Bjørn Grøn. Fra græsk geometri til moderne algebra

Transkript

1 Bjør Grø Fra græsk geometri til modere algebra

2 Fra græsk geometri til modere algebra Side af 45 Idholdsfortegelse. Opridelse... 3 a. Påvirkiger fra flodkulturere...3 b. Pythagoræere...4. De græske matematiks særtræk... 5 a. Athes storhedstid...6 b. Matematikkes cetre i atikke...8 c. Alexadria bliver cetrum Euklid... 9 a. Påvirkiger fra Euklids metode...0 b. Elemetere De uløste kostruktiosopgaver... 4 a. Myter om de tre problemer...4 b. Løsig med adre metoder ed med passer og lieal...5. Teriges fordoblig Vikles tredelig Cirkles kvadratur Vigtige geometriske kostruktioer... 4 a. Adre aksiomsystemer...5 b. Kostruktioer med passer og lieal På vej til e løsig c. Om Galois korte liv og bratte død Kostruerbare tal... 3 a. De kostruerbare pukter...3 b. Tallegemer...34 c. Beskrivelse af de kostruerbare tal...37 d. Teriges fordoblig er ikke mulig...40 e. Tredelig af e vilkårlig vikel er ikke mulig...4 f. Cirkles kvadratur er ikke mulig...45

3 Fra græsk geometri til modere algebra Side 3 af 45. Opridelse Grækere er et idoeuropæisk folk, der kom ordfra i flere bølger, og som omkrig år 000 f.kr. havde gjort sig til herrer over det græske fastlad, de omliggede øer, og Lilleasies vestkyst. De orgaiserede sig i små uafhægige bystater, både hjemme i»moderladet«, og hvor de slog sig ed. De udgjorde således e kulturel, me ku sjældet e politisk ehed, i modsætig til de meget cetralistiske flodriger i Ægypte og Mesopotamie. Vi keder ikke meget til de tidligste historie før og omkrig 000-tallet, de der daer baggrud for de store fortælliger Iliade og Odyssée, som Homer skrev ed ca. år 800 f.kr. Der har været et tæt samkvem med adre folkeslag i regioe, og fra føikere og de semitiske folk overtog de skrifte og skabte det græske alfabet, som reste af Europa side eftergjorde. Grækere brugte også bogstavere som talsymboler. De skrev utroligt meget; me vi har ku meget lidt origialt skriftligt materiale fra dee tidlige periode. Og selv fra højdepuktere i de græske kultur er det beskedet, hvad der er bevaret af origialtekster. I atikkes Grækelad keder vi således e masse persoer; me ku lidt af, hvad de skrev, er bevaret i e form, så vi ka være 00% sikre på, at det, vi har fora os, er lig med det opridelige. Fra oldtides Ægypte og ikke midst fra Mesopotamie har vi derimod et væld af skriftlige overleveriger; me vi aer ikke hvem, der skrev det ed, eller hvem, der tækte takere. a. Påvirkiger fra flodkulturere Omkrig år 600 f.kr. bliver presset fra persere mod Ioie koloiere på Lilleasies vestkyst og øere ud for så truede, at stadigt flere drog op. De fleste rejste vestpå, hvor de slog sig ed lags middelhavskyste og specielt grudlagde e række koloier i Syditalie. Pythagoras rejser. Ioie havde samtidig været det område, hvor påvirkige fra de kulturelt højereståede folkeslag var mest umiddelbar. Derfor er de første store filosoffer og matematikere, vi hører om, æste alle fra disse joiske koloier: Thales (ca. 65 ca. 547) kom fra Milet og Pythagoras (ca. 560 ca. 450) fra øe Samos. Begge drog op fra deres hjemstav og besøgte på lage rejser de to store flodriger. Om Thales fortælles, at»ha var de første, der beviste tig«, og at ha uder et besøg i Ægypte for koge der udregede højde af pyramidere ved at måle lægde af de skygge, de kastede.

4 Fra græsk geometri til modere algebra Side 4 af 45 ØVELSE Prøv selv at overveje, hvorda Thales kue have gjort. Om Pythagoras fortælles så mage historier, at det meste ok er løg. Me tager vi det med ogle gra salt, ka has historie måske alligevel illustrere, hvorda de græske matematik blev til. Uder rejser til Mesopotamie har ha fået idtryk af matematikkes høje stade der; me det er sarere e stor samlig regler og tabeller, opsamlet pr. erfarig geem tusid år og edskrevet på små lertavler, ed det er egetlig videskab eller grudlag for filosofisk overvejelse. Bladt tavlere så ha måske e, der ideholdt e tabel over forholdet mellem sidere i retviklede trekater. Såda ogle tavler er faktisk fudet i vore dage, og de er dateret til omkrig 800 f.kr.; de tidsmæssige afstad til Pythagoras er lige så stor som vores tidsmæssige afstad til Gorm de Gamle! Vi ved altså i dag, at babyloere geem tusid år har kedt det, eftertide har kaldt Pythagoras sætig. Me kedt de geem taleksempler. Og såda havde de tabeller over de utroligste tig og ofte med e forbløffede øjagtighed f.eks. e slags siustabeller, der i øjagtighed ka kokurrere med modere lommeregere. b. Pythagoræere Ni-tabelle med kileskrift Med Thales og Pythagoras træder de egetlige matematik id på scee: de regler, der skulle hjælpe på regefærdighederee hos skolebør i Babylo formuleres u i de græske matematik som sætiger, der ud fra visse forudsætiger gælder geerelt, og at dette er tilfældet bevises. Da Pythagoras kommer til Syditalie, samler ha e kreds om sig, og de orgaiserer sig i et lukket, religiøst præget broderskab. Et medlem af iderkredse i det pythagoræiske broderskab blev kaldt e matematiker, ud fra ordet matematik, der i si græske versio betød»det, der ka læres eller vides«. Matematik var altså betegelse for det pesum, som Pythagoras uderviste sie elever i. Opdagelse af det smukke talforhold for retviklede trekater samt af, at toehøjde i musik kue karakteriseres ud fra lægde af e svigede streg, bestyrkede Pythagoras i de opfattelse, at»alt er tal«. Imidlertid opdagede de hurtigt, at etop Pythagoras sætig producerede»umulige«tal eller, som vi siger i dag: irratioale tal som f.eks.. Da de ku kedte til ratioale tal (brøker) og samtidig kue idse, at ikke er ratioal, stod de i et dilemma. Et lijestykke l se figure må have e lægde, og dee lægde ka ku være. Me er ikke et tal! ØVELSE Fid beviset for at ikke er ratioal og geemgå det ige. Dette udløste, hvad ma side har kaldt»de første grudlagskrise«i matematikke, dvs. krise i selve det grudlag, matematikke bygger på, på det pågældede tidspukt. Grækere overvadt de aldrig. Pythagoræere, der mete at have afsløret e brist i guderes kostruktio, svor, at de aldrig ville afsløre deres hemmelige opdagelse; me såda oget slipper jo ud. Og Proklos, der skrev i det 5. århudrede e.kr., fortæller, at»de, der bragte disse størrelser frem i det åbe, omkom ved skibbrud alle som é. For det uudsigelige og formløse må ødvedigvis hemmeligholdes«. Proklos er e af vore vigtigste kilder, på trods af at ha først levede og skrev omkrig 000 år efter begivehedere. Proklos havde emlig adgag til e mægde af de skrifter, der side er gået l

5 Fra græsk geometri til modere algebra Side 5 af 45 tabt, bl.a. e matematikhistorie af Eudemos, der levede i 00-tallet f.kr. Og Proklos har været så betæksom over for eftertide at brige lage citater fra sie kildeskrifter. Dee grudlagskrise blev e af årsagere til, at de græske matematik i modsætig til de babyloiske vedte sig fra talbehadlig til geometri. Dog blev de ved med at kredse om dette mysterium med de»umulige«tal. Demokrit (ca ) og Theaitetos (40 368) har begge skrevet afhadliger om irratioale tal; me ige er bevaret. Og allerede pythagoræere ærmede sig så småt et modere sy, emlig at askue irratioale tal som græseværdi for ratioale. E af pythagoræere opstillede e metode til at bestemme : Lav to talrækker, som følger: :,,5,,9,... a a = a + b b :,3,7,7,4,... b = a + a Så gælder: b for a ØVELSE b. Lav et lommeregerprogram, der udreger a, b og a. Idse, hvorfor det sker, ved at udrege Fortsæt edad til vi eder med =, og idse deraf: a b = ±, for alle. For store gælder derfor: a b eller: b a b, dvs. a. De græske matematiks særtræk, og se kovergese. ( ) a b, og fid dette er lig med a b. Grækere var ikke de første, der havde studeret geometri. Som ævt havde babyloere, hvad vi i dag kalder trigoometriske tabeller med stor øjagtighed. I Ægypte var geometrie udviklet som praktisk redskab til opmålig af jordstykker. Historikere Herodot (484 45), der især skrev om perserkrigee, fortæller:»e koge udstykkede de frugtbare jord lags Nile og tildelte hver ægypter e firkatet lod, som ha pålagde dem at svare e årlig afgift af. Hvis flode tog oget fra e mads jordlod, hevedte ha sig til koge og meddelte, hvad der var sket. Dee sedte så sysmæd ud, de skulle måle op, hvor meget midre stykket var blevet, for at besiddere i fremtide kue svare afgift i forhold dertil. Jeg meer dette var aledige til, at ladmålerkuste blev opfudet, som side er kommet til Hellas«(Herodot, s. 36). Der fides e række origialtekster, der illustrerer de ægyptiske beregigskust. De vigtigste er dels e papyrus fra ca. 800 f.kr., som er e slags matematiklærebog, der i øvrigt heviser til edu ældre skrifter, og dels e papyrus fra ca. 600 f.kr., der tilsyeladede er e elevs»regehæfte«.

6 Fra græsk geometri til modere algebra Side 6 af 45 Hos grækere udvikles de praktiske beregig til e abstrakt matematik, der har alme gyldighed. Det sker i periode fra ca. 500 til ca. 300, hvor Euklid sammefatter stort set hele de daværede græske matematik i sit store værk Elemetere. Det blev læreboge, der afløste alle adre lærebøger. Og som vi keder det i dag hvem gemmer gamle lærebøger, der er blevet forældede? Grækere gjorde ikke, så vi keder ku lidt til alt det, Euklid kue høste af og sammefatte. Vi ved f.eks., at e stor matematiker Hippokrates (levede omkrig år 430 f.kr.) også havde skrevet et værk med title»elemetere«; me det er gået tabt. Selve de grudlæggede idé hos Euklid, emlig først at klargøre præcis hvilke forudsætiger (= aksiomer) og defiitioer, vi bygger på, og derefter logisk udlede (= deducere) sætiger herudfra, udvikles i 400-tallet af e række store filosoffer og matematikere (de fleste var begge dele degag). Metode kaldes de aksiomatisk-deduktive metode, og de har lige side været de helt domierede idefor al matematik; der er adre syspukter, ikke midst hvad agår formidlig af matematik; me skal ma lave ordetlig matematik, må ma i hvert fald også beherske de aksiomatiskdeduktive metode. Metode vadt tilsyeladede så stærkt frem, som tilfældet var, på grud af et meget frugtbart samspil mellem filosofi, matematik og udviklige af demokratiet. a. Athes storhedstid Ramme var Athe, der med si autoritet og stærke økoomi efter sejre i Perserkrigee (omkrig 480) fremstod som de absolut førede bladt de græske bystater. Fra alle hjører af det store, me oget diffuse græske rige strømmede kustere og filosoffer, forfattere og aturvideskabsmæd til bye, og skabte grudlag for de eeståede kulturelle blomstrig, der fadt sted især i 400-tallet. Det var e historisk set kort periode. Allerede efter de pelopoesiske krig og ederlaget til Sparta (år 404) går det kusteriske liv i Athe id i sit efterår. Naturvideskabere fortsætter dog flugte mod tidere et par hudrede år edu.

7 Fra græsk geometri til modere algebra Side 7 af 45 Midt i 400-tallet var»kuste at tæke deduktivt ylig blevet opfudet, og de bidrog til opstillig af spædede ye teorier, både sade og falske, over hele videskabes område«, skriver de store egelske filosof og matematiker Bertrad Russel (87 970) i si bog om Vestes Filosofi, og ha tilføjer:»det var degag som sjældet før eller side på ee gag muligt at være itelliget og lykkelig, og lykkelig på grud af itelliges«; ak ja. De ledede politiker i Athe var Perikles (500 49). Ha kom selv fra e af de store adelsslægter; me i stride mellem de forskellige fraktioer og slægter i Athe om, hvilke politik der skulle føres efter perserkrigee, stillede ha sig på de hårde og uforsolige lije, både over for persere og side over for Sparta. Det bragte ham i modsætig til de gamle adelsslægter, og i dee situatio lykkedes det u for Perikles at befæste si positio ved at tvige de første elemeter af demokrati igeem. I stedet for at de rige adelsslægter stort set suveræt udpegede bystyret, som de havde gjort hidtil, skulle u i første omgag é af disse ti (der blev kaldt strateger) vælges af e folkeforsamlig. Det blev Perikles selv, der år efter år blev valgt, og dermed kue optræde på e stærkere baggrud. For at vide folk for deres syspukter, i store som små forsamliger, studerede politikere retorik og veltalehed hos filosoffere. Og Perikles kyttede specielt filosoffe og matematikere Aaxagoras til sig. Aaxagoras kom som så mage adre fra de joiske koloier ha fra Klazomeae, hvorfra ha var blevet hetet af Perikles. På samme måde var historikere Herodot blevet hetet fra Halikarassos med sigte på at få edskrevet historie om perserkrigee; sikkert ud fra samme filosofi, som da Saxo i Valdemartide blev sat til at skrive Damarks historie historie skulle også bruges til moralsk oprustig og til at fremme bestemte politiske syspukter. Perikles kyttede ligeledes kustere som billedhuggere Feidias og skuespilforfattere Sofokles til sig. I et af sie stykker (Faidias) beskriver Plato Aaxagoras og skriver bl.a.:»perikles var emlig truffet samme med Aaxagoras og fik utvivlsomt derved sas for»højtflyvede spekulatio«og herfra overførte Perikles så til si talekust det, der lod sig avede på de«. Herfra går der e lige lije frem til opfattelse af først geometri og side matematisk træig som et grudlæggede middel til almedaelse. Hos Plato selv er matematik det afgørede middel til at træe take. Plato levede og tilhørte som ug kredse omkrig Sokrates. Me da vilkåree for demokratiet blev tragere uder de pelopoesiske krig (43 404), specielt efter kuppet i 4, og da Sokrates blev herettet i 399 med aklager om, at ha forførte ugdomme drog Plato i frivilligt eksil. Derved kue ha emt være gledet ud af historie, idet ha både blev fægslet og solgt som slave; me ha blev dog løskøbt og vedte tilbage til Athe, hvor ha i 387 grudlagde Akademiet. Det var e skole for uge (velhavede) itellektuelle, e slags uiversitet, og det bestod faktisk frem til 59 e.kr., hvor kejser Justiia edelig lukkede det, dvs. det havde e lægere levetid, ed oget uværede europæisk uiversitet har haft. I begydelse foregik udervisige i e park, der hed Akademiet. Da de fik tag over hovedet, beholdt Plato avet og satte så over idgagsdøre e iskriptio, hvorpå der stod:»lad ige komme uder mit tag, som ikke er videde om geometri«. Det har aturligvis glædet matematikere side, og i vor tid har de amerikaske matematiske foreig ladet iskriptioe idgå i deres bomærke. Plato var ikke selv matematiker, me et ærmere studium af has filosofi vil vise, at ha var gaske påvirket af de matematiske takegag. I mage af skriftere behadles matematiske emer, og i et af dem, der har fået av efter e af pythagoræere, Timaeus, siger ha, at»geometrie er vide om det, som altid er«. Det gamle logo for America Mathematical Society

8 Fra græsk geometri til modere algebra Side 8 af 45 ØVELSE Også i vor tid er matematik blevet opfattet som et grudlæggede almedaede fag, fordi faget optræer eve til at tæke logisk og til at bevæge sig fra kokrete eksempler til e abstrakt og mere alme forståelse. Dette var f.eks. baggrude for, at matematik, bortset fra ogle få år, altid har været et obligatorisk fag i sprogligt gymasium. Giv e kritisk vurderig af dee opfattelse. Er det rigtigt, at de takegag, matematik udvikler, ka avedes i adre fag, måske edda helt geerelt? b. Matematikkes cetre i atikke. Rom. Syrakus 3. Kroto 4. Elea 5. Taret 6. Delfi 7. Elis 8. Athe 9. Stageira 0. Abdera. Byzas. Pergamo 3. Klazomeae 4. Khios 5. Delos 6. Samos 7. Milet 8. Kidos 9. Rhodos 0. Perga. Alexadria. Syee 3. Kyree Abdera: Demokritos, 450 f.kr. Alexadria: Euklid, 300 f.kr.; Aristarchos, 80 f.kr.; Koo, 75 f.kr.; Eratosthees, 30 f.kr.; Apolloios, 5 f.kr.; Hypsikles, 80 f.kr.; Hero, 50; Meelaos, 00; Ptolemæus, 50; Diofatus, 50(?); Pappus, 300; Theo, 390; Hypatia, 40. Athe: Sokrates, 45 f.kr.; Plato, 380 f.kr.; Theaeteus, 375 f.kr.; Aristoteles, 367 f.kr.; Theodoros, 350 f.kr.; Ptolemæus, 50. Byzas: Proklos, 430. Delfi: Det deliske problem. Delos: Det deliske problem. Elea: Parmeides, 460 f.kr.; Zeo, 450 f.kr. Elis: Hippias, 45 f.kr. Khios: Hippokrates, 460 f.kr. Kidos: Eudoxus, 370 f.kr. Klazomeae: Aaxagoras, 450 f.kr. Kroto: Pythagoras, 540 f.kr.; Filolaos, 45 f.kr. Kyree: Theodoros, 400 f.kr.; Eratosthees, 30 f.kr. Milet: Thales, 600 f.kr. Perga: Apolloios, 50 f.kr. Pergamo: Museio, Apolloios, 0 f.kr. Rhodos: Eudemos, 335 f.kr.; Hipparchos, 40 f.kr. Rom: Mealaos, 00. Samos: Pythagoras, 540 f.kr.; Koo, 300 f.kr.; Aristarchos, 80 f.kr. Stageira: Aristoteles, 384 f.kr. Syee: Eratosthees, 30 f.kr. Syrakus: Arkimedes, 5 f.kr. Taret: Pythagoras, 540 f.kr.; Archytas, 400 f.kr.

9 Fra græsk geometri til modere algebra Side 9 af 45 c. Alexadria bliver cetrum Athe er i Platos levetid stadigvæk cetret for græsk ådsliv. Me kort efter has død erobrer Philip af Makedoie Grækelad i år 338, og has sø Alexader (de Store) fortsætter hastigt felttoget ud over det meste af de verde, de kedte degag. I Ægypte grudlægger ha i 33 e y by, der ubeskedet kaldes Alexadria, og i bye oprettes e slags uiversitet der kaldes Museet med udgagspukt i det eeståede bibliotek, der her bygges op. Dermed overtager Alexadria i løbet af gaske få år fuldstædigt Athes førerstillig. To af de tre største matematikere i Oldtides Grækelad, Euklid (omkrig 300 f.kr.) og Appoloius (6 90) der skrev et impoerede værk om keglesit, dvs. ellipser, parabler og hyperbler uderviste her. De tredje og måske største af alle, Arkimedes (87 ), boede i Syrakus i Syditalie, idtil bye blev erobret af romere, og ha selv dræbt af e romersk legioær. Biblioteket rummede jo ikke bøger i vores forstad, me ruller af papyrus, pergamet, læder eller adet materiale. Da Rom erobrede Ægypte i år 47 f.kr., var samlige oppe på bid, alle i sages atur uerstattelige origialer. Ved erobrige blev museet tædt i brad, og e stor del af skriftere gik tabt. Side påbegydtes e y opbygig af biblioteket; me da kristedomme vadt frem, geemtvag tilhægere af dee ye religio e afbrædig af de gamle»hedeske«skrifter. Det lykkedes at få bragt e del i sikkerhed og disse ruller blev spredt ud over hele Oriete. Me det meste gik tabt, og det er e af forklarigere på, at vi på trods af de omfattede skriftlige produktio har så forholdsvis lidt origialt materiale. Seere fadt muke ud af, at i stedet for at bræde skriftere kue de vaske pergametet af og derved gebruge det kostbare pergamet. Således blev de aturvideskabelige skrifter systematisk forvadlet til bøebøger og ligede. I yere tid er det u lykkedes at idetificere ogle ekelte af disse overskriviger. De daske matematiker og sprogforsker J.L. Heiberg har været e hovedkraft i dette arbejde. Ha sammestykkede i 883 de i dag aerkedte udgave af Euklids Elemetere og udgav ligeledes de af Arkimedes værker, der ikke var gået tabt. Uder dette arbejde fadt ha ved et tilfælde i et klosterbibliotek i Kostatiopel e gammel pergametrulle med bøer og ritualer fra det 3. århudrede, hvor ha kue se, at der uder salmeversee var e ade og ældre tekst. Afvaskige af pergametet havde været ufuldstædig, og det lykkedes faktisk Heiberg at dechifrere origialtekste. Til has glæde og forbløffelse dukkede u et af Arkimedes skrifter frem. Dette værk med title Om Metode havde ligget gemt bag bøere i over 600 år og var reget for tabt. Glæde var særlig stor, fordi dette er det eeste bevarede skrift fra e af de store matematikere, hvori der fortælles om hvilke overvejelser og metoder, der har ført frem til alle de resultater, som så smukt og logisk præseteres for os hos Arkimedes selv og f.eks. i Elemetere. Det er idlysede, at der forud for de aksiomatisk-deduktive metode må have gået e aalyse, e udersøgelse og e prøve sig frem. Me hvorledes det har vi ikke vidst, før det dukkede frem fra sit skjul bag bøer og salmevers. 3. Euklid Om Euklid som perso ved vi stort set itet. Og ige af Euklids arbejder er bevaret i deres origialudgave! Ha skrev mage adre bøger, hvoraf de fleste er gået tabt. E af disse ville det være overmåde iteressat at fide de hedder Fejlslutiger og blevet avedt som pædagogisk optræig af eleveres eve til at afsløre fejl i oget, der tilsyeladede ser logisk ud. Me vi har has hovedværk Elemetere og det i e udgave, som, vi er ret sikre på, ligger tæt op ad origiale. Det er overleveret til os ad krogede veje. Da Platos Akademi blev lukket i 59 e.kr., da romerriget smuldrede, og kristedommes fremmarch kægtede mege fri videskab, søgte mage lærde østover til de arabiske verde. Her fadtes e relativ stor ådsfrihed og samtidig e voksede iteresse for aturvideskab.

10 Fra græsk geometri til modere algebra Side 0 af 45 Det ældste kedte eksemplar af Elemetere er således e arabisk oversættelse fra ca. 800 e.kr. De blev bevaret, fordi det var e gave til de berømte Haru al Raschid (kedt fra 00 at og diverse tegeserier). Det er 00 år efter, at Euklid har skrevet origiale. Det svarer ogelude til vores tidsmæssige afstad til Jelligesteee! De første latiske oversættelse dukker op i Europa i 0, og de første egelske oversættelse er fra 570 (de europæiske bogtrykkerkust stammer fra 438, før de tid kopieres bøgere ved afskrift). E side fra e af de tidligste trykte latiske udgaver af Euklids Elemetere. Boge bærer stærkt præg af hådskrifttraditioe. Det betyder imidlertid ikke, at Euklid var glemt i alle de mellemliggede år. Der blev fortsat udervist i has geometri; me efter forskellige oter, kompedier osv. Me da de mere autoritative udgaver u dukker op og spredes ved hjælp af de ye bogtrykkerkust, fik de hurtigt e kolossal idflydelse, både på aturvideskab, filosofi og mage adre felter. Og det er etop de aksiomatisk-deduktive metode, ma begejstres for, og som vider frem. a. Påvirkiger fra Euklids metode I 687 udgiver Newto sit skelsættede værk Pricipia (fuld titel: Philosophiae Naturalis Pricipia Mathematica), hvor ha sammefatter si beskrivelse af, hvorledes aturlovee og tygdekrafte virker. Grudlaget er studiet af de virkelige verde. Alligevel kalder ha sie love for»aksiomer eller bevægelseslove«, og hele værkets opbygig er euklidisk. Nogelude samtidig udgiver filosoffe Spioza (677) sit værk om Etik, med udertitle:»fremstillet efter de geometriske metode«. Og ha søger faktisk at gøre Euklid kuste efter der aføres defiitioer, sætiger og beviser, så det æste virker som e parodi. Er Spiozas rolle i filosofihistorie beskede, så har til gegæld de tyske filosof Immauel Kat (74 804) øvet kolossal idflydelse på stort set alle seere filosoffer og store tækere. I

11 Fra græsk geometri til modere algebra Side af 45 si kritik af de filosoffer, især de egelske David Hume, der hævdede at meeskee ikke kue vide oget med sikkerhed, fremhævede Kat etop geometrie som et område, hvor vi i alt fald var sikre; f.eks. sikre på, at vikelsumme i e trekat er 80. ØVELSE Hvad meer du om de to argumeter: Humes at vi itet ka vide med sikkerhed, f.eks. heller ikke at Sole i morge står op i øst? Og Kats at der fides sikker vide, f.eks. sætigere fra geometrie? Ide for de økoomiske videskab udgiver Adam Smith (de førede liberale økoom) i 776 sit hovedværk Wealth of Natios, og i 867 begyder Karl Marx (de førede socialistiske økoom) udgivelse af sit hovedværk Kapitale. Begge værker er bygget op med forudsætiger, defiitioer og strigete logiske ræsoemeter, der fører frem til at fastslå visse kedsgeriger (»sætiger«) osv. I 776 udsedes de amerikaske Uafhægighedserklærig, hvis hovedforfatter var Thomas Jefferso, der selv var e habil matematiker. Erklærige er tydeligt præget af e aksiomatiskdeduktiv takegag fra formulerige i begydelse:»vi aser disse sadheder for selvidlysede «(aksiom betyder selvidlysede sadheder), frem til hvor de erklærer, at de vil»bevise, at de egelske kog Georges regerig ikke lever op til«de krav, ma ka stille. Flere områder og flere eksempler fra hvert kue gives. b. Elemetere Hvad er det så for et værk, der har haft e såda idflydelse på vores kultur, at de ifølge mage udsag ku er overgået af Bibele? Elemetere består af 3 bøger, der i al korthed har følgede idhold: Bog I: Elemetære kostruktioer (»Trekates geometri«) Bog II: Geometrisk Algebra (»Firkates geometri«) Bog III: Cirkles Geometri Bog IV: Regulære Polygoer (»Femkates geometri«) Bog V: Størrelseslære (»Atikkes differetial- og itegralregig«) Bog VI: Ligedaethed Bog VII-IX: Talteori Bog X: Irratioale tal (Bygger på Theaitetos afhadlig) Bog XI: Rumgeometri Bog XII: Areal og Volume Bog XIII: Kostruktio af de 5 regulære polyedre Idholdsfortegelse giver et vist idtryk af, hvor omfattede et værk det er. Me det, som kom til at præge ådslivet side, er strukture i bøgere. Euklid går frem på følgede måde: Forrest er alle de defiitioer (3 i alt), ha får brug for i bog I. De første defiitio i boge er simpelthe:». Et pukt er det, som ikke ka deles.«bag hverke forord eller ade sak, me lige på. Deræst følger de postulater (aksiomer) (5 i alt), ha meer, er ødvedige for dee geometri.

12 Fra græsk geometri til modere algebra Side af 45 Og edelig sætter ha ogle almee aksiomer op (5 i alt), som daer grudlag både for geometrie og for al ade matematik. De sidste gruppe giver e slags regler for, hvorda vi logisk argumeterer os frem. Herefter klør ha på med sætig efter sætig, hvor ha skeler mellem kostruktioer der afsluttes med»hvilket skulle gøres«, forkortet hsg og beviser der afsluttes med»hvilket skulle bevises«, forkortet hsb; de mere berømte latiske forkortelse qed, der står for»quod erat demostradum«avedes stadig i mage matematikbøger. ØVELSE Prøv at overveje, hvor der er ligheder, og hvor der er forskelle mellem Euklids matematikbog og opbygige af modere matematikbøger. E forudsætig æves ikke, selv om de æste er vigtigere ed alle adre: Ved samtlige kostruktioer må der ku avedes passer og lieal! Det ka måske forekomme lidt vilkårligt hvorfor lige de to istrumeter? Me forklarige er ige, at grækere søgte at sætte så få og beskede forudsætiger op som muligt; og uaset hvilke midler, der skulle tillades, måtte ma uder alle omstædigheder være helt eige om, hvad der må bruges. Det er ok betydeligt sværere at blive eige om at avede et eller adet sidrigt apparat, ed de simple passer og lieal. Det fortælles, at det var astroome Oiopides fra Chios (levede ca. 450 f.kr.), som var de første, der fastslog, at eeste tilladte hjælpemiddel er passer og lieal, og på Euklids tid var dette åbebart så almet aerkedt, at det ed ikke æves. ØVELSE Forestil dig du er e græker på Euklids tid. Hvorda vil du skaffe dig e lieal og e passer? Hvad er efter di opfattelse det mest opridelige eller mest grudlæggede af de to istrumeter? Hvis du begyder med ku at have to pukter og afstade mellem dem, hvor lagt ka du så komme i die kostruktioer ved brug af lieal alee? Hvor lagt ka du komme ved brug af passer og lieal alee?

13 Fra græsk geometri til modere algebra Side 3 af 45 EUKLIDS ELEMENTER* BOG Defiitioer. Et pukt er det, der ikke ka deles.. E liie er e lægde ude bredde. 3. E liies begræsiger er pukter. 4. E ret liie er e liie, som ligger lige mellem puktere på de. 5. E flade er det, der ku har e lægde og e bredde. 6. E flades begræsiger er liier. 7. E pla flade er e flade, som ligger lige mellem de rette liier i de. 8. E pla vikel er hældige mellem to liier, der ligger i samme pla, har et pukt fælles og ikke ligger på e ret liie. 9. Når de liier, der ideslutter vikler, er rette, kaldes vikle retliiet. 0. Når e ret liie er oprejst på e ade, så at de ved side af hiade liggede vikler bliver lige store, er ehver af de lige store vikler ret; og dee rette liie, der er oprejst på de ade, kaldes vikelret på dee.. Em stump vikel er e vikel, som er større ed e ret.. E spids vikel er e vikel, som er midre ed e ret. 3. E omkreds er begræsige af oget. 4. E figur er det, der idesluttes af e eller flere omkredse. 5. E cirkel er e pla figur, idesluttet af e såda liie (som kaldes periferie), at alle de rette liier, der ka trækkes ud til de fra et ide for figure liggede pukt, er idbyrdes lige store. 6. Dette pukt kaldes cetrum i cirkle. 7. E diameter i cirkle er e ret liie, trykket geem cetrum og begræset til begge sider af cirkelperiferie, og de halverer også cirkle. 8. E halvcirkel er e figur, som idesluttes af e diameter og de af diametere afskåre periferi. Halvcirkles cetrum er det samme som cirkles. 9. Retliiede figurer er sådae, som idesluttes af rette liier: tresidede, som idesluttes af tre, firesidede af fire, flersidede af flere ed fire rette liier. 0. Af tresidede figurer kaldes de, der har alle tre sider lige store, e ligesidet, de som ku har to sider lige store, e ligebeet, og de, som har alle tre sider ulige store, e skæv trekat.. Af tresidede figurer kaldes edvidere de, der har e ret vikel, e retviklet, de, der har e stump vikel, e stumpviklet, de, der har alle tre vikler spidse, e spidsviklet trekat.. Af firesidede figurer kaldes de, der både er ligesidet og retviklet, et kvadrat, de, der er retviklet, me ikke ligesidet, et rektagel, de, der er ligesidet, me ikke retviklet, e rhombe, de, der både ar modståede sider og vikler lige store, me hverke er ligesidet eller retviklet, e rhomboide, de øvrige firesider kue kaldes trapezer. 3. Parallelle liier er rette liier, der ligger i samme pla, og som, år de forlæges ubegræset til begge sider, ikke mødes til oge af sidere. Forudsætiger Lad det være forudsat:. At ma ka trække e ret liie fra et hvilket som helst pukt til et hvilket som helst adet pukt.. At ma ka forlæge e begræset liie i ret liie ud i eet. 3. At ma ka tege e cirkel med et hvilket som helst cetrum og e hvilke som helst radius. 4. At alle rette vikler er lige store. 5. At år e ret liie skærer to rette liier og de idvedige vikler på samme side er midre ed to rette, så mødes de to liier, år de forlæges ubegræset, på de side, hvor de to vikler, der er midre ed de to rette, ligger. Almidelige begreber. Størrelser, der er lige store med samme størrelse, er idbyrdes lige store.. Når lige store størrelser lægges til lige store størrelser, er summere lige store. 3. Når lige store størrelser trækkes fra lige store størrelser, er restere lige store. 4. Størrelser, der ka dække hveradre, er idbyrdes lige store. 5. Det hele er større ed e del deraf. De første to sider af Elemetere, Bog I, i dask oversættelse. Det, som har impoeret verde side, er dels Euklids eve til at opstille og fastholde sit aksiomsystem og dels de uhyre præcisio og øjagtighed i alle detaljer, der præger has argumetatio. I det væsetlige lever has system edog op til kravee til et modere aksiomsystem. Disse krav er følgede tre:. Aksiomsystemet skal være fuldstædigt, dvs. der må ikke være uudtalte forudsætiger.. Aksiomsystemet skal være kosistet, dvs. ma må ikke kue udlede to sætiger, der er i modstrid med hiade. 3. Aksiomere skal være uafhægige, dvs. ma har brug for alle aksiomer og ka ikke udlede oge af disse ud fra adre af aksiomere. Efter totusid års forsøg på at vise, at parallelpostulatet (r. 5) ikke er uafhægig af de adre, lykkedes det midt i 800-tallet ogelude samtidig for ugarere Wolfgag Bolyai og russere Nikolaj Lobatjevskij at vise, at postulatet var ødvedigt for at få udviklet plageometrie. Euklid havde haft ret over for de tusider, der havde forsøgt at vise det modsatte.

14 Fra græsk geometri til modere algebra Side 4 af 45 Med adre udgaver af parallelpostulatet kue ma emlig få adre udgaver af geometrie; disse adre geometrier blev i begydelse aset som de reeste og mest abstrakte matematik, ude relatio til virkelighedes verde, idtil Eistei faktisk avedte de ikke-euklidiske geometri i si relativitetsteori. ØVELSE Overvej det første krav om fuldstædighed. Ka du fide adre magler hos Euklid ed de ævte med passer og lieal, dvs. adre tig, vi bruger, ude det er ævt i forudsætigere. 4. De uløste kostruktiosopgaver Højdepuktet i Euklids Geometri er kostruktioe af de fem regulære polyedre og beviset for, at der ikke fides adre ed disse fem. Dette er emet for Bog XIII. Euklid omtaler imidlertid ikke de tre store uløste problemer: Ka ma ved hjælp af passer og lieal kostruere e løsig på følgede:.»teriges fordoblig«: Givet e terig. Kostruér e y terig med dobbelt så stort et rumfag..»vikles tredelig«: Givet e vikel. Del de i tre lige store dele. 3.»Cirkles kvadratur«: Givet e cirkel. Kostruér et kvadrat, der har samme areal som cirkle. Problemere var kedt af alle og ehver. De blev omtalt af filosoffer og forfattere og voldte hovedbrud for mage e matematiker og edu flere glade amatører. Astregelsere for at løse dem var lagtfra spildte, for de førte til mage adre iteressate resultater. Me de tre problemer forblev uløste. At så ekle problemer er så svære at løse, er for mage meesker i sig selv vaskelig at forstå. Me det er faktisk lagt fra eeståede i matematikhistorie, æste tværtimod. Tæk på firfarveproblemet, eller Fermats store sætig. Lad os formulere de tre klassiske problemer lidt mere præcist:. Givet e terig med rumfag, dvs. sidelægde. Ka vi kostruere e terig med rumfag, dvs. Ka vi kostruere et lijestykke med lægde 3?. Nogle vikler, som 90 eller 80, ka vi let tredele. Problemet er, om alle ka tredeles. Eller omvedt: Fides der vikler, som ikke ka? Ka eksempelvis også vikle på 60 eller på 30 tredeles? 3. Arealet af e cirkel er π r. Arealet af ehedscirkle er således π. Et kvadrat med areal π må have katlægde π. Hvis vi ka kostruere π, ka vi imidlertid også kostruere π, og omvedt det behadler vi på side 6 så problemet er: Ka vi kostruere et lijestykke med lægde π? a. Myter om de tre problemer Problemere fascierede samtide i e såda grad, at der blev skabt e række myter om dem, hvoraf de kedteste fortæller følgede: Firfarveproblemet rejser spørgsmålet, om ma ka øjes med at bruge 4 farver, hvis et atlas skal farvelægges, så ladee adskilles ved hjælp af farvere. Det hævdes i dag bevist med et gigatisk computerbevis. Fermats store sætig, som ha formulerede i margee på e gammel matematikbog, lyder:»der fides ige hele tal x, y og z, som opfylder ligige x + y = z, hvor >. Efter 350 år blev de edelig vist, me ved hjælp af de mest avacerede matematisk teori hetet fra mage forskellige områder af matematikke.

15 Fra græsk geometri til modere algebra Side 5 af 45 Øe Delos midt i det ægæiske hav blev ramt af pest, og i deres ød hevedte befolkige sig til oraklet i Delfi for at spørge om råd. Her fik de som altid et tåget svar, emlig at de skulle drage hjem og milde guderes vrede ved at gøre det terigformede alter, de havde i deres Apollotempel på øe, dobbelt så stort. De drog hjem og tækte læge over svaret. Hvorda fordobles e terig? Da de havde tækt læge, og ige kue fide svaret, hevedte de sig til Akademiet i Athe, hvor de klogeste hoveder var samlet. Plato mete ok, de havde taget svaret for bogstaveligt oraklet havde sarere met, at idbyggere på Delos skulle lægge sig mere efter matematik. Alligevel gik de i gag med problemet; me det viste sig umuligt for dem at løse det, år de ku måtte bruge passer og lieal. I deres søge efter e løsig kostruerede de dog et apparat, der kue klare opgave, som vi skal se lidt seere. Og apparatet var, hvad de kue give videre til idbyggere på Delos. Det forlyder ikke, om guderes vrede blev mildet. Efter dee fortællig kaldes problemet om teriges fordoblig for»det deliske problem«. Historie er jo god ok; me de er u ok løg. For problemet var kedt læge før Platos tid. Adre udgaver af historie skubber de ogle årtier tilbage og taler om de pest, der ramte Athe omkrig 430, og som rev e fjerdedel af byes idbyggere i døde. Me det er u stadig ikke lagt ok tilbage i tide. Euripides, e af datides store forfattere, går helt til de ade yderlighed og skubber myte mere ed 000 år tilbage, til Kretas storhedstid uder kog Mios. Da e af dees ærmeste skulle begraves, og kog Mios så de terigformede udgravig, så befalede ha ifølge Euripides, at grave skulle gøres dobbelt så stor, ude at des smukke form blev ædret. Atter adre taler om opgaver, hvor det drejer sig om at fordoble statuer og det er pricipielt samme problem. Det fremgår i øvrigt af e af Platos dialoger, Republikke, at ha faktisk var iteresseret i problemet. I e diskussio mellem Sokrates (Platos talerør) og Glauko hedder det:»glauko: Me Sokrates, dette eme forstørrelse af terige syes edu ikke at være blevet udersøgt. Sokrates: Der er to grude dertil; for det første, eftersom ige by værdsætter dem, går disse udersøgelser meget trægt, på grud af deres vaskelighed. Og for det adet behøver de, der udersøger emet, e leder.«mo ikke Plato her ubeskedet tækte på sig selv? b. Løsig med adre metoder ed med passer og lieal. Teriges fordoblig Teriges fordoblig er et rumgeometrisk problem: E terig med sidelægde a har rumfag a 3. Ka vi kostruere sidelægde b i e terig med rumfag a 3? Med vore dages betegelser ved vi: b= a Problemet ville være lettere at overskue, mete grækere, hvis det kue»oversættes«fra 3 til dimesioer. Og det ka det! Allerede Hippokrates viste (omkrig 430 f.kr.), at teriges fordoblig svarer til problemet om at kostruere to sammehørede mellemproportioaler: Vi har givet lijestykkere a og d. Kostruér to adre lijestykker b og c, så der gælder: a b c = = b c d

16 Fra græsk geometri til modere algebra Side 6 af 45 Vi ka (og grækere kue) let kostruere é mellemproportioal: Givet a og d, kostruér et x, så: a x x = d (Har du ikke kostruktioe præset, så se uder: Geometriske kostruktioer på side 7). Derfor er det jo e ærliggede take, at vi kommer et stort skridt ærmere e løsig ved e såda»oversættelse«. Lad os derfor lige idse, at det faktisk forholder sig, som Hippokrates viste. Ét argumet herfor ka lyde: Vi begyder med e terig med katlægde a. Lad os et øjeblik sige, vi kue kostruere e dobbelt så stor terig med katlægde b. Ka vi gøre det é gag, ka vi også getage det, så vi laver u e terig dobbelt så stor som b-terige, u med katlægde c. Så er det klart, at c s forstørrelse i forhold til b, må være det samme som b s forstørrelse i forhold til a. Altså: c b = b a Vi getager processe, u med c-terige, der fordobles til e terig med katlægde d. Ige må derfor gælde: d c c = b Me u har vi jo fordoblet de opridelige terig tre gage, så de er 3 = 8 gage så stor som a- terige. Derfor må de have katlægde a, idet der jo gælder, at (a) 3 = 8a 3. Altså: d = a, som idsættes i ligige ovefor, så vi alt i alt får: a c b = = (*) c b a a og a keder vi. Ka vi løse problemet om»kostruktio af sammehørede mellemproportioaler«, er opgave derfor løst: Det b, vi får i e såda kostruktio, er de øskede katlægde: b= a ØVELSE Fider du argumetet for løst, så geemfør det ved at sætte a =, b = og c = b og se at (*) er opfyldt. Det skulle vise sig, at det heller ikke var muligt at løse dee udgave af problemet alee med brug af passer og lieal. Me arbejdet var dog lagt fra spildt. Dels kom der e række praktiske løsiger ud af det, som f.eks. følgede, der efter overleverige skulle være det apparat, Akademiet kostruerede til løsig af det deliske problem:

17 Fra græsk geometri til modere algebra Side 7 af 45 S N U S M O P S U R S Stykket OM er a, og stykket OR er a. I apparatet skydes U-stykket på plads, så det kommer til at ligge som vist på tegige. Ved at se på esviklede trekater fider vi så: OR OP ON = = OP ON OM Sættes OP = c og ON = b, står der altså a = c = b. c b a Me vigtigere for matematikkes udviklig var det, at udersøgelser over»de sammehørede mellemproportioaler«førte frem til opdagelse af parabler, ellipser og hyperbler det, vi samlet kalder for keglesittee (fordi disse figurer ka fremkomme ved at lade e pla sitte igeem e kegle). Det var e ade af de store før Euklid, matematikere Meaichmos (ca. 350 f.kr.), der åede frem til dette. Med modere ligiger og koordiatsystemer er det let ok at se. Degag var det uhyre kompliceret; koordiatsystemet blev først laceret som et yttigt redskab i geometrie af de fraske matematiker og filosof Descartes i 637. Lad os se, hvorledes disse keglesit dukker op fra»de sammehørede mellemproportioaler«. Vi ser ige på ligige med de tre forhold og kalder de søgte stykker for x og y (mellemproportioalere) og dem, vi keder, for a og b. Vi skal altså fide x og y ud fra følgede: a x y = = x y b

18 Fra græsk geometri til modere algebra Side 8 af 45 Der står faktisk tre ligiger her: a x x = () y x y y = () b a x y = (3) b I () isolerer vi u x, og i () og (3) isolerer vi y; så får vi: y a = x () x b = y () y = a b (3) x Disse ligiger fremstiller kurver, vi keder: De første er e almidelig parabel. De ade er e parabel, der»ligger ed«, dvs. de er symmetrisk om x-akse. De tredje er e hyperbel. Me det betyder jo, at vi ka fide x og y som skærigspuktere mellem to parabler ( og ) eller som skærigspukt mellem e parabel og e hyperbel ( og 3 eller og 3): 3 y y x x Vi ka imidlertid ikke tege parabler og hyperbler alee med brug af passer og lieal. Me et yt område af geometrie var uder udviklig. Godt 00 år seere var dee teori allerede drevet så vidt, at e af de tre store Appoloius (6 90) kue skrive et værk om keglesittee, der var lige så impoerede på sit felt, som Elemetere.. Vikles tredelig Det er let at tredele et lijestykke. Eller for de sags skyld dele det op i lige store dele, hvor : Afsæt e vilkårlig vikel, hvor lije l = AB ligger ud af det ee be. Afsæt lige lage stykker ed af det adet be, så vi her får puktere P, P,, P. Forbid u det sidste P med B og teg geem P, P, osv. lijer parallelle med P B. Deres skærigspukter med lije l kalder vi for Q, Q,, Q, og disse pukter deler AB i lige store dele:

19 Fra græsk geometri til modere algebra Side 9 af 45 A Q Q Q Q B = Q A Q Q B = Q P P P P 3 P 4 P 5 Tilflædet = 5 Tilfældet = 3 P P 3 Når dette er tilfældet, er det jo ikke e fjer take at rejse problemet om tredelig af e vikel. Me det kue mærkværdigvis ikke løses så let ja det viste sig at være uløseligt. Me med flere hjælpemidler gik det fit. Arkimedes lavede de ok ekleste kostruktio, hvor ha brugte e»idskydigslieal«, dvs. e lieal med måleeheder. Ha gjorde som følger: I ehedscirkle afsættes de vikel, vi vil tredele, i. kvadrat (se figure). Vi kalder vikle 3v, og øsker altså at fide e vikel af størrelse v. Vi tager u lieale, lægger de, så de rører puktet A, således at vi får afsat et E A stykke BC, der har lægde. Det ka vi gøre ved at prøve os frem. Når BC er afsat, er trekatere OAB og OBC begge ligebeede, og ved at se på vikelsumme fider vi viklere som vist på tegige og specielt: C = v, altså etop e tredjedel af de, vi begydte med. ØVELSE Geemfør beviset for at C = v. I deres jagt på e løsig fadt de græske matematikere frem til e række ye, komplicerede kurver, som Kvadratrice, Kokoide, Arkimedes spiral og adre, som ma i dag studerer uder vektorfuktioer. Me ige af dem kue kostrueres med passer og lieal. Geem århudredere fortsattes forsøgee, og mage troede, de havde fudet e løsig, som de så sedte til matematikere og videskabelige akademier i håb om berømmelse og beløig. Det gik så vidt, at det fraske Videskaberes Akademi i 775 udsedte e erklærig om, at det fremover hverke ville bedømme vikeltredeliger, cirkelkvadraturer eller evighedsmaskier. I deres begrudelse skrev de, at der gik rygter om, at regeriger havde udlovet store dusører til dem, som løste problemere, og at det var blevet til e sad galskab hos mage, som opgav deres arbejde og blev gaske forstyrrede i hovedere og i øvrigt ikke ville tage imod foruft og acceptere, at de løsiger, de kom med, var fejlagtige. Me det stoppede ikke de glade amatører, og mage lavede utroligt komplicerede kostruktioer, som var tæt ved, me aldrig eksakt løste opgave. Således bragtes i åree omkrig 930 i et af de store tyske matematiktidsskrifter ogle artikler på grudlag af e skrædders ihærdige arbejde med passer og lieal. De første hed:»die Wikeldreiteilug des Scheidermeister Kopf«og de æste:»eie eue Wikeldreiteilug des Scheidermeister Kopf«. v 3v O v v B F v C

20 Fra græsk geometri til modere algebra Side 0 af 45 Mere frugtbar var udviklige bladt de arabiske matematikere omkrig år 000. De fadt frem til, at vikeltredelige kue»oversættes«til et spørgsmål, om e bestemt tredjegradsligig havde e løsig. Dette blev seere fulgt op af Descartes ( ), der i si præsetatio af koordiatsystemet behadlede kurver af tredje, fjerde og højere grad, for at vise de ye aalytiske geometris overlegehed. Descartes argumet var ogelude som følger: Lad os ige kalde de vikel, vi vil tredele, for 3v, og begyde med at afsætte e vikel på 6v i e ehedscirkel med cetrum i O. De to pukter A og D forbides, og vi atager u, at vi kue tredele vikle på 6v for at aalysere problemet øjere. Tredelig af 6v ville give vikler på v og puktere B og C. Trekatere OAB, OBC og OCD er alle ligebeede og har alle topvikle v, dvs. viklere ved grudlije er 90 v, f.eks. A = B = 90 v Trekat OAD også ligebeet, med topvikel 6v og vikler ved grudlije: OAD = ODA = 90 3v Derfor ser vi, at i trekat ABE er EAB lig med v, og da EBA = 90 v, må også BEA være 90 v, så trekate er ligebeet og ligedaet med trekat OAB. Altså: AB AO BE = eller AB BE AB = = AB, AO da AO =. Vores mål er at kue kostruere si(v) ud fra kedskab til si(3v), for så ka vi også på ehedscirkle kostruere v ud fra 3v. AB = si v : Vi vil å frem til dette ved at udytte, at trekat OAB er ligebeet, så ( ) A si v si v B v v O

21 Fra græsk geometri til modere algebra Side af 45 samt udytte, at trekat OAD er ligebeet, så AD si( 3v) = : A si 3v si 3v D 3v 3v O Nu magler vi blot at få AD udtrykt ved AB. Derfor trækker vi e lije l parallel med OC, og som skærer AD i G. Nu er BC at DF = DC = AB. Heraf ser vi, at AD = DF + GF GE AD = 3 AB GE. = GF, og vi ved, Se u på trekat BGE. De er kostrueret, så G = F = 90 v. E er også lig med 90 v. Me så er trekat BGE ligebeet og ligedaet med trekat ABE, dvs. GE BE BE = GE = BE AB AB Idsæt u BE = AB : GE ( AB ) = = AB, dvs. AB 3 AD = 3 AB GE ( ) ( v) ( v) ( v) ( v) ( v) 3 ( v) ( v) = ( v) 3 ( v) 3 AD = 3 AB AB si 3 = 3 si si si 3 = 6 si 8 si si 3 3 si 4 si 3 Hermed er tredelige oversat til løsig af e tredjegradsligig: Givet tallet si(3v). Fid det x, der opfylder: 3 4x + 3x = si 3v ( ) Dette x er så si(v), og ka på ehedscirkle give os v. EKSEMPEL Tredelig af e vikel på 30. Vi ved, at ( ) 3 4x + 3x = eller 8x 6x+ =0 3 si 30 =. Altså fides si(0 ) ud af ligige:

22 Fra græsk geometri til modere algebra Side af 45 Det medførte ikke, at ma u kue løse problemet med passer og lieal. Me oversættelse fra et geometrisk til et algebraisk problem skulle vise sig at være et afgørede redskab til at bevise umulighede af at løse opgave. 3. Cirkles kvadratur Dette er lagt det sværeste af problemere. Ma lærte tidligt at kvadrere vilkårlige polygoer, dvs. til e vilkårlig polygo (magekat) at fide et kvadrat med samme areal. Det ka ma idse geem et par skridt. Først er vi tilfredse med at omsætte til rektagler. ØVELSE Se på figure og vis, hvorledes ma ka fide et rektagel med samme areal som trekat ABC: B A C Når vi har e polygo, splittes de op i trekater, og hver af disse omsættes til et rektagel: Når vi således får flere rektagler, skal de stykkes samme, dvs. gives e fælles højde. Det sker lettest på følgede måde: Givet rektaglere R og R : h R R R skal omformes til et med højde h. Teg dertil følgede figur:

23 Fra græsk geometri til modere algebra Side 3 af 45 R III IV I II h R ' Har alle rektagler u fået samme højde, stykkes de samme til ét ved blot at sætte dem i forlægelse af hiade: R R R R 3 dvs. polygoes areal er lig med rektaglets areal. Når vi har fudet ét rektagel med sidere a og b, omformes dette slutteligt til et kvadrat ved kostruktio af mellemproportioale x til a og b: x a = eller b x x = a b x a b Altså har det søgte kvadrat side x, som vi etop har kostrueret (for dee kostruktio se afsit 5). E cirkel ka tilærmes med polygoer laves flere og flere kater, ka vi komme tættere og tættere på cirkelbue. Så skulle ma måske tro, at også cirkle ka kvadreres. Det lykkedes tidligt for matematikere Hippokrates (ca. 430 f.kr.) at kvadrere visse halvmåer, dvs. figurer afgræset af to cirkelbuer. Det gøres som følger. Vi teger e halvmåe afgræset yderst af e halvcirkel med radius r og cetrum M og iderst af e bue fra e cirkel med radius r = og cetrum O:

24 Fra græsk geometri til modere algebra Side 4 af 45 B r r A M C. r. r Sidere i trekat AOC opfylder Pythagoras læresætig, derfor er O = 90. O I halvcirkle teges e ligebeet, retviklet trekat ABC. Cirkelafsittee over AB og BC (de skraverede) svarer begge til 90. Det samme gør cirkelafsittet over AC, så cirkelafsittee er ligedaede. Når radius gages op med (fra r til r ), så gages arealet op med ( ) =. Dvs. arealet af afsittet over AC er gage arealet af afsittet over AB, dvs. lig med summe af de to afsit over AB og over BC. Da således det / / / / skraverede er lig med det \ \ \ \ skraverede, er halvmåes areal lig med arealet af trekat ABC. Og e trekat ka kvadreres! Altså ka halvmåe kvadreres. Det måtte aturligt ok bestyrke troe på, at cirkler ka kvadreres. Me ak ej også her måtte ma ty til de komplicerede kurver som f.eks. Arkimedes spiral for at løse problemet. E af de store skuespilforfattere Aristofaes lod sig i øvrigt ispirere af dette problem til at berige sproget med et yt udtryk til at karakterisere tåbelige meesker: såda ogle»cirkelkvadratører«(fra Fuglee). 5. Vigtige geometriske kostruktioer Grækere forlod ikke aritmetikke og de abstrakte bogstavregig (algebra), da de vedte sig til geometrie. Me geometrie rejste tilsyeladede ikke uforståelige paradokser. Uaset at pukter og lijer er abstraktioer (hvem ka tege e lije ude bredde!), så følte de ok som vi, at papiret, sadet på strade eller e tavle med vore lijer og cirkler er e så god repræsetatio af de abstrakte geometriske model, at vi ikke så let påtviges ubehagelige spørgsmål som:»fides der u virkelig et pukt, hvor de to cirkelbuer ser ud til at skære hiade?«vi teger jo cirkelbue ude at hæve blyate, så de må skære hiade. Samtidig var de bedre i stad til at geemføre e striget opbygig af geometrie ed ide for talbehadlig eller algebra. Det keder alle et område, ma læge har beskæftiget sig med, har afsat så mage idlysede regler og metoder, at det er svært at komme til buds i, hvad der er forudsætiger, og hvad vi slutter os til ud fra forudsætigere. I geometrie opstillede Euklid defiitioer og aksiomer, og samtidig blev det»kaoiseret«, at følge det krav, som Oiopides fra Chios havde rejst emlig at det ku var tilladt at bruge passer

25 Fra græsk geometri til modere algebra Side 5 af 45 og lieal. I opbygige af e matematisk teori må det aturligvis fastlægges, hvad der er tilladt, og hvad der ikke er. Når de valgte at øjes med så beskede hjælpemidler, var det givetvis med heblik på at reducere til så få forudsætiger som muligt. Dette er i god overesstemmelse med modere krav til aksiomsystemer. a. Adre aksiomsystemer Ma kue aturligvis have valgt adre aksiomer og adre hjælpemidler. Som tidligere omtalt vil vi få forskellige former for ikke-euklidisk geometri, hvis parallel-postulatet erstattes med et adet. Et helt adet projekt blev i begydelse af dette århudrede udviklet af e af vore store daske matematikere Hjelmslev: De såkaldte virkelighedsgeometri. Dee byggede på sådae syspukter som:»i virkelighede«skærer to lijer ikke hiade i et pukt, me i et lille lijestykke! se selv efter år du teger. Hjelmslev udviklede et helt aksiomsystem som grudlag for si teori, og som de vigtigste metode satte ha: At prøve sig frem! I Hjelmslevs geometri er det uhyre simpelt at tredele e vikel. Det er faktisk de første kostruktio i has lærebog om det, ha kalder»geometriske eksperimeter«: Tag e målepasser (e med ål i begge eder), og prøv at aslå, hvor stor e tredjedel af e give vikel er. Mål efter og juster id, hvis de var lidt for stor osv. Metode er overlege, fordi de giver et lagt mere øjagtigt resultat»i virkelighede«, ed alle adre beregigsmetoder giver, fastslog Hjelmslev. Og så er de ove i købet selvkotrollerede! For ma gør etop prøve, ved at bruge passere som omtalt. At have metoder, der er selvkotrollerede, ville ikke være så dårligt. Når Hjelmslevs geometri ikke slog a, skyldes det især, at matematikke er iteresseret i mere ed gode beregiger. I matematik er vi grudlæggede iteresseret i at forstå hvorfor, eller hvorfor ikke oget gælder. b. Kostruktioer med passer og lieal Da grækere havde fastlagt forudsætigere i geometrie, løste de derefter algebraiske problemer ved at oversætte til geometri og løse dem der. Dee særlige discipli er med et udtryk af de daske matematiker Zeuthe blevet kaldt geometrisk algebra, og Euklids bog II hadler stort set om dette. Eksempelvis løste de adegradsligiger ved geometriske kostruktioer. I dag er det sarere omvedt der er rimeligt styr på det algebraiske, og vi oversætter geometriske problemer til algebraiske, hvor de så løses, som vi skal se seere. Idefor geometrisk algebra bygger ma på e række vigtige kostruktioer, som vi får brug for; me som det også i sig selv er af iteresse at kue beherske. Vi begyder med følgede vedtagelser: Tal oversættes til lijestykkers lægde. Med a beteges både tallet a og et lijestykke af lægde a. a er således positiv. Et egativ tal agives a, hvor a er positiv. Med a b beteges hos Euklid ofte rektaglet med sidere a og b og areal a b. Dee oversættelse af tal til geometri er i øvrigt sprogligt bevaret i udtrykket»kvadratet på a«for a. Vi vil imidlertid søge at få alle tal, også a b repræseteret ved lijestykker. Vi bruger i det følgede både kogruessætigere og de vigtige sætig om esviklede trekater, som vi allerede har brugt e del gage:»i esviklede trekater er forholdet mellem lægdere af esliggede sider det samme tal.«