ROSKILDE TEKNISK GYMNASIUM Matematik og IT projekt i klasse 3.4 af: Casper Lykke Larsen - Lars-Emil Jakobsen - Thomas Denckert Hernes

Transkript

1 mmmatematiks RUMLIGE FIGURER ROSKILDE TEKNISK GYMNASIUM RUMLIGE FIGURER Matematik og IT projekt i klasse 3.4 af: Casper Lykke Larsen - Lars-Emil Jakobsen -

2 Resume In the weeks from 11/ to 6/ worked on our mathematics- and It-project spacious figures. We were given the task to choose a figure, and state why we chose it. After we had chosen our figure, we had to calculate the volume of the figure, using a specific formula. We chose to make a demand to our figure, which stated that our figure had to have a specific volume. Besides doing the calculations on our figure. We also had to visualize our figure by program it, we chose to program it in POV-Ray. To do that, we had to use the lathe-module and enough coordinates for the module to visualize it. We had to make up our own problem formulation and write our project from it. We encountered several problems during the project for instance; we found out, that the program POV-Ray is defined conversed in relation to our function, so we had to switch the coordinates around. We also had problem with calculating the volume and thereby find a prober size of our vase. However, we ended up having the proper size and volume of ca. 2 liter. Indhold Resume... 2 Problemstilling... 2 Løsning på Problemstilling... 3 Markedsanalyse... 3 Delkonklusion:... 5 Udregning... 5 Konklusion... 7 Udformning af Løsning... 8 Dokumentation af Koden... 8 Visualisering lags arkitektur Brugeranalyse Samlet Konklusion Problemstilling Vi fik en forespørgsel om, at lave en speciel vase, som skal kunne rumme omkring 2 liter vand. Derudover skal vasen kunne holde lange bloster, men også have plads til en palette af blomster i toppen. Vasen behøver nødvendigvis ikke at kunne stå af sig selv, i tilfælde af at den ikke kan, skal bunden alligevel have så lille en spids/runding at den kan stå i et lille stativ. Derfor begyndte vi at sammenligne 2D længdesnit af vaser med mulige trigonometriske funktioner som udgør vasen. Dette giver nemlig vasen et naturligt og flydende "look". Vi har valgt trigonometriske funktioner, da potensfunktioner ikke giver det samme "finish" er de derfor fravalgt. Side 2

3 Løsning på Problemstilling Vi vil lave en vase ved at sammensætte 2 af de såkaldte trigonometriske funktioner, derefter vil vi så begynde at udregne volumen af vasen og se om den matcher de opstillede krav, vores kunde har givet os. Dette vil vi gøre ved hjælp af udregning af volumen af omdrejningslegemer. Men inden da, vil vi undersøge markedet. Markedsanalyse Vi har undersøgt og researchede på hvilken form og hvilken stil de populærere vaser har, som sælger godt ude i butiksmarkedet. Derefter ville vi udforme vores vase lidt efter deres stil og form, men dog stadig med vores egen stil indblandet, så vores vase bliver unik og kan sælge godt. Hvis vi søger på en søgemaskine på internettet, med følgende "populærere vaser", får vi følgende frem: 1 2 Vi valgte så at udforme vores vase ud fra disse to vaser, og vores kundes ønske til sin vase. Derfor har vi lavet en mellem ting mellem disse to vaser, samt til en væsentlige billigere pris. Vores vase har vi udformet i Pov-ray, som har nogenlunde form efter disse to vaser tilsammen. En mulig for af vores vase med vores design kan du se på billedet nedenstående, vores vase kan fås i varierende farver: Side 3

4 Som vi kan se på de to vaser vi har fået inspiration fra, har vores vase fået den vase til højres skarpe hals, og den vase til venstres tykke bund. Før vi fik vores fulde design af vores vase, havde vi siddet og udformet funktioner og sat dem sammen indtil vores kunde var fuld tilfreds. De valgte funktioner som vores vase bliver udformet af, som har tilfredsgjort vores kunde, er følgende: Her er der brugt følgende funktion: f(x) = A * sin(kx+ϕ)+d. A er en konstant der bestemmer amplituden på funktionen, k er en konstant der er med til bestemme perioden eller frekvensen på funktionen, ϕ (phi) er den konstant der bestemmer faseforskydningen, og d er en variabel eller konstant der bestemmer ligevægtslinjen. Vi har dog valgt ikke at have en faseforskydning, da vi gerne ville have en spids på vores vase, så vi derved skal sælge den med et stativ. Disse funktioner er symmetriske om x-aksen. de passer med følgende krav, dog med henholdsvis ± fortegn: & Da: = 2,08726 = -2,08726 & = 0,043633*cos(0,5x)+1 = -0,043633*cos(0,5x)-1 Side 4

5 Hvordan disse 2 funktioner sammen med en hjælpefunktion f(x) = ( ) der er afgrænset af skæringspunkterne mellem funktionerne, udformer en vase kan ses senere i vores udsnit fra Graph. Delkonklusion: Ud fra vores inspiration af de to populærere vaser, og kravene fra vores kunde, har vi nu udformet vores egen vase ved hjælp af 2 funktioner, som er nu mangler at blive tegnet ind i POv-Ray. Vores 2 funktioner som udgør vores vase er følgende: Med definitionsmængden: [-12,5 ; 0]. Nu er det så vigtigt, at finde ud af, om vores vasen opfylder kravet om mængden af indhold. Udregning For at bekræfte at vores design opfylder vores kundes specifikationer, så er det nødvendigt for os, at finde ud af, om der er den nødvendige volumen i vores krukke. Volumen finder vi med formlen: V = π Herfra indsætter vi vores funktion og udregner volumen, således at vi enten kan sætte den i produktion eller afkaste den: V = π V = π Vi deler op som 25*sin 2 (0,5x) og x 2 og løser integrerer hver for sig: = x 3. Vi substituere 0,5x med u og integrerer if forhold til du. Da du = 2 dx får vi: Vi substituere sin 2 (u) med, da det er af samme værdi: Side 5

6 Vi sætter ud fra integralet og deler integralet op: Vi substituere 2u med s og integrere i forhold til ds. Da ds = 2 * du får vi: Vi substituere tilbage: Vi substituerer en sidste gang: 12,5x 12,5*sin(x) Volumen bliver derfor: V = π * V = π * (0 (12.5*(-12.5) 12.5*sin(-12.5) + *(-12.5) 3 ) 2200cm Liter. Vi har derfor ikke opfyldt vores kundes krav til vasen, derfor ændre vi vores funktion og gør den mindre. Dette gør vi ved, at afgrænse funktionen anderledes. Vi tænker at vi vil tage 1 cm af toppen, således at Dmf bliver: [-12 ; 0]. Vi udregner rumfanget af vores nye funktion på samme måde, men vi viser ikke alle mellemregninger: V 2 = π * V 2 = π * ( 2000cm 3 2 liter. ) Fordi at vores udregninger stemmer overens med TI-nspire, kan vi sige at: Vi har fremstillet en vase, der er inden for kundens grænser og krav. Vi går derfor i gang med, at finde x- og y-værdier, som skal bruges til, at visualisere vores vase i POV-Ray. Dette gøres meget simpelt ved, at vælge en x-værdi og udregne y-værdien: Side 6

7 X-værdier Beregning Y-værdier , X-værdier Beregning Y- værdier , Konklusion Som et krav fra vores kunde til vores vase, skulle rumfanget være ca. 2 liter. Da rumfanget af den første vase med længden 12.5 hen ad y-aksen oversteg 2 liter for meget, blev vi nødt til at lave en ny vase som var kortere. Derfor regnede vi rumfanget ud af den nye vase som var 12 lang hen ad y-aksen og så om den opfyldte kravet. Det gjorde vi ved følgende formel: V = π Side 7

8 Hvor vi så satte vores funktion ind og regnede det igennem. Som resultat fik vi rumfanget i vores endelige vase til ca cm 2 = 2 liter. Derfor opfyldte vase 2 med længden 12 hen ad y-aksen, kravet med hensyn til rumfanget. Som udgøres af funktionerne: Udformning af Løsning Nu har vi sammensat de trigonometriske funktioner og udregnet volumen af vasen og derfor begynder vi nu at lave en visualisering af vasen. Som første skitse bruger vi den2d graf som vi udregnede volumen af. Vi starter med at vise vasen som vil den se ud fra siden af, i en 2D tegning og senere vil vi lave en fuld 3D visualisering af vasen. X Sådan ser vores vase altså ud fra siden, og vi kan se at kravet om en palette er opfyldt og vi kunne se i forrige opgave at vi justerede vasen til vores krav om at kunne holde 2 liter vand. Y Dokumentation af Koden Vi laver vasen i programmet POV-Ray. I dette program har vi mulighed for at modellere vores vase, og se den fra nogle valgfrie synsvinkler. Her implementere vi farver til vores mulighed for at tilføje en variation af program, det vil sige at vi har farver til vores vase. Her vælger vi hvilke synsvinkler vi gerne vil kigge fra når vi skal se på vasen i programmet. Her har vi valgt at lave 4 forskellige synsvinkler da vi mener det var passende også kan man vælge hvilken vinkel som man gerne vil se det fra, nede i bunden. Side 8

9 Her er vores vase programmeret. lathe er den del som beskriver at de punkter vi sætter ind, skal den rotere punkterne rund om y-aksen. Derefter siger vi at det skal være en quadratic_spline som betyder at den skal forbinde de kommende punkter med dynamiske streger, så de ikke bliver lige linjer mellem punkterne. så ind sætter vi alle punkterne fra tidligere, men da den rotere om y-aksen skifter vi vores x-koordinater med vores y- koordinater, så x står på y's plads og omvendt. Vi har også valgt at have 2 punkter som hedder <0,0> da det er det som tillader os at lukke vasen i bunden Derefter vælger vi pigment {color red} som bestemmer at vores punkter som udgør vasen, bliver vasen rød. er røde og derved Vi lavede også vasen i en lidt mere fornem farve som er Chrom, derfor vare vi også nødt til at #include "textures.inc" da Chrom ikke er en normal farve. Her vælger vi så hvilken form for texture vi vil have, og der vælger vi Chrom. og under texture vælger vi baggrundsfarve. Visualisering Dette er så den endelige vase i forskellige farve variationer, så kunden ved hvad de kan forvente. Normale versioner: Premium Vase: Side 9

10 3-lags arkitektur Vores program er bygget op af 3 lag: et Datalag, et Logiklag, og et præsentationslag. På Datalaget har vi alle vores rå data, det vil sige alt hvad vi vil have Præsentationslaget til at vise. I dette tilfælde er det, hvordan vi har defineret kameravinklerne og hvordan vi har defineret vores figur. Logiklaget i vores program, er det lag der forbinder og sender det samlede Datalag til Præsentationslaget, så det kan visualiseres. I dette tilfælde er vores Logiklag lahte-modulet, dette modul fortæller specifikt hvordan Præsentationslaget skal forstå data fra Datalaget. Præsentationslaget er så det lag der visualisere al data, i vores program er det så det vindue, der popper op, når man kører programmet. Brugeranalyse Vi har lavet et spørgeskema, der skulle hjælpe os med at give det bedste indtryk af vores produkt. Der blev derfor stillet spørgsmål til, hvilken farve man tydeligst kunne se vores produkt med, hvilken kontrast der tydeliggøre detaljerne mest og hvilken vinkel, man bedst kan se figuren fra. Vi udspurgte 8 personer fra klassen, om de ville bruge vores program og bedømme det. Mens de brugte det, spurgte vi dem om de ovenstående ting. Vi har samlet deres svar i et skema (se nedenstående): Objektet Baggrund Kameravinkel Samlede indtryk Farve? sort/hvid Bruger 1 Rød Sort 0 Fint Bruger 2 Blå Sort 1 Godt Bruger 3 Rød Sort 0 Fint Bruger 4 Grøn Sort 0 Fint Bruger 5 Gul stribet Sort 0 Simpelt fint Bruger 6 Glas Sort 1 Fint Bruger 7 Rød Sort 1 Simpelt - ok Bruger 8 Lyseblå Orange 0 Ret godt Som det kan ses af skemaet, så er der en stor enighed om, at den bedste farve til vores figur er rød og sort baggrund, som vores test personer har sagt: den røde farve stiller en skarp kontrast til den sorte baggrund, der fremhæver figuren. Farven springer ikke i øjnene men er tilpas fremtonet til, at man kan se det hele. Vi har derfor implementeret dette i vores program og brugt det, til at visualisere vores figur. Samlet Konklusion Da vi skulle lave vores It-produkt, benyttede vi en metode, der hedder: "pair programming", dette for at udvikle og skrive i POV-Ray. Metoden går ud på, at der er en der har programmet åbent og skriver, mens en eller to står og kikker med, kommer med gode ideer og kritik. Denne form for arbejdsmetode er super god, hvis man ikke er den bedste til det programmeringssprog, man programmere i. Det er derfor dejligt at, man er to eller flere til at se efter de forskellige muligheder, og problemer der kan forhindre/få programmet til at spille sammen uden en masse syntaks fejl. Den eneste minus ved pair programming er, at man går fra at være to personer der arbejder, til at være en per- Side 10

11 son der arbejder, det gør jo arbejdsprocessen lidt langsommere. Vores erfaringer med det, har dog været positive, og vi kan derfor godt anbefale arbejdsmetoden. Siden at vi har fået løst vores problemstilling, således at den er tilfredsstillende over for de opstillede krav til produktløsningen, og siden vi har fået fremstillet et program, der kan visualisere vores figur, så vi konkludere at, vi er kommet igennem projektet med tilfredsstillende udbytte. Til trods for de forskellige problemer vi har haft undervejs, så mener vi, at vi har fået løst disse på en sådan måde, at læsere kan forstå hvad vi har foretaget os. Vi mener at, vi har regnet korrekt, hvad volumenudregning angår, dette fordi at vores resultater stemmer overens med programmel. Vi konkludere derfor, at vores produkt matcher kundens specifikationer, dette betyder at, vi succesfuldt har fundet en figur, der kan fremstilles og sælges til kunden. Vi mener at vi har været grundige i vores præsentation af figuren, vi konkludere at vores produkt er fremstillet en sådan måde, at vores kunde kunne se produktet, før det blev produceret, hvilket giver mulighed for ændringer. For hele projektet konkludere vi, at vi har arbejdet konstruktivt i gruppen, og er nået frem til at resultat, der er tilfredsstillende for gruppen. Vi mener at vores valg af problemstilling, funktion og programmeret visualisering af funktionen, har haft et passende sværhedsgrad i forhold til niveauet af klassetrin. Vi konkluderer at, vi har dokumenteret nok til at kunne stå inden for vores resultater. Side 11