Hilbert rum. Chapter Indre produkt rum

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum"

Transkript

1 Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E udstyret med en addition, d.v.s. en afbildning (x, y) x + y fra E E ind i E, og en multiplikation med skalarer fra L, d.v.s. en afbildning (λ, x) λx fra L E ind i E, som opfylder vektorrumsbetingelserne (se. f.eks. Definition 1.1 i R. Messer: Linear Algebra, Gateway to Mathematics, 1994, herefter betegnet med [M], hvor blot R erstattes med L). Det understreges, at samtlige definitioner og resultater fra liner algenra, der vedrører generelle reelle vektorrum også er gældende for komplekse vektorrum, idet de reelle tal blot overalt erstattes med de komplekse tal. Beviserne i det reelle tilfælde kan overføres direkte til det komplekse tilfælde, idet de alene bygger på vektorrumsaksiomerne og de fælles regneregler for reelle og komplekse tal. Eksempler på reelle vektorrum er velkendte fra lineær algebra, f.eks. R k samt mængden F(M, R) af reelle funktioner defineret på en mængde M med punktvis addition og multiplikation med reelle tal. Oplagte eksempler på komplekse vektorrum er mængden C k bestående af talsæt med k komplekse koordinater med koordinatvis addition og multiplikation med komplekse tal (i lighed med R k ), samt mængden F(M, C) af komplekse funktioner defineret på en mængde M med punktvis addition og multiplikation med komplekse tal. Såfremt M er et metrisk rum, er mængden C(M, C) bestående af alle kontinuerte komplekse funktioner på M et underrum af F(M, C), da summen af to kontinuerte funktioner er kontinuert og desuden en kontinuert funktion multipliceret med en konstant igen er kontinuert. Vi skal i det følgende se en hel del andre interessante eksempler på underrum af vektorrum af formen F(M, C). Indre produkt rum er indført for reelle vektorrum i lineær algebra, jvf. side 136 i [M]. Den følgende definition generaliserer dette begreb til også at omfatte komplekse vektorrum. Definition 3.1 Lad E være et vektorrum over L (= R eller C). Et indre produkt (også kaldet skalarprodukt) på E er en afbildning (, ) : E E L, der opfylder følgende betingelser (hvor 0 betegner nulvektoren i E): 1

2 i) x E \ {0} : (x, x) > 0, ii) x, y E : (x, y) = (y, x), iii) x, y, z E : (x + y, z) = (x, z) + (y, z), iv) λ L x, y E : (λx, y) = λ(x, y). Hvis (, ) er et indre produkt på E, kaldes parret (E, (, )) et indre produkt rum. Bemærk, at der ved (x, x) > 0 i i) forstås, at (x, x) er et reelt positivt tal. Såfremt L = R, er kompleks konjugering i ii) naturligvis overflødig, og ovenstående definition falder da sammen med Definition 4.1 i [M]. De sidste to af ovenstående betingelser udtrykker, at afbildningen x (x, y) fra E ind i L er lineær for hvert fast y E. Kombineres dette med ii) finder vi, at (x, y + z) = (x, y) + (x, z), (3.1) (x, λy) = λ(x, y), (3.2) for samtlige x, y, z E og λ L, hvilket udtrykkes ved at sige, at det indre produkt er konjugeret lineært i anden variabel. I tilfældet L = C kaldes en afbildning fra E E C, der er lineær i første variabel og konjugeret lineær i anden variabel tit en sesquilinearform på E. Vi har altså indset, at et indre produkt på et komplekst vektor rum er en sesquilinearform på E. Omvendt gælder, at en sesquilinearform, der opfylder i), i hvilket tilfælde den siges at være positiv definit, er et indre produkt. Hertil skal vi blot indse, at ii) gælder. Lad os først bemærke, at lineariteten i første variabel medfører, at (0, x) = 0 for alle x E. Specielt følger, at (0, 0) = 0, således at i) giver x E : (x, x) = 0 x = 0. (3.3) Sammen med i) viser dette, at (x, x) R for alle x E. Benyttes (x + y, x + y) = (x, x) + (y, y) + (x, y) + (y, x) fås derfor, at (x, y) + (y, x) R, d.v.s. at Im(x, y) = Im(y, x) for alle x, y E. Erstattes heri x med ix og benyttes sesquilineariteten fås i(x, y) i(y, x) R, d.v.s. Re(x, y) = Re(y, x), hvormed det ønskede er vist. Givet et indre produkt defineres normen x af x E ved x = (x, x). Af i) ovenfor følger, at x > 0 for x 0, og af iv) og (3.2) fås λx 2 = (λx, λx) = λλ(x, x) = λ 2 x 2. d.v.s. λx = λ x. (3.4) 2

3 Nedenfor vises desuden trekantsuligheden x + y x + y, x, y E. (3.5) Positivitet samt de to foregående relationer er de grundlæggende egenskaber ved normen. Denne leder endvidere til en naturlig generalisering af den euklidiske afstand i R 3 (jvf. ligning (1.1) i Ch.1) ved fastsættelsen d(x, y) = x y. (3.6) Af særlig vigtighed for det følgende er, at dette tillader os at definere konvergens af følger i E (m.h.t. den givne norm): Definition 3.2 Lad (x n ) n N vaere en følge i E, d.v.s. en afbildning n x n fra N ind i E. Vi siger, at følgen konvergerer imod x E, eller har grænseværdi x, og skriver da x n x for n eller lim n x n = x, hvis x n x 0 for n. Endelig får vi også brug for følgende tekniske definition. Definition 3.3 Vi siger, at følgen (x n ) n N i E er en Cauchy følge, hvis der for ethvert ε > 0 findes et N N, således at x n x m < ε for alle n, m > N, (hvilket somme tider udtrykkes ved at skrive x n x m 0 for n, m ). Hvis enhver Cauchyfølge er konvergent siges E at være et fuldstændigt indre produkt rum, eller et Hilbert rum. Det bemærkes, at enhver konvergent følge er en Cauchy følge (se Opg. 1). Det er en fundamental egenskab ved de reelle tal (ækvivalent med den såkaldte supremumsegenskab), at R er fuldstændigt m.h.t. det sædvanlige indre produkt (hvilket er det samme som det sædvanlige produkt). Det er en forholdsvis simpel følge heraf, at R k såvel som C k også er fuldstændige m.h.t. det sædvanlige indre produkt, som defineret i det følgende eksempel (se Opg. 2). Eksempel 3.4 1) Det sædvanlige indre produkt på C k (svarende til det sædvanlige indre produkt på R k ) defineres ved ((x 1,..., x k ), (y 1,..., y k )) = x 1 y x k y k. Det overlades til læseren at eftervise, at betingelserne i) iv) er opfyldt. 2) På vektorrummet C([a, b]) af kontinuerte komplekse funktioner på intervallet [a, b] defineres et indre produkt ved (f, g) = b a 3 f(x)g(x)dx (3.7)

4 for f, g C([a, b]). Mere generelt fås for enhver positiv kontinuert funktion ρ : [a, b] R + =]0, + [ et indre produkt (, ) ρ ved at sætte (f, g) ρ = b a f(x)g(x)ρ(x)dx. (3.8) Vi erindrer om, at integralet af en kontinuert kompleks funktion fås ved at integrere realog imaginærdel hver for sig, d.v.s. for f = Ref + iimf er b a f(x)dx = b a Ref(x)dx + i b a Imf(x)dx. (3.9) Herved er f b a f(x)dx en lineær afbildning fra C([a, b]) ind i C, hvilket umiddelbart medfører, at (, ) ρ tilfredsstiller iii) og iv) i Definition 3.1. Egenskaben ii) følger af, at b a f(x)dx = b a f(x)dx, og i) følger af, at når f er kontinuert og f 0, da er b a f(x)dx = 0 netop hvis f = 0. Bemærk, at hvis ρ og ρ betegner henoldsvis minimum og maksimum af den positive kontinuerte funktion ρ på intervallet [a, b], således at 0 < ρ ρ ρ < +, følger det at ρ f f ρ ρ f for f C([a, b]), hvor, h.h.v. ρ, betegner normen givet ved det indre produkt (3.7), h.h.v. (3.8). 3) Lad l 0 (N) betegne mængden af komplekse talfølger (x n ) n N som er lig med 0 fra et vist trin, altså med kun endelig mange elementer forskellige fra 0. l 0 (N) er da et underrum af vektorrummet af alle komplekse talfølger, som jo er lig med F(N, C). På l 0 (N) defineres et indre produkt ved ((x n ), (y n )) = x n y n, hvor summen på højresiden kun har endelig mange led forskellige fra 0 (og derfor selvfølgelig er konvergent). At der herved defineres et indre produkt på l 0 (N) ses på samme vis som for C k. 3.2 Ortogonalitet Lad nu (E, (, )) være et indre produkt rum. Som bekendt siges to vektorer x, y E at være ortogonale, og vi skriver da x y, såfremt der gælder, at (x, y) = 0. Mere generelt siges en vektor x E at stå vinkelret på en delmængde A E, og vi skriver da x A, såfremt x står vinkelret på samtlige vektorer i A. Det ortogonale komplement A til A defineres som mængden af alle vektorer, der står vinkelret på A, altså A = {x E (x, y) = 0 for alle y A}. (3.10) Det bemærkes, at på grund af iii) og iv) i Definition 3.1 er A et underrum af E for enhver mængde A E og af samme grund gælder, at A = (spana), (3.11) 4

5 hvor spana som sædvanlig betegner underrummet af E udspændt af A, som består af samtlige linearkombinationer af vektorer fra A. En familie (x i ) i I af vektorer fra E, hvor I er en vilkårlig indeksmængde, siges at være et ortogonalsæt, såfremt der gælder at (x i, x j ) = 0, når i j, altså såfremt sættets vektorer er parvis ortogonale. Hvis også x i = 1 for hvert i I, taler vi om et ortonormalsæt. Idet en familie (x i ) i I af vektorer fra E siges at være en lineært uafhængig familie, hvis ethvert endeligt delsæt af (x i ) i I er lineært uafhængigt, har vi følgende. Lemma 3.5 Lad (x i ) i I være et ortogonalsæt i E, således at x i 0 for alle i I. Da er (x i ) i I et lineært uafhængigt sæt. Bevis. Lad (x i1,..., x in ) være et endeligt delsæt af (x i ) i I og antag at skalarerne λ 1,..., λ n opfylder λ 1 x i λ n x in = 0. Ved at tage det indre produkt med x ij for ethvert j {1,..., n} på begge sider af denne ligning, fås under udnyttelse af det indre produkts linearitetsegenskaber, at λ 1 (x i1, x ij ) λ n (x in, x ij ) = 0. Men ifølge antagelsen er (x ik, x ij ) = 0 for k j, således at λ j (x ij, x ij ) = 0. Men så er λ j = 0 eftersom (x ij, x ij ) 0, da x ij 0. Endvidere noterer vi følgende generalisering af Pythagoras sætning. Sætning 3.6 Lad (x 1,..., x n ) være et endeligt ortogonalsæt. Da er x i 2 = x i 2. Bevis. Vi har x i 2 = x i, = j=1 (x i, x i ) = x j = (x i, x j ) i,j=1 x i 2, hvor vi ved tredie lighedstegn har benyttet, at kun diagonalleddene svarende til i = j bidrager til summen på grund af ortogonalitetsantagelsen. Herefter minder vi om følgende sætning, som også er kendt fra lineær algebra, jvf. Theorem 4.19 side 164 i [M]. Sætning 3.7 Lad (e 1,..., e n ) være et endeligt ortonormalsæt i E. x E findes en entydig vektor u span{e 1,..., e n }, således at For enhver vektor x u {e 1,..., e n } og den er givet ved u = (x, e i )e i. (3.12) 5

6 Endvidere gælder Bessels ulighed for alle x E. (x, e i ) 2 x 2 (3.13) Bevis. Enhver vektor u span{e 1,..., e n } kan skrives på formen u = λ 1 e λ n e n, hvor λ 1,..., λ n L. Ved at tage det indre produkt med e i på begge sider af denne ligning fås, at (u, e i ) = λ i (e i, e i ) = λ i, da (e i, e i ) = 1. Altså har vi u = (u, e i )e i (3.14) for u span{e 1,..., e n }. Men x u {e 1,..., e n } er ensbetydende med, at (x u, e i ) = 0 for hvert i = 1,..., n, hvilket igen er ækvivalent med, at (x, e i ) = (u, e i ) for i = 1,..., n. Sammen med (3.14) viser dette første del af sætningen. Bessels ulighed følger nu af Sætning 3.6 ved at bemærke at x = u + (x u), hvor u (x u), således at x 2 = u 2 + x u 2 u 2 = (x, e i ) 2. I sidste skridt har vi benyttet, at (x, e i )e i 2 = (x, e i ) 2. Vektoren u givet ved (3.12) kaldes den ortogonale projektion af x på underrummet span{e 1,..., e n }. Blandt vektorerne i span{e 1,..., e n } har den mindst afstand til x m.h.t. normen og er entydigt bestemt herved. Hvis nemlig v span{e 1,..., e n } er vilkårlig, er x v = (x u) + (u v), hvor (x u) (u v), således at x v 2 = x u 2 + u v 2 x u 2, og der gælder lighedstegn til sidst, hvis og kun hvis u = v. Af Bessels ulighed følger nu nemt Cauchy-Schwarz ulighed: (x, y) x y (3.15) for alle x, y E. Hvis nemlig y = 0, står der 0 på begge sider af uligheden, og hvis y 0, er 1 y y = 1, og det følger af (3.13) med n = 1 og e 1 = 1 y y, at ( ) 1 x, y y x, hvilket giver (3.15) efter multiplikation med y på begge sider. 6

7 Ved hjælp af Cauchy-Schwarz ulighed fås trekantsuligheden (3.5) på følgende vis: x + y 2 = (x + y, x + y) = x 2 + (x, y) + (y, x) + y 2 = x 2 + 2Re(x, y) + y 2 x (x, y) + y 2 x x y + y 2 = ( x + y ) Kontinuitet af indre produkt I det følgende skal vi gentagne gange benytte os af, at det indre produkt (, ) : E E L er kontinuert. Dette indses som følger. Lad x 0, y 0 E være givne og vælg x, y E, således at x x 0 δ og y y 0 δ, hvor δ > 0 er givet. Da er (x, y) (x 0, y 0 ) = (x, y y 0 ) + (x x 0, y 0 ) (x, y y 0 ) + (x x 0, y 0 ) x y y 0 + x x 0 y 0 δ( x + y 0 ) δ( x 0 + δ + y 0 ), (3.16) hvor vi har benyttet Cauchy-Schwarz s ulighed samt x = (x x 0 ) + x 0 x x 0 + x 0 x 0 + δ. Da det sidste udtryk i (3.16) går imod 0 for δ 0, sluttes at der for givet ε > 0 findes δ > 0 således at (x, y) (x 0, y 0 ) < ε for x x 0 δ og y y 0 δ. Ifølge definitionen af kontinuitet er dette netop, hvad der kræves.. Ækvivalent hermed er, at for vilkårlige følger (x n ) og (y n ) i E gælder, at hvis x n x 0 og y n y 0 for n. (x n, y n ) (x 0, y 0 ) for n, (3.17) Definition 3.8 En række x n, hvis led tilhører et normeret vektorrum E, siges at være konvergent med sum x = x n i E, såfremt afsnitsfølgen (s k ) k N defineret ved konvergerer imod x for k. k s k = x n (3.18) Af (3.17) og iii) i Definition 3.1 følger, at ( ) ( k ) x n, y = lim x n, y = lim k 7 k k (x n, y) = (x n, y) (3.19)

8 og tilsvarende ( y, ) x n = (y, x n ) (3.20) for enhver konvergent række x n i E, og alle y E. En yderligere konsekvens af kontinuiteten af det indre produkt er, at A = (A) for enhver mængde A E. Her betegner A afslutningen af mængden A, d.v.s. mængden af grænseværdier for følger i A. Hvis nemlig x A og y A findes en følge (y n ) i A så y = lim y n, hvoraf følger at (x, y) = lim(x, y n ) = 0, altså at x y. Da y A var vilkårligt valgt sluttes, at A (A). Den omvendte inklusion følger umiddelbart af, at A A. Sammen med (3.11) giver dette, at A = (spana) = (spana). (3.21) Vi kalder spana for det afsluttede underrum udspændt af A. Tilsvarende vises (se Opg. 5), at A er et afsluttet underrum af E ( d.v.s. A = A for enhver mængde A E). 3.4 Hilbert rum Som bekendt fra lineær algebra har ethvert endeligdimensionalt indre produkt rum E ortonormale baser. Lader vi (e 1,..., e n ) betegne en sådan basis, og betegner vi med x = (x 1,..., x n ) L n koordinatsættet for vektoren x E m.h.t. denne basis, d.v.s. da er ifølge Sætning 3.6 x = x 1 e x n e n, x = ( x x n 2 ) 1/2. Det følger, at afbildningen (x 1,..., x n ) x 1 e x n e n er en lineær isometri af L n på E, med omvendt afbildning x ((x, e 1 ),..., (x, e n )). Da vektorrummet L n vides at være fuldstændigt m.h.t. den sædvanlige norm, følger heraf, at E også er fuldstændigt. Det viser sig, at kravet om fuldstændighed sikrer, at en hel række af de vigtigste resultater vedrørende endeligdimensionale indre produkt rum kan overføres til det uendeligdimensionale tilfælde, d.v.s. til Hilbert rum, som vi skal se i det følgende. Lad os først se på et par vigtige eksempler på Hilbert rum. Eksempel 3.9 1) Ovenfor er vist, at ethvert endelig-dimensionalt indre produkt rum er et Hilbert rum. Dette gælder specielt R k og C k (jvf. Opg. 2). 2) Rummet l 0 (N) (se Eksempel 3.4) er ikke fuldstændigt. Lader vi f.eks. x n l 0 (N) være givet ved x n = (1, 1 2, 1 3,..., 1 n, 0, 0,... ) har vi for m n at x n x m 2 = 8 k=m+1 1 k 2

9 hvilket viser at (x n ) n N er en Cauchy følge i l 0 (N), eftersom rækken k=1 1 k 2 er konvergent. Følgen (x n ) n N er dog oplagt ikke konvergent i l 0 (N). Lad os i stedet betragte det større underrum l 2 (N) af F(N, C) bestående af kvadratisk summable følger, altså af komplekse talfølger (a n ) n N for hvilke a n 2 < +. At l 2 (N) er et underrum af F(N, C) følger af den velkendte ulighed a + b 2 2( a 2 + b 2 ), som iøvrigt er Cauchy-Schwarz ulighed for vektorerne (1, 1) og (a, b) i C 2. For to følger (a n ) og (b n ) i l 2 (N) giver denne a n + b n 2 2 a n b n 2 < +, altså at (a n ) + (b n ) l 2 (N). Da det desuden er klart, at λ(a n ) = (λa n ) l 2 (N) for λ C og (a n ) l 2 (N), er l 2 (N) et underrum af F(N, C). Benyttes uligheden ab 1 2 ( a 2 + b 2 ) for a, b C fås, at der ved ((a n ), (b n )) = a n b n defineres en afbildning (, ) : l 2 (N) l 2 (N) C, idet rækken på højresiden er absolut konvergent. At der herved defineres et indre produkt på l 2 (N) ses herefter umiddelbart. Lad os vise, at l 2 (N) med dette indre produkt er et Hilbert rum. Antag således, at (x n ) n N er en Cauchy følge i l 2 (N), hvor x n = (a n 1, an 2,... ). Da der for hvert k N gælder, at a n k am k xn x m, er følgen (a n k ) n N for hvert k N en Cauchy følge i C og derfor konvergent, idet C er fuldstændigt. Vi kalder grænseværdien a k, altså a k = lim n an k, og sætter x = (a 1, a 2,... ). Vi viser nu, at x l 2 (N) og at x n x for n. Givet ε > 0 findes et N N, således at K a n k am k 2 k=1 a n k am k 2 = x n x m 2 ε 2 k=1 for n, m N og samtlige K N. For m fås heraf at K a n k a k 2 ε 2 for n N og alle K N. For K fås så, at x n x 2 = a n k a k 2 ε 2 k=1 for n N. Dette viser dels, at x N x l 2 (N) og derfor x = x N (x N x) l 2 (N), og dels at x n x for n som ønsket. 3) Rummet C([a, b]) med indre produkt givet ved (3.8) er ikke fuldstændigt. Normen på dette rum er givet ved f 2 ρ = b a f(x) 2 ρ(x)dx. 9 k=1

10 Lader vi f.eks. f n betegne funktionen på [0, 2], der er lig med 0 på [0, 1], vokser lineært fra 0 til 1 på [1, n ] og lig med 1 på [1 + 1 n, 2] (tegn grafen!), er det let at indse, at (f n) er en Cauchy følge i C([0, 2]) m.h.t. ρ, men at den ikke har en grænseværdi i C([0, 2]). På tilsvarende måde som for l 0 overfor kan C([a, b]) udvides til et Hilbert rum L 2 ([a, b]) bestående af alle kvadratisk integrable funktioner på [a, b], d.v.s. funktioner f : [a, b] C, således at b a f(x) 2 dx <. Der er her tale om en generalisering af Riemann integralet, kaldet Lebesgue integralet, som ligger uden for rammerne af dette kursus. For vores formål er det tilstrækkeligt at notere sig følgende tre fakta: i) To funktioner f og g i L 2 ([a, b]) regnes for ens, hvis b a f(x) g(x) 2 dx = 0 d.v.s. hvis f g = 0, og vi siger da, at f er lig med g næsten overalt i [a, b], eller at f(x) = g(x) for næsten alle x [a, b]. Dette gælder f.eks. for to funktioner, der kun afviger i endelig mange punkter af intervallet. At dette forkommer betyder også, at L 2 ([a, b]) strengt taget ikke er et rum af funktioner, men snarere af klasser af funktioner, hvor funktionerne i hver klasse indbyrdes er ens næsten overalt. Beviset for at L 2 ([a, b]) er et vektorrum med indre produkt defineret ved formlen (3.7) kan herefter udføres på ganske tilsvarende måde som for l 2 (N). At L 2 ([a, b]) er fuldstændigt er et grundlæggende resultat vedrørende Lebesgue integralet, kaldet Riesz-Fischers sætning. ii) L 2 ([a, b]) er en minimal udvidelse af C([a, b]) i den forstand, at afslutningen af sidstnævnte som underrum af L 2 ([a, b]) er lig med hele L 2 ([a, b]). Sagt med andre ord: For ethvert givet f L 2 ([a, b]) findes en følge (f n ) n N i C([a, b]), således at f n f 0 for n 0. iii) I modsætning til Riemann integralet er Lebesgue integralet defineret for funktioner på et vilkårligt interval I R og stemmer for kontinuerte positive funktioner overens med det uegentlige Riemann integral. Vi kan således definere Hilbert rummet L 2 (I) for ethvert interval I, herunder specielt L 2 (R). For sidstnævnte gælder i stedet for ii) ovenfor, at afslutningen af underrummet C 0 (R) bestående af kontinuerte funktioner, der er 0 udenfor et (vilkårligt) begrænset interval er lig med hele L 2 (R). I afsnit 4.5 får vi brug for at det samme gælder for underrummet C0 (R) bestående af C -funktioner, der er 0 udenfor et begrænset interval. Den interesserede læser henvises til kurset Mål og Integral eller f.eks. til bogen M.Reed and B. Simon: Methods of modern mathematical physics, Vol I, Academic press 1972 for en indføring i Lebesgue integralteorien. I det følgende betegner H et Hilbert rum med indre produkt (, ). Ethvert underrum X af H er et indre produkt rum, hvis indre produkt er defineret som restriktionen af (, ) til X X. Da er X H et Hilbert rum netop hvis X er et afsluttet underrum af H, d.v.s. hvis A = A (se Opg. 6). Specielt er alle endeligdimensionale underrum af H afsluttede. Vi får brug for følgende vigtige udvidelse af Pythagoras sætning. 10

11 Sætning 3.10 Lad (x i ) i N være et ortogonalsæt i H. Da er x i konvergent i H hvis og kun hvis og der gælder da at x i 2 < +, x i 2 = x i 2. (3.22) Bevis. Da H er fuldstændigt, er x i konvergent i H, hvis og kun hvis afsnitsfølgen (s n ) er en Cauchy følge. Dette betyder, at der for ethvert ε > 0 findes et N N, således at s n s m 2 = i=m+1 x i 2 = i=m+1 x i 2 ε 2 (3.23) for n > m N, hvor vi har benyttet Sætning 3.6. Da R er fuldstændigt, haves på den anden side, at x i 2 er konvergent, hvis og kun hvis afsnitsfølgen (r n ) givet ved r n = x i 2 er en Cauchy følge i R. Men dette betyder, at der for ethvert ε > 0 findes N N, således at r n r m = x i 2 < ε 2 (3.24) i=m+1 for n > m N. Ved sammenligning af (3.23) og (3.24) følger den første påstand. Endelig fås ved brug af kontinuiteten af x x og Sætning 3.6 x i 2 = lim n x i 2 = lim x i 2 = lim n n x i 2 = x i 2, hvilket viser (3.22). Idet en ortonormalbasis for et endeligdimensionalt indre produkt rum H kan karakteriseres som et ortonormalsæt, der udspænder H, og da ethvert endeligdimensionalt indre produkt rum er fuldstændigt, giver følgende definition en udvidelse af begrebet ortonormalbasis til vilkårlige Hilbert rum. Definition 3.11 En ortonormalbasis for H er et ortonormalsæt (e i ) i I span{e i i I} = H. i H således at Da H = {0} følger det af (3.21), at {e i i I} = {0}. 11

12 for enhver ortonormalbasis (e i ) i I for H. Dette betyder, at enhver ortonormalbasis er et maksimalt ortonormalsæt i H, d.v.s. at der ikke findes nogen vektor e H med e = 1, således at e sammen med (e i ) i I udgør et ortonormalsæt. At der omvendt gælder, at ethvert maksimalt ortonormalsæt i H er en ortonormalbasis vises i Sætning 3.13 nedenfor. Bemærk, at det af Definition 3.11 følger, at et ortonormalsæt (e i ) i I er ortonormalbasis for det af (e i ) i I udspændte afsluttede underrum. Ethvert Hilbert rum har en ortonormalbasis. Et bevis for denne påstand bygger på det såkaldte udvalgsaksiom, hvilket vi ikke skal komme ind på her. I det følgende indskrænker vi os til at betragte separable Hilbert rum, d.v.s. Hilbert rum, der har en tællelig ortonormalbasis, d.v.s. en ortonormalbasis, der kan numereres med N (eller Z) som indeksmængde. Eksempel 3.12 For rummet l 2 (N) indført i Eksempel 3.9 fås en ortonormalbasis (e i ) i N ved at lade følgen e i være givet ved, at alle dens elementer er 0 pånær det i te, som sættes til 1, altså { 1 for j = i (e i ) j = 0 for j i. At der herved fås en ortonormalbasis følger ved at bemærke, at (e i ) i N oplagt er et ortonormalsæt, og at span{e i i N} = l 0 (N), hvis afslutning er l 2 (N) ifølge definitionen af normen på l 2 (N) (jvf. Opg. 15). Vi kalder (e i ) i N for den naturlige ortonormalbasis for l 2 (N). I næste paragraf skal vi bestemme ortonormalbaser for Hilbert rummet L 2 ([ π, π], 1 2π ). Det vil i dette tilfælde vise sig naturligt at benytte mængden af hele tal Z som indeksmængde. 3.5 Ortonormaludvikling Vi sigter nu bl.a. imod at generalisere udviklingen af vektorer m.h.t. ortonormalbaser i endeligdimensionale indre produkt rum (jvf. afsnit 4.5 i [M]) til uendelig-dimensionale Hilbert rum. H antages altså i det følgende at være uendeligdimensionalt og separabelt. Samtlige resultater, der vises i dette afsnit, kan dog udvides til vilkårlige Hilbert rum. Lad (e i ) i N være et ortonormalsæt i H (som antages at være uendeligdimensionalt) og betragt en vektor x H. Ifølge Bessels ulighed (3.13) har vi da, at n (x, e i ) 2 x 2 for hvert n N. Heraf følger den generaliserede Bessels ulighed (x, e i ) 2 x 2. (3.25) Benyttes Sætning 3.10 sammen med (3.25) fås, at rækken (x, e i )e i er konvergent i H, og vi sætter u = (x, e i )e i. (3.26) 12

13 Vektoren u tilhører klart span{e i i N}. Den kan i princippet afhænge af summationsrækkefølgen, d.v.s. af den valgte rækkefølge e 1, e 2, e 3,... af ortonormalsætets vektorer, der indgår i definitionen af summen i (3.26), jvf. Definition 3.8. Følgende udvidelse af Sætning 3.7 medfører imidlertid, at dette ikke er tilfældet. Sætning 3.13 Lad (e i ) i N være et ortonormalsæt i H. For enhver vektor x H findes en entydig vektor u span{e i i N}, således at x u {e i i N}, og den er givet ved (3.26). Specielt afhænger u ikke af summationsrækkefølgen, og vi skriver derfor også u = i N(x, e i )e i. Bevis. Vektoren u givet ved (3.26) opfylder for hvert j N følgende: ( ) (u, e j ) = (x, e i )e i, e j = (x, e i )(e i, e j ) = (x, e j ). Altså er (x u, e j ) = 0 for alle j N og dermed x u {e j j N}. Antag, at v span{e i i N} således at x v {e i i N}. Da er u v span{e i i N} og u v = (x v) (x u) {e i i N} = (span{e i i N}). Specielt er (u v, u v) = 0, hvilket viser at u = v. Hermed er sætningen vist. Vi kan nu vise følgende vigtige resultat. Sætning 3.14 For et ortonormalsæt (e i ) i N i H er følgende fire udsagn ensbetydende. (i) (e i ) i N er en ortonormalbasis for H. (ii) {e i i N} = {0}. (iii) Ortonormaludviklingen x = i N(x, e i )e i gælder for alle x H. (iv) Parsevals ligning gælder for alle x H. x 2 = (x, e i ) 2 (3.27) 13

14 Bevis. Vi har tidligere indset at (i) (ii). At (ii) (iii) følger af Sætning 3.13, idet vi med samme betegnelser som der får, at x = u. At (iii) (iv) følger umiddelbart af (3.22). Antages endelig, at (iv) er gyldig, haves x (x, e i )e i 2 = x 2 (x, e i ) 2 0 for n. Da dette gælder for hvert x H følger det, at span{e i i I} er tæt i H. Dette viser, at (iv) (i). Som en yderligere følge af Sætning 3.13 har vi projektionssætningen: Sætning 3.15 Lad X være et afsluttet underrum af H. Da findes for hver vektor x H entydige vektorer u X og v X, således at x = u + v. (3.28) Bevis. Da X er et afsluttet underrum af H, er X et Hilbert rum, som også er separabelt. Vælges en ortonormalbasis (e i ) i I for X, hvor I er endelig eller lig med N, har vi, at X = span{e i i I}. Påstanden følger herefter umiddelbart af Sætningerne 3.7 og Det bemærkes, at vektoren u i (3.28) også kan karakteriseres som den entydige vektor i X, som har mindst afstand til x. Argumentet herfor er det samme som givet efter beviset for Sætning 3.7. Vi siger, at de to underrum X og X er komplementære og skriver H = X X som udtryk for udsagnet i Sætning Vektoren u i (3.28) kaldes den ortogonale projektion af x på X og er altså givet ved u = i I (x, e i )e i, hvor (e i ) i I er en ortonormalbasis for X. Da X også er et afsluttet underrum af H har vi også at H = X X. Da X X sluttes heraf, at X = X for ethvert afsluttet underrum X af H. Det følger så, at v i (3.28) er den ortogonale projektion af x på X. Vælges en ortonormalbasis (e j ) j J for X, da udgør denne sammen med (e i ) i I en ortonormalbasis (e i ) i I J for H (overvej dette!) 14

15 3.6 Fourier rækker Centrale dele af teorien for Fourier rækker, der har sit udspring i J. Fouriers analyse af varmeledning i 1807, kan formuleres behændigt ved at opfatte disse som ortonormaludviklinger, som vi her kort skal gøre rede for. Det relevante Hilbert rum er H = L 2 ( L, L) med indre produkt givet ved hvor faktoren 1 2L (f, g) = 1 L f(θ)g(θ) dθ, 2L L er medtaget af praktiske årsager. Følgende resultat er afgørende. Sætning 3.16 Lad funktionen e n på intervallet [ L, L] være givet ved e n (θ) = e in π L θ, θ [ L, L], n Z. Da er (e n ) n Z en ortonormalbasis for H = L 2 ( L, L). Bevis. At (e n ) n Z er et ortoormalsæt fås af følgende regning: (e n, e m ) = 1 L 2L L L e n (x)e m (x)dx = 1 e i(n m) π L θ dθ 2L L [ 1 L = 2L i(n m)π ei(n m) π θ] L L = 0 for n m L 1 2L [x]l L = 1 for n = m, hvor det er benyttet, at e n er periodisk med periode 2L som funktion af θ R. For at indse, at span{e n n Z} = H, noterer vi først, at det er nok at vise, at C([ L, L]) span{e n n Z} eftersom C([ L, L]) = H, som bemærket tidligere. Det er altså nok at vise, at der for enhver given funktion f C( L, L) og ethvert givet ɛ > 0 findes f 1 span{e n n Z}, således at f f 1 < ɛ. (3.29) Vælg hertil først en funktion f 2 C([ L, L]), således at f 2 ( L) = f 2 (L) = 0 og f f 2 < ɛ 2, (3.30) hvilket klart er muligt (overvej!). Da f 2 kan uvides til en kontinuert periodisk funktion med periode 2L følger det af Stone-Weierstrass sætning (se f.eks. W. Rudin: Functional analysis, Kapitel 5), at der findes en funktion f 1 span{e n n Z}, således at f 2 (θ) f 1 (θ) < ɛ 4L, θ [ L, L], og derfor f 2 f 1 < ɛ 2. (3.31) 15

16 Bruges trekantsuligheden følger (3.29) af (3.30) og (3.31), hvilket afslutter beviset. Af den foregående sætning og Sætning 3.17 fås nu, at hvis vi for f L 2 ([ L.L]) definerer Fourier koefficienterne c n (f) ved c n (f) = 1 L f(θ)e in π L θ dθ, (3.32) 2L L da er f(θ) = n Z c n (f)e in π L θ, (3.33) hvor rækken kaldes Fourier udviklingen af f. Det er vigtigt at bemærke her, at rækken er konvergent m.h.t. L 2 -normen. Mere præcist udtrykker ligningen, at N n= N c n (f)e n f 0 for N. Resultater vedrørende punktvis og uniform konvergens findes i de fleste fremstillinger af Fourier række teorien, se f.eks. B. Durhuus: Hilbert rum med anvendelser, forelsningsnoter

17 Opgaver til Ch. 3 Opgave 1 Vis, at enhver konvergent følge i et indre produkt rum er en Cauchy følge. Vink. Benyt trekantsuligheden. Opgave 2 a) Vis, at en følge (x n ) n N i R k (eller C k ) er konvergent, h.h.v. en Cauchy følge, m.h.t. den sædvanlige norm, hvis og kun hvis hver af koordinatfølgerne (x i n) n N, i = 1,..., k, er konvergente, h.h.v. Cauchy følger, (i R eller C), hvor vi benytter notationen x n = (x 1 n,..., x k n). b) Benyt a) til at indse, at R k og C k er fuldstændige, idet det antages kendt, at R er fuldstændigt. Opgave 3 Betragt det endeligdimensionale komplekse Hilbert rum H = C k, med indre produkt som angivet i Eksempel 3.4 1). Vis, at ((1, 0,..., 0), (0, 1, 0..., 0),..., (0,..., 0, 1)) er en ortonormalbasis for H. Opgave 4 Vis, at det indre produkt på et komplekst Hilbert rum tilfredsstiller polariseringsidentiteten (x, y) = 1 4 ( x + y 2 x y 2 + i x + iy 2 i x iy 2 ). Opgave 5 Lad H være et Hilbert rum. Vis, at for enhver delmængde A H er A et afsluttet underrum af H. Opgave 6 Lad H være et Hilbert rum. Vis, at et underrum X af H er et Hilbert rum hvis og kun hvis X er afsluttet. Vis også, at afslutningen af et underrum af H er et underrum af H (her skal kontinuitet af addition og af skalarmultiplikation benyttes). Opgave 7 Vis, at (sin nθ) n N er et ortogonalsæt i C([0, π]) med indre produkt givet ved (3.7). Opgave 8 Bestem a 1, a 2, a 3 C, således at π antager den mindst mulige værdi. 0 cos θ 3 a n sin nθ 2 dθ Opgave 9 Lad polynomierne p 0 (x), p 1 (x),... være defineret ved, at p n (x) er et polynomium af grad n i den variable x, således at koefficienten til x n er 1 og (p 0 (x), p 1 (x),...) er et ortogonalsæt i L 2 ([0, 1]). Find p 0 (x), p 1 (x) og p 2 (x). Opgave 10 Vis, at (sin(n 1 2 )θ) n N er et ortogonalsæt i C([0, π]) med indre produkt givet ved (3.7). 17

18 Opgave 11 Lad H være et uendeligdimensionalt separabelt Hilbert rum og lad (e n ) n N være et ortonormalsæt i H. 1) Vis, at rækken 1 n e n er konvergent i H, og afgør for hvilke α R rækken nα e n er konvergent i H. 2) Bestem den ortogonale projektion af vektorerne e 1 ±2e 2 på (underrummet udspændt af) vektoren n 1 e n, idet det oplyses, at 1 n 2 = π2 6 ) π Opgave 12 Vis, at lim n 0 log θ sin nθdθ = 0. Vink. Dette kan fås som et korollar til Bessels ulighed (3.25) i forbindelse med ortogonalsættet i Opg. 7. Opgave 13 Lad (e i ) i N være en ortonormalbasis for Hilbert rummet H. Vis, at følgende generalisering af Parsevals ligning gælder for alle x, y H: (x, y) = (x, e i )(y, e i ). Opgave 14 Betragt indre produkt rummet l 0 (N) som defineret i Eksempel 3.2 3) og sæt X = {(x n ) n N l 0 (N) x n 1 n = 0}. Vis, at X er et afsluttet underrum af l 0 (N), og at X X l 0 (N). Opgave 15 Godtgør, at afslutningen af l 0 (N) er lig med l 2 (N), d.v.s. at enhver følge x i l 2 (N) kan fås som grænseværdi af en følge (x n ) n N i l 0 (N). Vink. Lad x n være følgen, der stemmer overens med x op til og med n te led, og som derefter er 0. Opgave 16 Lad H være et komplekst Hilbert rum og lad n N, a C således at a n = 1 og a 2 1. Vis den generaliserede polariseringsidentitet (x, y) = 1 n 1 a ν x + a ν y 2. n ν=0 18

Matematik 2 AN. Hilbert rum. med anvendelser. Bergfinnur Durhuus

Matematik 2 AN. Hilbert rum. med anvendelser. Bergfinnur Durhuus Matematik 2 AN Hilbert rum med anvendelser Bergfinnur Durhuus 1997 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 1997 Forord Sammen med hæftet Metriske rum ved Christian

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

2. Fourierrækker i en variabel

2. Fourierrækker i en variabel .1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Eksamensnoter til Analyse 1

Eksamensnoter til Analyse 1 ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.

Læs mere

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder Oversigt [LA] 11, 1, 13 Prikprodukt Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 00, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 2002, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed Calculus

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Gult Foredrag Om Net

Gult Foredrag Om Net Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum

Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

Funktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ)

Funktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ) Kapitel Funktionsrum. Funktionsrummet L = L(X, E, µ) For et vilkårligt målrum (X,E,µ) er mængdenl=l(x,e,µ) afµ-integrable funktioner f :X R et reelt vektorrum ifølge Theorem 7.3 i [EH]. Hvis vi indfører

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

Symmetriske matricer

Symmetriske matricer Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

Matematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg

Matematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg Matematik 2 AN Matematisk Analyse Metriske rum Christian Berg 1997 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 1997 Forord Nærværende notehæfte er oprindelig skrevet

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013 Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

MATEMATIK 4 OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 4 OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1 OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [P] Functional analysis in applied mathematics and engineering, CRC Press 1999. Jeg regner med at vi gennemgår kapitel 1 6 med tillæg

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Matematik 2 MA Matematisk Analyse. Gerd Grubb

Matematik 2 MA Matematisk Analyse. Gerd Grubb 1 Matematik 2 MA Matematisk Analyse 1994 95 Kapitel IV. Fourier Analyse Gerd Grubb 1 1 Matematik 2. Matematisk Analyse 1994-95 Kapitel IV. Fourier analyse 0. Indledning 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Definition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2

Definition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2 Oersigt [LA],, Komplement Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på ektor Projektion på basis Kortest afstand August 00, opgae 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

Vektorrum. Vektorer på en ret linje

Vektorrum. Vektorer på en ret linje Vektorrum Vektorer på en ret linje Som vi tidligere har set adskillige gange, kan punkterne på en uendelig ret linje entydigt identificeres med de reelle tal. (Man taler jo ligefrem om den reelle talakse,

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

DesignMat Uge 11. Vektorrum

DesignMat Uge 11. Vektorrum DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

DesignMat Uge 11 Vektorrum

DesignMat Uge 11 Vektorrum DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere