Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff. Envejs variansanalyse - eksempel

Transkript

1 Kursus Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Variansanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark Oversigt 1 Model og hypotese Eksempel 1 Post hoc comparisons 2 Tovejs ANOVA Model og opspaltning af varians 3 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36 Envejs variansanalyse - eksempel Envejs variansanalyse - eksempel Gruppe A Gruppe B Gruppe C Er der forskel (i middel) på grupperne A, B og C? Variansanalyse (ANOVA) kan anvendes til analysen såfremt observationerne i hver gruppe kan antages at være normalfordelte. respons Grafisk sammenligning af 3 grupper A B C grupper Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36

2 Envejs variansanalyse - eksempel Envejs variansanalyse - eksempel Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36 Model og hypotese Model og hypotese Envejs variansanalyse, model Envejs variansanalyse, hypotese hvor det antages, at Y ij = µ + α i + ɛ ij ɛ ij N(0, σ 2 ) µ er gennemsnit for alle målinger α i angiver niveau af gruppe i Vi vil nu sammenligne (flere end to) middelværdier µ + α i i modellen Y ij = µ + α i + ɛ ij, ɛ ij N(0, σ 2 ) dvs vi kan specificere hypotesen: H 0 : α i = 0 for alle i H 1 : α i 0 for mindst et i Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36

3 Envejs variansanalyse, opspaltning og ANOVA tabellen Formler for kvadratafvigelsessummer Svarende til modellen Y ij = µ + α i + ɛ ij, ɛ ij N(0, σ 2 ) kan den totale variation i data opspaltes: SST = SS(T r) + SSE Envejs hentyder til, at der kun er én faktor i forsøget, på i alt k nivauer Metoden kaldes variansanalyse, fordi testningen foregår ved at sammenligne varianser hvor SST = k n i yij 2 C i=1 SS(T r) = C = T. 2 N T i = j=1 k i=1 n i j=1 T 2 i n i C y ij T. = k i=1 T i Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36 Envejs variansanalyse, F-test Variations- Friheds- Kvadratafvig. Testkilde grader sum størrelse F Behandling k 1 SS(T r) Residual N-k SSE Total N-1 SST SS(T r)/(k 1) SSE/(N k) Vi har: fås teststørrelsen, F : SST = SS(T r) + SSE F = SS(T r)/(k 1) SSE/(N k) hvor k er antal nivauer af faktoren, og N er antal observationer Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36

4 Ensidig variansanalyse: test F-Fordeling Teststørrelsen F beregnes og signifikansniveau α vælges Eksempel paa en F fordeling F = SS(T r)/(k 1) SSE/(N k) Teststørrelsen sammenlignes med en fraktil i F fordelingen: F F α (k 1, N k) taethed x Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36 F-fordeling F-fordeling Test af hypotese Test af hypotese taethed Accept omraade F(f1,f2) Kritisk omraade taethed % Accept omraade F(f1,f2) 5 % Kritisk omraade x x Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36

5 Eksempel 1 Eksempel 1 Eksempel 1 Eksempel 1 Ved målinger af gravitationskonstanten, G, benyttede Heyl (1930) kugler af tre forskellige materialer og fik bl.a. følgende observationer af G (enhed Nm 2 kg 2 ) Materiale Måling Guld Platin Glas maal Guld Glas Platin Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36 Eksempel 1 Post hoc comparisons Eksempel I Post hoc konfidensinterval Opstil en statistisk model for forsøget, og test om der er forskel på bestemmelse af gravitationskonstanten for de 3 materialer. Anvend signifikansniveau α = 5% Var. kilde SSQ df MS F teststørrelse Materiale Residual Total (Side 366) ȳ 1 ȳ 2 ± t α/2 s 2 ( 1 n n 2 ) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36

6 Tovejs ANOVA Tovejs ANOVA Et høreapparat skal tilpasses individuelt. En måde at validere et apparat på er at afspille en liste (eller serie) ord ved lavt volumen og bede patienten om at gentage ordene. I et studie ville man sammenligne 4 forskellige lister, der skulle have samme sværhedsgrad og samme antal ord Opstil en statistisk model for forsøget. Redegør for hvordan man kan teste om der er forskel i sværhedsgrad for de 4 lister. Burde undersøgelsen laves anderledes for at sikre valide resultater? Test list I list II list III list IV Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36 Tovejs ANOVA Tovejs variansanalyse Tovejs ANOVA Det viser sig, at man har anvendt de samme 24 personer til hver af de fire lister, som vist i tabellen Test/Person list I list II list III list IV Vi antager nu, at vi har modellen Y ij = µ + α i + β j + ɛ ij, ɛ ij N(0, σ 2 ) dvs vi har to indelingskriterier, både α og β, hvor β også kan opfattes som en blok, hvorfor designet også kaldes et randomiseret blokforsøg Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36

7 Tovejs variansanalyse Tovejs ANOVA Tovejs ANOVA Model og opspaltning af varians Tovejs variansanalyse, Model og opspaltning af varians A 1 A 2 A 3 B 1 x x x B 2 x x x B 3 x x x B 4 x x x Svarende til modellen Y ij = µ + α i + β j + ɛ ij, ɛ ij N(0, σ 2 ) SST = SS(T r) + SS(Bl) + SSE Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36 Tovejs ANOVA Tovejs ANOVA Variations- Friheds- Kvadrat- Testkilde grader afvig.sum størrelse F Behandlig a 1 SS(T r) Blokke b 1 SS(Bl) Residual (a 1)(b 1) SSE Total N 1 SST SS(T r)/(a 1) SSE/((a 1)(b 1)) SS(Bl)/(b 1) SSE/((a 1)(b 1)) Kritisk værdi for blokke: F α (b 1, (a 1)(b 1)) Kritisk værdi for behandling: F α (a 1, (a 1)(b 1)) Det viser sig, at man har anvendt de samme 24 personer til hver af de fire lister, som vist i tabellen Test/Person list I list II list III list IV Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36

8 Tovejs ANOVA Tovejs ANOVA Opstil en statistisk model for forsøget. Redegør for hvordan man kan teste om der er forskel i sværhedsgrad for de 4 lister. Var. kilde SSQ df MS F teststørrelse Liste Person Residual Total List1 List2 List3 List4 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36 > attach(c12tin) > Lab <- factor(lab) > anova(lm(weight~lab)) Analysis of Variance Table Response: weight Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Lab Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * > attach(example) > treatm <- factor(treatm) > block <- factor(block) > anova(lm(y~treatm+block)) Analysis of Variance Table Response: y Terms added sequentially (first to last) Df Sum of Sq Mean Sq F Value Pr(F) treatm block Residuals Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36

9 Oversigt 1 Model og hypotese Eksempel 1 Post hoc comparisons 2 Tovejs ANOVA Model og opspaltning af varians 3 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 12 Foråret / 36