ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI"

Transkript

1 ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning Øve vinkler i retvinklede trekanter Sammensatte opgaver Ligebenede trekanter Skriftlige eksamensopgaver (1) del af hæftet side 26 1

2 Begreber i klassisk geometri + formelsamling I matematikundervisningen forudsætter vi følgende begreber og sætninger i plangeometrien (Frit efter Euklid ca. 300 f. kr.). Tilføj selv forklaringer og kommentarer 1. Punkt 2. Linje (også kaldet ret linje), halvlinje, linjestykke 3. Cirkel, centrum, radius 4. Vinkel 5. Topvinkler er lige store 6. Ret vinkel (90 = 1 2 radianer) Vinkel på 180 = radianer Vinkel på 360 = 2 radianer 7. Parallelle linjer 180 = 3,14.. rad. 8. Ensliggende vinkler ved linje, der skærer parallelle linjer 9. En trekants vinkelsum er 180 A + B + C = og beviset A C B A B C A C B 10. Sætningen om ensvinklede trekanter c a b c 1 a (Krum) kurve b 1 2

3 3

4 Ensvinklede trekanter To trekanter, ABC og A 1 B 1 C 1 kaldes ensvinklede hvis vinklerne opfylder A=A 1, B=B 1 og C=C 1 For sidelængderne i to ensliggende trekanter gælder: a 1 c 1 a1 b1 c1 k a b c b 1 Eller: Der findes et fælles tal, k, sådan at a c a k = a 1 b k = b 1 c k = c 1 b k kaldes forstørrelsesfaktor, skalafaktor, målestoksforhold. Vilkårlig trekant Trekantens areal T: T = 0.5 g h = 0.5 a b sin(c) h b Vinkelsummen: A + B + C = 180 (hvoraf f. eks. A = 180 B C ) g C a Sinusrelation sin( A ) sin( B ) sin( C ) a b c C b A c B side: b sin( A) a sin( B) vinkelberegning: 1 a sin( B) A sin ( spids vinkel) b eller 1 a sin( B) A 180 sin ( stump vinkel) b a Cosinusrelation (ikke Mat C-stof før maj 2011) c a b 2 a b cos( C) Spids vinkel: mellem 0 og 90 Stump vinkel: mellem 90 og 180 Side-beregning: 2 2 c a b 2 a b cos( C) Vinkel-beregning: C cos a b c 2 a b Retvinklet trekant hyp b a I en retvinklet trekant ( 90 vinkel ) gælder Pythagoras: Omformning af a 2 + b 2 = hyp hyp a b 2 2 b hyp a 4

5 Retvinklet trekant (fortsat) Sinus, cosinus, tangens i retvinklet trekant: I en retvinklet trekant gælder for en spids vinkel, v: sinv modstående katete til v hypotenuse hyp v Hosliggende katete til v Modstående katete til v cos v tan v hosliggende katete til v hypotenuse modstående katete til v hosliggende katete til v En model i geometri er en tegning med navne og evt. mål på indgående punkter, linjestykker, vinkler o.s.v. Højde, median og vinkelhalveringslinje i vilkårlig trekant Firkanter Kvadrat Rektangel Parallelogram Trapez Areal = Længde Bredde 5

6 6

7 Ensvinklede trekanter Trekanterne nedenfor er ensvinklede. Det vil sige, at ensliggende vinkler er lige store, eller mere præcist:, og. For ensvinklede trekanter gælder, at forholdet mellem ensliggende sider er det samme. Dette betyder, at der gælder om siderne: I dette konkrete tilfælde er Man siger, at der er en skalafaktor mellem de to trekanter på ½. Dette betyder løst sagt, at er halvt så stor som. Andre ord for skalafaktor: målestoksforhold, forstørrelsesfaktor OPGAVER 1. Beregn siderne og i disse ensvinklede trekanter. b 11 1 Vi isolerer a a Vi isolerer b. 8 7

8 2. Det vides, at og er ensvinklede og at og. Overfør målene til trekanterne og beregn siderne og. 3. Det vides, at og er ensvinklede og at og. Overfør målene til trekanterne og beregn siderne og. 4. Trekanterne og er ensvinklede med,, og. Beregn sidelængderne og. 5. I er og. I er og. Er trekanterne ensvinklede? Hvis ja, hvad er skalafaktoren? 8

9 6. I er og. I er og. Er trekanterne ensvinklede? Hvis ja, hvad er skalafaktoren? 7. Et træ kaster en 8,5 meter lang skygge, mens en 1 meter høj pind kaster en skygge på 0,9 meter. Tegn en skitse og beregn træets højde. 8. En eftermiddag kaster et 12 meter højt hus en skygge på 20 meter. Tegn en skitse og beregn, hvor lang en skygge kaster naboens 16 meter høje hus på samme tid? 9. Trekanterne og er ensvinklede. Siden er og arealet af er 10. Skalafaktoren mellem de to er. Bestem længden af højden på siden. 10. Det vides, at og er ensvinklede. Skalafaktoren er 3. Hvor mange gange større er arealet af end arealet af? 9

10 Pythagoras Sætning I retvinklede trekanter (og kun i retvinklede trekanter) gælder Pythagoras Sætning. En retvinklet trekant har to kateter (dvs. de sider som danner den rette vinkel) og en hypotenuse (dvs. den side som ligger over for den rette vinkel). I en retvinklet trekant ( 90 vinkel ) gælder Pythagoras: hyp b a Omformning af a 2 + b 2 = hyp hyp a b 2 2 b hyp a OPGAVER 1. Marker den rette vinkel og hypotenusen i følgende retvinklede trekanter: 2. Beregn hypotenusen i en retvinklet trekant, når det vides at - kateterne er henholdsvis 3 og 4 - kateterne er henholdsvis 8 og 6 - kateterne er henholdsvis 5 og Beregn den manglende katete, når det vides at - hypotenusen er 10 og den ene katete er 7 - hypotenusen er 14,2 og den ene katete er 8,6 - hypotenusen er 14,7 og den ene katete er 5,2 10

11 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav. Start med at markere den rette vinkel, og skriv hyp på hypotenusen. 5 5 c =hyp hyp e 8 d 9 h g f 11

12 2, i 3,6 3,1 3,7 k j m 0, n 0,5 L 36 12

13 4. På figuren nedenfor ses, hvor. - Beregn siden, når det vides at og - Beregn siden, når det vides at og - Beregn siden, når det vides at og 5. Opskriv Pythagoras Sætning for nedenstående : Beregn hypotenusen, givet at kateterne er henholdsvis og. 6. Opskriv Pythagoras Sætning for nedenstående : Beregn c, givet at a= 8 og b= 4 13

14 7. Afgør hvilke af følgende trekanter, der ikke kan være retvinklet: - når, og - når, og - når, og - når, og 8. I skemaet betegner og kateterne, hypotenusen i en retvinklet trekant. Udfyld skemaets tomme rubrikker med en decimals nøjagtighed: , , ,4 48,1 9. * På Jens Hansens bondegård findes en kvadratisk mark, der er 120 meter på hver led. Inde på marken ligger en brønd ( ), og Jens Hansen ved, at brønden har samme afstand til de to hjørner og som til siden. Han plejer at drille sine gæster med spørgsmålet: Hvor stor er denne afstand? 14

15 Øve vinkler i retvinklede trekanter Brug sinus, Pythagoras og vinkelsum til at bestemme en ukendt side eller vinkel (angivet ved bogstav. Formel og mellemregninger anføres). d d sin(47 ) sin(90 ) 1 24 sin(47 ) d 17.6 sin(90 ) E sin( E) sin(90 ) sin(90 ) sin( E) sin(90 ) E sin 42, 4 40 (Kun den spidse vinkel kan bruges her) f 51 4,8 39 g H 15

16 57 35 i J k L N m 16

17 Sammensatte opgaver. Drage Figur 1 Figur 2 Figur 1 viser en sekskantet drage. På figur 2 er nogle af dragens mål angivet. a) Bestem vinkel C i trekant AHC. Bestem AH. b) Bestem vinkel A i trekant ABC. Løs opgaven, idet vinkler og sider i trekant AHC kaldes A1, H1, C1 hhv. a1, h1, c1 Og vinkler og sider i trekant AHB kaldes A2, H2, B2 hhv. a2, h2, b2 Tegn trekanter med de betegnelser og kendte mål anført. 17

18 TREKANT AHC Trekant AHC er retvinklet. Pythagoras: ( ) ( ) A 1 c 1 H 1 Altså Sinusrelationen: AH =14,97 cm ( ) ( ) h 1 = a 1 = ( ) ( ) C 1 ( ) ( ) ( ) (spids vinkel) Altså: Vinkel C i trekant AHC er 29,9 (A i TREKANT ABC) A A2 1 Vinkel A i trekant ABC er A 1 + A 2 A 1 findes ved hjælp af vinkelsum I trekant AHC (ovenfor): A 1 = 180 H 1 C 1 = ,927 =60,97 A 2 findes I trekant AHB, se nedenfor TREKANT AHB Trekant ABC er retvinklet. Pythagoras: ( ) ( ) Sinusrelationen: ( ) ( ) h 2 a 2 = ( ) ( ) A 2 b 2 c 1 = (spids vinkel) ( ( ) ) ( ( ) ) (A i TREKANT ABC) A A2 1 A = A 1 + A 2 = 60, ,975 = 101,945 Vinkel A i trekant ABC er 101,9 18

19 Øvelser fra Clausen, Schomacher, Tolnø: Gyldendals Gymnasiematematik arbejdsbog B1 19

20 6. Et højhus på etager er meter højt. En frostklar vintermorgen står solen over horisonten. Hvor lang en skygge kaster højhuset? Hvis skyggens længde er meter, hvor højt står solen så over horisonten? Tegn en skitse, der viser situationen. 7. Ved ebbe er en strand meter bred, og vandoverfladen danner en vinkel på med sandet. Fra ebbe til flod stiger vandet meter. Beregn strandens bredde ved flod. 8. To lige høje højhuse ligger i en indbyrdes afstand på meter. Sigtelinjen fra foden af det ene højhus til toppen af det andet danner en vinkel på med vandret. Beregn husenes højde. 9. Ved bredden af en skovsø står et højt træ. Klatrer man op i træet til en gren i meters højde og sigter mod skovsøens modsatte bred, danner sigtelinjen en vinkel på med vandret. Hvor bred er søen ud for træet? 20

21 Ligebenede trekanter Pythagoras Sætning (og visse trigonometriske formler) gælder kun i retvinklede trekanter. De kan også ofte være nyttige i forbindelse med ligebenede trekanter (som ikke nødvendigvis er retvinklede). Sådanne kan nemlig opdeles i to (ensvinklede) retvinklede trekanter som vist på tegningen: Her er den ligebenede inddelt i to retvinklede trekanter, nemlig og. OPGAVER 1. er ligebenet, idet. Desuden er og. Beregn og. 2. er ligebenet, og. Desuden er. Find trekantens ukendte sider og vinkler. 21

22 3. er ligebenet med. Desuden er. Bestem de resterende sider og vinkler i trekanten. 4. I er, mens højden fra er. Beregn samt trekantens vinkler og areal. 5. I en ligebenet trekant er grundlinjen, og højden på et af benene er. Beregn de manglende sider og vinkler i trekanten. 22

23 Skriftlige eksamensopgaver Fra Højere Forberedelseseksamen Matematik C-niveau December 2006: Fra Højere Forberedelseseksamen Matematik C-niveau December 2008: 23

24 Fra Højere Forberedelseseksamen Matematik C-niveau August 2006: Fra Højere Forberedelseseksamen Matematik C-niveau December 2006: 24

25 Fra Højere Forberedelseseksamen Matematik C-niveau Maj 2006: Fra Højere Forberedelseseksamen Matematik C-niveau August 2006: 25

26 Øvehæfte del 2 trigonometri (inkl. Skævvinklede) Side 1 Trekantens vinkelsum Side 2 Areal af trekanter. Side 3 Ensvinklede trekanter Side 4 Retvinklet trekant, sider og areal Side 5 Retvinklet trekant, sider, vinkler opsamling Side 6 Sinusrelationerne anvendt til at bestemme sider i skævvinklet trekant. Side 7 Sinusrelationen anvendt til at bestemme en vinkel Side 8 Arealformlen med sinus Side 9 Cosinusrelationerne til bestemmelse af en side Side 10 Cosinusrelationerne til bestemmelse af vinkel Side 11 Opsamlingsøvelser trigonometri (blandede) Side 12 Trigonometri oversigt Trekantens vinkelsum Vi starter med en sætning om vinklerne i en trekant: Vinkelsummen i en trekant er 180 Det vil sige at A + B + C = 180 Øvelse 1 A = 57 B = 41 Beregn vinkel C Øvelse 2 A = 38 C = 112 Beregn vinkel B Under søg (Google eller matematikbog eller lignende) nedenstående: 1. Tegn en ligesidet trekant. Hvad kan man sige om vinklerne i en ligesidet trekant? 2. Tegn en ligebenet trekant. Hvad kan man sige om vinklerne i en ligebenet trekant? 3. Tegn en retvinklet trekant (se evt. side 214). Hvad kan man sige om vinklerne i en retvinklet trekant? 4. Tegn en trekant hvor en af vinklerne er stump. 5. Kan en trekant have to stumpe vinkler? 26

27 Areal af trekanter. Øvelse 3 En trekant har en højde på 14 og en grundlinje på 32. Tegn en skitse af trekanten og skriv målene på tegningen. Beregn arealet af trekanten. Facit: C = 82º B = 30º Areal = 224 Trekantens areal: eksempler og øvelser Arealet af en trekant betegnes T g For en trekant med grundlinje g og højde h gælder formlen T = ½. h. g Eksempel 1: En trekant har grundlinje g = 16 og højde h = 5 Øvelse 1: En trekant har grundlinje 14 og højde 7. Tegn trekanten og beregn arealet. Arealet T = ½. h. g = = 40 Eksempel 2: En trekant har areal T = 68 og højde h = 8. Vi skal beregne grundlinjen g. T = ½. h. g 68 = g 68 = 4. g = g 17 = g Eksempel 3: En trekant har areal T = 126 og grundlinje g = 18. Vi skal beregne højden h. T = ½. h. g 126 = 0.5. h = 9. h = h 14 = h Øvelse 2: En trekant har areal 540 og grundlinje 120. Beregn højden. Øvelse 3: En trekant har areal 55 og højde 22. Beregn grundlinjen. 27

28 28

29 Facit:

30 Ensvinklede trekanter I to ensvinklede trekanter gælder: Om vinklerne: A = A 1 B = B 1 C = C 1 a 1 c 1 Om siderne: F = a 1 1 b1 c a b c b 1 a 1 a F b1 b F c1 a1 b1 c1 a b c F F F c F a b c Forstørrelsesfaktoren/skalafaktoren/målestoksforholdet betegnes her F. Andre steder ofte k Eksempel: De ukendte sider beregnes Trekanterne er ensvinklede. Løsning: (sæt sidenavne på figur) a = 6 a 1 = F c = 2.5 c c F b 1 = 12 b1 b F Øvelse: b = 5 b 1 = 15 bestem F a = 7 bestem a 1 c 1 = 12 bestem c Tegn skitse af de to trekanter (prøv jer frem) 30

31 Facit: F = 3 a 1 = 21 c = 4 Retvinklet trekant, sider og areal øvelser Øvelse 1 Sæt navne (katete, hypotenuse) på siderne i trekanterne: Pythagoras Sætning: (den ene katete) 2 + (den anden katete) 2 = (hypotenusen) 2 a 2 + b 2 = c 2 dvs., katete = Øvelse 2 Beregn længden af den tredje side i trekanten: 9 17 Øvelse 3 Beregn længden af den tredje side i trekanten: Arealet af en retvinklet trekant: En halv gange den ene katete gange den anden katete ½. a. b Øvelse 3 Beregn arealet af trekanten: Øvelse 4 Beregn den tredje side i trekanten og beregn derefter arealet: 7 13 Facit:

32 Retvinklet trekant, sider, vinkler opsamling vælg formel og løs opgaven 8 15?? Bestem denne vinkel 39º? bestem denne side 9 Bestem? denne side 10 3 Bestem denne side? 14 29º Facit: 32.2º

33 Sinusrelationerne anvendt til at bestemme sider i skævvinklet trekant. En side og to vinkler kendes. I en trekant er A = 43 og B = 69 og siden b = 6.5 Tegn trekanten! Beregn siden a ved at indsætte i formlen: a sin(a) b sin(b) a sin( ) sin( ) isoler a ( se evt. formelsamling) a = Beregn vinkel C ved at bruge at vinkelsummen er 180 C = 180 A B C = 180 = Beregn siden c ved at indsætte i formlen: c sin(c) b sin(b) c sin( ) sin( ) isoler c c = Facit: a = 4.7 C = 68 c =

34 Sinusrelationen anvendt til at bestemme en vinkel En vinkel, siden overfor, og en side til er kendt Hvis man ved at en vinkel er spids kan man bruge sinusrelationerne til at bestemme en vinkel. (ellers kan der være to svar) Eksempel: I en trekant er A = 93 og siden b = 6.5 og siden a = 13.2 Da vinkel A er stump, og der højst kan være en stump vinkel i en trekant, ved vi at vinkel B er spids. Vi kan nu beregne vinkel B ved at indsætte i formlen: sin(b) sin(a) B b a sin(b) sin(93) sin(93) sin(b) = A =93º 6.5 C sin(93) B = arcsin( 6.5 ) (Da B vides spids) 13.5 B = (arcsin er det, der på lommeregneren skrives sin -1 ) Øvelse 1: I en trekant er A = 113 og siden c = 134 og siden a = 985 Tegn trekanten og beregn vinkel C ved at indsætte i formlen: sin(c) sin(a) c a Øvelse 2: I en trekant er A = 105 og siden a = 17.8 og siden b = 9.4 Beregn vinkel B og C og siden c 34

35 Facits C = 7.2 B = 30.7 C = 44.3 c = 12.9 Arealformlen med sinus Anvendelse af arealformlen : T = ½. a. b. sin(c) = T = ½. a. c. sin(b) = T = ½. b. c. sin(a) Eksempel 1: I trekant ABC er a = 25 b = 27 og C = 39º B Arealet er T = ½ sin(39º) = A 27 C Eksempel 2: I trekant ABC er a = 33 og C = 42º Trekantens areal er Vi skal bestemme siden b Vi bruger formlen T = ½. a. b. sin(c) og indsætter de størrelser vi kender = ½. 33. b. sin(42º) vi isolerer den ubekendte b = b ½ 33 sin(42) 39.0 = b Øvelse 1: I trekant ABC er a = 3.8 og c = 5.9 og vinkel B = 65º Beregn trekantens areal Øvelse 2: I trekant ABC er vinkel A = 71º og b = 12.3 og arealet = 49.4 Beregn længden af siden c 35

36 Facits:

37 Cosinusrelationerne til bestemmelse af en side a 2 = b 2 + c 2 2bccos(A) b 2 = a 2 + c 2 2accos(B) c 2 = a 2 + b 2 2abcos(C) Eksempel: I trekant ABC er b = 11 c = 13 A = 49 Beregn siden a ( ) ( ) a = a = 10.1 Øvelse 1: I trekant ABC er a = 15 b = 18 C = 31 Beregn siden c Brug formlen ( ) Øvelse 2: I trekant ABC er a = 110 c = 83 B = 57 Beregn siden b 37

38 Facits til øvelserne: c = 9.3 b = 95.1 Cosinusrelationerne til bestemmelse af vinkel cos(a) = cos(b) = cos(c) = b a a c - a 2bc c - b 2ac b - c 2ab Eksempel: I trekant ABC er a = 3 b = 5.5 c = 4 Beregn vinklerne A = b arccos c - a 2bc B = a arccos c - b 2ac A = arccos B = arccos A = 32.2 B = C = 180 A B = 45.2 Øvelse: I trekant ABC er a = 11 b = 8 c = 14 Beregn vinklerne 38

39 Facits: til øvelsen A = 51.6 B = 34.8 C =

40 Opsamlingsøvelser trigonometri 1. Bestem længden af den sidste side. Bestem de to manglende vinkler º 2 Bestem den sidste vinkel. Bestem de to manglende sider º 48º 3 Bestem vinklerne Bestem en vinkel. Bestem den sidste vinkel. Bestem den sidste side º Facit: º 39.7º 50º º 64.3º 42.5º 40.4º 76.6º 12 40

41 Trigonometri oversigt Til mundtlig eksamen skal du bl.a. kunne: 1. Definitioner i forbindelse med trekanter og specielt retvinklet trekant. 2. Bevis for at en trekants vinkelsum er 180 grader 3. Definition af sinus og cosinus ( v. hj. a. enhedscirkel). 4. Beviset for sinusrelationen i retvinklet trekant. 5. Beviserne for sinusrelationerne i vilkårlig trekant. 6. Beviset for arealformlerne i vilkårlig trekant. 7. Beviserne for cosinusrelationerne i spidsvinklet trekant. Til skriftlig eksamen skal du bl.a. kunne: Med hjælpemidler: 1. Beregning af forstørrelsesfaktor og sider i ensvinklede trekanter. 2. Beregning af sider ved hjælp af Pythagoras sætning i retvinklet trekant. 3. Beregninger i retvinklet trekant med sinus 4. Beregninger i vilkårlig trekant 5. Beregninger i andre figurer, der kan opdeles i trekanter 6. Kendskab til højde, vinkelhalveringslinje, median og midtnormal. 41

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c)

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER...

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt Trigonometri Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 0,00 0,00 30,00 0,50 60,00 0,87 1,00 0,02 31,00 0,52 61,00 0,87 2,00 0,03 32,00 0,53 62,00 0,88 3,00 0,05 33,00 0,54 63,00 0,89 4,00 0,07 34,00

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål

Læs mere

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL 8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik A, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

M I K E A U E R B A C H. c a

M I K E A U E R B A C H. c a M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

M A T E M A T I K B 1

M A T E M A T I K B 1 M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

M A T E M A T I K A 1

M A T E M A T I K A 1 M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Mine matematik noter C

Mine matematik noter C Mine matematik noter C Ib Michelsen mimimi.dk Ikast 2006 Indholdsfortegnelse Indledning...5 Geometri...7 Om geometri...9 Navne...11 Definition: Trekanten...11 Ensvinklede og ligedannede trekanter13 Definition:

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Ligedannede trekanter

Ligedannede trekanter Ib Michelsen: Matematik C, Geometri, 1. kapitel 2011 Version 7.1 22-08-11 Rettet: tempel.png inkorporeret / minioverskrift rettet D:\Appserv260\www\2011\ligedannedeTrekanter2.odt Arven fra Grækenland Arven

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Maria Solstar Vestergaard 30-11-2006 Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 1.4g. Matematik B Klasse 1.4g Hjemmeopgaver

Maria Solstar Vestergaard 30-11-2006 Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 1.4g. Matematik B Klasse 1.4g Hjemmeopgaver Matematik B Hjemmeopgaver 1) opgave 107c, side 115 Jeg skal tegne en trekant og estemme vinklerne A og C og siderne a, og c. Jeg har følgende mål: Jeg har ikke nok mål til at kunne regne nogle af vinklerne

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE.

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. FRA FÆLLES MÅL Målsætninger for undervisningsforløbet er opsat efter kompetence, færdigheds og vidensmål samt læringsmål i lærersprog. Geometri og måling Fase 3 Geometriske

Læs mere

KonteXt +5, Kernebog

KonteXt +5, Kernebog 1 KonteXt +5, Lærervejledning/Web Facit til KonteXt +5, Kernebog Kapitel 3: Vinkler og figurer Version september 2015 Facitlisten er en del af KonteXt +5; Lærervejledning/Web KonteXt +5, Kernebog Forfattere:

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder) 1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Indhold Indledning 2 Undervisningsforløbet 3 Mål for forløbet 3 Relationsmodellen 3 Planlægningsfasen

Læs mere

Eksempler på temaopgaver i matematik indenfor geometri

Eksempler på temaopgaver i matematik indenfor geometri Eksempler på temaopgaver i matematik indenfor geometri Med udgangspunkt i begrebsafklaringen fra dokumentet Matematik og den ny skriftlighed gives her fem eksempler på, hvordan de forskellige opgavetyper,

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser *HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Th. Langs HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf Mat C Viktor Kristensen

Læs mere

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet RT1: fstandsberegning (Fra katederet) 5 RT2: Bold og Glob 6 OT1:Bestemmelse af Jordens radius 9 OT2:Modelafhængighed 11 OT3:fstanden til Månen 12 OT4:Månens

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Projekt Beholderkonstruktion. Matematik - A

Projekt Beholderkonstruktion. Matematik - A Projekt Beholderkonstruktion Matematik - A [Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en kort beskrivelse af dokumentets indhold. Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 4 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Matematik B. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik B, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

Den Flydende Kran Samson

Den Flydende Kran Samson Den Flydende Kran Samson Formål: Kranen Samson, har en maksimal løfteevne på 900 tons, kranarmen er på 67 meter. Formålet med dette projekt er at løse nogle forskellige opgaver om geometrien for kranen.

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse EUKLIDS ELEMENTER... 3 Euklids sætninger fra 1. bog... 11 TREKANTER: Egenskaber og notation... 15 LIGEDANNEDE FIGURER...

Læs mere

Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: +kat 2. De oplyste tal indsættes; ligningen løses.

Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: +kat 2. De oplyste tal indsættes; ligningen løses. 18-02-2009 16:13:02 Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: hyp 2 = kat 1 2 +kat 2 2 12 De oplyste tal indsættes; ligningen løses. hyp 2 = 5 2 +12 2 hyp 2 = 25 + 144 = 169 hyp

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsærker, hor der kræes stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og inkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag

Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag [1] Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag 2009 Alinea København Kopiering af denne bog er kun tilladt ifølge aftale med COPY-DAN Forlagsredaktion: Heidi Freiberg

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

Kære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven):

Kære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven): Kære matematiklærer Formålet med denne materialekasse er, at eleverne med konkrete materialer og it får mulighed for at gøre sig erfaringer, der kan føre til, at de erkender de sammenhænge, der gør sig

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, basis+g ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 2014/15, eksamen maj-juni 2015 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Lyngby Hf Matematik C Ashuak Jakob France

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2015/2016, eksamen maj-juni 2016 Institution Kolding HF&VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Geometri. Ib Michelsen

Geometri. Ib Michelsen Geometri Ib Michelsen Ikast 007 Forsidebilledet Detalje fra Matematiker Johannes Meyers kort over Aabenraa Amt og Lundtofte Herred (1648) tilhørende Ib Michelsen. Version: 1.01 (19-08-07 19:39:18) Indholdsfortegnelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 15/16, eksamen maj-juni 2016 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe

Læs mere