1. Forord. 2. Historisk indledning

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "1. Forord. 2. Historisk indledning"

Transkript

1 Erik Vestergaard

2 Indholdsfortegnelse 1. Forord Historisk indledning Definitioner Om at konstruere punkter Om at konstruere tal Om at konstruere vinkler Regulære polygoner Om at kvadrere geometriske figurer Cirklens kvadratur Terningens fordobling Afsluttende kommentarer Litteratur...26

3 1. Forord Formålet med denne note er at give læseren såvel en praktisk øvelse i at konstruere med passer og lineal som en teoretisk forståelse af hvad der ligger i begrebet at konstruere med passer og lineal. Sidstnævnte er vigtigt for rigtigt at kunne forstå følgende fire problemer fra oldtiden, som stod uløste indtil århundrede: Vinklens tredeling Terningens fordobling Cirklens kvadratur Regulære polygoners konstruktion Til dette formål har jeg fundet det hensigtsmæssigt at anvende en mere moderne og efterrationaliseret fremstilling. Selv om den ikke fortæller hele historien om begrebernes udvikling, så lever den op til Platons ånd om at forsøge at trække tankeindholdet og idéerne ud af det konkrete, som omtalt i næste afsnit. Jeg vil i noten forudsætte, at læseren er fortrolig med de mest almindelige konstruktioner, såsom at oprejse en normal i et punkt på en linje, nedfælde en normal igennem et punkt til en linje, konstruere en vinkelhalveringslinje, konstruere en linje igennem et punkt parallel med en anden linje etc Historisk indledning Ægypterne benyttede geometrien til først og fremmest praktiske formål. Den græske historieskriver Herodotos (ca f.kr.). fortæller, at geometrien opstod takket være Nilens oversvømmelser. Når vandet trak sig tilbage, skyllede det skelmærkerne væk fra de jordlodder, som Farao Sesostris en savnskikkelse havde tildelt og som man var sat i skat af. Landmåling var en livsnødvendighed for ægypterne. Men også på andre områder var dygtighed i praktisk geometri påkrævet, nemlig indenfor tempelbyggeri. Her viste ægypterne fabelagtig talent. Hvorimod der altså ikke er noget der tyder på, at ægypterne så på geometrien fra et teoretisk synspunkt, så skete der en udvikling hos grækerne. De første grækere, som kom til Ægypten, fik kendskab til geometrien og det er dem, som betegnede den med det græske ord geometria, som betyder jordmåling. Grækerne førte geometrien frem til en høj grad af fuldkommenhed, ikke mindst på grund af, at man stødte på en forhindring de usigelige tal (irrationale tal). Lad os se lidt nærmere på det. Kraftcenteret for matematiske studier var Pythagoræer-skolen et religiøst-filosofisk broderskab, grundlagt ca. 550 f.kr. i byen Kroton i Syd-Italien (se Crotona på figur 11.8 side 25), som var en daværende græsk koloni. Grundlæggeren var legenda- 3

4 riske Pythagoras (6. århundrede f.kr.). En af pythagoræernes oprindelige filosofier var, at alle forhold i naturen kan udtrykkes ved forhold mellem naturlige tal. Skolens elever opdagede dog selv uholdbarheden i deres filosofiske grundsætning. Dette skete ved opdagelsen af længder, som ikke er repræsenteret af rationale tal. Hypotenusen i en retvinklet trekant, hvis kateter begge har længde 1, har for eksempel en længde, som er repræsenteret ved et irrationalt tal det vi kalder 2. Det fortælles, at pythagoræeren Hippasos ca. 500 f.kr. opdagede sådanne længder, og at guderne i vrede over hans afsløring af denne ufuldkommenhed skal have straffet ham med skibbrud. Kun de positive rationale tal kunne skrives i grækernes talsystem. Med denne udvikling kom aritmetikken mere i baggrunden og geometrien blev centrum i matematikken. Grækerne begyndte at studere geometrisk definerede kurver, dvs. der i blandt den rette linje og cirkler, samt de figurer, der begrænses af linjestykker. Dette forklarer, at konstruktioner med passer og lineal kom på programmet! Kun to hjælpemidler måtte benyttes ifølge Platon ( f.kr.). Dette fortæller historikeren Plutarkhos. Platon præciserede dette krav, fordi to medlemmer af hans berømte Akademi, Eudoxos og Arkhytas, havde krænket ham ved at indføre mekaniske metoder og fysiske fortolkninger i geometrien. En forbrydelse, som kun kan forstås, når man husker på, at geometrien var en gren af filosofien, der dyrkedes i Platons Universitet i Akademos lund, udenfor Athen. Ovenover indgangsporten stod skrevet: Ingen ikke-geometer indtræde i mit hus. Det siges om Pythagoræerne, at de forvandlede geometrien til højere videnskab, hvilket med moderne ord vil sige, at de gav sig til at studere geometrien for dens egen skyld, som ren videnskab. Bag studiet lå etiske krav med socialt sigte det skulle opøve eleverne i selvbeherskelse og besjæle dem med moralsk kraft, så de kunne begå handlinger til gavn for almenheden. Mennesket skulle vænne sig til at se bag om tingene, søge den evige virkelighed, ifølge Platon. Han mente, at her havde studiet af geometri afgørende betydning som karakterdannende faktor. Det var på Platons tid, at lovene for logisk tankevirksomhed begyndte at fæstne sig: Opbygningen af det matematiske tankesystem, med dets grundbegreber, postulater definitioner osv. Man skulle lære at trække tankeindholdet, idéen, ud fra det konkrete. 4

5 3. Definitioner Som sædvanlig i matematik må vi præcisere, hvad vi mener med nogle givne ord. Konstruktion med passer og lineal dækker over følgende operationer: 1) Tegne den rette linje igennem to allerede fundne eller givne punkter. Eller at forlænge et linjestykke, så langt man ønsker. 2) Tegne en cirkel med et allerede fundet eller givet punkt som centrum og med en radius, som er lig med afstanden mellem to allerede fundne eller givne punkter. 3) Finde nye punkter som skæringspunkterne for allerede fundne eller givne rette linjer og cirkler. Ved et første øjekast kan det godt virke lidt begrænsende, at vi ikke har lov til at tage en vilkårlig afstand i passeren, sådan som det ofte er tilladt ved konstruktioner i Folkeskolen. Der er imidlertid ingen forskel, for den ofte usagte regel i folkeskolen er, at man kun må tage en vilkårlig afstand i passeren, hvis det punkt eller den linje, man ender med at konstruere, ikke afhænger af den valgte passeråbning. Dette er tilfældet med mange af de kendte konstruktionsmetoder: halvering af vinkler, oprejsning af normaler, konstruktion af en linje parallel med en given linje etc. Tilbage til definitionen ovenfor: Med den bliver man i stand til at argumentere for, hvad man kan konstruere, og i særdeleshed for, hvad man ikke kan konstruere. For at vi kan komme i gang skal vi dog fra starten have givet mindst to punkter. 4. Om at konstruere punkter Lad os gå ud fra, at vi fra starten har givet to punkter med en afstand, vi vil kalde 1 (én enhed). For at få overblik over situationen, vil vi lægge punkterne ind i et koordinatsystem som henholdsvis (0,0) og (1,0). Figur 4.1 5

6 Ved at tegne linjen igennem (0,0) og (1,0) og tegne cirkler med radius lig med afstanden mellem de to punkter og centrum i henholdsvis (0,0) og (1,0), får vi fire nye punkter: Figur 4.2 De to nye punkter på x-aksen har koordinaterne ( 1,0) og (2,0). Øvelse 4.3 Find koordinaterne for de to andre nye punkter, A og B. Hjælp: Brug Pythagoras sætning. Ved at tegne en linje igennem A og B fås et nyt punkt, nemlig midtpunktet mellem de to oprindelige punkter: Figur 4.4 Vi kunne fortsætte på denne måde med at konstruere punkter. Øvelse 4.5 Find en måde at konstruere punkterne (0,1) og (0,2) på. 6

7 5. Om at konstruere tal Definition 5.1 Vi vil sige, at vi kan konstruere tallet a såfremt vi kan konstruere to punkter med indbyrdes afstand a, hvis a er et positivt tal og a, hvis a er et negativt tal. Eksempel 5.2 Tallet 1 kan konstrueres, idet de to startpunkter har indbyrdes afstand 1. Tallet 2 kan også konstrueres, idet vi jo nemt kan konstruere to punkter med afstand 2. Eksempel 5.3 Vi kan ifølge ovenstående konstruere punktet (0,1): Figur = 2, så er tal- Eftersom afstanden fra A til B ifølge Pythagoras sætning er let 2 altså konstruérbart. Øvelse 5.5 Vis, at tallet 3 kan konstrueres. Hvilke tal kan egentligt konstrueres? Vi har set nogle få eksempler, men for at få et rigtigt overblik over situationen, må vi gå lidt mere systematisk til værks. Et spørgsmål, man kunne stille sig er, at når nu 3 og 2 er konstruérbare, kan så også 3+ 2 konstrueres, eller mere generelt: Hvis a og b kan konstrueres, kan summen a+ b da konstrueres? Svaret er oplagt ja, hvis a og b er positive, idet man kan afsætte de to længder i forlængelse af hinanden, ud af en fælles ret linje, hvorefter yderpunkterne vil have afstanden a+ b. Hvis et af tallene er negative overlades det til læseren at 7

8 foretage de små nødvendige ændringer i argumentet. Tilsvarende overvejelser viser, at hvis a og b begge er konstruérbare, så er a b det også. Øvelse 5.6 Argumentér for, at tallet 2 3 er konstruérbart. Næste punkt kunne være at overveje hvorvidt produktet af de to konstruérbare tal, også er konstruérbart; altså hvis a og b kan konstrueres, kan da også ab konstrueres? Svaret er igen ja! Konstruér en vilkårlig vinkel, for eksempel 60, med toppunkt i A og brug passeren til at afsætte B, C og D på vinklens ben, så AB = 1, AC = a og AD = b, som det fremgår af nedenstående figur. Figur 5.7 Den skraverede linje, parallel med DB og gående igennem C, kan herefter konstrueres (overvej!). Skæringspunktet med vinklens andet ben kaldes E. Øvelse 5.8 Vis ved hjælp af teorien om ensvinklede trekanter, at AE = a b. Øvelse 5.9 Vis, at hvis a og b er konstruérbare, så er også ab konstruérbart. Hjælp: Brug et lignende argument, som i tilfældet med et produkt. 8

9 Endelig gælder det, at hvis a kan konstrueres, så kan også a ( a 0 ) konstrueres. Bevis: Afsæt AB = a og BC = 1 i forlængelse af hinanden og konstruér en cirkel med centrum i midtpunktet mellem A og C og radius lig med halvdelen af stykket AC. Oprejs den vinkelrette i B og betegn skæringspunktet med cirklen med D. ADC er som bekendt ret, da det er en periferivinkel til en centervinkel på 180. Figur 5.10 Øvelse 5.11 Vis, at BD = a ved at udnytte, at ABD og DBC er ensvinklede. Dermed har vi bevist følgende sætning: Sætning 5.12 Hvis a og b er konstruérbare tal, så er også a+ b, a b, a b, a b og a konstruérbare. Med denne sætning i hånden kan vi ofte uden videre afgøre, om et tal kan konstrueres, uden at opfinde indviklede konstruktionsprocedurer. Tag for eksempel tallet (2 3) 5. For at vise, at tallet kan konstrueres, er det ifølge sætningen altså nok at vise, at (2 3) 5 kan konstrueres. Igen bruges sætningen til at konkludere, at det er nok at vise, at både 2 3 og 5 kan konstrueres. Det sidste er ok. Det første tal kan også konstrueres, da både 2 og 3 kan konstrueres. Man kan vise, at ethvert konstruérbart tal fremkommer ved at starte med nogle hele tal, og derefter addere, subtrahere, multiplicere, dividere og/eller uddrage kvadratrødder. På næste side er vist et vanvittigt eksempel på et konstruérbart tal. 9

10 Om at konstruere vinkler Lad der være givet to punkter, A og B. For at konstruere en vinkel på v grader i A og med AB som det ene ben, må vi nødvendigvis konstruere et punkt C på det andet ben. Figur 6.1 At konstruere en vinkel på 90 kender vi, idet det svarer til at oprejse en normal i A. En vinkel på 60 er også nemt at konstruere, idet vi som C passende kan vælge skæringspunktet mellem to cirkelbuer med radius lig med afstanden mellem A og B og med centrum i henholdsvis A og B : Figur 6.2 Øvelse 6.3 Konstruér en vinkler på 30 og

11 At halvere en given vinkel er som bekendt en let sag, men i hundredvis af år var det en sport blandt professionelle matematikere af finde en procedure til at tredele vinkler. Først sent i det 19. århundrede blev det endeligt bevist, at dette ikke lader sig gøre generelt. Selvfølgelig kan man tredele nogle vinkler, for eksempel 90 : 30 er jo nemt at konstruere ifølge ovenstående. Men der findes altså vinkler, som ikke kan tredeles. Sætning 6.4 Der findes vinkler, som ikke kan tredeles med passer og lineal. Bevisskitse: Beviset, som er for kompliceret til at bringe i alle detaljer her, går ud på at vise, at der findes en vinkel v, således, at ingen af punkterne på linjen, med vinkel i forhold til linjen igennem A (0,0) og B(1,0), kan 1 konstrueres. 3 v Figur 6.5 Faktisk kan vinklen 60 ikke tredeles. Alle punkterne på linjen med vinkel 20 viser sig nemlig at have grimme koordinater ; altså koordinater, der ikke kan konstrueres. 7. Regulære polygoner Definition 7.1 En regulær n-kant er en n-kant, som kan indskrives i en cirkel, så alle hjørnerne ligger på periferien, og så alle siderne er lige lange. Det sidste medfører, at vinklen ind til centrum imellem to på hinanden følgende hjørner altid er den samme, nemlig 360 n, illustreret på figur

12 Figur 7.2 Når vi for et givet n ønsker at afgøre om der findes en regulær n-kant, kan vi nøjes med at søge efter én, som er indskrevet i en enhedscirkel, altså i en cirkel med radius 1. Der eksisterer nemlig en regulær n-kant hvis og kun hvis der eksisterer en n-kant indskrevet i en enhedscirkel. Dette fremgår klart af, at hvis man har en regulær polygon med det betragtede antal kanter, så kan man hurtigt konstruere en, som er indskrevet i en enhedscirkel ved først at bestemme centrum i polygonen, tegne linjer (stråler) fra dette centrum ud til hvert polygonhjørne og til sidst tegne en enhedscirkel med centrum i polygonens centrum til skæring med ovennævnte stråler. Så haves hjørnerne i den ønskede enhedspolygon. For at konstruere en regulær femkant må vi være i stand til at konstruere en vinkel på =. Figur 7.3 Her viser det sig nemmere først at se på konstruktionen af den halve vinkel, 36. Det sætter os i stand til at konstruere den regulære 10-kant. Den regulære femkant fås derefter ved kun at forbinde hvert andet hjørne af 10-kanten, på cirkelperiferien. 12

13 Figur 7.4 Vi ville være godt på vej, hvis vi bare kunne konstruere tallet svarende til afstanden fra B til C, for så kunne vi med den afstand i passeren og centrum i B, konstruere en cirkel, som skærer enhedscirklen i C. Men hvor stort er tallet x = BC? Øvelse 7.5 For at finde frem til kantlængden kan man først lave en passende hjælpelinje CD i ABC. Vis, at vinklerne er som anført på nedenstående figur. Figur 7.6 Øvelse 7.7 Argumentér for, at AD = x og DB = 1 x. Eftersom BCD er ensvinklet med ABC, har vi følgende forhold mellem siderne: x 1 x = x = 1 x x + x 1= 0 x 13

14 Dette er en andengradsligning med løsningerne 1 ( 5 1) og 1 ( 5 1). Den sidste løsning kasseres, da den er negativ. Dermed haves x = ( 5 1). Sætning giver os straks, at dette tal er konstruérbart, da 5, 1 og 1 er det. 2 Øvelse 7.8 Konstruér tallet 1 ( 5 1). Konstruér derefter den regulære 10-kant ved at løbe 2 rundt på enhedscirklen med denne afstand i passeren. 8. Om at kvadrere geometriske figurer Et af de emner, grækerne beskæftigede sig med var, givet en geometrisk figur, at konstruere et kvadrat med det samme areal. Dette kaldes at kvadrere den geometriske figur, og emnet kaldes kvadratur. Hvis vi for eksempel skal kvadrere et rektangel med siderne a og b, så skal vi altså konstruere et kvadrat med areal ab. Vi er altså sat overfor den opgave at konstruere tallet ab, som er sidelængden i kvadratet. Dette kan gøres med en variant af den metode, hvormed vi konstruerede a i afsnit 5. Figur 8.1 Afsæt stykkerne a og b i forlængelse af hinanden. Tegn cirklen med centrum i midtpunktet mellem A og C og radius 1 AC. Oprejs midtnormalen i B. Skæringspunktet 2 med cirklen kaldes D. Da ADC er ret (vinklen er en periferivinkel til en centervinkel på 180 ) er ABD ensvinklet med BCD. Derfor haves: a x x 2 = x = ab x= ab b 14

15 Figur 8.2 En lidt sværere opgave er det at kvadrere en polygon. Idéen til en løsning kan man se ved at betragte eksemplet med femkanten illustreret på figur 8.3 på næste side. Her en beskrivelse af løsningsmetoden: 1) Femkanten trianguleres i tre trekanter, som vist under (a). 2) For hver trekant konstrueres et omskreven rektangel som vist under punkt (b). Hver af disse rektangler halveres derefter ved konstruktion. 3) Hermed haves de tre rektangler vist under (c). Summen af deres arealer er lig med arealet af den oprindelige polygon. Idéen er nu at konstruere et rektangel R 123, hvis areal er lig med summen af arealerne af disse tre rektangler R 1, R 2 og R 3. Herefter kan metoden beskrevet i begyndelsen af afsnit 8 bruges til at konstruere et kvadrat med samme areal som R 123. Dermed vil polygonen være kvadreret! 4) Vi skal konstruere rektanglet R 123 i to skridt. Først vil vi fremstille et rektangel R 12 med areal lig med summen af arealerne af de to første rektangler. Når det er gjort, vil vi gentage metoden og konstruere rektanglet R 123, så det får et areal, der er lig med summen af arealerne af R 12 og R 3. 5) For at konstruere R 12 kan vi udskifte rektanglet R 2 med et nyt rektangel R 2 med samme areal, men med en højde, som er lig med højden af R 1. Derefter kan vi uden videre stille de to rektangler i forlængelse af hinanden, som det vises fra (e) til (f). 6) R 2 konstrueres ud fra R 2 på følgende måde, som illustreret under (d): Anbring R 2 et sted på papiret. Forlæng siden GJ stykket h 1 nedad. Konstruér en linje igennem M, parallel med IJ, til skæring med forlængelsen af FI. Skæringspunktet betegnes L. Tegn en linje igennem L og J til skæring med forlængelsen af FG. Skæringspunktet betegnes H. Konstruér en linje igennem H, parallel med linjestykket GM til skæring med forlængelsen af LM. Skæringspunktet betegnes N. Rektanglet JKMN er det ønskede rektangel. 7) Punkterne (g), (h) og (i) i figur 8.3 er en gentagelse af metoden under punkterne (d), (e) og (f). Her er det bare to andre rektangler, der adderes. 15

16 16

17 Øvelse 8.4 Argumentér for hvorfor konstruktionen illustreret i figur 8.3 (d) virkeligt giver et rektangel R 2 med samme areal som R 2. Hjælp: Sammenlign først arealerne af følgende par af trekanter: GHJ og JHK, IJL og LJM. FHL og LHN, 9. Cirklens kvadratur Et berømt problem består i at kvadrere en cirkel, for eksempel med radius 1. Da arealet i dette tilfælde er lig med A= π r = π 1 = π, skal vi altså konstruere et kvadrat 2 2 med siden π. I lang tid forsøgte folk at kvadrere cirklen, men på Arkimedes tid ( f.kr.) var man nok overbevist om, at det var umuligt, uden at man dog var i stand til at bevise umuligheden. Dette lykkedes først i 1882 ved tyskeren Ferdinand Lindemann ( ). Han beviste, at matematikkens vel mest berømte konstant, π, ikke er et algebraisk tal, dvs. tallet er ikke en rod i et polynomium med heltallige koefficienter. Tallet kaldes derfor transcendent. Da det viser sig, at mængden K af konstruérbare tal er en delmængde af mængden A af algebraiske tal, har man dermed vist, at π ikke kan konstrueres. Når π ikke kan konstrueres, så kan π heller ikke konstrueres (Overvej!). Altså har vi nedenstående sætning 9.2. På figur 9.1 repræsenterer R mængden af alle reelle tal. Figur 9.1 Sætning 9.2 Cirklen kan ikke kvadreres med passer og lineal. 17

18 Figur Terningens fordobling Denne opgave går undertiden under navnet Det Deliske problem. Ifølge en gammel legende går dette problem tilbage til det gamle Grækenland, hvor oraklet i Delfi påbød, at den deliske alterblok skulle fordobles. Her går opgaven ud på følgende: Givet en terning, for eksempel med siden 1. Konstruér en terning med det dobbelte rumfang, dvs. 2. Altså skal en side på 3 2 konstrueres. Platon anså terningens fordobling som et af de aller vigtigste emner, som matematikken skulle bruge kræfter på. Men først i 1837 blev umuligheden af konstruktion med passer og lineal af tallet 3 2 endeligt bevist. Sætning 10.1 Terningen kan ikke fordobles med passer og lineal. Figur

19 11. Afsluttende kommentarer Regulære polygoner Allerede Euklid (ca. 300 f.kr.) konstruerede den regulære femkant. Det var i lang tid uopklaret, hvilke regulære n-kanter, der kan konstrueres. Den 30. marts 1796, i en alder af knap 19 år, gjorde tyskeren Carl Friedrich Gauss ( ) den bemærkelsesværdige opdagelse, at den regulære 17-kant kan konstrueres. Han var så glad for sin opdagelse, at han endte med at dedikere resten af sit liv til matematikken, efter at han i lang tid havde vaklet mellem det og så filologi (sprogvidenskab). Gauss var et universalgeni, som tidligt viste tegn på sine usædvanlige evner. Det fortælles for eksempel om ham, at han i en alder af kun 3 år opdagede en regnefejl i sin fars bogholderi. Siden kom han med banebrydende resultater indenfor mange områder af matematikken og regnes af nogle som værende en af de største matematikere igennem tiderne, sammen med Arkimedes og Newton. Også indenfor elektrodynamik og astronomi gjorde han sig gældende. Gauss kom i øvrigt med den fuldstændige løsning til problemet med konstruérbare regulære polygoner, og den blev publiceret i hans værk Disquisitiones arithmeticae fra Jeg gengiver resultatet uden bevis i sætningen nedenfor. Sætning 11.1 En regulær polygon med n sider kan konstrueres med passer og lineal, hvis og kun hvis n kan skrives på formen hvor { 0,1, 2,3, } formen n= p p p p 2 m r m og hvor p 1, p 2, p 3,, pr alle er forskellige primtal af 2 2 s +1, hvor s er et naturligt tal. Vi ser, at de ulige primtalsfaktorer skal være af formen 2 2 s + 1, dvs. 3, 5, 17, 257, 65537,.... For følgende værdier af n 20 er en regulær n-kant konstruérbar: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17,

20 Den regulære 17-kant For at konstruere en vinkel på skal vi konstruere et punkt på enhedscirklen med førstekoordinat lig med tallet (1 17) Dette er ingenlunde let at vise: Se eventuelt [Ian Stewart] i litteraturlisten. Dette tal er klart konstruérbart ifølge sætning Nedenstående fremgangsmåde til konstruktion af den regulære 17-kant skyldes H. W. Richmond. 1 1 Givet A(1,0) og B(0,1). Afsæt I, så OI = OB og derefter E, så OIE = OIA. Afsæt F på x-aksen, så EIF 4 bliver 45. Tegn en cirkel med centrum i midtpunktet Q mellem F og A og radius lig med QA. Kald skæringspunktet mellem cirklen og y- aksen for K. Cirklen med centrum i E og radius EK skærer x-aksen i punkterne og N 3. Oprejs normaler til x-aksen i disse punkter til skæringer med enhedscirklen i punkterne og P. Disse repræsenterer da henholdsvis 5. og 3. hjørne i den ønskede 17-kant. Det første hjørne fås da som skæringspunktet mellem en cirkel med centrum i PP og så enhedscirklen. Herudfra kan alle hjørnerne let konstrueres. P5 3 og radius P3 5 3 P 1 4 N 5 Figur

21 F. J. Richelot publicerede i 1832, i en række papirer, en konstruktionsprocedure for den regulære 257-kant. For at give endnu en antydning af matematikernes ihærdighed kan det nævnes, at Professor Hermes fra Lingen brugte 10 år på problemet med at finde en fremgangsmåde til konstruktion af den regulære kant!! Vinkeltredeling Vi har altså set, at det er umuligt generelt at tredele vinkler med passer og lineal. Hvis vi slækker lidt på, hvad der er tilladt, kan det derimod sagtens lade sig gøre at tredele vinkler. Faktisk findes der en mangfoldighed af forslag. Lad os se på et af de mest kendte: Arkimedes indskydningsmetode. Lad EOA være den givne vinkel. Tegn en cirkel med centrum i O og med en vilkårlig valgt radius. Kald skæringspunkterne med vinklens ben for A og E. Tag nu en lineal, hvorpå der er afsat to punkter med indbyrdes afstand lig med radius i cirklen. Tilpas nu linealens placering, så den går igennem A og således, at det ene mærke på linealen berører cirklen, og det andet mærke berører linjen gennem O og E. Kald disse skæringspunkter eller berøringspunkter for B og C. Vi ser ifølge tegningen, at ECB er en tredjedel af den givne vinkel, EOA. Figur 11.3 Et andet forslag til tredeling af en vinkel er den såkaldte Tomahawk. Opfinderen af denne metode er ukendt, men instrumentet var beskrevet i en bog fra Man lader vinklen ABC glide ned på plads med vinklens toppunkt B langs skaftet. Det fremgår umiddelbart af figuren på næste side, at dette giver anledning til en tredeling af ABC (Overvej!). 21

22 Figur 11.4 Terningens fordobling Terningen kan ligeledes fordobles med en indskydningskonstruktion. Vi skal konstruere tallet 3 2. Start med at konstruere en ligesidet trekant ABC med sidelængde 1. Forlæng AB ud over A og afsæt herpå D, så AD = 1. Tegn en linjen gennem D og C. Afmærk to punkter med afstand 1 på linealen. Placér linealen, så den går igennem B, og så det ene punkt på linealen berører linjen og det andet punkt berører forlængelsen af linjestykket AC. Med betegnelserne på figuren er BE = 3 2. Figur

23 Bevis for at BE = 3 2 : Ved at regne på vinkler indses det let, at BCE = 90. Tegn linjen gennem E og parallel med BC. Skæringspunktet med forlængelsen gennem A og C betegnes G. Sæt x = BE og y = EG. Figur 11.6 Da CGE er en graders trekant vises det nemt, at CE = 3 y. eftersom EGF er ensvinklet med BCF, fås y 1 = x Pythagoras sætning anvendt på BCE giver ( 3 y) 2 = x 2. Indsættes y fra første ligning i sidste ligning og reducéres ligningen, fås x + 2x 2x 4= 0. Eftersom x + 2x 2x 4 = ( x+ 2)( x 2) ses det, at 3 2 er den eneste positive løsning til denne ligning. Hermed er det ønskede vist. Cirkelkvadratur Det kan godt lade sig gøre at kvadrere cirklen såfremt man fraviger betingelsen om, at der kun må benyttes passer og lineal. Cirklen kan for eksempel kvadreres ved hjælp af Arkimedes spiral. Det er dog for specielt til at blive gennemgået her. Amatørmatematikeres higen efter berømmelse På trods af, at det endeligt er bevist, at de tre klassiske problemer (vinkeltredelingen, terningefordoblingen og cirkelkvadraturen) ikke kan løses med passer og lineal, er der stadig folk, som ikke tror på denne dom. De sidder måske og udtænker sindrige metoder i håbet om at høste berømmelse. Mange har i tidernes løb indsendt løsninger til universiteter og læreanstalter til bedømmelse. Ofte er argumenterne uklare og forvirrende, eller også bryder metoderne med de krav, der stilles til konstruktion med passer og lineal. Ofte vil indsenderne endda ikke godtage afvisningerne af deres be- 23

24 viser. Mangen en universitetsprofessor har derfor fået livet forpestet af cirkelkvadratører etc. Allerede i 1775 blev det for meget for den højeste franske videnskabelige institution l Académie des Sciences. Det blev bekendtgjort, at stedet ikke længere ville bedømme cirkelkvadraturer, vinkeltredelinger, terningefordoblinger og evighedsmaskiner. Akademiets sekretær, matematikeren Condorcet, skrev i begrundelsen for denne beslutning blandt andet følgende, citeret fra [Jesper Lützen] (Bemærk, at dette er før de endelige beviser for umuligheden!): Der går et udbredt rygte om, at regeringerne har udlovet en betragtelig belønning til den, som får løst cirklens kvadratur, og at dette problem er genstand for de mest berømte matematikeres undersøgelser; i tillid til disse rygter opgiver en masse mennesker, mange flere end man tror, deres nyttige arbejde for at hengive sig til udforskningen af dette problem, ofte uden at forstå det, og altid uden at have den nødvendige viden til at gennemføre løsningen med succes... Mange har det uheld at tro, at det er lykkedes, de benægter de argumenter, hvormed matematikerne bestrider deres løsninger, ofte kan de ikke forstå dem, og de ender med at beskylde dem for misundelse og uærlighed. Af og til udarter deres påståelighed til sandt galskab; men man betragter det næppe som sådant hvis den fikse idé, der udgør galskaben, ikke støder an mod accepterede meninger, hvis den ikke har indflydelse på livsførelsen, hvis den ikke forstyrrer samfundets orden. Kvadratørernes galskab har altså for dem selv ingen anden ulempe end tabet af tid, der ofte kunne være nyttig for deres familie, men desværre begrænses galskaben sjældent til et enkelt område, og vanen med at snakke ufornuftigt bider sig fast og breder sig, lige som vanen at ræsonnere rigtigt; det er det, der er sket med mere end én kvadratør. (Histoire de l Académie 1775 side 67). 24

25 Figur 11.7 Figur

26 Figur Litteratur Jesper Lützen. Cirklens kvadratur, Vinklens tredeling, Terningens fordobling. Fra oldtidens geometri til moderne algebra. Systime, Asger Aaboe. Episoder fra matematikkens historie. 2. udgave. Borgens Forlag, Heinrich Dörrie. 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover Publications Inc., Paul Rantzau. Alle tiders tal. Politikens Forlag, København Ian Stewart. Galois Theory. Chapman & Hall, oprindeligt 1982 (opr. 1973). Howard Eves. An Introduction to the History of Mathematics. 4. edition. Holt, Rinehart & Winston, John Stillwell. Mathematics and Its History. Springerverlag, New York, Eric Bainville, Bernard Genevés. Constructions Using Conics. The Mathematical Intelligencer (tidsskrift), vol. 22, no. 3,

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Geometri med Geometer II

Geometri med Geometer II hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210

1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210 1.1 Konstruktionen Denne side går lidt tættere på den hyperbolske geometri. Vi bruger programmet HypGeo, og forklarer nogle geometriske konstruktioner, som i virkeligheden er de samme, som man kan udføre

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING F I N N H. K R I S T I A N S E N 6 DET GYLDNE SNIT 4 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATIONER 5 LANDMÅLING Faglige mål: Demonstrere viden om matematikanvendelse samt eksempler på matematikkens

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-1st141-mat/a-05014 Torsdag den. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

1 Geometri & trigonometri

1 Geometri & trigonometri 1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

GeomeTricks Windows version

GeomeTricks Windows version GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser *HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Fraktaler. Vejledning. Et snefnug

Fraktaler. Vejledning. Et snefnug Fraktaler Vejledning Denne note kan benyttes i gymnasieundervisningen i matematik i 1g, eventuelt efter gennemgangen af emnet logaritmer. Min hensigt har været at give en lille introduktion til en anderledes

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra Klaus Frederiksen & Christine Hansen Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra - Dynamisk geometriundervisning www.bricksite.com/ckgeogebra 01-03-2012 Indhold 1. Intro til programmets udseende...

Læs mere

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff af Christian Marinus Taisbak Illustrationer: Claus Glunk Platons tekst i Erik Ostenfelds oversættelse Motto (Ian Mueller in memoriam):

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre:

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: 2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang

Læs mere

Det vigtigste element i denne videnskabelige tradition var arbejdet

Det vigtigste element i denne videnskabelige tradition var arbejdet er. Den kan være rund eller kantet eller ensfarvet eller prikket, det er ikke essentielt. Det essentielle er derimod det centrale uforanderlige, det som enten er eller ikke er. Koppen, der går i stykker,

Læs mere

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Korncirkler og matematik

Korncirkler og matematik Korncirkler og matematik I den følgende opgave vil jeg undersøge om korncirkler indeholder matematiske figurer nærmere bestemt det gyldne snit, det gyldne rektangel og den gyldne spiral. Før jeg starter

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 2009 2009-8-2 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 2009 2009-8-2 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 009 009-8- MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Mandag den 11. maj 009 kl. 9.00-10.00 BESVARELSEN AFLEVERES KL. 10.00 Der tildeles

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Euklid Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Indledning "Matematikeren Euklid levede og virkede omtrent 300 aar

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

Et bevis for umuligheden af at tredele en generel vinkel med passer og lineal

Et bevis for umuligheden af at tredele en generel vinkel med passer og lineal Hippias Nikomedes Arkimedes Pappus al-khwärizmi al-khayyãmi Cardano Viète Lagrange Descartes Gauss Abel Galois Wantzel... Et bevis for umuligheden af at tredele en generel vinkel med passer og lineal Erik

Læs mere

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 - 2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg

Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Seneste

Læs mere

Færdigheds- og vidensområder Evaluering. Tal: Færdighedsmål

Færdigheds- og vidensområder Evaluering. Tal: Færdighedsmål Klasse: Jorden mat Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 4. og 5. klasse. Bøgerne er bygget op, så emnerne følger hinanden hele vejen, hvorfor årsplanen er opbygget efter disse.

Læs mere

Anvendelse af matematik til konkrete beregninger

Anvendelse af matematik til konkrete beregninger Anvendelse af matematik til konkrete beregninger ved J.B. Sand, Datalogisk Institut, KU Praktisk/teoretisk PROBLEM BEREGNINGSPROBLEM og INDDATA LØSNINGSMETODE EVT. LØSNING REGNEMASKINE Når man vil regne

Læs mere

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5 Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere