptons data and a smoothng of the swaptons volatltes has to be enforced n order to get sensble forward rate volatltes. Both approaches work rather well and both gve satsfactory results. Brgos approach s preferred snce t s very fast approxmately 5 mn. compared to mn. (Rebonato). The fnal part of the thess shows how to prce CMS floors wth Monte Carlo smulatons. It s shown n the paper how to speed up the convergence usng several meth- II

4 ods. By usng antthetc varables and Kontrol Varat technque t s possble to reduce the computaton tme by 90-95%. The paper prces 5 dfferent CMS floors (dfferent maturty and tenor) and the computaton tme for these 5 products s 3 mn.03 sec. The analyss shows that factor n the LMM s enough to prce the CMS floors satsfactorly. Also the smulated prces are compared to approxmated prces. Compared to each other one fnds consderably dfferences statng the need for an nterest rate model combned wth smulaton to value a CMS floor correct. For nstance the smulated prce for a 0 year opton on the 20 year swap rate s calculated to be approxmately 309% of the nomnal prncpal. The approxmated prce for ths CMS floor s approxmately 346%.e. a dfference of 37 bass ponts. Fnally the paper nvestgates the CMS floor further and conducts prce senstvty analyss. Most mportantly ths analyss shows dfferent ways for the Insurance & Penson companes to buy an approprate CMS floor that matches specfc needs. III

5 Indholdsfortegnelse Indlednng.... Uddybnng af emne....2 Afhandlngens struktur Afgrænsnnger Pensonssektoren rentegaranter og afdæknngsmulgheder Asset-Lablty management pensonsselskaber Pensonssektorens brug af rentedervater Plan-vanlla rentedervater Swaptoner CMS floor Sammenlgnng af rentedervater CMS og CMS floor Gennemgang af prsfastsættelse Approksmaton vha. swaptoner Konvekstetsusterng Prsfastsættelse af CMS floor med rentestrukturmodel Opdelng af swaprente volatltet Mulgheder for valg af rentestrukturmodel Introdukton tl rentestrukturmodeller Den deelle rentestrukturmodel Typer af rentestrukturmodeller Valg af rentestrukturmodel LIBOR Market Model (LMM) Specfkaton af korrelatonsmatrce og krav tl loadngs Specfkaton af volatlteter...37 IV

6 6 Kalbrerng af LMM Valg af kalbrerngsnstrument Approksmaton tl swaptonvolatlteter Kalbrerng af korrelatoner Kalbrerng af volatlteter Rebonato s metode Brgo s metode Datagrundlag Forwardrenter Swaptonvolatlteter Resultater fra kalbrerng Beregnng af markedskorrelatonsmatrcen Kalbrerng af modelkorrelatoner antal faktorer Kalbrerng af -årge forwardrente volatlteter Renonato s metode Brgo s metode Udglatnng af swaptonvolatlteter Modelvalderng Prsfastsættelse af CMS floor vha. Monte Carlo Forbedrng af Monte Carlo Smulaton Konvergens/Valg af parametre Resultater af prsfastsættelse Approksmatv prsfastsættelse og uddybnng af Kontrol Varat...83 Følsomhedsanalyse Rente følsomhed Strkefølsomhed Volatltetsskævhed CEV model Volatltetsfølsomhed Konkluson...95 Ltteraturlste...99 Blagssamlng:...02 CD vedlagt V

7 Oversgt over fgurer: Nummer Tekst Sde 2- Cashflow smpel renteswap Standard recever CMS 2 3- Udvklng volatltetsstruktur årge Forwardrente volatlteter Illustraton af kalbrerngsproces Pvotpunkter korrelatonsmatrce Sammenhæng mellem swaptonvolatlteter og -årge forwardrente volatlteter Forwardrentekurver ved Swensson og Nelson Segel De hstorske korrelatoner mellem forwardrenter Swaptonvolatlteter lneær nterpoleret Markedskorrelatoner (S&C) Markedskorrelatoner (Rebonato) Kalbrerede modelkorrelatoner Udvklng -årge volatlteter (Rebonato) Udvklng caplet volatlteter (Rebonato) Udvklng -årge volatlteter (Brgo) Udvklng caplet volatlteter (Brgo) Udvklng -årge volatlteter (Brgo smoothed) Udvklng caplet volatlteter (Brgo smoothed) Konvergens for CMS 0x20 (Uden Kontrol Varat) Konvergens for CMS 0x20 (Med Kontrol Varat) Prs på CMS floor letter 80 - Udvalgte produkters rentefølsomhed 85-2 Prsen som funkton af strke 88-3 Delta CMS floor letter 89-4 Strkenveau og 20-årge forwardswaprenter 90-5 Capvolatlteter på tværs af strke 90-6 Påvrknng af skævhedsparametren 9-7 Prsens påvrknng af strke (LMM og CEV) 92-8 VEGA for CMS floor letter 93-9 Nulkuponprs ganget kvadratet af tden 94 VI

8 Oversgt over tabeller: Nummer Tekst Sde 2- Pensonssektorens aktvsammensætnng og afkast 7 opgort tl markedsværd 2-2 Fordelng af kontraktværder på underlggende aktv markedsværder Ma. kr ATM Euro-6 mdr. EURIBOR Swaptonvolatlteter 3/ Resultater S&C Resultater Rebonato Beregnngstder for de enkelte modeller Fel ved smoothng af swaptonvolatlteter Prsafvgelser Market/BRIGO Prsafvgelser Market/REBONATO Optmal smulerng afhængg af faktorer CMS floor prser (med Kontrol Varat) % Konfdensnterval for CMS floor Approksmatve prser kontra smulerede prser 83 VII

9 Oversgt over lgnnger: Nummer Tekst Sde 3- Prslgnng CMS Swaprenten som funkton af nulkuponoblgatoner Prslgnng CMS floor Prslgnng recever swapton Blackformel for recever swapton Approksmatvt forhold mellem CMS floor let 7 og recever swaptoner 3-7 Approksmeret blackformel for CMS floor let Forskel rskomål Forventnng tl swaprenten under forwardmålet Blackformel konvekstetsusteret CMS floor let 9 3- Swaprenten som funkton af forwardrenter Approksmeret swaprente Approksmeret swaprente volatltet 2 5- Proces for forwardrenter under LMM Forwardrentens proces under rollng forward mål Formel for modelkovarans Formel for markedskovarans Overgang mellem model- og markedskovarans Komponenter af forward volatlte Formel for Modelkorrelaton Reduceret proces for forwardrenter Dskret proces m. -årge volatlteter Faktorloadngs ud fra vnkelbetragtnng Omskrevne vnkler Sammenhæng mellem Black capletvolatlteter 37 og dskrete volatlteter 5-3 Rebonato s volatltetsformulerng Approksmaton af swaprente volatltet Nye vægte tl swaprente volatltet Korrgeret approksmaton af swaprente volatltet 4 med nye vægte 6-4 Formkorrgerede swapvægte Endelg approksmaton af swaprente volatltet Rebonatos formulerng af korrelatonsmatrcen (REB3) Schoenmaker og Coffey formulerng af 44 korrelatonsmatrcen (S&C3) 6-8 Pvot udregnng af S&C Pvot udregnng af REB BRIGOs Algortme tl udregnng af -årge 48 forwardrente volatlteter 6- Andengradslgnng BRIGOs algortme C konstant andengradslgnng 48 VIII

10 Lgnnger fortsat. Nummer Tekst Sde 7- Swenssons formulerng af nstane forwardrenter Nulkuponoblgatonsprser vha Swenssons formulerng Formel tl udglatnng af swaptonvolatlteter Forwardrenteproces tl smulerng Forwardrenteproces ved øgnng af antal steps Prsfastsættelse af CMS floor under rollng forward mål Forventet prs ved Monte Carlo Standard error ved Monte Carlo Konfdensnterval for forventet prs Prs ved Kontrol Varat Standard error ved Kontrol Varat Prsfastsættelse af Kontrol Varat 75 - Forwardrente proces ved CEV 9 IX

11 Indlednng Et rentedervat er et aktv hvs værd på en eller anden måde afhænger af hvordan en bestemt rente udvkler sg over td. Der er kommet meget fokus på dsse produkter gennem de sdste 2 årter og volumen dverse produkter er nærmest eksploderet. I bund og grund handler rentedervater om at kontrollere rsko overfor specfkke bevægelser renten og takt med den øgede fokus på dsse produkter er der blevet udvklet mange nye produkter som er desgnet tl specfkke formål. Dette har gen bevrket et øget fokus på selve prsfastsættelsen som ofte kan være særdeles komplceret takt med at produkterne blver mere komplcerede og eksotske. I modsætnng tl prsfastsættelsen af aktebaserede dervater nvolverer prsfastsættelsen af rentedervater ofte at man er nødsaget tl at modellere flere varable da mange produkter afhænger af flere renter eller hele rentestrukturkurven. Dette gør at man mange tlfælde er nødt tl at opstlle en rentestrukturmodel som har nogle passende og realstske egenskaber for at fnde præcse prser.. Uddybnng af emne V har valgt at fokusere på prsfastsættelse af CMS floors ford produktet gennem de sdste år er blevet meget populært og er klart det mest anvendte renteprodukt pensonssektoren. Dette hænger kort fortalt sammen med at pensonssektoren gennem de sdste 0 år er kommet under gevaldgt pres for kke at kunne ndfr deres rentegaranter som følge af det faldende rentenveau kombneret med faldende aktemarkeder. Som v vl forklare så er en CMS floor en effektv afdæknng af denne rsko det den gver et afkast når den aftalte rente falder under et på forhånd aftalt strkenveau. Derved får pensonssektoren mulghed for at afdække sg mod yderlgere rentefald. Opgaven er skrevet ud fra en vlkårlg pensonskasses synspunkt hvor formålet er at erhverve en CMS floor for at beskytte sg mod rentefald. I det tlfælde er det vgtgt at kunne opgøre værden af produktet så præcst som mulgt. Det er der flere grunde tl. For det første skal pensonskassen ud at købe produktet af en større nvesterngsbank og bør derfor have en dé om hvor prsen på produktet lgger. For det andet skal pen-

12 sonskassen ævnlgt opgøre dervatet tl markedsværd både som en del af regnskabsaflæggelse og som en del af Fnanstlsynets gule og røde scenarer. Prsfastsættelse af mange rentedervater kræver at man opstller en rentestrukturmodel og bruger denne kombneret med numerske metoder tl at udregne prser. Omvendt vl man mange tlfælde ved hælp af Black s formel (med modfkatoner) kunne komme tæt på de samme prser som man kan opnå ved brug af komplcerede og tdskrævende modeller. Som v vl påpege så er problemet dog med at anvende varanter af Black s formel at den kke er konsstent når v på samme td ønsker at prsfastsætte flere typer af rentedervater eksempelvs caps og swaptoner. For at opnå konsstente prser på flere forskellge rentedervater er man derfor nødt tl at opbygge en decderet model som tager høde for hele rentestrukturen. Men det er dog væsentlgt at gøre sg nogle overveelser omkrng hvad man opnår ved at bruge en komplceret model og hvorfor man skal bruge td på at opstlle dsse modeller. V har bestræbt os på at anlægge en praktsk synsvnkel på emnet hvor ønsket fra vores sde har været at fokusere på selve mplementerngen af en Lbor Market Model (fremover forkortet LMM) samt prsfastsættelse af CMS floors. En stor del af arbedet med mplementerngen af en model er selve kalbrerngen af modellen hvlket dermed blver en meget central del af opgaven. V har vores opgave fundet megen nspraton Rebonato ( a 2000) Hull (2000) og Brgo (200). Dsse forfattere har emprsk undersøgt og mplementeret LMM med det formål at prsfastsætte swaptoner. Kalbrerng betyder groft sagt at man tlpasser parametrene en model så den matcher markedet på prsfastsættelsestdspunktet. Kalbrerngen af LMM kan deles op 2 dele. Den første del er at modellere korrelatonerne mellem forwardrenter så de matcher korrelatonerne markedet nogenlunde samtdg med at korrelatonerne får nogle pæne egenskaber. En stor del af problematkken kalbrerngen af korrelatonerne lgger at det er svært at udtrække nformaton herom markedet og man derfor er nødt tl at tage udgangspunkt hstorske korrelatoner. Dette er problematsk da de Fnanstlsynets gule og røde scenarer (også kaldt trafklys ) beskrver forskellge stresstests som pensonsselskaberne vurderes på og skal opfylde 2

13 hstorske korrelatoner tt ndeholder uheldge egenskaber og der er derfor brug for en vs grad af udglatnng. Tl løsnng af dette vl der blve hentet nspraton Rebonato (999999a) og Schoenmakers J. Coffey B. (2000) som begge anbefaler en vs parametrserng af korrelatonerne. Det andet step består at modellere volatlteterne på forwardrenterne så dsse sammen med korrelatonerne matcher de observerede swaptonvolatlteter. Kort fortalt kan swaptonvolatlteter ses som en funkton af forwardrente volatlteter og eksogene korrelatoner. Der fndes ltteraturen flere metoder tl at løse volatlteterne på hvor Brgo (200) anbefaler at tage udgangspunkt swaptonvolatlteterne og bruge en numersk metode tl at fnde volatlteterne mens Rebonato (999) anbefaler en parametrserng af volatlteterne og derefter en optmerng tl swaptonvolatlteterne. Begge metoder vl blve uddybet og analyseret opgaven. Efter mplementerng af LMM vl v prsfastsætte produktet og vurdere produktets egenskaber. Der vl den forbndelse blve draget forbndelse tl approksmatve prsformler på CMS floors med henblk på en vurderng af relevansen af en komplceret model. Selvom prsen på CMS floors sg selv er nteressant for pensonsselskabet er det mndst lge så vgtg at kende dets følsomhed overfor ændrnger nputparametre hvlket afslutnngsvst er undersøgt. Herunder er vst produktets følsomhed for volatltetsskævheder og den forbndelse er der mplementeret en CEV model 2. De centrale temaer opgaven blver derfor at: Belyse forskellge rentedervater deres egenskaber samt deres anvendelse pensonssektoren med fokus på CMS floors Gennemgå og mplementere LMM med fokus på forskellge kalbrerngsteknkker Prsfastsætte CMS floors og uddybe produktet mht. rskoegenskaber 2 Constant Elastcty Volatlty - Andersen L. Andreasen J. (2000). Dette vl dog kke blve gennemgået grundgt men tener mere tl formål at llustrere problematkken omkrng antagelsen om konstant volatltet på tværs af strke. 3

14 .2 Afhandlngens struktur Afhandlngen er overordnet set opdelt 5 dele: Kaptel 2 uddyber rentegaranterne pensonssektoren og behandler dens behov for afdæknng. Herunder ntroduceres kort en række rentedervater tl dette formål samt pensonssektorens aktuelle brug af rentedervater. Kaptel 3 uddyber produktet CMS floor herunder dets opbygnng og krav tl prsfastsættelsen. Kaptel 4 og 5 behandler generel teor omkrng rentestrukturmodeller og uddyber det teoretske fundament for Lbor Market Modellen (LMM). Formålet med dsse kaptler er at skabe fundamentet for mplementerng af en rentestrukturmodel. Kaptel 6-8 beskrver teoretske overveelser omkrng kalbrerng af LMM. Kaptel 6 går dybden med forskellge måder at kalbrere modellen tl korrelatoner og volatlteter. Kaptel 7 beskrver datagrundlaget som består af hstorske forwardrenter og swaptonvolatlteter. Kaptel 8 præsenterer resultaterne af kalbrerngen og vurderer de forskellge måder at kalbrere på. Kaptel 9 uddyber teoretske overveelser omkrng mplementerng af prsfastsættelsesmetode. Her vl Monte Carlo teknkken blve gennemgået samt hvorledes forskellge teknkker kan forbedre nøagtgheden og konvergenshastgheden. I kaptel 0 vl resultaterne af prsfastsættelsen blve præsenteret og efterfølgende kaptel vl prsfølsomheden mht. forskellge nputparametre på CMS floor blve undersøgt. Kaptel 2 afrunder opgaven og opsummerer de væsentlgste elementer afhandlngen..3 Afgrænsnnger Mndre afgrænsnnger foretages løbende gennem afhandlngen medens nedenstående afgrænsnnger har betydnng for afhandlngens opbygnng og problemstllnger. Det er valgt denne afhandlng at fokusere dybdegående på CMS floors med udgangspunkt dets populartet pensonssektoren. CMS floors er på ngen måde det 4

15 eneste rentedervat som anvendes og en anden nteressant problemstllng kunne have været at undersøge andre rentedervater dybdegående eksempelvs bermudanske/amerkanske swaptoner. Det er desuden valgt kke at tage udgangspunkt et specfkt pensonsselskabs behov for afdæknng men stedet at anlægge en mere overordnet ndfaldsvnkel. Problemstllngen omkrng hvlke modeller som kan anvendes tl prsfastsættelsen af CMS floors er selv nteressant. Dette er dog kke en problemstllng v vl gå væsentlgt dybden med. Der ekssterer mange modeller som alle har deres fordele og ulemper og som også vl kunne bruges tl at prsfastsætte CMS floors. I denne opgave har v dog valgt kun at fokusere på én model nemlg en LIBOR model. Dette har v gort ford v ønsker at fokusere på selve prsfastsættelsen og de problemstllnger der er forbundet med mplementerngen af en rentestrukturmodel. Derfor har v vurderet at det vlle blve for omstændelgt at nkludere flere modeller analysen. V har endvdere valgt kke at medtage volatltetskævhed LMM da dette gør kalbrerngsprocessen for komplceret. Som nævnt vl v dog kort ntroducere CEV og vse prsforskelle. V har valgt at mplementere en model med det formål at kunne prsfastsætte CMS floors tlstrækkelg nøagtgt. En vgtg del her er at bestemme hvor mange underlggende stokastske faktorer som skal nkluderes modellen. Denne vurderng vl v udelukkende foretage ud fra et prsfastsættelsessynspunkt. Flere forfattere bl.a. Fan et al (2002) vser dog at modellers anvendelghed forbndelse med dynamsk hedgnng høere grad afhænger af antallet af faktorer hvormod få faktorer på et gvet tdspunkt tt vl være tlstrækkelgt tl at kunne prsfastsætte et produkt tlfredsstllende. V vl dog kke gå nd denne problemstllng omkrng hedgnng. 5

16 2 Pensonssektoren rentegaranter og afdæknngsmulgheder Pensonsselskaberne har de seneste år været under heftg beskydnng fra flere sder. Årsagen er de rentegaranter som pensonsselskaberne har udstedt tl deres kunder gennem en lang årrække. Tlbage 980 erne hvor rentenveauet var oppe at toppe omkrng 20% vakte rentegaranterne kke den store bekymrng hos hverken pensonsselskaberne kunderne eller den danske stat. Den maksmale garantrente blev 982 sat tl 45%. Den maksmale tlladte garantrente er senere hen blevet mndsket af flere omgange takt med det vedvarende rentefald op gennem 90 erne. Men faldet rentenveauet sden starten af 80 erne tl dag har medført bekymrng for om pensonsselskaberne kan ndfr rentegaranterne. Dette har blandt andet resulteret at staten har set sg nødsaget tl at ntervenere og har udarbedet tltag for at undgå en større krse med konkurser sektoren tl følge. Der er bl.a. blevet ændret på skattesatserne for pensonsbeskatnngen ndført en maksmal opgørelsesrente tl værdansættelse af hensættelserne og udarbedet stresstests tl at vurdere det enkelte selskabs rsc og kaptalgrundlag 3. Ultmo 998 skønnedes det af branchens organsaton Forskrng og Penson at de 45 % garanterede beløb udgorde ma. kroner de 425 % garanterede beløb udgorde ca. 00 ma. kroner samt at de 25 % garanterede beløb udgorde ca. 30 ma. kroner 4. Det er altså med andre ord betydelge beløb som er underlagt dsse garanter og beløbene må forventes at vokse da størstedelen af kunderne stadg ndbetaler præmer tl de høe garanterede renter. Pensonsselskaberne er kommet problemer ford rentefaldet har ndsnævret den skkerhedsmargn der er mellem selskabernes nvesterngsmulgheder markedet og den garanterede forrentnng på op mod 45 % 5. 3 Der tænkes her på de af Fnanstlsynet udarbedede gule og røde scenarer. 4 Anders Grosen & Peder Harberg (999) 5 Anders Grosen (2002) 6

17 Tabel 2-: Pensonssektorens aktvsammensætnng og afkast opgort tl markedsværd Eendomme Kaptalandele Oblgatoner Øvrge aktver Aktver alt Ma kr Værd Andel % Afkast % Værd Andel % Afkast % Klde: Markedsrapport 2002 fra Fnanstlsynet Værd Andel % Afkast % Værd Andel % Afkast % Værd Afkast % Mange pensonsselskaber har måske satset for meget på aktemarkederne 90 erne og reddet med på bølgen. Problemet har været at omlægnng tl de mere skre oblgatoner kun lge akkurat har kunnet generere et efter-skat afkast som har været tlstrækkelg tl at dække de garanterede 45 %. Således ses det af tabel 2-6 at afkastet på aktverne 200 og 2002 eksempelvs var henholdsvs 9% og 3%. Store fald på aktemarkederne gennem nogle år kombneret med stadg faldende rentenveau gør netop at en omlægnng er problematsk det der er rsko for at genplacerngsrenten vl ende med at blve lavere end den garanterede rente. Som Lund (200) påpeger kan pensonsselskabet ende den paradoksale stuaton at en 00% omlægnng tl oblgatoner kke længere kan dække de garanterede forplgtelser hvlket medfører at selskabet er nødt tl at holde en tlpas hø akteandel (læs: Påføre sg endnu mere rsko) hvorved selskabet så rskerer en endnu større underdæknng. Med andre ord: Skruen uden ende. Den lange rente Danmark lå ultmo 2003 effektvt omkrng % hvlket betyder at efter-skat afkastet på dsse lange oblgatoner stadg lgger meget tæt på de garanterede renter. Som tabel 2- også vser har pensonsselskaberne gennem de sdste par år nedsat sn relatve aktebeholdnng betragtelgt både som følge af frasalg og tabt markedsværd. Desuden er oblgatonsbeholdnngen blevet forøget hvlket kan ses som et forsøg på at skfte tl mere skre oblgatoner. 6 Fnanstlsynet (2002) 7

18 2. Asset-Lablty management pensonsselskaber Det er nteressant at se nærmere på det enkelte selskabs aktv- og passvsde for at undersøge hvlke mulgheder selskabet har for at føre en fornuftg nvesterngspoltk. Som Lund (200) påpeger så er råderummet for nvesterngspoltkken sær bestemt af to forhold: Forskellen mellem genplacerngsrenten og garantrenten samt størrelsen af selskabets bonusreserver fra tdlgere års afkast. De allerede afgvne rentegaranter på 45 % lgger fast og kan kke nedsættes medmndre selskabet kommer under admnstraton dvs. blver nsolvent. Med andre ord er selskabets prmære opgave at sammensætte den nvesterede porteføle dvs. aktvsden således at selskabets forplgtelser kan honoreres samt at føre en forsgtg og ansvarlg bonuspoltk. Med dette menes at et enkelt års godt afkast eksempelvs kke fører tl skyhøe kontorenter 7. Styrngen af rentegaranterne er stor udstræknng et spørgsmål om asset-lablty management. Problemet for pensonsselskaberne er at passvsden har en lang varghed på ca år. Det er praktsk talt umulgt at matche dsse vargheder på aktvsden ved hælp af det danske oblgatonsmarked. Det danske marked for nkonverterbare oblgatoner er kke tlstrækkelgt stort tl at matche pensonsselskabernes 45% garanterede forplgtelser. Pensonsselskaberne har dog den mulghed at supplere med eurobaseret oblgatoner. En anden mulghed for pensonsselskaberne er at købe realkredt oblgatoner. Realkredt oblgatoner har dog den ulempe at sandsynlgheden for at de blver konverteret stger betragtelgt ved rentefald. Derved står selskaberne med det problem at de tvnges tl at gennvestere deres kaptal tl en lavere genplacerngsrente hvlket naturlgvs kke er særlg attraktvt. Denne genplacerngsrsko skal pensonsselskaberne så vdt mulg tage høde for deres afdæknng sær hvs de har en stor del af præmerne placeret realkredtmarkedet. Dette gør at pensonsselskaberne typsk må acceptere et vs msmatch mellem aktverne og passverne. For at forstå dette msmatch bedre og hvordan selskaberne delvst kan mndske det foreslår Baun & Smonsen (200) at man opdeler renterskoen en økonomsk eksponerng og en regnskabsmæssg eksponerng. Den økonomske eksponerng består at selskabet på længere sgt kke opnår en tlstrækkelg forrentnng af pensonsopsparngen tl at opfylde de afgvne garanter. Den regnskabsmæssge eksponerng opstår 7 Jesper Lund (200) 8

19 ford der på kort sgt skal hensættes mdler som skkerhed for de afgvne garanter. Fra og med 2003 kan pensonsselskaberne opgøre deres passver tl markedsværd. Før dette blev hensættelserne størrelse groft sagt bestemt ved at tlbagedskontere de lovede ydelser med enten garantrenten (grundlagsrenten) eller den maksmale opgørelsesrente for derved at nå frem tl en nutdsværd af forplgtelserne. Desto høere grundlagsrenter på kontrakterne desto høere garanterede ydelser for samme præmendbetalng. Dette bevrker at selskaberne med høere grundlagsrenter er mere sårbare overfor rentefald. Msmatch et mellem passverne (de garanterede ydelser) og aktverne gør at de garanterede ydelser stger mere end værdstgnngen på aktvsden ved rentefald. Dette gør at rentefald tærer på selskabets reserver og sdste ende dets egenkaptal. Igen er en vgtg ponte her at o større garantrenter et selskab praktserer desto større andel af passverne vl være bundet garanterede ydelser. Dette bevrker alt andet lge at dsse selskaber er yderst sårbare overfor rentefald da de kke har en tlstrækkelg buffer at tære på før rentefaldet slår gennem på egenkaptalen. 2.2 Pensonssektorens brug af rentedervater I prakss er størrelsen af de fre reserver som sagt med tl at opfange/afdække dette msmatch mellem aktver og passver. En åbenlys løsnng er at benytte sg af renteoptoner. For at skre sg mod rentefald og gennvesterngsrskoen kan pensonssektoren nvestere renteoptoner for dergennem at øge vargheden på aktverne samtdg med at de skrer bedre mulgheder for økonomsk at leve op tl de afgvne garanter på 45 %. Ifølge Fnanstlsynet (2002) anvender alle de større selskaber dag afledte fnanselle nstrumenter tl at afdække rente- akte- og valutarsko. Som det ses af tabel 2-2 så er de mest udbredte renteprodukter på nuværende tdspunkt swaptoner og CMS floors. Tabel 2-2: Fordelng af kontraktværder på underlggende aktv markedsværder Ma. kr. Rente Øvrge Swaptons CMS-floors rentedervater Akte Valuta alt Klde: Markedsrapport 2002 fra Fnanstlsynet 9

20 I det følgende vl v kort gennemgå de forskellge rentedervater som anvendes pensonssektoren tl afdæknng af rentefald og hvorfor CMS floor er så populært Plan-vanlla rentedervater Der fndes en række såkaldte plan-vanlla rentedervater dvs. dervater som er meget smple og lette at prsfastsætte. Dette er eksempelvs renteswaps -caps og -floors. Dsse produkter er ekstremt lkvde og handles for mange ma. kr. hver dag. En swap er en ret(og plgt) tl at bytte en fast betalng tl en flydende betalng. Ganske enkelt foregår det ved at A aftaler at betale B et cashflow svarende tl forudsat fast rente af en hovedstol et fastlagt antal år. Samtdg betaler B tl A et cashflow svarende tl en forudbestemt flydende rente af samme hovedstol samme perode. Den flydende rente kan f.eks bestemmes tl at være den korte EURIBOR LIBOR eller for den sags skyld CIBOR. Det kan enten foregå va et mellemled som nedenstående llustraton vser eller det kan foregå drekte med en anden nvestor som har det modsatrettede behov. Fgur 2-: Cashflow smpel renteswap 6-mdr Eurbor 6-mdr Eurbor Investor (Pensonsselskab Investerngs bank Marked Fast rente Fast rente Note: Fguren vser cashflow en smpel renteswap hvor nvestor modtager fast rente. Den vser endvdere nvesterngsbanken nterakton med et marked Renteswap handles ud fra swaprenter hvlket svarer tl den faste rente der gver en kontrakt en værd på 0. Dsse er meget lette at udregne ud fra forwardrentekurven. Dette skyldes at man kan hedge en swap ved at ndgå forward rate agreements (FRAs) og samtdg er det også let løbende at vurdere værden af en ndgået swap. En swap hvor man modtager den faste rente kaldes en recever swap og payer swap er betegnelsen når man betaler den faste rente. 0

21 En cap er en ret tl kun at modtage de postve betalnger en payer swap dvs. man er beskyttet mod rentestgnng. Modsat er en floor retten tl kun at modtage de postve betalnger en recever swap m.a.o. beskyttelse mod rentefald. Den store forskel fra en swap lgger prsfastsættelsen hvlket kan ses ved at se på hvordan en cap skal hedges. En cap består af en række capletter med udløb på hvert reset. Dsse hedges enkeltvs ved at have en gven mængde delta forwardstart payer swap. Hvs den flydende rente ender over den faste rente skal man ende med at have præcs én swap modsat skal man have præcs 0 swap. Altså på samme måde som man hedger en call eller put opton. Mængden skal løbende usteres afhængg af forventnnger tl fremtdge renter og man kan derfor aldrg hedge sg 00%. Dsse plan-vanlla dervater er høst sandsynlg de produkter som dækker over betegnelsen øvrge dervater tabel 2-2. Med andre ord er de altså kke særlgt udbredt Swaptoner En swapton er en rettghed tl at ndgå ovenstående beskrevet swap på et fremtdgt tdspunkt heraf navnet swapton (Opton på en forwardstart swap). Hvs man sammenlgner swaptoner med caps kan det ses at køberen af en cap får mulgheden for på hvert opgørelsestdspunkt (reset) at låne tl den laveste rente af LIBOR og caprenten (strke). Omvendt så har swaptonen kun én opton ndbygget sg da man på optonens udløbstdspunkt vælger om man vl swappe eller e. Med andre ord kan man se en cap som en porteføle af optoner hvormod swaptonen kan ses som én opton på en porteføle. Det vl sge at cappen gver mere fleksbltet men må alt andet lge også forventes at være dyrere. Der fndes flere typer af swaptoner afhængg af ndehaverens exercsemulgheder. En standard europæsk opton gver ndehaveren mulghed for at exercse ved optonens udløb. På tlsvarende vs fndes der bermudanske og amerkanske optoner som gver ndehaveren flere exercsemulgheder og dermed også mere fleksbltet. Dsse er tl gengæld også alt andet lge dyrere.

22 2.2.3 CMS floor En standard CMS består lgesom en almndelg swap af to ben et flydende og et fast. Se fgur 2-2. I forhold tl en almndelg renteswap er det flydende ben en CMS normalt en lang swaprente hvor det en almndelg renteswap eksempelvs er 6 mdr. EURIBOR renten man swapper tl. Fgur 2-2: Standard recever CMS x-års swaprente Investor (Pensonsselskab Investerngs bank afdæknng Marked Fast rente Note: Fguren vser cashflow en standard recever CMS hvor nvestor modtager fast rente. Den vser endvdere nvesterngsbanken nterakton med et marked En CMS floor er kort fortalt en floor som gver ndehaveren betalng hvs den aftalte swaprente er under den aftalte strkerente. Der er altså en klar sammenhæng mellem en almndelg plan-vanlla floor og en CMS floor. Den afgørende forskel er at referencerenten en CMS floor har en længere løbetd. 2.3 Sammenlgnng af rentedervater De ovenstående rentedervater har forskellge rskoegenskaber. Som tabel 2-2 vste er swaptoner og CMS floors de mest udbredte renteprodukter. Såfremt et selskab ønsker at afdække ved hælp af swaptoner er der meget der taler for at dsse skal være amerkanske eller bermudanske. Problemet ved at købe en europæsk swapton er at denne kun dækker rentegaranten på exercse tdspunktet hvorfor det vl være nødvendgt at erhverve flere swaptoner for at skre sg en løbende afdæknng. Omvendt gver en bermudansk swapton mere fleksbltet ford optonen så fald kan exercses på flere tdspunkter. Prsen for en bermudansk swapton kontra en europæsk er naturlgvs også tlsvarende dyrere. Idéen at købe en swapton er at selskabet gver sg selv mu- 2

23 lgheden for på et senere tdspunkt at erhverve lange oblgatoner som gver en tlstrækkelg rente tl at dække garantrenten. Som nævnt er oblgatonsmarkedet Danmark begrænset set fra et lkvdtetsmæssgt synspunkt og forhold tl pensonssektorens potentelle nvesterngsbehov. Derfor er der meget der taler for at selskaberne køber optoner EURO med henblk på at kunne erhverve oblgatoner EURO på et senere tdspunkt. Dette ntroducerer naturlgvs også en valutakursrsko men denne kan også afdækkes. Som det ses af tabel 2-2 gør pensonsselskaberne også stor brug af valutaoptoner.. En CMS floor har den fordel at den typsk løber en længere perode (0-20 år) med årlg afregnng. Det vl sge at selskabet opnår en løbende afdæknng af den lange rente hvlket o er en fordel ved et lavt rentenveau tæt på garantrenten. Først og fremmest gver en CMS floor vurderet fra vores synspunkt mere fleksbltet end swaptoner. Som nævnt ndeholder en CMS floor flere optoner eksempelvs én hvert år. En swapton ndeholder kun én opton. Typsk er den underlggende rente en CMS floor en lang swaprente (5-20 år) hvlket gør den mere attraktv tl at afdække længere postoner. Dette gver en god beskyttelse mod den regnskabsmæssge rsko da værden af optonen vl stge takt med et faldende rentenveau hvlket vl være med tl afhælpe de stgende hensættelser ved et fald renten. Det er dog også værd at bemærke at købet af en CMS floor kke automatsk skrer pensonsselskabet forhold tl rentegaranterne. Ved at købe en CMS floor skrer pensonsselskabet sg en løbende kompensaton ved et lavt rentenveau en (delvs) afdæknng af den regnskabsmæssge rsko og de afdækker sg fra gennvesterngsrskoen for en oblgatonsporteføle. Men den fuldstændge afdæknng af rentegaranten skres stadg kun ved at selskabet er vllg tl at nvestere en tlstrækkelg stor del af deres kaptal oblgatoner tl med skkerhed at kunne generere et tlstrækkelgt stort afkast. 3

24 3 CMS og CMS floor I dette afsnt vl egenskaberne for CMS og CMS floors med henblk på den egentlge prsfastsættelse blve gennmgået. Efterfølgende vl der blve set på de mulgheder der fndes tl selve prsfastsættelsen. 3. Gennemgang af prsfastsættelse En standard CMS er som tdlgere nævnt en swap som gver forskellen mellem en fast strkerente og en swaprente. Der vl blve fokuseret på CMS er som gver betalng på samme td som opgørelsestdspunktet for swaprenten. Dette kaldes ltteraturen Payment-n-arrears men der fndes også CMS er hvor betalngen først sker på et senere tdspunkt f.eks. næste opgørelsestdspunkt. En CMS kan ses som en porteføle af n underlggende CMS letter med opgørelsestdspunkterne { T T } T n som hver gver forskellen mellem de to renter. Ved en hovedstol på L er prsen på en CMS med ret tl at modtage fast strkerente og betale den c årge swaprente n år (recever CMS): CMS = L E = L n Q = n = P(0 T D(0 T ) ( K S c ( T ) ) Q [ E ( K S c ( T ) )] ) Lgnng 3- hvor K er strkerenten P er nulkuponprser (dskonterngfaktoren) og swaprenten S c t ( ) er den faste som gver en c-årg forwardswap med ndgåelse på tdspunkt T - værden nul 9. Swaprenten kan beregnes som en funkton af nulkuponoblgatoner: () t P S c = c k = ( t T ) P( t T c ) P( t T ) k Lgnng Det antages at der kun er en betalng hver år dvs. T 0 svarer tl år efter ndgåelse af kontrakt 9 Normalt skrves CMS på en swaprente hvor det flydende ben er halvårlg betalng af 6 mdr renten (EURIBOR/CIBOR) og årlg fast ben da dsse er de mest handlede. Men fremover er det forenklet tl både årlge flydende og fast ben 4

25 Lne lgnng 3- beskrver prsfastsættelsen baseret på rskomålet Q dvs. det samme som Black & Scholes (973) bruger tl at prsfastsætte betngede fordrnger. Dette er f. Geman et al (995) mdlertd en uheldg måde at prsfastsætte på sær når man regner med stokastske renter. Derfor anvendes den specelle change-of-numera teknk som ændrer hvlket mål man foretager udregnngerne på. I lne 2 baseres beregnngerne på forward målet Q - dvs. man er en verden som er rskofr ud tl tdspunkt - og derfor kan man bruge den dskonterngsfaktor man kender dag. Det som kræves for at prsfastsætte CMS en er dermed forventnngen tl swaprenten på tdspunkt -: Q Ε ( K S ( T )) c Den eneste forskel mellem en recever CMS og en CMS floor er at der er nkluderet et optonselement så der kun blver swappet hvs det er fordelagtgt for køberen dvs. når swaprenten er under strkerenten. Dette gør selvsagt produktet dyrere og ldt mere komplceret. Den samlede værd af en CMS floor med hovedstol L skrevet på den c-årge swaprente n år er 0 : L Ε = L Q n = n = P D ( ) ( 0 T ) K S ( T ) ( ) Q ( 0 T ) Ε K S ( T ) c c Lgnng 3-3 Prsen kan altså ses som en sum af de underlggende CMS floor letter og på samme måde som ved den almndelge CMS er der brug for forventnngen tl swaprenten på tdspunkt -. Det der påvrker prser på CMS floor letterne er derfor dynamkken for swaprenten under forwardmålet. Et andet lgnende produkt som også afhænger af 0 Brgo D. Mercuro F. (200) 5

26 6 swaprenten e½r en swapton. I næste afsnt vl v derfor vse hvordan en CMS floor kan approksmeres vha. recever swaptoner. 3.2 Approksmaton vha. swaptoner Prsen på en recever swapton med hovedstol L - dette tlfælde en årg opton på en c årg swap - er : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = ) (0 ) ( ) (0 ) ( ) (0 c Q c c c Q c c Q T S K E T P L T S K T T P E T P L T S K T T P T D E L c Lgnng 3-4 Ovenstående lgnnger vser tre metoder tl at udregne prsen på en swapton ud fra swaprenten. Lne er Q målet lne 2 er forward målet (Q - ) og kan sammenlgnes med prsen på CMS floor letten. Eneste forskel er PVBP-leddet 2 = c T T P ) ( som ganges på payoffet CMS floor letten hvlket skyldes at man en swapton får forskellen mellem strke og swaprente hele den underlggende swapperode. Det kan endvdere ses at prsfastsættelsen af swaptoner under forwardmålet kke kun afhænger af udvklngen swaprenten men også af udvklngen PVBP leddet og sammenhængen mellem dsse to. Sdste lne lgnng 3-5 beskrver den korrekte prsfastsættelse af swaptoner hvor prsen udelukkende afhænger af processen for swaprenten under forwardswapmålet (Q --c ). Under antagelse om at swaprenten Brgo D. Mercuro F. (200) 2 Present Value of a Bass Pont (nutdsværden af et basspunkt betalt under hele swapperoden)

27 7 følger en lognormal fordelng under forwardswapmålet og anvendes Blacks formel fås et lukket udtryk for recever swaptonen: ( ) = c c d N S d N K T P L 2 ) ( (0) ) ( ) 0 ( Lgnng 3-5 hvor ( ) ( ) ln ln = = c c c c T d d T T K S d σ σ σ Hvs man antager at dynamkken for swaprenter approksmatvt er ens under forwardmålet og forwardswapmålet kan man bruge ovenstående Black formel tl at replcere payoffet af en CMS floor let approksmatvt ved at købe = = = = c c c Q T P T P T P T P T T P E 0 ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) ( Lgnng 3-6 recever swaptoner skrevet på samme strke som CMS floor letten hvorved man har en approksmatv prs på en CMS floor let og en smpel måde tl at hedge den 3. Dette er praktsk da der fndes et stort marked for swaptoner og det er derfor let at fnde prsen på swaptonen. Prsen på den te CMS floor let på den c-årge swaprente med hovedstol L blver ganske enkelt: ( ) ) ( (0) ) ( ) 0 ( 2 d N S d N K T P L c Lgnng Der ses bort fra det faktum at de fleste swaptoner handles som cash-settlet hvlket ntroducere et nyt konvekstetsled

28 Problemet ved at bruge dette forsmplede forhold mellem swaptoner og CMS floors er at de to mål kke er helt ens trods forventnngen tages på samme td. Ved hælp af Radon Nkodym teoremet er det mulgt at vse hvad payoffet en CMS floor let er under forwardswapmålet 4 : Ε Q dq dq ( ( )) = Ε c Q K S T K S ( T ) c c ( ) c Lgnng 3-8 Den fel man begår ved at prsfastsætte CMS floor letterne ved at antage at swaprenten er lognormal fordelt under forwardmålet er dermed beskrevet ved leddet: dq dq c Dette led beskrver forholdet mellem de to mål og afhænger af mange tng herunder rentestrukturen fordelngsantagelser osv. Det er mulgt at komme tættere på den korrekte prs ved at konvekstetsustere Black formlen. 3.3 Konvekstetsusterng Der fndes flere måder at korrgere prsen på en CMS floor. De fleste bygger på en antagelse omkrng konvekstetsusterng af swaprenten. En smpel antagelse om at den fremtdge swaprente er lg forward swaprenten dag dvs. ( T ) S ( 0) S c c er kun opfyldt under forwardswapmålet. Det er derfor nødvendg at føe et ekstra led tl forventnngen tl den fremtdge swaprente 5 : Lgnng 3-9: Ε Q T [ S ( T )] c S c (0) 2 S 2 c (0) 2 c ψ ( S ( T ) ψ ( S c c (0)) σ (0)) Konvekstets usterng Brgo D. Mercuro F. (200) 8

29 2 hvor σ ( ) kan approksmeres med swaptonvolatlteten og ψ (x) er prsen c T på tdspunkt t af en oblgaton der har en kuponrente svarende tl swaprenten ved en rente på x. Denne usterng kan uden vdere bruges tl prsfastsættelsen af almndelge CMS er. Når den skal overføres tl CMS floors kræver det en ndarbednng Black formlen. Gatarek (2003) vser at det er mulgt at konvekstetsustere Black formlen så den kan bruges tl at prsfastsætte CMS floors hvs forwardrenter antages at følge LMM dynamkken. Kort fortalt er LMM dynamkken en antagelse om at forwardrenter følger en smpel proces uden drft under forward målet. Denne proces vl blve uddybet et senere afsnt da det er denne proces som er valgt tl den endelge prsfastsættelse. Resultatet af ovenstående blver at den te CMS floor let på den c-årge swaprente med hovedstol L får værden: L ( KN( d ) S (0) N( )) P( 0 T ) 2 c d Lgnng 3-0 hvor d d 2 ln = = d ( S (0)) ln( K ) c σ c T σ c = c Q c T (0) 2 σ 2 c T og konvekstetsleddet Q er defneret som 6 : F ( t) c k = Q c ( t) = c F ( t) k = P( t T ) k P( t T ) k 6 F (t) er forwardrenten på tdspunkt t mellem t() og t() 9

30 Forskellen mellem denne konvekstetsusterng og approksmatonen tl swaptoner blver dermed summen af konvekstetsleddene (Q) som bruges d. Leddet vl altd være postvt og større o længere den underlggende swaprente er. Dermed vl d og d 2 være større end før og N(-d ) og N(-d 2 ) vl begge være lavere. For en ATM 7 CMS floor let vl dette betyde at prsen er lavere med konvekstetsusterngen. Dette betyder altså at man overprsfastsætter ved at approksmere vha. swaptoner. 3.4 Prsfastsættelse af CMS floor med rentestrukturmodel Den trede og mere præcse metode tl prsfastsættelse af CMS floors er at bruge en rentestrukturmodel. Der fndes tre generelle klasser af rentestrukturmodeller: Man kan enten specfcere processen for den korte rente forwardrenterne eller swaprenten. Som tdlgere nævnt handler prsfastsættelsen af CMS floors om at kunne modellere dynamkken for swaprenten. Det vl måske derfor vrke nærlggende at bruge en model som bygger på processen for swaprenten. Dette er dog kke optmalt da swaprenterne dermed blver specfceret under forwardswapmålet. Hvs man valgte at overføre en swaprente proces tl forwardmålet vlle processen ndeholde en drft som optræder en form som allgevel kræver nformaton omkrng forwardrenterne 8. Når man derfor stedet vælger at bruge en proces for den korte rente eller forwardrenterne er det derfor nteressant at se hvordan dsse genererer swaprenterne som skal bruges tl prsfastsættelsen af CMS floors. I stedet for som tdlgere at se swaprenter som en funkton af nulkuponoblgatoner f. lgnng 3-2 er det også mulgt at se swaprenter som en funkton af underlggende forwardrenter: S c w ( t) = ( t) = c k= c = P( t T P( t T ) w ( t) F ( t) ) k Lgnng 3-7 ATM = At The Money dvs. strke lg med underlggende swaprente 8 Brgo D. Mercuro F. (200) 20

31 Swaprenten kan altså ses som en vægtnng af underlggende forwardrenter. Rebonato (998) vser at varatonen på vægtene er meget mndre end varatonen på forwardrenterne kan vægtene holdes konstant og derfor kan swaprenter approksmeres tl: S c c t) w (0) F ( t) = ( Lgnng 3-2 Dette gør samtdg at volatlteten på swaprenterne kan ses som en funkton af forwardrente volatlteter. Vha. ovenstående formler og standard volatltetsregler kan værden for den absolutte volatltet på swaprenten skrves som 9 : 2 S c = 2 c c σ Lgnng w σ F 2 * w σ c F ρ F F w k kσ Fk = k= Forwardrente varans kovarans mellem Forwardrenter De enkelte CMS floor letter afhænger dermed både af volatlteten på forwardrenter men også af korrelatonen mellem forwardrenterne. Da man gerne vl have en model som kan prsfastsætte flere CMS produkter skal modellen kunne modellere dynamkken for swaprenter med forskellg løbetd og længde. Det er derfor nødvendg at opdele votltetsstrukturen for forwardrenterne dvs. den gennemsntlge volatltet tl udløb da denne kke gver konkret nformaton omkrng den reelle udvklng forwardrenterne Opdelng af swaprente volatltet Først ntroduceres en funkton som beskrver volatlteten på en forwardrente på et gvet tdspunkt. Den gennemsntlge volatltet kan derfor udtrykkes ved relatonen 20 : 9 σ F er volatlteten på F ud tl tdspunkt t(-) og ρf F k er korrelaton mellem F og F k ud tl tdspunkt t(-) 20 betegnelsen nst er brugt med nspraton fra det engelske udtryk nstantaneous. 2

32 T 2 σ ( T ) = σ 0 nst ( u) 2 du T Lad os tage udgangspunkt en CMS floor skrevet på den 2-årge swaprente med årlg opgørelse og betalng. Den CMS floor let som opgøres og betales om år er påvrket af volatlteten på den 2 årge swaprente ud tl år. Dette kan ses som en funkton af volatlteten på den -årge og 2-årge forwardrente ud tl år og korrelatonen mellem de to forwardrenter ud tl år : 2 2 nst 2 2 nst 2 nst nst nst σ ( t) w σ ( t) w2σ 2 ( t) 2wσ ( t) w2σ 2 ( t) ρ2 ( ) S t 2 Tl at starte med antages at en gven model skal kunne prsfastsætte caps og swaptoner korrekt på samme td. For at prsfastsætte en -årg caplet korrekt skal der derfor ( t nst gælde at volatlteteten på den -årge forwardrente ud tl år ( σ ) ) skal være lg den -årge Black caplet volatltet 2 : σ ( t = t nst 2 2 ) σ BLACK ( ) For at prsfastsætte den 2-årge caplet korrekt har man tre parametre man kan varere: nst Volatlteten på den 2-årge forwardrente ud tl år ( σ ) ) volatlteten på den 2 ( t nst samme rente fra år tl år 2 ( σ ) ) og endelg korrelatonen mellem den -årge og 2-årge forwardrente ud tl år. 2 ( t 2 Totalt set har man dermed to afhængge varable (volatlteten på den 2-årge caplet og volatlteten på den 2-årge swaprente ud tl år ) samt tre ubekendte varable (2 volatlteter og korrelaton). Dette gver et overdefneret lgnngssystem og dermed et uendelgt antal løsnnger. Rebonato (998) vser at man kan opstlle to nteressante ekstremer som begge kun har én løsnng: 2 Der ses bort fra det problem at volatlteten på den årge swaprente ud tl år også er bestemt alene af den nstantane volatltet på den -årge forwardrente ud tl år. 22

33 nst nst. Konstant volatltet for den 2-årge forwardrente ( σ t ) = σ ( ) ) 2 ( 2 t2 nst 2. Perfekt korrelaton mellem den -årge og 2-årge forwardrente ρ ( t ) 2 = Det første alternatv er mulgt ved at have en korrelaton mellem de to forwardrenter som er under. Den anden mulghed som forudsætter perfekt korrelaton betyder at volatlteten på swaprenten blver reduceret tl: nst nst σ S ( t) wσ ( t) w2σ 2 ( ) 2 t Med andre ord blver volatlteten på den anden forwardrente ud tl tdspunkt udelukkende bestemt af volatlteten på swaprenten. Samtdg kommer følgende tl at gælde for prsfastsættelsen af capletten: σ ( t ) nst 2 σ ( t ) = σ ( t nst BLACK 2 ) 2 Dette betyder at volatlteten på den anden forwardrente mellem tdspunkt og 2 udelukkende bestemmes af den 2-årge caplet. Det nteressante ved dsse udlednnger er at selv med perfekt korrelaton mellem forwardrenter er det mulgt at fremkomme med de korrekte swaprente volatlteter. Den sdste mulghed for løsnng af problemet er at bruge en eksogent gvet korrelaton mellem forwardrenterne og derefter løse de resterende volatlteter Mulgheder for valg af rentestrukturmodel Tradtonelt har man ltteraturen på området overveende valgt at se på metoden med konstant volatltet da den smplfcerer parametrserngen af modellen med kun én parameter tl at beskrve volatlteten. Men dette fører dog tl nogle uheldge egenskaber ved modellen da det mplcerer at volatltetsstrukturen ændrer sg over td. Et eksempel på dette er llustreret nedenstående fgur. 23